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PROBLEMAS DE EJERCICIOS DE ANALISIS MATAMATICO

G. BaranenkolJ, B. DemidolJich, V. Ejimenko, S. Kogan. G. Lunts, E. Porshneva, E. Sichova, S. Frolov, R. Shostak y A. Yanpolski

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ANALISIS MATEMATICORevisado por el pTo/esar

B. DemidovichSegunda edici6n

EDITORIAL MIR Ma I1 8 6 7

t

fa

PROLOGO

En el presente libra. los problemas y eJerC1CIOS de analisis mat.ematico 5e han escogido de acuerdo con el programa nuiximo del curso general de matemalicas superiores que 56 estudia en los centros de eusananza tecnica superior. Contiene IDaS de 3000 problemas sistematizados en capitulos (I-X) y abares 10. totalidad de las partes que cODstituyen el curso de matematic8S superiores de los mencionados centrO! de ensefianza (excepto ]0. geometria analitica). Sa ha prestado especiO.

x""O,

4.1. Escrihir las CUDcloDes que so dan a continuaci6n en forma de cadena de igualdades, de modo que cada uno de los eslabones contenga una (uDci6n elemontal simple (potencial, exponencial, trigonometrica, etc.):a) y_(2z_5)",

o} y~Jg 'g ~ ;d) y =llrc sen (3- rl).

b) y=2 00' '';

42. Escribir en formn de UDa igunldad las siguientes funciones compuestas, dadas mediante Ulla cadena de iguo.ldades: a) y=u~, u=senx;b) y=.nctgu, 2u, si u""O, c) y= [ 0 , si u>O

u=V.

v=Jgx;

u=,r-L

.

43. Escribir en forma explicita las funcioDcs y dadas por las ecuaciones:a)x~-nrccosy=:lt;

b) 1()" + 10' ~ la, 0) x+lYI~2y. Hallar los campos de deHnicioD de las funciooes implic;itas dadas.

Rtpnuntad61l g'G/icA dt hu /lI.ru:UJIlI$ tkmtlltalu

2.

se efeetua, on Jo fundamental. mareando una nld suflciontcrncnte nuLrlda do punLos MdrJ, I/d, donde v,-f(zd (i=O. 1, 2... ). y unlenda despu6.5 estos ulUmos ontre 81 con una Hnea. cuyo cadctcr debo Lener Cn cuenta la posicion de los puntos Intennedios. Para hawr las operaclone5 58 rteOml('nda el ~mpleo de la regIa de c6tculo.

Represe,t.elh vriflca de las lonete,es ele.entales La construcciOD. de w grtifiea.s do lu IllDcioncs /I-I(z)

---'- ..

y

liIJx

Fig.3La construccion de ~rtlficas raeilito. el estudlo do los curvas de las funtiones c!omenta.les mns importalltes (ve:.so el npcndic& VI). Partiendo de la grtifica

v=f(r),

(r)

con ayuda do Cllnstruccioncs geometrical! clemlmtales obteneul05 las grMica de las funcicnes: t) IfJ"'" -1(r). que 05 la represODLacion simetriea de III grilfica r respecto at eja OX; 2) II~ = I (-z), que es III representation simCtrica. de la grafica r respeeto al eje OY; 3) 113=/(z-a), que e5 la mi.!llD:l. Rrifica r dosplanda.:I 10 laJ'go doleje OX On la magDltud OJ 4) y,=b+/(.r), que os 1.8 propia grarle (circunferene-ia). t36.r=-'- (linea recta).sen 'P

137. r= see'.l ; (parabola).138. r = 10 sen 3q> (rosa de tres petalos). 139. r=a(l+cosq (a>O) (cardioide). 140. r'.l = a~ cos 2ql (a> 0) (lemniscata). Construir Jas graficas de las siguienLes fUDciones. dndas en fonna paramctrica:Z-1016

J41", z=13, y=t l (parabola semicubica). 142", x=1Ocost. y=seat (clipse). 143", x=10cos3 t, y=1Osen S t (astroide). 11,4", x=a(cost+lsent). y=a(sent-tcost) (desarrollo del circulo). 145", x=t=j:"i'F. y= 1+t 3 (fohum de Descartes). 146. x= 147. 148. 149. 150.I2t o.t3 .

"

J ntroducci6n at .naZld.

Vl+t 3

,

y=,

" .. .) V1+t..3 (semUlrcunt erencta .

x=2'+2-', y=2' _Z- t (mma de una hipirbola). x=2cos3 t, y=2sen 2 t (segmento de recta). 2:=t_t 2 , y=l"_t 3

x=a(2cost-cos2t),

y=a(2sont-sen2t)

(cardioide).

Construir las grlificas de las siguientes funciones, dadas eoforma impLicita:

15t. x't + y3 = 25 (circunjerencia). 152. xy = 12 (hiperbola). 153. v':. = 2x (parabola).154. 100+64=1 (ellpse).;1;2

y"

.

155.

y1=z2(100_x3 ).2

156 x 3 ya = 4 3 (astroide). 157", x+ y = 10 Ig Y. 158", x' = cos y.159". -V x~ y2 = eArC1 g .l' (espiral logarftmfca). 160.... r+y9_3xy=O (folium de Descartes).

+

2

2

+

,

161. Hullar Ia formula de transiciOll de la escala de Celsio (C) a Ia ria l~abrenheit (F), si se COnoce que OC corresponds u 32F y 100C a 212F, Con.'ltruir la grafica de la funcion obtenida, 162. En un tri6.ngulo, cuya base es b = 10 y su altura h = 6, (lst! inscrito lin rectnngulo (fig. 5). Exprcsar la superfide de dicho rectungulo y como funciofl de su base x. Construir la grafica de esta funci~n y hallar su valor maximo.

L(mU~r

19

163. En cl t.rianguJo ACB, el lado BC=a, el AC=b y eJ angulo variable xACB=x (rig. 6).A

~---=:::"8

Fig.5

Fig.6

Expresal' y = area. I:!. ABC como funci6n do r. COllstruir la fica de esta funci6n y hallar su valor maximo. 164. Resolver graficamentc las eCllllciones: a) 2xl -5x+2. 0; d) 10x =x; b) J;'+x-l =0; e) .:z:=1+0,5.senx; c) Igx=O,1x; f) ctgx=x (OE para 0 0). (Veonse", los ejercicios 103 y 104). _, x

Hallo.r los siguientes Hmites Jaterales:264.b) lim,.~

267. a) Jim 10(1.+'%);....... _00

%

11z2+1 z

.

b) lim In (I+e-"') %-.-+x

265. a) _ _00 th x; limb) lim tb x,-+00

268. a) lim tllenzl. ~-o z ' h) lim Iseozl",_+0%

donde thx=e s +,_z-+-o

r_e-

Z

.-

269. a) lim",,-01-0

1% 11

%-1 %-1t

266. 0) lim ~ ;

b) Ilrn

1+"xt+e'"-

;(... 1+0

Iz

I

b)

lim _t_, ..0:-.+0

270. a) lim --=--2;~2-0

z-

b) lim z ~. _2+0 -

Lmitn

Construir las grafieas de las funeionos: 271. y=lim(cos 2"x).n~~

272.

. x y= 1Im 1 +;l;nn~~

(x>O).

273. 274. 275.

y=limV x2 +a2 .~~

~~

y = lim (aretg nx).n_~

y=limyl+x"~oo

(x>O).

276. Convertir en ordinaria 10. siguiente fraccion peri6dica mixta a ~0,13555 ... considerandola como el limite de 10. correspondiente fraccion finito.. 277. (Que ocurrira can las raices do 13 ecuo.ci61l cnadrad3 ax'+bx+c=O, si oJ coeficiente a tiende a cera, y los coeficiontes bye son c.onstantes, siendo b:=;6 O? 278. Hallar el lImito del angula interno de un poligona regular de n lados si n--HXJ. 279. Hallar el Hmite de los perfmetros de los polfgonos regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscrilos a su alrededor, si n-i> 00. 280. Hallar el limite de 10. sumo. de las longitudes de las ordenadas de 13 curvn y = e- x cos rtx, trazadas en los puntos x=O, 1,2, ... , n, si n~oo. 281. Hallar 01 llrnite de las areas de los cuadro.dos conslruidos sobre las ordono.das de 10. curvo. Y= 21-%

.n -i>

como bases, dondo x= 1, 2, 3, "., n, con 10. condieion de que00,

282. Hallar el limite, cuando n ~ 00, del pcrlmetro de 10. Hnea quebrada MoM j ' " M n , inscrita en 10. aspiro.l logaritmica r = e- lJl , -si los vertices de esta quebrada tienen, respectivamenle, los angulos polares

InlNJducct6n III Ilnalirtr

283. 1 segmento AB=a (fig. 7) esta di\lidido en n partes iguales. Sobre cada una de elias, lomaodoln como hase, sa ha construido un triangulo is6scelos, CUY05 angulo, en la base 90n iguales a 1%= 45. Domostrar, que 01 limite del perimetro de Ja lioea quebrada asi farmada es diCerente do la longitud del scgmenLo AB, a pesar de que, pasando a limiles, la lioea quebrada .50 eonfuode geometricamente can el scgmento AD.

a_~

flg.7

Pig.8

284. EI punta C1 divido al segmento AB = l en dos partes Igualcs; 01 punta C:. divide al seg-mento ACt en dos partes tambien iguales; 01 punta C3 di vide, a su vez, al segmento C,C1 cn dos parles igllnles; el C, hace 10 propio COn 01 scgrocoto C,C, y asi sucesivameote. DetermilLar la posicl6n limite del punto cuando n-+ 00. 285. Sobre los segmcntos obtenidos al dividir at cateto a d~ un triangul0 rectnngulo en n partes iguales, se ban conslruido recUingulos inscritos (fig. 8). Determiuar el HmiLo del area de III rigura escalonada asi constiluida, si n~ 00. 286. UaLiar las conslantes k y b de la ecuaci6n

en.

~~ (kx+b-~t:)=o.

(1)

Esclarece:r el sentido geomelrico de la igualdad (1). 287. Un praceso quimico so desarrolla de lal forma, que e1 increwonLo de la canlidad de suhslancia en cada inter\'alo do tiempo 't, de una sucesion inHoita de intervalos (lot, (i -+,1) 't) (i = O. 1., 2, ... ), es proporcional a la callLidad de substancia exislonLe al comienzo dol interval0 y a hi. duracion do dicho intervalo. Suponiolldo que on cl momenta inicial la canLidad de Bubstancill era Q", dcterminar Ia cantidnd Qln) que habra de 1a misma despues de transcurrir un intervalo de tiempo t, si 01 incremento do Ie. cnntidad de subs Lancia se realiza cada Cneavll parte del iutervalo de tieropoT=- .

,n

Hallar Qr = lim Qi").~~

In/inutstmo. e in/t"Uo.

4. IlfI,llislmos e 1,f1IIIo.1. Inflnithimoll. Si

_.

lima (:)_0.

os deeir, s( lex(%)IO. 308. Demostrar que, si la funcian t (x) es continua y no IIcgaliva en el intervalo (a. b) la funcion

F(x)= Vf(x)

lamhHiJi os continua en cste intervalo,309*. Demostrar. que la funcion y=eosz es cOlltinua para cualguier valor de z. 310. el'ara que valol'es de z Beran continuas las fUJlciones: a) tg x y b) ctg x? 311"'. Dernostrar, que la lundon y = I x I es continua. Construil' la grMica de esta funcion. 312. Demostrar, que la magniLud absoluta de una funcian contj~ua es tambieu una fUDCioll coutinua.

/ntroduu:16n al anal/sit~U3.

UR3. funci6n esta dada par laS f6rmulas

/(.1:)={ : : : cuando x~2, A cuando .1: = 2.iCOmo debe elegirse al valor da la fUllCi60 A = J (2), para que la funciDa / (x), completada de osLa forma, sea continua cuafldo x=2? Construir In graIica de la funci6n y=/(x). 314. EI segundo miembro de In igualdad/(x)=1-x50n,

, .

Carece de sen lido cUlludo x = O. (C6mo olegir 01 valor do / (0) para que Ia funci60 / (x) sea continua en este pUDlo? 315. La funci6n /(x)=arctg;r;-2

,

earece de sentido cuando % = 2. cPuooe elegirse el valor de / (2) dl! tal forma, que la funci60 completada sca continua cuaudo

z-213Hi. La funci6n f{x) es indeterminada en al punto % = O. Determinar / (0) de tal forma, que f (x) sea co.otinua en este puoto, si:0) f (x) =h)(1 +x)Tl_1

/(x)= i-:52: ;r-e-:I.

(n es un nlimeco natural);

e) J(x)= In(1+.r)=ln(I-%)

;

d)

f (z) ~

e) / (x) = x' son -.!..

;

f) 1(%) - %e'g %,

A veriguar si son continuas las fUlIciones:

317, y=--" '

a 3I,y=,+.,319 .JJ_ V'i"+i-3J:1I

H-xtl

.' .-.

320'Y=I:" 321. a) y = sen'!:'

4

b) y=.:r.:sen~

ConUluddlld de lal jllllCion.e1

322.

!I=~.

:J:

326. y=(t+x)Ol'ctg J-:l:~'327 Y ~

I

323. Y = In (cos x).

-.

,

,i+i.

,-~

328. y=et' 3'''5. y= arcg 7' ~329. y

,t +ei=i

33lI . y=

I

%1

cuondo % 3.

COI1!;truir Ja graricn do esta funcioJl. 331. Demostrar. que la funcjon de Dirichlet X(z), que es igual a ccco cuando x es irracional e igual n 1 cuando:t es ra.cional, l:!S discontinua para eada uno de los valores de :t, Averiguar si son continuos y cOllstruir In grlifica de Jas siguientes funciones;

332.

Y=~t~z..

(x, 0).

333. y = lim (x arctg n:z:).334. a) y=sgox, b) y=xsgnx, c) Y = sgn (sell x), In fUllCi6n 8gn x se determina pol' las f6rmula.s: donde

+1, ,j x>O, 0, ,i %=0, -I, ,i %iforenciales de ordODCS supcriores. Sa llama di/eren.clal de iegundo orden It la diferencial de la diferenclal de primer orden:aal/=d (dy).

De (orma antiJoga se determinan las dijul!nciales de tercer orden y de ordenes sucesh.os. Si !/=f(r) y z es la variable indepondillnte, so tlene tJ:Jy = JI- (d.1:)t, d~y .... yO' (dxS),

Ii"y = yf'" (:-

%-.

782.Soluci6n lim(i-cosJ:)clgz=Jimx ...O

:x-O

(I-co! z) cos % _ sen z

).

1m

x-+O

(l-cou) X seD Z

x 11m cos %=lim~.1 =0.:MoO:1:.... 0

COil Z

788. lim(f-%)tg

789. lim arcsen % elg %.

790. lim (%ne-:t), %> O.791. lim x sen!. .:1:-+00 X

._.,

_.

-,

7.

792. lim x"son!... n>O. x...._ z793. Jim In % In (%-1)._I

7~. Jim ( , - - , ). ,:I:.... l : z

nz

So

J UClon.

.

J'

~O

1m

(.

--,--,-

z-

nz

t) = J1m :clnz-x+1 ( )1.>:.... \

z

1 nz

%-+10%-1 In.z .z i =lhn z = 11m ----'=-;'---lim.-=...,..- .... :t_l In z+ _~ (z-t) ~1 lnz-: +1 X_I Z ... ;z-

,

2-+";'

:r.

795. Jim,;1;.... 3

(---.!-_ x x-3

2

5

z

tJ

)

796. lim [_~_ i _I 2(I-V.) 3(I-jY.)

J.

797. lim ( - , . - - 2 ')."cgz ;11-+2"!103Z

798. limz:l:.6"

.-.

84

Dlferencf,tui6n de lunclortts

Soluci6n.1

In y=r In.2:;.xl

",...0

limlny=Um:tlnr=",->0'

=lim~O

l~x=lim

~

",... 0 _ _

=0, de donde limy=1, 0 sea, Iimx"'=i.",... 0:

Y=z+2'

Sol u c i 6 n. En este caso, x= -.2 cs 01 punto do discontinuidad de la funclon e y' _ - (x

~ 2)' < 0 cuando % 0:/= -2. Por cOlll'liguiellte, la lunci6n1 __ ~

II

decreeo on los intervalos -000.

827. 828.

y=2+x-x~.y=xs-3x~+3x+2.

82!t, V=2x 3 +3x\l-12x+5. Sol u c i 6 n. Hallamos In derivada y' =6%"+6%-12_6 (x"+x-2), 19ualnndo a cero la derlvada fI', oblenemos los puntos critiecs zl =--2 Y %2-1. Para determinar el carador del extl'i3IOO cnlculamos 18 segunda

90

E:ctremo$ de La; tunc/one; y apllcacionc; geomitrtca; de la derivada

derivadn y. =6 (2:1:+ 1). Como y. (-2) 0, 01 punto .1:'1 = -2 es ul). punto maximo de la {uncion v, sienclo Ymb-25. Ana.logamonte, tcnomos que y(1O; por 10 que .1:'2-1 es un punto mnimo de la unci6n jJ, sicndoVmfn= -2.

0. . dz :1:=0 a a x_O II Par consiguiente, Z"",O es 01 punto minimo del radio de curvatura (0 eL ma.ximo de la curvaturajde la catcnD.ria. EI vartice do la catenal'ia ,,"?a ch sed, pues, el punta A (0. a).

I

::~

y ponien-

I

-=- . a

Hallar la diferencial del areo. y e1 coseno y el seno del ungula que lorma, can la direcci6n positiva del eje OX, 1a tangente n cada una de las curvas siguientes: 993. x' yS = a 2 (circunfercncia).

+

994. ""Qi"'+bi"=1 (ehpsc).

Xi

'12

995. g' = 2px (panibola). 996. xii' yl/, = a'/~ (astroide).

+

997. y=ach: (catenaria).998. x=a(l-sent); g=a(t-cost) (cicloide). 999. x = a C053 l, Y =a sen' t (astroid~). Hallar la difcrencial del arco y 01 caseno, o-el seno. del ungulo que (prmtl eJ .radio polaor con la tangente a cada una de las curvas .siguientes: 1000. r = aq> (espiral de Arquimedes).

1001. r =.!!.... (espiral hiperb6lica) . 1002. r=asec 2 ~ (parabola). 1003. r=a cos~ ~ (cardioide).(e5piral logaritmica). t005. r t = at cos 2ep (lemniscata). CalcuJar la curvntura de 'las curvas siguientes en los puntoa , .que se indican:r=a~

jOOq.

ti0

EzJrtlTUJI de lar

fUMlo~I 1/

tlpliucumu

g~mltrjCIJI

de 10 derllJada

1006. y=zI-4r-18z' eo el origen de coordenadas. t007. Xl t-xy+y'=3 en el punt.o (t: I). z' v' 1008. -;r-+V=1 en los vutices A{a. 0) y B{O, b).1009. x=t'. y=t' en el punto (t: 1). 10tO. r!=2a!cos24p on los vert.ices cuyos angulos polares sonql=O Y ql=lC.

lOtI. lEn que punlo de In parabolB y!=8.x su curvatura eg igual a O.l28? tOt 2. Hallar el vertice de la curva y=e%. HaHar los radios do curvutura (cn cualquier punto) de las lineas siguientes: 1013. y=z3 (parabola cubical.1.0t4. (ii""+V=l (elipse).:a: ty~

1011). x=T----r-.1016. .:t=acos3 t; y=asen 3 t (astroide). IOt7. x=a(cost+lsent); y=a(sen t-tcost) (evolvente de laci rc.wlreroncia).

y~

In 1/

t018. r =ae"9 (espiral logaritmica). 1019. r=a(1.+cosO).a a

J ntegrl1cton inmedil1ta

VII.

~ l1"'d%=~+C~ ~

(a>O}j

~

e"'d%=e"'+C.

VIII.IX.X.Xl.

sen%dz=-cosz+C. coszdz=senz+C

t~, =tg.r+C. j cos z

~ se~~z =~S::.rc::%

-ctgz+C. I+C=IDlcOsecx-ctgxl+C.

XII.XIlJ. XIV.

=lnjtg~

~

=lnltg(;+~)I+c=lnJtgx+seczl+C.

XV. ~ cbzdJ:=sh%+C.

~ .shxdz=ch%+C.

XVI.

~ C~:%

=thx+C.

XVll. ~ S::.r __ cth%+C.Ejomplo 1.=Q:

~

(l1x 2+bx+c}dJ:_

~

aJ:3dz+

~

bz dz+

~

r;dz=

~ :I:~dx+b ~

xdx+c

~

dx_a

~

+b x; +cx+C.

Hallar las siguientes integrales, emploando para e1l0 las reglas principales 1), 2) y 3) y las formulas de integracion.

1031.1032.

) 5a xo dx.2

I (6x' + 8x + 3) dx. 1033. I x(x+a)(x+b)dx.1034. ~ (a + bXa)B dx.

I V2pxdz. 1036. I ax V; .1035.8-JOI6

'"1037.

lflu,rtd IfldflJinido

I (nzj.....

,-.d.

1038. ~ (a3 _.2:1)3 th.

, ,

I W+l)(.-]f'+l)dz. 1040. I Vi2 1041. I Vi1039.(z~+t) (.:l:~

2)

d.

(%m_z~)D

d

:t.

1042. 1043.104~.

I I

" 'V%)' i ("v.-v;;z d.z~+7

dz

dz z1_10 dz dz

I V4+z'l 1046. I VS+z'l 1047. V I 112+%21045. b)

-V~d

4-.2:"

.

1049. a)

t048, .) ~ tC'~ X d%;

b) ~ cth'x dx.

,

~ ctg2 ;z; dx;

~ th 2 xdx.

1050. ~ 3%e-t dx.

j

3"'. (ntegraci6n modianto ,_ introduecl6n bajo 01 51 gpo de Ill. d Ire r 8 n e i . I. La relJla 4) amplill. considerablemente I. labia de las integr.:alcs inmediatas. Pre2 dX. ,,+'~

~ eX~l dx.\ ,'Va,

Va.a-x4 .

,d.

~ i+z' dx .

.z

~ (e a+1.f'eQ dx.

~ ,V "-l

z'ldz

I\\

.

1101. 1102. 1103.

. 2'"+3 . e'o.1+a2>Oe-~%

0.

5 .afCtg

I\

(ecn::d X. 1_,;1:11"24+x l

\,

e 2brefdt

dx.

dx.

:c_ Varetg Zr

"

1+4.1:2d'

dx.

1104. 1105. 1106. 1107.

'" Vl-eU ~ sen (a + bx) ax.~ ~cos

V(1+'t:)ln(x+

V1+z2)

V2 dx.

~ ae~m.~ dx.

~ (cos ax+sen ax)'! dx.cosl'%

~ 4'-3:< dx.

:z.

~ (e' - e-I ) dt.

1~

~ (eu+e-a)'dx.(a"'_I.>;I;)2 aXbll:a 2 ""_1

,

.

1108.

~ sen (lgx)d: .

1109-, ~ sen'! xdz.

ax.

t tiO-, ~lilt.

cos'! X

dx.

V'" e'

dx.

~ ;eo- (ax

+b) dx.

I ntrV4d6n inlnldtata

lt7

1112. 1113. 1114. 1115. 1116. 1117. 1118. 1119. 1120. 1121. 1122. 1123. 1124. 1125. 1126. 1127.

1128 1129 .

{'

\

~

senB 11%

eO!ll% d

~3+cos3zVCOSI%

x. sen3% d

x.d:t

1130.

\'

~

sen %(05%sent %

ttat. 'V1+3cos'zsen2xdz. "1132. 1133.

~

tr ; sec,%

l

;

dx.

e cos: d%. Viii jr ctg''S Z d:t.~ sen' %

~xsen(1-x2)dx.

r(~

!!eDz

I V2_ I)' dz.

1134. 1135. 1136. 1137. 1138. 1139. 1140. 1141. 1142. 1143. 1144.

~tg%dx.

\' 1+sen3z dz ~ cosl3z \' {cosaz+seoU)I.dx j sen liZ\' j

I ctgzdz.~etga Z b th .

b aclg3z dx.

c 0, yolo VI, 5i a s de Ie lonnaM'jz+N 1 Mp:+Ni'< .z:+p.z+q T+(.z1+ pr q )A

+

(5)

donde

%'+ p.z +q = l.z-(II' + 1ft)) (.%-(a ~ ib)J

Y M I , Nt ... , Mh. Nh SOIl cocficientos indotenninados que Sf) r.aleulan por los procodimientos indicad03 mns nrl'ib6. Cuando k,"" 1. la fraeci6n (5) so integrn f1irectamente; cutmdo k 1, SO emplca el procedlm(cnlo de r,dltccUm, reeomonddndosc que pre\'iamenle se Ie do a.l trinomio do segundo grado

.%~+ p2:+2'

la forma ( % +

~

r+ ('/-

>

1J1j~

)

Y so haga III susLitliciun

%+

~

=J:.

Ejcmplo S. Hnllor

~ (ZL;~~5)r d:z=J.SoIuci6n. Como.%~

+4%+5_(x+2)1I+1.

n-I016

""

Inttlral i1'ldefinida

poniendo .+2"",z, tenemns:

1= j

r

:-1 \' ;dz (Z'i+1)2 dz_.\ (:2+1)3 2(:2+1)

J

\

(l+z2)_;2

(~:+1)2

dz=

1

r:2+1 + r [ -2(:2+1) =-2(:'+1) d ' j:d ') , j::

-arctg z- 2 (:2+1)

+"'2 arctg z =

t

.11+1 - 2 (;2+ t)1 T arct g(.:l:+2)+C.

1 x+3 -Tarctg z+C= - 2 (x2+4x+5)

2". M6todo de Ostrogradski. Si Q(x) tiono raicos multiples, se tieno,

dande Qt (x) vada Q' (x);

65

j Q (x) 01 (x) j Q2 (x) eJ maximo cornU divisor del polinomio Q(x) y de su deriQz (%)=Q (x) : Ql (x);

r

P(z) dx= X(z)

+\

Vex) dx,

(6)

X (.:1:) e Y (x) son poHnomios COD cooficiontes indoterminados, cuyos grados son monores en una unidad que los de Ql (;I:) y Qz (x), respectivamente. Los coeIicientes indeterminados de los polinomios X (x) 0 Y (z) se ealculan dorivando la "idcntidlld (6).

Ejomplo 4. Ballar

Soluci6n.

I"j(.1:3

dx1)11

= Ax1 +Bz+C .%3 1

+

I"j

Dx~~Ex+F

x~

1

dr.

I)

Llcl'ivando esta idelltidad, tontlNlmos: i = (2Ax+B) (x 3 _1)_3z Z (Ax 2 +Bx+C) Dx 2 +Ex+F (x3 t)Z (z3 t)Z :1:3 t bien, t = (2Ax+B) (x 3 -1)-3x Z (Axl+Bx+Cl+ (Dx 2 +Ex+ F) (x3-t).

+

Ignalolldo 103 COBficientes dll las correspondiontos potoncias do x, tondNlmoa D=O; E-A=O; F-2B=O; D+3C=O; B+2A=O; B+F= -t; do dande A=O;1 B=-T;C_O;

D=(J;

E=O;

F=-T

2

y, por cOIllliguicntc,

~

(x/x 1)2

-3

t

x2;3_1

2 I" -3 j

d:J; x 3 _1 .

(7)

Irltt,rad6n de fUtu:ltJM' rIJcltJnalu

181

Para Ciloicular la intcgfllol del segundo mlembro de I_ 19ualdll.d (7), de!-

componemos Ill. fracci6n

~:'1 en fraceiones elementalea:1 ,%3_1

L

= z-1

+ z5+:1'+1

Mz+N

'(8)

as docie,1 = L (z2+ z +1)+Mz (J:-l)+N (z-1).

Poniendo %=1, tendremos que 19ualtndo los coeficienles de las pote.Dcil.5 ignales de z en ambo! mlembra!! de It 19ualdad (8), balltmo.!!:L+M_O; L-N_t;

L_y.

cs decir,Por 10 tanto,\

j .%3_1

dz

-T J

\

dz %-1

-3 j

\

z+2 d .%3+%+1 z"",

=-lnlz-11--1n (%'+%+1)_ ..,r,;: aret g 3 6 v3y

1

1

1

2.%+1 3

' +C V+c.

I ...(z3

1)2

3 (z3

z+9 In ' I)

zl+x+l (z 1)1

+ 3 Vs arctg "\13"

2

2z+1

Hallar las integralcs;

j (z+aH.%+b) . ~ :l: 2 _5z+9 d t 28 1. j Z~ 5z+6 x.

1280. \

dz

1288. 1289. 1200. 1291. 1292. 1293. 1294.dx.

1282.

1283 (" 1284.

I~

(z

dz 1) (z+2) (.1:+ 3)

2:z;:I+41.1:-91 . j (2:-1)(.%+3)(% 4)d.z.z3

5z~t~ 4zdz

dx.

1285.

I -;r",,' 1286. I\ , dx.12:1:'+ 6 +z (z+1).%:1_1{lZ

:I

%

12 87 .

J

x"_6.%3 zS 6.%2+12.1:

8

1295.

Illttllral lndejinida

1296.

~ :r4+~+ 1\ d.'

1299. [300.

1297. j (l+J: t )!

'98. f 1~gradski:

(:r;2+2::-+2): dr.

3z+r.

H:tllar las integrtllcs siguiellles, utilizando cl metodo de Ostro.

tOOt. j""(%:-+"")i,"(."+""1)"' .1302. j\ d%(:r;-l

\

d.

J303. j (J:'+1)4-

\

d%

1)~'

1304. j (J:'

~

rI-2:r;:+2

2;;1;+ 2)3 dx.

Hollar las integrales siglliClnt.cs, cmpleando di\,c[sOS procedimicntos:

1305. 1300. 1307.

1310*.t3[ 1.

~ X(%~~t)

,

[3[ 2.

1308.

1313. 1314.

[309. 6.

1,leorael" de alguo" I",i"" Irration.le,1, Integralcs dcl tipo

~

R [ r, (

;:t: )

!LqJ , (

::t~ q~

)

Pz.',.

Jd#:.

(I)

dC?nde H cs una tunc:.i6n racional Y Pt, ql,fJ:, qa. ... son nuworol!l entcros. Las intcgrales del tillO (1) se bellan vatiendO!1l de 18 su:stituci6n

It,J:+b

cx+d -

-z"

.

dondo

n os 01 miuimo

cornun multiplo do

lo~ n\llnoros 'il' Q2' .

Ejcmplo 1. Hallar

t

d%

j V2z-I-}/2.:r:-t

133SoJuci6n. La::;u~litucjon 2x-1"",z~

reducIJ /a intogra! II ts lonnA

I

dz _12;:IdZ_zlz2dz= 1!2.z-1-lr-1 ;1 ;;S Z ~-S seD" (%+_) j2

++-;-1%

Ejemplo 3.

~ c~~.:-~ ~ec2':d(tgz)_~ (t+LgllZ)d(tg.:l:)=tg%+~Ejcmplo 4. t8- 3%

tg3z+C.

=~8

=_ '\[ tg-3 - + - -:l: t g %] % 2+ 2 ~ 2t

f[

(.t +tgt

TI;ee'-r dz =

2"

%)' seclg1f

3":" 2

~ dz=2

d

( tg- = %) 2

__ -4

t

= -

1

2.tgs

-=2

% Lg2 +2.lnl'.-I+-.,2 ~

, %)

+C.

Jflt~grllci6n

d# fUrlclorlu trigoJl.ometricas

137

'l Lns intcgrales de la forlO, ~ tg"'.z d% (0 ~ ctgm.z d.z ) donde m es uo numcro cnteto y positiv(). SQ ealeuilln "'aliendose de la formulatgt~-=seet%_t

(0 do! b. corrcspondlcnte ctgt.z_ cosect.z-t).

Ejemplo S.

~ \g"%d.z=~ tg:z(.seC:%_t)dz_1K;.z_~= r -3- r J 19'z J

lrzd.r=

(5ec:r-1)dz= "';{

1..3 %

-tg%+.z+C.

5) En 01 caso general, las in\Qgra)cs l ..... n de la forma (f) s~ calculo.n por medio de f{jrmula~ de uducci6rs (/6rmula~ de rtcurrencja). que sc deducen, ordinariamcnw, empleando la integracion por partes. Ejemp!o G.

r cosaz= r 1J(~n3r+cos2+d7= r SOIlX, COS:IZX , J co;z= d% SCII% d..\..\ I1r j J cos:lx J=SCII%'~

.:. cOS.. .z

"I"''" cos'.z__

2

-d%+

-ld% _ cos%

=--.-+~)DI

sen.z 2 cos.. .z

1

...

tg%+!Ccrl+C.

Hallar las integl'aJes:

1338. ~

S COS xdx.

13.17. 1&i8.

I 1;On>l% .d% d%%

1339. ~ sen 5 xdx. 1340. ~ sen'xcos3 xdx. 1341. 1342. 1343.13~4.

~ ~

sens

~

cosli : dx. dx.

~ cos~z

I - - dz 1350. I1349.COS:%

\ co!:!' \ \\

sen'.z

.

dz

sen:: z coil' x .d%

sella x

1351. 1352.

soo&.z cos3.zd%%

.%

sen 4 xdx.

~ sen' x cost x dx.1353.

sen 2 cos3 "2

1345. ~ seo' x cosa x dx. 1346. ~ cos' 3.2: dr.

SOD(.z+~)son z cos %SOUb a:;

d.

1354.

d%

"81355. ~ sec5 4xdx. 1356. ~ tg' 5x dx. 1357. ~ ctg 3 xdx. 1358. ~ctg 4 x dx.

lrdegral inde!inid4

1360. ~ x sen 2 X 2 dx. 1361.

r COS',1; dx. 4J senor

1362. ~ sen& x V C05X dx. 1363. I4 :)

J

d< Vsenzcos3 x ' d s _cht._chtdl\( -2 2-2 2=3ya.

~ ShtCh2tdt-: ~3

3V3eh t 3 ' ~-8- -3--"8(T sh tehComo

't t+2" ) +C.

sht=y

:3(%+ ~),

cbt""~VZ2+X+1

t=ln

(z+ ~ + V x2 + x+ 1 ) +ln

V3 '

definitivamente, tendremos:1. 1=3"(%2+%+1)2_"4 %+2

'!"t(

') 1/z:2+%+1-13UI[l(z+~+VZf,+Z+1)+C.1409. ~

RaHar las integrales:1403.

\ Vsx'

2x

:z:2 dx.

Vx2

2

-6x-7dx.

1404. \ V2+x'dx.

1410. ~ (x +x+lf2" dx. 14111412. 1413.

,

1405. \

Vo+x'

dx.

1406. ~Vx1-2x+:ldx. 1407. ~

J~

\ Ix

dx 1) Vz 2 dx

3;1:+2

.

,.x2'

(x 2 _2x+5}2

V x2 _4 dx.

(1+X2)tL1:Vi

1408. ~ }fxz+xdx.

1414. \

dx (1_%2) Vl+:z;ll .

Intlgraci6n de rltst'nta$

juncj(Jnt!3

".

10. lolelracl;n de dlterSls funelOles f"mendellesHalIat las integrales:

1415. ~14i6. ~

(%1 %'

+ 1)'1 e2

JO. 1575* Domostrar, que la integral de Euler, do 2a especio, (funci6n gamma)~

r

(p) """ }

xP-Ie-X

dx

es cOllvergente cuando p > O. 4. Gambio de variable en la Inlegral delinldaSi 18 uncian J(z) es continua en el scgmento aa)

indicar una sustitUCiOll lineal enleraz==(Lt+~.

Camblo de v.zrinble ell 10 illtegral delillfd/J.

157

Que de pOt resullado quo los limiles de integracion sa hagan respecli\'amente iguales a 0 y 1. Utilitando las sustituciones que sa indican, calcular las: siguientes inlcgrales:1582.

~

o t+d~,r%

r

z= Lt.I{

29

1583.

(%"-2)

3

dx

X_2=Z3.

) (Z-2)'/1+3

j,2

1584.

~ Ve""-1dx,

e Z _1=z'.

" 1585. i J1586.

"dl

o

3+2cost'

" T

~ l+IJ~ntzj

'

tgx=l.

Valiendose de suslitueiones adeeuadas, calcular las integrales

1587.

Vi ,. ,

\

VI-0).

1602. ~

,

T flOrel7la

dd

u4lor trIfidio

159

1606.... Demoskar, que para la funcion gamma (veaso el N 1575) as valida III formula de reduceion:f(p+l)=pf(p) (p>O).

Oeducir de esto, que r (n+ 1) = n!, si n es Dumero IlnLurul. 1607. DernosLrar, que para 10 integral

111.=

~ sen"xdx= ~ cos"xd;;c

.:i

"2

es valida Ia formula de re.ducciOlt

I "~-n-Ill-:'Hallac 1'1'1' ::;i n es un mlmero natural. Utilizando In formula obtcnida, calcular I p Y 1. 0 , 1608. Calcular la illtcgral siguiento (vease 01 N 1574), empleando roiteradamente Iu integraciou p0). 1647-. RaHar e1 area de la figura comprendida entre el ,estrofoi.do y~=z~Z_a)1 y su nsintoLa (4)0).

y=:,.

t 648. Calcular el area de las doo partes en que la parabola

y1=2:t divido al circulo %~+y1=8. 1649. Caleular 01 araa de la 8uperrieie eomprondida entre 13 eireunrereneia :t"+y"=16 y 10. po.rabola xt =12(y-1). t650. HaUar el ;'irea conlenida ell el iutorior de la astroide x=acos't; y=bsen 3 t.t651. RaHar 01 urea de Ia superficie eomprendida entre e1 eje OX y un areo de (a cicloide

%=4(t-Sel1t), y=a(i-eost).

Artcu de ltU jlllU'41 pt41t1J1

t6i

1652. Hallar el area de la figura limitada por una rama cle 1 (U-D) dz+3 (",'.I_u'.I) dV 2 {II u) =

":J

-

..... 11

d

%+2""

3 (

+U

)d

fl

ih - = - 3 UD. a.

8: 3 av--y(u+u).

2 proeedimionto. De II. tcrecra ceuaci6n dada sc pucdo haHnr:

ax

8: =3u'!~fJ%

+ 3'" 2~' 8%'

iJlI

8: =3u!~+3v2!!:.811

flll

y dC8JIUf.,. con respecto a y:

Derlvs.mos las dOlI primcrM e.cuaciOMS. primoramentc, con rcspecto

.

(5)

"

(

i=fJU+~

az

ax'Du

I

O=2u iJz +2v iJ% '

au.

222

Furn:io/Us de varia!; variables

De! primer sistollla tenemos:Ox

iJuviJvu V-ll a;-=~'

l'onicildo las

tJ~prcslOn()s iJx

.

iJz

y -

f):

ay

en Ia fOl"lllllla (5), obtenemos:u-v

iJz '>.,aU,

dy

iJ: =H 2

1 3.2 . 1 .~ ( u 2{u-v}+ v 2(I'-u)-2 u

+ v. )

1941. Sell y una fUllcion de x, dcl,crrnimlda por Ia ecuacion

or+""b2=1.HaHard 3y

x2

y2

Y dx3'

1942. Sea Y ulla funcion determiuuda porIa ecuacioll

x 2 +y'+2axy=Od'

(a>1).

Demostrar, Clue d;r;~=O y explicar el rcsuHado obtellido. 1943. Hal1ar :~, si y=l +y'''.

1944. HaJlar 1945. Hallar

!!i. liz

y .

d~y.l/x~' ~l

y=x,

-.L

I

ny.

dY) (-dx x_Ix2 _

(d'Y) x=[ ,S.. - 2 dx 2xy+ y2+ X + y-2= O.Y

Uti lizando 10$ resultados obtenidos, representar aproximadamente Ja graIica de esta CUfva en el entarno del punta x = 1. 1946. La funci6n y estii determinada por Ia ecuacion

HaUar

:~

y

~:;.d 2y

1947. dx Y dx 2 ' si

dV

1 + Xy-Ill (e XlJ

+ e-X!I) =

O.

Deriuacion de funciones impllcitas

223

1948. La funcion z de

l~s

variables x

0

y se da poria ecuaei6nO.

x3Hallar ai'"" Yaz

+ 211 + =3 -3X1lZ -2y +3 =3

iiY "'si

8z

0, a, 1949. Hallar 7h y au

xeosy +y cos z+zcosx= 1. 1950. La funciou z vicne dada por In eeuaeion X2 +y2_ Z'l._xy=0.Hallar aaz y ih para;:: ,Jy8z

e]az iJy

sistema de valorcsx= -1, yo-O y z=l.,a2z d;::2 ' (j2Z axay

1951. Hallar 7iX'

1952. f(x, Y. z)=O. Demostrar, que avo 1953. z=cp(x, y), dande y es funcion de x, determinada por Ia ecuacion '$ (x, y)=O. Hallar ~: . 1954. Hallar dz y d"z, si x"+y2+ z2=a".1955. Sea z una funciull de las variables x 0 y determinada por Ia ecuacion2x 2

fJ2z .;::2 y2 dy"! ' 5l iJr ay az az 'a;=-1-

aF+1ji"+C2"= 1.

Z2

+ 2y 2 +z2-8xz_z+8 =

O.

HaJlar dz y d 2 z para el sistema de valoros x=2, y=O y z=1. 1956. HaHnc dz y d 2 z, si In z=x+y+z=1. ~A que son iguales las derivadas primera y segunda de Ia funcioll z? 1957. Sea la (IIncion z dada por 1a ecuacion

x 2 + y2 z"!= I (r, 1/)

>

I~(%, v)-O,

I~(;;r;, V)=O

(1)

l' (G. It) do la funcion /(;;r;, v). 0 110 exisle d/(o., b) 0 bion dl (12, b) - O.

(condtciOlU& nccnnrjas para la existcnein de extreme). 1 silliema (t) OS equi~ nlente a IIna ecuacion d/(r, v)~o. J::n 01 casO general, ell ('1 punto utremo

3". Condiciones sufieientes para la lIxillt6neia de 8 ]" t rom o. Sea P (a, b) Ull punlo elltaeiOllario de la funci6n Ilr, V), cs deeir. d/(G, b)_O. En este CMO: a) si tft/(a, b)0. En e) pUlilo p~ In fUllcian Ucne un mini mo. Estll minimo es 19ual 01 valor do la funeion cunndo z=2, y=-t: zmln-8+6-3O-(2"", -28..1-36-1440, A < 0. En el punto P, Ia func:i6u tiene un maximo. Este maximo es igualll ;In!x- -8-6+30+12_28. 5, Extremo eopdieiolladn. Se llam:l e%tre~ eoMr'clf)rlQdo do una funci6n f (z, z). en cl ca~o mh siUlple. ,I mQximo 0 minilno de l.'sta (unci on, alcsllllldo C., de las qlJC, cn geDl:!ral, se puedon dC0. y>O). Z=z4+y4_2x!+4xy_2y!.

2013. z=xYl 1--;r-"j;i"' 2Ot4. z=1_(x z +yll)'!;t.2Ot5. Z = (x! + y!)e-(.l'2+!ft).

.

I'

Zl

fI':

2016. z = 2016.1.

1/1+z2+1148Z

" +'::-fI

,~-+-+y z ,e~-l/

(%>0, y>O).

2016.2. z =

(x 2 -2y~).

Hallar los extremos de las {uncioues de tres variables:'

2017. U=X!+y2+Z2_ xy + x _2z.

2018. U=x +-~+-=":'+~(x>O, y>O, z>O). 'lZ fI Z

PrtJbl~mal

de determintU:i6,. d, 10' m4.1:. II min. ab.Ull. de la' jUllctonu 241

HaHar los ext.remos de las funciones z, dad as cle formA implicila:

2019. x'.l+y'l+z'l-2x+4y_6z_11.=O. 2020... - y'-3.< +4y +:' + =-8~ O.Determinar los extremOS eondicionados de las fundones: 2021. z=xy, si :r:+y= 1. 2022. z=x+2y, si r+!/=5.

2023. z=:r:t+y'l, si ~

++=2: 1

1.

2024. z=cos'.l:r:+cos":y, si y-x= ~ .

2025. u=x-2y+2z, si :r:'+y'.l+z'lo=9.2026. u=:r:'l+y'l+z2,.si ii2+F+""C2=1.(a>b>c>O).

vt

:1\

2027. u=xy'.lz:S, si :r:+y+z=12(x>O, y>O, z>O). 2028. u.=xyZ con, las condiciones: z+y+z=5, xy+u z + z:r:=8. 2029. Damostrar la dcsigualdad

z+~+: >lfXiii,si %:;;.0, y;;"O. ;,0.Indleaci6n. Bu.!car 01 m.lirimo de la funcion U_2:I/= con la eondiei6n do que %+v+: ... 5.

2030. Dolerminar el mAximo absoluto de la funci6n z= 1 +%+2y en las regiones: a) :r:>0, y:>O, x+y 0, 9

0) se determina- pOF 185 ecuaciones%=2t, y=lnt, z=t'l.Hallat In velocidad modia del movimiento ontre los instantes

1=1 y t=10.

18. F"alon veafurl.t d. un a'l,m.nlo escalar

1".,Derivada de una funcl6n voctorial do un argum 0 n t 0 Q Ii Ca I a r. La jUlIt:f6n /1,cIQrld (~_"' (I) puena det~rmlnllrso dando las trill 'funcloucs escalates "::cdo construido sabre los tres vectores:

a='i+tj+t'k; I,~ 2ti-j + t 3k.; 3 ( ; = _'i+t j+1o:.2083. La ceuaci6n do un movimiento es

"= 3i cos t + 4j SOD t,donde t as el Liempo. Determinar la trayectoria de este movimiento, In veloddad y aceleracion del mismo. Conslruir la trayectotia del movimiento y los vectores de In velocidad y de Ill, accleracion para los instantes t = 0, t = ~ Y t = ~ . 2084. La ecuacion de un movimiento es 'r=2i cos t-2jsen t +3kt.Detoflllillaf 10. trayoctoria, velocidad y aceleraciOn de 'este" movirnionto. lA que son iguales la magnitud do la velocidad y de la aceJeraci6n y cu6Jos son sus direcciones e,n los instantes t = 0

Y t= ~? 2085, LIt eeuaci6ll do U11 movimicnLo es .,. = 'i cos acos rot + j sen a cos rot

+ k sen 6)t,

dondc a y CJ) son constanlcs y t es e1 tiempo. Determillar 1ft trayec..:. toria, la magJlitud y Ill, direceion de la velocidad y la aceleracion del rnovimiento. 2086. La ecuacion del movimiento do un proyectil (prescindiendo de la resistoncin del aire) os

'r=vol-T k ,doude Vo {vox, v ou ' vo:.} as la velocidad illicill,l. HallaI' la velocidau y la aceleracion en c1I31quier instante. 2087. Demostrar, quo si un punto sa mueve por la parabola y='==", z=O de tal forma, que la proyecci6n do Ill, velocidad sobre al aje OX se mantieno consante (:: =const,), la aceleracion tnmbi6n sa mantendra constanta. 2088. Vn punto situado en Ja rosca de un torJlillo. que ge anrosea en una viga, describe una helice circular x=acostl, y=asen8, z=htl,

gt'

Trltdro In!rfnuco dt una cu.rua en. el upaclo

253

donde es el angula de giro del tornillo, a, el radio del tornillo y h la elovncion corrcspondionte al giro de un radiantc. DetcrmiJlaf la velocidad del movimiento del punto. 2089. Hallar la velocidad do un punto de la circuntcrcncia de una rueda. de radio a, quo gira con una velocidad nngalllf con.-"tanto 00, do tal forma, que su centro, al ocurrir e~to. se c!esplaza en linea roct.a con una velocidad constante Va.

e,

19. Triedro intri"eco de una em. eo el "patio

En todo punta AI (:I:, y, ;). quo no sea singular, de una cnrV3 on eI I'spacio r_r (l), :Ie pul"de conslrulr un triedro itltr;tIltCO [ormada por trcs pianos perpendiculares ealre sl (fig. 84): 1) el plano osculaMr, MM,M a en oJ que esUin !lltuados los veclores

dirtcCl/lcan!t. MM t M 3

dr

d21"Y"ilj'I"";

2) 1'1 plano normaL, MMZM J , porpendicular al voctor

~;

'1

3) 1'1 plano

perpendicular a

105

dos pIanos primoros.

M,BI"e#;tlficante

Plan'

M,

o

r

r4 atM,Fig. 84

o~uladur

Plano

Las ilJtC!rseeciones de eslos tres pianos lorman lrc.'I rectal!:1) III tangtnlt MM,; 2) la normal principaL MM'1. Y 3) la

qne .'Ie determinau respectivamento cont) T=flt (L'utor de La tangente);

105

voctoros:

bill~r,""l MM~.

ar

2) B""'di"X""'dtf" (vtttor

dr

d 2r

d~

La bltw'mal) y

.:I) N_BXT (vutor de 1a normal prllltLpall.

254

FlJ,llcione: de vor/fl$ varlczblu

Los cofn'spondientes

vccto~s

unit.arios

T-=m;se puedcn('~1lcuJar

T

fl=lnl:

n

por las Iurmulas

T=ffi ;

dr

Si X. Y, Z, son las ('oordenada~ vnriablos Ilul punto do la tang:+,=O en eI punto (I; \; I).

260

Funclonu de lJarla,voriablcs

2108. Calcular los curvaturas de flexi6n y d& -torsion de' las siguientes curvas en cualquier P1;l~to: 8) x=e'cost, y=etsent, z~et; b) x=acht, y=asht, z=at (MUce kiperbOlica). 2109. Hallat 108 radios de curvatura de Jlexi6n y de torsion de las siguientes lineas en 'lin punto"arbitrario (x. y, z): a) z~=2ay, x 3 =6a1 z; b) :r;3 = 3 p2 y , 2xz = p2. 2ttO. Demostrar, que Las compon-entes tangencial y normal del vector de aceleracion w sa expresan por las formulas'UJ"'=dt~'

du

wV=]f v,

v2

donde v as la velocidad, R et radio de curvatura de flexion de Ia trayecloria, 1:' y v los vectores .unitarios de In tangente y de la normal principal a la curva. 21 t t. POt la heliea circular- r .ia bos t + j a sen -t of blk S8 -wueve unHormeroente un punto con vel'ocidad v. Calcular su aceler3Gi60 w. 2ttZ. Lo. ecuaci6n de un movimiento e5

,.=ti+t'/+t'k. ,Determinar en 103 instantes t=O ."'1 t~,1: 1) la curvatura de flexion de la trayectoria y ?) las componontes tan.Kencial y normal ' .' del'vecl.or de acaleraci6n del movimicnto.

,Cap'itu.lo V 11

INTEGRALES MUlTIPLES Y

CURYI~NEAS

. 1,

;

l'hgra1 dobl, .. c,ordlOldas ",t"gol"es

1. Caleulo inmodiato de integrales doble!. So llama int'Il'al doht, de una [uncion continua I (z, II) sabre un l't'cinto cerrad.o y acot.l.do S del plano XOY, .Ill Umlte do III 311ma integral doble corre!lpc>ndiente

res de t y h, para los qua los puulos

donde 4:1:,-zl+1-%I, t.,YA""'VHI-lIl1 y Ia. suma S6 e:a:tlonde a aqullilos YaW ~l; 1111) perteneCl'D al reelnto S.

y

y

cA

lizy

B

D

Is=:A

!I,

o

c

a:,Fig.

I

aPig. 86

as

2 Coloe.cion de leu ll:miH! de integrati6n ell la int'eg r a I d.o b 1 e. Se di8tlnguen dOli formas principate! de roeinto!l de inl~grllci6n: deree-ha pot 185 rectas x-Xl Y :Z:=;l:~ (.rz>:l:t), mientrasqua poT ahaio y por Ilrriba 10 0816 por las cur"a! continuas Y=lJll (z)(AB) e 1I='P2(%) (CD) flh(zIJlI(z)j, cada unn de las cusles 5e corta eon Is vertiCal z=X (z, X z1l en un solo punto (v.case b fi~. 85). En 01 rulnto 5, la varia Me % varia desdc %1 basta %2 y Ia variable y, cuando % p&rmanece tonstante, varia entre Yt =fI!J (% 6 v,r='P2 (z). El cslculo do 1. Integral (1)t)

EI recinto de integration S (fig. 85), estl'i limitado a h.quierda

"j

< O

Averiguar, si son solucione., dividicndo los d05 wiomhl'06 de la ccuaci6n \1') por l! inlegrando. se obli'Re Ill. integral general dl' ht cc,uac 611 (I') ('n a [ormn

r XI (x) ~ X(z)dx+r ~Si paraY=Uot3mbl~n

YI(Y)dy=C. Y(II)

(2')

un ,'alor detC'rmillado dl) Y=lfo. tcnemos (11IC g(y~)_O, III hmciun os soluci6n du la l.'(.'.u3cion (I). CUlIlO os faeil cOllveucerso

directamcnte. AnAlORamclltc. Ja:! rec\:.L! z=4 C JI=b so-mil cuevas il1t~raJ('s de 18 ecuaci6n (t'). 5i a y b SOli de tKlr !Ii rafcc~ de los f'(:lI.cionl~ X I (i-)=O c Y (u)=O. por CUY(l~ prlmcro. mi('lllbros sc divitli6 lit ocuaci6n inicial. E j e m p I 0 1. flc~olvcr In ccuacioll

y,=_JL.z

(3)sat~flCO

En particular, balJar 18 l!OIIlei6n queV(I)=2.

a Is condicion inicial:

350

Et/l4doMS dtjtrtndrzk,

Sol u e 16 n. La lleuaclcln (3) so puede cstribir de 11. forma

J;=--;'De donde, slJlJarendo las variables, tendremos: dy dz -=-V

dV

V

y. por consigulente, In 1111- -In 1s-!+lnCI donde I. consbnte arbitraria In C t esti tomada e.o. forma logarltmlca. De3PD~ de potenclar, ae obtieue la solution generalC 11=-,

donde C= Ct. Ai dividir por II podrlamos perder III soluci6n 1/_0, pera esta ultima est.i contMida en la 16rmula (4) para C_O. Utili18.ndo la condieion initial dada, obtenemOll que C-2. y, por consiguiente. la soluel6n partieul_r buscadn (>s 211=- .

(4)

Alg"nas oeuaeiooas difereneiale's que pueden reducirsll a ocuacionos eon las variables separables. Los eeu/l.ciones difercnc!ales de Ia formay'=/(az+by+t) (b-=l=O)

2~.

so reducfn A ecu,eione!! de 1a forma (t) por medio de la suslituei60 ."."u+by+c, donde /l es la nueva funeion que 90 bU3Ctl. 3". Tra)'eetorias ortogonales son curvas que eortan laslineas de 18 familia dada CI>(Z, II. 4)=0 (4 es \iR parametro) formando angulo recto. Si F(z. /I, J/")=O es la ocuael60 diferencial do Ia familia,F ( %. II, ;, ) .. 0

es la ccuaci6n dUerondal de las trayectorias ortogonales. B j 8 m pI 02 Hallar las &re,yectorlas ortogonales de Ia familia de 1l1ipoosz~+2V'_1Il!.

(5)

S til u c i u n. Derivando "mbas partes de 18 ctuaeion (5), baHamos 11' ecuaci6n diIerenciaJ de ill. familia z+2yy'=O.Dc dondo, sustituyendo y' por -

~

, obtenemoS Ja eeuaei6n difereneial do Ins

trayt>etorias ortogona]cs%-'7.1"=

2VOb' 20 len II ,=y .V

tntcgrando, tondremos quo II _Cz 1 (familia de partbolas) (fig, 106).

Ecu.acionu diJerencllJlu de

l~r

orden con variables 8tparables

35J

4. Form8,ei6n de las ecuaciones diferenciales, Al formar Ia ccuaci6n diferencial en los problemas geomlitricos, se puede ~emplcar con frecuencia el sontido geomtHrlco de la derivada, como tangente.'del lingulo que forma la recta tangonte a 10. curvo. con la dircccion positiva del eje OX; esto permito, en muchos casos, doterminar inmediatamente 10. relaci6n entre la ordcnada y de 10. curva que so busca, y su abscisa x e y', es decir, obtoner la ecuo.ci6n diferencial. En otros casos (veanso los problomas N08 2783, 2890, 2895), 50 utiliza II sentido geometrico do la integral definida, como Area do un trapecio mixtiHnoo 0 longitud de un arc(). En este

y

x

Fig. 106 easo, direetamonto de las condiciones dol problema, ae obtiene una ecuacion integral simplo (plloato que la funoi6n que se busen se eneuentra bal"o el signo integral), pero quo derivando sus dos millmbros, se pucdo c,on',fllel idad transformar cn eeuad6n diferenciaJ. E j e m p 1 0 3. Hallar una curva que pase por 01 punto (3; 2). para In que 10. Ionl';itud del segmento de cnalqulCra de sus tangentes, comprendido entre los cJes de coordenadas, est6 dividido en el punto de contacto en dos partes iguales. Sol u c ion. Sea M (x, y) el punto medio do In tangent' AB, que segun las condiciones es, a Ia vez, el punto de contucto (los puntos A y B son los puntos do intorscccion de 10. tangento con los ejes OY y OX). De acuordo con las condiciones. OA=2y y OB=2x. El coeficicnto angular de la~tangcnte a la curvn en cl punto M (:1:, y) os igual n , dy OA y dx =-08=-7Esta os Ia eouadon diferencial de 10. curVi! que so buscaba. Hacienda una transformacion, tenemos:

y, par consiguiente,

Inx+lny=lnC,

0

sea, :l:Y=C.

ECU(lcioncs di/eMnciaks

UUllzamlo Is cnndici6n initial. dotcrmin:Lm03 que C_32IC1G. Es deeir. b. curvll. flue sc bU!caha ruI Ia hipcrllula z.v=6.

Resolver las ecuaciones dHerellcinles:2742. 19x8CIl3ydx+cos~xct.gydy=O. 2743. ry' - y = '.t.27ft!,. xyy' = i-x'.

2745. y- xV' =- a (J +:z:1y'). 271j6. 3t-'l; t.gydx+(1-e"')Bec'ydy=0. 27/j7. y'tgx=y. HaUnt las soIuc.jones particulares de las siguicntes ecuaciollcs, que sa~i~fac('1l n Ills cOlldiciolles iniciales que se indican: 2748. (1+e X ).y.y'=r.'; y=1 pllra x=O. 271i!l. (xyll+x)dx+(xll y-yjdy=O;,y=1 para x=O. 2750. y'SOTlX=ylllY; y .... 1 par~ x=~.Hcsolycr las flignicntcs ecuaciones difcrcncia.les vnli6ndose del calfiuio de ~Miablcs:

2751. y'=(x+y):l. 2752. y' ~ (8x +2y + 1)',n~.~+b-l)h+~+~-~~-~

2754.

(2x-y)d.+(4x-2y+3)dy~O.

En

l~ t\0s

2755 }' 27!iG pAMt a las coordenadas polares:

?7~5 '_ _iJY- V~-r g2756. (X 2+y1)dx-:ry(/y=0. 27f17. HII.lIar una curVll que tenga un segmcnw de tangenle Clt,ll IOllgitud sea igunl a Itt distancia desde t.'1 pnnto de contncto hash\ 1:'1 origcfl de coordtmadas. 2758. Hallur una clIr"a para 10 que el segmonlo de la normal, en clltdCluicr ()Unto de 1bndici6n inicial y (0) = 2.

360

EClI.flcio/lu dlfert!lIiguiente. Y """ e~X (A.t+B). ya que 1i_1 y r_O. Derlvando Y dos v.. cc~ y punicndu las dorhada.~ ell la

Bcuu:ionll dt/trelU:tnles ltlltilln de 2" ordtn con CQt'/icienler COnl/aMt. :ii'i'

ecuaciOn dalla, obknemos: 2t3X' (4A;r+4B+4A)- tU' (2A:Z:+ 2B+A)_tU' (A:z:+D)=.utt.Y. Simplifica.ndo por t~X 0 igualando antra 51 los coofieil'nll's quo corresponden a las prinicn.!! put.eneia:s do :r y los t~rminos indupendilmtes Je ambos micmhm!! de 10 il!'unldad, tenmenlc, k = rng , y por cOllsiguil'ntc. ciolt stlm'ral c, :z:"'" Cj C05/.lOS

V

a '" ~ t +C: son

dd"~ = _1- x. La 501uta

l/"

r-

~ t. Las condiciolles jnicia.lc.'l

dan

J."=(1.

)'

~:

=0 para t=O; tl... doude ('I=a Y

e2 -0,

y, por cons i-

guicnlc,

z=a eos

- '. V:

3040. Ln fuena que alarga a un resorte es propordonal al aumento de longiLud del mismo e igual a 1 kg!, para un aumenLo de loogitud de 1 cm. Del rosorte csta sllspendida una cargo. cuyo peso es de 2 kgf. HaUar el periodo del movimiento osei.latorio que fccibira estn carga, si se lira do ella un poco hocia abaio 'l d~+ pues se ::Iuelta. 30r,1". Una carga, euyo poso os P,.,.4 kgf, oSI.6 suspentlidll do Ull rosortc al que ahrga on 1 em. Hallar In ley del movimienLo de csta carga, si et extrema superior del mueLle efectua las osc.ilndones armonicas verticalcs y= 2son30t cm y en 01 momenta inicial la eug!!: cstaba on rcpoS Lener el resultado de las oporaciones que eOll elIos se efeetuan.

396

I:1

ApliC aproximado'

, ,

I (x" ,)) ( n-t. 2 , .... )xn_1

(3)

Cuando so CUlnlllon csbs suposicion(!s, 1.1 monotonn. y

.~ucesiol\

x n (11-=1,2, ... ) es

!'ara Dcolar los

Clrl'or(),~

80 plwde utilizllr 18 formula

Ix -'10;;: I i(x'"l In ~""'"

II

donde ft= min I f' (x)a"".",~b

I

En In pructica rosulta mas comodo 01 empleo de fOrmulas mcnrnl complicadas x"~", x"~x"_,-"/(x"_,) ("~1, 2, ... ), (3')1 a=r (a) , quo dan, aproximad:lIncnLe, 18 misma oxactitud que la 'iormuill. (3). 5i j(b) r (bO, en las f6rmulas (::1) y (3') deborn suponcl'$C zo=b. 1,". M Ii t 0 q 0 de ito rae i 6 n. SUjlongamos que In cellaeion dada so

-.Ionde

ha rcducido a 13. forma

dande I q:' (xlJ ~ r 1 (r os UM cODst diferencias [initas 6,3 q son eonstantes. En correspondenein con esto, ia magnitud h del interval0 inicial dol cilculo se detormina de la desiguaidad h4. < to- m (si so desca obtcner 01 valor de y (x) con exactitud hasta 10- m). Ell este sentido. la f6rmula de Adams (7) as equivalontc a las fOrmulns do Milnll (5) y de Runge y Kutta (3). La acotaei6n de los erroros, para 01 m~todo de Adams, es compilcade. y pr,cticamente inutil, ya que, en general, ploporciona resultados exagorados. Ell 10. practiea so sigue la marcha de las tercaras dlferenclales finitas, eligiendo oj intenalo h tan pequei'io, que las diferencias colilldantes 6,391 y 6:'lqi-t1 50 diforencien entre si, como m6ximo, en una 0 do! unidados del orden dado (sin con\Qr las elfras do rosof\'4). Para elevar la exactitud del rosultndo, 1a 16rmula de Adams puode completarse con terminos que conlengan las diferencia! cuarta.'l y mo.yoms

y,.

z,

27_1016

o '0::

~

f

..;:0

,E~0

1-=--1--

~

g ~

g

I

1--1-~

.~~

~

,o

,'~

EIN~

~

~

gN

~

,. .N~

0

0

~

if n

%~ ~

~

~~

~

~"

-:

~

:l

.~

~

.. '" ,.

~.;~

o

Integraci6n nu.merica de tcuaciont:r difeuncialcs ordinaria,

4i9

de In magnitud q. Al bacer esto, creco 01 numoro de los prhneros valorcs do la (ullci611 Y (lUll so necc.~it:ll\ para eomentar a llcnnr la tabla. Las formulas de Adams: para obtenor exactitude::! olovadas no las vamos a expoIlor aqu\' E j e m pi 0 2. Calcular. por el metodo rombinado de Ruugo y Kutta y Adams, para %-1,5 y con una exactltud hasta 0,01, el valor de la ~Olll d6n do In ecul\ci"n diforllncial y' = v-X, con 1a condicion inletal de que y (0)=i,5 (vease 01 ej. f). Solucion. Empleamoll los "aloras do 'I" v~. Ys, que ohtllvlffiOO oj resolver 01 problema L Su efl1culo so da on la tablii 1. Los valores siKuicntes Je y~, !I~, V6, los calculamos por oj metodo de Adams (veallso las tablas 3 y q).Tabla 3. Tabla principal para el ciilculo de V., Y5('-yl'>

por 01 metoda de Adams l(x, y)=-x+y; h=0,25 (Los datos inicialcs se dan en cllfsiva)

" ,.~

x,

U,

!iYi

Jli== f (Xi, YI)1,6000

q,==Yt h

""0,0355

j.2 qj

."',

0I

1'1',251 3,9944 I 0,7450

0,"1 2,808J. I 0,550q , " 1,,001 3,3588 I O,1l35G3

I 1,8920 1111111111111 1, 1 11111 1111 2 0,"1 I1I11 1II11111,6000 252,3243

0,37b0 0,4105 0,4561

0,0101I Q ,0028

1,6120 1,82J.92,0584

0,0456 1,0129 0,0037 0,0585 \ 0,0100 IV,004;

I I

2,3588 2,7444

Iii \1,511',

II

I 0,5807 I I 0,6861 I

1 0,5t411

I 0,07510, (Y,J64

10 , 0213 1

I

I

7394

11

I

I

I

Respuosta: 10.74 EI vllior yg=4,74 serii la respuestll d('l problema. En los casos de resoluci6n de los sistemas: (4), Ia f6rmula dc Adams (7) Y (II esquema de c6lculo que 158 muestra en h. ta1lla 3, so utiliuaD sopBradam8nte para eada una de las CuncionC$ Y (x) Y z (x). Hallar tres aproximacioncs sucesivas de las soluciones de las ecuaciooes diferenciales y de los sistemas siguientes:

3176, y'-z'+y'; y(O)-O, 3177, y'~z+y+" ,'=y-,; y(O)~l, 3178, y' - -v; y (0) _ 0, y' (0)_1.

,(0)~-2,

2"

C4lculo, oprOZlmiJM'

Toblo 4. Tabla aus:i1iar para. el ealeulo por el metoda de Maws t 5 3 6Yi =ql+7 t.\QH+12Alql-2+T 0.:lql_3

Valor de i

"I. I0,5146

I 7.1.QI-1

I

3

I5

0,5897 0,6861

I II

III

5 12 Aiqi _2

T

A3 ql-3

AUl

0,02930,0376

0,0054 0,0069 0,0089

II

0,0011

O,lXU40,0018

0,0482

I

I I I

0.55040,6356O,7.'J50

Calcular aproximadament6, por cl metodo de Runge y Kutta. suponiendo que el intervaloesh=O,2, las soluciones de las siguient.es ecuaciones diferenciales y sistemas, para los intt>rvalos que se indican: 3179'_y_.;y(0)~1,5

(0tO: c) n . I & >32. t67.-n>"B-1=N; a) N=9; b) N=99; c) N=999. 168. 6=5(~< X (N). 110. a) 0; b) 1; .c) 2; d) ;0' 171, ~ . 172. 1. 173. - ~. tH. 1. t75. 3. t76. t.

Yt=T; ~-T' 112 .... -21 166.

1/2

5n

1/2

1 n>V;:

177. ; .

m~. ~. lodieaei6n. Emplear 13 f6rmuln f2+2'+ ... +n 2=0:).

= ~ 1I(II+t)(2n+l). 179. O. 180. O. t81. L 182. O. 183. co. 184. O. 185.72.

186. 2. 187. 2. 188.195.

189. O. 190. 1. 191. O. 192.

CD.

193 -2. 190'.00.

100. (13-;/ . 197. 3z2. 198. -1. 199. ~. 200. 3. 201. ~ _ 202. ~ 1 203. 204.12.205. ~. 206. - -3 .2fJ1. 1. 200. ~r:' 209. ; _ . ...... 2y$ 3"zl t fJ 5 t t 210. -1"' 2J I. O. 212. 2:' 213. 2 . 214.. "2' 215. O. 2t6. ) 2" sen 2;

~.

-!n

b) O. 217. 3. 218.22-1..;'I..

~..

219.-

~.

220. n. 221.

~.

222. cosa. 223. 2 "i" 1

-soDa.

225. COS.:l:. 226.

1 -Vi

227. n) 0; b) 1. 228.

229.]" 230. O.

231..238.

--~3'Jt.

232. ;

(n~-m~). 233.e-4.

-4-. 23'i. 1. 235. ~-. 236.

~

.231. -

~r

.

2:;19.

~

. 240. 1. 241. 1.. 242.

1.

243. O. 244 ..:}e.

245. O. 246.

1.

.2417.

~2.

248. !-1. 249.

,

250.

,

e:JI.

251.

252. a) 1.

z-.O

Jim (CO!lZ)"'i"" = lim {-(t -C08%)I% = lim%--+0~O

(1-2 sen! ~ ) r = x_o ( (1-2 senl X lim~

-

,

Rcsoluci6n.

X-

%) 2

I 2Ien'~

'J:O:sen__,_.l:

_

2&en~ ~_~

11m (-0>1

2Mnl~) 2:0:

(. C) omo 1m _

2sen22&"

%)=

x-O_

.., -2 lim

x....o

=0

to_1 . b) -y';"t

[( ,.., %)'-]4%

.l:~

-2.1.Hm ~=O.

,=

x....o

tendrllffiOS

4

lim (CG.5 r):O:~O

II e 5

0

I

u c i 6 n. AmU""'amcnte al anterior (vCa:!ll a) .. -coCOlllO

"'-0

lilO(C09r)ii=~.x-+Osen 2~lt ] ~ 'IZ [( ;l:

lim

2 ( -25ell'~) :>,i

...... o~,

lim

(%)-')50n:-

-

2

=>-2Iirnx:0:....

0

X

~)'

-;:

=--., 2

1

---1 , , tondrclRG.5lim(cosz)""=e ~ =,V-' 253.1112 ;0:.... 0 e

254.10 Ig:e. 255. 1. 256. f. 257. - 1_ a, dande ct -+ O. 259. In.a .... e lllil . 260, Ina.

-~. 258.4.

1. Indicaci6n. Ponor ~:t_ III die a c ion. Emplear In idonlidad

Indicaci6n.

Ponor

-.!.=ct, n

donde a __ O (vcase 01

SOlutUln41

427264. a) -1; II) 1. 265. a) -1:

16 259). 261. a-b. 262. 1. 263. a) 1; b)

~.

1

b) 1. 266. a) 1; b) O. 261. a) 0; b) 1. 268. a) -1; b) 1. 269. a) -1; b) 1. %70. a) -co; b) +co.27I. Rt:lsolucI6n. SlzJ=kn(k_O,1,2... ). 00$1zO. 61 %75. v-1 cuando 0""z0, cuando 111.t 1=2, cs uo runto de diseontinuidad evitable. 320. %=0. es un punto de di"eontinuidad de la espocic. 321. a) %_0, C!S lin POlito de discontinuidad do 2- espeeie: b) 1:=0, cs un puoto de disC=kn (1e_0, ), .500 pUDlos do diseontinuidad iufinita. 325. %=0, ell un

428

Soluctonet

punta tIe discontinuidad de 1(\ espeeie. 326. $= -1, os un punta de discontinuidad evitable; x=l, un punto de discontinuidad de 1a especie. 327. x= = -1. os un punto de discontinuidad de 2a espocio. 328. x=O. os lin punto de discoutinuidad evitable. 329. x_1, es un punta de discontinuidad de 1a Dspeolo. 330. $=3, es un punta de disoontinuidad de 18 especie. 332. %=1, us Ull pun to de discontinuidad do 1a ospocie. SSS. La func16n es continua. 334. a) x"",O. es un punto do discontinuidad de 1a espeeitlj b) 1a fUDci6n ell continua; C) x=k;t (t., os un numero entero), son puntas do discontinuidad do Ja ospecia. 335. a) x=k (k, os un numero eutero). son puntas dEl" discoutill.uidad de l n tlspecie: b) x=k (Ii 4' 0, os un numero cntero), son puntos do discontinuidad de 1a cspecio. 337. No. porque In funci6n y=E (x) es discontinua cuando :1;=1.338.1.53.339. Indicaci6n. Demostrar, quo cuando :to cs suficientemente grande, teneruos P (- xo) P (:to) O.

i

(x-2)+

~

In

Ix+ Vz 2 11.zz-i

:;'+:;+1 ( z 1)2

2 + -.r arctg v3

v3

2z + -,--,' z-

clonds

'Vz+t, -x+t).

1325.

-V~.

t326. 2.:z:/3 Vx2

x+1

.~

In(Zz-t+2 Vx!

SoluclolUS

45J

1328.

5 ( 1. 64

.z-~ %'3+ ~1331.1t

%6) 1/1+.zJ_

5 ( ,~ -16]nz+v1+s-,. t 1330. 2(z+I)'- ( %-

1329.

(t +8.z; V - 3 3) z2-I-Taresc0"7' t 4:l:1 %+1'

V:r:;:::?:: t :z: +2x--2'arcsen

R+ 1n

~ +R )-10 (1- ~ +~) ,dedonde R- V:r -z+t. 1332. i v;:~;.Vi=i+"1+ 1 ~~Y %-+1-1

l.z1+ 2 Jn-

3

, 333 - , 0

I 1

2 1 .&, ,..,,' "I uetg",. :z:-40+' .~. (2.1: -1) V~ 3z;3

'

~

00 ti as divergente,

si PO. III segunda,para cualquier p. i576. No. t577. 2In!!

112 ~ -Vi" dt.

2

1578.

1918. d2,='llp"{t)(xdz+V

dyp+2lp'

(t)(J;r'l+d y2).

191'J.

dZ=(

+)XV xd:t: 2

X ( yIn

~:

dz

+ zln

e: d y ) ;

d2~ = ( ;

fY [(y21n2 ~~:t: + -;-)+

+

+2(XYI1l!:-ID....!...+Jn~)dxdY+(xlln2....:...--=-)dJPJ. 1920. !J'ey V ('lIY

111,:=

=aZj;m (u, v) dX2+2ab/~" (II, v) dx dy+b'l/~" (II. v) dy2. 1921. d'lz= = (veXj~+e2"f~11 +2ye:r;+"f~t!+ y'leZxf:,,) dx z +2 (ellf~+exf~+xe2V!~u+eX+.\I X X(i xy)f~tI ve2Xj;'!l)dxdy (xeli;~ x'le'l"f~tt 2.zex+"f~lI+e2X!~II)dy2. 1922. d3 z = c:J:(ws y dx: J -3sen 11 dx 2 dy -3 cos y dz dy2+sen y dy~). 1923. d3:;;= "'" -y cos x d:r;3_3 sen x d:t: 2 dy-3 cos JI dx dy'l +z ~en y dy 3. 1924. df (1; 2)=0; d'lf(1; 2)=Cwi:z:'l+2dxdy+4,5dy2. 192.'i. d2f(O, 0, O)=2d:r;~+4dy2+tiaz2-

+

+

+

+

-4d.tdy+Rdxd:+4dydz.1928.

i!)26. XV+C.

1927. z3y _

~3 +sen

z+C.

x z+y

+In{x+y)+C.1931. "VZ 2+U 2 +C.

' x IWJ. T1n(x2+y'l)+2arctg g+e.HI32. 0=-1, b=-1, z=

1930. ;+C.1933.

ol:~+~2+C,, x

%2+y2+:~+%y+%z+Jlz+C.

1934. z3+2xy2+3zz+y2_yz-2z+C.

1935. x2yz-3zyZz+4x2y2+Zz+v+3"+C.

1936. -=-+.E...+-=-+C.

1937. VZ 3+U 2+Z2+C. t938. ),,=-1. Indicacion. Escribir las condiciones de diferencial cucta para la expresiJn Xdz+Ydy. 19119. f~=f~ .1940. u=

..~

f(z)dz+C.

1942. La ecuacloo quo dotermiua a 11. cs la ecuaci60 de uo par de roctas.

469

"w z:::lIO. avl

'470

Soluctones

i1 2 w 1 x-1 y+2 :-5 1980. {ju 2 =2 1981. a) 2x-4y-z-5=O; -2-= -4 = -1; b)3x+4y ....

.t:-4 y-a :-4 -6:=0: -r=-r"'" -6;= y-Rsena: sen a:2 2

c)

ZCOSet+ysen a-R_O,

.t:-R cos 0\ cos a: =

=-,:--

z-R

1982.

.va +b +c . "2

u

all

'Va2+b2+c2'

.

b2

Va+b2+c2'

.

1983.

2z+4y+12:-169=0

1985.

z+4y+6z=21.

1986. Z y z = Va2+ 62+c2. 1987. En los puntos (1; 1; 0) 108 plnnos tangentcs son paralelos III plano XOZ y en los puntos (0; 0; 0) Y (2; 0; 0) al plano YOZ, La superficie carecc do puntos en los cuales el plano tangente sea paralelo al XOY. 199t. ; . 1994. La proyccci6n ,sobre el plano XOY:

{~;;~2-zU-1=0.r..a .. proyecclOn

La proyecci6n so re b

sobre

al

plano YOZ:

r .t:=0, ~ 3y2l'T+ z2 - 1 =0.

r e.

I KOZ : ~f y=O, p ano 3z2

, l T+ z2 - 1 - O

I D d i c a c i 6 D. I..a linea de contacto de 180 superficie con el cilindro, que proyecta esta superficie sobre alglin plano, reprosonta de por S1 el lugar geomctrico de los puntos, an los que el plano tangente a la superficia dada es perpendicul~r al plano do proyecci6n. 1996. 1 (:c+h, y +k) = az 2 +2b:cu+ +cy2+2 (a.1O+by) h+2 (bx+cy) k+ah2+2bhk+ck~. 19!I7, 1(x, y) =1-(.z:+ +2)2+2 (.10+2) (y-1)+3 (Y-1)3. 1998. tJ.f (x. V)=2h+~+h2+2hk+h2k. 1009. 1 (:c, !I, 3)_ (:C-1)2+{/I-1)2t(3 _1)2+2 \X-1) (y-1)-(y-1) (:-1). 2000. I(z+h, y+k, z+l)=f z, y, 2)+2 h(x-y-z)+k (1I-z-z)+ 3x2Y-II$ X 2+y2 +l{z-x-y)l+f(h, k, l). 200t. V+zy+ 31 .2002,1 21

+

+x4+6~2t+y4.

2062. oSi ontre las magnitudes , bye no bay igualcs ontre si, 1& Gorva 110 tlena plJntos singulares. Si a = b c, A (4, 0) es un punto aisladQ; si a b = c, n (tl. 0) os un punto crunoulll; sl a =b=c, A (n, 0) cs 111I punto de 4 retl'oceso lle t cspecie. 2063. II-z. 2054. 1I:=2pz. 2065. l/- R.

-di'" C~ I. vola(ol'Z

cidad angular do rotacj6n del tornillo. 2089.

2090.

lI11 t +iJ! 2 V3((COS t-son ')"+ I 'f=;r('+k); v= -i; ~=T

+(son t+cos t) j+kl;

1 v=- ,V- [(500t+C03 t) '+(scnt-cos t) }I; 220'.)2.T=-

f.+4j +2k v_ -.1; x=3. 2123. y=z; y-=tO-%; y=O; y=-4, 21M. g-3"; y=2z; %=1;

g'

%_3.2125. y"",O; .:1:_2. 2127.

y"",V25-2

.1'2; .%_0; .%""'3. 2126. y-=z1l; y-=.%+2; z-=-I;

~

i

rIg

~

1(z, y)dz=

~

2

dz

~

1

I(z, y)dl/. 2128.2_1/

~

I

dlJt

~ I(z,

1

y)dz=

-

~

i

ll:

d% } I (z, y) dy.

2129.

~

1

ay

~.f (z.

g) dz=

~

I

d%

~L

1(%, IJ) tiJI

+

22-:0;

+ \ d:11

t~2

r I(z,Y 2_11'

lI)d".7

2130.2

~

~2%+3

dz

~

I(z. y)dy_

~~ ~1

'2

dg

~ {(To,

v)d:z:+

12-"

11~

+ ~ dll ~4 1

I(z, lI)d%+

t dg ~ ,(r, lIld:. i -,11-30

213t.

d;_l,,(r, lI)d:z:+

+~dV1I

1'2

~

f(:,Y)d%""'~dz. _~ I(z,")dY+~dZ-I2

Y 2-.:tt

1

l"2"=iI

~

I(z.y)dy.

_y 2-11"

-"-1 ....i=ii

2132.

~-1

d:z:

~

Z

Vi_ I_1

f(z, uldy= \ dll

hi

~

V~

~

I(x, Y)dz. 2133.

~

dz

~

f(z,lI)dV+

-2 211

- t'r=i1 Yi_oX'

1

_ tll_oX2

t'4--,,'VI_xl_

+~d:_I

~i'-II'

f(%'II)dy+~dz ~ f(r'lI)dY+~dZf(z,V)dZ+~dY-I

_ yi;::'ii

-l"Wl1"6_u2

~

I{x,y)d!l=

=~dY-2

_1

~

I

"1-U'

~

f(z,V)dz+~dll_t

~

f(z,y)d:a:+

_ YI-llt

_ 1"4_11'

l'I-II'

476:l

Solwctollt'J

"'4_l/i

-2

+ ~ dp

~- Y ~_II'

J(:r, p) d;&;.

2134.

I

Jfi='"iidz_

-3

vv=ii"

~

f(z, ,)dH

+~ d;r; l'lr.tl /{1:'V)dU +{ dx-2_1

YIdll

z2

{(z.vldv=

_.'1+.1'1-l'IP-1

2

-1'11-;,;2_I )""-Ul

..t

~_ .'3

ay

~- VD='V'

!(z,lIjdz+V5

~- Jf'5

~v' JI~-1

!(J:,V)dz+Vj;til-III

}'O-ut

+~d"_1t

~-yu=;::i

I(Z'!I)dJ:+~d!l ~t

_l'lt~_l

l(x,Y)dZ+~d/l ~)'''''-1co

/(z,lI)d%.

I-x

I

-,.'9-1/2 I-u

2135. a)..

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y) dll=

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lI)dz; b)

~

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..,

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/(z, V) d:; c)

_l'O"Z_,,1

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1+ YT='iiii1/1 2

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\' dy

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f(Z,Y)d%;

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1

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I

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I

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f(z, II) dz;

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./(%,/I)dll.

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J(z, ,) d,

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l l1I

dz

J(z, ,) d,

+

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%~:>'a

, + ~ dv ~ fez, v)dJ:. , , "-,-

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Vi

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,V)dz. 2137.

~

2 "dy

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fez, y)dz+

" ;"f(.r, II) dr.

2138.

" "3

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2139.

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j(z, v)dz.

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2140.

~d!l

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~

f{z,Y)d%+~dll~l

Q

10

4QVI-x"

I/!

I(z,y)d=+ 0+ ,'ai_illI

~

21''2U.

~ dll~f(:I;,")dZ.0 IP ,,,

2. 'r"

0

R }r~

I (x, YI dy. 2143.

-\-.1, "Rr"'/(,. 2141.

g)""

2144.

~1.1

1

lI-are.sen 1/

~

f (.I:,

y) dx. 2l;)

,.ydy=

1l(1-0Q& I)

\

~

R(I-co:lt)dt

obticne do ). anterior como r05ultado tic) camblo R' I R' 2158. 2157. 2159. C1!+T'

I

ydy, !loude esta

SO'

6'I

2160.

Id. ...

COii"

,r!(rOO5lJ1,rSoR'P}dr+

sen lP

l

~

dlil

,rJ (r t ) dr.

\

rf (r eos CPt r sen cp) dr

216!.

\d. \

-..!cos .,2162.

...2163.

l

~CO!iq>

f(lg.)

d~

"

I ... rdr+

... ...~I(tgtp)dtp

... "'SeiIi" 'l d. ~ I;1...

I .ell'l'

...

r (r cos 'P. r sen lp) d,.

\"

rdr+

SI'D'll

COsiqj

... '"

~

f(tgtp)drp

l

r dr.

"

Soluclonet

:c

l);t

T

216'.

~ dlp

a

Ycos2lp

~

T

rJ(r cos lp, r sen lp) dr+

3~1'1 dlp

al'l:1l92Ip

~

rf(r cos q>, r sen '1') dr.

T

TcIl.

"

2165, gdq>

f

rcp r:sentpdr-1221662~a4.2167'32168. (22"), a 3 ~a:1 ~ 9'+2' a.8

na 3 161/2-20) 2 2169. T ' 2170. 119 Z 2171. '3 nab. jacobiano J =abr. Los Ifmites do integraci6n: 0

(n

all

I+li2172.

,~a

'I-v

2: 1l) 1; c) ++ln2;

t+Vi.

:0:")

2320. V1+lI-il_ ~t. 23Z2. a) :J+32V-2y'+Cj b)~-:tll+ZVI_II'+Cj e) t:l"-II(.t:+II)+C; d) Inl.t:+vl+C. 2323. -2na{o+b). 2324. -nR'cos"a.

3,

...2.125.=

(i+

x;;?)

R2, 2326. a) -2: b) abc-t; c)

~ ~(8,

11 2 d% dll.

2328. _

~.

2329.

n~

. 2330.

_+.

5112:

d) O. 2SZ7.I=

2331. O. 2332. a) 0;

b) 2n."\. Indlcaci6n. 1::u 61 case b), Ja f6rmula do Green so amplea en -el rocinlo comyrendldo on\c('. cJ CORtol'no C y un cireulo de radio suficientemente pequeno con centro en oj orlgeR do caordeno..da:!\. 233S. Re s oJ u c i .> n. 51 58 SUJlCln6 que 1& dlrecci6n de la tangcnte coincide eon la direction del recorrldo positivo dol contarno, rendremo, que COs (X, n)-=

=cos(Y, t)_

~:

por consiguicnte,

2334. 28, dande S es el

area

COS(x. lh-*dtl=O. C C c limitada por 01 contarn!> C. 2335. -t.. 1 Dd i.ll:ab.

n)cU_* ::

ell c i 6 n. La formula de Green no S8 puede cmploaf. 2336.

2331. : naz.

2338. 6na 2 , 2:l39.

metro, 231i().

:\0 .2341.

,

i

0 2,

1 n die 3. Ci 6 n. Poner II _ 12:, dando t DS un para-

11

(R +r) (R+2r); 01tR2 cuando R - r. I n d i en c i {, n.

La ol.'uBcion d'c Ie. epiciclolde tiene 1& forma ~ =(Rg=(R+.-) 11011 t-.-sen

+.-) COs t -r cos ~ t. ,

.!!.!:.t, ,

doude t es el :ingolo de giro del radio del 2342. n (R-r) (R-2.-)jde la. hipoc.feloidcS8

cirwlo Ujo, truado en 01

punto d(l contacto.

: nR'euaudo,.-=: . lu.dicacion. La

~cuado.ll

obtiene de 1& oeuaeioD de I.. epieieloide correspondiente (V8aS6 01 problema

~1)

suUit.uyendo .- par -.-. 2343. FR. 23M. mg (:1-=2)' 2345.2846.

~01

(al_bl),

donde k os 01 cooficiente de proporcionalidad.

8.)

EI

potencial trabajo trll.bajo

V=-rn~. 01 trabajo mg(tl-:Z)j b) 01 potencial U=J:....

,

"''T;''''~; c) 01 potencial Va2+bl+ct11::: T

~

k: U= -T(:Z2+ it t+:t).2n4IV~~11.

"

(Rt_rt).nil.

2347.

8 T

na. 23>\8.

" . 2349. O. 2350. '3nabc.

2351. ""2'b}

2352. ,", 2353.

3 .~

10(5

2.5V5+t V-

5-1.)

'23M. n Vi h. ) --z- 4_.n1l2.

2355. a) O .235'). _aa.

~ ~ ~ (oosa.:'+co~~+eo9y)dS.(S)

2356.0. 2357.4n. 2a58.O. 2362.2

2360.

/J.R _ aQ. ".P _ '.R dQ = 8P .236111::%8%811

~ ~ (%+,,+s)d%dlld~.(V)

Soluciones

485

2363. ...

" j' 'j' I d. dy d, "(V) V.,+y,+,,

23". \

r"\ r ("U .(V) \ az:30

+ ay2 +~

,'U "[I) dx. dy rlz.2376. grad U (A) =

2365. 3a . 2366. 2372. Conos.

a3 l 2""' .2367. "52 . 1W~

na 2bll 2368. - 2 - '

2371. Esforus: cilindros.

2373. Circ.unferencias

z2+y2= c~. Z=c2'

=9i-3j-3k; IgradU(A)I= 1!99=3VIT: z2=xV; z=y=z. 2377. a)b) 21'; c)

.!..; ,

_..!:...-, ; d) f' (r) 3:..... 2378. , ,

~rlld (cr)=c; las supcr[iCic8 de nivo] son,

pIanos

. pcrpendlculares al vector c.2380.

2379. -,-~--. -,--=1 grad U

au

,

2U

,

au

,

I

wando

,/=b_c.2383.

~~ =

cos~~,

r);

~~

-0

c_uando

/, L r.

2382. ;

divn=.3../(rl+f' (r). 2385. a) diu'=3, L'otr=O; b) div(rc.)='l"c, ,

,

rXc rot(1'C)=--;

,

cj

. I'(r) dlv(l(1')C)=--(cr),

,

I'(r) rot(f(r)c)=--CXl'.

,

2386. div v ... O; rotv=2oo, donde oo=(;)I/:. 2387. 2wn, donde -no os 01 voctor unitario paralc10 al ejo de lotad6n. 2388. dtv grad U =~+82U ()'lU ay2

+ iJ2[/ 8;2

;

1 3 rot grad U =0. 239i. 3nR2H. 2392. a) 10 ",R2H (3R2+21J2); b) to 'itR2H (R2+2H2);

23!l3. div F=O en todos los puntos a excl1pci6n del origen do coordenndas. EI flujo es igual a 4nm. Indicacion. Al calcular eJ fIujo, alllicar e1 teorema ite Ostrogradski-Gs\lss. 2394.2n 2h 2

2395. - - , - . 2396. U

_nRo

, I =

r{(r) dr.

2397.~. 2398. a) No tiene; b) U=xyz+C;c) U=xY+J:z+yz-jC. ViOO.Si.

,

"

capitulo VIII."'101. ,;(, 2!i06.12/1-1'

1 2402 '"'2il'1

2n 3n+2' M.07.'1+1

n(n+1)

2!i03. 2"-1' 2/iOIi. n 2 ' 2!i08 i35 (2n-f) 1.4.7(3n

n

1

2'-05.2!i09

{n+l)2

"+2

2)'

(_1)'1+1.

2410. /1(71-1) 21116. Diverge. 2417. Converge. 2418. Diverge. 24t\). Diverge. 2420. Diverge. 2421. Diverge. 2422. Diverge. 2423. Diverge. 2424. Divergo. 2425. CoilVllrge. 2426. Converge. 2427. Converge. 2-428. Converge. 2429. Converge. 2430. Converge. 2"31. Converge. 2432. Convolgo. 2433. Convergo. 2434. Divorgo. 2435. Diverge. 2436. Converge. 2437. ~ Diverge. 2438. Converge. 2439. Converge. 2440. Converge. 2441. Diverge. 2442. Converge. 2Aiia. Converge. 24.4.4. Converge. 244&. Converge. 2446. Converge. 241i7. Converge. 2448. Converge. 21&49. Converg1l. 2450. Diverge. 2451. Convorgo. 24.52. Diverge. 2453. Converge. 2454. Diverge. 2155. Diverge. 2!i56. Converge. 2457. Diverge.

SO~UCioM8

2-158. Converge. 2459. Diverge. ~60. Converge. 2461. Diverge. 2462. Converge. 2-163. Diverge. 24M. Converge. 2~65. Converge. 2456. Converge. 2467. Diver ge. 2-168. Diverge. Indlcaeion. 4 M1 2470. Converge condlcionalmonte. 2471. Converge condicionalmente. 2472. Convor,l{e absolute'.. mente. 2473. Diver~o. 2474. Converge condicionalmente. 2415. Converge absolulamente. 2476". Converge coodicionalmente. 2477. Convorge nbsQlulnmente. 2478. Converge ebsolutamente. 2479. Diverge. 2480. Converge ahsalutamente. 2481. Converge condieionlilmente. 2482. Converge Qbsoluta~ munto. 2484.. a) Divorgo; b) OOllverge absolutamente; c) diverge; d) converge condicionalmente. In d i 0 a c i 6 n. En 1m! ejemplos a) y d) examinar Ie seril.'~ (42'\_1~_l

'n

>1.

y

ab80lutamellte. 2488. Converge condicionalmellte. 2489. Diverge. 2490. Converge ahsalutamente. 2491. Converga absolutamente. 2492. Converge absolutamentr..'" '" 2493. 51". 2494. No. 2495. ~ I +(_l)n ; converge. 2496. "'-I 3"n~l

>-1

~ aV!o 2485. Diverge, 2486. Converge ehsolutamente. 2487. Cunvcrgc

-

+ 42k), yen los b) y o} investiger soparadamente las series

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~ 4;_1

-

-

-

1 an (2n. 1);

n_l

1 collverga. 2497 Diverge. 21i99. Converge. 2500. Converge. 2501. I R,I1 cuando %"';0. y COSnz no Hende a cera cuando 11 _ 00. ya que si cos liZ _ 0 .!Ie deduciria que cos 211% _ -I; de esta forma, cUllodo %3. %', %1. y cuando 2%' ~rift no t.ielldo a cero. 2525.2527.%530.

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'C' 1 L.I - . Cuando

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~. ~:z,

-

COmo Ill. serie

oj tennino general do Ill.1 I ---