DEFLEXIONES

Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas.

Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía.

Métodos geométricos: aplicación directa de ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y leyes constitutivas del material (elástico-lineal).

Métodos de energía: en estos métodos las ecuaciones de equilibrio o de compatibilidad se reemplazan por un principio de energía y se combinan con las leyes constitutivas del material.

Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexión, las deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las deformaciones por cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes.

En cerchas y armaduras las deflexiones se presentan por la combinación de las deformaciones por carga axial en cada uno de los elementos que la componen.

Trazado tentativo de la curva elástica

Se denomina por curva elástica, la curva que representa la deformada del elemento en su línea centroidal.

En vigas y marcos se puede hacer un trazado tentativo de la curva elástica considerando las curvaturas que se producen por flexión y las restricciones de los apoyos. Antes de trazar un diagrama de momentos se debe definir una convención de momentos positivos o negativos según la concavidad que estos produzcan en el elemento. En elementos horizontales se puede asumir la siguiente convención, que coincide con dibujar los momentos para el lado que producen tracción.

Para los elementos verticales se puede adoptar cualquier convención. Se sugiere que siempre se dibujen los diagramas de momento por el lado de tracción y de esta manera se sabe como es la concavidad.

Clases de curvaturas en apoyos y en juntas:

Articulación: Tiene 1 grado de libertad libre, correspondiente a la rotación.

Rodillo: Tiene dos formas de moverse, rotación y desplazamiento paralelo a la superficie.

Las rotaciones tienen la misma convención que los momentos en las ecuaciones estáticas, positivo en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Apoyo con rodillos sin giro: un solo grado de libertad de desplazamiento vertical.

Empotramiento: El desplazamiento y el giro son nulos

Conexión rígida entre elementos:

Por el equilibrio en la unión, si uno de los elementos termina con momento negativo en ese extremo el otro también tendrá momento negativo en ese extremo. Asociando los momentos con las deflexiones tendríamos que si las tracciones en uno de los elementos son en la cara exterior, en el otro también lo serán por lo tanto las concavidades de ambos deben ser similares, o ambas para afuera o ambas para adentro.

Marcos: En estas estructuras se cumple que la concavidad en los elementos que se conectan en un nudo debe ser la misma:

Vigas

Debido a la continuidad de la viga en los apoyos, la rotación por ambos lados debe ser la misma:

Articulación interna: En este caso las pendientes a la salida de la articulación pueden ser diferentes ya que no hay rigidez en la unión y un elemento puede rotar con respecto al otro.

TEORÍA DE LA FLEXIÓN EN VIGAS

Se fundamenta en los conceptos de equilibrio, compatibilidad y leyes constitutivas.

Equilibrio:

Compatibilidad: 1 = 2 En puntos de contacto

1 = n uniones rígidas

En empotramientos

Leyes constitutivas: Donde K: rigidez lineal

K: rigidez a flexión

La teoría hace ciertas suposiciones acerca de cómo se deforma una viga en su interior.

Suposiciones validas para vigas de poca altura:

No funciona en muros

Suposiciones:

1. Una sección plana permanece plana después de la deflexión. (Euler - Bernoulli)

2. La sección plana deformada permanece perpendicular a las fibras de deformación nula (eje neutro)

Con estas dos suposiciones y aplicando los tres tipos de ecuaciones definidos podemos encontrar los desplazamientos del eje neutro en función de los momentos internos M.

Ecuaciones de equilibrio interno

Pero:

Compatibilidad interna

Triángulo pequeño

pero:

Triángulo grande:

Longitud de arco:

Triángulo pequño con triángulo grande:

Relación de curvatura con deformación de las fibras internas.

Ley de elesticidad

Reemplazando en compatibilidad interna:

Reemplazando en equilibrio:

Relación de curvatura con fuerzas internas:

Relación tangente de la curva de deformación con fuerzas internas

falta relacionar Y con las fuerzas internas

Deformación en cada punto.

Relación de curvatura*

*Se deja al lector consultar la procedencia de esta relación.

Considerando que las deformaciones son pequeñas, el término elevado al cuadrado en el denominador se aproxima a cero dando como resultado una relación entre el inverso del radio de curvatura y la segunda derivada de la curva elástica.

y

Integrar dos veces la ecuación de momento de la deflexión

Ecuación que relaciona deflexión con fuerzas internas

Pendiente de la curva de corte, igual a la carga

Pendiente de la curva de momento, igual al cortante

Ecuación deferencial de la flexión

Si EI es constante entonces:

Cuatro condiciones de frontera

RELACIONES DE CURVATURA ENTRE EL MOMENTO Y LA TEMPERATURA

cambio de longitud por variación de temperatura, introduciendo esta ecuación en la anterior tenemos:

Siendo t la diferencia de temperaturas entre las fibras superiores e inferiores.

Si ambos lados sufren un cambio de temperatura diferente, entonces el cambio t que produce curvatura es la diferencia entre el cambio en la parte superior y la inferior.

Momento que produce un cambio de temperatura diferencial entre las caras:

momento interno por diferencial de temperaturas entre las caras

CÁLCULO DE DEFLEXIONES:

Método de la doble integración: Este método consiste en encontrar la ecuación de la curva elástica integrando dos veces la ecuación de flexión.

En cada integración se requiere introducir una constante.

Estas constantes se resuelven por las condiciones de frontera.

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la curva elástica de la siguiente viga:

Condiciones de Fontera:

El método exige encontrar las ecuación de momentos internos. En el caso de encontrar discontinuidades en la ecuación de momentos, ya sea, por la presencia de cargas puntuales o reacciones entonces se puede trabajar con origen en cada punto de quiebre del diagrama de momentos.

Ejemplo 2

Encontrar la deflexión en D de la siguiente viga:

Por doble integración:

Diagrama de momentos:

Sabemos que la curva elástica se obtiene al integrar dos veces el momento dividido por EI.

Todos los valores son por EI

Condiciones de frontera:

Se deja para terminar al lector.