definicion y caracteristicas de las paradojas logicas
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Éste artículo, que trata acerca de la naturaleza de la paradoja, se divide en cuatro partes. En la primera parte, se discuten los conceptos de aporía, antinomia y paradoja. En la segunda parte, se define la ‘paradoja lógica’ considerando que significa lo que significan sus partes. El significado de ‘paradoja’ y ‘lógica’ se construye de acuerdo a los criterios etimológico y gramático. Luego, se la caracteriza en sus dos presentaciones: la paradoja oracional será una oración infundada, circular y contradictoria, mientras que la paradoja argumental será un argumento válido o inválido. En la tercera parte, se caracteriza detalladamente la paradoja tipo oración y se mencionan algunos ejemplos. Finalmente, en la cuarta parte se expone y caracteriza las paradojas tipo argumento.TRANSCRIPT
Rafael Félix Mora Ramírez
Definición y características de las paradojas lógicas
“Aun los expertos más sutiles pueden ser incapaces de evitar proferencias que conducen a paradojas. Se cuenta que Russell preguntó en una ocasión a Moore si siempre decía la verdad y que consideró la respuesta negativa de Moore como la única falsedad emitida por Moore. No hay duda de que nadie ha tenido un olfato más fino para las paradojas que Russell. Sin embargo, es obvio que no se percató de que si, como él pensaba, todas las otras proferencias de Moore eran verdaderas, la respuesta negativa de Moore no sólo era falsa, sino paradójica”
SAÚL KRIPKE, Esbozo de una teoría de la verdad.
Resumen:
Éste artículo, que trata acerca de la naturaleza de la paradoja, se divide en cuatro partes. En la primera parte, se discuten los conceptos de aporía, antinomia y paradoja. En la segunda parte, se define la ‘paradoja lógica’ considerando que significa lo que significan sus partes. El significado de ‘paradoja’ y ‘lógica’ se construye de acuerdo a los criterios etimológico y gramático. Luego, se la caracteriza en sus dos presentaciones: la paradoja oracional será una oración infundada, circular y contradictoria, mientras que la paradoja argumental será un argumento válido o inválido. En la tercera parte, se caracteriza detalladamente la paradoja tipo oración y se mencionan algunos ejemplos. Finalmente, en la cuarta parte se expone y caracteriza las paradojas tipo argumento.
Palabras clave:
Antinomia, paradoja, lógica, paradoja lógica, paradoja del mentiroso, autorreferencia, circularidad, contradicción, argumento, falacia, paradoja verídica.
1. Paradoja, aporía y antinomia
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La paradoja lógica mantiene una estrecha relación con la aporía aristotélica. La
paradoja es un argumento. La forma lógica de este argumento es P → (Q↔¬Q), o
P→(Q&¬Q). La aporía también es un argumento. Su forma lógica es (Q&¬Q)→P.
Es decir, mientras que la paradoja puede terminar en una contradicción, la aporía
se inicia en la misma. Pero la contradicción en ambos casos se produce por un
dilema. Escribe Aristóteles (1998, pp. 129-130) en el libro III de su Metafísica:
“(…) detenerse minuciosamente en una aporía es útil para el que quiere encontrarle una salida adecuada. En efecto, la salida adecuada ulterior no es sino la solución de lo previamente aporético. Por lo demás, quien no conoce el nudo no es posible que lo desate, pero la situación aporética de la mente pone de manifiesto lo problemático de la cosa. Y es que, en la medida en que se halla en una situación aporética, le ocurre lo mismo que a los que están atados: en ambos casos es imposible continuar adelante. Por eso es conviene considerar primero todas las dificultades, por las razones aducidas y también porque los que buscan sin haberse detenido antes en la aporía se parecen a los que ignoran adónde tienen que ir, y además <ignoran> incluso si han encontrado o no lo que buscaban. Para éste no está claro el final, pero sí que lo está para el que previamente se ha detenido en la aporía. Además quien ha oído todas las razones contrapuestas, como en un litigio, estará en mejores condiciones para juzgar. ”
Las aporías son contradicciones no culminantes que abren las puertas a la
investigación de ciertos conocimientos. Una aporía detiene nuestra investigación y
se convierte en constricción clave para elaborar buenas teorías. La aporía se
presenta como un dilema que indica que, o bien elijamos la tesis, o bien la
antítesis, deduciremos diferentes contradicciones. Además, al igual que las
aporías, las paradojas de teorías de conjuntos y las paradojas semánticas son
retos que deben superar todas las teorías para ser consistentes. La paradoja es
una contradicción que se infiere de un razonamiento válido. En algunos casos la
paradoja puede ser reinterpretada como parte de un razonamiento tipo reducción
al absurdo que se detuvo en la contradicción sin re-negar la conclusión. Sin
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embargo, a diferencia de la aporía, la paradoja lógica no se presenta al comienzo
de las investigaciones sino al final como un teorema algo desconcertante, es decir
como un resultado contradictorio y verdadero, que para ser “solucionado” necesita
ser “evitado” alterando los axiomas de los cuales se parten mediante artificios o
nuevos axiomas. Lo pedagógico de la aporía radica en ése carácter de primero.
Ahora bien, lo que hay que pensar en la aporía es el razonamiento que la justifica,
más que la sintética conjunción contradictoria. De igual modo, la paradoja lógica
se perfila como el mismo proceso de deducir la contradicción, es decir, la paradoja
no sólo es una conclusión conjuntiva y contradictoria. Pero no todos los
razonamientos son paradojas lógicas y algunas paradojas tradicionales son solo
falacias 1 . Si la paradoja lógica se tratara de una falacia, con sólo hallar el error
oculto resolveríamos el problema, pero resulta que la conclusión se deriva
correctamente de las premisas. Similarmente, la aporía no presenta errores de
razonamiento, si bien hay que revisarla y pensarla tantas veces como sea posible.
Más que desconcertarnos la aporía nos enseña a entenderla como la
contradicción previa que condiciona el razonamiento inmediato que se construirá.
La antinomia en un sistema formal es análoga a una señal de enfermedad.
Según “Verdad y Prueba” de Alfred Tarski, en la literatura en cuanto a las
antinomias se pueden encontrar dos enfoques enteramente opuestos. Un primer
enfoque consiste en pasarlas por alto, para enfrentarlas como sofismas, como
juegos que no son serios, sino maliciosos y que tienen como fin principal mostrar
1 Por ejemplo, las paradojas de Aquiles y la tortuga, (Kirk, Raven, y Schofield, 1983, p. 389), Kant (1984, p. 315), Galileo (1945, pp. 57-59) y Epiménides (Pablo, 2001, pp. 1193-1194) pueden ser interpretadas como falacias.
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la inteligencia del hombre que las formula. De acuerdo con el segundo enfoque,
las antinomias constituyen un elemento muy importante del pensamiento humano,
deben aparecer una y otra vez en las actividades intelectuales y su presencia es la
fuente básica del progreso real. Sin embargo, Tarski (2000, pp. 205-206) prefiere
ubicarse en un punto intermedio. Él no puede reconciliarse con antinomias
eternas, pero tampoco puede darse el lujo de despreciarlas:
“(…) El surgimiento de una antinomia es para mí un signo de enfermedad. Comenzando con premisas que parecen intuitivamente obvias, empleando formas de razonamiento intuitivamente ciertas, una antinomia nos lleva a un sin sentido, una contradicción. Siempre que esto sucede, tenemos que someter nuestras formas de pensamiento a una revisión, para rechazar algunas de las premisas en que creíamos o para mejorar algunas de las formas de argumentos que empleamos. Hacemos esto con la esperanza no sólo de que la antigua antinomia sea dejada de lado sino [para] que no surja otra. Con este fin probamos nuestros sistemas de pensamiento reformados mediante todos los medios posibles y primero que nada, tratamos de reconstruir la anterior antinomia en la nueva estructura (…) ”
Etimológicamente, la palabra ‘antinomia’ procede del griego - ( ) y es
un vocablo jurídico que significa “contradicción en la leyes” (Yarza, 1988, p. 85).
Inmanuel Kant (1984, p. 315) entendió la antinomia como una dificultad conceptual
inevitable, pero necesaria en el ámbito de la razón pura. Para Quine (1976), la
presencia de las antinomias nos obligan a cambiar nuestros esquemas
conceptuales, principios lógicos y axiomas. En armonía con su significado
etimológico la antinomia puede ser definida como aquella oración demostrada
cuya forma lógica es la de una contradicción que sirve para negar presupuestos.
Como sugiere la cita, Tarski prefiere ponerse al medio de esta pugna entre el
enfoque de las antinomias como falacias y el otro enfoque que sostiene que ellas
hacen avanzar la ciencia. Su postura será un tercer enfoque. El enfoque tarskiano
califica a la antinomia como un signo de enfermedad. De acuerdo a él, en las
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teorías axiomáticas que se ven afectadas por la contradicción, no basta resolver la
paradoja, también es menester trabajar el sistema axiomático entero de tal manera
que nos garantice que no vuelva a surgir otra paradoja. El aspecto chocante de las
paradojas nos obliga a abandonar la lógica bivalente del sí o no, modificar el
principio del tercio excluido, el de no contradicción y hasta el significado del signo
de la negación dentro de otra lógica no convencional. En síntesis, la aporía y la
paradoja lógica son dilemas anteriores y posteriores (respectivamente) a la
elaboración de teorías aceptables. En cambio, la paradoja lógica y la antinomia
son oraciones que dan lugar a contradicciones relevantes para proteger de
inconsistencia a las teorías verdaderas.
2. Definición de las paradojas lógicas
Notemos que en la expresión ‘paradoja lógica’, la ‘paradoja’ y la ‘lógica’ entran en
contacto. Esto implica que para capturar la definición de la paradoja lógica,
nosotros tendremos que analizar cada uno de los significados de ‘paradoja’
agregándole cada uno de los posibles significados de ‘lógica’. Investiguemos
primero de qué trata la paradoja. Ayudándonos de algunos términos extraídos de
la Poética aristotélica (1992, p. 161), podemos afirmar que los significados de
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paradoja son dos: como sustantivo la posibilidad inverosímil 2, como adjetivo lo
falso verosímil.
1) Como sustantivo, la palabra ‘paradoja’ procede del griego - .
Significa etimológicamente más allá, o “contrario a la opinión” (Blánquez, 1985,
p. 1097), o a lo convencionalmente aceptado. La paradoja es la sentencia
inverosímil, increíble y contradictoria. Siguiendo a Ferrater Mora (1994, p. 2693) la
paradoja es “ (…) un acontecimiento que parece asombroso que pueda ser tal
como se dice que es (…)”. En este sentido, la paradoja se define como una
oración demostrada cuyo contenido no sólo no es evidente si no que hasta puede
resultar intuitivamente inaceptable. La definición anterior está asociada a la
definición de ‘teorema’. El teorema es la oración que tiene demostración. Y si bien
lo falso también se puede demostrar partiendo de premisas falsas, el teorema sólo
parte de premisas verdaderas. Además, el teorema que ya fue demostrado puede
‘independizarse’ de su demostración para ser utilizado como una oración suelta
como ocurre con los teoremas de Pitágoras, Pappus-Guldin, Cantor, etc. En estos
dos aspectos ‘paradoja’ y ‘teorema’ coinciden. Sin embargo, la sorpresa originada
por el resultado contraituitivo, no siempre es señal de algún error infiltrado en la
deducción que justifica el carácter de teorema de la oración paradójica de la
2 Aristóteles en Poética (1992) expresa su preferencia por las historias cuyo desarrollo y tema sean verosímiles e imposibles (o no necesarias) frente a otras que son inverosímiles a pesar de ser posibles. En los versos 1451b, 33-35, se expresa así: “De las fábulas, las episódicas son las peores, Llamo episódica a la fábula en que la sucesión de episodios no es ni verosímil ni necesaria”. Mientras, en los versos 1455ª, 22-27 se puede leer: “Es preciso estructurar las fábulas y perfeccionarlas con la elocución poniéndolas ante los propios ojos lo más vivamente posible, pues así, viéndolas con la mayor claridad, como si presenciara directamente los hechos, el poeta podrá hallar lo apropiado, y de ningún modo dejará de advertir las contradicciones.”
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conclusión. Ejemplos: “La masa relativista se incrementa con la velocidad”, “El
tiempo que transcurre en una nave que se desplaza a la velocidad de la luz, es
más lento que el tiempo de la Tierra”, “La parte de un infinito es igual que el todo”,
“El conjunto de los números reales entre cero y uno es infinito y no numerable”.
Estos cuatro ejemplos representan oposiciones a ciertas teorías o creencias: los
dos primeros van en contra de los principios de la Física clásica, y los segundos
están en contra de los prejuicios que se tienen respecto al concepto de ‘infinitud’.
Por lo tanto, podrá hablarse de paradojas cuando lleguemos mediante la
deducción a un resultado verdadero pero absurdo. Aristotélicamente, podemos
afirmar que la paradoja es lo que es posible e inverosímil, es decir, lo que sucede
necesaria y realmente, pero resulta difícil de creer para quien se deje llevar por el
sentido común. La paradoja es la oración que a pesar de ser contradictoria tiene
una demostración.
2) Como adjetivo, esta palabra funciona como sinónima de “inesperado, increíble,
extraño, maravilloso, raro, singular y extraordinario” (Pabón, 1997, p. 450). Según
Alberto Clemente de la Torre en Física Cuántica para filó-sofos: “(…) la palabra
[paradoja] [implica] (…) llegar a una conclusión evidentemente falsa o absurda por
un razonamiento aparentemente correcto (…)” (De la Torre, 2000, p. 98). Lo que la
cita sugiere es que la paradoja se concentra en la relación entre las apariencias de
la prueba y las conclusiones. Hay paradoja cuando llegamos mediante una prueba
aparentemente correcta a un resultado falso. En este punto ‘paradoja’ se relaciona
con ‘falacia’, que es un argumento inválido pero persuasivo. Pero, a diferencia de
la falacia, la paradoja como argumento también puede darse cuando llegamos
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mediante métodos erróneos a resultados verdaderos. De ahí que Russell
sospeche que las paradojas deban ser atenuadas mediante la identificación de
cierto principio de ‘círculo vicioso’ en las demostraciones. Incluso, según Morris
Kline (2000, p. 246), el matemático abocado al tema de los fundamentos de su
ciencia “(…) quería creer que las [paradojas] podían ser resueltas (…)” revisando
minuciosamente la prueba que la justifica para hacer cambios en la lógica del
sistema deductivo. En este sentido, podemos decir que lo paradójico es lo falaz
que, o bien demuestra oraciones verdaderas mediante argumentos definitivamente
inválidos (pero con apariencia de ser válidos para el no cultivado), o bien
demuestra oraciones falsas mediante argumentos válidos.
Ahora bien, en la expresión ‘paradojas lógicas’ se esconde un significado
que todavía tenemos que considerar tomando en cuenta el impacto de la palabra
‘lógica’ en la palabra ‘paradoja’. Sólo hay dos posibilidades de interpretación, o
bien se trata de una expresión conformada por términos del mismo tipo, o bien se
trata de una expresión conformada por términos de tipos diferentes. Consideramos
pertinente hacer esta distinción debido a la necesidad de explicar sus otros
posibles significados que justifican que “no hay paradojas lógicas”, y además para
evitar el inconveniente de “definir” conjunciones de conceptos opuestos.
1) En primer lugar, podríamos interpretar este constructo como siendo la
conjunción de dos cosas del mismo tipo. Supongamos que se trataran de dos
sustantivos, de tal modo que entendamos ‘paradojas lógicas’ o, mejor aún,
‘paradojas-de-la-Lógica’ de la misma manera en la que entendemos la expresión
paradojas físicas o ‘paradojas-de-la-Física’. En este caso, ‘Lógica’ significa teoría
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de la ciencia formal que estudia las técnicas, procedimientos, reglas, métodos y
principios utilizados para discriminar la inferencia válida de la no válida. Ahora
bien, si los axiomas de la Lógica son consistentes, no podrían existir ‘paradojas
Lógicas’ en el sentido de ser teoremas contradictorios derivables de una estructura
axiomática e inferencial. Por ello Marino Llanos (2003, p. 385), quien entiende la
palabra ‘Lógica’ estrictamente, como significando ciencia formal de la inferencia,
afirma que “(…) es importante advertir que no hay paradojas lógicas, o sea
paradojas derivables de alguna teoría formal lógica.” . Pero, si consideramos con
Oscar García (2007, p. 22) que de modo coloquial la palabra ‘lógica’ como
sustantivo es “(…) sinónimo de sentido común, buen sentido, razón o actitud
racional”, podríamos interpretar la expresión ‘paradojas-de-la-lógica’ como
significando posibles contradicciones del sentido común o de la razón natural.
Según esta visión, el constructo anterior se referiría a posibilidades inverosímiles
propias del sentido común. Sin embargo, ese constructo también podría tratarse
de la unión de dos adjetivos o sustantivos contradictorios, resultando un oxímoron,
es decir, una expresión reunidora de conceptos opuestos tales como ‘yin-yang’,
‘mujer hombre’, ‘pobre millonario’, o ‘frío-caliente’ ya que mientras que ‘lógica’
como sustantivo se refiere al sentido común y como adjetivo se refiere a lo
razonable, ‘paradoja’ como sustantivo se refiere a la posibilidad increíble y como
adjetivo se refiere a lo falaz e ilógico. En conclusión, la ‘paradoja lógica’, como la
conjunción de dos sustantivos o de dos adjetivos, es inadmisible.
2) En segundo lugar, podríamos interpretar la expresión ‘paradojas lógicas’ como
la conjunción de dos términos de distinto tipo. En este caso la única interpretación
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posible de dicho constructo es la que la considera como nombre con su respectivo
atributo. Esta es la interpretación más inmediata e intuitiva. Luego, mientras que
‘paradoja’ sería usada como sustantivo, ‘lógica’ sería usada como adjetivo. Para
ahondar más en este aspecto definamos ‘paradoja’ como una oración
contradictoria que tiene una demostración libre de irregularidades. Consideremos
también que la palabra ‘lógica’ como adjetivo “(…) hace referencia al carácter
coherente o adecuado que algo posee (…)” (García, 2007, p. 22). Por este motivo
la construcción ‘paradoja lógica’ significaría teorema contradictorio cuya prueba es
racional y adecuada. La demostración será racional porque se ajusta a principios y
reglas de inferencia. Será adecuada porque ella puede simplificarse mediante
equivalencias contradictorias de la forma P↔¬P, donde P es una oración cuyos
términos sintácticos y/o semánticos generan regresos al infinito e inconsistencia.
Basándonos en las declaraciones de los filósofos al respecto del tema de
las paradojas, podemos afirmar que existen dos niveles en los cuales puede ser
considerado algo como paradójico: el nivel oracional y el nivel argumentativo. El
primer nivel encuentra asidero en las declaraciones de Popper, Kripke, Thomson y
García Zárate. El segundo nivel, lo encuentra en las declaraciones de Russell,
Northrop, y Hart. En primer lugar, encontramos las oraciones (ya sean únicas o en
serie) que generan inconsistencias, y en segundo lugar, tenemos los argumentos
engañosos para el novato. Ahora bien, si tomamos en cuenta que un subconjunto
del primer nivel oracional está conformado por aquellas oraciones complejas (o
argumentos) cuyo conector condicional (→) es el de mayor jerarquía, afirmaremos
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que todo argumento es una oración, pero no toda oración es un argumento. 3 Esto
es lo mismo que decir que podemos definir argumentos en términos de oraciones,
pero no podemos definir oraciones en términos de argumentos. En resumidas
líneas, la paradoja puede presentarse o bien como una oración-teorema, o bien
como un argumento que se “resuelve” (o “disuelve”) analizando cada uno de los
pasos dados para llegar a la conclusión.
Si consideramos definir ‘paradoja lógica’ como una oración (o sistema de
oraciones) tendríamos que dar todas sus características. En primer lugar,
encontramos que la autorreferencia (como la mención de una oración a sí misma
mediante alguna propiedad) es manifiesta en las paradojas del Mentiroso. Es
obvio que no toda autorreferencia da lugar a paradojas, por ejemplo: “Esta oración
tiene cinco palabras” es verdadera. Esto ocurre debido a que si bien esa oración
es autorreferente también es fundada. La paradoja debe ser autorreferente e
infundada semánticamente (como ocurre en las paradojas del Mentiroso) o por lo
menos infundada sintácticamente (como ocurre en las paradojas de Russell). La
infundación consiste en que existan un conjunto B y una secuencia infinita de
conjuntos A, A’, A’’, ... tales que AB, A’A, A’’A’, etc. (Sartorio, 2000, p. 114)
Estos datos sucesivos en los que B abarca a A que abarca a A’, que a su vez
abarca a A’’, no tendrán asignado un valor de verdad dependiendo de instancias
3 Pero, las oraciones también pueden ser argumentos. Esto se debe a que cada oración puede implicarse a sí misma generando un argumento. Por ejemplo, dado p, podemos concluir p → p. Quizás este razonamiento sea terminante, pues se ve apoyado por la sintáctica de la axiomática formal. Pero, si utilizamos el criterio pragmático de la solidez, podemos acusar de petición de principio al constructo p → p. Además, creo que no toda oración es un argumento porque una conjunción no puede ser representada mediante signos de operadores lógicos condicionales de mayor jerarquía. Tendríamos que utilizar el signo de la negación, o el axioma antes mencionado.
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no sintácticas; toda la expresión conjuntista cobra sentido en virtud de su sola
construcción. En segundo lugar, la contradicción (como condicionales cuyos
antecedentes y consecuentes se contradicen entre sí) es una propiedad común a
toda paradoja. Ejemplos. Si “Esto es falso”, entonces “Esto no es falso”. Si “El
conjunto de Russell se contiene” entonces “El conjunto de Russell no se contiene”.
En tercer lugar, tenemos la circularidad. Este factor complementa la contradicción
y la regula de tal modo que pueda haber regreso al infinito. La circularidad es
aquella situación que se da cuando tratamos de definir, explicar o probar una
primera cosa en función de otra segunda cosa que, a su vez, presupone que ya
está definida, explicada o probada la primera, por lo que volvemos al punto de
partida. Por ejemplo, si tenemos la oración A que dice que ella misma es falsa, es
decir, (A) A es falsa, entonces si A es falsa, entonces A es verdadera, y si A es
verdadera, entonces A es falsa, y si A es falsa, entonces A es verdadera, y si… y
entramos así en un regreso al infinito. Tomando en cuenta lo anterior doy la
definición de paradoja lógica de la siguiente manera: paradoja es toda aquella
oración en el que se manifiestan al unísono las propiedades de infundación
(sintáctica o semántica (en el caso de las autorreferencias problemáticas)),
contradicción y circularidad. Ejemplos: la paradoja del Mentiroso, la de la tarjeta de
Jourdain, el libro antinómico de Tarski, la de las clases, la de las relaciones y la de
las propiedades. Las cuasiparadojas que presenten solo dos de las tres
propiedades de las paradojas serán llamados: o bien oraciones con valor de
verdad en el punto fijo máximo, o bien oraciones con valor de verdad en el punto
fijo intrínseco. Mientras que las primeras entidades presentarán las propiedades
de autorreferencia (infundada) y circularidad, las segundas entidades con punto
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fijo intrínseco presentarán las propiedades de autorreferencia (infundada) y
contradicción.
En segundo lugar, definiremos a la paradoja, según el criterio de la validez,
como aquél argumento correcto pero incompleto o incorrecto pero persuasivo. Es
menester aclarar que la esencia de la paradoja no radica en los resultados a los
que se llega ni en las premisas de las que se parte. El quid de la paradoja consiste
en la prueba que la fundamenta (tal y como ocurre en la aporía aristotélica). Sin
embargo, el argumento puede ser reducido a una única oración que concentre en
su construcción todas las desastrosas consecuencias. Recordemos que (con las
restricciones del caso) todo argumento es una oración, pero no viceversa. Por
ejemplo, de acuerdo a Tarski podemos construir tres paradojas oracionales a partir
de la síntesis de tres argumentos paradójicos. Tenemos la paradoja de la
satisfacción: “La función proposicional X no satisface a X” 4; la paradoja de
Grelling: “Las palabras heterológicas X no designan a X”; y la paradoja de Richard:
“El definiendum X no define a X”. Surgirán contradicciones cuando consideremos
si dichas oraciones que se refieren a sí mismas, son verdaderas de sí mismas o
no.
3. Características de las paradojas lógicas tipo oración
4 “ (…) Para obtener una antinomia partir de la noción de satisfacción, construimos la siguiente expresión: La función proposicional X no satisface a X.Surge una contradicción cuando consideramos la cuestión de si esta expresión, que es claramente una función proposicional se satisface a sí misma o no.” (Tarski, 1997, pp. 85-86)
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La definición de ‘paradoja’ formulada por García Zárate (2007, p. 199) resalta
formalmente su aspecto contradictorio y circular. Escribe en Lógica: “Las
paradojas son tipos especiales de contradicción [aquella dada por una oración]
cuya verdad implica su falsedad, del mismo modo que su falsedad implica su
verdad” y como ejemplo de paradoja expone la paradoja del Mentiroso en su
versión oracional más difundida: “Esta oración es falsa”. Notemos la presencia de
la autorreferencia, es decir, la propiedad de un escrito, oración, proposición u otro
ente de similares características de mencionarse a sí mismo mediante sus propios
signos. Esta propiedad forma parte de muchas paradojas lógicas, pero como ya
hemos anotado 5 no todas las oraciones autorreferidas son paradójicas. La
autorreferencia está presente en la paradoja del Mentiroso, en la de Epiménides,
en la de la tarjeta de Jourdain, en la del libro antinómico de Tarski, y en otras
versiones divulgadas por Kripke. Ella ha sido sospechosa de ser la principal
causante del problema del fundamento de la verdad de oraciones como la del
Mentiroso. Advertiremos que ‘autorreferencia indirecta’ suele ser considerada
sinónima de ‘circularidad’ cuando se utiliza una sucesión de más de una oración
cada una de las cuales se refiere a otra (a excepción de la última que afirma que
la primera es falsa) provocando así un ‘loop’ o ‘bucle’. Los sistemas de oraciones
con forma similar que utilizan la autorreferencia indirecta serán considerados la
única premisa del argumento paradójico. Esta idea encuentra justificación: en la
pretensión de Tarski de reducir la paradoja a una oración autorrefererida
construida con términos semánticos circulares; y en el hecho de que todo
argumento es una oración. Pero la propuesta de Tarski olvida considerar los
5 Cf. p. 11 de este trabajo.
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sistemas de oraciones los cuales tienen la propiedad de la autorreferencia
indirecta. En apariencia son muchas oraciones pero formalmente son semejantes.
Por ejemplo, observemos este bucle finito de 4 oraciones y este otro de sólo 3:
SISTEMA 1 (S1) SISTEMA 2 (S2)
(1) La oración (2) es verdadera. (1) Las oración (2) es verdadera.
(2) La oración (3) es verdadera. (2) Las oración (3) es verdadera.
(3) La oración (4) es verdadera. (3) Las oración (1) es falsa.
(4) La oración (1) es falsa.
El primer sistema finito oracional de 4 oraciones y el segundo sistema oracional de
3 oraciones serán consideradas cada una las únicas premisas genéricas de sus
respectivos argumentos:
Oración Genérica de (S1)
(X) La oración ((-2/3)X3+4X2+(-19/3)X+5) tiene la propiedad de ser Y,
donde si X=1, X=2 y X=3, Y es el predicado ‘verdadera’, pero si X=4, Y es el
predicado ‘falsa’.
Oración Genérica de (S2)
(W) La oración ((-3/2)W2+(11/2)W-2) tiene la propiedad de ser Z,
donde si W=1 y W=2, Z es el predicado ‘verdadero’, pero si W=3, Z es el
predicado ‘falsa’.
Como podemos apreciar, la propiedad de la autorreferencia se cumple para las
paradojas veritativas. En el caso de las paradojas oracionales de Russell, la
propiedad de la autorreferencia a nivel semántico se transforma en la propiedad
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de la infundación a nivel sintáctico. Recordemos que la infundación consiste en
que existan un conjunto B y una secuencia infinita de conjuntos A, A’, A’’, ... cada
uno de los cuales depende del siguiente mediante la relación de pertenencia. 6
Nunca podremos saber qué elementos de B pertenecen también a A, a A’, a A’’,
etc. Las oraciones infundadas (que contengan términos (o conjuntos) infundados)
no tendrán asignado un valor de verdad dependiendo de instancias no sintácticas.
Por ejemplo: “La propiedad impredicable”, la paradoja de Jourdain, de Tarski y de
Yablo (en virtud de que no son autorreferentes) son oraciones infundadas que no
tendrán un valor de verdad determinado, a menos que se apliquen restricciones a
la constructibilidad de las expresiones conjuntistas.
La segunda propiedad en manifestarse en la definición de las paradojas
propuesta por García Zárate es la propiedad de la ‘circularidad’ que, a diferencia
de la autorreferencia indirecta, se refiere a aquella situación que se da cuando
tratamos de definir 7, explicar o probar una primera cosa en función de otra
segunda cosa que, a su vez, presupone que ya está definida, explicada o probada
la primera, por lo que volvemos al punto de partida, como si estuviéramos
describiendo un círculo. Para García Zárate ‘a’ será una paradoja cuando
(Va Fa) & (Fa Va) o en términos abreviados cuando ( Va Fa ). Esta
incómoda situación argumental se origina cuando suponemos, por ejemplo, A
6 Cf. pp. 11-12 de este trabajo.7 Según Tarski, al respecto de una buena definición (aquella relación bicondicional que se establece entre el definiendum (la palabra que se quiere definir, lo desconocido) y el definiens (las palabras que utilizamos para definir el definiendum, lo conocido)): “En particular, no deberá aparecer en el definiens, ni la constante que se trata de definir, ni ninguna expresión definida con su ayuda; en tales casos la definición no sería correcta, contendría un defecto al que denominamos círculo vicioso en la definición” (1951, p. 53)
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porque B, B porque C, C porque D, … , X porque Y, Y porque Z y Z porque A.
Formalmente diríamos: B // A, C // B, D // C, E // D, F // E, G // F, …
, Y // X, Z // Y, A // Z. Y volvemos a estar al principio, pero estrictamente
nunca nos detenemos. La anterior sucesión de argumentos cada uno de los
cuales parte de una única premisa que es la conclusión del siguiente argumento,
se reduce a una única expresión, a saber, una que refleja la petición de principio,
según la cual es un error de razonamiento comenzar a deducir a partir de lo que
es preciso demostrar. Esta expresión es A // A (tipo argumento) o A A (tipo
definición), la cual es una expresión verdadera para cualquier valor de la variable
proposicional A. Esta expresión válida o verdadera contraviene la intuición de que
un argumento sólido no puede partir de la misma conclusión a la que, por medio
de las reglas de derivación y transformación, se debe llegar. Esto mismo ocurre en
las paradojas tipo ‘Mentiroso’ y ‘Russell’ en las que podemos llegar a deducir
mediante la conmutatividad y el silogismo hipotético8 que (Va Va) & (Fa Fa)
partiendo de (Va Fa) & (Fa Va), donde a ={“Esta oración es falsa”, “El
conjunto de todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos se incluye a sí
mismo”, “La propiedad impredicable se aplica a sí misma”, “La relación que no
guarda consigo mismo un término la guarda un término consigo mismo”}. De modo
general, si a es una oración paradójica, o parte de una paradójica secuencia b (o
sistema b) de oraciones tales como b = {“La siguiente oración es verdadera: La
anterior oración es falsa”, “La segunda oración es verdadera. La tercera oración es
verdadera, … , La última oración es falsa. La primera oración es falsa”, “Las
siguientes oraciones son falsas. Las siguientes oraciones son falsas. … Las
8 Regla del silogismo hipotético: (p q) (q r) . . (p r)
17
siguientes oraciones son falsas, …”} entonces dentro de una lógica n-valente:
V1(a)→V2(a) & V2(a)→V3(a) … & Vn-1(a)→Vn(a) & Vn(a)→V1(a). Luego, por n
silogismos hipotéticos: V1(a)→V1(a), V2(a)→V2(a), V3(a)→V3(a), etc.
Pero la circularidad no solo es un atributo de las definiciones y los
argumentos (o las demostraciones) sino que también lo es de los conceptos. Por
ejemplo, el concepto de verdad, (tal y como fue enfocado por Alfred Tarski
considerando como restricción clave de una consistente teoría semántica de la
verdad a la paradoja o antinomia del Mentiroso) resulta circular bajo el análisis de
Anil Gupta y Nuel Belnap (Gupta y Belnap, 1993). Además, no solo la verdad
resulta ser un concepto circular. Ejemplos de otros conceptos circulares son: el de
referencia, el de satisfacción, el de pertenencia, ejemplificación, necesidad, y
otros. Resulta una oportuna coincidencia que gran parte de estos conceptos
circulares aparezcan en la formulación de algunas paradojas lógicas. Por ejemplo,
la paradoja de Russell hace uso del concepto de pertenencia ( ), la versión de
Edward Zalta (Pelletier y Zalta, 2000) de la paradoja de Russell en su Teoría
Lógica de las Formas Platónicas (publicada en un artículo bajo el nombre de “How
to Say Goodbye to the Third Man”) utiliza el concepto de ejemplificación, la versión
de Yablo de la paradoja del Mentiroso hace uso tan sólo de la referencia; por
último, las versiones de Tarski de la paradoja del Mentiroso utilizan los conceptos
de satisfacción, designación y definición. Subyace a la propuesta de Belnap y
Gupta la idea de que hay dos tipos de conceptos: los conceptos ordinarios, cuyas
condiciones de aplicación nos permiten separar en dos grupos excluyentes a sus
objetos: los objetos a los que se aplican y los objetos a los que no se aplican; y los
18
conceptos circulares, que no tienen condiciones de aplicación definida. En este
último caso necesitamos una conjetura inicial acerca de la extensión del concepto
circular para decidir cuáles son los objetos a los que se aplica y cuáles no. Podría
suceder en el mejor de los casos, que objetos de un grupo se encuentren dentro
del grupo que no les corresponde, o en el peor de los casos, que esos objetos
tengan todas las razones para estar tanto en un grupo como en otro sin importar la
naturaleza opuesta de estos grupos. De acuerdo a Eduardo Barrio (2007) “ (…) la
extensión de los conceptos circulares sólo puede ser establecida de manera
hipotética y bajo ciertas circunstancias esas hipótesis pueden generar un
comportamiento patológico. (…)”.
Por último, tenemos que estudiar la contradicción. De acuerdo a Karl
Popper (1997, p. 34) en La defensa del Racionalismo:
“A las paradojas se les llama a veces “contradicciones”. Pero esto quizás sea un tanto desorientador. Una contradicción ordinaria (o algo que se contradice a sí mismo) es simplemente una afirmación falsa desde el punto de vista lógico, como: “Platón era feliz ayer y no era feliz ayer”. Si suponemos que tal enunciado es falso, no se suscita ninguna dificultad. Pero de una paradoja no podemos suponer no que es verdadera ni que es falsa, sin meternos en dificultades.”
Frente a la palabra ‘paradoja’, la ‘antinomia’ que solo resalta el aspecto de
contradicción en la ley, es usada como una palabra técnica por los abogados y los
lógicos para señalar la contradicción en el ámbito de la legislatura jurídica y lógica
respectivamente. Si fuera localizada una contradicción, inmediatamente se
justificaría que ciertos axiomas sean falsos. Sin embargo, frente a la ‘antinomia’ la
‘paradoja’ que no sólo resalta la existencia de axiomas falsos, es usada por
Popper para indicar una premisa que por reducción al absurdo deriva en una
19
oración que se contradice con la misma hipótesis. La paradoja no es falsa, su
esencia radica en no ser ni verdadera ni falsa ni ninguna otra opción emparentada.
En este sentido, Popper revela que la paradoja es una oración.
Por una parte, la virtud de la contradicción formal radica en estar
involucrada con el principio lógico de la no contradicción y en ser la base para la
prueba indirecta de reducción al absurdo. Por otra parte, el terror a la
contradicción es justificado porque éste elemento es la causa de la inconsistencia
de algunos sistemas, ya que de una contradicción se deduce que toda fórmula
construible es un teorema, o sea que se sigue que “Todas las cosas son
verdaderas”, como lo muestra la siguiente prueba:
1. p & p. // q2. p DE 1 POR SIMPLIFICACIÓN3. p q DE 2 POR ADICIÓN4. p DE 1 POR SIMPLIFICACIÓN5. q DE 3 Y 4 POR SILOGISMO DISYUNTIVO
Ahora daremos la definición final de paradoja lógica para un reducido campo de
oraciones de la siguiente manera: dado un argumento cualquiera, paradoja será
toda aquella oración o sucesión de oraciones (parte del cuerpo de premisas del
argumento) en el que, generalmente, se manifiestan al unísono las propiedades de
infundación (semántica o sintáctica), contradicción y circularidad. En este contexto
las paradojas oracionales son tremendamente relevantes respecto de la Teoría de
Modelos que es una ciencia que estudia ciertas maneras de interpretar lenguajes
formales, dando las condiciones de asignación de significado y relacionando
conjuntos de expresiones y entidades matemáticas mediante el concepto de
‘estructura’. Dicha ciencia elucida los conceptos de verdad, consecuencia lógica e
20
interpretación. Por ahora, solo señalaremos que entre la retahíla de términos que
barajan los investigadores entregados al tema de las paradojas lógicas
oracionales, los siguientes sobresalen por ser los más utilizados: referencia,
contradicción, punto fijo mínimo o máximo o intrínseco, fundamentación,
satisfacción, significado, metalenguaje, negación débil, negación fuerte, estructura,
interpretación, verdad, etc. Estos conceptos y herramientas serán de mucha
utilidad, cuando se trate de ver la manera de reformular la paradoja en otras
formas igualmente problemáticas ya que no solo basta disolver la paradoja sino
que también hay que ver la manera de que no se produzca otra.
4. Características de las paradojas lógicas tipo argumento
Recordemos que dijimos que la paradoja es un tipo de argumento. El argumento
tiene la forma de la siguiente oración condicional: “P Q”. Consideraremos
premisas a todas aquellas oraciones que estén ubicadas en el antecedente P, el
cual tendrá la forma lógica de una conjunción, “P=A&B&C…&Z”. Llamaremos
conclusión (o ‘teorema’) a la oración presente en el consecuente Q que tiene la
forma lógica de una contradicción, “Q=X&¬X”. El argumento será paradójico
cuando gracias a una reducción a absurdo podamos concluir ¬P. En este caso lo
que se pretende establecer es algo verdadero. Pero el argumento también puede
ser paradójico cuando las inferencias intermedias que parten de P para llegar a Q
(P→Q) pueden estar relacionadas con alguna especie de falacia. En este caso lo
que se pretende establecer es falso. Pero, en ambos casos habremos escapado a
21
la paradoja. En general, nuestra propuesta es que una paradoja es un argumento
susceptible de ser válido o inválido.
Podemos afirmar que esta dimensión argumental de la paradoja encuentra
sus fundamentos en el escrito de Quine “The Ways of Paradox”. Willard Van
Orman Quine (1976, pp. 1-18) divide a las paradojas en tres partes: antinomias,
paradojas verídicas y paradojas falsídicas. Dejemos de lado la antinomia, pues
solo así podemos extraerle el suficiente provecho a los quineanos términos
falsídico y verídico. Quine habla de ‘paradojas verídicas’ -en la cuales lo que se
pretende establecer es verdadero- y de ‘paradojas falsídicas’ –en las cuales lo que
se pretende establecer es falso-. Los términos ‘verídico’ y ‘falsídico’ provienen del
latín veridicus y falsidicus y atribuyen verdad (realidad) o falsedad (ilusión) a los
sustantivos que califican. Estos términos tienen cierta relación con el concepto de
validez lógica. Según Quine, aquellas paradojas en las que la presuposición de la
existencia de ciertas entidades conduce a una contradicción serán denominadas
paradojas verídicas, puesto que éste tipo de paradojas se presentan cuando la
afirmación que nos resulta inicialmente absurda, notamos luego que es verdadera,
al comprender el razonamiento por reducción al absurdo que la justifica.
Efectivamente, podemos concluir
1) que un barbero puede afeitarse al no afeitarse, y viceversa; o que un alcalde
pueda vivir en un lugar al no vivir en ese mismo lugar, y viceversa; o que un
catalogo de catálogos de biblioteca pueda incluirse como libro al no incluirse, y
viceversa. Estas quiméricas situaciones son conocidas como la familia argumental
22
de paradojas de Russell y son la paradoja del barbero, la paradoja del alcalde y la
del catálogo, respectivamente.
2) que el número de elementos del conjunto de todos los subconjuntos del
conjunto universal sea simultáneamente mayor (>) y menor o igual ( ) al número
de elementos del mismo conjunto universal. Este resultado es conocido como la
paradoja de Cantor.
3) que el máximo número ordinal sea menor que otro y, por lo tanto, no el máximo.
Esta es la paradoja de Burali-Forti.
4) que el número de oraciones de la aritmética es numerable pero limitado
expresivamente pues existen números no-enumerables más grandes que los
numerables. Esta es la paradoja de Richard.
En estos 4 casos las apariencias no nos engañan, puesto que lo único que
nos falta por hacer ante este hallazgo de contradicción es negar los presupuestos
de que tales o cuales entidades existen. Por ejemplo, tenemos que negar: que
exista un hombre o una ciudad o un catalogo siendo y no siendo algo, que puedan
existir ‘totalidades inconsistentes’ tales como un conjunto llamado universal o un
número llamado máximo ordinal; que la aritmética de los números finitos (o
enumerables) sea la misma que la aritmética de los números transfinitos (o no-
enumerables)).
23
Otras veces nuestras sospechas están totalmente fundadas y esa alerta de
que alguna mala información se ha dejado filtrar no debe ser descartada, sino que,
siguiendo a Alfred Tarski 9, tenemos todo el derecho de iniciar una investigación
que nos permita estar seguros de que teníamos razón al atribuirle toda la
responsabilidad a tal o cual premisa o regla deductiva. Ya Quine (1976) bautizó
esta última situación con el nombre de paradoja falsídica, puesto que se trata de
un razonamiento que no solo aparenta ser falaz, sino que lo es. Por ejemplo, para
Quine la paradoja de Galileo, las paradojas de Zenón, la paradoja de Epiménides
y la paradoja de Grelling serían paradojas falsídicas, según su definición. Notemos
que estas paradojas falsídicas se constituirán como argumentos incorrectos que
además pretenderán tener la apariencia de ser válidos. Estos argumentos son
falacias o sofismas, pues las falacias son “todas las formas de argumentación que
encierran errores o persiguen fines espurios” (García, 2000, p. 213). Un
argumento, por lo general, establece la verdad de su conclusión. Si no lo logra, se
convertirá en una falacia o sofisma.
Ahora bien, es cierto que, por ejemplo, la columna principal de la matriz
lógica de la falacia de afirmación del consecuente no es contradictoria sino
contingente, es decir, contiene tanto mundos posibles en el que resulta verdadera
como mundos posibles en el que resulta falsa. Además, la columna de la
9 “ (…) Comenzando con premisas que parecen intuitivamente obvias, empleando formas de razonamiento intuitivamente ciertas, una antinomia nos lleva a un sin sentido, una contradicción. Siempre que esto sucede, tenemos que someter nuestras formas de pensamiento a una revisión, para rechazar algunas de las premisas en que creíamos o para mejorar algunas de las formas de argumentos que empleamos. (…)” (Tarski, 2000, p. 206).
24
conclusión (p) no se comporta de la misma forma en la que la columna del
conector principal entre puntos (. .) se comporta. Difieren en la 4ta fila.
p q (p q) & q . . p
V V V V V V V
V F F F F V V
F V V V V F F
F F V F F V F
Esto nos recuerda que hay “que distinguir entre paradojas falsídicas y falacias (o
“sofismas”) pues las falacias pueden conducir tanto a conclusiones verdaderas
como a conclusiones falsas. " (Ferrater Mora, 1994, p. 2693). Por ello, toda falacia
será una paradoja falsídica, pero no toda paradoja falsídica será una falacia
puesto que aquéllas también podrán ser oraciones no paradójicas que tengan solo
dos de las tres propiedades básicas de toda paradoja oracional.
Wilbur Hart en “Les Liaisons Dangereuses” (2007) dice que las paradojas
no son oraciones sino más bien argumentos, y aunque específicamente se refiere
a las paradojas de Russell, de Cantor y de Burali-Forti consideramos justo hacer
nuestra esta postura y generalizar esta caracterización de las paradojas como
25
razonamientos. 10 Esto indica que mientras que para Hart las paradojas son
argumentos aporéticos, para Russell todas ellas son falacias que cometen el
círculo vicioso. En este enfrentamiento de concepciones nosotros rescatamos la
postura de Hart la cual presenta a las paradojas como razonamientos, no dejando
totalmente de lado el aspecto falaz que Russell atribuye a las paradojas, aspecto
que aparentemente está relacionado con una incompleta prueba de reducción al
absurdo que se detiene en la contradicción sin apresurarse a negar el supuesto
implícito.
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10 Después de explicar las paradojas de Russell y de Cantor y de mencionar la de Burali-Forti, Hart escribe: “This reasoning is known as Russell [or Cantor or Burali Forti] ´s paradox”. (Hart, 2007)
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