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RELATIVIDAD ESPECIAL DE EINSTEIN Deducción de
Javier García – GILAB / IFAE
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EL PLAN
1.- PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD 2.- TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ 3.- DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO 4.- DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO 5.- TIEMPO PROPIO – DILATACIÓN DEL TIEMPO 6.- CUADRIMOMENTO 7.- ENERGÍA
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Suposiciones previas: a) El espacio es homogéneo e isótropo. b) El tiempo es homogéneo.
Suposiciones de la Relatividad de Einstein: c) Todos los observadores que se desplazan a velocidad constante uno de otro (observadores inerciales) son "equivalentes" en el sentido de que experimentan las mismas leyes generales de la naturaleza.
PRINCIPIOS DE LA RELATIVIDAD
d) Todo observador mide la misma velocidad para la luz independiente de la velocidad de la fuente.
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a), b) y c) implican:
p q
r s
1
1psqr
s q
r p
o Mismo evento descrito por dos observadores A y B con movimiento relativo a velocidad velocidad constante.
TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ
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Imposición velocidad relativa v:
p s
TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ
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Imposición de d)
Substituyéndolo todo:
TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ
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Pero c) obliga a que la transformación y su inversa tengan la misma forma excepto el cambio de signo en la velocidad relativa. Hemos de obligar a que:
p 1
p 1 v2
c2
La solución a esta ecuación es: p 1
1 v2
c2
Sustituimos:
tB
xB
1
1 v2
c2
1 v
c2
v 1
tA
xA
tA
xA
1
1 v2
c2
1 v
c2
v 1
tB
xB
TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ
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Llegamos a las transformaciones de Lorentz:
tB 1
1 1
c2v2
tA vc2
xA
xB 1
1 1
c2v2
vtA xA
Normalmente se le llama 1
1 1
c2v2
y vc con lo que:
tB tA c xA
xB ctA xA
TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ
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PRIMERA CONCLUSIÓN Cada punto del espacio tiempo representa un EVENTO. Cada observador inercial asigna un par de números (tiempo y posición) que deben estar relacionados por las transformaciones de LORENTZ para preservar los principios de relatividad y la homogeneidad y la isotropía del espacio.
¿Por qué no se detectó antes? Porque la velocidad de la luz es enorme c=3×10⁸m/s. Por lo que:
tB tA
xB vtA xA
Galileo
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DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO
Dos puntos del espacio
x1
y1
x2
y2
PASOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA
en donde la ’regla de multiplicación escalar es1 0
0 1
1) Restamos
xA
yA
x2A
y2A
x1
A
y1A
x2
A x1A
y2A y1
A
2) Lo multiplicamos por él mismo
xA yA1 0
0 1
xA
yA x1
A x2A2 y1
A y2A2
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R cos sin
sin cos
Rotaremos los dos puntos y volveremos a calcular la distancia:
cos sin
sin cos
x1A
y1A
x1
A cos y1A sin
y1A cos x1
A sin
cos sin
sin cos
x2A
y2A
x2
A cos y2A sin
y2A cos x2
A sin
Restamos:
xB
yB
x2A cos x1
A cos y1A sin y2
A sin
y2A cos y1
A cos x1A sin x2
A sin
DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO
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xB yB1 0
0 1
xB
yB x1
A x2A2 y1
A y2A2
Coinciden!
CONCLUSIÓN Existe una cantidad númerica (distancia al cuadrado) asociada a dos puntos cualesquiera del espacio que es independiente del estado de rotación del observador, es decir, todo observador mide lo mismo.
DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO ORDINARIO
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PREGUNTA ¿Existe alguna cantidad numérica asociada a dos puntos del espacio tiempo en la que estén de acuerdo todos los observadores inerciales?
RESPUESTA SÍ, pero no es exactamente igual a la del espacio ordinario.
(se puede demostrar sustituyendo las transformaciones de Lorentz)
DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO
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¿Cuál es la 'regla de multiplicación' (métrica)? Es decir, ¿qué matriz tenemos que poner entre dos 'eventos' para que al multiplicar dé la 'distancia al cuadrado’?
M P
P Q
Desarrollando:
Mt2 Qx2 2Ptx c2t2 x2
Por lo que:
M c2
Q 1
P 0
Así pues la métrica del espacio tiempo es:
DEFINICIÓN DE DISTANCIA EN EL ESPACIO-TIEMPO
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Dos observadores con velocidad relativa v
c2tA2 xA2 c2tB2 xB2
Una mosca está en el origen de coordenadas de B todo el rato:
c2tA2 vtA2 c2tB2 02
c2 v2 tA2 c2tB2
1 v2
c2tA2 tB2
1 v2
c2tA tB
tA 1
1 v2
c2
tB
TIEMPO PROPIO – DILATACIÓN DEL TIEMPO
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EX: Si el observador B va al 99% de la velocidad de la luz, y si el reloj de la mosca marca un entonces el reloj del observador A marca:
tB 1s
tA 1
10.992 1 7. 0888s
tA tB
TIEMPO PROPIO – DILATACIÓN DEL TIEMPO
Ejemplo numérico
tA 1
1 v2
c2
tB
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c2t2 x2 IGUAL PARA TODO OBSERVADOR
t IGUAL PARA TODO OBSERVADOR
m IGUAL PARA TODO OBSERVADOR
Resulta que da:
m2 c2t2x2
2 IGUAL PARA TODO OBSERVADOR
m2 c2t2x2
2 m2c2
Desarrollando un poco:
c2m2 mu2 m2c2
con 1
1 u2
c2
CUADRIMOMENTO
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comparando:
c2m2 mu2 m2c2
CUADRIMOMENTO
c2t2 x2
Interpretación de sus componentes
Velocidades pequeñas
1
1 u2
c2
1 u2
2c21
10.12 1. 005
1
10.12 1 0.12
2 1. 005
mu mu
1 u2
c2
mu p mu
Ejemplo numérico
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ENERGÍA y MOMENTO RELATIVISTA
Por lo que:
E m2c4 p2c2
1
1 u2
c2
1 u2
2c2 m m mu2
21
c2
mc2 mc2 mu2
2E mc2
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ENERGÍA y MASA RELATIVIDAD
E m2c4 p2c2
Si el objeto está en reposo u 0 p 0