Deducción de la Ecuación de la Espiral Exponencial por medio de

un Análisis Mecánico

Descripción

Figurémonos ahora, un balín situado sobre un radio imaginario a una distancia r, del centro.

El balín recibe un nuevo impulso de otro radio y, así, la secuencia continúa.

Al unir las trayectorias obtenemos la espiral de la derecha. En ella observamos que la trayectoria es:

• perpendicular al radioque proporciona el impulso (círculo verde).

Al unir las trayectorias obtenemos la espiral de la derecha. En ella observamos que la trayectoria es:

• perpendicular al radioque proporciona el impulso (círculo verde)

• oblicua al radio siguiente (círculo amarillo)

El ángulo con el que el balín incide en el radio siguiente (círculo amarillo)

es llamado , y constituye la clave para la expresión matemática de la trayectoria.

Expresión Matemática de la Trayectoria

Con tal fin, comparamos las maneras de indicar la dirección de una función de acuerdo a las coordenadas con las que se trabaja.

El ángulo versus

Se representa la dirección de una función con el ángulo que se forma entre la tangente a la curva en p con la abscisa.

Se representa la dirección de una función con la tangente del ángulo

La expresión para la tangente de es:

Un hecho de gran conveniencia para integrar la ecuación anterior es que, en el caso particular que nos ocupa, , es constante. Esto se debe a que:• Los radios son equidistantes entre sí.• La trayectoria del balín es siempre perpendicular al radio que lo

impulsa y por lo tanto…• … el ángulo ( ) con que incide el balín en el siguiente radio es,

por necesidad, constante.

Reemplazamos tan por 1/a para escribir:

Integración de

Integramos para obtener:

ln r = a + c

Está última expresión corresponde a la Espiral Exponencial también llamada, por las razones expuestas, Espiral Equiangular.

A continuación escribimos :

donde

Finalmente, logramos lo que lo que nos propusimos.

Sin embargo, si le interesa saber más acerca de la tangente del ángulo a continuación presentamos una deducción informal, al estilo de los matemáticos del siglo XVII.

¿Cómo determinaría Leibniz el ángulo utilizando su «pensamiento infinitesimal» y aplicándolo en el «triángulo diferencial»?

Sigamos los siguientes gráficos…

Trayecto de la espiral

Finalmente

René Gastelumendi Dargent, Abril del 2011

1A la fuerza centrífuga se le considera una fuerza ficticia, pero si se le analiza desde el punto de vistaacá expuesto, no lo es.

Consultar, en particular, el capítulo de Coordenadas Polares:

• Cálculo con Geometría Analítica de George F. Simmons (Contiene abundantes datos históricos)

• Cálculo, de James Stewart

• Cálculo con Geometría Analítica de Stein & Barcellos.

• Cálculo con Geometría Analítica de Edwards & Penney (Utilizan la cotangente en vez de la tangente ).

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