deducciÓn de conducciÓn de calor

Deducción de la Ecuación General de Calor por Conducción

Coordenadas Rectangulares y Curvilíneas

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELECTRICA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECÁNICA

Transferencia de Calor IM-314



Ing. Jorge Gallo Navarro

ME., MSc., MBA.

Ing. Fernando José Zorto Aguilera

ME.

Resumen En el Estudio de transferencia de calor, uno del mecanismo más utilizado en la ingeniería y como

primer tema de cualquier curso de transferencia calor, se estudia a fondo lo que es la transferencia

de calor por conducción, en este caso, analizamos un cuerpo rectangular para poder definir la

ecuación general de calor en coordenadas cartesianas, esto, es decir que el vector del flujo de

calor será ( ) y de esta deduce dicha ecuación general de calor por conducción. Se plantea

también que en algunos casos especiales que un un espacio euclidiano es muy complicado para

poder resolver ciertos problemas en la transferencia por conducción, en este caso, se expone la

solución general para el cambio de coordenadas rectangulares a cualquier Espacio no Euclidiano

en coordenadas curvilíneas.



Introducción: En el presente trabajo se deducirá la ecuación general de calor por conducción para cualquier tipo

de espacio vectorial, recordando, que el flujo de calor es un vector y que la resolución de dicha

ecuación será determinada por la forma geométrica del solido que transfiere energía mediante la

conducción en su medio.

Objetivos:

1. Definir una ecuación que generalice el fenómeno físico de la transferencia de calor atreves

de la conducción y los fenómenos adicionales de energía que ocurren en el cuerpo en

coordenadas rectangulares.

2. Definir una solución general para la transformación de espacio de uno euclidiano con base

canónica a otro espacio curvilíneo ortonormal.

3. Definir la ecuación que generalice el fenómeno físico de la transferencia de calor atraves

de la conducción y los fenómenos adicionales de energía que ocurren en un cuerpo

curvilíneo.

ANALISIS

Ecuación General de Calor por Conducción

La ecuación de calor general en coordenadas rectangulares resulta de un balance de

energía del vector de flujo calor, la energía generada y la energía que se almacena en

dicho sistema. Esto es expresado de la siguiente manera:

(1.1)

(1.2.)

Aplicando la serie de Taylor tendremos que los son iguales a:

(1.3.)



Por lo tanto:

(1.4.)

(1.5.)

(1.6.)

Sustituyen las ecuaciones 1.3. a la 1.6 en 1.2 Tendremos que

(1.7.)

Acomodando los términos, donde se tiene que:

(1.8.)

Se cancelan los flujos de calor, lo cual, obtenemos la nueva ecuación:

(1.9.)

Al desarrollar un poco más la igualdad anterior, se observa lo siguiente:

( )

( )

( )

(1.10.)

Ahora se debe recordar cómo se define el flujo de calor dado que en este caso ( ), es decir

que el flujo de calor es un vector en un espacio coordenado Cartesiano. Al encontrarse en un

espacio rectangular se dice que la base que define dicho espacio se encuentra conformada por los

vectores ( ) (

) (

), los cuales, de denominan base canónica. Planteando lo anterior el flujo de

calor por medio de la ley de Fourier:



(

) (1.11.)

Donde

(1.12.)

(1.13.)

(1.14.)

Retornemos a la ecuación 1.9 y sustituir los flujos de calor respectivos de las ecuaciones de la 1.12

hasta 1.14 :

( )

( )

( )

(1.15.)

(

)

(

)

(

)

(1.

16.)

Pasamos a multiplicar el signo negativo a fuera de los paréntesis:

(

)

(

)

(

)

(1.17.)

En los siguientes pasos se encontrará la ecuación general de calor por conducción ahora se debe

determinar los diferenciales de área y volumen involucrados en la ecuación.

(1.18.)

(1.19.)

(1.20.)

Adicionalmente

(1.21.)

Hay que hacer una mención de donde salen estos términos de las diferenciales áreas, es el

área transversal del flujo de calor de un cubo infinitesimal y el dv se relaciona al volumen

infinitesimal del mismo cubo.



Sustituyen las ecuaciones 1.18 al 1.20 en la 1.17 se obtienen que:

(

)

(

)

(

)

(1.22.)

Los diferenciales que se encuentran dentro del paréntesis son constantes se pueden pasar a

multiplicar a fuera del mismo y ser divididos a ambos extremos de la igualdad:

(

)

(

)

(

)

(1.23.)

(

)

(

)

(

)

(1.24.)

Asumiendo una Conductividad Térmica constante, pasamos el término a fuera de los paréntesis y

luego dividiéndolo a ambos lado de la igualdad se tiene:

(

)

(

)

(

)

(1.25.)

(

)

(

)

(

)

(1.26.)

Por lo tanto:

(

)

(1.27.)

Sustituyendo, se obtiene que:

(1.28.)

Al realizar todas estas operaciones matemáticas la expresión resultante se conoce como

Ecuación de Difusividad o Ecuación General de Conducción de Calor, en el caso que la

conductividad térmica sea constante. La ecuación 1.28 también se conoce como la Ecuación de

Fourier-Biot y, en condiciones específicas, se reduce a estas formas:



1. Régimen Estacionario:

(Ecuación de Poisson )

(1.29.)

2. Régimen transitorio sin

generación de calor:

(Ecuación de difusión)

(1.30.)

3. Régimen estacionario y sin

Generación de calor:

(Ecuación de Laplace)

(1.31.)

Ecuación de Calor en Coordenadas Curvilíneas

En los problemas reales de transferencia de calor existirán

diversas maneras o métodos para poder darles alguna solución,

esto conlleva que algunas formas geométricas por donde se

manifiesta el fenómeno sea muy difícil analizarlas por

coordenadas rectangulares, lo cual, hace mucho más fácil su

estudio si transformamos el espacio por donde existe el

fenómeno de transferencia de calor. De esta manera, si se

plantearán en otro espacio coordenado ajeno a un Espacio

Euclidiano normal a uno no Euclidiano se logra generar una

transformación curvilínea entre el espacio coordenado

cartesiano al nuevo sistema curvilíneo ortonormal como son los

ejemplos de los espacios esféricos y los cilíndricos (Tou, 2011).

Así mismo, Esta transformación al nuevo espacio coordenado

nos ayuda a expandir nuestra visión sobre el problema de

transferencia de calor. Adicionalmente, se dice que un espacio

vectorial no Euclidiano, donde un sistema coordenado curvilíneo

se encuentra definido por la base conformada por los vectores ,

, caso contrario, lo que ocurre en un sistema Cartesiano,

donde, la base canónica está definida por x, y, z, así como se observa en la figura 1.1, En

este caso, los vectores curvilíneos se pueden expresar de la siguiente manera:

Figura 1.1 Espacio Vectoriales a) Rectangular b)Espacio Curvilineo



( ) (1.32.)

( ) ( ) ( ) (1.33.)

(1.34.)

Donde son las coordenadas de nuestro nuevo espacio coordenado, así

mismo, , , se conocen como factores escalares, lo cuales, se deben encontrar para

realizar la transformación.

La pregunta fundamental es como definir o realizar una Transformación de un Espacio a otro;

Según Osizik (1993) se debe definir en primera instancia la distancia de un vector en la base

canónica, ósea, en sus correspondientes coordenadas rectangulares. Esto se calcula según

Grossman (2011) de la siguiente manera:

‖ ‖ (1.35.)

Al determinar que el vector tiene características infinitesimales, dado que se mueve de un punto a

otro, esa distancia sufre una pequeña variación en su posición, la cual, matemáticamente puede

ser expresada como una diferencial del vector V, esto también, diferenciará cada una de sus

componentes rectangulares y curvilíneas:

( ) (1.36.)

Donde la nueva distancia será:

‖ ‖ (1.37.)

Ahora bien, si una componente se puede expresar en términos de otras componentes del nuevo

espacio curvilíneo, podemos decir que cada componente cartesiana puede ser expresada como

una diferencial total correspondiente a sus nuevas coordenadas:

( ) (1.38.)

( ) (1.39.)

La diferencial total se determina de la siguiente manera.

( ) (



) ( ) (1.40.)

Desarrollando la serie de Taylor para los primeros términos, a lo cual tenemos:

(1.41.)

Y sustituyendo esta en 1.40, el vector queda:

(

) (

) (

) (1.42.)

Eliminando términos semejantes:

(

) (

)

(

) (1.43.)

Reagrupando la expresión anterior como sumatorias tendremos lo siguiente:

∑ (

)

∑ (

)

∑ (

)

(1.44.)

Dado que:

∑ (

)

(1.45.)

∑ (

)

(1.46.)

∑ (

) (1.47.)

Los diferenciales de x, y, z son vectores con coordenadas curvilíneas así como lo muestra la

ecuación 2.1, por lo tanto, podemos sustituir esta expresión en 2.6, así que,

(1.48.)

(

)

(

)

(

)

(1.49.)



(1.50.)

(

)

(

)

(

)

(1.51.)

(1.52.)

(

)

(

)

(

)

(1.53.)

Sustituyendo en la 1.37

‖ ‖ =(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(1.54.)

Agrupando términos semejantes:

‖ ‖ ((

)

(

)

( )

) ((

)

(

)

( )

)

((

)

(

)

(

)

) (1.55.)

Entonces:

‖ ‖

(1.56.)

Dónde:

((

)

(

)

(

)

) (1.57.)

((

)

(

)

(

)

) (1.58.)

((

)

(

)

(

)

) (1.59.)



De esta manera se encuentran los factores escalares para hacer la transformación, ahora el nuevo

vector transformado tendrá las siguientes coordenadas:

( ) (1.60.)

Coordenadas Cilíndricas

Esta es la manera general para cambiar el espacio coordenado para un sistema ortonormal

curvilíneo, ahora se analizara que es lo que ocurre en una figura geométrica igual a un cilindro, las

coordenadas internamente de un vector en cualquier cilindro se definen de la siguiente manera:

( ) ( ) (1.61.)

Por lo tanto se debe definir como se expresan sus coordenadas rectangulares a coordenadas

cilíndricas:

(1.62.)

Adicionalmente, se debe de recordar que analizamos este caso

para determinar el vector de flujo de calor en coordenadas

cilíndricas en ese caso tenemos entonces lo siguiente:

Si analizamos el flujo de calor en una sección infinitesimal de un

cilindro, en el cual, existe flujo de calores entrantes, como,

salientes donde se generé calor y se almacena parte de la energía,

se podría deducir una Ecuación que nos ayude a definir la

transferencia de calor en coordenadas cilíndricas. En este caso

determinemos con un balance de energía cual sería dicha ecuación:

(1.63.)

(1.64.)


(1.65.)



Por lo tanto:

(1.66.)

(1.67.)

(1.68.)

Sustituyen las ecuaciones 1.66 hasta la 1.68 en 1.64 se tendrá que.

(1.69.)

Acomodando los términos se tiene:

(1.70.)


(1.71.)

Al desarrollar un poco más la igual anterior tendríamos lo siguiente:

( )

( )

( )

(1.72.)

Ahora bien debemos de determinar en este caso el vector del flujo de calor como función de las

coordenadas cilíndricas

(

) (1.73.)

Donde los diferenciales de área son los siguientes:

(1.74.)

(1.75.)

(1.76.)



Adicionalmente

(1.77.)

En este caso determinemos el cambio de variables, para esto necesitamos deducir los Factores

escalares que determinamos anteriormente:

((

)

(

)

(

)

) ((

( ))

(

( ))

(

( ))

) ( ) ( ) (1.78.)

((

)

(

)

(

)

) ((

( ))

(

( ))

(

( ))

) ( ) ( ) (1.79.)

((

)

(

)

(

)

) ((

( ))

(

( ))

(

( ))

) (1.80.)

Por tanto tenemos que:

(1.81.)

(1.82.)

(1.83.)

Sustituyendo en la ecuación 1.11

(

) (1.84.)

Dónde:

(1.85.)

(1.86.)

(1.87.)

(1.88.)

Por tanto:

(

) (1.89.)

Dónde:

;

;

(1.90.)



Este sería el vector del flujo de calor según la ley de Fourier en coordenadas Cilíndricas ahora

sustituyendo las ecuaciones 1.90 en la ecuación 1.72:

(

)

(

)

(

)

(1.91.)

Sacando los términos constantes de las respectivas derivadas parciales:

(

)

(

)

(

)

(1.92.)

Sustituyendo la ecuación 1.88 en la 1.92:

(

)

(

)

(

)

(1.93.)

Se divide y se obtiene:

(

)

(

)

(

)

(1.94.)

Si se asume una conductividad térmica constante se tiene que:

(

)

(

)

(

)

(1.95.)

Esta expresión es la Ecuación General de Calor por conducción en coordenadas cilíndricas.

Así como las coordenadas Rectangulares vamos otras variaciones para este determinado espacio

curvilíneo:




(Ecuación de Poisson en

coordenadas cilíndricas)

(

)

(

)

(

) (1.96.)


generación de calor: (Ecuación

de difusión coordenadas

cilíndricas)

(

)

(

)

(

)

(1.97.)


Generación de calor: (Ecuación de

Laplace en coordenadas

cilíndricas)

(

)

(

)

(

) (1.98.)

Coordenadas Esféricas

Ya analizado el método de transformación de espacio podemos analizar un nuevo conjunto de

coordenadas curvilíneas, ahora se realizará el en una figura geométrica igual a una esférica, las

coordenadas internamente de un vector en cualquier cilindro se definen de la siguiente manera:

( ) ( ) (1.99.)

Por lo tanto se debe definir como se expresan sus

coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas:

(1.100.)

Adicionalmente, se debe de recordar que analizamos este

caso para determinar el vector de flujo de calor en

coordenadas cilíndricas en ese caso tenemos entonces lo

siguiente:

Si analizamos el flujo de calor en una sección infinitesimal de un cilindro, en el cual, existe flujo de

calores entrantes, como, salientes donde se generé calor y se almacena parte de la energía, se

podría deducir una Ecuación que nos ayude a definir la transferencia de calor en coordenadas

cilíndricas. En este caso determinemos con un balance de energía cual sería dicha ecuación:



(1.101.)

(1.102.)


(1.103.)

Por lo tanto:

(1.104.)

(1.105.)

(1.106.)

Sustituyen las ecuaciones 1. en 1. Tendremos que

(1.107.)

Acomodando los términos se tiene que:

(1.108.)


(1.109.)



Al desarrollar un poco más la igual anterior tendríamos lo siguiente:

( )

( )

( )

(1.110.)

Ahora bien debemos de determinar en este caso el vector del flujo de calor como función de las

coordenadas cilíndricas

(

) (1.111.)

Donde los diferenciales de área son los siguientes:

(1.112.)

(1.113.)

(1.114.)

Adicionalmente

(1.115.)

En este caso determinemos el cambio de variables, para esto necesitamos deducir los Factores

escalares que determinamos anteriormente:

((

)

(

)

(

)

) ((

( ))

(

( ))

(

( ))

) ( ) ( ) ( ) (1.116.)

((

)

(

)

(

)

) ((

( ))

(

( ))

(

( ))

) ( ) ( ) (1.117.)

((

)

(

)

(

)

) ((

( ))

(

( ))

(

( ))

) ( ) ( )

( ) (1.118.)

Por tanto tenemos que:

(1.119.)

(1.120.)

(1.121.)



Sustituyendo en la 1.11 las ecuaciones 1.119 a la 1.121:

(

) (1.122.)

Dónde:

(1.123.)

(1.124.)

(1.125.)

(1.126.)

Por tanto sustituyendo en 1.222 las ecuaciones 1.123 hasta la 1.126:

(

) (1.127.)

Dónde:

;

;

(1.128.)

Este sería el vector del flujo de calor según la ley de Fourier en coordenadas Cilíndricas ahora

sustituyámoslo en la ecuación 1.110:

(

)

(

)

(

)

(1.129.)

(

)

(

)

(

)

(1.130.)

Sustituyendo la ecuación 1.126. En la 1.130

(

)

(

)

(

)

(1.131.)



Pasamos a dividir y se obtiene:

(

)

(

)

(

)

(1.132.)

Si se asume una conductividad térmica constante se tiene que:

(

)

( )

(

)

(

)

(1.133.)

Esta expresión es la Ecuación General de Calor por conducción en coordenadas cilíndricas.

Así como las coordenadas Rectangulares vamos otras variaciones para este determinado espacio

curvilíneo:


(Ecuación de Poisson en

coordenadas cilíndricas)

(

)

( )

(

)

(

)

(1.134.)


generación de calor: (Ecuación

de difusión coordenadas

esféricas)

(

)

( )

(

)

(

)

(1.135.)


Generación de calor: (Ecuación de

Laplace en coordenadas

cilíndricas)

(

)

( )

(

)

(

) (1.136.)



Conclusiones

1. En el balance de Energía que existe en un cuerpo multidimensional, el cual, es afectado

por un flujo de calor incidiendo en todas sus dimensiones, así mismo, se le aplica una

generación calor y ocurre una almacenamiento de energía, se lograr determina que el

ecuación de calor por conducción es una ecuación diferencial parcial, que cuya solución

será una función matemática de sus coordenadas en el espacio vectorial que sea

estudiado. Adicionalmente esta solución determina la distribución de Temperatura en

cualquier punto del espacio vectorial en el estudio. En este caso, se deben plantear las

condiciones de frontera o las condiciones físicas para poder determinar la solución más

adecuada para dicha ecuación.

2. Se puede realizar un cambio de espacio vectorial, con el simple hecho de realizar un

cambio de base entre 2 espacios ortonormales, en este caso, trasladar un Espacio

Euclidiano rectangular con base canónica a otro espacio vectorial no Euclidiano con base

curvilínea. Se lograr hacerlo con el simple hecho de realizar una diferencial total a las

coordenadas curvilíneas que definen a las coordenadas rectangulares en el espacio

rectangular. Por tanto, se puede concluir que la trasformación de un espacio a otro es una

linealización del mismo con un factor de escala determinado, dicho, términos son los

factores escalares a1,a2,a3, los cuales se multiplican a los vectores de la base canónica, lo

que conlleva que la base nueva es una base linealmente independiente

3. La transferencia de calor para un espacio coordenado curvilíneo puede también

encontrarse una expresión matemática que modele dicho mecanismo de intercambio de

calor, haciendo las respectivas transformaciones de las coordenadas del espacio, se

puede determinar cualquier ecuación general de calor para un sinfín de espacios

curvilíneos, en nuestro caso los determinados en coordenadas Cilíndricas y esféricas.



Bibliografía

1. Cengel, Y. A. (2007). Transferencia de Calor y Masa, un enfoque Práctico. Mexico D.F.:

Mcgraw Hill.

2. Grossman, S. (2011). Algebra lineal. Mexico DF: McGraw-Hill.

3. Holman, J. P. (2010). Heat Transfer. New York: Mcgraw-Hill.

4. Osizik, N. (1993). Heat conduction . New York: John Wiley and Sons.

5. Prieve, D. C. (2000). A course in Fluid Mechanics with Vector Field Theory. Pittburgh:

Carnegie Mellon University.

6. Tou, S. (2011). Visualization of Fields and Applications in Engineering. John Wiley & Sons.

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