decisio - centro de cooperación regional para la ...en la mayor parte de los trabajos de este...

2 CARTA DEL DIRECTOR 33 EL GÉNERO DISCURSIVO DE LA MATEMÁTICA ESCOLAREstrategias de inclusión cultural en la Educación de Jóvenesy AdultosMaría da Conceição Ferreira Reis Fonseca/Brasil.

37 EL CAJEROUn recurso didáctico que favorece el accesode adultos analfabetos a la simbolización de los númerosy las operaciones de suma y restaMaría Fernanda Delprato/Argentina; Irma Fuenlabrada/México.

41 INTERPRETACIÓN Y RETOS DE LAS ETNOMATEMÁTICASPARA LA EDUCACIÓN BÁSICA DE ADULTOSMercedes de Agüero/México.

46 ELABORACIÓN DE MATERIALES ESCRITOSDE MATEMÁTICAS PARA EL APRENDIZAJE A DISTANCIAMónica Inés Schulmaister Lagos/México.

51 MATEMÁTICAS EN LÍNEAElementos para una evaluaciónPaula Bourges y Guillermina Waldegg/México.

59 LA FORMACIÓN DE ASESORES EN MATEMÁTICASUna experiencia en los talleres de formación y actualización deasesores y técnicos docentes del INEAMarco Antonio García Juárez/México.

5 MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN DE JÓVENES Y ADULTOSAlicia Ávila/México.

8 EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTASY ETNOMATEMÁTICASReflexiones desde la lucha del Movimiento Sin Tierra de BrasilGelsa Knijnik/Brasil.

12 AUTOAPRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICASEN LOS GRUPOS DEL INEACarmina A. Sánchez Pérez/México.

17 REFLEXIONES SOBRE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICADE JÓVENES Y ADULTOSDione Lucchesi de Carvalho, Elisangela Pavanelo e Izabel Cristina deAraujo Franco/Brasil.

22 CÁLCULO ESCRITO Y PÉRDIDA DE SIGNIFICACIÓNAlicia Ávila/México.

27 LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA DE JÓVENES Y ADULTOSInfluencias y trayectosGermán Mariño S./Colombia.

SSSSSABERESABERESABERESABERESABERES. M. M. M. M. MAAAAATEMÁTICASTEMÁTICASTEMÁTICASTEMÁTICASTEMÁTICAS YYYYY EDUCACIÓNEDUCACIÓNEDUCACIÓNEDUCACIÓNEDUCACIÓN DEDEDEDEDE ADULADULADULADULADULTOSTOSTOSTOSTOS

Carlos Mérida (Guatemala, 1891 – Ciudad de México, 1984.)

Siendo todavía muy joven, este extraordinario artista guatemalteco viajó a Europa;permaneció en ese continente durante varios años, habiendo trabajado allí conVan Dongen, Modigliani y Camarasa. Después de su regreso a Guatemala viajó en1919 a la Ciudad de México, en donde llegó a ser uno de los principales ayudantesde Diego Rivera en varias obras murales. Viajó nuevamente a Europa en 1927,conociendo bien, entre muchos otros, a Kandinsky, Klee y Miró. Mérida nuncafue un surrealista ortodoxo, pero es indudable que este poderoso movimiento enel arte y la literatura ejerció una gran influencia en él y seguramente acompañó sutránsito de una manera figurativa con fuerte contenido social y político hacia unestilo de abstracción que le fue muy personal y que se fue consolidando a partir desu regreso a México en 1929, país en el que permaneció hasta su muerte. Desdelos años 50, y ya preocupado de tiempo atrás por generar una estrecha conexiónentre el arte abstracto que producía y el contexto arquitectónico al que su obraestaba destinada, el trabajo de este gran artista guardó más relación con el cons-

tructivismo que con el surrealismo. Sus grandes dotes le permitieron asimilar a su obra, desde temprana edad, elementos substancialesdel arte indígena prehispánico, en especial del arte maya. El cuadro que ahora reproducimos (La princesita de Ixtanquiqui, 1919, óleosobre tela), muestra todo ello con el talento que acompañó a Carlos Mérida a lo largo de la totalidad de su obra.

3 CARTA DEL EDITOR

DecisioSABERES PARA LA ACCIÓN EN EDUCACIÓN DE ADULTOS

64 RESEÑAS BIBLIOGRÁFICAS

66 NOTICIAS Y EVENTOS

68 ¿AHORA QUÉ?, cómo conseguir financiamiento

ichavez

Rectangle

2 Decisio PRIMAVERA 2003

Decisio CARTA DEL DIRECTOR

L A ALFABETIZACIÓN es una tarea humana sujeta concepciones distintas a lo largo del tiempo. Su definición, o conceptualización, no es la misma en 1950 que en el año 2000, por la sencilla razón de que se modifica no sólo la

realidad social y comunitaria, sino también la visión que de ella se tiene para propó-sitos educativos. De esta manera, es imprescindible identificar la alfabetización, enel contexto de la educación de jóvenes y adultos, de acuerdo a las condiciones impe-rantes en la sociedad en que se realiza. Si bien el acceso a la lectura y la escritura seacompañó siempre con el aprendizaje de las acciones de sumar y restar, multiplicary dividir, hoy suele hablarse genéricamente de la necesidad de introducir a los jóve-nes y adultos en el conocimiento de las Matemáticas. Podría pensarse que en elfondo es lo mismo, pero quizá sea necesario identificar esta última denominacióncomo una educación interesada en ofrecer algo más que el manejo de las cuatrooperaciones básicas.

Este número de Decisio está dedicado a analizar los problemas y aspectos refe-ridos específicamente a la enseñanza de las Matemáticas para jóvenes y adultos. Sulectura permite tener una visión de conjunto de este importante problema, a partirde los doce planteamientos que aquí se ofrecen, que si bien en algunos artículos setratan de problemas que pueden calificarse de similares, puede afirmarse que entodos el lector tiene la posibilidad de acercarse a aspectos diversos de indudableimportancia.

En la mayor parte de los trabajos de este número se hace explicita la importan-cia de tomar en cuenta los conocimientos con los que llegan los jóvenes y adultos alaprendizaje de las matemáticas, pues la vida misma se encarga de enfrentarlos asituaciones que exigen la comprensión de los procesos matemáticos en los queestán insertos, para comprar, vender, pagar servicios, etcétera. Pero los procesos deenseñanza de las Matemáticas exigen no descuidar la posibilidad de que lo aprendi-do no se integre en forma paralela, y separada, de esos conocimientos matemáticosque de alguna forma ya poseen, aun en ocasiones en forma inconsciente, pues esoque se aprende exige necesariamente un proceso de razonamiento que muchas ve-ces no está presente en la práctica cotidiana.

Todo proceso educativo, tanto el que se realiza con personas que ingresan a laescuela en la edad escolar correspondiente, como el dedicado a jóvenes y adultos.Implica el acceso y utilización del razonamiento, pero es evidente que los caminos ymétodos para cumplir el acto educativo son diferentes si se trata de niños o deadultos. En relación a las Matemáticas es evidente que la enseñanza para unos yotros debe responder a las necesidades en cada caso, pues el aprendizaje también esdistinto. Y aquí surge una pregunta inevitable, referida a los procesos de abstracciónde que es capaz el estudiante adulto de Matemáticas, y si esa capacidad es igual enun adulto joven, maduro o mayor.

Otro problema que también debe tomarse en cuenta es el del aprendizaje delvalor que tienen los dígitos según su ubicación en una cifra donde se conjuntanvarias para realizar la suma o la resta. Desde esta interpretación gráfica hasta losprocesos más complejos donde se puede utilizar una computadora, para la educa-ción de Matemáticas a distancia en educación secundaria para jóvenes y adultos, ladiversidad de problemas muestra lo complejo de un proceso educativo en el queadquiere importancia fundamental la necesidad de que el proceso mismo, así comolos materiales diseñados para ese propósito, no excedan la capacidad del adulto y lepermitan su incorporación a etapas superiores en su educación, en vez de llevarlo aabandonar ésta por los problemas cuya solución le resulta imposible.

Son muchos y todos importantes, los aspectos relacionados con la enseñanza delas Matemáticas para jóvenes y adultos. Agradecemos a los autores de los trabajosaquí publicados, de Brasil, Colombia, Argentina y México, su valiosa contribuciónque hizo posible la realización de este número y especialmente a la editora invitada,maestra Alicia Ávila Storer, responsable de la obtención de todos estos trabajos.

Alfonso Rangel GuerraDirector General

PRIMAVERA 2003 NÚMERO 4Director

ALFONSO RANGEL GUERRA

EditorJM GUTIÉRREZ-VÁZQUEZ

Editoras AsistentesCECILIA FERNÁNDEZ

DIANA FRANCO

ESPERANZA MAYO

Editores AsociadosJOSÉ LUIS HERNÁNDEZ

(versión impresa)

CARLOS VÉLEZ

(versión digital)

Investigación de ArteJM GUTIÉRREZ-VÁZQUEZ

FotografíaCARLOS BLANCO

DiseñoVALENTÍN JUÁREZ

Composición ElectrónicaALEJANDRO ACOSTA

Oficinas EditorialesAV. LÁZARO CÁRDENAS S/N * COL. REVOLUCIÓN * C.P. 61609

PÁTZCUARO, MICHOACÁN, MÉXICO

http://atzimba.crefal.edu.mx/decisio

Consejo Editorial

Rosana MartinelliORGANIZACIÓN DE LOS ESTADOS AMERICANOS

Silvia SchmelkesSECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, MÉXICO

Ana DeltoroINSTITUTO NACIONAL DE EDUCACIÓN PARA ADULTOS, MÉXICO

Carlos ZarcoCONSEJO DE EDUCACIÓN DE ADULTOS DE AMÉRICA LATINA

Jorge OsorioFONDO DE LAS AMÉRICAS, CHILE

Liliana Francis TurnerASOCIACIÓN DE PEDAGOGOS DE CUBA

Corresponsales

Decisio se encuentra desarrollando una red de corresponsalesde diferentes partes de América Latina. Si usted está interesado

en participar puede ponerse en contacto con nosotros:

[email protected] y [email protected]

*

Suscripciones:Para informes acerca de las suscripciones, pueden dirigirse a

[email protected]

www.crefal.edu.mx

ISSN en trámite

Decisio SABERES PARA LA ACCIÓN EN EDUCACIÓN DE ADULTOS. Revista cuatrimestral,otoño 2002. Editor responsable: Alfonso Rangel Guerra. Número

de Certificado de Reserva otorgado por el Instituto Nacional del Derechode Autor: 04-2002-070317064500-102. Número de Certificado de Licitudde Título: 12153. Número de Certificado de Licitud de Contenido: 8806.Domicilio de la publicación: Lázaro Cárdenas s/n, Quinta Eréndira, Col.

Revolución. Pátzcuaro, Mich., CP 61609. Imprenta: CREFAL.Distribuidor: MEXPOST

Impreso en México

PRIMAVERA 2003 Decisio 3

Queridos amigos:

Deseamos compartir con ustedes una buena nueva: estamos recibiendo muchas colabora-ciones para nuestra revista, de tal manera que la edición de los números correspondientesa 2003 está muy avanzada y la perspectiva para 2004 y los años siguientes es de muchaconfianza. Me permito incluir abajo un informe sucinto sobre los números temáticos quehabrán de aparecer durante este año y el próximo; creo que les será muy estimulante atodos ustedes. Incluyo los correos electrónicos de los editores invitados por si deseancomunicarse con ellos. El nombre que aparece entre paréntesis es el de la persona encarga-da del número respectivo dentro del equipo editorial de Decisio en CREFAL.

Formación de formadores y educación de adultos.Carmen Campero [email protected] y Tomás Carreón [email protected](Diana Franco). OTOÑO, 2003.

Cultura escrita y educación de adultos.Judith Kalman [email protected](JM Gutiérrez-Vázquez). INVIERNO, 2003.

Educación para la paz y educación de adultos.Leonel Zúñiga [email protected] y Gabriela Enríquez [email protected](Esperanza Mayo). PRIMAVERA u OTOÑO, 2004.

Educación especial en educación de adultos.Stella Maris de Armas [email protected](JM Gutiérrez-Vázquez). PRIMAVERA u OTOÑO, 2004.

Consumo y educación de adultos.Martha Elena Montoya [email protected] y Angela [email protected] (JM Gutiérrez-Vázquez). INVIERNO, 2004 o PRIMAVERA, 2005.

Ciudadanía y educación de adultos.Jesús Cantú Escalante [email protected] e Yvette Núñez [email protected](Diana Franco). INVIERNO, 2004 o PRIMAVERA, 2005.

Investigación participativa y educación de adultos.Joaquín Esteva y Javier Reyes [email protected](Cecilia Fernández). INVIERNO, 2004 o PRIMAVERA, 2005.

Por supuesto que las fechas son tentativas y el acuerdo con los editores invitados es que elnúmero que esté listo primero entra a diseño e impresión primero.

Carta del editora los lectores y colaboradores de Decisio


También queremos compartir con ustedes alguna de las principales dificultades. El meollodel problema editorial de Decisio se presenta porque algunos de los autores y/o de loseditores invitados no asumen cabalmente el carácter de nuestra publicación, su naturaleza,su estilo, el vacío que viene a llenar y el público al que está dirigida. Como en el caso decualquier revista, ruego a todos considerar con atención las instrucciones a los autores quese encuentran claramente especificadas tanto en las versiones impresas como digitales deDecisio. De todas maneras, me permito puntualizar:

Lo que Decisio es:• Es una revista que socializa saberes concretos y significativos para la acción en educaciónde adultos.• Intenta fortalecer el proceso de transferencia de los resultados de proyectos de investiga-ción y desarrollo a la práctica educativa con adultos.• Publica artículos breves, concisos, claros, en lenguaje simple y llano tan libre de tecnicis-mos como sea posible.• La estructura de los artículos incluye: Introducción (planteamiento del problema), Acti-vidades (los procedimientos seguidos y el contexto en que se trabajó), Resultados (resul-tados obtenidos y su discusión) y Recomendaciones para la acción (recomendacionesconcretas en forma de una lista numerada). Por supuesto que la utilización de esta estruc-tura puede ser flexible.• Los artículos no llevan notas al pié de página. Incluyen al final tres o cuatro referenciasbibliográficas fundamentales y de fácil acceso, con las indicaciones de cómo conseguirlas(correo electrónico, página web, dirección postal, etc).• Está dirigida a los prácticos de la educación de adultos (facilitadores, asesores, técnicosdocentes, funcionarios y directivos en instituciones oficiales o independientes) para apo-yarlos en su trabajo y en la toma de decisiones.

Lo que Decisio no es:• No es una revista dedicada a revisar planteamientos teóricos o metodológicos in extenso.Ya hay muchas revistas que lo hacen.• Excepto el artículo que inicia cada número, escrito por el editor invitado, Decisio nopublica artículos largos. Tampoco emplea terminologías elaboradas que no sean del domi-nio de los educadores en ejercicio.• No publica revisiones bibliográficas sobre un tema ni artículos con numerosas citas o conreferencias a las que el lector no pueda acceder fácilmente. Ya hay revistas que lo hacen.• No está dedicada a los investigadores, especialistas, expertos y colegas universitarios. No está,pues, dirigida a la academia. Ya hay bastantes publicaciones académicas; Decisio no lo es.

Por supuesto que estamos en la mejor disposición de discutir todos estos puntos connuestros lectores, nuestros colaboradores y nuestros editores invitados. Esperamos la reac-ción de todos ustedes.

Atentamente,

JM Gutiérrez-Vázquez.Editor.


SABERES

INTRODUCCIÓN. Hace algunos años es-cuché decir a un importante fun-cionario que la enseñanza de las

matemáticas a los jóvenes y adultosno ameritaba mucha reflexión, ya queera tan simple como el hecho de que"2 + 2 son 4". La misma frase escu-ché en voz de un joven que se inicia-ba como alfabetizador y que se acer-có a mí para informarse acerca de las

MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN DE JÓVENES Y ADULTOS

Alicia ÁvilaUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL / MÉXICO

[email protected]

técnicas para enseñar la lectura y laescritura, pues la vida lo había pues-to en tal predicamento. La cuestiónpuede parecer anecdótica y de pocovalor, pero está lejos de serlo. No esdifícil suponer que lo que mis dos in-terlocutores tenían en mente es queel problema se reduce a comunicarreglas, procedimientos y definiciones.

Este ejemplo, burdo si se quiere,

es signo de la simplificación que so-cialmente se ha hecho del tema y quealcanza a alfabetizadores y —desafor-tunadamente— también a quienestoman decisiones sobre la educaciónde jóvenes y adultos. Las consecuen-cias son profundas. Han impactadotanto en la calidad de las propuestaseducativas y curriculares que se ofre-cen a este sector de población como


en la labor de enseñanza que se reali-za día a día en los grupos o círculosde estudio.

La lógica del "2 + 2 son 4" mues-tra su equívoco ante distintos hechos:por una parte, a la educación mate-mática de jóvenes y adultos se hantrasladado los modelos y los susten-tos de la educación de niños, a pesarde que los conocimien-tos, la experiencia y lasexpectativas de unos yotros son diferentes(véase al respecto elartículo de Mariño eneste número). Pero es-tos modelos no llega-ron solos a la educa-ción de jóvenes y adul-tos, también llegó conellos el desencanto y eldesinterés. Éstos se re-flejan —entre otrascosas— en la escasademanda y el abando-no prematuro del ser-vicio educativo. No esdescabellado pensar quelo que retiene a quienesahí continúan, es el va-lor de los certificados yno el interés por lo quese aprende o discute.

LA ENSEÑANZA DE LAS MATE-MÁTICAS DEBE RECONOCER EL

SABER INFORMAL. Hoy, gra-cias a la investigación,sabemos que los jóve-nes y adultos desarro-llan conocimientosmatemáticos en su vidacotidiana. En este mis-mo número, por ejem-plo, Gelsa Knijnik habla de inteligen-tes campesinos que miden la tierraincluso por el tiempo que ocupan tra-bajándola con un tractor. La etnoma-temática precisamente nos ha ense-ñado que la matemática es una acti-vidad propia de los pueblos y nos haproporcionado un conocimiento so-bre cómo las personas aprenden,pero también nos habla de la necesi-dad de dialogar con esos saberescuando se promueve el aprendizajede la "matemática escolar".

Por ello, no es suficiente conoceral joven o al adulto al margen de laescuela, no basta con afirmar y repe-tir que "saben mucho"; también sehace necesario conocerlos como per-sonas que buscan vincularse con el saber ma-temático formal. De esto último aúnsabemos poco y por ello no tenemosrespuestas definitivas acerca del cómo

ayudarlos en su proceso de adquisi-ción de la matemática escrita. Sabe-mos, sin embargo, que resulta clavedilucidar un punto para mejorar laenseñanza de la matemática escolar:

¿Cómo apoyar el tránsito del mun-do del cálculo ágrafo al mundo de laescritura matemática, cuyo carácterconvencional y simbólico resalta es-pecialmente ante las personas quehan manejado durante muchos añosun sistema de cálculo personal queno ha necesitado de la escritura? Di-

cho de otro modo: el cálculo mentales un sistema que funciona con unasreglas que se han probado durantelargo tiempo. ¿Cómo introducir a laspersonas al mundo de los procedi-mientos escritos si las reglas de éstoscontradicen los mecanismos de cál-culo mental y favorecen la pérdida designificación dada por la vinculación

con el mundo? Mi expe-riencia en un círculo dealfabetización es que,para la mayoría de laspersonas resulta muy di-fícil el tránsito a la escri-tura matemática conven-cional, particularmente laque refiere a losalgoritmos de cálculo; loque se sabe de antemanoconstituye por regla ge-neral un obstáculo, en elsentido bachellardiano dealgo que impide aceptary comprender lo nuevo.Orlando Joia plantea elproblema en los siguien-tes términos:

"[...] los adultos insis-ten en recuperar, en elaula, conceptos, procedi-mientos y nociones mate-máticas que construyeronen el espacio cotidiano yde trabajo, independiente-mente de lo que sus pro-fesores les quieren ense-ñar". (Joia; 1997; 27).

Queda mucho por ha-cer para poder ofrecer res-puestas curriculares satis-factorias a los jóvenes y

adultos que buscan el servicio de edu-cación básica. Las relaciones entre losdos espacios donde las personas cons-truyen conocimientos matemáticos, elde la escuela y el de la vida cotidiana,son complejas. La siguiente frase quehoy es frecuentemente pronunciada:"hay que considerar los saberes pre-vios" reviste una complejidad tal vezinimaginada por quienes la pronuncian.Esta complejidad debe constituir mo-tivo de preocupación y de ocupaciónen la enseñanza.


Pero el reconocimiento de la com-plejidad del acto de enseñar y apren-der las matemáticas "formales", lasque como dice Seu Antonio (citadopor Concepción Ferreira) implican la"maldad del lenguaje", no busca ge-nerar parálisis en el hacer cotidianode los educadores; lejos de eso, pre-tende llamar a la reflexión como pun-to de partida para mejorar la acción.Los autores que generosamente res-pondieron a la convocatoria para par-ticipar en este número, aportan ade-más elementos para avanzar en lacomprensión y las formas de abor-dar la problemática.

LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS NO PUEDE

REGIRSE POR LA LÓGICA DEL "2 + 2 SON 4".Los datos proporcionados sobre loseventos que se suceden en los círcu-los de estudio y que se exponen eneste número son por demás re-veladores: el encuentro crítico con lossistemas de cálculo escrito que favo-recen la pérdida del vínculo con laexperiencia y con ello la pérdida dela significación, la dominancia de losjóvenes sobre los adultos mayores, ladesatención por parte de los educa-dores a quienes aún necesitando ayu-da no se atreven a demandarla, lasdificultades para comprender la lógi-ca del libro de texto, todo ello testi-monia la urgencia de considerar laenseñanza de las matemáticas comoun asunto del que han de ocuparse

con seriedad todos los que estén invo-lucrados en la educación de jóvenesy adultos. Muestran también vías deacceso hacia una mejora en la ense-ñanza, pero sobre todo, nos alejan dela creencia de que son posibles lassoluciones triviales.

En el marco de esta problemáti-ca, de la cual probablemente el edu-cador de adultos no es conciente, esestimulante constatar que un grupode investigadores y educadores lati-noamericanos ha tomado como pre-ocupación, y aun como proyecto devida, el aprendizaje y la enseñanza delas matemáticas con jóvenes y adul-tos. La creación del modelo de secun-daria a distancia, el acompañamientoa los Sin Tierra, las aportaciones dequienes optaron por la etnomatemá-tica, la elaboración de materiales deaprendizaje alternativos, la construc-ción y prueba de propuestas de alfa-betización matemática, la evaluación delos cursos puestos en línea, constitu-yen todas ellas el campo de reflexiónactual de la educación matemáticapara los jóvenes y adultos. Son tam-bién pistas para los educadores.

Formando parte de una ola inno-vadora, las computadoras han hechosu entrada en la educación de jóve-nes y adultos. Según sabemos, éstasejercen una atracción importante enlos jóvenes que hoy se aglutinan enlos círculos de estudio. Pero el usode las computadoras no borra los

problemas arriba anotados, ni susti-tuye la labor del asesor o la del gru-po, es decir, la interacción humana.Para que no se conviertan en un sim-ple espejismo, habrán de elaborarseprogramas y materiales adaptados alas necesidades y posibilidades de sususuarios y habrán de considerarsesólo una herramienta más en el pro-ceso educativo. La computadora,pues, no es ninguna panacea, puesdeja intocados otros problemas aquíabordados. Más cerca de las solucio-nes necesarias estaría la preparaciónpertinente de quienes se hacen cargode vincular a las personas con el sa-ber matemático formal.

Quienes han colaborado en estenúmero son miembros de una comu-nidad que —aunque distante física-mente— comparte en el continentela preocupación por que lo cotidia-no en los círculos y grupos de estu-dio de jóvenes y adultos sea mejor;por que los profesores y asesores deeste sector de población tengan máselementos para fundamentar y llevara cabo su labor. Han hecho un es-fuerzo por acercar a los educadoreslos hallazgos de las investigacionesque realizan. Los aportes ofrecidospor estos autores hacen patente quela enseñanza de las matemáticas nopuede regirse por la lógica del 2 + 2.Es un imperativo tomar concienciade ello y trabajar para ofrecer unaeducación donde la "maldad del len-guaje" no paralice a los jóvenes yadultos que asisten al servicioeducativo.

Lecturas sugeridas

JOIA, ORLANDO, 1997. "Cuatro pre-guntas sobre la educación matemáti-ca de jóvenes y adultos" en Varios au-tores. Conocimiento matemático en la edu-cación de jóvenes y adultos. UNESCO-SAN-TIAGO. Santiago de Chile.www.unesco.cl/07.htmwww.crefal.edu.mx


SABERES

EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTASY ETNOMATEMÁTICAS

Reflexiones desde la lucha del Movimiento Sin Tierra de BrasilGelsa Knijnik

UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS/ [email protected]

INTRODUCCIÓN. Empiezo a escribireste artículo cuando en Brasil to-davía se vive la emoción de ver a

un obrero oriundo de las capas po-pulares, ser electo presidente de unpaís que tiene más de 20 millones depersonas jóvenes y adultas no alfa-betizadas. Es con este sentimiento deque el mundo de abajo del ecuadorpueda, quizás, comenzar a vivir unnuevo tiempo donde los bienes ma-teriales y culturales no sean accesi-bles solamente a unos cuantos, quetrataré de compartir algunas de las re-

flexiones que he construido a lo lar-go de mi experiencia como investi-gadora y educadora de personas adul-tas del Movimiento Sin Tierra del surde Brasil.

El Movimiento Sin Tierra tienecomo una de sus prioridades laeducación de sus integrantes que notuvieron acceso a los procesos deescolarización. Para ello organizaproyectos educativos especialmenteorientados para ese grupo de adultos.Hoy en día esa dimensión de laeducación del movimiento involucra

aproximadamente 25 mil estudiantesy 1200 educadores. El trabajoeducativo está organizado a partir deun conjunto de principios que consti-tuyen aquello que el movimientonombra como su pedagogía. Unapedagogía que busca dar sustentacióna la lucha por la reforma agraria y seconstituye en su motor principal. Elmovimiento tiene muy presente quelos cambios culturales, sociales yeconómicos que esa reforma exigiráno se podrán realizar sin la educaciónde sus integrantes, en particular, sin


una educación en el área de lasmatemáticas para personas adultas.

MMMMMEDICIÓNEDICIÓNEDICIÓNEDICIÓNEDICIÓN DEDEDEDEDE LALALALALA TIERRATIERRATIERRATIERRATIERRA YYYYY DIVERSIDADDIVERSIDADDIVERSIDADDIVERSIDADDIVERSIDAD CULCULCULCULCULTURALTURALTURALTURALTURAL.....Uno de los temas que se hace muypresente en el trabajo pedagógico querealizo con grupos de personas adul-tas del Movimiento Sin Tierra es la"medición" de tierras, principalmen-te el cálculo de áreas —a lo que ellosnombran cubação de la tierra. Esta esuna práctica social muy importantepara los campesinos porque cuando,al fin de un proceso intenso de pre-sión y negociación, reciben del go-bierno un trozo de tierra donde viviry trabajar, necesitan planear su vidacotidiana y organizar la producción.Una de las exigencias de esa planea-ción es la cubação.

Los campesinos tienen métodospropios de realizar la medición de lastierras, métodos que son transmiti-dos oralmente de generación en ge-neración en el contexto rural. Si, porejemplo, el trozo de tierra del que ne-cesitan conocer el área es un cuadri-látero con estas medidas: 120, 60, 80y 100 metros, los distintos métodosque he encontrado en sus comuni-dades pueden ser descritos como sehace enseguida.

El primer método, que he llama-do "método de Jorge" (pues él fue elprimer campesino que me lo ense-ñó), consiste en sumar los cuatro la-dos del cuadrilátero y dividir el resul-tado entre cuatro. A continuación, seeleva al cuadrado este número y elresultado — 8100 m2 — es conside-rado como el área del trozo de tierra.

Un segundo método, que he lla-mado (por razones análogas ) "mé-todo de Adán" consiste en las siguien-tes etapas: se suman los lados opues-tos (60 + 80 y 120 + 100) y se calculala media de cada una de las sumas (resultando en 70 y 110, respectiva-mente). En seguida, se multiplica unnúmero por el otro. El resultado ob-tenido — 7700 m2 — es el área deltrozo de tierra.

Si uno compara estos dosmétodos, se observa de inmediatoque producen resultados distintos. Encualquier cuadrilátero, con excepcióndel cuadrado, el "método de Jorge"producirá un área más grande que lacalculada por el "método de Adán".Aún más, si se los compara con otrométodo — que, cuando lo enseño alos campesinos, ellos lo llaman de"método de los libros". (¡Un modomuy clarificador de diferenciar aque-

llos conocimientos que, por ser valo-rados como conocimientos científi-cos, son merecedores de ser incluidosen libros y transmitidos en la escuela!)las diferencias que existen entre losresultados son bastante explícitas. "Elmétodo de los libros" se basa en unproceso de triangulación, que divideel cuadrilátero en dos triángulos. Aquímerece la pena destacar que su utiliza-ción exige que una de los diagonalesdel cuadrilátero sea medida. Al deter-minar esta diagonal, desde el puntode vista matemático se garantiza launicidad del cuadrilátero y, conse-cuentemente, la unicidad del área. Enel ejemplo de trozo de tierra ahorapresentado, si la diagonal midiera 160metros, el área encontrada seria6330,4 m2; si la diagonal midiera 110metros, el área resultaría en 7136,8m2. Es importante resaltar que, desdeel punto de vista práctico, no siemprees fácil medir dicha diagonal, lo queexplicaría el uso, a través de genera-ciones, de los métodos populares demedición de la tierra.

Es importante entender que las di-ferencias entre los métodos descri-tos, dependiendo de la forma del tro-zo de tierra y de los propósitos paralos cuales se mide, puede tornarsepoco significativa. En el caso de queel cuadrilátero sea un cuadrado, to-dos los métodos coinciden.

Más recientemente he encontra-do en comunidades del MovimientoSin Tierra otro método popular demedir la tierra. Como me dijo uncampesino mientras hablábamos so-bre esta cuestión: "Nosotros pone-mos el tractor arriba de la tierra. Tra-bajando con él tres horas, da justouna hectárea". Lo que al inicio pare-ce algo impropio, puede ser mejorcomprendido cuando nos damoscuenta de que en nuestra vida coti-diana muchas veces expresamos dis-tancias a través de medidas de tiem-po. De modo cada vez más impor-tante, hoy, en la ciudad y en el cam-po, lo que interesa es el tiempo gas-tado en la realización de un determi-nado desplazamiento, más que, efec-tivamente, su distancia. Para los fi-nes del cultivo, la hora del empleo deltractor, muchas veces, es un dato más


relevante que la precisión relativa alos metros cuadrados del campo.

El tema de la medición de la tie-rra es un ejemplo de la diversidad cul-tural del mundo campesino de los SinTierra, donde, en una misma comu-nidad, distintos modos de vivir y sig-nificar el mundo —en particular, li-diar matemáticamente con la vidacotidiana— se hacen presentes. Enesa diversidad, tales prácticas socia-les se confrontan permanentemente,en un proceso complejo sobre el cualla educación de personas adultas tie-ne que poner su atención. Si no lohiciera, correría el riesgo de tornarsevacía, sin significado, tan lejana de lavida de las personas que no les haríasentido dedicar su tiempo a las cla-ses de matemáticas.

Los métodos populares de cubaçãoson ejemplos de la diversidad culturaldel mundo campesino. Empero, esadiversidad no es una característicacultural exclusiva de ese mundo.También en la ciudad, con losintensos procesos de migración quemarcan la época contemporánea, nosencontramos con distintas cultu-rasinteraccionando en una misma aula.La pregunta que vale la pena que noshagamos es: ¿Qué contribuciónpuede hacer la educación matemáticapara la construcción de un mundodonde las diferencias culturales seanpositivamente consideradas? Al finalde este artículo, presento algunas demis reflexiones sobre esta cuestión.

DDDDDIVERSIDADIVERSIDADIVERSIDADIVERSIDADIVERSIDAD CULCULCULCULCULTURALTURALTURALTURALTURAL YYYYY EDUCACIÓNEDUCACIÓNEDUCACIÓNEDUCACIÓNEDUCACIÓN MAMAMAMAMATEMÁTICATEMÁTICATEMÁTICATEMÁTICATEMÁTICA

DEDEDEDEDE JÓVENESJÓVENESJÓVENESJÓVENESJÓVENES YYYYY ADULADULADULADULADULTOSTOSTOSTOSTOS. El tema de la diver-sidad cultural ha hecho presencia enla educación matemática a través delcampo de las etnomatemáticas. Elcampo de las etnomatemáticas sur-gió a mediados de los años 70 del si-glo pasado, con las teorizaciones deUbiratan D´Ambrosio. A partir de1985, con la creación del Grupo In-ternacional de Estudio sobre las Et-nomatemáticas (International StudyGroup on Ethnomathematics) elcampo se ha desarrollado de modosignificativo.

Las etnomatemáticas, como yo lasveo, están interesadas en incorporaren las prácticas pedagógicas las di-

mensiones culturales, sociales y polí-ticas de la educación matemática. Así,las etnomatemáticas están atentas alos vínculos entre la educación y lacultura de los grupos sociales; se co-nectan con las historias de esas per-sonas, sus historias presentes y pasa-das, sus tradiciones, incluyendo susmodos de lidiar matemáticamentecon el mundo, modos que, a lo largode la historia han quedado ausentesen el currículo de los diferentes nive-les de enseñanza. Las matemáticasque son transmitidas en los procesoseducativos son las matemáticas de losconocimientos oficiales, de los cono-cimientos dominantes. Enseñamos elmodo dominante de razonar, comosi ese fuera el único modo de pensarel mundo, en particular, de lidiar ma-temáticamente con el mundo. En esesentido considero que las etnomate-máticas, al oponerse a esta posiciónde aceptar la dominación como algoque no puede ser cuestionado, bus-can contar, enseñar, introducir en losprocesos de educación de personasadultas la historia no oficial del pre-sente y del pasado.

Basada en ese aporte teórico y enmi experiencia con los adultos delMovimiento Sin Tierra, he caracteri-zado la perspectiva etnomatemáticaque utilizo en mi actividad pedagógi-ca como:

La investigación de las tradiciones,prácticas y conceptos matemáticosde un grupo social y el trabajo pe-dagógico que se desarrolla con elobjetivo de que el grupo interpretey decodifique su conocimiento; ad-quiera el conocimiento producidopor las matemáticas académicas, es-tablezca comparaciones entre su co-nocimiento y el conocimiento aca-démico, analizando las relaciones depoder involucradas en el uso de es-tos dos distintos saberes.

(Knijnik, 1996).

Esta perspectiva implica articular,en el trabajo pedagógico los saberespopulares — como los métodos po-pulares de medición de la tierra queantes mencioné — y los saberes aca-démicos y sus transposiciones didác-

ticas. Asumir esa perspectiva posibi-lita que las herramientas matemáti-cas sean puestas en acción para pro-ducir argumentos sobre las ventajaso desventajas del uso, en contextosespecíficos de cada uno de los méto-dos (tanto los populares como losacadémicos), favoreciendo el examende las relaciones de poder entre di-versos grupos sociales que están in-volucrados en la utilización de estosdistintos métodos. .

Por lo tanto, no se trata de glorifi-car el saber popular para encerrar losgrupos subordinados en guetos, re-forzando, a través de esa operaciónetnocéntrica, las desigualdades socia-les. De forma parecida, me he man-tenido siempre atenta para no glori-ficar el saber académico, como si setratara de la única narrativa capaz deexplicar y presentar soluciones paratodas las situaciones-problema delmundo concreto.

Un punto que también pareceimportante destacar es que un traba-jo en la perspectiva de las etnoma-temáticas, así como las entiendo,posibilita un doble movimiento. Elprimero es el movimiento de lacomunidad hacia las aulas de mate-máticas. De hecho, aquí, las prácticasde la comunidad son consideradascomo contenido escolar, como obje-to de estudio, no como simple mate-rial a partir del cual las matemáticasoficiales son enseñadas. Pero hay elsegundo movimiento: el de la escuelahacia la comunidad. El cono-cimiento que es producido en lasaulas de matemáticas es compartidocon los demás miembros de la comu-nidad, especialmente con los adultoscon poca o ninguna escolarizaciónque, por distintas razones, no esténparticipando en proyectos de educa-ción de personas adultas.

Ese doble movimiento: comuni-dad-escuela-comunidad, constituyeuna de las dimensiones importantesde la perspectiva de las etnomatemá-ticas. Tal perspectiva, al problemati-zar la cientificidad, la neutralidad yasepsia de las matemáticas académi-cas, busca incorporar al currículo tam-bién otras matemáticas, usualmente si-lenciadas en todos los niveles de edu-


cación como produccióncultural de grupos no he-gemónicos. Esa no es, sinembargo, una mera acti-tud de "benevolencia"para con los excluidos.

Nosotros, educadorasy educadores, que, desdeel punto de vista éticosomos corresponsablespor las grandes masacresque hasta hoy han sido ysiguen siendo producidaspor la humanidad, tam-bién somos partícipes depequeñas masacres coti-dianas, como las practica-das en nuestras clases,cuando exterminamosotros saberes que no sonlos de la cultura dominan-te, cuando hacemos decuenta que aquellos sabe-res populares ni siquiera existieron oexisten y, valoramos, con nuestra vozautorizada de profesores y profeso-ras solamente los conocimientos eru-ditos de la cultura occidental, no por-que sean, en sí desde el punto de vis-ta epistemológico, superiores, sinoporque son los practicados por losgrupos que están legitimados ennuestra sociedad como los que pue-den/deben/son capaces de producirciencia. Estamos directamente invo-lucrados en los procesos que se opo-nen o que favorecen aquello que elsociólogo Boaventura de Souza San-tos llama epistemicidio — la destruc-ción del conocimiento de un deter-minado grupo social, cuya forma másradical es el genocidio, donde no so-lamente las mentes y los corazones,sino también los cuerpos de las per-sonas son eliminados.

Tales procesos de inclusión o ex-clusión — que al final definen quégrupos estarán representados y cualesestarán ausentes en la escuela — son,al mismo tiempo, producto derelaciones de poder y productores deesas relaciones. Son producto derelaciones de poder, puesto que sonlos grupos dominantes los que tienenel capital cultural para definir quéconocimientos son legítimos paraintegrar las clases de matemáticas.

Además, esos procesos también sonproductores de relaciones de poder,puesto que influyen, por ejemplo, enel éxito o fracaso escolar, producensubjetividades muy particulares,colocando a las personas en algunosdeterminados lugares de lo social yno en otros. Como esos lugares noestán, de una vez por todas, definidos,nuestro papel como educadores es,sobre todo, político.

CCCCCONCLUSIONESONCLUSIONESONCLUSIONESONCLUSIONESONCLUSIONES

1. Las etnomatemáticas encuentransu expresión más relevante cuandoexponen su compromiso social,cuando no tratan las cuestiones cul-turales como elementos exóticos ydesenraizados, cuando comprendenque hay que poner en interlocuciónlos saberes populares y los académi-cos, puesto que el acceso al conoci-miento oficial también es parte im-portante de la educación de las per-sonas adultas.2. De ese modo, las etnomatemáti-cas se proponen crear posibilidadesde que un área específica del cono-cimiento participe en la construcciónde una educación que se vincule alos intereses de grupos sociales comoel Movimiento Sin Tierra, grupos que

a lo largo de la historia han sido mar-ginados y excluidos.

Lecturas sugeridas

D’AMBRÓSIO, U., 1990, Etnomatemá-tica, São Paulo, Atica, 1990.___., 1993. "Etnomatemática: umprograma. A Educação Matemática"em Revista, Blumenau, vol. 1, núm.1, pp. 5-11, 1993.___., 2001. Etnomatemática: Elo entreas tradições e a modernidade, Belo Hori-zonte, Autêntica.

KNIJNIK, GELSA, 1996. Exclusão e Re-sistência: Educação Matemática e Legiti-midade Cultural, Porto Alegre, Artmed.___. (2000) "Ethnomathematics andPolitical Strugles" en COBEN, Diana.

O‘DONOGHUE, JOHN; GAIL FITZIM-MONS. (Org.), 2000, Perspectives onAdults Learning Mathematics, Researchand Practice, vol. 1, pp. 119-134,London.


AUTOAPRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICASEN LOS GRUPOS DEL INEA

SABERES

Carmina A. Sánchez PérezDEPARTAMENTO DE INVESTIGACIONES EDUCATIVAS,CINVESTAV-IPN / MÉXICO

[email protected]

INTRODUCCIÓN. En este artículo se presentan los resulta-dos parciales de una investigación cuyo objetivo prin-cipal fue el de estudiar la interacción que se establece

entre el asesor y el adulto cuando este último se enfrentaal aprendizaje formal de las matemáticas. Aunque el es-tudio se realizó dentro de una perspectiva etnográfica,combinando los registros de observación con los de laentrevista, los resultados aquí presentados sólo se basanen los resultados de la observación.

El caso elegido para este artículo corresponde a Emilia,una mujer de 75 años quien, al momento de la observa-ción, estudiaba matemáticas de primaria con el libroMatemáticas I, volumen 1, del Modelo Pedagógico deEducación Primaria para Adultos (vigente oficialmente

en los grupos del Instituto Nacional de Educación paraAdultos, INEA, hasta diciembre de 2001). Emilia asiste aun círculo de estudio del INEA atendido por un asesorcon cuatro años de experiencia, pasante de licenciaturaen pedagogía quien, además del grupo observado, tienea su cargo otros dos grupos en el INEA, atendidos en otroscentros. El grupo de Emilia está compuesto por 17alumnos de secundaria y cuatro de primaria; se reúnenpor las tardes (de seis a ocho) tres veces por semana enun centro cultural del ISSSTE ubicado al sur de la Ciudadde México. Dentro del centro se realizan además diversasactividades como: clases de guitarra, manualidades,ejercicio físico, etc, impartidas por otros maestros.También se organizan salidas a lugares de interés (museos,


sitios turísticos, etc.) y también se proyectan películas paratodo público.

El autoaprendizaje, ya sea de manera individual o den-tro de un círculo de estudio asistido por un asesor, es unsupuesto que subyace a los planteamientos teóricos delINEA, y que adquiere carácter de normatividad a través dela documentación oficial. Así por ejemplo, en la guía delasesor (INEA, 1998), la institución resalta cuál debe ser larelación entre el asesor y el adulto o grupo de adultosque asisten al círculo de estudios:

El círculo de estudios es un grupo de personas que sereúnen para cursar su educación básica, ayudándose unosa otros y con la colaboración de un asesor que orienta y apoya algrupo en sus actividades de aprendizaje.

La asesoría no es una clase […] es más activa que unaclase, en ella todos aprenden de todos. […] Es un espacio enel que se desarrollan las habilidades para que las perso-nas aprendan por sí mismas. […] El punto de partida es loque sabe el educando y se profundiza acerca de sus dudas einquietudes. […] Los nuevos conocimientos se relacio-nan con los que el grupo posee y se procura que se apli-quen en la vida cotidiana.

La observación que presentamos muestra una con-tradicción entre el "deber ser" expuesto en la Guía delasesor y "el hacer" del asesor; éste es un punto que debeser analizado con cuidado y está relacionado, entre otrosfactores, con la realidad que vive el asesor en su grupo,

con la efectividad de la capacitación recibida y con sunivel de compromiso. En las líneas que siguen mostrare-mos algunos momentos en la actividad de Emilia en losque el supuesto del autoaprendizaje se pone en tela dejuicio.

Compartir con los educadores de adultos los resulta-dos de esta experiencia de observación a un círculo deestudio puede ser útil para que reflexionen sobre su pro-pia práctica y, así mismo, revaloren la importancia delpapel que desempeñan en estos círculos.

LLLLLOOOOO QUEQUEQUEQUEQUE OBSEROBSEROBSEROBSEROBSERVVVVVAMOSAMOSAMOSAMOSAMOS ENENENENEN ELELELELEL CÍRCULOCÍRCULOCÍRCULOCÍRCULOCÍRCULO DEDEDEDEDE ESTUDIOESTUDIOESTUDIOESTUDIOESTUDIO

Tiempos de atención:El registro etnográfico arroja datos que pueden ser incom-patibles con los postulados de la Guía del asesor: al contrariode lo que se lee en las citas anteriores, y aunque los adultosse reúnan en grupo, las observaciones muestran que el apren-dizaje se da en forma individual. Los grupos de INEA son,efectivamente, un espacio de socialización para el adulto;sin embargo, no lo son en el sentido de socializar el apren-dizaje y los saberes, de tal suerte que cada individuo es res-ponsable y se encarga de su propio aprendizaje; la colabora-ción entre los adultos con relación al aprendizaje, incluyen-do al asesor es, en general, poco común.

En el grupo Emilia trabaja sola en su libro casi todoel tiempo. En varias de las observaciones se registra:


"Voltea varias veces como queriendo llamar al ase-sor pero como éste está ocupado atendiendo a otros adul-tos, no se atreve a hablarle."

"Se percibe en ella un sentimiento de soledad. Va-rias veces voltea en busca del asesor y al no obtenerrespuesta sigue resolviendo ella sola, con todas sus du-das, su libro."

"Estuvo esperando al asesor para preguntarle perocuando éste regresó ya era hora de salida y Emilia seconcretó a decir 'Ya ni modo' y, a cerrar el libro."

"El asesor está con un grupo de muchachos expli-cándoles algo con relación al examen. Emilia comenta"...y ahora ya me dejó como novia de pueblo... peroestá con esos chamacos."

Muchos de los círculos de estudio del INEA estánformados por grupos heterogéneos con diversos nivelesde escolaridad, habilidades y avance; esto repercute, comoen el caso presente, en que el asesor no atienda a todospor igual, en perjuicio de quien más lo necesita. En elcaso de Emilia, el tiempo que le dedica el asesor es mínimoy prácticamente no recibe apoyo de él: ella hace sola losejercicios en su casa y en la clase. El asesor les hace máscaso a los adultos que estudian la secundaria. "Me ponetaches, pero no me dice cómo hacerlos (los ejercicios dellibro) y yo los tengo que corregir sola."

A la situación de heterogeneidad del grupo tambiénhay que añadir que el asesor tiene que atender a las per-sonas que buscan información —actividad que realizadentro de las dos horas de atención al grupo, ya que den-tro de sus funciones está la de incorporar adultos,— ade-más de ausentarse frecuentemente cuando el personaldel centro cultural lo requiere para la organización dealguna festividad: día de la independencia, día de muer-tos, posadas, etcétera.

El autoaprendizaje:Diversos estudios sostienen la escasa posibilidad de éxi-to en el autoaprendizaje si no se da una orientación ade-cuada al adulto que fracasó en el sistema escolarizado.Esto es más frecuente en el caso de los adultos de bajaescolaridad, ya que necesitan un punto de arranque, unpunto de apoyo para aprender lo que proporciona el INEA.Esta modalidad, por cierto, no deja de caer en el rubrode educación formal, es decir, constituye un aprendizaje ofi-cialmente establecido, diferente al aprendizaje no formal alque el adulto no escolarizado está acostumbrado.

El caso de Emilia es ilustrativo:

En la página 121 del libro de matemáticas se pide re-solver dos problemas aplicando la suma:

Resuelva los siguientes problemas:

Laura surtió un pedido. Sirvió: 24 tacos de arroz y 24de chicharrón, 12 atoles de nuez y 15 atoles de chocolate.

¿Cuántos tacos sirvió Laura?Aquí escriba la cuenta:

Aquí escriba la respuesta: ___________ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

¿Cuántos atoles sirvió Laura?Aquí escriba la cuenta:

Aquí escriba la respuesta: ___________ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Emilia lee el primer problema y anota la operación enel libro, pero no en los cuadros correspondientes, sinoque la escribe a un lado de los cuadros, en el espaciodestinado a la respuesta. Con esto, la intención pedagógicadel ejercicio se ve inva-lidada, aunque sin consecuenciasinmediatas para el resultado que ella obtiene.

La página 122 presenta un problema similar al ante-rior. Emilia ahora escribe la operación en los cuadrosindicados, pero coloca las dos cifras en el lugar de lasunidades, contraviniendo, de nuevo, la intención peda-gógica del ejercicio.

En la cooperativa de costura fabricaron esta semana:45 delantales blancos y 42 delantales azules, 24 pantalo-nes de hombre y 20 de niño.¿Cuántos delantales fabricaron en el taller?Aquí escriba la cuenta

Aquí escriba la respuesta __________

+

24+ 24

48(Escritura de Emilia)

+

12+ 15

27(Escritura de Emilia)

27

+ (Escritura de Emilia)45

42

87

87


Emilia requiere constantemente del apoyo del asesorpara contestar conforme a la secuencia pedagógica dellibro. En estos casos las dificultades de Emilia no son deconocimiento, ya que logra realizar las operaciones arit-méticas correctamente; sin embargo, esta limitante síconstituye un problema mayor puesto que repercute ensu aprendizaje.

En general, Emilia tiene dificultades al resolver lamayoría de los ejercicios del libro. Borra y escribe variasveces. A veces saca su cuaderno para copiar algunas co-sas de ahí, aunque casi no lo utiliza. Realiza todas lasoperaciones en el libro (anota la operación en alguna partedel libro, la realiza, copia el resultado y luego la borra).Cuenta con los dedos, cuenta de uno en uno. Sus recur-sos son el libro y el lápiz. Con el lápiz señala los objetosque va sumando. Cuando realiza la suma con sus dedos,lo hace debajo de la mesa.

A pesar de los errores que comete, en ocasiones bastacon una sola explicación para que ella comprenda lo quetiene que hacer.

El problema de la lectura:Emilia presenta otro problema que interfiere con el apren-dizaje de las matemáticas y es el relacionado con su nivelde lectura. En general, presenta las siguientes dificulta-des: lee deletreando, le cuesta trabajo entender lo queestá leyendo, se confunde de renglón aunque lee seña-lando con su dedo (termina uno y regresa al renglón dearriba, a la mitad se da cuenta: "ah, si éste ya lo leí" y pasaal renglón correcto). Termina de leer una página y salta aotra, sin llevar un orden determinado.

Otra característica de su lectura es que siempre lee envoz alta, aunque la lectura sea para ella, y cuando acabaun párrafo se detiene un poco como pensando en el sig-nificado de lo leído.

En general, el problema que Emilia tiene con la lectu-ra repercute en que constantemente hace una interpreta-ción personal de lo que lee o no entiende las instruccio-nes del libro.Veamos algunos ejemplos:

Al inicio de cada lección, el libro del adulto presentauna especie de introducción al tema, planteando proble-mas o dando información. En la página 51 (Lección no.6: "Medimos") aparecen dos fotografías: una de ellas conunos albañiles midiendo una barda y en la otra una mujermidiendo el largo de la falda de una niña. La primera vaacompañada por la inscripción: "Para construir unacasa..."; la segunda, "Para hacer un vestido..." En esta pá-gina no hay que escribir nada, es la introducción al temapara ser leída y, probablemente, comentada entre el ase-sor y el adulto. Aunque lee el texto, Emilia lo interpretacomo: "¿Qué se necesita para hacer una casa...? ¿Qué senecesita para hacer un vestido?"En la página 31 aparece el texto: "Juan tiene un puestode flores. Cuando cierra, junta las rosas y los claveles.¿Cuántas rosas y claveles tiene en total?"

Sumamos cuando contamos lo que juntamos.

Aunque esta introducción aparece como pregunta, nocontempla la resolución por parte del adulto. Es la mis-ma situación que el caso anterior. En estos casos —y enotros similares— Emilia se desconcierta porque no hayun lugar adecuado en donde ella cree que tiene que po-ner una respuesta.

En la página 149 (Lección no. 14: "Unidades de me-dida") se lee:

Al medir siempre usamos una unidad de medida. Cuan-do medimos, tomamos repetidamente una unidad de me-dida y vemos cuántas veces cabe en la cantidad que quere-mos medir. Así, si decimos 3 tazas de azúcar, la unidad demedida es la taza y la hemos utilizado 3 veces. Si decimos2 vasos de agua, la unidad de medida es el vaso y lo hemosutilizado 2 veces.

Emilia lee toda la página. Termina de leer y dice "Ah,pues yo creo que esa ya no se tiene que hacer.... Es nadamás para que yo sepa para qué sirven... para qué sirve elvaso y para qué sirve la taza."

En el caso de los recuadros con información gene-ral, Emilia comenta "aquí me están poniendo para quemi mente trabaje y no esté de ociosa. Sí, porque ter-minamos muy mal, la gente termina muy mal. (aquíbaja mucho la voz y ya no se le entiende. Parece quepiensa en su propia situación). Yo leo algo, aunquesea con trabajos, comiéndome las letras, pero leo."

Muchas veces, el querer contestar lo que no se tieneque contestar la lleva a cometer errores.

Un ejemplo relacionado con el problema de la lecturaes el de la página 167:

Con las 13 unidades sueltas se forma una decena ysobran 3 unidades.

Emilia comienza a leer: "Con las trece unidades sueltasse forma una decena", reflexiona sobre lo leído y comenta"... con los 13 sueltos se forma una unidad. Sí, o sea, 3 uni-dades". Después de comentar esto realiza la operación: 13+ 13 = 26 considerando ambos conjuntos como elementosque debe sumar y no como un equivalente.

Estos son sólo algunos de los ejemplos observadosque nos permiten tener una idea de cómo se enseñan (yse aprenden) las matemáticas en la cotidianidad de ungrupo de adultos.

1 3 +1 3 2 6

(escritura de Emilia)


CCCCCONCLUSIONESONCLUSIONESONCLUSIONESONCLUSIONESONCLUSIONES YYYYY RECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONES PPPPPARAARAARAARAARA LALALALALA ACCIÓNACCIÓNACCIÓNACCIÓNACCIÓN

1. No todos los adultos que ingresan al INEA pueden lle-var con éxito un aprendizaje abierto. De hecho varias ex-periencias han mostrado que el adulto busca en los gru-pos del INEA, no un círculo de estudios ni un asesor, sinoun grupo y un maestro a la manera tradicional. Además,muchos de los asesores comparten esta idea.

2. De la misma forma que sucede en el sistema escolari-zado, hay adultos que necesitan más atención que otrosy esa atención es más importante en los adultos de me-nor escolaridad.

3. No siempre la mecánica del libro es bien comprendi-da por el adulto de baja escolaridad. Esto es más eviden-te cuando se trata de seguir una secuencia paso a paso.Aquí hay que considerar que si bien la secuencia paso apaso es un procedimiento didáctico, también requierede cierto nivel de desarrollo por parte del adulto paraque sea asimilada. Aunque un adulto de baja escolari-dad llegue con relativa facilidad al resultado, le cuestatrabajo seguir la secuencia. Ávila (1990), en un artículosobre las estrategias de cálculo de los adultos, señala tresniveles: "... los sujetos del nivel inicial verbalizan sólofragmentos de las estrategias de cálculo (...). En el nivelintermedio (...) las estrategias de cálculo, en la mayorparte de los casos, no son verbalizadas de forma siste-mática y global. (...). El nivel final se caracteriza (...) porla capacidad generalizada de verbalizarlas sistemática-mente". Muchos de los errores registrados en la resolu-ción de problemas, se debieron a que el adulto no fuecapaz de registrar gráficamente la secuencia paso a paso,que en otro plano sería el equivalente de verbalizar suestrategia para llegar al resultado correcto. Regresandoa que éste es un procedimiento didáctico, tenemos que,como tal, requiere de que el asesor acompañe al adultoen esta experiencia y no lo deje solo.

4. En los adultos observados, el principal problema paraun buen aprovechamiento en el aprendizaje de las mate-máticas fue su nivel de lecto-escritura. La mayoría de loserrores observados en el libro del adulto se debieron auna mala interpretación de lo que el libro pedía. Cuandode lo que se trata es de que los adultos aprendan las es-trategias convencionales para el cálculo y la resoluciónde problemas, el nivel de alfabetización (entendido comoel grado de dominio de la lectura y la escritura) es unavariable que debe ser tomada en cuenta.

5. El libro del adulto propicia continuamente la vincula-ción de éste con su vida cotidiana. Sin embargo, estorequiere que el asesor desarrolle la habilidad para sacaral adulto del libro y llevarlo al plano de lo cotidiano. Locomún en el grupo, en el periodo observado, fue que loacadémico siempre estuvo desvinculado de la vida coti-diana; esto propicia que el adulto considere que el cono-

cimiento escolar es algo ajeno porque no hay quien loremita de los ejemplos del libro a la realidad que vive.Esto está relacionado, también, con el hecho de que eladulto llega al grupo con una noción estereotipada de loque es la escuela.

6. El problema anterior se deriva de que los educadoresde adultos muchas veces no poseen saberes profesiona-les encaminados a la docencia y menos aun éstos sonsaberes específicos para abordar la educación de los adul-tos. Por otro lado, el que persistan estas prácticas hablatambién de una deficiencia institucional para dar a co-nocer el nuevo enfoque educativo, así como las caracte-rísticas específicas de los materiales. Por lo anterior, esimportante que la institución diseñe estrategias encami-nadas a impactar a corto y mediano plazo el quehacercotidiano del asesor en el grupo, éstas pueden ser: la ca-pacitación, la actualización, el seguimiento, y el apoyotécnico permanente.

Lecturas sugeridas

ÁVILA, A., 1990, "El saber matemático de los analfabe-tos. Origen y desarrollo de sus estrategias de cálculo",Revista latinoamericana de estudios educativos, 20 (3) 55-95www.crefal.edu.mx

ÁVILA, A. Y G. WALDEGG, 1997, Hacia una redefinición delas matemáticas en la educación básica de adultos, Instituto Na-cional para la Educación de los Adultos, Mé[email protected]

BLOCK, D. Y M. DÁVILA, 1993, "La matemática expulsa-da de la escuela", Educación matemática, 5 (3) 39-58.www.engrupo.com.mx/menu.htm/

INEA, 1996, "Nuestras cuentas diarias", Matemáticas, Pri-mera parte, Vol. 1, SEP-INEA, México.www.inea.gob.mx

INEA, 1998, Guía del asesor. Segunda y tercera etapas de educa-ción básica. Primaria y secundaria, SEP-INEA, México.www.inea.gob.mx

MARIÑO S. G., 1983, ¿Cómo opera matemáticamente el adultodel sector popular?, 1983. Dimensión Educativa, Bogotá,Colombia. www.reduc.cl


SABERES

REFLEXIONES ACERCA DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICADE JÓVENES Y ADULTOS

Dione Lucchesi de CarvalhoFACULDADE DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS - FE/UNICAMP / BRAZIL

[email protected]

Elisangela PavaneloUNIVERSIDADE RIOPRETENSE - UNIRP / BRAZIL

[email protected]

Izabel Cristina de Araujo FrancoFE/UNICAMP / BRAZIL

[email protected]

INTRODUCCIÓN. Este artículo aborda algunos aspectos dela educación en matemáticas de jóvenes y adultos bra-sileños partiendo de la idea de que ésta constituye un

aprendizaje básico para que "... los seres humanos pue-dan sobrevivir, desarrollar plenamente sus capacidades,vivir y trabajar con dignidad, participar plenamente en eldesarrollo, mejorar la calidad de vida, tomar decisionesfundamentadas y continuar aprendiendo." (Schmelkes,1994:125). Más que en el cálculo, trabajamos en la bús-queda de una perspectiva crítica, incorporando para ello

la educación matemática y colocando la prioridad en losusos sociales de las matemáticas y no en el modelo comotal (Skovsmose, 2001). En nuestras investigaciones bus-camos contribuir con directrices metodológicas y curri-culares para la práctica de clase dentro de la Educaciónde Jóvenes y Adultos, teniendo en cuenta que " ...si lasprácticas y la investigación educativa son críticas, debenabordar los conflictos y las crisis en la sociedad. La edu-cación crítica debe revelar las desigualdades y la repre-sión de cualquier tipo." (Skovsmose, 1999:23-24).


LA EDUCACIÓN DE JÓVENES Y ADULTOS EN BRASIL. A pesar de loscompromisos asumidos en las conferencias internacio-nales, tenemos en Brasil pocos avances con relación a laspolíticas públicas de educación con jóvenes y adultos:encontramos una referencia al "... reconocimiento delderecho de jóvenes y adultos a la educación, y el deberdel Estado de ofrecer educación para esa población noescolarizada." (Paiva, 2002:1); no obstante, las medidasque se toman para el ejercicio de este derecho han man-tenido su carácter de emergencia, como si los resultadosdel proceso educativo pudiesen ser inmediatistas: en es-pacios de tiempo cortos, los alumnos son entrenados paraobtener buenos resultados en los exámenes o pruebas yel conocimiento matemático no es evaluado. No existepreocupación por su desarrollo intelectual ni por unaposible continuidad de sus estudios. Por no ofrecer cali-dad, se crea un modelo de enseñanza que excluye de laescuela, nuevamente, a los jóvenes y adultos que ya ha-bían sido excluidos cuando niños. Esto contribuye amantener la población de no alfabetizados ("...la ense-ñanza elemental completa, como derecho, deja fuera a40 millones de personas de 15 a 39 años..." Paiva, 2002:1)y un amplio contingente poblacional con bajos índicesde alfabetismo funcional.

Además de lo anterior, notamos actualmente un cam-bio en las características de la educación de jóvenes yadultos provocado por la disminución significativa de loslímites de edad para la aceptación del joven —adoles-cente— en esta modalidad: mayores de 15 años para la

enseñanza elemental y mayores de 18 años para la ense-ñanza media (artículo 38, párrafo 1, incisos I y II.de laLey de Directrices y Bases de la Educación Brasileña). Laescuela básica brasileña comprende, actualmente, la edu-cación infantil, que atiende a los niños y niñas de 0 a 6años, la enseñanza fundamental, que comprende ochoaños, y la enseñanza media, que comprende tres. En laeducación de jóvenes y adultos estos dos cursos puedenser reducidos, respectivamente, a cuatro años y a un añoy medio (cada semestre corresponde a un año). Frente aestas posibilidades legales, observamos un aumento con-siderable de la proporción de alumnos de 15 a 18 añosen clases de educación de jóvenes y adultos.

LAS MATEMÁTICAS Y LA PRÁCTICA SOCIAL. Al observar las clases delos cursos de educación de jóvenes y adultos nos damoscuenta que el número de alumnos adultos que dejó laescuela hace mucho tiempo, y que por lo tanto no tuvo laoportunidad de estudiar cuando niño (niña) viene dismi-nuyendo. Al mismo tiempo, como decíamos anteriormen-te, aumenta el contingente de jóvenes de 15 a 18 añosque, presionados por la inserción precoz en el mercadode trabajo, busca la oportunidad de seguir educándoseen la EJA. Esos estudiantes, cuyas historias de vida se di-ferencian entre sí pero comparten la exclusión, aspiranintensamente a continuar sus estudios, situación que hacenecesaria una reflexión y atención específicas.

Cuando nos referimos al término exclusión, entende-mos que no se trata sólo de la exclusión escolar, sino


también de una serie de exclusiones sociales, culturales yeconómicas. Tales exclusiones sufridas por esos alum-nos rebasan los muros escolares obligándolos, muchasveces, a abandonar la escuela. Como menciona Fonseca(2002:32), ellos

... dejan la escuela para trabajar, dejan la escuela porque lascondiciones de acceso o de seguridad son precarias; dejanla escuela porque los horarios y las exigencias son incom-patibles con las responsabilidades que se vieron obligadosa asumir. Dejan la escuela porque no hay alumnos sufi-cientes, no tienen profesor, no tienen material. Dejan laescuela, sobre todo, porque no consideran que la forma-ción escolar sea tan relevante que justifique enfrentar todaesa gama de obstáculos para su permanencia.

Por lo anterior, se hace muy importante desarrollaruna metodología incluyente para que ese alumno no de-sista de la escuela y de ese modo incentivar el sentimien-to de necesidad de la cultura escolar, creando condicio-nes de vida para que esta cultura se vuelva esencial parasu existencia.

No podemos negar que nos encontramos en unasociedad cambiante y dependiente de la tecnología,entendiendo por ella no sólo las computadoras y equipossemejantes, sino todo lo relacionado a la vida socialmoderna, "... toda civilización se vuelve una recons-trucción tecnológica" (Skovsmose, 2000:98). Lasmatemáticas cumplen un papel como parte del desarrollotecnológico, o sea, pertenecemos a una sociedad en quelidiamos con problemas y ejemplos matemáticos aún sindarnos cuenta de ello; "...esto significa que las matemáticasse han vuelto parte de nuestra cultura" (idem:99).

De ese modo, defendemos la idea de que, estando lasmatemáticas presentes en la práctica social de las personas,el alumno de educación de jóvenes y adultos tiene elderecho de una educación escolar de calidad que le dé laposibilidad de interactuar con las herramientas matemá-ticas, de relacionar los instrumentos de sus pensamientosparticulares y compartirlos con otros alumnos volvién-dose posible la elaboración y reelaboración de nuevasformas de pensamiento.

ACTIVIDADES DESARROLLADAS DURANTE LA INVESTIGACIÓN. La inte-racción de los alumnos de la EJA con la matemática típicaescolar, muchas veces se da de manera poco clara. Loscontenidos que necesitan ser abordados de manera másabstracta, generalmente son reorganizados con la inten-ción de que se vuelvan más fáciles para el alumno, y esfrecuente que en esa reorganización los temas sean trata-dos de manera simplista. Concordamos con Paulo Freire(1987:183) en que esto:

... significa caricaturizar a los alumnos como si ellos nofuesen capaces. Ser sencillo es tratar los contenidos deforma realmente fácil para que sean aprendidos; tene-mos que ser sencillos (en nuestra práctica pedagógica);

sencillez en sí misma, no por los alumnos, cuya expe-riencia intelectual es diferente de la nuestra. El lenguajesimplista reduce el objeto de estudio a la caricaturiza-ción de sí mismo. Al desvalorizar el objeto de estudio seacaba desvalorizando a la audiencia, y desvalorizar laaudiencia a la cual se dirige, es elitismo.

La experiencia ha indicado que este elitismo mencio-nado por Freire llega hasta los encargados de definir lasdirectrices curriculares para la educación de jóvenes yadultos, y en especial las de las matemáticas, en la medidaen que favorecen los cursos aligerados, de muy cortaduración. Los intentos de trabajo en contra de esta pos-tura encuentran resistencia de la propia estructura esco-lar y/o de los profesores que dan clases de matemáticasen este segmento educacional. Como ejemplos haremosreferencia a dos datos documentados en el trabajo decampo de las investigaciones de maestría de dos de lasautoras de este artículo. Uno de ellos se refiere a la ense-ñanza de la multiplicación y otro a la enseñanza de álge-bra elemental.

En una clase con alumnos de varios grados —de pri-mero a cuarto— de la enseñanza fundamental, se pro-gramó un trabajo que comprendía el estudio de diversasconcepciones de multiplicación (en referencia a la adi-ción, la comparación y razón, las ideas de combinatoria yde proporcionalidad) trabajados en una perspectiva dia-lógica, en el sentido de Paulo Freire. Iniciamos con situa-ciones cuyos temas estaban relacionados a otras áreasdel conocimiento que los alumnos estaban estudiando.Pretendíamos sistematizar los procedimientos algorítmi-cos y de datos fundamentales de la multiplicación en latabla de Pitágoras. Un ejemplo es la propiedad conmuta-tiva que se hace evidente por la simetría de la tabla enrelación a la diagonal principal.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 4 8 12 16 20 24 28 32 36 405 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 6 12 18 24 30 36 42 48 54 607 7 14 21 28 35 42 49 56 63 708 8 16 24 32 40 48 56 64 72 809 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pensamos que de esta forma favorecíamos un abor-daje algebraico de la aritmética, evitando limitar las con-diciones de contextualización exclusivamente a la vidacotidiana del alumno. Uno de nuestros supuestos es queel análisis de una tabla en el contexto abstracto de lamatemática favorece la adquisición del instrumento ope-ración multiplicación y posibilita que los alumnos dispon-gan de él para aplicarlo en otras situaciones de su prácti-ca social, diferentes de aquellas discutidas en la clase.


Construida la tabla con gran entusiasmo por los alum-nos, la investigadora —que era la profesora de la clase—se vio imposibilitada de analizarla para destacar los datosfundamentales de la multiplicación que ahí se evidencia-ban. El curso fue abruptamente interrumpido por lasinstituciones que lo mantenían.

Esta experiencia puso de manifiesto la dificultad detrabajar con una metodología incluyente que considerelos diversos saberes, construyendo junto con el alumnoel significado de la técnica operatoria escolar. No fue po-sible enseñar "... cómo ejercer la curiosidad epistemoló-gica indispensable para la producción de conocimiento"(Freire, 1998:141). La reflexión matemática necesaria parala construcción del pensamiento crítico, para la inmer-sión en las ideas abstractas, fue postergada para aquellosalumnos, si es que ellos tendrán acceso a este tipo detrabajo algún día.

El otro ejemplo, referido a la enseñanza de álgebraelemental, muestra una inconsciente simplificación elitistadel profesor de matemáticas. Este contenido matemático,por ser considerado esencialmente general y abstracto,es usualmente abandonado en los cursos de educaciónde jóvenes y adultos o, cuando es abordado, es utilizadoexclusivamente en relación a la vida cotidiana del alumno.Para desarrollar este ejemplo vamos a analizar un episodioocurrido en una clase correspondiente al 7º año de laenseñanza fundamental.

La situación propuesta inicialmente por la profesorafue: "Si un trabajador gana en 12 días R$ 369.00, ¿cuánto

gana por día?" En la intención de auxiliar al alumnocon las dificultades para traducir el problema al len-guaje matemático, la profesora propuso, oralmente,otras dos situaciones:Profesora: Tu pagas un real por cinco panecillos. ¿Cuán-to cuesta cada panecillo?Alumno: Veinte centavos cada uno

(responde rápidamente)Profesora: ¿Cómo hiciste para llegar a esa respuesta?Alumno: Porque cinco veces veinte centavos es igual aun real.Profesora: Bien. Y si tienes un real para dividir entre tuscinco hijos. ¿Cuánto va a recibir cada hijo?

(El alumno piensa un cierto tiempo. Repite variasveces el problema en voz alta, hasta que responde)Alumno: Veinticinco centavos.Profesora: ¡No! ¡¡¡Son veinte centavos también!!!

Y sin otro comentario pasa al siguiente problema.

Inicialmente la profesora supuso que la dificultad paradividir la remuneración por los días de trabajo radicaríasolamente en la magnitud de los números, por lo cualoptó por intentar los cálculos con números más simplesrecurriendo al problema de precio de los panecillos. Estasituación fue solucionada por cálculo mental, pues pro-bablemente el alumno tenía como referencia su vivenciacotidiana. En el segundo intento no se le ocurrió a laprofesora que no es común que quien tiene un real lodivida entre sus cinco hijos. Ella expresó su extrañeza


por el hecho de que el alumno no percibió la misma es-tructura matemática en las tres situaciones que ella con-sideraba relacionadas con la vida no escolar del alumno yal percibir que el alumno no había generalizado la divi-sión (a : b = x) para las tres situaciones, desistió de auxi-liarlo para resolver el problema inicial.

Así, negando la complejidad de la división de núme-ros racionales, sea en la división inexacta, sea en la divi-sión de un entero por otro de mayor valor, la profesorageneró una dificultad de otra naturaleza: que el alumnose vea obligado a transitar solo entre el cálculo mental yla generalización de la expresión algebraica. El ejemploindica que ella consideró que sus alumnos no entende-rían la reflexión sobre la representación matemática delas tres situaciones.

RRRRRECOMENDACIONESECOMENDACIONESECOMENDACIONESECOMENDACIONESECOMENDACIONES PPPPPARAARAARAARAARA LALALALALA ACCIÓNACCIÓNACCIÓNACCIÓNACCIÓN

Las reflexiones que hemos expresado fueron orientadaspor la búsqueda de ir más allá del "... conocer matemá-tico, que se refiere a la competencia normalmente enten-dida como habilidades matemáticas, incluyendo lashabilidades en la reproducción de teoremas y prueba, ytambién los dominios de una variedad de algoritmos"(Skovsmose, 2001:115); por otro lado, con relación a latecnología se viene buscando no sólo desarrollar habi-lidades para "... aplicar las matemáticas, sino promoverla competencia en la construcción de modelos" (Idem).Nuestra principal preocupación es que los jóvenes yadultos adquieran un conocimiento reflexivo, "... que serefiere a la habilidad de reflexionar sobre el uso y aprecioa las matemáticas" (Idem:116). Siendo así, considerandoel deseo de responder a las preguntas que trajimos parael análisis, enunciaremos algunas condiciones queposibilitan el desarrollo de una metodología de laenseñanza de la matemática orientada a la inclusión delos alumnos de educación de jóvenes y adultos mediantela garantía de la calidad. Estas condiciones no sonaisladas, son interdependentes.

1. Los cursos deben tener una duración tal que permitael desarrollo de propuestas pedagógicas que interrela-cionen el conocimiento matemático no escolar de losalumnos, pero que no se limiten a él.

2. Los cursos deben ser presenciales para que permitanla formación de un grupo de alumnos solidarios, posibi-litando un clima en el cual puedan traer a la clase el co-nocimiento matemático adquirido previamente.

3. Es condición que las propuestas pedagógicas que sevayan a desarrollar deben ser elaboradas por profesoresreflexivos, formados para el trabajo de educación con jó-venes y adultos.

4. La formación de los profesores debe posibilitarles ela-borar actividades de clase para que el alumno reelabore

su conocimiento matemático a partir de los saberes noescolares y que adquiera el conocimiento escolar de for-ma que le permita continuidad en los estudios.

5. Las instituciones que sostienen los cursos de educa-ción con jóvenes y adultos, públicas o privadas, debengarantizar, además de las condiciones humanas, las físi-cas y las temporales para el desarrollo de un trabajo decalidad. Es decir, los cursos deben tener currículos es-pecialmente elaborados para los alumnos jóvenes y adul-tos a los cuales se destinan.

Lecturas sugeridas

FONSECA, MARIA DA CONCEIÇÃO F. R., 2002, Educaciónde jóvenes y adultos: especificidades, desafíos y contribuciones, BeloHorizonte, Autentica.www.autenticaeditora.com.bre-mail: [email protected].

FREIRE, PAULO E IRA SHOR, 1986, Miedo y osadía: lo coti-diano del profesor, Paz e Terra, Río de Janeiro.www.pazeterra.com.br; e-mail: [email protected].

FREIRE, PAULO, 1996, Pedagogía de la autonomía: saberes ne-cesarios para la práctica educativa, Paz e Terra, Sao Paulo.

PAIVA, JANE ET AL, 2002, "Relatoría-síntesis del IV En-cuentro Nacional de Educación de Jóvenes y Adultos"(IV ENEJA), Información en Red de la Acción Educativa, boletínmensual No. 48, año VI, septiembre, 2002, Sao Paulo.www.acaoeducativa.org;e-mail: [email protected]

SCHMELKES, SYLVIA, 1994, "Necesidades básicas de apren-dizaje de los adultos en América Latina", en La educaciónde adultos en América Latina ante el próximo siglo, OREALC;UNICEF, Santiago de Chile.

SKOVSMOSE, OLE, 2001, Educación matemática crítica: la cues-tión de la democracia, Papirus, Campinas.www.papirus.com.br; e-mail: [email protected]

SKOVSMOSE, OLE, 1999, Hacia una filosofía de la educaciónmatemática crítica, Trad. de Paola Valero. Interlínea Edito-res, Bogotá.www:http://ued.uniandes.edu.co

Agradecemos la colaboración de Gloria Inés Mata en la tra-ducción de este artículo.


INTRODUCCIÓN. Es detodos conocidoque los jóvenes y

adultos no escolariza-dos cuentan con im-portantes destrezas decálculo desarrolladas apartir de su actividaden el mundo. Por otrolado, ha sido reiterada-mente señalado, el cál-culo mental que sepractica cotidianamen-te se empobrece en eltránsito a la aritméticaque se aprende en elsistema educativo.

Con el interés deaportar elementos parala reflexión sobre estaproblemática y ofreceralgunas pistas para en-frentarla, en las líneasque siguen se analizanlos primeros encuen-tros de los asistentes aun círculo de alfabeti-zación con el algorit-mo de la adición, estoes, con la suma escrita.Los sucesos tienen lu-gar en el marco de unainvestigación tendien-te a experimentar unaforma alternativa de enseñar las matemáticas formales.Como veremos, falta mucho por hacer para estar en con-diciones de ofrecer un encuentro más suave y significati-vo con las escrituras numéricas, las cuales constituyenparte importante del saber matemático que se comunicaen la educación de jóvenes y adultos.

UN PREÁMBULO NECESARIO: EXPERIENCIA Y SENTIDO DE LOS NÚMEROS

DECIMALES. A ninguno de los asistentes al círculo en el que

SABERES

CÁLCULO ESCRITO Y PÉRDIDA DE SIGNIFICACIÓN

Alicia ÁvilaUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL, UNIDAD AJUSCO / MÉXICO

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se enmarcan estas re-flexiones le resultabasimple la lectura. Par-ticularmente en los ini-cios de la experiencia,se hacía deletreando,generándose así unapérdida casi total de lasignificación. Tal for-ma de leer se favorecíaporque la alfabetizado-ra utilizaba el métodoonomatopéyico, intro-duciendo "letra por le-tra". A decir de los par-ticipantes, su habilidadpara la lectura era es-casa porque casi nohabían practicado"juntar las letras"; asípues, se sentían máscómodos e incluso en-tusiasmados cuandoen la sesión de mate-máticas hacían ejerci-cios de cálculo mental.La tensión tambiéndisminuía cuando losnúmeros correspon-dientes a una situaciónse presentaban enanuncios de tiendas osupermercados; sinduda esto se debía a

que aquellos se situaban en el contexto en que común-mente se utilizan.

Efectivamente, hoy sabemos que las personas hanconstruido un sistema de lectura de números que fun-ciona mediante la interacción de varios elementos: el co-nocimiento de los dígitos, la construcción de hipótesisacerca del valor de los números representados y el uso deelementos del contexto para probar tales hipótesis (Ávi-la; 1997). Este sistema de lectura es el que se pone en


práctica en el episodio que a continuación se muestra:

Se está trabajando con anuncios de supermercado. Enel primero aparece una toronja cuyo precio por kiloes de $3.60.

Investigador: ¿Qué es lo que hay en el dibujo?(Se hacen diversos comentarios: "es una naranja"; "es uncírculo"; "hay también una media naranja".)

Investigador: ¿Y estos números? (señalando el $3.60).Ligio: ...trescientos sesenta y nueve...no... trescientos sesenta

(pensativo).(Los demás también se ven pensativos,como tratando de entender por qué es$ 360.)(Ligio repite "trescientos sesenta", perono se ve muy convencido.)

Investigador: ¿Qué pasa?Jesús (se ríe): Es que es muy cara.Ligio: No, es tres-sesenta, dice tres-sesenta.Investigador: ¿Cómo sabemos que dice tres-

sesenta?Ligio: Sería muy cara trescientos sesenta.

(Todos se ríen.)Investigador: Entonces...Martha: Es tres-sesenta [...].

Como puede verse, la situación colaboróen la construcción del significado final-mente otorgado a las cifras, pues el pre-cio de la fruta debe estar en un rangoque conforme a la experiencia de quien hace la lecturaresulte razonable. Esto es determinante en la interpreta-ción de la escritura decimal que hace Ligio, la cual al tér-mino de la interacción es correcta y aceptada por el restode los asistentes.

ADICIÓN ESCRITA Y PÉRDIDA DE SIGNIFICACIÓN. Sin embargo, nosiempre la experiencia de vida es útil para enfrentar lamatemática que se ofrece en el servicio educativo, ni elcontexto colabora en la construcción del sentido. Inter-pretar las escrituras numéricas, particularmente las co-rrespondientes a las operaciones, es una tarea difícil paraquienes no tienen familiaridad con ellas. Y es que estaescritura es un sistema cuyas reglas no resulta fácil enten-der y utilizar. Testimonio de ello es un episodio en el queparticipan Martha, una joven empleada doméstica de 26años que mostraba destrezas importantes con el cálculomental, y Jesús, un mozo de 18 años cuyo desempeñocon el cálculo no escrito era menos destacado que el deMartha. El episodio corresponde a los primeros (y difíci-les) encuentros con la suma escrita:

Es la tercera sesión de trabajo. Se están resolviendoalgunos problemas sencillos a partir de la ilustración de unpuesto de mercado en el que se venden diversos produc-tos y cada uno de ellos tiene un cartel que indica el precio.

Se supone que los asistentes ya conocen bastantes núme-ros entre 1 y 100 y comienzan a hacer sumas escritas utili-zándolos. Antes de iniciar la investigación que da pie a es-tas reflexiones, la alfabetizadora ya había dedicado tiempoa dichos temas, aunque utilizando la manipulación de sím-bolos y la repetición. Un producto de tales enseñanzas sonalgunas planas de números y sumas de dos o tres dígitosdispuestas en columna. En el proceso de investigación sehan comenzado a abordar ambos temas desde otra pers-pectiva. La situación del mercado es parte de la secuenciapreparada; con ella se pretendía introducir a la escritura de

sumas sencillas aprovechando los saberes desarrollados porla alfabetizadora.

El problema que da pie a la interacción es el siguiente:

¿Cuánto hay que pagar por dos cubetas y una blusa?(En la ilustración los artículos tienen anotado respectiva-mente $8 y $14).Martha y Jesús han ido haciendo anotaciones y comenta-rios entre ellos. Jesús dice: "¡No sale!". Martha hace uncomentario similar. En sus cuadernos, han escrito lo si-guiente:

Martha Jesús1 88 88

+4 +14 +145

El 5 obtenido por Martha es resultado de descomponer el14 y colocar el 1 y el 4 resultantes a la manera de dos su-mandos y luego operar con ellos como si ambos represen-taran grupos de unidades. La segunda suma —en la cual seha compuesto un único número (88) a partir de dos ochosque representaban unidades— Martha la escribió con baseen las sugerencias de Jesús; sin embargo, ni él ni ella inten-tan resolverla. La expresión en sus caras indica que perci-


ben que algo está mal; ha surgido un conflicto entre susexpectativas de solución y las escrituras que han logradoproducir.

Jesús dice a la investigadora: ¡Mire, no va a salir!

Investigador: A ver, ¿pues qué es lo que compraron?Martha: ¡Las cubetas y la blusa, pero no sale!Investigador: a ver, ¿Dónde está lo de una cubeta?Jesús: Aquí (señala un 8).Investigador: ¿Y lo de la otra cubeta?Jesús: (señala el otro 8).Investigador: A ver, dicen que son 8 de una cubeta y 8 de la otra,

¿entonces qué pasó?Jesús y Martha se voltean a ver, se ríen pero no responden.Investigador: A ver, ¿qué pasó? Son 8 de una cubeta y 8 de la

otra, pero como ustedes los pusieron juntos, ¿qué númerose hizo?

Jesús y Martha se quedan pensativos.Jesús (después de pensar un poco): ¿88?Investigador: Sí, 88. Y 8 de una cubeta y 8 de otra, ¿son 88?

(Se ríen).Martha: (en un tono jocoso habitual en ella): ¡Son 16! (Risas).Investigador: Sí, por eso no les salía, porque en vez de 16 pusie-

ron 88. Si quieren escribir 8 y 8 deben ponerlo así: (anotaen columna los dos 8’s; en seguida, sin que se le pida, Mar-tha "completa" la suma escribiendo el 14 y configura lacolumna siguiente):

8814

Jesús: ¡Mire, maestra, mire cómo escribió Martha ahora! (Jesúsya colocó correctamente las cantidades en su cuaderno,anotando el 1 del 14 en el lugar que corresponde a lasdecenas).

Investigador: A ver, Martha, ¿dónde están los 14 [pesos] de lacubeta, dónde los dejaste? (Jesús observa).

Martha: (Se ríe, no responde, se ve confundida).Investigador: A ver, que Jesús te explique cómo anotó el 14...

(Martha no espera que Jesús le explique, observa el cuader-no de éste y corrige su escritura pero ambos continúan sinhacer la suma).

Investigador: ¿Por qué ahora no quieren hacer las cuentas comoel otro día que las hicimos "en la cabeza" y les salían muybien?

(Silencio)Investigador: ¿Por querer escribir se están confundiendo?Martha: Sí (asiente también con la cabeza).Investigador: Bueno, vamos a hacerlo "en la cabeza" y luego

veremos cómo se debe escribir.

Se hace la cuenta "nada más pensando", todos la resuelvenbien [...].

SABER CÁLCULO MENTAL NO ES LO MISMO QUE SABER UTILIZAR EL LÁPIZ YEL PAPEL. Como puede verse, el que los adultos y los jóve-nes cuenten con conocimientos aritméticos previos nosignifica que éstos les sean útiles en sus primeros acerca-mientos al cálculo con lápiz y papel. Todos los asistentesal círculo de alfabetización mostraron tener habilidadesimportantes de cálculo mental, particularmente Martha.Sin embargo, las dificultades para transitar a la escriturafueron evidentes incluso con la suma, que suele conside-rarse una operación sencilla.

Sin duda las enseñanzas de la alfabetizadora derivaronen un aprendizaje carente de significado. Pero tambiénse constata que las destrezas de Martha con el cálculomental no le resultaron útiles para resolver por escrito elproblema que le había sido planteado. Tales destrezaspueden ayudarle a ponderar la corrección de los cálculos,esto es muy importante, pero es insuficiente para com-prender la escritura que trata de interpretar o producir, ymás aún para operar utilizándolas. Hay razones para ello.

El algoritmo de la suma que se anota en el papel, seresuelve por columnas y de derecha a izquierda; adicio-nadas las unidades de orden inferior, se pasa luego a su-mar las de orden inmediato superior; para hacerlo se re-pite el proceso antes usado, sin importar el valor relativode la cifras; se procede reiteradamente de este modo, hastaagotar las unidades de diferentes órdenes es decir, todaslas columnas. Este procedimiento es distinto del que laspersonas usan cuando calculan mentalmente para resol-ver problemas cotidianos. En este último caso se tienecomo referente principal el manejo del dinero y las estra-tegias son más flexibles, pero por lo general se suma co-menzando por las cantidades con mayor valor relativo,como serían los billetes de mayor denominación y luegolos de menor valor, hasta llegar a las monedas (Mariño;1983; Ávila; 1990). Don José, un analfabeto muy aveza-do en el cálculo con dinero, nos lo dijo en los siguientestérminos: "Primero cuenta uno los billetes, hasta despuéslos quintos, si no, estaría uno al revés".

Comparando con el cálculo sobre papel, lo anteriorequivaldría a sumar primero las centenas, luego las dece-nas y hasta después las unidades, pero manteniendo enmente el valor relativo de las cifras (cienes, dieces, unos...).Tal forma de descomponer los números y operar con ellos permite laconservación del sentido durante la realización del cálculo.

Después de este escueto análisis, podemos regresar alas escrituras de Martha. Ella sabe que 8 y 8 no son 88sino 16; también sabe que 80 pesos corresponden a 8monedas de 10; su problema no es conceptual, es de escritura:pues —entre otras cosas— parece no haber descubiertoque la posición de los números está vinculada al valorque representan.

Es razonable pues pensar que Martha, teniendo sólocomo experiencia al respecto las sumas que la alfabetiza-dora le había enseñado mecánicamente, y no contandocon suficientes referentes que le dieran significado a ladisposición espacial y a la descomposición o composi-ción de los números, podría hacerse las siguientes pre-


guntas: ¿por qué el 14 no puede descomponerse y debe colocarse enun solo renglón?¿Por qué los ochos deben colocarse uno debajo delotro y no uno adelante del otro, con la misma disposición que el14?¿Por qué hay que empezar a sumar por la derecha (las unida-des de menor orden) y no por la izquierda (las de mayor orden)?

Algunas sesiones más adelante, efectivamente Mar-tha y algunos otros de los asistentes se plantearían estaúltima interrogante.

Las respuestas a estas preguntas sólo pueden prove-nir de la comprensión del sistema decimal de numera-ción (agrupamientos recursivos de 10 en 10, valor relati-

vo de las cifras dependiente delos agrupamientos que repre-sentan) y de las propiedadesde la adición (asociatividad,conmutatividad), a la vez quedel conocimiento de las reglasdefinidas para operar con losnúmeros cuando lo hacemospor escrito. Estas reglas inclu-yen desde la disposición espa-cial de las cifras y su descom-posición, hasta la dirección enque ha de realizarse el cálcu-lo, pero es indispensable se-ñalar que en esto hay una cier-ta dosis de arbitrariedad, porejemplo, al sumar: ¿por quédisponer en una determinadaconfiguración las cifras? ¿Nosería posible colocarlas de otramanera? ¿Por qué empezarpor la derecha y no por la iz-quierda? ¿No sería posibleproceder a la inversa? Es po-sible responder afirmativa-mente estas preguntas, porquelas reglas para realizar los cál-culos no apelan sólo a las pro-piedades de los números y delas operaciones, sino tambiéna la rapidez y la economía yson únicamente convencionesque tienen una justificación deotro orden. Hasta dónde estajustificación deba incorporar-se a la educación de jóvenes yadultos aún no es claro.

Lo anteriormente expues-to seguramente revela que labúsqueda de acceso a la arit-mética escrita puede llevar amomentos de real estanca-miento y confusión. Los da-tos proporcionados por Car-mina Sánchez y por Concep-ción Ferreira en este mismo

número de Decisio testimonian desde otro ángulo el mis-mo problema. Dicho simplemente y en palabras de losparticipantes en el círculo cuya experiencia aquí referí:"se hacen muchas bolas".

CCCCCONCLUSIONESONCLUSIONESONCLUSIONESONCLUSIONESONCLUSIONES YYYYY RECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONESRECOMENDACIONES PPPPPARAARAARAARAARA LALALALALA ACCIÓNACCIÓNACCIÓNACCIÓNACCIÓN.....

Las personas que asisten a los círculos de alfabetizacióny educación para jóvenes y adultos practican en la vidaun cálculo en el que se manipulan cantidades (dinero,kilos, paquetes...) y no necesitan escribir para realizarlo.


En la educación de jóvenes y adultos, el objetivo es quelas personas manejen las formas convencionales del cál-culo escrito, basadas precisamente en la manipulaciónde símbolos. Lo deseable sería que el significado propiode la manipulación de cantidades no se perdiera al tran-sitar a la manipulación simbólica.

Sin embargo, no es fácil que cuando las personas es-criben las cuentas conserven en la mente el significadode los datos a los que refiere el problema, que vean losbilletes o las monedas, como sí los ven cuando calculanmentalmente. Las disposiciones espaciales de la escri-tura numérica y los mecanismos que permiten operar conella (por ejemplo romper los números y empezar a ope-rar por las unidades de menor orden) los desdibujan.

En la experiencia referida, una estrategia que encon-tré para que el significado volviera al cálculo escrito querealizaban los asistentes al círculo fue la siguiente:

• Registrar los cálculos derivados de una situación-pro-blema mediante escritura y disposición convencional;

• Hacer los cálculos correspondientes con billetes ymonedas —principales referentes del cálculo cotidia-no— modificando el orden usual del conteo (primerolas monedas y luego los billetes), para contar en elorden en que se hace cuando se escribe (primero lasunidades y luego las decenas);

• Anotar en la escritura convencional el resultado delos cálculos realizados con las monedas y los billetes.

• Utilizar el cálculo mental —que los participantes efec-tuaban conforme a sus estrategias personales— comoinstrumento para ponderar la validez de los resulta-dos obtenidos.

Los más despiertos (si se me permite esta forma dehablar) eran los primeros en hallar el vínculo entre susacciones de juntar o quitar dinero y la escritura de la sumao la resta por columnas. Por supuesto, quienes no nece-sitaban seguir este camino simplemente calculaban me-diante los pasos propios del algoritmo escrito.

No hablé del complejo recorrido que llevó a los asis-tentes del círculo a un cierto manejo de los cálculos conlápiz y papel. Sólo señalaré que todavía al final de la expe-riencia, algunos de ellos evitaban seguir los pasos pro-pios de los procedimientos escritos; lo hacían de la si-guiente manera: anotaban el cálculo conforme a laescritura convencional, calculaban mentalmente para re-solverlo; si les resultaba necesario, hacían registros per-sonales (distintos del algoritmo escolar) para ayudar a lamemoria, y anotaban con base en todo ello el resultadoen la escritura convencional.

***

La confusión de Martha que he narrado en este breveartículo, pone de manifiesto la magnitud del desafío quetiene la educación de jóvenes y adultos para conservar elsentido del cálculo cotidiano cuando se transita a la arit-

mética escrita. De manera rudimentaria, comenté tam-bién una forma de colaborar en la conservación de dichosentido. Es apenas un comienzo. Es necesario perma-necer en la búsqueda.

Lecturas sugeridas

ÁVILA, ALICIA, 1997, "Repensando el currículo de mate-máticas para la educación de jóvenes y adultos", en va-rios autores, Conocimiento matemático en la educación de jóvenesy adultos, UNESCO- Santiago, Santiago de Chile.www.unesco.cl/07.htm; www.crefal.edu.mx

ÁVILA, ALICIA, 1990, "El saber matemático de los analfa-betos. Origen y desarrollo de sus estrategias de cálculo",en Revista Latinoamericana de Estudios Educativos. México,vol. XX, núm. 3, Centro de Estudios Educativos, pp. 55– 95, Mé[email protected];[email protected]

DELPRATO, MA. FERNANDA, 2002, Los adultos no alfabeti-zados y sus procesos de acceso a la simbolización matemática,maestría en ciencias, Departamento de InvestigacionesEducativas del Centro de Investigación y de EstudiosAvanzados del IPN, México.www.cinvestav.mx/die

MARIÑO, GERMÁN, 1983, ¿Cómo opera matemáticamente eladulto del sector popular? Constataciones y propuestas, Dimen-sión Educativa, Bogotá[email protected]

La historia de la humanidad es cada vez más una carrera entrela educación y la catástrofe.

Herbert George Wells, escritor inglés, 1866-1946.


LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA DE JÓVENES Y ADULTOSInfluencias y trayectos

SABERES

Germán Mariño S.DIMENSIÓN EDUCATIVA, BOGOTÁ / COLOMBIA

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INTRODUCCIÓN. Este artículo es un boceto histórico de laeducación matemática con adultos. Se estructura endos partes: la primera describe brevemente las co-

rrientes históricas en el ámbito de la educación de niños,pues gústenos o no, éstas han influido en el campo de losadultos. La educación matemática tradicional, la mate-mática moderna y la influencia de Piaget son sus prime-ros incisos, finalizando con la propuesta constructivista.

En la segunda parte se presentan, ya dentro del cam-po constructivista, algunas tendencias que se han generadoen educación de adultos: "educación con y sin proble-matización de las ideas previas" y el diálogo cultural.

LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA TRA-DICIONAL. La manera tradi-cional de entender la edu-cación matemática poseecomo supuestos básicosla ignorancia y la pasivi-dad del educando; comosi éste se encontrara va-cío de saber, sin poseerninguna idea previa, y elpapel del educador es lle-narlo de conocimientos.

De otra parte, el edu-cando asume una actitudpasiva frente al conoci-miento que se le presen-ta, el cual se imprime enél de la misma manera quelo hace la luz sobre unapelícula fotográfica. Lanueva información es re-cibida sin que medie nin-guna actividad por partedel alumno.

Los dos supuestos an-teriores tienen un funda-mento empirista que meto-dológicamente se traduceen un aprendizaje memo-rístico y repetitivo. El edu-

cador enseña presentando un modelo que los alumnosreproducen (ejercitándolo) para finalmente, en la evalua-ción, medir hasta dónde ha sido mecanizado. Se copiandefiniciones y reglas confiando en que la ejercitaciónconducirá finalmente a la comprensión.

LA EDUCACIÓN MODERNA. Con la reforma emprendida en laenseñanza de las matemáticas modernas, se desea dismi-nuir la separación entre la matemática que se enseña y laque se crea en la investigación. Ya no se trata de repetirsino de aprender a conquistar por sí mismo la verdadmatemática, aunque cueste tiempo y dificultades.

El estudio de las ma-temáticas en la educaciónmoderna se inicia de ma-nera axiomática y deduc-tiva, comenzando por laspartes más abstractas, esdecir, por las definiciones,y generalmente se haceuna formalización prema-tura sin caer en la cuentadel grado de complejidadque esto implica.

La matemática moder-na no introduce modifi-caciones sustanciales enlo que respecta a la pers-pectiva de aprendizaje,pues supone que bastacon un cambio en loscontenidos para acercar laenseñanza de las matemá-ticas a la investigación enese ámbito.

EL APORTE DE PIAGET. Hacia1955 se comienzan a apli-car las investigaciones dePiaget en la educación; talaplicación se inicia des-pués de haber planteadola existencia de "estadios


lógicos" (etapas por las cuales atraviesan los diferentessujetos, por ejemplo la etapa concreta -donde se mane-jan objetos- y la etapa formal —donde se manejan con-ceptos—) caracterizados por estructuras específicas de pen-samiento que se expresan de una manera más o menosconstante en ciertos momentos del desarrollo.

La aplicación de los hallazgos de Piaget en la educa-ción se realiza adaptando los contenidos a las estructurasque los alumnos son capaces de manejar y diseñandopruebas para identificar los niveles operatorios en queéstos se encuentran. Un ejemplo clásico consiste en de-terminar si un niño es capaz de manejar la conservacióndel volumen, colocando la misma cantidad de agua enrecipientes de diferente forma, donde el nivel del aguasube en unos más y en otros menos.

El papel del educador consiste básicamente en acom-pañar un proceso espontáneo de aprendizaje que los alum-nos van construyendo gradualmente como resultado delas experiencias a través de la vida cotidiana y de su desa-rrollo biológico.

A partir de 1970 se produce en el Centro de Episte-mología Genética de Ginebra (fundado por Piaget) unapreocupación por el proceso (o dinámica) del aprendiza-je que se aborda, básicamente, analizando el significadode los errores.

La perspectiva anterior pone de manifiesto que laspersonas aprenden como resultado de una actividad men-tal, que se encuentra en función de un doble proceso: deun lado se aprende a partir de la estructura que se posee(rechazando o reacomodando aquello que desentona) y porotro, tal aprendizaje enriquece y modifica parcialmentela estructura de acogida; este proceso, denominado asi-milación-acomodación, hace que los sujetos vivan en unpermanente equilibrio dinámico, que si bien permite unreposo (equilibrio), se encuentra siempre desarrollándose.

LA PERSPECTIVA CONSTRUCTIVISTA. Las aplicaciones de Piaget ala educación fueron evolucionando, logrando una pro-puesta didáctica muy sugestiva denominada constructivis-mo. Esta propuesta conserva muchos de los componen-tes de la teoría de Piaget, a pesar de las críticas que sehicieran a sus planteamientos generales. Los post-piage-tianos e investigadores de otras escuelas (por ejemplo losseguidores de Vigostky), aclararon buena parte de las li-mitaciones de la propuesta de Piaget: consideran que los"estadios lógicos" no son lineales (Piaget los concebíacomo verdaderas escaleras); dan importancia al papel delos contenidos, que los los seguidores iniciales de Piagetno tomaban en cuenta; replantean también la concep-ción del grupo de estudiantes y por ende la función deleducador, el cual ya no es un espectador sino alguienubicado cerca pero adelante; y otorgan importancia a loscontextos culturales, con lo cual relativizan la pretensiónuniversal de las estructuras lógicas. Estas son algunas delas principales objeciones.

De todos modos, en este momento la propuesta me-todológica constructivista, que tiene como eje la problema-

tización de las concepciones de los alumnos (es decir,propicia en ellos el análisis de sus errores tomando comopunto de partida los saberes de cada disciplina), perma-nece vigente.

LA SITUACIÓN DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA PARA JÓVENES Y ADULTOS.Hasta bien entrada la década del 90, la educación mate-mática para los jóvenes y adultos se encontraba, con al-gunas excepciones, en la etapa tradicional, siendo su úni-co aporte el planteamiento de problemas con temas delmundo de los educandos jóvenes y adultos (los gatos ycaramelos del mundo infantil eran sustituidos por trac-tores y ladrillos).

En ocasiones se han introducido actividades utilizan-do el ábaco, que aunque posee sus bondades no promue-ve la construcción de conceptos sino que se limita a laejemplificación del manejo de las operaciones del siste-ma decimal.

En casos menos frecuentes se incluyen en las prime-ras páginas de las cartillas de matemáticas de los progra-mas de alfabetización, elementos de la teoría de conjun-tos, sin que exista ninguna continuidad en su tratamientoy reduciéndolos a una especie de maquillaje para aparen-tar una postura de enfoque moderno.

A pesar de que el panorama anterior domina la mayorparte de los trabajos de educación matemática con jóve-nes y adultos en América Latina, desde hace ya algunosaños se ha venido realizando una serie de investigacionesque transforman por completo las miradas existentes. Enlas sugerencias de lectura se han anotado algunas de es-tas referencias.

Tales investigaciones coinciden en un aspecto cen-tral: los jóvenes y adultos de sectores populares poseenuna serie de conocimientos matemáticos adquiridos porfuera de la escuela, generados como respuesta a la nece-sidad de resolver problemas de la vida cotidiana.

El reconocimiento de la existencia de saberes mate-máticos en jóvenes y adultos ha conducido al plantea-miento de propuestas de educación matemática cercanasa la perspectiva constructivista, a pesar de poseer un ori-gen diferente; éstos no parten de los marcos epistemoló-gicos piagetianos sino de la Educación Popular, para lacual la valoración de los educandos es uno de sus máspreciados referentes. Esta metodología está enmarcadadentro de enfoques antropológicos y políticos que traenconsigo el reconocimiento y el respeto a la diferencia,rompiendo con el etnocentrismo y la altivez de la culturaculta. La Educación Popular busca al adulto como inter-locutor, lo que la obliga a identificar sus saberes.

Sin embargo, a pesar de que estas dos propuestas parala educación de jóvenes y adultos poseen un común de-nominador en el constructivismo esto no significa queentre quienes trabajan en el ámbito de la educación ma-temática con jóvenes y adultos no haya diferencias.

Existen por lo menos tres grandes tendencias: para laprimera, el proceso de aprendizaje no requiere la proble-matización de las ideas previas de los educandos (en otras


palabras: se reconocenlos saberes previos, perono se hace nada conellos); para la segundadicha problematizaciónes indispensable y parala tercera, más que serproblematizadas, lasideas previas se valorany se potencian con otrospuntos de vista (diálogocultural).

PROCESO SIN CONFLICTO DE LAS

IDEAS PREVIAS. Esta ten-dencia ( el no poner enconflicto las ideas pre-vias del educando) esplanteada por algunoseducadores (por ejem-plo Hans Aebli), quie-nes ciertamente tienenen cuenta las habilida-des previas de los edu-candos pero no los sa-beres específicos queposeen. Un ejemploilustrativo podría ser elsiguiente: se le pide a losalumnos que vayan ins-cribiendo dentro de unacircunferencia cuyo diá-metro es de 8 centíme-tros, polígonos regula-res de diferente núme-ro de lados (de 3 hasta 10, por ejemplo); a medida queaumenta el número de lados de los polígonos, la relaciónentre su perímetro (longitud) y el diámetro de la circun-ferencia tiende hacia el número 3.1416, que es lo que sedenomina número "Pi".

Este razonamiento puede ser realizado por ellos mis-mos a partir del análisis de la tabla que van llenando (vera continuación):

PROCESO CON CONFLICTUACIÓN

DE LAS IDEAS PREVIAS. Otrade las perspectivas me-todológicas en la educa-ción matemática de jó-venes y adultos, es aque-lla cuyo punto de parti-da es la problematiza-ción de las ideas previasde los educandos.

La justificación de dichatendencia se podría re-sumir como sigue:

1. Los métodos habitua-les de transmisión delsaber y las diversas in-novaciones pedagógicasen línea no directiva (di-cho de manera simplis-ta, los alumnos poseenun margen muy ampliode libertad para hacerlos que deseen) no pro-ducen los resultados es-perados. El rendimien-to didáctico es muy es-caso (nulo a veces).

2. Un cierto número deerrores de razonamientoo de ideas erróneas rena-ce en nuestros alumnoscon una capacidad des-

concertante de reproducción, y ello sucede a pesar depracticar múltiples secuencias de enseñanza.

3. Los alumnos poseen previamente a las enseñanzas sis-temáticas sobre un objeto de estudio, un cierto númerode ideas que denominamos concepciones, las cuales no soninfinitas sino que están limitadas a algunos grandes tiposque se pueden categorizar y describir con detalle.

En casos como éste, lo que se toma en cuenta es la capacidad de los alumnos de inferir la regla, no su conocimientoespecífico acerca de la relación "Pi".

Número de lados del polígono Perímetro (longitud) Diámetro Perímetro / diámetro3 21 8 2.6254 22.4 8 2.755 22 8 2.806 24 8 3.007 24.5 8 3.0628 24.8 8 3.1009 25.2 8 3.137510 25 8 3.1408


4. Si la enseñanza no las tiene en cuenta, las concepcio-nes existentes representarán un obstáculo y las nocionesenseñadas serán deformadas por el alumno. En el mejorde los casos, lo enseñado se pega o permanece aislado delsaber anterior.

A continuación presentamos un caso de cómo se proce-de metodológicamente desde la perspectiva de la proble-matización de las ideas previas en un curso de capacita-ción de maestros de matemáticas.Se solicita a los maestros que analicen algunas cifras quehan elaborado personas que están aprendiendo a escribirlos números, pidiéndoles que las lean y si es el caso ha-gan las correcciones necesarias.Tales cifras podrían ser:

a) 3000200304b) 800706

Muy probablemente la mayoría de los maestros razona-rán más o menos así: dichas cifras reflejan los errores delos principiantes que no han aprendido a utilizar correc-tamente el sistema de numeración posicional (donde unnúmero tiene un valor diferente según el lugar donde seencuentre; por ejemplo 2; 20; 200; 2,000) y deberían es-cribirse de la siguiente forma:

a) 3´002,304Se lee como: tres millones dos mil trescientos cuatro.

b) 800,706Se lee como: ochocientos mil setecientos seis.

Hasta ahí se han recuperado las ideas de los maestros.

A continuación se les plantea que si analizamos desdeotros puntos de vista las cifras aparentemente mal escri-tas y erróneas encontraremos que son correctas; es decir,aportamos elementos para poner en crisis las afirmacio-nes de los maestros.

Siguiendo el mismo ejemplo, se muestran sistemas denumeración diferentes al posicional que son precisamentelos que revelan el análisis de los errores. Uno de los siste-mas que nos puede ayudar a entender el error es el siste-ma romano de numeración. En este la escritura de unacifra como 3,213 se representa: MMM-CC-X-III, es de-cir: tres veces mil, dos veces cien, una vez diez y tresveces uno.

Con este nuevo marco es posible analizar las escritu-ras de los principiantes como: 3000-200-30-4 y como 800-70-6; es decir: 3,234 y 876. De esta manera se muestra alos maestros que sus lecturas iniciales no tienen en cuen-ta el error como una expresión de los saberes previos delos educandos (error constructivo), quienes frecuente-mente descubren por cuenta propia un sistema de escri-tura de los números que se rige por el principio según elcual "se escribe como se habla" (tres mil, doscientos, trein-ta y cuatro es igual a 3000-200-30-4) y que se asemeja alsistema de numeración utilizado por los romanos.


PROCESO DE DIÁLOGO CON LAS IDEAS PREVIAS. Para la versión cons-tructivista escolar (más claramente explícito en las cien-cias naturales y las matemáticas), las ideas previas debenser tenidas en cuenta pero básicamente para ser modifi-cadas; es decir, de entrada son consideradas como ideaserróneas o al menos insuficientes.

En la educación de jóvenes y adultos la tesis anteriorresulta muy polémica. Los alumnos llegan a las clasescon un saber constituido como resultado de años de ex-periencias; son saberes que van a establecer una interlo-cución con otros saberes, a dialogar con ellos, y ningunapersona está dispuesta a desecharlos fácilmente. Cuandointeractuamos con ellos lo que realmente estamos ha-ciendo es poner en diálogo dos culturas, de ahí que lapretensión de eliminar o modificar resulte, por decir lomenos, ingenua.

Esta tendencia recupera los procedimientos de cálcu-lo del adulto (muy diferentes a los algoritmos usuales) einventa una escritura que expresa las operaciones menta-les. He tenido la oportunidad de llevar a la práctica lapropuesta matemática de diálogo cultural elaborando carti-llas para analfabetas en las campañas nacionales del Ecua-dor (Ecuador Estudia, 1992) y El Salvador (ProyectoMovilizador de Alfabetización y Educación Básica paraTodos, 1993). Más recientemente (1998-99) tuve la opor-tunidad de colaborar con el Centro de Estudios Educati-vos de México, en el cual se planeaba producir algunosnuevos materiales.

En la práctica el diálogo cultural ha tendido a diseñarpuentes para articular la nueva escritura con la escrituraclásica, la cual no sólo es más difundida sino que poseemuchos otros elementos válidos como la rapidez paraescribir y hacer los cálculos. (ver hacia el final del artícu-lo, el ejemplo de la multiplicación, donde se escribe ini-cialmente con la escritura creada para plasmar el proce-dimiento del adulto pero rápidamente se pasa a la "tra-ducción" de la escritura corriente)

Enseguida veremos como ejemplo los procedimien-tos para multiplicar utilizados por jóvenes y adultos queno han ido a la escuela y que por consiguiente han sidoaprendidos como resultado de la práctica social.

Cuando se investigan tales procedimientos se encuen-tra que la multiplicación se realiza de la siguiente forma:¿Cuánto valen ocho artículos a $4 cada uno?

1 vale $42 valen $84 valen $16Luego 8 valen $32.

Si el caso es un poco más complejo (el número de artícu-los no pertenece a la serie 2, 4, 8, 16...) lo resuelve así:¿Cuánto cuestan nueve artículos a $15 cada uno?

1 vale $152 valen $304 valen $608 valen $120.

Como (9 = 8 + 1) y ya ha encontrado dichos resultadosparciales, procede entonces a sumarlos:

1 vale $158 valen $1209 valen $135.

Ahora bien, una vez recuperadas las ideas previas sobrela multiplicación (procedimientos), ¿qué hacer en ellas?

En una perspectiva de diálogo se procede a valorarlasy a enriquecerlas.

Una de las alternativas encontradas ha sido la de res-petar el procedimiento previo agregándole, como aportedel educador (desde "otros saberes"), la posibilidad de laescritura, evitando que todos los resultados parciales sedeban ir memorizando.Veamos un caso:¿Cuánto cuestan cinco artículos, a $3 cada uno?:

3x 1 =$32= $6 154= $125= $15

Obsérvese que se conserva el procedimiento previo perose integra la escritura de números (1,2,3) y algunos sig-nos (x, =), añadiendo líneas que ayuden a visualizar lasuma de los resultados parciales (3 y 12).Ciertamente la anterior propuesta de escritura no es laúnica. En la cartilla del Ecuador (dentro del programaEcuador Estudia) se diseñó la siguiente:

Las mujeres lavanderas permanecen en el agua un promedio de 45 horas a la semana.

Cuál de las tres últimas tendencias es la más sugestiva,es algo que todavía se encuentra en discusión. Vale la pena continuar explorando.

Las lavanderas permanecen un promedio de 9 horas diarias sumergidas en el aguay trabajan cinco días a la semana.

¿Cuántas horas semanales permanecen sumergidas en el agua?5 x 9

1 95 2 18 45

4 36

Columna Izquierda Columna Derecha5 x 9 = 45



Amigo lector, para empezar a trabajar nuevas metodo-logías de la matemática le sugiero dos cosas:

• Haga un listado de los errores mas frecuentes de susalumnos, y a la luz de lo planteado en este artículo,trate de entender si los errores se presenta por estarmanejando otros sistemas de operaciones cercanos alos del cálculo mental que hacemos todos nosotros.

• Entreviste a un analfabeto (urbano o campesino),planteándole algunos problemas inmersos en sus con-textos cotidianos y que impliquen el uso de operacio-nes como suma o resta. Trate de comprender qué pro-cedimientos utiliza y, pídale que vaya diciendo en vozalta lo que hace mentalmente.

Lecturas sugeridas

ÁVILA, ALICIA Y GUILLERMINA WALDEGG, 1997. Haciauna redefinición de las matemáticas en la educación de adultos,INEA, México.www.crefal.edu.mx; e-mail: [email protected]

DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN POPULAR PERMA-NENTE, 1990, Guías del educador. Nuestra Educación, Pro-grama Nacional El Ecuador Estudia, Ecuador.

MARIÑO, GERMÁN, 1983. ¿Cómo opera matemáticamente eladulto del sector popular?, Dimensión Educativa, Bogotá.e-mail: [email protected]

VARIOS AUTORES, 1997, Conocimiento matemático en la educa-ción de jóvenes y adultos, UNESCO-Santiago.www.unesco.cl/htm

ZÚÑIGA, L., R. AGUILAR Y G. BENAVIDES, 1987. Proyectode investigación y sistematización de experiencias en el campo de laenseñanza de la matemática, en programas de alfabetización y edu-cación de adultos en América Latina, CREFAL-UNESCO, Pátz-cuaro. www.crefal.edu.mx

Nuestras invenciones son todas ciertas, puedes estar seguro deello. La poesía es una ciencia tan exacta como la geometría.

Gustave Flaubert, escritor francés, 1821-1880.


EL GÉNERO DISCURSIVO DE LA MATEMÁTICA ESCOLAREstrategias de inclusión cultural del alumno de la Educación de Jóvenes y Adultos

SABERES

Maria da Conceição Ferreira Reis FonsecaFACULTAD DE EDUCACIÓN DE LA UNIVERSIDAD FEDERAL DE MINAS GERAIS / BRASIL

[email protected]

"...las cuentas que tú me das, yo séhacerlo todo... Más yo no tengo 'lamaldad' del lenguaje"

Seu Antonio en la noche del 19 de mayo de 1998.

INTRODUCCIÓN. En este artículo com-partiré algunas reflexiones sobreun fenómeno muy frecuente en

los procesos escolares de enseñanza-aprendizaje con jó-venes y adultos alcual se le ha dadopoca atención. Setrata de la insisten-cia de los alumnosde la Educación deJóvenes y Adultos(EJA) en que se to-men en cuenta losconocimientos ad-quiridos en otrasetapas de asistenciaa la escuela. Ellosmismos expresansus esfuerzos porestablecer una co-nexión entre lasexperiencias pre-sentes y pasadas,aunque los enun-ciados que utilizan para expresar estanecesidad, como veremos más ade-lante, no siempre son ortodoxos.

Es por ello que no analizaré lasreminiscencias de las matemáticas escolaresrelacionándolas sólo con la situaciónespecífica en que éstas emergen, sinoque procuraré relacionarlas tambiéncon el interdiscurso, es decir, con losdiscursos no necesariamente pronun-ciados pero que se incluyen en losenunciados presentes en una interlo-cución; por ejemplo, en la clase, cuan-

do hablan los alumnos y habla el pro-fesor, el discurso que construyen estálleno de ecos y recuerdos de otrosdiscursos a los cuales se responderefutándolos, complementándolos ofundamentándose en ellos. Relacio-nar los interdiscursos de los alumnosde la EJA con las reminiscencias de lamatemática escolar en la situación es-

pecífica de la clase de matemáticas,significa considerarlas no sólo comouna referencia a conceptos o proce-dimientos de matemáticas aprendidosen otras oportunidades, sino tambiéncomprenderlas como efectos de lamemoria sobre la producción de sen-tido. En esa perspectiva, podemosapreciar la historicidad que dicha rela-ción confiere a lo que acontece no-che a noche en la sala de clases y atantas referencias de la matemáticaescolar que la memoria del alumno

de educación de jóvenes y adultosmoviliza en aquellas situaciones deenseñanza-aprendizaje.

Considerar esa disposición de re-cordar en el ámbito de los esfuerzospara la producción del sentido deaprender matemáticas y de la mate-mática que se aprende en la escuela, nosobliga a superar la idea de que dichas

r e m i n i s c e n c i a scontribuyen sola-mente en el nivelinformativo, restrin-gido a la posibilidadde "traer a la super-ficie" contenidosde las matemáticasaprendidos en unaexperiencia ante-rior de escolariza-ción y recuperadosen las clases de ma-temáticas de la EJA.Partiendo del he-cho de que los in-dividuos ocupanposiciones de suje-tos en la interlocu-ción que se da en lasala de clases, ela-

boran sus enunciados movilizandorecuerdos y prevén los efectos quesu hablar provocará, en la medida enque este hablar está permeado por elinterdiscurso.

LAS REMINISCENCIAS COMO PRÁCTICAS

DISCURSIVAS. Es desde este punto devista que invito al lector a intentarcomprender las situaciones de ense-ñanza-aprendizaje de la educación dejóvenes y adultos como espacios denegociación de significados y de pro-


ducción de sentidos, en una concep-ción histórica de los significados. Ex-pongo aquí las reflexiones propues-tas, interpuestas o impuestas en elacompañamiento de las clases dematemáticas a un grupo del proyec-to de enseñanza fundamental de jó-venes y adultos de la Universidad deMinas Gerais durante los dos añosen que sus alumnos hicieran un cur-so correspondiente a los cuatro últi-mos grados (5ª a 8ª ) de la enseñanzafundamental. A lo largo de ese tra-bajo, se percibió que lo importantepara el educador no era preguntar loque los alumnos de la educación de jóvenes yadultos recuerdan de la matemática escolar;nosotros, los educadores, deberíamosestar atentos a lo que nuestros alumnosdicen que recuerdan, a quién se lo dicen,cómo lo dicen, por qué dicen...

Para considerar la naturaleza in-teraccional de las reminiscencias bus-qué apoyo en los trabajos del autorsoviético Mikhail Bakhtin, cuya obraaborda la comprensión de la interac-ción verbal como fenómeno esencial-mente social. Para este autor, en unasituación de interacción discursiva elque las personas hablen y el modocomo hablan, el contenido, la signi-ficación, la forma y el estilo son defi-nidos no sólo por los lugares queocupan los interlocutores (en nues-tro caso, profesores y alumnos de EJA)y por la situación inmediata que esconveniente para la interlocución,sino también por un contexto másamplio que constituye el conjunto delas condiciones de vida de una deter-minada comunidad que utiliza unmismo lenguaje.

Bakhtin dice que las reminiscen-cias (1992) son:

"... producto de la interacción dedos individuos socialmente organiza-dos" (p.112).

Cuyos contenidos, significación,forma y estilo son definidos:

"por la situación inmediata, por losparticipantes y por el contexto másamplio que constituye el conjunto decondiciones de vida de una determi-nada comunidad lingüística, así como

por las presiones sociales más substan-ciales y durables a que están someti-dos los interlocutores" (Costa Val,1996, p.92).

De esa manera, las reminiscenciasde la escolarización anterior, eviden-tes manifestaciones de recuerdos detemas, términos o procedimientos dela matemática escolar, son conside-radas resultado de la interacción en-tre sujetos y entre discursos y consti-tuyen la forma de percibir en ellas "laspalabras de los otros" (Authier-Re-vuz, 1982) que hacen eco en aquelloque es dicho en el contexto de la cla-se de matemáticas.

Entender la expresión hablada delos recuerdos de la matemática esco-lar como un fenómeno de interlocu-ción (el alumno habla con alguien, endeterminadas situaciones y con de-terminado objetivo) y de interdiscur-sividad (su hablar es permeado porotras palabras a partir de las cuales élconstruye lo que va a decir) ayuda alos educadores (y también a los edu-candos) a percibir en esos recuerdoslas palabras de los otros, que hacen ecoen aquello que es dicho y en lo quees callado, en el contexto de la clasede matemáticas.

El otro con quien interactúan lossujetos (en este caso los alumnos dela EJA) y en cuyos discursos se expre-san sus recuerdos, son sus colegasadultos que, como ellos, retornan a laescuela, así como el profesor que losacoge. Pero también lo son otros tan-tos alumnos y profesores con quie-nes interactuaron directamente en sutrayectoria escolar o indirectamentepor los relatos de familiares, amigoso colegas, o a través de la literatura;todos estos otros constituyen mode-los de alumnos, profesores, escuela,libros didácticos y de una concepciónde la matemática identificada, en ge-neral, con la matemática escolar. Esosmodelos son construcciones cultura-les, marcadas por la inserción histó-rica de los sujetos y de los discursos.

Así, el enunciado de una reminis-cencia revela ecos y recuerdos de otrosenunciados; y su contenido, estilo y es-tructura serán definidos por la situa-ción específica en que son proferi-

dos, en nuestro caso, lo son en unasituación de enseñanza-aprendizajeescolar de matemáticas y en un pro-yecto de educación con personas jó-venes y adultas.

No es, pues, por casualidad queidentificamos una relativa estabilidaden el contenido y en la forma de ta-les enunciados, lo que nos sugiereconsiderar dos cosas: a) un género dis-cursivo propio de la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas en elcontexto escolar y b) reconocer en laenunciación de las reminiscencias dela matemática escolar que realizan losalumnos adultos una actitud de ma-nifestación, de ejercicio o de búsque-da del acceso a ese género, tomadocomo una de las expresiones de suinclusión en ese universo socialmen-te valorizado de la cultura escolar.

Esta perspectiva teórica confron-tada con la experiencia en la educa-ción de jóvenes y adultos, en la for-mación de docentes en este nivel yen investigación en esta área me hacedestacar no tanto los aspectos didác-ticos de las reminiscencias, sino elesfuerzo de conquista y manifesta-ción de su inclusión en la instituciónescolar que realiza el alumno adulto:al enunciar sus reminiscencias de lamatemática escolar, el alumno adul-to puede facilitar el tránsito en la dis-ciplina matemática, pero más que eso,ese alumno reconstruye y exhibe unacierta intimidad con el género discursi-vo propio de aquella institución (queen los enunciados didácticos de las ma-temáticas adquiere una expresión tí-pica), elemento decisivo para justifi-car y forjar su inclusión en ella.

LAS REMINISCENCIAS Y EL GÉNERO DISCURSIVO

DE LA MATEMÁTICA ESCOLAR. En las pági-nas finales de sus Metamemorias-memorias, Soares (1991) apunta lanecesidad de "... investigar qué carac-teriza el discurso de la escuela (de losprofesores y especialistas y del mate-rial didáctico), en su contenido y susformas de expresión, oral, escrita yno verbal" (p.112). En la investiga-ción que realizamos, teniendo comoobjeto el estudio de las reminiscen-cias de la matemática escolar expresa-das por alumnos adultos en una nue-


va situación de apren-dizaje en la educaciónde jóvenes y adultos,sabíamos que el discur-so de la escuela sería unaspecto relevante denuestros análisis.

Sin embargo, a pe-sar de que los autoresantes citados tienen in-negable influencia so-bre el trabajo que de-sarrollo, fueron las pa-labras de Seu Antoniolas que me hicieron re-parar en el carácter ab-solutamente funda-mental de la consideración del génerodiscursivo de la matemática escolar.

En efecto, al ser el enseñar-y-apren-der-matemática-en el-contexto-escolar unaesfera específica de la actividad hu-mana, está inevitablemente relaciona-da con la utilización de la lengua, quese da en forma de enunciados (ora-les y escritos) concretos y únicos pro-ducidos por los sujetos pero que asu-men un carácter y modos que sonpropios de cada actividad específica.Para Bakhtin (1997), la especificidadde una esfera de comunicación defi-ne todos los enunciados que en suámbito son producidos, de modo quecualquier enunciado considerado ais-ladamente es individual, y cada esfe-ra de utilización de la lengua elaboratipos de enunciados relativamenteestables, siendo eso lo que el autordenomina géneros del discurso. (p.279).

Seu Antonio era el único entre lossujetos de aquel grupo que no cursóla escuela regular. Aprendió a leer conun profesor que pasó algunos mesesen la hacienda en que vivía cuandoera chico. Los demás alumnos habíancursado la escuela primaria antes delos diez años de edad y salieron deella cuando menos a los 13 años. SeuAntonio hace un análisis preciso desus dificultades en la ejecución de laactividad que en aquella oportunidadle había sido propuesta (resolver al-gunas expresiones aritméticas). A lolargo del curso se identificaron va-rios episodios en los que Seu Anto-nio hizo observaciones en ese mis-mo sentido, resintiéndose por no te-

ner "las maldades del lenguaje":"¿Cómo es que queda la pronuncia-ción de eso ahí?"; "... yo tengo difi-cultad en la colocación"; "... en mipunto de vista, yo entiendo todo loque tú estas explicando aquí y se en-tiende directamente, pero cómo con-tar, yo me complico en contar, yo ten-go dificultad para encontrar el resul-tado"; "... yo no sé conversar con esosnúmeros"; "...las cuentas que tú medas, yo sé hacerlo todo... más yo notengo ‘la maldad’ del lenguaje".

Mucho antes que la investigado-ra, el alumno identificó el déficit quetenía, a pesar de su destreza en loscálculos, por no compartir el génerodiscursivo de la matemática escolar. El re-conocimiento y la relevancia atribui-da por Seu Antonio al dominio deese género del discurso (por él refe-rido como "las maldades del lengua-je") nos llevó a reconocer la historici-dad de cada momento de interaccióndiscursiva en la sala de clases de laeducación de jóvenes y adultos: la ma-temática (escolar) entra en la vida deaquellos sujetos a través de los enun-ciados concretos de sus reminiscen-cias, ellas conforman el discurso ma-temático, y es también a través de esosenunciados concretos que la vidapenetra en la matemática (escolar).

En otras ocasiones, Seu Antoniopidió a la profesora que explicara, re-pitiera y enfatizara "la pronunciación"de determinados procedimientos, de-finiciones o propiedades: "Profeso-ra, repite ahí esa pronunciación parapoder guardarla en la mente"; el alum-

no se esfuerza por me-morizarlos, pero másque guardar en la mente,Seu Antonio busca in-corporarlos a su propiodiscurso. Él presienteque es esa pronunciaciónla que le permite parti-cipar de manera efi-ciente y socialmentevalorizada de la activi-dad comunicativa quese establece en la salade clases o en la ejecu-ción de una actividadmatemática (escolar).Parece comprender,

por un lado, que "... los géneros dis-cursivos se constituyen en la interdis-cursibidad" y por otro, que "asimilarel propio discurso a un género impli-ca entrar en relación con el discursodel otro, de los otros, anónimos, cuyotrabajo lingüístico histórico resultó enla configuración de aquel patrón"(Costa Val, 1996, p.114).

Si sus colegas no insisten en de-mandas semejantes con la misma fre-cuencia, es porque sus experienciasescolares (vividas cuando alumnos, opor la cercanía con otras vivencias es-colares que se entrecruzan con las su-yas) les proporcionan —a unos más,a otros menos— la posibilidad de asi-milar los modos del discurso de lamatemática escolar. Con la matemá-tica que aprendieron en la escuela seintrodujeron en su experiencia y ensu conciencia las formas típicas desus enunciados, esto es, el género dis-cursivo de la matemática escolar.

Dichas formas estructuran las re-miniscencias de la matemática esco-lar que esos alumnos enuncian. Losenunciados de las reminiscenciasatestiguan que ellos aprendieron amoldear su hablar dentro de esas for-mas del género de la matemática es-colar; esos mismos enunciados y supropia enunciación en situacionesdiscursivas definidas revelan que, alescuchar el hablar de la profesora, delos colegas, de los materiales didácti-cos, esos adultos que se (re)integrana la dinámica escolar en la condiciónde alumnos, de inmediato "... presien-ten el género, adivinan el volumen (la


extensión del todo discursivo), la es-tructura composicional dada, prevénel fin" (Bakhtin, 1997, p.302); es de-cir, desde el inicio son "... sensiblesal todo discursivo que, en el procesode hablar, evidenciará sus diferencia-ciones". (Bakhtin, 1997, p.302).

El proceso parece tan automáti-co que podría haber pasado desaper-cibido en aquella investigación, si nofuese por la sensibilidad de alguienque no domina el género y que, in-formado por aquello que consiguiódesprender de sus experiencias esco-lares, todavía precarias, de cierta for-ma identifica ese género y reconoceque en la medida en que lo domina ycomparte con los interlocutores, sehace posible la (negociación de lossentidos en la) comunicación verbal.

Además de eso, no escaparía a laintuición de Seu Antonio — y ni a lade sus colegas— que:

"... es de acuerdo con el dominiode los géneros que usamos con des-envoltura, que descubrimos más rá-pido y mejor nuestra individualidaden ellos (cuando eso nos es posible yútil), que reflejamos con mayor agili-dad la situación irreproductible de lacomunicación verbal y que realiza-mos con el máximo de perfección, elintuitivo discurso que librementeconcebimos." (Ibid. p.304).

Dominar el género discursivo deuna esfera dada de la actividad hu-mana es, por tanto, uno de los aspec-tos constitutivos de los sujetos queinstituyen (y se instituyen en) la inte-racción discursiva. En el caso de esosalumnos adultos que se reintegran ala institución y la dinámica escolar,conquistar y revelar su dominio so-bre los géneros discursivos propiosde la escuela será una estrategia paraestablecerse y establecer su lugar desujetos, legitimado por la adecuaciónde su discurso a las formas prescritasde las interacciones discursivas queahí se realizan.

La enunciación de las reminiscen-cias de la matemática escolar poralumnos de la educación de jóvenesy adultos ha de ser, entonces, la opor-tunidad privilegiada del ejercicio aquí

descrito, en la medida en que resca-tamos temas, estilos y estructuras in-crustadas en la memoria colectiva quecondicionan la situación discursiva alparámetro del género escolar, confi-riéndole otras dimensiones de senti-do, socialmente más valorizadas eidentificadas con las aspiraciones deinclusión sociocultural de los inter-locutores involucrados.

Al movilizar sus recuerdos del co-nocimiento escolar, y con ellos cons-truir recursos expresivos que han sidoreconocidos como legítimos, el alum-no de la EJA apuesta a favor de la con-vicción de que hablar un poco dematemáticas escolarizadas legitima suinserción en la escuela, porque reve-la que al compartir los modos de ex-presión, el pensar y el hacer de lamatemática escolar, se torna mínima-mente justo y, también adecuado ocu-par ahí un lugar como sujeto.


La reflexión sobre la disposición delos alumnos de la Educación de Jó-venes y Adultos —sobre todo de losadultos, más que de los jóvenes oadolescentes— en evocar sus cono-cimientos escolares y hablar de lo querecuerdan, nos sugiere comprenderesa actitud de los alumnos como unaestrategia de inclusión en el univer-so cultural de la institución escolar.Para nosotros, educadores, sugiere lanecesidad de conceder una atenciónespecial a lo que dicen esos educan-dos de su experiencia escolar.

No es difícil encontrar en el cam-po de la enseñanza de las matemáti-cas educadores e investigadores, pro-puestas y estudios que reconozcan lanecesidad de que la escuela conside-re las experiencias que los alumnostraen de la vida cotidiana, particular-mente del mundo del trabajo, o desus raíces culturales. Poco o nada, noobstante, se tiene dicho sobre las ex-periencias de vida del alumno de laEJA y sobre el papel que el procesa-miento de esas experiencias desem-peña en una nueva oportunidad deaprendizaje escolar.

En este trabajo invito a los edu-cadores a tratar con cuidado las refe-

rencias a esas experiencias: rescatar-las, abrir el espacio para que emer-jan, discutirlas, confrontarlas con losrecuerdos de los otros identificandooposiciones y convergencias, aspec-tos individuales y colectivos, en fin,permitir que sean revalorizadas, re-lativizadas, resignificadas por susalumnos y alumnas. Más que la es-trategia didáctica en la promoción demejores condiciones para el apren-dizaje de la matemática, ese cuida-do será también una actitud de res-peto no sólo hacia el conocimientodel alumno de la Educación de Jóve-nes y Adultos, sino también en susesfuerzos por romper las cadenas dela exclusión.

Lecturas sugeridas

AUTHIER-REVUZ, JACQUELINE, 1982,Heterogeneidad mostrada y heterogeneidadconstitutiva: elementos para un aprovecha-miento del otro en el discurso, DRLAV, Cen-tro de Investigación de la Universi-dad de París, VIII, núm. 26, pp. 91-151, París.BAKHTIN, MIKHAIL (VOLOCHINOV),1992, Marxismo y filosofía del lenguaje,6ª ed., São Paulo, Hucitec.BAKHTIN, MIKHAIL, 1997, Estética dela creación verbal, São Paulo, MartinsFontes.COSTA VAL, MARIA DA GRAÇA F,1996, Entre la oralidad y la escritura: eldesarrollo de la representación del discursonarrativo escrito en infantes en fase de alfa-betización, Belo Horizonte, Universi-dad Federal de Minas Gerais (tesis dedoctorado en educación).FONSECA, MARIA DA CONCEIÇÃO F.R, 2001, Discurso, memoria e inclusión:reminiscencias de la matemática escolar enalumnos adultos de la enseñanza fundamen-tal, Campinas, Universidad Estatal deCampinas, (tesis doctoral).SOARES, MAGDA, 1991, Metamemoria-memorias: travesía de una educadora, SãoPaulo, Cortez.

Agradecemos la colaboración de Gloria InésMata en la traducción de este artículo.


EL CAJEROUn recurso didáctico que favorece el acceso de adultos analfabetos

a la simbolización de los números y las operaciones de suma y de resta

SABERES

María Fernanda DelpratoFACULTAD DE FILOSOFÍA Y HUMANIDADES DE LA UNC / ARGENTINA

[email protected]

Irma FuenlabradaDEPARTAMENTO DE INVESTIGACIONES EDUCATIVAS, CINVESTAV-IPN / MÉXICO

[email protected]

INTRODUCCIÓN. La pro-blemática del analfa-betismo es la margi-

nación de los adultos deuna simbolización convalor social. Aquí se re-toma esta agenda desdeel campo de la exclusióndel dominio de la simbo-lización matemática.

Este trabajo se ocupade uno de los recursosutilizados en el diseño yexperimentación de la in-geniería didáctica estudia-da por Delprato (2002),el juego de El Cajero. In-teresa particularmentedescribir y destacar suvalor didáctico como re-curso que permite la inte-racción de los adultosanalfabetos con las leyesdel sistema de numera-ción decimal, proveyén-dolos de elementos paraacceder a la representa-ción, con sentido, de losnúmeros. Así mismo, eljuego El Cajero les posi-bilita el control del ma-nejo simbólico de las operaciones desuma y resta.

La ingeniería didáctica diseñadaconsidera las aportaciones de la edu-cación de adultos y de la didáctica delas matemáticas en relación con la im-portancia de valorar y recuperar lasnociones y usos sociales de los nú-meros y "las cuentas" de los sujetosde aprendizaje, siendo relevante a lavez la extensión de estos saberes yusos previos hacia el conocimiento

de las funciones y leyes del sistemasimbólico que usamos: el sistemanumérico decimal.

ACTIVIDADES. La investigación de refe-rencia se desarrolló a lo largo de 10sesiones de 45 minutos con cada unade las siguientes tres mujeres: Carmen(46 años, dos años de primaria, atien-de un puesto de dulces), Sofía (28años, iniciando la escuela primaria,empleada doméstica) y Olga (25 años,

iniciando proceso de alfa-betización, empleada do-méstica). Ellas migrarona la capital provenientes,respectivamente, de losestados de México, Hidal-go y Guerrero. Fueronatendidas de modo indi-vidual con acciones de en-señanza pertinentes a ca-da una de ellas, en funciónde sus saberes previos, desus posibilidades de res-puesta, de sus visionessobre las temáticas traba-jadas y sobre el saber ma-temático en general. Noobstante, cabe señalar queesta modalidad de aseso-ría individual se identifi-ca con uno de los estilosvigentes en el InstitutoNacional de Educaciónde Adultos (INEA) deMéxico, pero se diferen-cia en su contenido.

Antes de profundizaren el juego de El Cajero,es necesario precisar algu-nas cuestiones de ordenmatemático. El sistema de

numeración que habitualmente se usapara escribir los números es de base(10) y de posición. Estas característi-cas "... conllevan rasgos peculiares delos algoritmos de suma y resta usa-dos. El número de símbolos limita-do a diez (0,1,2,...,9) y el carácter po-sicional del sistema da la posibilidadde operar sobre cada agrupamiento(los unos, los dieces, los cienes, etcé-tera), en ambas operaciones, como sise lo hiciera sobre dígitos." (Fuenla-


brada, I., et al 1984) Por ejemplo, enla suma 45+23, se puede sumar 4+2(dieces), y en la resta 45-23 se puederestar 4-2 (dieces), es decir que su-mamos en este caso, decenas comosi fueran dígitos.

Otro rasgo de estas operacionesderiva de las leyes de transformacióndel sistema numérico decimal. Porejemplo, en 45+28, al sumar 5+8(unos) se obtienen 13 unos, que setransforman en 1(diez) y 3 (unos), el 1(diez) así obtenido debe considerarsecon la suma de 4+2 (dieces). Mientrasen la resta, 562-381, por ejemplo, alquerer restar 6-8 (dieces) se hace ne-cesario tomar 1 (cien) y desagruparloen 10 (dieces) que con los 6 (dieces) quese tienen hacen 16 (dieces) a los que sele pueden restar los 8 (dieces), quedan-do en el minuendo sólo 4 (cienes).

EL JUEGO DE EL CAJERO. CONSIDERACIONES

DIDÁCTICAS GENERALES. El juego se imple-mentó en la tercera sesión como unajuste a la forma en que se venía tra-bajando el sistema de numeración.Inicialmente, se realizaron activida-des de reflexión sobre regularidadesde la serie numérica escrita. La ac-tuación de las mujeres en esas activi-dades puso en evidencia que no po-dían anticipar desplazamientos en laserie numérica que implicaran reagru-pamientos o desagrupamientos. Es-tas dificultades y la preocupación porfacilitar rápidas evidencias de apren-dizajes sociales relevantes para los

adultos (la usual escritura de los nú-meros y de los algoritmos), conduje-ron al mencionado ajuste: introducirel juego del El Cajero y el registro enuna tabla. De esta forma buscábamospropiciar, en las mujeres, una interac-ción reflexiva con las leyes constitu-tivas del sistema habitual de repre-sentación de los números y, unaaproximación a los algoritmos con-vencionales de suma y resta.

EL CAJERO. CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS ES-PECÍFICAS PARA ADULTOS DE BAJA ESCOLARIDAD

Se necesita organizar un banco, desig-nar un cajero y tener tres dados. Laorganización del banco tuvo comoreferente el dinero de circulación co-tidiana. Se eligió el dinero por serun portador social de uso de los nú-meros que permite recuperar la fa-miliarización implícita de sus usua-rios —aún de los adultos analfabe-tos— con las leyes de cambio rela-cionadas con el carácter decimal delsistema de numeración. En Méxicocirculan monedas de 1, 2, 5, 10, 20pesos y billetes de 20, 50, 100, 200 y500 pesos. Por ello, en dos de las ca-ras de cada uno de los tres dados,aparecían los números: 1, 2 y 5 (en elprimer dado); el 10, 20 y 50 (en elsegundo); y el 100, 200 y 500 (en eltercero). Y se utilizaron para el bancofotocopias sólo de las monedas de $1y $10 y el billete de $100, por su rela-ción con los agrupamientos decima-les del sistema de numeración.

Por tratarse de una inter-vención individual, el rol decajero (el dueño del banco) loasumió la entrevistadora quienademás participó como contrin-cante de la mujer entrevistada.

El Cajero ascendente: los ju-gadores por turnos tiran losdados y piden al cajero mo-nedas de $1 y $10 y billetes$100 en función de lo que losdados señalen. Cada vez quese reúnen diez monedas delmismo valor deben cam-biarse por una del valor in-mediato superior. Así, diezmonedas de $1 se cambianpor una moneda de $10; a suvez, diez monedas de $10 de-

ben cambiarse por un billete de $100.Gana el primer jugador que logrereunir una cantidad de dinero pre-establecida.

El Cajero descendente: cada jugadorrecibe al inicio una cantidad de dine-ro. Por turnos los jugadores tiran eldado y entregan al banco la canti-dad exacta de dinero que indiquenéstos usando sólo monedas de, $1y/o $10, y/o billetes de $100. Estoimplica que cuando un jugador notiene suficientes monedas de la de-nominación que debe entregar se veen la necesidad de cambiar en el ban-co una de orden superior. Por ejem-plo, si un jugador tiene que entregar$52 pero sólo tiene billetes de $100,debe tomar uno de éstos y cambiarloen el banco por diez monedas de $10y a su vez, tomar una de estas mone-das y cambiarla por diez monedas de$1 y así entregar las cinco monedasde $10 y las dos de $1. Así, gana elprimer jugador que se deshaga desu dinero.

El Cajero propicia una familia-rización informal con los procedi-mientos de agrupar y desagrupar re-queridos para la resolución de lasoperaciones convencionales de sumay resta.

Esta explicitación de la regla decambio se acompañó del registro enuna tabla —de la que nos ocupare-mos luego— que posibilitó el reco-nocimiento de los agrupamientos quecomponen el sistema (los cienes, los


dieces y los unos) y su vínculo con laescritura (posicional) de los números.

Cabe aclarar que formalmentesólo se trabajó con El Cajero y el re-gistro en la Tabla en las sesiones ter-cera y cuarta. Posteriormente, la re-presentación de los números y de laoperatoria se realizaron en situacio-nes aditivas (suma y resta) medianteproblemas del contexto comercial.En estos ejercicios usamos cantidadesrepresentadas con y sin correspon-dencia con la escritura convencional($235, por ejemplo, podía estarrepresentado con un billete de $100,doce monedas de $10 y quincemonedas de $1; o bien, con dosbilletes de $100, tres monedas de $10y cinco monedas de $1). Es decir,desde la perspectiva de la ingenieríadidáctica implementada, se trataba dever en qué medida la reflexión sobrelas leyes de agrupamiento y sucorrespondencia con las restriccionesde una escritura posicional (propicia-das por El Cajero y el registro enTabla), eran incorporadas por las mu-jeres en la resolución de problemas. ¿QUÉ SABÍAN LAS MUJERES Y A QUÉ SE ENFREN-TARON REALIZANDO EL JUEGO DE EL CAJERO?Con base en los conocimientos pre-vios de cada una de las mujeres y conel propósito de extenderlos, planteán-doles un reto intelectual, las activida-des con El Cajero ascendente y des-cendente se realizaron en rangos nu-méricos diferentes. Así con Carmense trabajó del 0 al900 (dominio ini-cial hasta el 200),con Sofía del 0 al200 (dominio ini-cial hasta el 100) ycon Olga del 0 al100 (dominio ini-cial hasta el 20). Eldominio inicial decada una de lasmujeres alude a lasposibilidades deescritura y lecturade números, locual no se corre-lacionaba de ma-nera directa a susposibilidades de

reconocer cantidades mayores usan-do el dinero. Por ejemplo, sabían quetenían $235 cuando esa cantidad(235) estaba representada con mone-das y billetes aunque no supieran es-cribirla. Las entrevistadas tambiénmanejaban procedimientos de cam-bio por sus vivencias cotidianas conel uso del dinero. Sabían, por ejem-plo, que si el dado señalaba 200 de-bían pedir dos billetes de $100; tam-bién que doce monedas de $10 sonlo mismo que un billete de $100 ydos monedas de $10; asimismo sa-bían que podían cambiar un billetede $100 para obtener monedas de$10. Sin embargo, fue El Cajero elrecurso que posibilitó la explicitaciónde dichos procedimientos de cambioy permitió a la vez su sistematización.

En cuanto a las estrategias que lasmujeres inicialmente tenían para con-trolar el cálculo se observó que erandiversas. Olga mostraba serias difi-cultades para retener la informaciónen el cálculo mental, por desconocerla representación simbólica de núme-ros mayores al 20 y la representacióngráfica de la suma y la resta. Sofíasiempre recurría a una cuenta escrita(cuando podía escribir los datos) perousaba un algoritmo erróneo. Carmendisponía de un eficaz cálculo mentalcomo recurso (con anotaciones oca-sionales de los datos o de la suma),pero tenía dificultades cuando teníaque operar con números grandes(mayores al 600) y cuando era nece-

sario hacer transformaciones sucesi-vas (en el caso de la resta). Tanto Sofíacomo Carmen, contaban con algúnregistro de la suma y la resta, pero notenían ninguna posibilidad de argu-mentación para sostener el me llevo oel le pido prestado, aún cuando Carmenresolvía exitosamente. EL REGISTRO EN UNA TABLA. Al mismo tiem-po que las mujeres realizaban El Ca-jero ascendente o el descendente, seles solicitó que fueran registrando enuna tabla (de tres columnas cuyos en-cabezados eran $100, $10 y $1 —enese orden—) los resultados de sus ti-radas, uno debajo del otro, destacan-do con marcador lo obtenido una vezrealizados los cambios. También seles propuso el trabajo inverso, es de-cir, identificar los agrupamientospresentes en una cantidad de dineroregistrada en la tabla; a lo que se adi-cionaba una reflexión sobre la no per-tinencia de escribir en una columnamás del número nueve (en atencióna la regla de cambio). Posteriormen-te, al retomar el registro convencio-nal de los números (que inicialmentepodían producir) y su correlación conel registro en una tabla, pudieron asíreconocer el rastro de los agrupa-mientos en la posición de las cifras.

En El Cajero ascendente, todas lasentrevistadas tuvieron dificultad paraaplicar la regla de cambio, porque enla representación con dinero es tanválido tener $18 sólo con monedas

de $1, como te-nerlos con unamoneda de $10y ocho de $1. Elregistro en la ta-bla permitió alas mujeres dife-renciar las dis-tintas formas derepresentar lascantidades condinero de su re-presentación encorresponden-cia con la escri-tura numéricaconvencional.Esto fue posibleporque fueron


comprendiendo a la regla de cambiocomo el recurso para controlar y pro-ducir el registro convencional de unacantidad de dinero que hasta enton-ces sólo podían nombrar por su co-nocimiento del sistema monetario.

Por ejemplo, Olga, apoyada en lasregularidades de la serie numérica oraly su experiencia con el dinero, en laresolución de un problema escribe 61para el seiscientos (seis... [6]... cien [1]tos), número que le era desconocido(sólo sabía escribir hasta el 20). Lue-go logra rectificar su escritura me-diante la identificación del agrupa-miento, pues dice son "seis de a cien"y la entrevistadora le pregunta: "¿tie-nes monedas de a diez, tienes mone-das de un peso? Oh —... Uhm ... no(...) seis (Olga borra el 61). Sí, seis(escribe el 600)". Se infiere que el ra-zonamiento de Olga no se sostieneen el rito tradicional de identificaciónde unidades, decenas y centenas sino en larecuperación de El Cajero y la tablacomo recursos que le han permitidocomprender la escritura y la operato-ria del sistema numérico decimal.

Cabe señalar que en El Cajero des-cendente, las tres mujeres aceptaron,en cambio, sin dificultad la regla detransformación puesto que ésta esuna estrategia relacionada con la po-sibilidad de operar, es decir, ellas re-conocían la necesidad de tener cam-bio para poder entregar exactamentela cantidad requerida.

RESULTADOS. Al inicio de la experienciade aprendizaje, las mujeres podíanresolver problemas aditivos, referidosal contexto comercial, con estrategiasde cálculo ineficientes (Olga y Sofía)o limitadas (Carmen). Podían tam-bién reconocer oralmente las canti-dades de dinero involucradas en losproblemas; y podían, escribir algunosnúmeros pero desconocían las razo-nes que sustentan la escritura de losnúmeros y sus relaciones con losmecanismos usuales de manipulaciónsimbólica de la suma y la resta.

El Cajero y el registro en la Tabla(tirar los dados, cambiar y registrar)permitieron que las entrevistadas in-teractuaran sistemática y ordenada-mente con los procedimientos infor-

males de suma y resta en un ámbitoreconocido por ellas (las relacionesde cambio monetario). Además es-tos recursos propiciaron el descubri-miento de las leyes del sistema denumeración decimal que se expresanen la escritura posicional y el controlde los procedimientos algorítmicosde la suma y la resta.

Así Olga, con esta forma de en-señanza de la representación escrita,accedió a un recurso para retener in-formación (la escritura de los datosde un problema) y mejoró su desem-peño en el cálculo haciendo uso dealgoritmos escritos en reemplazo desu cálculo mental inicial poco eficaz.Sofía pudo revisar sus algoritmosprevios erróneos, acceder a los pro-cedimientos algorítmicos correctos ya su argumentación mediante el usode la Tabla. Finalmente Carmen, alexplicitarse la lógica subyacente a losalgoritmos confrontando la resolu-ción ya conocida por ella y la resolu-ción obtenida empleando la Tabla, lo-gró extender estos procedimientosalgorítmicos a números más grandesy argumentar las transformacionesque empleaba ritualmente ("llevar" y"pedir prestado").

Delprato (2002) entonces conclu-ye en su estudio que

…el acceso a la representación es-crita, si bien existen estrategias decálculo ágrafas potentes y eficaces endeterminados contextos, promueve laoptimización de modos de resoluciónal dotar de mecanismos de sustitu-ción o alternativos a la memorización,o al dotar de criterios de argumenta-ción y control del propio cálculo, ypor ende, de generalización. Esto úl-timo demanda un modo de acceso ala escritura de los números no signa-do por la arbitrariedad sino por el do-minio de las leyes constitutivas de estesistema de representación.


Explorar rangos numéricos decompetencia de los adultos (produc-ción, interpretación y orden en la se-rie —desplazamientos—). Con baseen ellos, organizar el juego de El Ca-

jero ascendente y descendente, enrangos numéricos cercanos perodesafiantes, sistematizando las ac-ciones de tirar los dados, cambiar yregistrar en una tabla. Propiciar re-flexiones sobre el registro en la ta-bla: sólo es válido escribir en cadacolumna los números del 0 al 9, revi-sar el valor (posicional) de las cifrasy la conveniencia de realizar cálcu-los de izquierda a derecha. Despuéssustituir el registro en la tabla por elalgoritmo ampliado. Lecturas sugeridas

ÁVILA, A. Y G. WALDEGG, 1994. Haciauna redefinición de las matemáticas en la edu-cación básica de adultos, INEA, Mé[email protected] FUENLABRADA, I., C. ESPINOSA Y M.DÁVILA, 1984. Sistemas de Numeración.Cuaderno de trabajo, DIE-CINVESTAV,Mé[email protected] FUENLABRADA, I., D. BLOCK, H.BALBUENA, Y A.CARVAJAL, 1991. "ElCajero" en: Juega y aprende matemáticas.Propuesta para divertirse y trabajar en el aula,Libros del Rincón, SEP, México.www.cinvestav.mx/die/publ ic/page6.html

ARTIGUE, M., 1995. "Ingeniería didác-tica, en P. Gómez (editor), Ingeniería di-dáctica en educación matemática . Un esque-ma para la investigación y la innovación en laenseñanza y el aprendizaje de las matemáti-cas, Grupo Editorial Iberoamérica,México.www.engrupo.com.mx/menu.html

DELPRATO, MA. F., 2002. Los Adultosno alfabetizados y sus procesos de acceso a lasimbolización matemática, maestría enciencias, Departamento de Investiga-ciones Educativas del Centro de Inves-tigación y de Estudios Avanzados delIPN. México.www.cinvestav.mx/die/public


SABERES

INTERPRETACIÓN Y RETOS DE LAS ETNOMATEMÁTICASPARA LA EDUCACIÓN BÁSICA DE ADULTOS

Mercedes de AgüeroDEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN DE LA UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA / MÉXICO

[email protected]

INTRODUCCIÓN. Los programas y pro-yectos educativos para jóvenes yadultos se basan casi exclusiva-

mente en: a) la consideración de losprocesos de aprendizaje del adultocomo un sujeto individual y fragmen-tado, cuya mente y afectividad se veseparada de su vida familiar y/o co-munitaria, de su vida diaria; b) en laconsideración de un conocimientodado y estático; y, c) en un procesode enseñanza que desencadena deforma directa el aprendizaje, es decirque no hay mediación social ni sim-

bólica alguna en el saber y conoci-miento del adulto.

Numerosos hechos muestran queeste marco de referencia que es in-eficaz y poco funcional; esto es, queno contribuye a elaborar alternativasy acciones educativas pertinentes yrelevantes para jóvenes y adultos. Laevidencia es rotunda al respecto,como la baja demanda por dichosprogramas, los millones de personasque tienen rezago educativo, la du-dosa calidad de los contenidos quese transmiten en los programas for-

males, la incertidumbre acerca de latransferencia del aprendizaje de laescuela a las diferentes situaciones devida de los adultos y la baja eficien-cia terminal de los programas. Porotra parte, algunos estudios muestran,desde distintas disciplinas, la maneracomo jóvenes y adultos aprenden ensu vida diaria, ya sea en el trabajo, ensus actividades comerciales, persona-les o sociales en general.

Es necesario, por lo tanto, teneren cuenta los conocimientos desarro-llados desde diversas disciplinas so-


bre la comprensión delos procesos mentales yde aprendizaje de losadultos en contextos va-riados; voltear la miradaa otros espacios y formasde concebir el aprendiza-je más allá de los tradi-cionales paradigmas edu-cativos de capacitación yactualización para el tra-bajo y de la sicología edu-cativa y escolar, como lateoría de la reproduccióno de la correspondencia.En cambio buscar en laposibilidad transforma-dora de la educación nue-vas formas de generar elcambio personal y social.Estas nuevas miradas in-tentan una comprensióndel aprendizaje como una prácticasocial circunscrita a consideracionespersonales, comunitarias y sociales,tanto objetivas como subjetivas, queestán imbricadas en las distintas acti-vidades cotidianas de los jóvenes yadultos.

En este ensayo se pretende des-cribir qué son las etnomatemáticas ysintetizar los supuestos que se consi-deran de mayor importancia para laeducación de jóvenes y adultos. Asi-mismo se pretende advertir acerca deciertos riesgos en la aplicación de lasetnomatemáticas a nuevos modeloseducativos, o al menos a contenidosy materiales alternativos.

LAS ETNOMATEMÁTICAS Y LOS ESTUDIOS

TRANSCULTURALES DE LAS MATEMÁTICAS.La concepción tradicional del proce-so de enseñanza-aprendizaje de lasmatemáticas considera que ésta inclu-ye verdades únicas y universales queson independientes de las personasque las utilizan de manera cotidiana.Se piensa que dichas verdades sondescubiertas por matemáticos, única-mente a través del razonamientoformal que utiliza un sistema de sím-bolos específico de difícil compren-sión; concibe a las matemáticas comoun saber estático y dado de antemano,además de ser ajeno a consideracio-nes sociales.

Una visión más amplia de las ma-temáticas (Millroy, 1992) consideraque estas están sustentadas culturalmen-te, y que además todas las culturas ge-neran conocimiento matemático pararesolver problemas y para imponerun orden en sus vidas; este autor afir-ma también que las matemáticas sonsocialmente construidas en el contexto deuna comunidad, en la que los signifi-cados se negocian y las convencio-nes se dialogan y acuerdan entre susmiembros. La palabra que se usa paraexpresar este proceso activo, creadory de uso de ideas y herramientas ma-temáticas es "matematizar", y se re-fiere a la experiencia de crear y usarideas matemáticas.

Hay un creciente grupo de inves-tigaciones sobre las prácticas mate-máticas en contextos naturales quedesafían la creencia de que la escuelaes la fuente central de conocimien-tos en matemáticas. Estos estudiosdemuestran que los problemas ma-temáticos en situaciones fuera de laescuela con frecuencia son aborda-dos de manera eficiente y creativa sinrecurrir a los procedimientos ense-ñados en ella.

Las etnomatemáticas en culturasy/o comunidades y grupos específi-cos tienen su origen, generación yfuncionalidad en las actividades de lavida cotidiana; los estudios transcul-

turales, o sea entre culturas distintas,no se refieren sólo a las matemáticasen comunidades tradicionales, sino agrupos escolares, círculos de estudio,grupos o equipos de trabajo en unaindustria particular, etc., quienes tam-bién generan su propia cultura, esdecir, desarrollan matemáticas encontextos específicos que cuentancon determinados valores, perspec-tivas, creencias, tradiciones, costum-bres y relaciones propias. Las mate-máticas no constituyen un saber dadosino una actividad y un proceso co-munitario. Todo grupo matematiza ensu vida cotidiana para enfrentar y re-solver los problemas relativos, porejemplo, a la administración de susrecursos, a sus relaciones producti-vas y de comercio, a los tiempos, alconteo, cálculo y medición.

Uno de los investigadores másdestacados en las etnomatemáticas esAllan Bishop (1999). Al estudiarculturas distintas, Bishop encontróque existen seis actividades matemá-ticas fundamentales que son universa-les, en el sentido de que parecen sercomunes a todos los grupos cultu-rales que se han estudiado, y tambiénson necesarias y suficientes para eldesarrollo del conocimiento matemá-tico. Estas seis actividades son 1. con-tar, 2. localizar, 3. medir, 4. diseñar,5. jugar, y 6. explicar; las matemáticas,


como un conocimiento cultural, deri-van del compromiso de las personasen estas seis actividades universalesde un modo estable y consciente.

El compromiso, según Wenger(2001) es un proceso que supone laconjunción de tres aspectos: a) lanegociación de significado, b) la for-mación conjunta de trayectorias devida y/o trabajo, de relaciones entrepersonas afiliadas a una comunidad;y, c) el despliegue de historias com-partidas de aprendizaje; de interac-ciones de aprendizaje en un trabajo,en una práctica.

Según demuestra Millroy, variascaracterísticas definen el uso y fun-cionalidad de las matemáticas en unasituación particular de trabajo:

Primera: la acción es vital para lasmatemáticas de los adultos en situacio-nes de trabajo. Hay conocimiento ma-temático tácito en sus acciones físicas.La demostración física es parte activade sus explicaciones y existe movi-miento y compromiso en la práctica.

Segunda: la reflexión sobre la ac-ción lleva a articular el conocimientotácito. Los resultados del estudio queel autor hizo con carpinteros sugie-ren que las acciones físicas, la refle-xión y el conocimiento matemáticoestán unidos en su que hacer laboral.

Tercera: las explicaciones, discu-siones y actividades para resolverproblemas están de modo deliberadoe intencional vinculadas a lo concreto,a problemáticas contextuales a partirde las cuales se elaboran proposi-ciones físicas — afirmaciones en laacción y sobre lo concreto —, mode-los mentales y analogías. Millroyargumenta que la contextualizaciónde las problemáticas de los carpinte-ros no implica que sus matemáticaspermanezcan en un nivel concreto yque jamás sean abstractas. El pensa-miento práctico implica tanto el nivelconcreto como el abstracto, ya seanestas situaciones de trabajo indivi-duales o colectivas.

Cuarta: se refiere a los papeles sig-nificativos que juegan las herramien-tas de trabajo de los carpinteros en laconformación de sus ideas matemá-ticas, ya que varias ideas matemáti-cas se expresaron por medio de una

herramienta. Este mismo autor argu-menta que las herramientas de traba-jo se usan como símbolos en la ex-periencia aritmética de hacer y usar alas matemáticas en el contexto deltaller. Así como los símbolos mate-máticos se manipulan para ilustrar ex-plicaciones en matemáticas formales,las herramientas de carpintería se ma-nipulan físicamente para comunicarexplicaciones en el taller; tal es el casode la escuadra.

En su estudio con colocadores depisos, Masingila (1994) plantea queademás de usar conceptos matemá-ticos, los estimadores —quienes to-man las medidas y elaboran los cál-culos de áreas y de material— y, loscolocadores utilizan varios procedi-mientos matemáticos: la medición yla solución de problemas.

Masingila observó cuatro áreas deconceptos matemáticos utilizadospor los estimadores y los colocado-res: en cuanto a medición, encontrarel área y perímetro de un lugar, dibu-jar y cortar ángulos de 45o, dibujar ycortar ángulos de 90o, algoritmos parahacer cálculos, geometría, razón yproporción. En cuanto al proceso demedición, este mismo autor sostiene

que, a pesar de que saber leer una cin-ta métrica es fundamental, otros as-pectos son igualmente importantesen los procesos de medición: estimar,visualizar los arreglos en el espacio,saber qué medir y usar métodos noestandarizados para medir.

La concepción de las matemáti-cas como un sistema cerrado, estáti-co y fijo que se genera sólo en uni-versidades o centros de investigación,a cargo de personas ajenas a las ne-cesidades y problemas que se enfren-tan en los ámbitos cotidianos y detrabajo y que en las instituciones edu-cativas se transfiere de modo descon-textualizado y ajeno a las metas yobjetivos de socialización de loseducandos para la vida fuera de laescuela, debe ser sustituida por unaconcepción de las matemáticas vin-culada con las actividades de las per-sonas con independencia de su edad,escolaridad, etnia, género, ocupacióny estrato social, económico y/o cul-tural. Esta perspectiva considera elconocimiento matemático como di-námico, construible y constructivo,generado y organizado por las exi-gencias y conveniencias sociales y, porlo tanto, resulta que es comunicable


y negociable por las personas en dis-tintos contextos.

Los problemas de la vida real secaracterizan por su complejidad;involucran a las matemáticas entendi-das desde una perspectiva tradicional,pero existen muchos otros aspectosen la vida (sociales, culturales, afec-tivos, y económicos) en que las mate-máticas están presentes y son rele-vantes a la hora en que se buscasolucionarlos. Lo más difícil en losproblemas de la vida diaria es encon-trar cómo plantearlos, ya que necesi-tamos considerar todos los elementosnecesarios para encontrar las solucio-nes. Esta búsqueda de información yla forma de organizarla es de la mayorimportancia en el proceso de solu-cionar un problema de la vidacotidiana. Una vez desencadenado elproceso de solución, es probable quese requieran nuevos datos; la tomade decisiones depende de la informa-ción que se va a considerar como másimportante y cuál se va a descartar,así como de las consecuencias de cadauna de dichas decisiones, o de lasopciones que se hayan visto pararesolver el problema.

Los problemas cotidianos tienenque ser enfrentados con todos los as-pectos, circunstancias y elementosque implican. En la vida diaria las per-sonas son capaces de lidiar con losnúmeros, las mediciones, los estadosfinancieros y el mundo social, políti-co y cultural de manera simultánea.

LAS ETNOMATEMÁTICAS Y LA EDUCACIÓN DE JÓ-VENES Y ADULTOS. Si se considera a lasmatemáticas como un conocimientoque se construye en comunidad yacorde al contexto cultural de laactividad específica que se practique,entonces se hace necesario valorar elpeso de algunos supuestos en los quese fundamenta la práctica educativade jóvenes y adultos.

En el campo de la educaciónmatemática, la investigación sobre losmecanismos y procedimientos deaprendizaje de los adultos no se haconsolidado en paradigmas. Los po-cos estudios sobre los procedi-mientos de cálculo y solución deproblemas de los adultos en su vida

cotidiana están sólo parcialmentereconocidos en los programas paraadultos. Según Ávila (1993) los librosde texto que se usan para el apren-dizaje de las matemáticas en Méxicohan sido elaborados con un escasoconocimiento de los adultos; en oca-siones los adultos han sido conside-rados personas sin experiencia oposeedores de una experiencia que nogenera conocimiento y esquemas depensamiento propios.

A pesar de que existe coinciden-cia en asignar una gran importanciaa la enseñanza y el aprendizaje de lamatemática —así como de la cienciay la tecnología— los resultados de-jan mucho que desear. Ni las deci-siones de política, ni los recursos asig-nados, ni la sistematización, evalua-ción e investigación en este camposon congruentes con la supuesta im-portancia asignada a la ciencia y la tec-nología en general, y a la matemáticaen particular.

RIESGOS EN LA INTERPRETACIÓN DE LAS ETNO-MATEMÁTICAS. Me parece importantedestacar algunos riesgos que puedencorrer los educadores al interpretarlos conocimientos que ofrecen las et-nomatemáticas para aplicarlos a laeducación para jóvenes y adultos.

a. El riesgo de sobrevalorar lossaberes que se construyen en lavida diaria, de darles un sentido einterpretación educativos quetraspasen las matemáticas y hacertrivializaciones acerca de las no-ciones y conceptos, esquemas, sis-temas y representaciones matemá-ticas para la educación básica dejóvenes y adultos. Son dos los ries-gos que se pueden correr: el pri-mero, pensar que saber contar yhacer las cuatro operaciones bá-sicas de la aritmética es suficien-te; y el segundo, descuidar la in-clusión de contenidos básicos quelos programas tienen que ofrecery que de otro modo es muy difícilque un adulto acceda a ellos; en-tre éstos están las formas deprobada eficiencia y eficacia parasistematizar la información quepermite la toma de decisiones

oportuna y adecuada; por ejem-plo hacer uso de las técnicas paraorganizar y representar gráfica-mente la información.

b. El riesgo de incluir una serie deprejuicios, mitos y resistenciasacerca de las matemáticas que blo-quean e impiden a educadores,sociólogos, psicólogos, lingüistasy otros profesionales y técnicos deáreas afines a la educación básicade adultos avanzar en una nociónclara de lo básico, cuando ellosmismos no se atreven a vencerdichos obstáculos.

c. El riesgo de quedarse en un mo-delo ideal de las necesidades bási-cas de aprendizaje o de las nece-sidades e intereses de los jóvenesy adultos sin estar suficientemen-te fundamentado en la mirada yla voz de los propios jóvenes yadultos, o que se quede en unavisión parcial de éstos comopersonas de muy diverso origensociocultural, ocupación, expecta-tivas, etc. y no como personas si-tuadas en contextos con diferen-cias y expectativas culturales dealfabetización de su entorno di-versos y en contextos sociales,también, muy variados, que deter-minan subjetividades individualesy colectivas específicas.

d. Otro problema de aplicación delas etnomatemáticas a la educa-ción de jóvenes y adultos es queesta concepción con dificultad al-canza propuestas educativas quedefinan cuáles son los contenidosbásicos con suficiente fundamen-to, que sean obligatorios, y ade-más, que puedan ser certificables,es decir convertidos en reactivosy exámenes que permitan la eva-luación y la acreditación para ob-tener un certificado total de estu-dios de primaria y secundaria.Acerca de los contenidos básicosfundamentales se puede correr,también, el riesgo de no profun-dizar respecto a las estrategias glo-bales de solución de los proble-mas, a la lógica que los sustenta o


a los diversos casos aritméticos enque éstas pueden ser utilizadas.


1. El problema en la educación bási-ca de adultos no radica en la presen-cia de una forma ordenada y metó-dica de proceder en los programasformales de educación para adultos(es decir, en la pedagogía), sino quela teoría educativa en la que se fundala pedagogía es ajena a los jóvenes ylos adultos. Lo que se propone esasumir un concepto de aprendizaje,un método y modo educativos pro-pios para adultos, así como la defi-nición de perfiles de ingreso y egre-so distintos y ad hoc según se tratede jóvenes y adultos, tomando encuenta sus necesidades, nivel y mo-dalidad educativos, así como llevar acabo una administración diferente.

2. Es urgente diseñar propuestaspedagógicas —didácticas y curricu-lares— basadas en proposiciones yparadigmas que conciben la adqui-sición y construcción del conoci-miento como una práctica socialcondicionada por contextos sociocul-turales históricamente definidos, queden cuenta de los aspectos y parti-cularidades esenciales del actuar delos adultos.

3. Es necesario que en la educaciónmatemática, así como en la educa-ción básica de adultos en general, sesupere la visión de lo elemental comolo básico, entendiendo por elemen-tal los contenidos de la primaria paraniños. Pareciera que el dilema, ocul-to y silencioso, estuviera en la implí-cita y falsa búsqueda de equidad alofrecer los mismos contenidos "ele-mentales" a niños y adultos. Los es-tudios sobre cómo los adultos mate-matizan situaciones cotidianas detrabajo y personales ofrecen eviden-cias para abandonar el dilema.

4. Se cuenta ya con suficientes estu-dios como para elaborar planes yprogramas de educación básica deadultos, al menos en lo que a las ma-temáticas se refiere, adecuados a per-

sonas que viven en contextos ocupa-cionales particulares.

5. Cualquier propuesta curricular ycualquier práctica educativa para jó-venes y adultos requiere vincularsecon la educación técnica y los cono-cimientos lógico-matemáticos comocontenidos indispensables de la pri-maria para adultos, tanto los relati-vos a los hallazgos de las etnomate-máticas como aquellos a los que deotra forma difícilmente un adulto tie-ne acceso fuera del espacio escolar yque se sabe son fundamentales parael progreso escolar y para la soluciónefectiva y eficiente de los problemasde la vida y el trabajo.

6. Esta propuesta se refiere a unaeducación básica — que excluya alproceso de alfabetización como elequivalente al jardín de niños de laeducación de adultos, y no solamen-te una educación técnica. Sino en unaeducación que se centre en la solu-ción de problemas reales de la vidalaboral y personal de los adultos, enla que ellos aporten de manera re-flexiva al contexto educativo, de ma-nera lógica o analítica; una educaciónque se haga de forma ordenada, pre-visora, y que dé cuenta de sus proce-sos y resultados; que se sustente enel contexto y la práctica de la comu-nidad, de una comunidad reflexiva yde una educación socialmente cons-truida y constructiva.

7. Nada de esto será posible sin undocente plenamente formado y pro-fesional, que tome decisiones reflexi-vas, que encuentre placer en indagary aprender, en generar y gestionar elproceso de enseñanza y aprendizaje,y que considere al aprendizaje comouna construcción, como una elabo-ración social, y a la enseñanza comoun proceso que facilita, desafía, esti-mula, dignifica y enriquece el desa-rrollo humano.

Lecturas sugeridas

ÁVILA STORER, ALICIA, 1993, "El sa-ber matemático extraescolar en los li-bros para la educación de adultos",en Educación Matemática, Vol. 5, No.3: 60-77.www.engrupo.com.mx/menu.html

BISHOP, A., 1999, Enculturación mate-mática. La educación matemática desde unaperspectiva cultural, Paidós, México.www.paidos.com

LIZARZABURU, A. Y G. ZAPATA SOTO,2001, Pluriculturalidad y aprendizaje de lamatemática en América Latina, Morata,Madrid.www.ecsu.ctstateu.edu/depts/edu/projets/ethnomath.html

MASINGILA, JOANNA, 1994, "Mathe-matics practice in carpet laying", enAnthropology and Education Quarterly 25(4):430-462.www.ecsu.ctstateu.edu/depts/edu/projects/ethnomath.html

MILLROY, WENDY LESLIE, 1992, "AnEthnographic Study of the Mathe-matical Ideas of a Group of Carpen-ters", Journal for Research in Mathema-tics Education; Monograph Number 5.Virginia; National Council of Tea-chers of Mathematics.www.ecsu.ctstateu.edu/depts/edu/projects/ethnomath.html

WENGER, E., 2001. Comunidades de lapráctica. Aprendizaje, significado e identi-dad, Paidós, México.www.paidos.com.

La educación es un sistema para impo-ner la ignorancia.

Noam Chomsky, lingüista y activista político

norteamericano, 1928-


SABERES

ELABORACIÓN DE MATERIALES ESCRITOS DEMATEMÁTICAS PARA EL APRENDIZAJE A DISTANCIA

Mónica Inés Schulmaister LagosDIRECCIÓN GENERAL DE MATERIALES Y MÉTODOS EDUCATIVOS, SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA Y NORMAL - SEP / MÉXICO

[email protected]

INTRODUCCIÓN. La Secretaría de Edu-cación Pública de México pusoen marcha, en abril del 2000, la

Secundaria a Distancia para Adultos.El objetivo general de este pro-

grama educativo es contribuir al aba-timiento del rezago educativo en lapoblación adulta. La educación a dis-tancia es una alternativa para respon-

der a las demandas educativas de estapoblación, que en México, en el año2000 ascendía, aproximadamente a 15millones de adultos que no tenían lasecundaria concluida, y que por suscondiciones personales no tienen ac-ceso a la educación escolarizada.

El currículo de la secundaria a dis-tancia para adultos se organiza en dos

niveles, inicial y avanzado y, en cua-tro áreas de conocimiento: lengua ycomunicación, cálculo y resoluciónde problemas, salud y ambiente y fa-milia, comunidad y sociedad.

Para cada nivel y área se elabora-ron materiales escritos y audiovisua-les, tanto para los estudiantes comopara los asesores, ya que los adultos


tienen la posibilidad de asistir a se-siones sabatinas de asesoría. Los ma-teriales escritos son la base principalpara la adquisición de conocimien-tos y para el desarrollo de las habili-dades propuestas en cada una de lasáreas de conocimiento.

Cuando se trata de un material di-dáctico para la educación a distancia,una alta calidad pedagógica es esen-cial para el éxito en su utilización. Separte del principio de que cualquierpersona es capaz de aprender por sísola cuando tiene acceso a materia-les lo suficientemente comprensivosy atractivos. Los ambientes para elaprendizaje a distancia deben favo-recen el desarrollo del conocimientointerdisciplinario, de la intuición y dela creatividad.

Este artículo describe los princi-pios básicos adoptados para la ela-boración de material didáctico en elárea de la educación matemática, pre-sentando algunos ejemplos del ma-terial didáctico elaborado.

PRINCIPIOS BÁSICOS PARA LA ELABORACIÓN DE

LOS MATERIALES. Los materiales escritosy las asesorías constituyen los prin-cipales elementos para la educacióna distancia. Conforman el eje por elcual transita, en esta metodología, lafunción pedagógica.

En la modalidad a distancia, la re-lación profesor - alumno, se realizafundamentalmente en forma indirec-ta y no presencial. La ausencia deldocente es cubierta por los materia-les escritos y los audiovisuales.

Educación a distancia no es sinó-nimo de estudio libre; por el contra-rio, se trata de un método de forma-ción constantemente orientado, porun lado por las pautas y consignasdel material, y por el otro por la ac-ción singular y personalizada de losasesores. De allí la necesidad de quetales materiales tengan sentido fun-cional en orden a los propósitos pe-dagógicos perseguidos, coherenciainterna y capacidad de integracióncon otros componentes del sistemay carácter significativo para el estu-diante, que facilite la incorporaciónde los nuevos conocimientos en elesquema conceptual del adulto.

LAS MATEMÁTICAS Y SUS CONEXIONES. Losadultos tienen incentivos, percepcio-nes y objetivos con respecto al apren-dizaje de las matemáticas que les soncaracterísticos. Poseen conocimien-tos y habilidades que han adquiridofuera de la escuela.

Cuando hablan de las matemáti-cas que usan en su vida diaria, en susempleos, en su hogar, los adultos amenudo se explayan en sus explica-ciones porque las matemáticas sonimportantes para ellos. Ellos necesi-tan ver las conexiones de los concep-tos matemáticos entre sí, cómo serelacionan con otras disciplinas y conla vida real y el trabajo.

El aprendizaje y el uso de las mate-máticas es una práctica social. Cuan-do las gentes funcionan bien con lasmatemáticas en su vida diaria, tienendificultades para utilizar las matemá-ticas en el salón de clases.

Si bien en la escuela existe unagran cantidad de práctica que sirve alos estudiantes para aplicar el cono-cimiento adquirido, este trabajo tien-de a ser visto como un fin en sí mis-mo o como un medio para facilitar laadquisición de destrezas y conoci-mientos relacionados con el currícu-lum. En cambio, las matemáticas usa-das fuera de la escuela, se utilizancomo instrumento para lograr otrasfinalidades, como vender, medir, pe-sar, etcétera.

Este aspecto fundamental en elaprendizaje de las matemáticas, y eneste caso para jóvenes y adultos, nosguió para determinar los contenidosde los materiales, así como la formaen que se presentan.

CONTEXTOS DE APRENDIZAJE Y GUÍAS DE APREN-DIZAJE. Si tenemos en cuenta que losadultos tienen ciertas experienciascon las matemáticas, que se muevenen contextos o situaciones diferen-tes a los adolescentes que cursan lasecundaria regular y, que necesitan verlas conexiones de las matemáticasmás allá de ella, debemos pensar enuna manera diferente de enfocar laenseñanza. En el proyecto de Edu-cación a Distancia para Adultos nosvimos en la necesidad de investigarlas matemáticas que se encuentran en

diferentes ámbitos de la vida del adul-to. Tuvimos que considerar las ma-temáticas que se encuentran en otrasdisciplinas y en particular, en las acti-vidades que la mayoría de los adultosenfrenta. Por ello revisamos los con-tenidos que se enseñan en biología yen física, así como manuales de car-pintería, de electricidad, de herrería,entre otros, y en especial tratamos debuscar explicaciones desde el cono-cimiento matemático para muchassituaciones de la realidad.

En nuestros materiales, los adul-tos cuentan con dos guías de apren-dizaje, una de nivel inicial y una denivel avanzado. Cada Guía está orga-nizada en unidades didácticas, cuyosejes integradores son el contexto enel que se presentan los contenidos.Por ejemplo, en la Guía de Nivel Ini-cial se incluyen unidades como: Laalimentación, aprendiz de carpinte-ro, el comercio, cuentas diarias, etc.Las situaciones que se presentan enestas unidades forman parte del con-texto familiar, laboral y cotidiano deladulto. En la Guía de Nivel Avanzado,los contextos se alejan un poco de lofamiliar acercándolos a un contextoque contempla aspectos tales comola construcción y la vivienda, las em-presas, la salud, etc. En este nivel seproporciona información acerca deMéxico que cualquier ciudadanoadulto debe conocer.

ESTRUCTURA DE LAS UNIDADES DIDÁCTICAS.Cada unidad didáctica está organiza-da en cuatro tipos de sesiones: la deAprendizaje, que ocupa la mayor par-te de la unidad didáctica, la de Inte-gración y repaso, la sesión de Auto-evaluación y, por último la sesión deJuegos y pasatiempos. Cada una deestas sesiones tiene un propósito par-ticular que complementa y apoya elestudio independiente por parte deladulto. Las sesiones de Integración yrepaso permiten al adulto hacer unalto en el camino y revisar lo apren-dido hasta ese momento. Juegos y pa-satiempos tienen el propósito de queel adulto enfrente las matemáticasdesde el juego, ello le permitirá utili-zar diversos lenguajes, y motivar elingenio y la creatividad.


1. Estructura de las sesiones de AprendizajeCada sesión de aprendizaje consta devarias partes que se reconocen en eltexto por medio de un símbolo o logo.Enseguida se describen las partes decada sesión de aprendizaje:

• Introducción y propósito.

• Información complementaria so-bre el contexto en el que se desa-rrolla el contenido matemático.

Por ejemplo:En la sesión "Punto por pun-

to" (Guía de nivel avanzado) enel que se desarrolla la multiplica-ción y división de números deci-males, a partir de situaciones dehoras de trabajo y horas extras, sepresenta en el ¿Sabía usted? la si-guiente frase:

"¿Sabía usted que la Ley Generaldel Trabajo establece que la jornadade trabajo de los menores de 16 añosno puede ser de más de seis horasdiarias, y que ésta debe dividirse enperiodos máximos de tres horas?"

• Información matemática desarro-llada en alguna sesión anterior yque es básica para la comprensióndel nuevo contenido.

Por ejemplo, en la lecciónmencionada anteriormente se dicelo siguiente: "Recuerde: Un núme-ro decimal está formado por unaparte entera y otra decimal, las cua-les están separadas por un punto lla-mado punto decimal".

• Desarrollo del contenido: Pri-mero se plantea una situación

problemática contextualizadaque implique el uso del conte-nido que se va a aprender. Des-pués se presentan diferentes es-trategias que permitan llegar ala solución de la misma. Por úl-timo se generaliza el conceptoo algoritmo introducido.

• Actividades de aprendizaje: Enestas actividades se presentan si-tuaciones problemáticas en otroscontextos diferentes, en los queaparecen los contenidos a apren-der. Las actividades son guiadasmediante preguntas.

• Actividades de aplicación: Se pre-sentan situaciones problemáticasdiversas, sin guía para que el adul-to las resuelva a su manera.


• Actividades de autoevaluación: Sepresentan entre dos y tres activi-dades representativas de la sesión,que sean significativas para que eladulto evalúe lo aprendido.

2. Sesiones de Integración y repasoEn estas sesiones se presenta una si-tuación de la realidad que integra doso más temas de los desarrollados enla unidad didáctica. El propósito deestas sesiones es que los adultos apli-quen los conocimientos aprendidosen contextos diferentes y más am-plios que en los que se desarrollaronen la unidad. Generalmente es ma-yor el nivel de complejidad de las si-tuaciones que aquí se presentan, yademás es el mismo adulto quien tie-ne que decidir los conocimientos quele van a ser útiles.

3. Sesiones de Juegos y pasatiemposSe plantean actividades lúdicas queimplican algunos de los temas vistosen la unidad. Estas sesiones propo-nen contenidos vistos en situacio-nes de recreación, donde el problemase resuelve a través de actividades cu-yo contexto no es, necesariamente,el de la realidad. Se presentan juegosque implican habilidades de percep-ción geométrica, como cuadradosmágicos, entre otros.

4. Sesiones de AutoevaluaciónEn estas sesiones se plantean pro-

blemas cuyos contenidos matemáti-cos son representativos de la unidad.Algunos son de opción múltiple yotros son abiertos.

METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA: RESOLUCIÓN DE

PROBLEMAS. Se parte de situaciones querepresentan un recorte de la realidaddentro de los contextos del adulto;dentro de ellas se plantean preguntasque impliquen problematizar dicharealidad y usar las matemáticas, sepresentan diferentes estrategias de re-solución y también otras situacionesen las que el contenido que se va aenseñar está involucrado, las cualesel estudiante tiene que resolver porsu propia cuenta, finalmente se ge-neraliza el contenido desde definicio-nes muy sencillas.

Uno de los aspectos fundamen-tales en la resolución de problemases interpretar la situación en la quese presenta el problema matemático.Los adultos pueden tener conoci-mientos matemáticos (cómo usar unafórmula, saber hacer sumas, restas, di-visiones), pero si no entienden el pro-blema no lo pueden resolver.

La lectura con comprensión esuno de los problemas que enfrentanlos asesores de la secundaría adistancia; los adultos tienen gravesdificultades para comprender lo queleen. Además, si en la primera lecturano les queda claro, desisten de seguirintentándolo. De ahí la importanciade crear en las asesorías momentosde comunicación, de expresar lo queentendieron, de las estrategias de so-lución particular, de explicación depor qué lo resolvieron de tal manera.La comunicación, tanto en matemá-ticas como en muchos otros aspectosde la vida, es la que nos permite en-contrar e intercambiar ideas, identi-ficar problemas y encontrar solucio-nes a los mismos.

Además de desarrollar habilidadesde razonamiento, de resolución deproblemas y de comunicación, es in-dispensable que parte de las aseso-rías sean destinadas para enseñar alos adultos a leer comprensivamentey a utilizar diferentes formas de re-presentación como dibujos, símbo-los y cuadros para representar la si-tuación problemática.

LENGUAJE Y DIFERENTES REPRESENTACIONES.Uno de los aspectos clave en laelaboración de materiales escritos dematemáticas para la educación adistancia es lograr que comuniquenlo que se propone la enseñanza. Paraello se debe tener en cuenta a quiénva dirigido el material y qué es lo quese quiere comunicar. En las guías deaprendizaje de cálculo y resoluciónde problemas la introducción al temase hace a partir de un lenguaje coti-diano. Cada vez que se emplea algúntérmino específico, sea este mate-mático o no, se explica su significadoen el mismo texto.

Además del lenguaje escrito se uti-lizan las diferentes maneras de repre-

sentar un concepto matemático: re-presentaciones gráficas, geométricas,algebraicas, dibujos y tablas. Estopermite al adultos apropiarse del sig-nificado conceptual desde diferentesmiradas y explicarse un tipo de re-presentación desde alguna otra.

DESARROLLO DE HABILIDADES. El criterioque se utilizó para la selección de con-tenidos matemáticos fue dar una ma-temática formativa e informativa.Esto incluye contenidos que el adul-to necesita para actuar en la vida co-rriente pero que a su vez dan posibi-lidades para que el adulto adquieraciertas habilidades básicas para elaprendizaje de la matemática.

Las habilidades que se desarrollana partir de los materiales escritos son:

Razonamiento. Formular ideas y re-copilar evidencias que permitan ela-borar argumentos para apoyarlas.

Comunicación e interpretación. Re-presentar las relaciones entre los ele-mentos esenciales de una situación oproblema y comprender dichas repre-sentaciones. Hablar, escuchar, leer yescribir nociones matemáticas. Orga-nizar datos en una tabla e interpretary elaborar gráficas.

Estimación. Disponer de estrategiaspara hacer cálculos aproximados ydeterminar si un resultado es razona-ble; ser capaz de anticipar resultados,así como saber cuándo es necesarioy/o posible un resultado exacto ycuándo no.

Cálculo. Seleccionar adecuadamen-te las formas de operar con núme-ros, ya sea mentalmente, con lápiz ypapel o con calculadora. Compren-der las relaciones entre los elemen-tos de una operación.

Medición. Usar unidades de medi-da arbitrarias y convencionales, asícomo seleccionar unidades y herra-mientas adecuadas para medir. En-tender la estructura y el uso de lossistemas de medidas. Deducción yuso de fórmulas para calcular perí-metros, áreas y volúmenes.

Imaginación y ubicación espacial. Es-tablecer correspondencias entre de-sarrollos planos y cuerpos. Construirfiguras y cuerpos. Ubicar objetos ypersonas en el espacio.


Generalización. Encontrar y descri-bir patrones numéricos y geométri-cos. Representar las relaciones entrelos elementos de una situación o deun problema.

Transferencia de los conocimientosaprendidos. Solucionar problemas arit-méticos, geométricos y algebraicoscotidianos, usando el conocimientoacadémico. Combinar conocimien-tos, técnicas, destrezas y conceptospara resolver una situación nueva.

Con respecto al programa de ma-temática de la secundaria regular, ennuestros materiales, se eliminaron lasecuaciones de segundo grado y lospolinomios y se introdujo el SistemaInternacional de Medición.


Sobre la elaboración de materiales escritosa distancia.

Si bien no hay una única forma dehacer materiales escritos a distancia,desde la experiencia nuestra les ofre-cemos los siguientes aspectos a te-ner en cuenta:

1. Definir claramente el propósito quese persigue con el material a realizar.

2. Tener conocimiento de las carac-terísticas de las personas a las queva dirigida: tener claridad en cuálesson sus necesidades de aprendizajey cuáles son los conocimientos y ha-bilidades que poseen, así como ladisponibilidad de tiempo para dedi-carle al estudio.

3. Asumir una posición que esté re-lacionada con el aprendizaje, en estecaso de las matemáticas, así como dela enseñanza y de la evaluación de loque se aprende.

4. Determinar los conocimientos, ha-bilidades y actitudes a desarrollar endicho material.

5. Planear y definir la estructura delmaterial, considerando que la mismadebe ser clara y debe tener buena or-ganización, para que el estudiante

La educación hace a los pueblos fácilesde guiar, pero difíciles de conducir;fáciles de gobernar pero imposibles deesclavizar.

Henry Peter Brougham, jurista y político escocés,

1778-1868.

por sí solo pueda acceder y estudiarlos materiales escritos.

6. Tener siempre presente que un tex-to utilizado a distancia debe fomen-tar la interacción, involucrando alalumno y generando diálogos y laparticipación activa con el conteni-do que se presenta.

7. Se debe buscar un diseño que in-cluya recursos diferentes, tales como,fotografías, diagramas, esquemas,gráficas, tablas, entre otros, que per-mitan no sólo hacer más atractiva lapresentación, sino que utilicen dife-rentes lenguajes de representación,que permitan apoyar y complemen-tar el texto escrito.

Sobre la asesoría presencial.

En este nivel educativo y con las ca-racterísticas de la población, la tareadel asesor es fundamental. Su tareaprincipal consiste en ser el nexo en-tre los materiales escritos y los estu-diantes. En ningún momento el ase-sor debe convertirse en el suplentedel material escrito, realizando lasfunciones de enseñanza que tienenpor sí mismos los materiales escri-tos. Se requiere así, un asesor quetenga la capacidad de:

1. Identificar las dificultades que tie-nen los adultos en la adquisición delos aprendizajes.

2. Ofrecer alternativas para resolveraquellas dificultades presentadas porlos estudiantes.

3. Abrir espacios para la comunica-ción de estrategias de solución.

4. Institucionalizar el conocimiento,es decir, reconocer y otorgar al co-nocimiento construido por los alum-nos, el carácter formal, desde el pun-to de vista matemático.

5. Presentar situaciones didácticasque permitan a los estudiantes latransferencia de lo aprendido, estoes, la vinculación del conocimiento

matemático a los problemas propiosde su contexto de vida.

Lecturas sugeridas

ÁVILA STORER, ALICIA,1996. "Funda-mentos y retos para transformar elcurrículo de matemáticas en la edu-cación de jóvenes y adultos". Cons-truyendo la modernidad educativa en Amé-rica Latina. Nuevos desarrollos curricula-res para la educación de jóvenes y adultos.José Rivero y Jorge Osorio (eds),UNESCO / La tarea, Perú.http://perl.ajusco.upn.mx/piem/publicaas.html

SEP,1998-2000.Cálculo y resolución deproblemas, Guías para el asesor y Guíasde aprendizaje para los niveles inicialy avanzado, 4 vols., Secundaria a Dis-tancia para Adultos.Dirección de Matemáticas, Subdirec-ción de Matemáticas para la Educa-ción Abierta y a Distancia, Av. Cuau-htemoc 1230, 4° piso, Col. Santa CruzAtoyac, Deleg. Benito Juárez, CP.03310, Tel. 57048100 ext. 23974.h t tp : //sea . i l c e . edu .mx/sea/impresos.htm


SABERES

MATEMÁTICAS EN LÍNEAElementos para una evaluación

Paula Bourges y Guillermina WaldeggCONSULTORA INDEPENDIENTE, DIAMOND BULLET / DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIONES EDUCATIVAS, CINVESTAV-IPN / MÉXICO

[email protected] / [email protected]

INTRODUCCIÓN. El Consejo Nacional de Educación parala Vida y el Trabajo (CONEVyT), en su Programa deMediano Plazo 2001-2006, propone la utilización pe-

dagógica de las tecnologías de la información y comuni-cación para llevar los servicios educativos a todos losciudadanos, puesto que estas tecnologías permiten la ope-ración de la educación a distancia y la constitución deredes de aprendizaje.

Para llevar a cabo la propuesta, el CONEVyT ha resuel-to instalar en todo el país plazas comunitarias con servi-cios educativos que incorporen las tecnologías de la in-

formación y comunicación al aprendizaje de los adultos.La idea es que estas plazas comunitarias dispongan decomputadoras con conexión a Internet que permitan suaprovechamiento como medio educativo, a través de unportal que contenga servicios educativos integrados.

La meta para el sexenio es contar con un paquete in-tegrado de productos multimedia de educación para lavida y el trabajo distribuidos en todas y cada una de lasplazas comunitarias instaladas, para atender así una po-blación de 17 millones de jóvenes que no cuentan coneducación básica concluida, a los cinco millones de indí-


genas que han permanecido al margen de una oferta edu-cativa pertinente, y a la población económicamente acti-va que requiere educación para el trabajo.

El uso de las tecnologías de la información y comuni-cación que propone el CONAVyT supone la inversión decantidades considerables de recursos, tanto económicoscomo humanos especializados que, en general, son esca-sos en las instituciones educativas. Para garantizar quelos recursos invertidos tengan los mejores efectos posi-bles, es necesaria la realización sistemática de evaluacio-nes, tanto del proceso educativo que se pone en marchahaciendo uso de las tecnologías en cuestión, como de losproductos que se ofrecen por esta vía.

La parte principal de la evaluación está centrada en elanálisis de los contenidos instruccionales. Sin embargo,para que la evaluación esté completa se debe tomar encuenta el diseño de las herramientas tecnológicas, comoun factor determinante para su aceptación. Esto signifi-ca que para obtener un diagnóstico correcto de las herra-mientas usadas en entornos educativos (formales o no),es necesario que dentro de los esquemas de evaluacióneducativa, sea posible identificar los problemas atribui-bles al diseño de dichas herramientas, y distinguirlos deaquéllos atribuibles al diseño didáctico. Actualmente, den-tro de los estándares de evaluación educativa no sólo nose toma en cuenta esta variable, sino que no se contem-pla ningún tipo de valoración de las herramientas tecno-lógicas por lo que son los usuarios, los programas y loscontenidos los que deben adaptarse a las herramientasdisponibles, en lugar de que sean éstas las que se adaptena las necesidades de estos (estudiantes y/o educadores).

LA EVALUACIÓN DE LAS INTERFASES DEL USUARIO. Un individuo pue-de interactuar con una herramienta tecnológica solamentea través de una serie de agentes mediadores. La compu-tadora, por ejemplo, no podría ser utilizada si no existie-ran los mecanismos que permiten controlar y manipularlos procesos internos de la máqui-na, haciéndolos, en cierta forma,invisibles a un usuario no especiali-zado. La pantalla, el teclado, el ra-tón son mediadores materiales entreel individuo y la máquina; mientrasque los menús, los botones, el pun-tero y los comandos que aparecenen la pantalla realizan labores de in-termediación visual, que facilitan alusuario la comprensión y el accesoa las diferentes funciones y aplica-ciones de la máquina. Todos estosagentes reciben el nombre genéri-co de interfases de usuario. Para reali-zar cualquier tarea con cualquier he-rramienta dependemos totalmentede sus interfaces, de ahí el papelcentral que juega su diseño y suevaluación.

Uno de los principales acercamientos empleados paramedir el grado de adecuación del diseño de las herra-mientas tecnológicas y de sus interfaces es la usabilidad.Este acercamiento está dirigido a analizar la facilidad deuso del artefacto tecnológico en el proceso de realiza-ción de tareas específicas dentro de contextos específicos. Lausabilidad pretende determinar en qué medida el arte-facto dificulta o facilita interacciones tales como la co-municación entre distintos usuarios, la búsqueda, el di-bujo, la escritura, la modelación, la visualización o elaprendizaje, en función del objetivo de la herramienta.El concepto de usabilidad involucra la perspectiva de losusuarios finales, a diferencia de otros indicadores quecalifican aisladamente el desempeño funcional de las he-rramientas. Este concepto incluye no sólo el análisis delas interfaces, sino también su relación con la capacidadde un usuario determinado para ejecutar tareas concre-tas en un contexto dado.

Existe una gama amplia de métodos de análisis y eva-luación de usabilidad, provenientes del campo de estu-dio llamado interacción humano-computadora. Uno de elloses la evaluación heurística. Para ejemplificar el análisis deusabilidad se seleccionó este método:

LA EVALUACIÓN HEURÍSTICA. Aunque mide conceptos o princi-pios generales y no incluye la participación de usuariosfinales, la evaluación heurística es un método relativa-mente rápido y fácil de aplicar, que requiere de pocosrecursos y produce resultados notables en la identifica-ción de problemas comunes de usabilidad. El métodorequiere de varios evaluadores, expertos en el diseño de inter-fases (tres, idealmente), quienes llevan a cabo inspeccio-nes independientes de las herramientas, enfocándose enpuntos críticos que han sido reconocidos como fuentesde problemas en muchos estudios de usabilidad realiza-dos con diferentes técnicas y usuarios finales. Estos pun-tos críticos componen una lista de principios o heurísticos


básicos de usabilidad que el evaluador usa como guía com-parativa. Es ya clásica la heurística de Nielsen (1994) queincluye principios de diseño aceptados ampliamente (véa-se la Tabla I, 1ª y 2ª columnas); aunque, en la práctica, unequipo de evaluadores puede desarrollar heurísticos adi-cionales, específicos del contexto de cada herramientaevaluada. Para concluir la evaluación, los reportes de losdistintos expertos son considerados globalmente, con elfin de maximizar las oportunidades de identificar ade-cuadamente cualquier problema de usabilidad.

Para evaluar herramientas con propósitos educativos,otro teórico del diseño, Quinn (1996), propuso un modeloque incluye, además de la evaluación de heurísticos deldiseño de interfaces, la inspección de heurísticos que hansido desarrollados especialmente por expertos en eldiseño educativo y en los contenidos instruccionales(véase Tabla II, 1ª y 2ª columnas). Esta heurísticacomprende una compilación de elementos de diseño edu-cativo, basados en teorías educativas actuales, como el

aprendizaje colaborativo, el aprendizaje mediado por latecnología, la resolución de problemas, etc. Los elementosfueron elegidos porque, a pesar de sus diferencias, sonprincipios constructivistas que comparten característicascomunes, como el compromiso del estudiante en lasecuencia de actividades y la reflexión guiada.

UN EJEMPLO: LOS SALTOS DE LOS MUCHACHOS. Para ilustrar losmétodos de evaluación heurística descritos anteriormen-te, tomaremos la Actividad 4, de la Unidad 1, titulada"Los saltos de los muchachos", del curso Fracciones yporcentajes (www.conevyt.org.mx/cursos/fracciones/curso.htm) perteneciente al eje de matemáticas del Mode-lo Educación para la Vida y el Trabajo, nivel avanzado. Lapremisa pedagógica del curso es que se parte de situacio-nes que se dan en la vida diaria para desarrollar nuevosaprendizajes. Recomendamos al lector interesado con-sultar la página de Internet correspondiente para seguirel razonamiento de la evaluación.

TTTTTABLAABLAABLAABLAABLA I. E I. E I. E I. E I. EVVVVVALUACIÓNALUACIÓNALUACIÓNALUACIÓNALUACIÓN HEURÍSTICAHEURÍSTICAHEURÍSTICAHEURÍSTICAHEURÍSTICA DEDEDEDEDE LALALALALA I I I I INTERFNTERFNTERFNTERFNTERFAZAZAZAZAZ G G G G GRÁFICARÁFICARÁFICARÁFICARÁFICA DEDEDEDEDE U U U U USUARIOSUARIOSUARIOSUARIOSUARIO ( ( ( ( (IGUIGUIGUIGUIGU) () () () () (BASADABASADABASADABASADABASADA ENENENENEN N N N N NIELSENIELSENIELSENIELSENIELSEN)))))

Criterio

Asegura la visibilidad del es-tado del sistema

Maximiza la correspondenciaentre el sistema y el mundo real

Maximiza el control y la li-bertad del usuario

Descripción

La IGU mantiene al usuarioinformado sobre las accio-nes que realiza el sistema(como tiempo de descarga),a través de avisos adecuadosy a tiempo.

La IGU habla el lenguaje delusuario. La informaciónaparece en un orden lógicoy natural.

El usuario puede salir de lo-caciones y deshacer errores.

Evaluación

Como las funciones de este curso en línea son limitadasy no incluyen procesamiento de datos, este heurístico nose aplica, salvo en el caso de la descarga de animaciones,donde no existen elementos gráficos que indiquen el es-tado o tiempo de descarga de la animación; esta informa-ción es importante para usuarios con conexiones lentas(ya sea que se trate de usuarios de los centros comunita-rios o usuarios remotos).

Algunos términos, acomodos y representaciones podríanno ser adecuadas para la diversidad de usuarios a los queel sistema está dirigido. Aunque existen algunas definicio-nes de términos en la sección de ayuda, se recomiendaincluir un glosario técnico y de contenido con una liga deacceso siempre visible. También se recomienda realizaruna evaluación con los usuarios de distintos grupos paradefinir si la información usada está organizada en la for-ma adecuada.

Se recomienda no utilizar líneas de código (scripts) paraabrir ventanas nuevas al oprimir botones, ya que, si la ven-tana nueva cubre totalmente la ventana original, el usua-rio puede no percatarse de que se trata de una ventanadiferente y confundirse sobre cómo regresar a la anterior.Si se desea utilizar este código, se recomienda reducir eltamaño de las ventanas para que el usuario se de cuentasiempre de que ha abierto una ventana nueva.


Criterio

Maximiza la consistencia y lacoincidencia con estándares

Previene errores

Apoya el reconocimiento, másque la memoria

Permite flexibilidad y eficien-cia de uso

Usa un diseño estético y mini-malista

Descripción

El usuario no tiene que pre-guntarse si diferentes pala-bras, situaciones o accionessignifican lo mismo. Se si-guen estándares de opera-ción del sistema y de diseñode interfaces para aprove-char el conocimiento previodel usuario y facilitar la com-prensión de los elementosde la interfaz.

La IGU provee de guías quereduzcan el riesgo de que elusuario cometa errores.

Los objetos, funciones y/oopciones de la IGU están vi-sibles. El usuario no tieneque recurrir a la memoria. Lainformación está visible o esfácilmente accesible en elmomento en que el usuariola necesita.

La IGU permite al usuariorecurrente o experimentadousar atajos y ajustar el entor-no según su conveniencia.Así mismo es lo suficiente-mente intuitivo como paraque el usuario novato puedautilizarlo sin necesidad deentrenamiento especial oayuda de instructores.

La IGU provee de un entor-no atractivo y no despliegainformación irrelevante o deuso poco frecuente.

Evaluación

Algunos botones no siguen estos estándares. Por ejem-plo, el icono usado para representar la acción de regresares ya un estándar de la función recargar (reload). El iconousado para Portal es una representación universal de arri-ba. Por otro lado, algunas funciones de la interfaz tienensignificados muy similares: regresar y anterior resultan con-fusos si el usuario no ha leído la sección de ayuda. Tam-bién es recomendable usar siempre verbos para los boto-nes de acción de los ejercicios: Iniciar, Continuar, Inten-tar de Nuevo, Concluir, etc.

Contiene guías generales para evitar errores en la secciónde ayuda. Sin embargo, se recomienda incluir instruccio-nes explícitas de uso en cada recuadro de cada lecciónpara facilitar la interacción y evitar errores comunes.

Las interfases apoyan el reconocimiento y reducen la ne-cesidad de recordación. Para reforzar este heurístico serecomienda numerar los recuadros de lecciones (por ejem-plo: "1 de 5") con ligas para saltar entre ejercicios. Tam-bién se recomienda incluir índices o menús y submenússiempre visibles con opciones de acceso directo a unida-des y temas.

La IGU sí permite esta flexibilidad; sin embargo, se reco-mienda incluir atajos tales como menús siempre visiblescon acceso directo a los distintas unidades y/o temas, parafacilitar el salto entre lecciones. Se recomienda evitar eluso de ventanas internas (frames) ya que éstas restan con-trol al usuario, impidiéndole señalarlas adecuadamente ensu lista de favoritos y dificultando la impresión de las mis-mas (en algunas versiones de navegadores inclusive la im-pide). Es importante que el usuario novato no dependatanto del instructor ni del ajuste de preferencias del nave-gador para visualizar y usar las interfaces.

El diseño es simple y claro, sin embargo se usa una granvariedad de estilos en las imágenes de las lecciones. Serecomienda la consistencia de estilos gráficos en los re-cuadros de lecciones y ejercicios.


Criterio

Ayuda al usuario a reconocer,diagnosticar y corregir errores

Provee de ayuda e información

Permite el acceso universal

Descripción

Los mensajes de error seexpresan en lenguaje llano,indican claramente el pro-blema y recomiendan unasolución.

La IGU provee de ayuda enlínea adecuada, y de docu-mentación fácilmente acce-sible y relacionada con lasnecesidades del usuario.

La IGU permite el acceso ausuarios con diferentes pla-taformas tecnológicas (nave-gadores, sistemas operati-vos, etc.), distintos entornos,o con discapacidades.

Evaluación

La mayoría de los mensajes de error dependerán del na-vegador usado (por ejemplo, "javascript error") y la IGU delos cursos carece de información suficiente que ayude alusuario a interpretar este tipo de mensajes o a lidiar conotros problemas relacionados con la tecnología empleada(como que la página no se descargue, que no se vea unaimagen, que se caiga la conexión, etc.). Se recomienda in-cluir una lista de problemas técnicos con opciones de so-lución o de preguntas frecuentes.

La IGU contiene la ayuda adecuada para la navegación; sinembargo, se recomienda incluir instrucciones pertinentesen el mismo sitio, para cada interacción que se pueda rea-lizar en los recuadros de las lecciones. En caso de que elcurso pretenda llegar también a usuarios remotos (queaccedan al sistema fuera de los centros comunitarios) lainterfaz no contiene información sobre acceso a descar-ga de programas conectores (plug-ins) necesarios para vi-sualizar las animaciones del programa Flash. Si la des-carga de los conectores es automática, la interfaz debeasegurar la visibilidad del estatus del sistema al descargar.

La IGU no es accesible en algunas plataformas. En el casode los centros comunitarios esto puede no ser un proble-ma, siempre y cuando todos los centros utilicen el mis-mo tipo de equipo, versión de navegador y sistema opera-tivo. En caso de que el curso pretenda llegar a usuariosremotos (que accedan al sistema fuera de los centros), serecomienda hacer pruebas en diferentes navegadores paraasegurar que las líneas de programación en lenguaje Java(javascripts) y las animaciones en el programa Flash (swf)corran adecuadamente. Las imágenes no tienen etiquetasque permitan su interpretación por software lector parainvidentes. Es recomendable no usar el color como undiferenciador entre opciones o imágenes para asegurarque usuarios daltónicos comprendan adecuadamente loselementos de la interfaz.


TTTTTABLAABLAABLAABLAABLA II: E II: E II: E II: E II: EVVVVVALUACIÓNALUACIÓNALUACIÓNALUACIÓNALUACIÓN HEURÍSTICAHEURÍSTICAHEURÍSTICAHEURÍSTICAHEURÍSTICA EDUCAEDUCAEDUCAEDUCAEDUCATIVTIVTIVTIVTIVAAAAA ( ( ( ( (BASADABASADABASADABASADABASADA ENENENENEN Q Q Q Q QUINNUINNUINNUINNUINN) ) ) ) ) DEDEDEDEDE LALALALALA U U U U UNIDADNIDADNIDADNIDADNIDAD I: U I: U I: U I: U I: USOSOSOSOSO YYYYY COMPCOMPCOMPCOMPCOMPARACIÓNARACIÓNARACIÓNARACIÓNARACIÓN DEDEDEDEDE FRACCIONESFRACCIONESFRACCIONESFRACCIONESFRACCIONES.....AAAAACTIVIDADCTIVIDADCTIVIDADCTIVIDADCTIVIDAD 5: L 5: L 5: L 5: L 5: LOSOSOSOSOS SALSALSALSALSALTOSTOSTOSTOSTOS DEDEDEDEDE LOSLOSLOSLOSLOS MUCHACHOSMUCHACHOSMUCHACHOSMUCHACHOSMUCHACHOS

Criterio

Objetivos y metas claros

Contexto significativo para elcampo y para el estudiante

Representaciones múltiples yclaras del contenido con posibi-lidades de accesos múltiples

Actividades de andamiaje

Consigue la comprensión del es-tudiante

Descripción

La herramienta educativadeja claro al estudiante quées lo que va a lograr y cuálserá la ganancia por usarlo.

Las actividades en la herra-mienta están situadas en lapráctica e interesarán y en-gancharán al estudiante.

El mensaje en la herramien-ta no es ambiguo. La herra-mienta apoya las preferen-cias del estudiante respectoa las diferentes rutas de ac-ceso. El estudiante es capazde encontrar informaciónrelevante cuando se concen-tra en la actividad.

La herramienta suministraayuda para las actividades delestudiante y le permite tra-bajar dentro de sus compe-tencias actuales al mismotiempo que lo enfrenta confragmentos significativos deconocimiento.

La herramienta exige al es-tudiante articular sus com-prensiones conceptualescomo punto de partida parala retroalimentación.

Evaluación

En la presentación del curso y en la presentación de laUnidad I aparecen los objetivos respectivos; sin embar-go, al inicio de la actividad no hay ninguna indicación delo que el estudiante obtendrá. Al final de la actividad hayuna aviso de lo que se supone que el estudiante aprendió,(a comparar décimos, unidades divididas en diez partesiguales) pero no tiene una referencia directa con los obje-tivos del curso o de la unidad.

La comparación entre las cantidades (que es el objetivocentral de la actividad) se advierte a simple vista, no esnecesario ninguna otra forma de representación (en par-ticular, no se requiere llegar a las fracciones decimalescomo pretende la actividad). La introducción de la activi-dad es artificial, ya que no se trata de una actividad naturalde la vida cotidiana.

No hay rutas alternas ni complementarias para realizar laactividad. La actividad no exige del usuario la búsquedade información relevante.

La actividad no representa un reto para el estudiante; puederesolverse usando solamente conceptos establecidos tiem-po atrás, como el orden en los números naturales de unasola cifra.

No existe ninguna exigencia para que el estudiante recu-rra a otros conocimientos, ni que ponga en juego diver-sos acercamientos.


Criterio

Evaluación formativa

El desempeño debe ser "referi-do a criterio"

Soporte para la transferenciay la adquisición de habilidadesde autoaprendizaje.

Soporte para el trabajo cola-borativo

Descripción

La herramienta proporcionaal estudiante una retroali-mentación constructiva ensu entorno.

La herramienta produciráresultados claros y mediblesque servirán de base parauna evaluación basada encompetencias.

La herramienta favorece latransferencia de habilidadesmás allá del ambiente deaprendizaje y facilitará que elestudiante se vuelva capaz demejorar por sí mismo.

La herramienta proveeoportunidades y ayuda parael aprendizaje a través de lainteracción con otros, la dis-cusión y otras actividadescolaborativas.

Evaluación

En las pantallas que requieren de alguna acción del estu-diante, la retroalimentación se reduce a: "ensayo y error"sin que medie una indicación acerca del tipo de error co-metido, con lo que la oportunidad de aprender del errorse reduce.

La actividad da una medición del desempeño referida acriterio; sin embargo, el corte corresponde a un nivel muybajo de complejidad cognitiva.

Las habilidades que la actividad desarrolla, en tanto queestán ya establecidas en este nivel de escolaridad, no sonningún problema para la transferencia a otros contextos.

No las promueve, aunque no las impide.

RRRRRECOMENDACIONESECOMENDACIONESECOMENDACIONESECOMENDACIONESECOMENDACIONES

La evaluación heurística supone la participación de expertos encada una de los aspectos que se analizan, y los resultados de ellaestán dirigidos a los especialistas encargados de la producciónde las herramientas tecnológicas; así, la Tabla I contiene las reco-mendaciones dirigidas al diseñador (o a los diseñadores) de lainterfaz, mientras que la Tabla II va dirigida al equipo de peda-gogos y matemáticos responsables de la selección y diseño delcontenido. De esta forma, aunque la evaluación supone un pro-yecto integral, tanto las recomendaciones como las modificacio-nes deben ser llevadas a cabo por el o los expertos respectivos.


Lecturas sugeridas

CONEVyT, 2002, Programa de mediano plazo 2001-2006, Con-sejo Nacional Para la Vida y el Trabajo, México.www.conevyt.org.mx

NIELSEN, J.,1994, "Heuristic Evaluation" en Jacob Niel-sen and Robert L. Mack (editors), Usability Inspection Me-thods, New York, John Wiley and Sons, Inc., pp. 25-61.

QUINN, C. N., 1996, "Pragmatic evaluation: lessons fromusability" en A. Christie, P. James & B. Vaughan (eds.)Proceedings of ASCILITE 96, 13th Annual Conference of theAustralasian Society for Computers in Learning in Ter-tiary Education, Australasian Society for Computers inLearning in Tertiary Education, Adelaida, pp. 437-446.

BOURGES, P., 2000, "Interacción hombre-computadora"en Ciencia y Desarrollo, Vol. XXVI, Num. 151, marzo-abril2000, pp. 54-59.www.conacyt.mx/rcyd

FLORÍA CORTÉS, A., 2000, Recopilación de métodos de usabili-dad, Área de Ingeniería de Proyectos, Departamento deIngeniería de Diseño y Fabricación, Centro PolitécnicoSuperior, Universidad de Zaragoza.Disponible en Internet en: www.sidar.org/recur/desdi/traduc/es/visitable/Herramientas.htm (Consultado el02/02/2003).e-mail: [email protected]

Podemos ser pesimistas en el pensamiento, pero optimistas enla voluntad.

Antonio Gramsci, líder y teórico político italiano, 1891-1937.


INTRODUCCIÓN. En todos los nivelesy sistemas educativos existe unabismo entre las aspiraciones y los

logros alcanzados al estudiar mate-máticas; evaluaciones internas y ex-ternas así lo corroboran, los índicesde acreditación y el nivel educativode los estudiantes son muy bajos y lafobia hacia las matemáticas no desapa-rece. Los jóvenes y adultos que in-tentan estudiar algún módulo de ma-temáticas correspondiente al Eje de

matemáticas del Modelo Educaciónpara la Vida y el Trabajo del InstitutoNacional para la Educación de losAdultos (INEA), no son la excepción,y aunque se han hecho esfuerzos elproblema no se ha resuelto satisfac-toriamente en América Latina. En laobra Hacia una redefinición de las mate-máticas en la educación para los adultos,sus autoras (Ávila y Waldegg, 1997)nos hacen darnos cuenta de lo difícilque ha sido modificar esta situación

a pesar de que sí han habido intentospara lograrlo.

Ante esta problemática, los inves-tigadores han tratado de comprenderel pensamiento matemático de losadultos (procedimientos matemáticosno formales), y han reflexionado so-bre los objetivos educativos y el di-seño de materiales de enseñanza.Existen sugerencias que los asesoresde las personas jóvenes y adultas pue-den aplicar en su práctica educativa,

SABERES

LA FORMACIÓN DE ASESORES EN MATEMÁTICASUna experiencia en los talleres de formación y actualización

de asesores y técnicos docentes del INEA

Marco Antonio García JuárezJEFATURA DE PROYECTO DE MATEMÁTICAS. INEA / MÉXICO

[email protected]


pero a pesar de los esfuerzos, muchasde estas propuestas no se practicanen los círculos de estudio. De estamanera, el blanco de la crítica apuntahacia la formación de asesores. Estopodría parecer razonable porque nose explica que los jóvenes y los adul-tos no aprendan matemáticas si susasesores ya disponen de mejoresmateriales, de cierta informaciónacerca de cómo ocurren sus apren-dizajes matemáticos y también si exis-te cierta claridad en los objetivos edu-cativos y se cuenta con una variadaoferta educativa. Pero el problema esmucho más complejo de lo que pa-rece a primera vista.

Una de las principales causas serelaciona con la formación y actuali-zación de los asesores y técnicos do-centes, porque son ellos quienesacompañan el aprendizaje de los jó-venes y adultos. ¿Qué tipo de forma-ción y actualización requieren? ¿Ha-cia dónde dirigir los esfuerzos de laformación y capacitación? Para res-ponder a esto se requiere obtenermayor información acerca de cómoconciben los asesores esta problemá-tica; es necesario averiguar qué sonlas matemáticas para ellos, qué les sig-nifica aprender esta disciplina, quépiensan de que los jóvenes y adultosaprendan matemáticas, cómo consi-deran su papel de asesores, qué acti-vidades de aprendizaje les parecenadecuadas, cuáles les dan mejores re-sultados, cómo es su práctica educa-tiva, cómo les gustaría que fuesen lostextos, etcétera. En otras palabras,cualquier intento por mejorar la cali-dad del aprendizaje de las matemáti-cas de los jóvenes y adultos tambiéndebe considerar lo que piensan losasesores y técnicos docentes sobre lasmatemáticas y sobre la manera comose aprenden, pues estas ideas reper-cuten en su práctica educativa.

El papel de la formación del ase-sor ha sido objeto de pocos estudios.Al referirse a los profesores de lossistemas escolarizados, A. Thomp-son, y L. M. Santos afirman que laconcepción que tienen los docentesacerca de las matemáticas y cómo seaprenden influye directamente en laforma en que enseñan esta asignatu-

ra. El éxito de una propuesta inno-vadora en la enseñanza de las mate-máticas depende en gran medida dela congruencia entre lo que el docen-te piensa de las matemáticas, su con-cepción de aprendizaje y la forma enque implementa estas ideas en el sa-lón de clases. El principal objetivo deeste trabajo consiste en explorar es-tas tres ideas en los talleres con ase-sores (que no han sido formadoscomo profesores) en un sistema noescolarizado y que se encuentran in-mersos en el Modelo Educación Parala Vida y el Trabajo del INEA

ACTIVIDADES. A partir de la puesta enpráctica del Modelo Educación parala Vida y el Trabajo (MEVyT) en algu-nos estados de la República Mexica-na (Aguascalientes, Sinaloa, Tabasco,Baja California, México y Yucatán),en el año 2000; la Dirección Acadé-mica del INEA ha impulsado talleresacadémicos dirigidos a asesores, téc-nicos docentes y personal de servi-cios educativos, con el propósito defortalecer la práctica educativa, asícomo la apropiación y aplicación delenfoque y la metodología de los nue-vos programas del eje de matemáti-cas del MEVyT. Esta medida pretendelograr una asesoría de calidad. La co-ordinación de las actividades de di-chos talleres ha sido responsabilidaddel personal de la Jefatura de Proyec-to de Matemáticas del INEA y, en al-gunas ocasiones, de los autores de losmódulos del eje de matemáticas. En-tre los propósitos de los talleres sedestacan los siguientes:

• Sistematizar las expectativas de losasesores, técnicos docentes y per-sonal de servicios educativos conrespecto a dichos talleres y suspuntos de vista sobre las matemá-ticas y la manera en que aprendenlos jóvenes y los adultos.

• Sistematizar la práctica educativade los participantes.

• Desarrollar estrategias que favo-rezcan el aprendizaje de los jóve-nes y adultos que estudian módu-los del eje de matemáticas.

• Socializar las estrategias desarro-lladas para fortalecer la práctica

educativa de los asesores y darleun seguimiento al mejoramientode su desempeño.

• Resolver y analizar algunas activi-dades de los módulos del eje dematemáticas bajo el enfoque quese propone (desarrollo de compe-tencias: resolución de problemas,comunicación de ideas, razona-miento y participación).

En este trabajo sólo se reportanlos resultados del primer propósito.Al inicio de cada taller se pregunta alos participantes ¿Cuáles son sus ex-pectativas con respecto a este taller?¿Qué son las matemáticas para usted?y ¿Cómo cree que aprenden matemá-ticas las personas jóvenes y adultasque usted asesora?

RESULTADOS. Al hacer el análisis cuali-tativo de las respuestas muestran al-gunos patrones que a continuaciónse describen:

1. Expectativas de los asesores con respectoa los talleres. Existe gran diversidad deexpectativas desde las más generales(relacionadas con el enfoque del ejede matemáticas) hasta las más espe-cíficas (se refieren a dudas sobre undeterminado problema matemáticoque no han podido resolver).

He aquí algunos ejemplos:

– "Queremos conocer claramentelos objetivos de cada módulo y lamejor forma de desarrollarlos. Te-ner más herramientas matemáticaspara apoyar a los adultos".

– "Conocer cómo están formadoslos módulos".

– "Conocer el manejo de los mate-riales didácticos que vienen en losmódulos (geoplano, tangrama ydominós, calculadora)."

– "¿Cómo desarrollar las competen-cias matemáticas? ¿Cómo propi-ciar un razonamiento lógico?"

– "Quisiéramos saber más acerca decontenidos matemáticos y com-prender su metodología en todoel eje de matemáticas".

– "Tener más elementos didácticospara que la asesoría a los adultossea de calidad".


– "Conocer estrategias y técnicaspara trabajar con las matemáticas".

– "Conocer diversas técnicas y diná-micas grupales para trabajar conlos adultos".

– "Conocer cómo trabajar con losgrupos multinivel".

– "Saber cómo elevar la acreditaciónde los adultos".

Las demandas de los asesores es-tán relacionadas, principalmente, conlas formas de ayudar a los adultos ensu aprendizaje matemático y, en me-nor medida, con los programas y ma-teriales educativos y los conocimien-tos matemáticos. Esta diversidad deexpectativas plantea un verdaderoreto para la planeación didáctica delos talleres; por ejemplo, deben serflexibles y susceptibles de adaptarsea las necesidades e intereses de losasesores y técnicos docentes. Si real-mente se quiere satisfacer las expec-tativas de los asesores, esto demanda

una mejor preparación de los coor-dinadores de talleres en aspectoscomo los contenidos de la disciplina,la naturaleza de las matemáticas, ladidáctica de las matemáticas, dinámi-cas grupales y manejo del enfoque.

2. Concepción que los asesores y los técnicosdocentes tienen de las matemáticas. Cual-quier consideración que se haga so-bre los elementos que estructuranuna propuesta para el aprendizaje delas matemáticas conlleva, conscienteo inconscientemente, una manera deentender las matemáticas. Los ase-sores tienen gran diversidad de pun-tos de vista acerca de las matemáti-cas que reflejan la naturaleza de estaciencia, con múltiples facetas, comolo han manifestado ilustres pensado-res. Eugenio Filloy menciona que eneducación matemática se puede con-ceptualizar a las matemáticas de múl-tiples y diversas maneras. Incluso afir-ma que si se toma una sola de sus

características, ésta podría interpre-tarse desde distintos marcos teóricos.

¿A cuáles de estas conceptualiza-ciones aluden los asesores? ¿Cuál ocuáles son sus puntos de vista acercade la naturaleza de las matemáticas?Se cree que si los docentes privile-gian algunos de los puntos de vistaacerca de las matemáticas en detri-mento de otros, se llega a una prácti-ca educativa parcial que reduce las po-sibilidades de lograr un aprendizajerico, novedoso y que plantee la trans-formación de las prácticas viciadascomunes en los sistemas educativostradicionales. ¿Ocurre lo mismo conlos asesores?

A continuación se muestran algu-nos de los puntos de vista que los ase-sores y los técnicos docentes hanquerido manifestar:

– "Se trata de juegos divertidos conorden y exactitud. Son juegos men-tales y acertijos".


– "Son una serie de números y le-tras que ayudan a resolver proble-mas que hay en la vida diaria. Esuna forma de expresión, es la for-ma de resolver problemas".

– "Son un laberinto de ideas. Son labase y sentido de todo".

– "Es una materia difícil, pero ele-mental y necesaria para la vida.Además, son el camino para agili-zar la mente".

– "Ciencia que se encarga del estu-dio de los números. Una cienciaexacta que no admite errores.Ciencia que agrupa conceptos degeometría, medición, probabilidad,números y álgebra".

– "Son competencias que debe de-sarrollar todo ser humano paraaprender a usar los números y rea-lizar todo tipo de operaciones".

– "Son todo lo que nos rodea. Sontécnicas de formación".

– "Es una ciencia para distribuir, ad-ministrar, calcular, razonar y teneragilidad mental".

– "Son herramientas para facilitar lavida. Se presentan por medio denúmeros, gráficos, etc. y datos ob-tenidos por algunas investigacio-nes anteriores y nuevas".

– "Están regidas por los númerosque ordenados definen infinidadde cuestiones. Son conocimientode los números para poder reali-zar operaciones y cálculos que nospermiten medir".

– "Nos permiten resolver problemascotidianos con un previo razona-miento lógico".

– "Están dentro de las materias bá-sicas, dentro de toda educación".

– "Son una herramienta fundamen-tal mediante la cual se pueden cal-cular procesos físicos, químicos ybiológicos. Ciencia que sí sirvepara la comunicación universal".

– "Ciencia de razonamiento deduc-tivo; como ciencia real llena desímbolos y mecanismos que llevana resolver un sinnúmero de pro-blemas en la vida cotidiana".

En las respuestas de los asesoresy técnicos docentes se observan di-ferentes concepciones, consideracio-nes y preferencias específicas acerca

de la naturaleza de las matemáticas;predominan sin embargo aquellasque tradicionalmente han definido alas matemáticas como una cienciaexacta relacionada con los númerosy sus operaciones, como un sistemade signos, en la que se precisa de ri-gurosidad, abstracción y aplicabilidad.

Discutir en los talleres estos pun-tos de vista puede ayudar a tener unavisión más amplia de la naturaleza delas matemáticas (como ciencia deduc-tiva, como herramienta, como cien-cia abstracta, como necesaria por susmúltiples aplicaciones, como un len-guaje técnico altamente sofisticado,como arte, como resolución de pro-blemas, etc).

3. Cómo aprenden matemáticas las perso-nas jóvenes y adultas según los participan-tes. Tradicionalmente el aprendizajede las matemáticas se concibe comoun proceso en que los jóvenes y adul-tos absorben la información de unamanera pasiva, almacenándola enfragmentos fácilmente recuperablescomo resultado de una práctica y unesfuerzo repetitivo. Pero las investi-gaciones en sicología y educaciónmatemática demuestran que el apren-dizaje no ocurre por absorción pasiva;se da en situaciones en las que la per-sona se enfrenta a una tarea nueva ytrata de afrontarla con sus conoci-mientos previos; luego, asimila la in-formación nueva y construye suspropias ideas. Por ejemplo, antes deque se les enseñe a las personas jóve-nes y adultas la suma y la resta, ellosya pueden resolver muchos proble-mas de sumas y restas usando suspropias estrategias de cálculo men-tal; a medida que ingresan a otros cur-sos avanzados, siguen empleando confrecuencia estas rutinas aún despuésde que se les han enseñado procedi-mientos más formales para la resolu-ción de problemas. Sólo aceptaránmétodos y procedimientos nuevoscuando los que ya poseen no funcio-nen o sean ineficientes. ¿Cómo perci-ben los asesores y técnicos docenteseste punto de vista constructivista yactivo del proceso de aprendizaje?Enseguida se muestran algunos pun-tos de vista expuestos por asesores:

– "(Los adultos) aprenden de formaempírica, por lo que hacen en sutrabajo".

– "Aprenden conociendo primerolos números, de acuerdo a las ne-cesidades del adulto".

– "Aprenden por las actividades dia-rias que hacen. Aprenden conejemplos de la vida cotidiana, se-gún la actividad que realizan".

– "Aprenden con ejemplos de lo quecompran y venden".

– "Algunas veces aprenden de ma-nera empírica e individual. Cadaadulto utiliza su método propio".

– "Aprenden mediante juegos, com-pras cotidianas. De la teoría a lapráctica ejercitando los conoci-mientos. Observando la utilidadque pueden tener en su trabajo".

– "Aprenden por medio de la expe-riencia previa, complementándolacon materiales didácticos comopiedritas, frijoles, palitos de made-ra y con sus propias manos".

– "Aprenden las matemáticas a par-tir de sus experiencias concretas,las confrontan con las que hay enlos libros y revistas, practicándo-las mentalmente y por escrito".

– "Aprenden por imitación; vencómo se hacen las cuentas y prac-ticando diariamente".

– "Aprenden usando lápiz y papel.Repitiendo ejercicios".

– "Aprenden explicándoles de ma-nera clara. De acuerdo a su capa-cidad de razonamiento".

– "Aprenden mejor de manera tra-dicional, en forma mecánica y conejercicios, con algo de aplicación asu vida diaria".

A MANERA DE CONCLUSIÓN. No es posibleafirmar que los puntos de vista quehemos analizado en este trabajo seancompartidos por todos los asesoresy técnicos docentes. Sin embargo,están presentes en muchos círculosde estudio de nuestro país y quizá deotras partes del mundo donde estu-dian matemáticas las personas jóve-nes y adultas. Tal vez en algunos ca-sos predomine un punto de vista endetrimento de otros, tal como lo do-cumenta la literatura en educaciónmatemática en el caso de los profe-


sores; en estos últimos, predomina eluso de ejercicios rutinarios y el tra-bajo con lápiz y papel.

En este trabajo encontramos pun-tos de vista que sugieren que los ase-sores y técnicos docentes entiendenla gran importancia de la naturalezade las matemáticas y la concibencomo orientada a la resolución deproblemas prácticos, como sistemade signos, como herramienta paraacceder a otros saberes, como algoútil y práctico. También parecen com-prender qué significa aprender estadisciplina con un enfoque conside-rado constructivista y activo: conti-nuamente mencionan que los jóve-nes y adultos resuelven problemasmentalmente y que aprenden conbase en sus experiencias y activida-des cotidianas.

Podría decirse que los asesoresaceptan la posición de considerar lossaberes previos de los jóvenes y adul-tos y que, a partir de estos saberes,esperan que se construyan otros másformales; no obstante, en ocasionesdan una asesoría considerada tradi-cional, recurren a explicaciones y ejer-cicios con lápiz y papel para prepa-rarlos para el examen de acreditación.

Parece que muchos asesores as-piran verdaderamente a trabajar deuna manera diferente a la tradicional,que se preocupan por el desarrollode la persona y no sólo del aprendi-zaje de las matemáticas pero que nosaben cómo hacerlo (así lo planteanen sus expectativas). Los materialesimpresos no han bastado para guiar-los en su labor. Además, se podríaaventurar la hipótesis de que existenotros factores que constriñen estasaspiraciones, factores socioeconómi-cos, administrativos, culturales, etc,porque en el desarrollo de su trabajolos asesores adoptan múltiples tareasconcretas y variadas, y en este con-texto emplean métodos específicosque consideran que funcionan, prin-cipalmente en cuanto a la acredita-ción de los aprendizajes por los jóve-nes y adultos; esos métodos a vecesson diferentes al propuesto en losnuevos materiales. Puede decirse quese basan en la experiencia, en la in-tuición y quizá incluso en creencias

La educación ha producido una vasta po-blación capaz de leer, pero incapaz dedistinguir lo que vale la pena de leer.

Geroge Macaulay Trevelyan, historiador inglés,

1876-1962.

más fundadas en los deseos de ayu-dar a los jóvenes y adultos que en lassugerencias didácticas propuestas enlos materiales.


Fue importante constatar que los ta-lleres son un magnífico lugar paraconocer, analizar, discutir y reflexio-nar sobre las maneras en que los ase-sores y técnicos docentes concibenla naturaleza de las matemáticas y elaprendizaje matemático de jóvenesy adultos. La mayoría está de acuer-do con el enfoque constructivista quepermea las nuevas propuestas, perorequieren más información y herra-mientas para llevarlo a la práctica.

1. Los talleres podrían convertirse enespacios distintos, donde los aseso-res puedan convivir y experimentarcon unas matemáticas constructivasdistintas a las tradicionales, es decir,un lugar donde descubran o generenrelaciones, discutan sus ideas conotros compañeros, compañeras o consu coordinador; planteen conjeturas,evalúen y contrasten sus resultadoscon otras personas.

2. Se requiere modificar la manera ylas directrices de la formación y ca-pacitación de los asesores.

3. Se requiere cuidar que determina-dos aspectos no se omitan en ningúntaller, sin importar cuál sea el temadel mismo. Por ejemplo que los asis-tentes puedan enfrentarse continua-mente a problemas en los que seponga a prueba lo que ya saben yexplorar ciertos procedimientos yestrategias matemáticas para laresolución de problemas; podrándiscutir sus estrategias entre ellos ocon su coordinador, es decir, sepretende que sea el lugar donde losasesores y asesoras analicen conti-nuamente ideas, a partir de suspropios saberes, lo cual les brindaríade primera mano elementos prácti-cos sobre la naturaleza de la asigna-tura y les abriría una nueva visiónsobre las diversas maneras de apren-der las matemáticas. Luego, ellos

podrían reproducir este proceso deasesoría-aprendizaje con las per-sonas jóvenes y adultas.

Lecturas sugeridas

ÁVILA, ALICIA Y GUILLERMINA WAL-DEGG, 1997. Hacia una redefinición delas matemáticas en la educación de los adul-tos, INEA, México.e-mail: [email protected]@inea.sep.gob.mx

INEA, 2002. Módulos del eje de mate-máticas del modelo Educación Para la Viday el Trabajo, México.www.conevyt.org.mx/cursos

SANTOS T., LUZ MANUEL, 1992. "Re-solución de problemas; el trabajo deAlan Schoenfeld; una propuesta aconsiderar en el aprendizaje de lasmatemáticas", en Educación Matemáti-ca, Vol. 4, No. 2, Grupo Iberoaméri-ca, México.www.engrupo.com.mx/menu.htm/

THOMPSON, ALBA G., 1985. "Tea-cher’s conceptions of mathematicsand the teaching of problem sol-ving", en Teaching and Learning Mathe-matical Problem Solving, Lawrence Erl-baum Associates, Publisher A. Silver,EE. UU., pp. 281-294.


RESEÑAS BIBLIOGRÁFICAS

ESTE LIBRO REÚNE los textos de once especialistasque participaron en las Jornadas de reflexión ycapacitación sobre la matemática en la educación,

llevadas a cabo en Río de Janeiro, del 24 al 28 de octubrede 1995. Su lectura es un referente importante que buscacontribuir a la transformación de la enseñanza en el cam-po de la educación de las matemáticas para jóvenes yadultos.

En el primer texto denominado Globalización, edu-cación multicultural y etnomatemática, UbiratanD´Ambrosio considera la educación multicultural comola perspectiva más adecuada para afrontar la complejidadde un mundo que se globaliza a ritmo creciente. Señalaque la diversidad cultural es esencial para el potencial crea-tivo de la humanidad y concluye el trabajo con una pro-puesta, denominada: Pedagogía etnomatemática, en la queel currículo es organizado en tres momentos: sensibiliza-ción, apoyo y socialización.

Orlando Jóia con el texto "Cuatro preguntas sobre laeducación matemática de jóvenes y adultos", plantea unconjunto de preocupaciones metodológicas respecto a laenseñanza de las matemáticas, entre las que destacan: elambiente en que tienen lugar las prácticas escolares, lascaracterísticas del conocimiento que el alumno trae con-sigo al aula, las nociones que le sirvieron de base, losconceptos y los procedimientos utilizados; todo esto paraproponer situaciones de aprendizaje que permitan que elalumno elabore los conocimientos matemáticos.

"Un nuevo enfoque sobre el conocimiento matemá-tico del profesor", es el título del escrito de Nilza Eigen-heer, quien manifiesta la necesidad de reconstruir y re-cuperar en el profesor la identidad, el alma y la vida de suconocimiento matemático. Nilza observa que se requie-re un nuevo enfoque que recupere el conocimiento ma-temático del profesor, asumiendo que su visión de lamatemática determina el método de enseñanza y el tipo

de acercamiento al conocimiento matemático que pro-mueve en los jóvenes y adultos.

El texto de Gelsa Knijnik: "Lo popular y lo legítimoen la educación matemática de jóvenes y adultos" es unainvitación a preguntarse acerca de la relevancia que tie-nen ciertas temáticas para la educación matemática dejóvenes y adultos. Knijnik problematiza sobre el uso delas matemáticas en el contexto de poder donde se em-plean, señalando la importancia de que los educadorestomen conciencia de la forma en que perciben la culturade los diferentes grupos sociales. Finalmente propone lasiguiente pregunta: ¿cómo poner en escena a las otrasmatemáticas que representan la realidad de los diferentesgrupos sociales?.

Newton Duarte nos introduce al pensamiento de LevVigotski proponiendo cinco hipótesis surgidas de la lec-tura que hace de este pensador ruso; a través de ellaspresenta algunas aportaciones para la educación mate-mática de jóvenes y adultos.

La siguiente contribución es autoría de Dione Luccheside Carvalho, quien comparte sus reflexiones, productode su experiencia sobre la interacción del conocimientomatemático adquirido en la práctica y, el desarrollado enel ámbito escolar.

Germán Mariño centra su atención en qué hacer conlos saberes previos de los alumnos, ante lo que plantea:¿es posible diseñar los programas de educación de adul-tos tomando en cuenta las estrategias contenidas en lossaberes previos? Para dar respuesta a la pregunta presen-ta un recuento de los alcances y desafíos planteados portres experiencias que fueron realizadas en Colombia,Ecuador y El Salvador.

El texto de Alicia Ávila nos invita a repensar el currí-culo de las matemáticas para redefinir la educación deadultos recurriendo a la riqueza del saber construido enla cotidianeidad; a complementar la dimensión lógica del

VARIOS AUTORES, 1997,Conocimiento matemático en la educación de jóvenes y adultos,

UNESCO-SANTIAGO,Oficina Regional de Educación para América Latina

y el Caribe, Santiago, Chile, 191 pp.

www.unesco.cl/07.htme-mail: [email protected]


LA OBRA RECOGE algunos "Resultados de investiga-ción en el campo del aprendizaje matemático deadultos". El contenido se distribuye en tres par-

tes: a) síntesis de resultados, b) análisis de implicacionespara un nuevo currículo matemático para la educaciónde adultos y c) propuesta de un nuevo modelo curricularde las matemáticas a partir de los conocimientos e inte-reses de los adultos.

En la primera parte las autoras revisan trabajos deotros investigadores y algunos propios para establecerque los adultos no alfabetizados o con pocos años deeducación básica utilizan una lógica particular para dise-ñar los algoritmos que les permiten obtener los resulta-dos de las operaciones diarias que realizan en materia dedinero, pesos de productos, medidas lineales y de áreas y,cálculo de porcentajes y proporciones, según sus necesi-dades. Asimismo, afirman que, en general, los modelosde enseñanza de la matemática se enfocan de la mismamanera que los que se utilizan en el sistema escolarizadode primaria. Sugieren que se apliquen modelos pedagó-

saber con el saber matemático convencional; a promo-ver la interacción como forma de construcción del sa-ber; a diversificar la experiencia; vincular el conocimien-to y los contextos específicos de la experiencia y articularel aprendizaje con intereses y expectativas vitales de losjóvenes y adultos.

Isabel Soto en su texto: "Algunas proposiciones so-bre la didáctica para la enseñanza de las matemáticas dejóvenes y adultos", realiza su análisis desde el enfoquefenomenológico de la didáctica, es decir, del procesoque antecede al aprendizaje de un concepto matemáticodeterminado. La autora invita a trabajar de manera másprofunda en los cómos didácticos para una práctica ade-cuada de las matemáticas.

Marta Ester Fierro en su trabajo presenta la experien-cia del proyecto argentino de educación a distancia paraadultos, compartiendo los procesos que se siguieron y

las decisiones que se tomaron para la elaboración y usode materiales en el área de la matemática.

Finalmente encontramos el aporte de Alfonso Lizar-zaburu que presenta los principales resultados del Semi-nario Internacional "El aprendizaje y la enseñanza de lamatemática a jóvenes y adultos" realizado en Marly-le-Roi, Francia, en 1993. Hace un recuento de los avancesque ahí se presentaron y evalúa el logro de los objetivosmarcados en el Proyecto Principal de Educación paraAmérica Latina y el Caribe. Destaca que el problema dela enseñanza-aprendizaje de las matemáticas es complejoy se expresa en las carencias y dificultades de caráctereconómico, social, político y cultural.

Reseñado por Lorena Yasmín García Mendoza

gicos basados en métodos constructivistas y referidos aluso cotidiano de la matemática.

En una breve segunda parte se plantea la necesidadde vincular el currículo formal con los procedimientosde cálculo y el saber matemático, construidos por los adul-tos en contextos determinados. Considerar la abstrac-ción, pero incorporarla de manera suave y a partir de uncontexto común que incluya los cálculos diarios en lolaboral, lo comercial y lo familiar.

En la parte final las autoras proponen concebir la ma-temática como "una práctica inmersa en la actividad co-tidiana y laboral". Señalan los objetivos de la enseñanza-aprendizaje de esta disciplina con los jóvenes y adultos ysugieren un diseño curricular dirigido a cuatro sectores:mujeres, adultos urbano-marginales, campesinos y jóve-nes. Plantea tres niveles de educación básica y señala unarelación asesor-adultos-texto.

Reseñado por Ermilio J. Marroquín

ÁVILA, ALICIA Y GUILLERMINA WALDEGG,1997,Hacia una redefinición de las matemáticas en la educaciónbásica de adultos, Instituto Nacional para la Educaciónde Adultos, México, pp. 62.

www.crefal.edu.mxe-mail: [email protected]


NOTICIAS Y EVENTOS

XI CONFERENCIA INTERAMERICANADE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

13–17 de julio de 2003Universidade Regional de Blumenau

BLUMENAU – SC – BRASIL

in memoriam: Luis Santaló

OBJETIVO:Propiciar el intercambio y el conocimiento mutuo entreInstituiciones e Investigadores en Educación Matemáti-ca de las Américas.

DINÁMICA:El Congreso adoptará una metodología de acción utili-zando dinámicas de plenario (Conferencias plenarias) yde pequeños grupos (Grupos de trabajo, Conferenciasparalelas, Secciones de comunicación científica, Proyec-tos), además, habrá espacios para reuniones especiales yconfraternización.

TEMAS DE LOS GRUPOS DE TRABAJO:Debido al espacio físico, los grupos de trabajo quedaránrestringidos a siete. Los temas se eligieron con base enlas investigaciones que han venido consolidando:

1. Álgebra2. Etnomatemática3. Formación de profesores4. Geometría5. Historia de la matemática6. Modelación y modelización matemáticas7. Tecnologías de información y de comunicación

en educación matemática

PRESENTACIÓN DE TRABAJOS:hasta el 30 de septiembre de 2002

INSCRIPCIONES:a partir de 15 de enero de 2003

Inscripción de participantes con trabajos aceptados:hasta el 31 de marzo de 2003

Valor de la inscripción para participar del Encuentro:Del 15/01/03 hasta el 31/05/03 $ 120,00 U.S.Después del 31/05/03 $ 200,00 U.S.

Informes:Página web: www.furb.br/xi-ciaem/e-mail: [email protected]

III CONGRESOINTERNACIONAL CULTURA Y DESARROLLO

Cuba acoge el Congreso Internacional Cultura y Desa-rrollo que, en esta ocasión se celebrará en el Palacio delas Convenciones de Ciudad de La Habana del 9 al 12 dejunio próximo. El evento cuenta con los auspicios deUNESCO, UNICEF, la Organización de Estados Iberoameri-canos (OEI), el Convenio Andrés Bello, el Sistema Eco-nómico Latinoamericano (SELA), la Asociación de Biblio-tecas Nacionales de Iberoamérica (ABINIA) y el CentroRegional Para el Fomento del Libro en América Latina yel Caribe (CERLALC).

Las realizaciones anteriores de estos congresos pro-piciaron la consolidación de un espacio de intercambioentre artistas, creadores, funcionarios gubernamentales yde organizaciones internacionales gubernamentales yONG’s de América Latina y el Caribe.

Entre los objetivos del encuentro se encuentran la pro-moción de un espacio de intercambio especializado so-bre experiencias y proyectos que potencien la conver-gencia y la concertación de estrategias por medio de lacooperación y el desarrollo cultural; el reconocimientode estrategias comunes, la concertación y el establecimien-to de vínculos cooperativos. Asimismo el Congreso bus-ca propiciar la reflexión, el debate y el intercambio sobrelos problemas fundamentales de la relación de las artes,los procesos culturales y el desarrollo ante un nuevo es-cenario globalizado, que, más que nunca, precisa la pre-servación de sus culturas.

El Programa profesional se organizará a partir de fo-ros, dedicados a las artes plásticas y escénicas, la literatu-ra, la música, el cine, al patrimonio cultural, la enseñanzaartística, la participación en el desarrollo sociocultural ylas nuevas tecnologías aplicadas a la cultura.

INFORMES:

Mirtha PadrónSecretaria Ejecutiva

Centro Nacional de Superación para la Cultura

Tel. (537) 55 3691 / 55 2300 / 55 2299Fax: (537) 55 2301 / 66 2283

e-mail: [email protected]@cubarte.cult.cu

Fuente: Boletín de Novedades en el sitio web de la OEI(Organización de Estados Iberoamericanos para la edu-cación la ciencia y la cultura), febrero de 2003.


III TALLER INTERNACIONALINNOVACIÓN EDUCATIVA SIGLO XXI

CONVOCA A LA

Cátedra de estudios de didáctica"NUEVAS TECNOLOGÍAS PARA LA EDUCACIÓN

EN UN NUEVO MILENIO"

Centro Universitario de Las TunasLas Tunas, Cuba

Con el coauspicio deEscuela de Graduados en Educación

Universidad VirtualTecnológico de Monterrey, México

Del 27 al 30 de mayo de 2003

Objetivos:• Propiciar el intercambio entre docentes e investiga-

dores de la práctica educativa en los diferentes nivelesde enseñanza.

• Fomentar la cooperación entre instituciones y espe-cialistas que se dedican a esta área de interés.

• Promover el debate sobre la innovación como vía pararesolver problemas educativos comunes.

Temáticas:1. Didáctica de las disciplinas docentes.2. Diseño y evaluación curricular.3. Desarrollo de habilidades y capacidades.4. Educación ambiental.5. Educación a distancia.6. Gestión de instituciones educacionales.7. Formación de valores.8. Formación de profesorado.

PARA MAYOR INFORMACIÓN Y CUOTAS DE INSCRIPCIÓN:

Dr. Ulises Mestre Gómez(Coordinador General)

Tel. - fax: 53-31-4 6501e-mail: [email protected]

Fuente: Boletín de Novedades en el sitio web de la OEI(Organización de Estados Iberoamericanos para la edu-cación la ciencia y la cultura), Febrero de 2003.

MANIFIESTO POR LA VIDAPOR UNA ÉTICA PARA LA SUSTENTABILIDAD

El texto completo del manifiesto se puede consultar enespañol y en inglés, en la siguiente dirección de Internet:

www.rolac.unep.mx/educamb/esp/manintro.htm.

Así mismo podrán consultar la lista de adhesionesy en el caso de que lo deseen, suscribir el manifiento.

La versión PDF del libro:

Ëtica, Vida, SustentabilidadResultado del Simposio sobre

Ética Ambiental y Desarrollo Sustentableque se llevó a cabo en Bogotá, Colombia

los días 2 a 4 de mayo de 2002

se encuentra en:

www.rolac.unep.mx/educamb/esp/catalogo.htm

Fuente: Boletín Formación Ambiental, vol.14, Núm 31, 2002,de la Red de Formación Ambiental para América Latinay el Caribe, PNUMA.www.rolac.unep.mx


¿AHORA QUÉ?

REFERENCIAS DE AGENCIAS FINANCIADORAS

No solo en el abanico de posibilidades de las agencias financiadoras encontramos diversidad,también en los países en que se encuentran ubicadas y, en los tipos de apoyos y los formatos

de solicitudes;además de las regiones a las que se dirigen los apoyos.Es el caso de las dos agencias a las que en este número de Decisio hacemos referencia.

Prioridades y preocupaciones: La Fundación Comptonfue fundada con la finalidad de mostrar a la comunidad,nacional e internacional, la importancia de ocuparse enlos campos de la paz y seguridad, población y medio am-biente. Así como la equidad y oportunidad en educación,bienestar comunitario, justicia social, cultura y las artes.

La principal preocupación de la Fundación está en elapoyo a: la paz y seguridad, población y, el medio am-biente. Con especial énfasis en proyectos que se vinculenentre si, tomando en cuenta los tres ejes antes menciona-dos. La fundación considera que la estrategia más efecti-va es: mejor prevenir que resolver. Que la investigación yla operación deben mantenerse unidas e informadas en-tre si, considerando que ambas perspectivas son necesa-rias para un debate productivo.

Con la finalidad de demostrar lo que se puede logrardentro de las transformaciones sociales, la Fundaciónbusca impulsar modelos positivos de cambio. Así como,la colaboración entre agencias, instituciones, fundacio-nes y los proyectos que tengan relación entre la teoría,investigación y práctica.

Dentro de las áreas de paz y seguridad, población ymedio ambiente los apoyos se dirigen hacia los siguien-tes tipos de actividades:

• Educación al público• Educación a los tomadores de decisiones• Educación a los medios de comunicación.• Defensoría y justicia social.• Proyectos demostrativos

La Fundación apoya principalmente a organizacionesde base en Estados Unidos. Sin embargo, existen apoyosa nivel regional, nacional e internacional para proyectosque tengan que ver específicamente con sus principalesprogramas y áreas de interés: paz y seguridad, poblacióny medio ambiente. Nuestros apoyos se otorgan a proyec-tos de duración limitada. Los proyectos son revisadospor el Consejo dos veces al año: en mayo y en diciembre.

No se apoya a individuos.No se reciben solicitudes por fax o correo electrónico.

FUNDACIÓN COMPTON

Para más información, dirigirse a:

Compton Foundation, Inc.535 Middlefield Road, Suite 160 Menlo Park, CA 94025

Tel.: (650) 328-0101 Fax: (650) 328-0171

[email protected]


La Fundación Moriah es una fundación privada, inde-pendiente y sin fines de lucro establecida en 1985 y consede en la ciudad de Washington, D.C. Nuestra cobertu-ra geográfica incluye Latinoamérica, enfocándose espe-cialmente en Guatemala. La Fundación mantiene un per-sonal pequeño de profesionales comprometidos con lacalidad de vida y bienestar de poblaciones marginadassocial y económicamente, así como con el pluralismoideológico y democrático.

Los campos de apoyo son:

• Derechos humanos y justicia social. Defensoría.• Motivación de la participación ciudadana en el diseño

de políticas nacionales.• Mejoramiento de las facultades de las ONG’s, particu-

larmente, de Latinoamérica. Organización comunita-ria, y liderazgo.

• Promoción de la organización comunitaria y el desa-rrollo de las capacidades de liderazgo a nivel local, asícomo la movilización y la participación, con un énfa-sis en aquellos proyectos que contribuyan a esfuerzosmás amplios.

Para contactar: enviar una carta de solicitud en inglés oespañol que no exceda de dos o tres páginas. La cartadebe incluir una descripción breve del proyecto o de la

necesidad de financiamiento, las cualidades y capacida-des de la organización solicitante, y un resumen de losgastos. Después de revisar esta carta, el personal de laFundación Moriah les informará sobre la situación de susolicitud y los requisitos de una propuesta más detalladasi esta fuera necesaria. No enviar propuestas completashasta que se haya tenido la oportunidad de revisar la car-ta inicial. De esta manera se ahorrará esfuerzo en el casoque su proyecto no se enmarque dentro de los objetivosy estrategias de la Fundación.

Fechas LímitesLas cartas de solicitud tienen que llegar antes del 1° fe-brero para su consideración en mayo, y del 1° julio paraconsiderarlas en noviembre. Si el personal de Moriah piderecibir una propuesta completa, estas tienen que llegar-nos por el 1° de marzo y el 1° de agosto respectivamente.

Información AdicionalNuestros fondos para donaciones no están afiliados conningún gobierno, grupo religioso, o causa política. Nues-tras decisiones sobre propuestas de apoyo se basan enlos méritos de los proyectos, sus necesidades financieras,y nuestra disponibilidad de fondos.

FUNDACIÓN MORIAH

Envíe su correspondencia a:

Lael ParishProgram Officer for Latin America

The Moriah FundOne Farragut Square South

1634 I Street, NW, Suite 1000, Washington, D.C. 20006-4003

Para mayor conveniencia y rapidezla carta puede ser enviada como adjunto por correo electrónico a

[email protected].


PROGRAMA CREFAL ESTANCIAS DE INVESTIGACIÓN El Centro de Cooperación Regional para la Educación de Adultos en Amé-rica Latina y el Caribe (CREFAL, por sus siglas originales), es un organismointernacional con casi 52 años de experiencia en la formación de educadoresy formadores de personas jóvenes y adultas en América Latina y el Caribe.En concordancia con la situación social, económica y cultural de la Región ydel mundo en general y dentro de un marco de respeto a la diversidad y elreconocimiento de las diferencias locales y las tendencias internacionales,promueve la cooperación mediante la formación de personal especializado,la realización de investigación, sistematización, análisis e intercambio de ex-periencias innovadoras e información especializada en el campo.

Con la finalidad de promover la investigación y la difusión de conoci-mientos en el campo de la Educación de Jóvenes y Adultos (EDJA) en laRegión, convoca a los investigadores de los países de la misma a participar enel programa de estancias de investigación 2003-2004 que principiará en sep-tiembre del 2003.

El programa consiste en cien meses de estancia-investigación que se otor-garán por períodos de tres a seis meses por investigador y que cubren lossiguientes rubros: a) hospedaje y alimentación en las instalaciones del CREFAL,b) lugar de trabajo y uso de facilidades de la institución (computadora, bi-blioteca con más de 38,000 volúmenes en la especialidad y afines, salas deconferencias, servicios de internet con nodo propio y publicaciones en susrevistas), c) gastos de materiales y otros, comprendidos en el programa deinvestigación aprobado por el CREFAL y d) seguro de vida y de gastos médicosmayores. Cualquier otro gasto será cubierto por la institución donde laborael participante, por el propio investigador o alguna institución que brinde suapoyo económico para el efecto, no existiendo compromiso del CREFAL paraintervenir en el logro del mismo o en efectuar trámites relativos.

Los requisitos de participación son los siguientes:

1. Ser nacional de cualquier país de la Región o residir (o haber residido) enun país de América Latina o El Caribe por más de cinco años y contar conel permiso migratorio mexicano correspondiente.

2. Trabajar actualmente en el campo de la Educación de Jóvenes y Adultoso en disciplinas relativas en una organización que realice investigación oen una afín. O bien, ser estudiante de posgrado que lleva a cabo investiga-ción para lograr su maestría o doctorado en alguna de las áreas o discipli-nas que se incluyen en la lista citada en esta convocatoria.

3. Ser investigador o estudiante de posgrado en el campo o disciplinas com-prendidas en la lista citada más adelante.

4. Presentar una copia de los últimos dos trabajos de investigación conclui-dos, aunque todavía no se hayan publicado (excepto los estudiantes deposgrado).

5. Presentar un anteproyecto del trabajo de investigación que se desea reali-zar o, si ya se está llevando a cabo, una copia del proyecto y un reporte delestado de avance del mismo.

6. Elaborar en detalle la fase del anteproyecto o proyecto que se desea alcan-zar durante su estancia de investigación en el CREFAL.

7. Presentar un documento de la organización o institución donde prestesus servicios o el documento personal respectivo, según sea el caso, don-de se manifieste el compromiso de cubrir todos los gastos no incluidospor el CREFAL para efectos del programa de estancia-investigación (porejemplo, viaje origen-Pátzcuaro-origen, salarios, si procede, gastos de in-vestigación no comprendidos en el programa aprobado por el CREFAL).


8. Si la solicitud para el programa se tramita con base en un convenio inter-nacional con el CREFAL, se requiere un documento de la contraparte endonde ésta presente formalmente la solicitud del candidato por la víaestablecida en el propio convenio. En este caso, tendrán prioridad lascondiciones establecidas por el convenio y las procedentes mencionadasen este documento.

9. Presentar la solicitud al programa en el formato DIE-EI-01 con una an-telación de tres meses a la fecha propuesta de iniciación de la estancia,incluyendo la documentación adicional indicada en el formato. La fecha depresentación es la de recepción de la solicitud completa en el CREFAL. Sesugiere proponer dos fechas de iniciación desfasadas por un lapso míni-mo de dos meses (por cupo limitado).

Únicamente las solicitudes completas para este programa, numeradas crono-lógicamente por su fecha de recepción, serán estudiadas y dictaminadas porun Comité de Investigación integrado para este programa, el cual se reunirácada dos meses. Agotado el programa 2003-2004 de estancias de investiga-ción, las nuevas solicitudes recibidas quedarán sujetas a la realización de unprograma para el siguiente ciclo, de acuerdo con lo que determine el CREFALa este respecto. La recepción de la solicitud no implica su aceptación.

El CREFAL comunicará al investigador, mediante una carta de otorgamien-to, la aprobación de su solicitud y la fecha de iniciación de la estancia-inves-tigación. Sólo a la recepción de la misma, el investigador estará autorizado ainiciar su viaje y presentarse en el CREFAL a partir de la fecha indicada en lacarta otorgamiento.

El investigador participante asume los compromisos académicos siguientes:

1. Entregar durante el período de estancia–investigación un ensayo o artícu-lo inédito sobre alguna de sus especialidades, para ser publicado por elCREFAL (sujeto a arbitraje), según lo establecido en los criterios de las pu-blicaciones respectivas. En el mismo se dará crédito al CREFAL como copa-trocinador del programa de estancia-investigación inherente.

2. Entregar, como resultado de su programa en el CREFAL, un trabajo deinvestigación o un reporte de avance de investigación con fines de publi-cación por el propio CREFAL (sujeto a arbitraje y los criterios establecidos)otorgando los créditos respectivos como se menciona en el punto 1. Enel caso de tesis de posgrado, contar con la autorización de la institucióneducativa sobre los términos de una publicación relacionada.

3. Presentar al CREFAL un informe de resultados de la etapa de investigaciónrealizada dentro del programa de estancias de investigación.

4. Ceder al CREFAL los derechos de la primera publicación de los trabajosreferidos en los puntos 1 y 2.

5. Otorgar los créditos usuales a esta institución en publicaciones posterio-res sobre los trabajos desarrollados en el CREFAL.

6. En el caso de realizarse proyectos de investigación por convenio se segui-rán los lineamientos establecidos en el mismo.

El CREFAL, por su parte, extenderá una constancia de estancia-investiga-ción a los investigadores que cumplan satisfactoriamente con los compromi-sos académicos contraídos en los puntos precedentes del uno al tres.

LISTA DE CAMPOS Y DISCIPLINAS DE INVESTIGACIÓN(Referidos a la Región de América Latina y el Caribe)

a) Pasado, presente y futuro de la EDJA. La educación fundamental, perma-nente y la educación para la vida y a lo largo de la vida.


b) Alfabetización. Alfabetización en lengua materna, bilingüismo y analfa-betismo funcional.

c) Alfabetización y cultura escrita. Alcances de la alfabetización en el S. XXI.d) Población y estadísticas del sistema no escolarizado de educación y del

sistema no formal.e) Procesos pedagógicos en la EDJA. El proceso enseñanza – aprendizaje en

espacios comunitarios. Psicología educativa. Didáctica, necesidades bási-cas para el aprendizaje, nuevos ambientes y contextos de aprendizaje,modelos de didáctica y de creatividad, evaluación de competencias, cali-dad en el proceso, diseño de materiales y diseño curricular.

f) Formación de formadores en la EDJA.g) Educación y desarrollo. La educación en el límite de la marginación. Jus-

ticia, equidad, medio ambiente y sustentabilidad, superación de la pobre-za, salud y educación para el consumo. Indicadores de equidad en educa-ción para todos. Las condiciones socioeconómicas y culturales de su po-blación objetivo (atendido y no atendido). Las comunidades y sus carac-terísticas. Educación en situaciones de movilidad humana. Migración. Des-plazamiento. La EDJA y el trabajo.

h) Democracia, construcción de ciudadanía, derechos humanos, participa-ción, autonomía, educación para la paz. Educación intercultural para to-dos. Intergénero, interculturalidad, intergeneracionalidad, desarrollo de laidentidad y procesos de socialización.

i) La EDJA, el arte y manifestaciones culturales.j) Comunicación y tecnología educativa en la EDJA y sus procesos, y Educa-

ción a Distancia.k) Políticas educativas y gestión.l) Selección, análisis y sistematización de experiencias educativas innovado-

ras. Calidad y Evaluación. Evaluación del impacto de la educación en lavida: beneficios económicos y sociales de la educación de adultos. Cono-cimientos y saberes significativos.

m) Educación a grupos con necesidades especiales (personas en plenitud,adultos sujetos a sentencia judicial con privación de la libertad, con capa-cidades diferenciadas, etc.).

n) Proyectos propios del CREFAL, con participación externa.

Los proyectos de investigación no comprendidos en la lista serán dicta-minados por el Comité de Investigación del CREFAL, sin mediar ningún com-promiso respecto de su posible aceptación.

En la medida de lo posible, realizar todos los trámites por la vía electrónica. En el sitiodel CREFAL se proporcionan las indicaciones respectivas. Para más información sobre elCREFAL, consultar www.crefal.edu.mx

Dirigir su correspondencia sobre este programa a :

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