Ramiro J. Saltos

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Instituto de Ciencias Matemáticas

Algebra Lineal (B)

Deber # 1: Espacios Vectoriales

Tema 1Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.

a) Existe un único espacio vectorial V tal que Vv V v V v v O b) Sea V un espacio vectorial, entonces existe un vector v V tal que v es neutro e inverso de si mismo

c) Sea V un espacio vectorial, entonces el VO es único

d) Sean , R y sea v V . Si v v , entonces e) Sea R y sean ,v w V . Si v w , entonces v wf) En todo espacio vectorial V , el inverso aditivo es único para cada vector v V

Tema 2

Sea 2)0(1/: fRRfV . Sea R el campo considerado y se definen las operaciones:

1)()())(( xgxfxgf)())(( xfxf

Determine si ,,V es un espacio vectorial.

Tema 3

En 2RV se definen las siguientes operaciones:

by

ax

b

a

y

x

y

x

y

x

¿Es un espacio vectorial? En caso de no serlo, indique cuáles propiedades se cumplen y cuáles no

Tema 4

Sea

10101/2 yxyxR

y

xV junto con las operaciones:

2

2by

ax

b

a

y

x

y

x

y

x

Determine si ,,V es un espacio vectorial

Ramiro J. Saltos

Tema 5

Sea

RcbRa

c

baV ,/

0 junto con las operaciones

0

7

00 21

2121

2

22

1

11

cc

bbaa

c

ba

c

ba

0

77

0 c

ba

c

ba

Determine si ,,V es un espacio vectorial, y en caso de no serlo indique cuáles axiomas se cumplen y cuáles no

Tema 6

Sea

RbRaRu

ba

uV ,,/

3 2 junto con las operaciones:

2

333

2121

21

22

2

11

1

bbaa

uu

ba

u

ba

u

22

33

ba

u

ba

u

Determine si ,,V es un espacio vectorial.

Tema 7

Sea

RzyxR

z

y

x

V ,,/3 junto con las operaciones:

21

21

21

2

2

2

1

1

1

1

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

1

Determine si ,,V es un espacio vectorial, en caso de no serlo proponga modificaciones al conjunto para que lo

sea

Tema 8

Sea RbabaxxV ,/2 junto con las operaciones:

21212

222

112 2 bbxaaxbxaxbxax

bxaxbaxx 2222

Determine si ,,V es un espacio vectorial

Ramiro J. Saltos

Tema 9

Sea 0/22 baPcbxaxV donde se definen las siguientes operaciones:

2 2 21 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2a x b x c a x b x c a a x b b x c c

2 2ax bx c a x b x c

Determine si ,,V es un espacio vectorial. En caso de no serlo especifique todos los axiomas que no se

satisfacen

Tema 10

Sea el conjunto / 0V a bx a b junto con las operaciones:

1 1 2 2 1 2 1 22 2a b x a b x a a b b x

2 2 2 2a bx a b x

Determine si la terna , ,V es un espacio vectorial real, y en caso de no serlo indique cuáles propiedades no se

satisfacen

Tema 11

Sea el conjunto 2 / 0 1H ax bx c b a c junto con las operaciones:

2 2 21 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1a x b x c a x b x c a a x b b x c c

2 2 1ax bx c a x b x c

Determine si la terna , ,H es un espacio vectorial real, y en caso de no serlo indique cuáles propiedades no se

satisfacen

Tema 12

Sea el conjunto / 3

1

a

V b a b

junto con las operaciones:

1 2 1 2

1 2 1 2

5

8

1 1 1

a a a a

b b b b

5 5

8 8

1 1

a a

b b

Determine si la terna , ,V es un espacio vectorial real, y en caso de no serlo indique cuáles propiedades no se

satisfacen