de pitàgores a fermat: un viatge a través de l'aritmètica
DESCRIPTION
De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica. Xavier Xarles. Pitàgores (569 aC -475 aC). El teorema de Pitàgores. A 2 + B 2 = C 2. 5 2 + 12 2 = 13 2. 3 2 + 4 2 = 5 2. 6 2 + 8 2 = 10 2. Per què sempre posen els mateixos exemples? - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/1.jpg)
1
De Pitàgores a Fermat:Un viatge a través de l'Aritmètica
Xavier Xarles
![Page 2: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Pitàgores (569 aC -475 aC)
![Page 3: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/3.jpg)
3
El teorema de Pitàgores
A2 + B2 = C2
32 + 42 = 52
62 + 82 = 102
52 + 122 = 132
![Page 4: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Per què sempre posen els mateixos exemples?
Doncs perquè són els exemples de triangles
rectangles amb nombres més petits en què
els tres costats són nombres naturals.
Pels matemàtics grecs els únics nombres eren els nombres naturals i, més en general, els nombres racionals positius.
![Page 5: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Diofant ( ~200 dC )
Aritmètica
Primer llibre dedicat exclusivament
a l’aritmètica.
![Page 6: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/6.jpg)
6
El problema
Trobar tots el triangles rectangles
amb els tres costats enters
Trobar les solucions de X2 + Y2 = Z2 amb X, Y i Z enters
Ternes Pitagòriques.
![Page 7: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Primera observació
Sols cal trobar les solucions (X,Y,Z) que no tinguin factors comuns.
Exemple
62 + 82 = 102
22 32 + 22 42 = 22 52
32 + 42 = 52
22(32 + 42 )=22 52
![Page 8: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/8.jpg)
8
En general, si tenim una solució
(X,Y,Z)
de l’equació
X2 + Y2 = Z2
aleshores
(a·X,a·Y,a·Z)
és també una solució.
Les solucions sense factors en comú
s’anomenen ternes primitives.
![Page 9: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Ternes pitagòriques primitives (X,Y,Z)
Solucions racionals (x,y) de x2 + y2 = 1
x=X/Z y=Y/Z
![Page 10: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Equació x2+y2 = 1
Cercle de radi 1
![Page 11: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Punts del cercle: punts de la forma (sin(),cos()), en què varia entre 0 i 2
Punts racionals:
NO SERVEIX
![Page 12: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Una altra idea:
Escollim un punt amb coordenades racionals. Per exemple, el punt (1,0)
![Page 13: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Dibuixem una recta que passi per (-1,0) i amb pendent racional
El punt (a,b) té coordenades racionals si i només si la recta té pendent racional
![Page 14: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Equació de la recta pendent t :
Y = t X + s
Volem que passi pel punt (-1,0):
Substituïm (X,Y) per (-1,0)
0 = t+s
o sigui
t=s
Equació de la recta pendent t que passa per (-1,0):
Y = t X + t
![Page 15: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Punt de tall amb el cercle X2+Y2 = 1 :
substituïm Y per t·X+t a l'equació
Equació de segon grau:
(1+t2)·X2+ 2·t2·X + t2 = 0
Solucions:
X =
2t2 2
2(t2+1) = {-1
(1t2 ) / (1+t2)
![Page 16: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/16.jpg)
16
(X,Y) = ((1t2 ) , 2·t
)(1+t2)
(1+t2)
Les solucions racionals a part d’aquesta són les següents:
on t és qualsevol nombre racional
La solució X=-1 és la que ja coneixíem.
![Page 17: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Aquest procediment pot ser generalitzat a totes les còniques (el·lipses, paràboles, hipèrboles).
O sigui, equacions de la forma f(x,y) = 0 on f(x,y) és un polinomi amb coeficients racionals de grau 2.
Exercici: Trobeu totes les solucions racionals de x2+3y2 = 1.
![Page 18: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Solucions enteres:
Expressem t de la forma t = m/n
amb n i m enters primers entre si
(X,Y) = ((n2 m2 ) , 2·n·m
)(n2 + m2) (n2 + m2)
Obtenim així que
![Page 19: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Teorema:
El conjunt de ternes pitagòriques primitives és
{ (n2m2 , 2nm, n2+m2) n i m primers entre si i , n>m i nm senar }
Exemple: n=2, m=1
(3,4,5)Exemple: n=3, m=2
(5,12,13)
Exemple: n=4, m=3
(7,24,25)
![Page 20: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Aplicació: Fórmules trigonomètriques
Si t= tan ( /2)
aleshores
cos() = (1t2 )/(1t2 )
i
sin() = (2·t2 )/(1t2 )
![Page 21: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1588-1638)
![Page 22: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Va ser el traductor al llatí de l’Aritmètica de Diofant.
Es va dedicar a la matemàtica recreativa, com per exemple els quadrats màgics.
En un problema es pregunta:
Quins nombres són resta d’un quadrat menys un cub?
![Page 23: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Dit d’una altra manera:
Per a quins nombres enters c l’equació
Y2X3 = c
té solucions (X,Y) on X i Y són nombres racionals?
![Page 24: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Bachet diu: si donat c tenim una solució (x,y) amb y 0, aleshores
(x’,y’) = (x48·c·x , x620·c·x3+8 c2
)4·y2 8·y3
també és solució de la mateixa equació.
![Page 25: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Com va arribar a aquesta fórmula?
Idea: Intentem copiar el que hem fet abans.
Les solucions reals de l'equació y2x3 = c en el pla formen una corba: C.
C no és una cònica!
Tota recta en el pla talla C com a màxim en tres punts.
![Page 26: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/26.jpg)
26
En efecte:
Si y = a·x+b és una recta en el pla,
substituïm y per a·x+b en l’equació y2x3 = c
Obtenim una equació de tercer grau (a·x+b)2x3c = 0
que pot tenir com a màxim tres solucions reals.
![Page 27: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Si comencem amb un punt racional (x,y) de la corba C, i prenem una recta qualsevol, podem o bé no obtenir cap més punt o bé obtenir dos punts de la corba C que no són necessàriament racionals.
Exemple: 52 – 33 2 , per tant (3,5) són solució de Y2 – X3 2
La recta Y=X+2 passa per aquest punt, però no talla la corba C.
La recta Y=3·X-4 passa per aquest punt, i els altres punts de tall són
(3 +/- √3, 5 +/- 3√3 )
![Page 28: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/28.jpg)
28
![Page 29: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/29.jpg)
29
En canvi, si substituïm
Y=(27/10) X – (31/10)
en l’equació
Y2 – X3 2
Obtenim així la solució racional (129/100, 383/1000)
que té solucions:
X=3 (repetida) i X= 129/100.
obtenim l’equació en X -X3+(729/100)·X2 –(837/50)·X + (1161/100)=0
![Page 30: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/30.jpg)
30
D’on surt aquesta última recta?
És la recta tangent a la corba C en el punt (3,5).
La podeu obtenir utilitzant la derivada
(el pendent de la recta és la derivada en el punt x=3 de la funció √ x3-2 ).
La fórmula de Bachet és exactament la que s’obté seguint aquest procediment.
![Page 31: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Recapitulem: Per a les equacions de la forma
y2x3 + c,
tenim una fórmula en què, donada una solució (x,y) amb y 0, obtenim una altra solució (x’,y’).
De fet, no sempre obtenim solucions diferents:
només si x 0, i si c 1 i c 432 .
Les equacions d’aquest tipus (o, més en general, del tipus y2 igual a un polinomi de grau 3) s’anomenen
CORBES EL·LÍPTIQUES
![Page 32: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Pierre de Fermat (1661-1665)
![Page 33: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Va escriure al marge de la traducció de Bachet de l’Aritmètica de Diofant:
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
![Page 34: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Que amb la notació actual vol dir:
Si n és un nombre natural més gran que 2, l'equació
Xn + Yn = Zn
no té cap solució on X, Y i Z són nombres enters, tots ells diferents de 0.
Tinc una demostració meravellosa d'aquest resultat, però el marge és massa estret i no m'hi cap.
![Page 35: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Quina relació tenen les corbes el·líptiques
amb el problema de Fermat?
En principi cap (a part del cas n=3), però
resulta que hi ha una relació molt profunda
que no es va anar descobrint fins fa molt poc.
Us explicaré la història amb fotografies.
![Page 36: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/36.jpg)
36
1955 :Taniyama (1927-1958)
![Page 37: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/37.jpg)
37
1986:Gerhard Frey (1945)
![Page 38: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/38.jpg)
38
1986: Jean Pierre Serre (1926)
![Page 39: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/39.jpg)
39
1987: Barry Mazur (1937)
![Page 40: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/40.jpg)
40
1989: Ken Ribet (1950)
![Page 41: De Pitàgores a Fermat: Un viatge a través de l'Aritmètica](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062315/5681557b550346895dc342b9/html5/thumbnails/41.jpg)
41
1994: Andrew Wiles (1953)