ddeettteeerrrmmiinnnaaa ccciiiÓÓÓ nnn i … · alcanzará en uno de los vértices del polígono...

DP. - AS - 5119 – 2007 Matemáticas ISSN: 1988 - 379X

www.aulamatematica.com 21

007

Diego desea repartir su tiempo de vacaciones entre dos lugares (A y B). El día de estancia en A le cuesta 100 € mientras que en B 200 €. Su presupuesto global para todas las vacaciones son 2000 € y no desea pasar más de 10 días en A.

(a) ¿Cuántos días puede pasar en cada sitio? Plantea algebraicamente el problema y repre-senta gráficamente el conjunto de soluciones?

(b) Si desea disfrutar del mayor número de días de vacaciones posible, ¿cuántos pasará en cada uno de los lugares? ¿Agotará el presupuesto?

BS2

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a) DDDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE IIINNNCCCÓÓÓGGGNNNIIITTTAAASSS

x ≡ "número de días que pasa de vacaciones en el lugar A". y ≡ "número de días que pasa de vacaciones en el lugar B". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

100x + 200y ≤ 2000

x ≤ 10

x ≥ 0 y ≥ 0

�

�

�

x + 2y ≤≤≤≤ 20

x ≤≤≤≤ 10

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + 2y ≤ 20 x ≤ 10

x y x y

0 10 10 0

20 0 10 10

C

A

B

x + 2y ≤ 20

x = 105

5

D

El número de días que puede pasar en cada sitio viene representado por los puntos (x, y) perte-necientes a la región factible, donde "x" es el número de días que pasa de vacaciones en el lugar A e "y" es el número de días que pasa en el lugar B, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números racionales positivos:

Ejemplos: (7, 5) ∈ Región factible � 7 días en A y 5 días en B. Otros puntos: (6, 2), (4, 3), (3, 5), (2, 7), etc.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b) FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOO

N(x, y): Número total de días de vacaciones

N(x, y) = x + y

LLLOOOCCCAAALLLIIIZZZAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE SSSOOOLLLUUUCCCIIIOOONNNEEESSS

Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función obje-tivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.

Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que constituye la región factible:

CCCÁÁÁLLLCCCUUULLLOOO DDDEEE VVVÉÉÉRRRTTTIIICCCEEESSS:::

Los vértices A, B y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 0) B(0, 10) D(10, 0)

C(10, y) Resolvemos el sistema:

Abel Martín

La programación lineal (Parte I) 22

==+

10

202

x

yx 10 + 2y = 20 � 2y = 10 � y = 5 � x = 10

C(10, 5) AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEE ÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS

Aplicamos el TEOREMA mencionado:

Vértices N(x, y) = x + y Valor A (0, 0) 0 + 0 0 B (0, 10) 0 + 10 10 C (10, 5) 10 + 5 15 D (10, 0) 10 + 0 10

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS El mayor número de días de vacaciones posible, con las restricciones impuestas en el

problema, se disfrutarán yendo 10 días al lugar A y 5 días al lugar B, totalizando 15 días de vacaciones.

C(x) = 100·x + 200·y = 100·10 + 200·5 = 2000 € Gastando en total 2000 €, por lo que SÍ agotará todo el presupuesto.

RESOLUCIÓN con la CALCULADORA GRÁFICA

Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyo número de vacaciones es nulo: x + y = 0

En forma explícita → y = – x De todas las infinitas rectas paralelas (m = - 1) a ésta de número de vacaciones nulo que pasan por

el conjunto de restricciones, la que corresponde a un número máximo será aquella que corte al eje OY por el punto más lejano al origen; para ello, y aplicando el teorema antes mencionado, represen-taríamos todas aquellas que pasan por los vértices pero, EN LA PRÁCTICA, con la calculadora gráfi-ca, no se representan todas las líneas de nivel, cosa que se haría larga y tediosa, sino que se repre-senta ÚNICAMENTE la que hace los el número de días de vacaciones nulo

y = – x para luego, mentalmente, trazar paralelas que pasen por los demás vértices y comprobar cuál es

la "línea de nivel" de mayor ordenada en el origen.

→

→

→

→ AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Confirmamos que el mayor número de días de vacaciones posible, con las restricciones impuestas en el problema, se disfrutarán yendo 10 días al lugar A y 5 días al lugar B.

008

Pablo dispone de 120 € para gastar en libros y discos. A la tienda donde acude, el precio de los libros es de 4€ y el de los discos es de 12€. Suponiendo que desea comprar como mucho el doble número de libros que de discos, se pide:

a) ¿Cuántos libros y cuántos discos puede comprarse? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

b) Contestar razonadamente si puede comprar 12 libros y 6 discos. En caso afirmativo, in-dicar si gasta todo su presupuesto.

c) ¿Puede adquirir 15 libros y 5 discos?; ¿Cuánto dinero le sobra? Razonar la respuesta. d) Si desea sacar la mayor cantidad de unidades posibles, ¿cuántos libros y discos adquiri-

rá?

BS2




x ≡ "número de libros comprados". y ≡ "número de discos comprados". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

4x + 12y ≤ 120

x ≤ 2y

x ≥ 0 y ≥ 0

→→→→ →→→→ →→→→

x + 3y ≤≤≤≤ 30

x ≤≤≤≤ 2y

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE

x + 3y = 30 x = 2y x y x y

0 10 0 0

30 0 20 10

C

A

B

x + 3y ≤ 30

x ≤ 2y

5

3

El número de libros y el número de discos que puede comprar viene representado por los

puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número libros e "y" es el número de discos, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b) Se pueden comprar 12 libros y 6 discos, ya que el punto (12, 6) pertenece a la región factible, es

decir, verifica todas las restricciones. FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOO

G(x, y): Gastos efectuados al comprar libros y discos. G(x, y) = 4x + 12y

G(x, y) = 4·12 + 12·6 = 48 + 72 = 120 Con dicha compra se gasta los 120 €, por lo que agota el presupuesto.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (c)

C

A

B

x + 3y ≤ 30

x ≤ 2y

5

3

(15, 5)

No se pueden comprar 15 libros y 5 dis-cos, ya que el punto (15, 5) no pertenece a la región factible, es decir, no verifica algu-na de las restricciones; Así pues, le sobra todo ya que no pudo comprar dicha cantidad.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (d) FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOO

N(x, y): Número de unidades compradas

N(x, y) = x + y


Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.

Abel Martín




Los vértices A y C se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:

A (0, 0) B(0, 10) C(x, y) Resolvemos el sistema:

==+

yx

yx

2

303 2y + 3y = 30 � 5y = 30 � y = 6 � x = 12

C(12, 6)

ANÁLISIS DE ÓPTIMOS


Vértices N(x, y) = x + y Valor A (0, 0) 0 + 0 0 B (0, 10) 0 + 10 10 C (12, 6) 12 + 6 18

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS Para obtener la mayor cantidad de unidades, comprará 12 libros y 6 discos.

009

Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1.5 millones de PTAS y el modelo B en 2 millones. La oferta está limi-tada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B.

Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella de-ben ser al menos de 6 millones.

(a) ¿Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el problema y representa su conjunto de soluciones.

(b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su importe?

BS2


x ≡ "Número de unidades del modelo A". y ≡ "Número de unidades del modelo B". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

x ≤≤≤≤ 20 y ≤≤≤≤ 10 x ≥≥≥≥ y

1.5x + 2y ≥≥≥≥ 6 x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE y ≤ x 1.5x + 2y ≥ 6

x y x y

0 0 0 3

10 10 4 0

20 20



D

x = 20

C

A

B

y ≤ 10

1.5x + 2y ≥ 6

8

2E

x ≥ y

El número de unidades de cada modelo que puede vender viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de unidades del modelo A e "y" es el número de unidades del modelo B, con la condición de que tanto "x"

como "y" sean números naturales:

Ejemplo: (9, 6) ∈ Región factible � 9 unidades del modelo A y 6 del B.

Otros puntos: (10, 6), (12, 7), (15, 5), (16, 2), etc.


I(x, y): Ingresos expresados en millones de PTAS I(x, y) = 1.5x + 2y





Los vértices A, B, C y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:

A (4, 0) B(20, 0) C (20, 10) D(10, 10) E(x, y) Resolvemos el sistema:

==+

yx

yx 625.1 1.5x + 2x = 6 � 3.5x = 6 � x = 1.7143 ; y = 1.7143

E(1.7143, 1.7143) AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEE ÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS


Vértices I(x, y) = 1.5·x + 2·y Valor A(4, 0) 1.5·4 + 2·0 6

B(20, 0) 1.5·20 + 2·0 30 C(20, 10) 1.5·20 + 2·10 50

D(10, 10) 1.5·10 + 2·10 35 E(1.714, 1.714) 1.5·1.7143 + 2·1.7143 5.9999975

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS Para obtener el máximo volumen de ingresos deberá de vender 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, momento en el que los ingresos ascenderán a 50 millones de PTAS.


Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyos ingresos son nulos:

1.5x + 2y = 0 En forma explícita � y = – 0.75x

Abel Martín


EN LA PRÁCTICA representamos esta recta y buscamos MENTALMENTE , de todas las infinitas rectas paralelas a ésta (m = – 0.75), la que corresponde a los máximos ingresos, es decir, la que cor-ta al eje OY por el punto más lejano al origen.

→

→

→

→ AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Confirmamos que para obtener el máximo volumen de ingresos deberá de vender 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, momento

012

Una empresa familiar ha comprado una máquina preparada para fabricar figuras decorati-vas utilizando nuevos materiales reciclados. Estas figuras son de 2 tipos, unas más baratas que venden a 200 €/unidad y otras con mayor número de complementos, que venden a 500 €/unidad. Por razones de stock no se pueden fabricar más de 12 en total y por razones de mercado, ha de fabricar, como mínimo, tantas caras como baratas. Suponiendo que es vendida toda la producción:

(a) ¿Cuántas figuras de cada clase se pueden producir? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

(b) ¿Cuántas de cada clase se producirán para obtener máximos ingresos?

(c) ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?

BS2


x ≡ "número de figuras baratas". y ≡ "número de figuras caras". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

x + y ≤ 12

x ≤ y

x ≥ 0 y ≥ 0

→→→→ →→→→ →→→→

x + y ≤≤≤≤ 12

x ≤≤≤≤ y

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + y = 12

x y

0 12

12 0

C

A

B

x + y ≤ 12

x ≤ y

3

3

El número de figuras de cada clase que se pueden fabricar viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de figuras baratas e "y" es el número de figuras caras, con la condición de que tanto

"x" como "y" sean números naturales.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartados (b) y (c) FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOO

I(x, y): Ingresos producidos por la venta de las diferentes figuras. I(x, y) = 200x + 500y






CCCÁÁÁLLLCCCUUULLLOOO DDDEEE VVVÉÉÉRRRTTTIIICCCEEESSS

Los vértices A y B se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 0) B(0, 12)

C(x, y) Resolvemos el sistema:

==+

yx

yx 12 x + x = 12 � 2x = 12



Vértices I(x, y) = 200·x + 500·y Valor A (0, 0) 200·0 + 500·0 0 B (0, 12) 200·0 + 500·12 6 000 C (6, 6) 200·6 + 500·6 4 200

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS Para obtener el máximo beneficio deberán de fabricarse 12 figuras caras y ninguna

barata, momento en el que los ingresos ascenderán a 6000 €.

013

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 au-tocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 € y el de uno pequeño, 60 €.

(a) ¿Cuántos autocares de cada tipo se pueden utilizar? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

(b) Calcular cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

BS2


x ≡ "número de autocares de 40 plazas". y ≡ "número de autocares de 50 plazas". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

x ≤ 8 y ≤ 10 x + y ≤ 9

40x + 50y ≥ 400 x ≥ 0 y ≥ 0

→→→→ →→→→ →→→→ →→→→ →→→→

x ≤≤≤≤ 8 y ≤≤≤≤ 10

x + y ≤≤≤≤ 9 4x + 5y ≥≥≥≥ 40

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0 LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE

x + y = 9 4x + 5y = 40 x y x y 0 9 0 8 9 0 10 0

Abel Martín


C

A

B

4x + 5y ≥ 40

y ≤ 10

3

3

x + y ≤ 9

x ≤ 8

El número de autocares de cada tipo que se pueden utilizar viene representado por los pun-tos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de autocares de 40 pla-zas e "y" es el número de autocares de 50 pla-zas, con la condición de que tanto "x" como "y"

sean números naturales.


G(x, y): Gastos generados por el alquiler de autocares G(x, y) = 60x + 80y





Los vértices A y B se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:

A (0, 8) B(0, 9) C(x, y) Resolvemos el sistema:

=+=+

9

4054

yx

yx 4(9 – y) + 5y = 40 → 36 – 4y + 5y = 40 → y = 4 → x = 5


Aplicamos el TEOREMA mencionado: Vértices G(x, y) = 60·x + 80·y Valor A (0, 8) 60·0 + 80·8 640

B (0, 9) 60·0 + 80·9 720 C (5, 4) 60·5 + 80·4 620

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS Para que los costes sean mínimos se deben de utilizar 5 autocares pequeños y 4

autocares grandes, momento en el que los gastos ascienden a 620 €.

016

Un agricultor dispone de 1200 € para invertir en un invernadero de 70 m2 , donde desea cultivar fresas de dos calidades, baja y alta. Cada m2 de cultivo de fresa de baja calidad le su-pone al agricultor un gasto de 30 € y 6 días de trabajo, mientras que por cada m2 del cultivo de fresa de alta calidad le supone 40 € y 3 días de trabajo.

Si el agricultor puede trabajar los cultivos durante 180 días como máximo al año,

(a) ¿Qué superficie puede dedicar a cada tipo de explotación? Plantear el problema y re-presentar gráficamente su conjunto de soluciones.

(b) ¿Qué superficie debe dedicar a cada tipo de explotación para obtener un beneficio máximo, sabiendo que los beneficios que obtiene por cada m2 de fresa de baja calidad son de 300 € y 150 € por m2 si la fresa es de alta calidad?

BS2


x ≡ "Cantidad de m2 de cultivo de fresa de baja calidad". y ≡ "Cantidad de m2 de cultivo de fresa de alta calidad".



CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

Días de trabajo Gasto

Baja calidad 6 30 Alta calidad 3 40

6x + 3y ≤≤≤≤ 180 30x + 40y ≤≤≤≤ 1200

x + y ≤≤≤≤ 70 x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0

→ → → →

3x + 4y ≤≤≤≤ 120 x + y ≤≤≤≤ 70 2x + y ≤≤≤≤ 60

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0


3x + 4y = 120 2x + y = 60 x + y = 70

x y x y x y 0 30 0 60 0 70

40 0 30 0 70 0

C

A

B

3x + 4y ≤ 120

10

10

2x + y ≤ 60

x + y ≤ 70

D

El número de m2 que puede dedicar a cada tipo de cultivo viene representado por los

puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de m2 de cultivo de fresa de baja calidad e "y" es el número de m2 de cultivo de fresa de alta calidad, con la

condición de que tanto "x" como "y" sean números racionales positivos.


B(x, y): Beneficios expresados en € B(x, y) = 300·x + 150·y





Los vértices A, B y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:

A (0, 0) B(0, 30) D(30, 0) C(x, y) Resolvemos el sistema:

=+=+

602

12043

yx

yx

−=−−=+

24048

12043

yx

yx – 5x = – 120 � x = 24 → y = 12



Vértices B(x, y) = 300·x + 150·y Valor

A (0, 0) 300·0 + 150·0 0

Abel Martín


B (0, 30) 300·0 + 150·30 4500

C (24, 12) 300·24 + 150·12 9000

D (30, 0) 300·30 + 150·0 9000

6x + 3y = 180

D

CB

24

30

A

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS Tiene solución múltiple. El máximo beneficio se obtendrá dedicando entre 24 y 30 metros

cuadrados de cultivo de fresa de baja calidad y su correspondiente valor de cultivo de alta calidad que verifique la igualdad 2x + y = 60 siendo "x" la cantidad de m2 de cultivo

de baja calidad e "y" la cantidad de m2 de cultivo de alta calidad.

De tal forma que, algunas de las posibles soluciones podrían ser:

018

Una fábrica de coches y camiones dispone de tres talleres dedicados respectivamente a la fabricación de motores, a la fabricación de carrocerías y al montaje. En el taller de motores se tarda 1 hora en fabricar el motor de un coche y 2 horas en fabricar el de un camión. En el ta-ller de carrocerías se tarda 6/5 de hora en fabricar una carrocería de coche y 8/5 de hora en fabricar una carrocería de camión. Finalmente, en el taller de montaje se invierte 5/4 de hora en montar un coche y 3/2 de hora en montar un camión. El beneficio obtenido es de 4000 € por cada coche y 6000 € por cada camión. Cada taller puede trabajar como máximo 200 horas al mes. Suponiendo que la fábrica puede vender toda la producción, ¿cuántos coches y camiones ha de producir por mes para obtener el máximo beneficio?

BS2

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL DDDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE IIINNNCCCÓÓÓGGGNNNIIITTTAAASSS x ≡ "número de coches que se producen por mes". y ≡ "número de camiones que se producen por mes".

Cuadro resumen

Taller de motores T. carrocería T. montaje

Coches 1h 6/5 h 5/4 h

Camiones 2h 8/5 h 3/2 h CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

x + 2y ≤ 200 T. motores

5

6 x + 5

8 y ≤ 200 T. carrocería

4

5 x + 2

3 y ≤ 200 T. montaje

x ≥ 0 y ≥ 0

→ → → →

x + 2y ≤≤≤≤ 200

6x + 8y ≤≤≤≤ 1000

5x + 6y ≤≤≤≤ 800

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + 2y = 200 6x + 8y = 1000 5x + 6y = 800

x y x y x y

0 100 0 125 0 133.3

200 0 166.7 0 160 0



C

A

B

20

20

x + 2y ≤ 200

6x + 8y ≤ 10005x + 6y ≤ 800

D

FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOO

B(x, y): Beneficio expresado en € B(x, y) = 4000·x + 6000·y





Los vértices A, B y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:

A (0, 0) B(0, 100) D(160, 0) C(x, y) Resolvemos el sistema:

=+=+

100086

2002

yx

yx

=+−=−−100086

1200126

yx

yx y = 50 ; x = 100



Vértices B(x, y) = 4000·x + 6000·y Valor A (0, 0) 4000·0 + 6000·0 0 B (0, 100) 4000·0 + 6000·100 600 000 C (100, 50) 4000·100 + 6000·50 700 000 D (160, 0) 4000·160 + 6000·0 640 000

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS Para obtener el máximo beneficio se han de producir por mes 100 coches y 50 camiones,

momento en el que el beneficio ascenderá a 700 000 €.

020

Un profesional tiene trabajo en dos ciudades A y B. Su domicilio dista de A 30 Km y 20 de B. se ha comprometido a trabajar al menos 5 días al mes en cada lugar. No quiere trabajar más de 22 días al mes y además en sus desplazamientos no desea hacer más de 1100 km al mes. En A cobra 120 € diarias y en B 100 €.

(a) Escribe las restricciones y dibuja la zona de posibles soluciones.

(b) ¿Entra dentro de las condiciones trabajar 17 días en A y 5 en B? (c) ¿Cuántos días deberá trabajar en cada sitio para obtener mayores ingresos?

BS2

PACF GS

Oviedo J2000

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a) A B30 Km 20 Km

x y DDDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE IIINNNCCCÓÓÓGGGNNNIIITTTAAASSS

Abel Martín


x ≡ "número de días que trabaja en A". y ≡ "número de días que trabaja en B". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

x ≥ 5 y ≥ 5

x + y ≤ 22 60x + 40y ≤ 1100

→ → → →

x ≥ 5 y ≥ 5

x + y ≤ 22 3x + 2y ≤ 55

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + y = 22 3x + 2y = 55

x y x y

0 3/4 0 27.5

1 0 18.33 0

A 2

2

x + y ≤ 22

3x + 2y ≤ 55

B

C

x ≥ 5

y ≥ 5

D

El número de días que puede trabajar en las ciudades A y B viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de días que trabaja en la ciudad A e "y" es el número de días que trabaja en la ciudad B, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números enteros.

Ejemplos: (6, 7) ∈ Región factible (6 días en la ciudad A y 7 días en la ciudad B.)

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b) Responder a la siguiente pregunta equivale a comprobar si el punto (17, 5) pertenece o no a

la región factible.

(17, 5) ∈ Región factible

No se pueden trabajar 17 días en A y 5 en B es decir, no verifica algun de las restricciones del enunciado.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (c) FFFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNN OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOO

I(x, y): Ingresos en euros por el trabajo realizado

I(x, y) = 120x + 100y LLLOOOCCCAAALLLIIIZZZAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE SSSOOOLLLUUUCCCIIIOOONNNEEESSS






El vértice A se observa a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (5, 5)

B(5, y) Resolvemos el sistema:

=+=

22

5

yx

x 5 + y = 22 ; y = 22 – 5 ; y = 17

B(5, 17) C(x, y) Resolvemos el sistema:

=+=+

5523

22

yx

yx

=+−=−−5523

4422

yx

yx x = 11 ; x + y = 22 � y = 22 - 11 � y = 11

C(11, 11) D(x, 5) Resolvemos el sistema:

=+=

5523

5

yx

y 3x + 2·5 = 55 ; 3x = 55 – 10 ; x = 15

D(15, 5) AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEE ÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS


Vértices I(x, y) = 120x + 100y Valor A (5, 5) 120·5 + 100·5 1100 B (5, 17) 120·5 + 100·17 2300 C (11, 11) 120·11 + 100·11 2420 D (15, 5) 120·15 + 100·5 2300

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Para obtener los máximos ingresos ha de trabajar 11 días en A y 11 días en B, momento en el que los ingresos ascienden a 2420 €.


Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyos ingresos son nulos:

120x + 100y = 0 →→→→ En forma explícita → y = – 1.2x

EN LA PRÁCTICA representamos esta recta y buscamos MENTALMENTE , de todas las infinitas rectas paralelas a ésta (m = – 1.2), la que corresponde a los máximos ingresos, es decir, la que corta al eje OY por el punto más lejano al origen.

Confirmamos los resultados obtenidos con lápiz y papel.

Abel Martín


023

Un agricultor estima que el cuidado de cada m2 plantado de lechugas requiere semanalmen-te 45 minutos, mientras que el de repollo exige 50. Dispone de una tierra de 40 m2 de exten-sión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de ambas verduras, queriendo plantar al menos 3 m2 más de repollo que de lechuga. El m2 de lechuga le reporta un beneficio de 500 PTAS mientras que el de repollo 650, planificando obtener en conjunto al menos 10 000 PTAS de beneficio.

a) ¿Qué extensión de terreno puede plantar con cada verdura? Plantea el problema y re-presentar gráficamente su conjunto de soluciones.

b) ¿Cuánto le interesa plantar de cada una si su objetivo es que el tiempo semanal dedicado a su cuidado sea mínimo?

BS2

PAU OVIEDO

S1995


x ≡ "Número de m2 de la plantación de lechugas".

y ≡ "Número de m2 de la plantación de repollos".


x + y ≤ 40

¡OJO!☞☞☞☞ y ≥ x + 3

500x + 650y ≥ 10 000

x ≥ 0 y ≥ 0

��

x + y ≤≤≤≤ 40

y ≥≥≥≥ x + 3

10x + 13y ≥≥≥≥ 200

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥0


y ≤ 40 – x y ≥ x + 3 y ≥ 13

10200 x−

x y x y x y 0 40 0 3 0 15.38 40 0 – 3 0 20 0

D

y ≤ 40 – x

C

B

50x + 65y ≥ 1000

5

5

A

y ≥ x + 3

El número de metros cuadrados de cada verdura que puede plantar viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de m2 de la plan-tación de lechugas e "y" es el número de m2 de la plantación de repollos, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números REALES positivos:

Ejemplo: (14.52, 21.93) ∈ Región factible � 14.52 m2 de la plantación de lechugas y 21.93 m2 de la plantación de repollos.

Otros puntos: (8.3, 21.93), (11.19, 17.09), (14.04, 20.97), etc.


T(x, y): Tiempo semanal expresado en minutos T(x, y) = 45·x + 50·y







Los vértices A, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores:

A (0, 15.38) D(0, 40) B(x, y) Resolvemos el sistema:

+==+

3

10006550

xy

yx 50x + 65(x + 3) = 1000

50x + 65x + 195 = 1000 � x = 7 ; y = 10 � B(7, 10)


+==+

3

40

xy

yx x + (x + 3) = 40 � 2x = 37 � x = 18.5; y = 21.5

C(18.5, 21.5) AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEE ÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS


Vértices T(x, y) = 45·x + 50·y Valor A(0, 15.38) 45·0 + 50·15.38 769 B(7, 10) 45·7 + 50·10 815

C(18.5, 21.5) 45·18.5 + 50·21.5 1907.5 D(0, 40) 45·0 + 50·40 2000


Para que su cuidado reporte la mínima cantidad de tiempo se debería de plantar todo con re-pollos, concretamente 15.38 m2, superficie que le lleva un tiempo de 769 minutos.

024

Cierta persona dispone de 10 millones de euros como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere desti-nar a esa opción tanta cantidad de dinero como a la B.

(a) ¿Qué cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantear el problema y re-presentar gráficamente su conjunto de soluciones.

(b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B, ¿qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?; ¿a cuánto as-cenderá?

BS2

PAU OVIEDO

J1996


x ≡ "Millones de € que debe de invertir en opción A".

y ≡ "Millones de € que debe de invertir en opción B". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

x + y ≤≤≤≤ 10

x ≥≥≥≥ 2

x ≤≤≤≤ 7

x ≥≥≥≥ y

y ≥≥≥≥ 0


y ≤ 10 – x x ≥ y

Abel Martín


x y x y

0 10 0 0

10 0 10 10

D

x ≤ 7

C

B

x + y ≤ 10

4

2

A

y ≥ xx ≥ 2

E

El número de millones a invertir en cada opción viene representado por los puntos (x, y) pertene-cientes a la región factible, donde "x" es el número de millones de € que debe de invertir en la op-ción A e "y" es el número de millones que debe de invertir en la opción B, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números REALES positivos:

Ejemplo: (5, 4.096774) ∈ Región factible � 5 000 000 de € en la opción A y 4 096 774 € en la opción B.

Otros puntos: (5, 3.193548), (4, 2.516129), (3, 1.387097), etc.


R(x, y): Rendimiento de la inversión en millones de €

R(x, y) = 100

9 x + 100

12 y





Los vértices A, B y E se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (2, 0) B(7, 0) E(2, 2)

C(7, y) Resolvemos el sistema:

==+

7

10

x

yx 7 + y = 10 � y = 3

D(x, y) Resolvemos el sistema:

==+

yx

yx 10 y + y = 10 � 2y = 10 � y = 5

C(7, 3) D(5, 5)

ANÁLISIS DE ÓPTIMOS


Vértices R(x, y) = 0.09 · x + 0.12 ·y Valor A(2, 0) 0.09 · 2 + 0.12 ·0 0.18

B(7, 0) 0.09 · 7 + 0.12 ·0 0.63 C(7, 3) 0.09 · 7 + 0.12 ·3 0.99

D(5, 5) 0.09 · 5 + 0.12 ·5 1.05 E(2, 2) 0.09 · 2 + 0.12 ·2 0.42

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS



Para optimizar el rendimiento global ha de invertir 5 millones de € en la opción A y 5 mi-llones de € en la opción B, momento en el que dicho rendimiento ascenderá a 1 050 000 €.

NOTA: La restricción x ≥≥≥≥ y presentaba cierta ambigüedad en el enunciado, por lo que, du-rante la celebración de las pruebas, encontrándome como vocal de centro en uno de los Tribuna-les, se consultó a los responsables de la Universidad, confirmándose que el enunciado debería de decir "Además, quiere destinar a esa opción al menos tanta cantidad de dinero como a la B", aunque también se tomaría como válida si el alumnado considera x = y, aún cuando se alejase un poco del espíritu de los objetivos iniciales perseguidos.

026

Una casa discográfica va a promocionar durante el próximo mes el último disco grabado por dos de los grupos más afamados bajo su sello. El precio de lanzamiento es 17.5 € y 18 €, res-pectivamente, siendo editadas 1500 copias del disco más caro. Para cubrir los gastos de la campaña debe vender en total 500 discos o más y por razones de imagen le conviene vender al menos tantas copias del disco más caro como del más barato.

(a) ¿Cuántas copias de cada disco puede vender? Plantea el problema y representa gráfica-mente su conjunto de soluciones.

(b) ¿Cuántas copias deberá vender de cada uno para maximizar sus ingresos ¿Cuál será su importe?

BS2

PAU OVIEDO

J1997


x ≡ "número de copias vendidas a 17.5 €". y ≡ "número de copias vendidas a 18 €". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

y ≤≤≤≤ 1500

x + y ≥≥≥≥ 500

x ≤≤≤≤ y

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥0


I(x, y): Ingresos expresados en €

I(x, y) = 17.5x + 18y LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE

y ≥ 500 – x x ≤ y x y x y 0 500 0 0 500 0 200 200

B

x ≤ y

x + y ≥ 500

y ≤ 1500 C

A

D

200

200

El número de copias que puede vender de cada disco viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de copias vendidas a 17.50 € e "y" es el número de copias vendidas a 18 €, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales.

Ejemplo: (200, 600) ∈ Región factible � 200 copias de 17.5 € y 600 copias de 18 €. Otros puntos: (211, 1020), (200, 650), (410, 990), (600, 1020), (611, 995), etc.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)

Abel Martín





Los vértices A, C y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (500, 0) C(1500, 1500) D (0, 1500)

B(x, y) Resolvemos el sistema

==+

yx

yx 500 2x = 500 → x = 250 → y = 250

B(250, 250) AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEE ÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS


Vértices Ingresos = 17.5·x + 18·y Valor A (500, 0) 17.5·500 + 18·0 8750 B (250, 250) 17.5·250 + 18·250 8875 C (1500, 1500) 17.5·1500 + 18·1500 53250 D (0, 1500) 17.5·0 + 18·1500 27000


El máximo beneficio se obtendrá cuando se vendan 1 500 copias del disco de 17.5 € y 1 500 copias de 18 €, momento en el que los ingresos ascenderán a 53250 €.

029

Los responsables de un videoclub han de realizar el pedido de películas de estreno y nove-dades a sus proveedores. El coste de cada película de estreno es de 7.6 € y el de cada novedad 3.7. Se desea un coste total que no supere los 945 €. Por otra parte, el proveedor les exige que los estrenos sean al menos la mitad que las novedades, y que las novedades más la mitad de los estrenos no sea inferior a las 100 unidades.

(a) ¿De cuántas unidades de cada tipo puede consistir el pedido? Plantear el problema y re-presentar gráficamente el conjunto de soluciones.

(b) Si se desea que el total de unidades pedidas sea mínimo, ¿de cuántas unidades de cada tipo ha de constar el pedido? ¿cuál es entonces el coste del pedido?

BS2

PAU OVIEDO

S1998

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a) DDDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE IIINNNCCCÓÓÓGGGNNNIIITTTAAASSS:::

x ≡ "Número de películas de estreno". y ≡ "Número de películas de novedades". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

7.6x + 3.7y ≤ 945 x ≥ y/2

y + x/2 ≥ 100 x ≥ 0 y ≥ 0

��

7.6x + 3.7y ≤≤≤≤ 945 2x – y ≥≥≥≥ 0

2y + x ≥≥≥≥ 200 x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE 7.6x + 3.7y ≤ 945 2x – y ≥ 0 2y + x ≥ 200

x y x y x y

0 255.4 0 0 0 100

124.3 0 5 10 200 0



C

A

B

7.6x + 3.7y ≤ 945

x + 2y ≥ 200

10 10

2x – y ≥ 0

El número de unidades de cada tipo de película que pueden constituir el pedido viene repre-sentado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de unidades de películas de estreno e "y" es el número de unidades de películas de novedades, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales:

Ejemplo: (50, 80) ∈ Región factible � 50 películas de estreno y 80 películas de novedades.

Otros puntos: (65, 82), (57, 97), (71, 94), (82, 67), etc.


N(x, y): Número total de unidades pedidas N(x, y) = x + y

LLLOOOCCCAAALLLIIIZZZAAACCCIIIÓÓÓNNN DDDEEE SSSOOOLLLUUUCCCIIIOOONNNEEESSS Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se

alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados. Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que

constituye la región factible: CCCÁÁÁLLLCCCUUULLLOOO DDDEEE VVVÉÉÉRRRTTTIIICCCEEESSS

A(x, y) Resolvemos el sistema:

=+=−

2002

02

)1(

)2(

yx

yx

=+=−

2002

024

yx

yx 5x = 200 � x = 40 � y = 80

A(40, 80) B(x, y) Resolvemos el sistema:

=+=+

− 2002

9457.36.7

)76(

)10(

yx

yx

−=−−=+

1520015276

94503776

yx

yx – 115y = – 5750

y = 50 � x = 100 B(100, 50)


=−=+

02

9457.36.7

)37(

)10(

yx

yx

=−=+

03774

94503776

yx

yx 150x = 9450

x = 63 � y = 126 C(63, 126)

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEE ÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS


Vértices N(x, y) = x + y Valor A(40, 80) 40 + 80 120 B(100, 50) 100 + 50 150 C(63, 126) 63 + 126 189

Abel Martín


Coste (x) = 7.60x + 3.70y

Coste (x) = 7.60· 40 + 3.70 · 80 = 600 AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Para que el número de unidades sea mínimo el pedido ha de constar de 40 películas de estreno y 80 películas de novedades; En dicho momento el coste del pedido ascenderá a 600 €.

030

Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica considera necesario realizar una campaña intensiva de publicidad, combinando 2 posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de 1 millón de PTAS por anuncio, y cuñas radiofónicas, con un coste estimado de 100 000 PTAS por cuña. No obstante, no pueden gastar más de 100 mi-llones de PTAS para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado cifra en 10 000 el número de copias que se venderán por anuncio de televisión, y en 2 000 copias por cuña radiofónica emitida.

(a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

(b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar para vender el mayor número de copias posible? ¿se llegan a gastar los 100 millones de PTAS?

BS2

PAU OVIEDO

J1999


x ≡ "número de anuncios en televisión". y ≡ "número de cuñas radiofónicas". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

1 000 000x + 100 000y ≤ 100 000 000 y ≥ 50 y ≤ 100 x ≥ 0

��

10x + y ≤≤≤≤ 1000 y ≥≥≥≥ 50 y ≤≤≤≤ 100 x ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE 10x + y ≤ 1000

x y

0 1000

100 0

B

10x + y ≤ 1000

y ≤ 100 C

A

D

1010

y ≥ 50

El número de anuncios y el número de cuñas viene representado por los puntos (x, y) perte-necientes a la región factible, donde "x" es el de anuncios en televisión e "y" es el número de cuñas radiofónicas, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales.

Ejemplo: (52, 65) ∈ Región factible � 52 anuncios de televisión y 65 cuñas radiofónicas.

Otros puntos: (37, 63), (15, 52), (5, 90), (55, 88), (88, 81), etc.


C(x, y): Número total de copias que se venderán

C(x, y) = 10 000x + 2000y







Los vértices A y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 50) D (0, 100)

B(x, 50) Resolvemos el sistema

==+

50

100010

y

yx 10x + 50 = 1000 → 10x = 950 → x = 95

B(95, 50) C(x, 100) Resolvemos el sistema

==+

100

100010

y

yx 10x + 100 = 1000 → 10x = 900 → x = 90



Vértices C(x, y) = 10 000·x + 2000·y Valor

A (0, 50) 10 000·0 + 2000·50 100 000

B (95, 50) 10 000·95 + 2000·50 1 050 000

C (90, 100) 10 000·90 + 2000·100 1 100 000

D (0, 100) 10 000·0 + 2000·100 200 000

Gasto = 90·1 000 000 + 100·100 000 = 100 000 000 PTAS AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS Para vender el mayor número de copias posible se han de emitir en la campaña 90 anuncios en televisión y

100 cuñas radiofónicas, momento en el que se esperan vender 1 100 000 copias, gastándose en ese instante los 100 millones de PTAS.


Confirmamos que para vender el mayor número de copias posible se han de emitir en la campa-ña 90 anuncios en televisión y 100 cuñas radiofónicas.

032

Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, "clásico" (C) y "funcional" (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcio-nal requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintu-ra.

(a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

(b) ¿Qué combinaciones de muebles puede fabricar? (c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo

con la relación Bº= 3C + 2F, ¿cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? ¿cuál es el beneficio máximo?

BS2

PAU OVIEDO

J2000


x ≡ "Número de muebles de estilo clásico".

y ≡ "Número de muebles de estilo funcional".

Abel Martín


Cuadro resumen

Construcción

(Unidades de tiempo)

Pintura

(Unidades de tiempo)

Mueble clásico 1u 3u

Mueble funcional 2u 1u


1x + 2y ≤ 10 Tiempo construcción

3x + 1y ≤ 15 Tiempo de pintura

x ≥ 0 y ≥ 0

� � � �

x + 2y ≤≤≤≤ 10 3x + y ≤≤≤≤ 15

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + 2y = 10 3x + y = 15

x y x y

0 5 0 15

10 0 5 0

A

1

1

x + 2y ≤ 10

3x + y ≤ 15

B

C

D

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b) El número de muebles de cada tipo que puede fabricar viene determinado por los puntos (x, y)

pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de muebles de estilo clásico e "y" es el número de muebles de estilo funcional, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números na-turales. Así pues, las combinaciones de muebles que se pueden fabricar son las siguientes:

A

1

1

x + 2y ≤ 10

3x + y ≤ 15

B

C

D

Mueble clásico

Mueble fun-cional

Mueble clásico

Mueble funcional

Mueble clásico

Mueble funcional

0 0 1 3 3 2

0 1 1 4 3 3

0 2 2 0 4 0

0 3 2 1 4 1

0 4 2 2 4 2

0 5 2 3 4 3

1 0 2 4 5 0

1 1 3 0

1 2 3 1





B(x, y): Beneficio expresado en unidades de beneficio B(x, y) = 3·x + 2·y





Los vértices A, B y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 0) B(0, 5) D(5, 0)


=+=+−

153)1(

102)3(

yx

yx

=+−=−−153

3063

yx

yx – 5y = – 15 � y = 3

3x + 3 = 15 � 3x = 12 � x = 4 C(4, 3)

AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS DDDEEE ÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS


Vértices B(x, y) = 3·x + 2·y Valor A (0, 0) 3·0 + 2·0 0

B (0, 5) 3·0 + 2·5 10 C (4, 3) 3·4 + 2·3 18

D (5, 0) 3·5 + 2·0 15


Para obtener el máximo beneficio empresarial han de fabricarse 4 muebles de estilo clási-co y 3 muebles de estilo funcional, momento en el que éste ascenderá a 18 unidades de be-neficio.

ANÁLISIS GRÁFICO DE ÓPTIMOS CON LA AYUDA DE UNA CALCULADORA GRÁFICA

Observemos la recta que representa a la función objetivo cuyos beneficios son nulos: 3 x + 2 y = 0

En forma explícita � y = 2

3− x � m = – 3/2

De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de beneficios nulos que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a unos beneficios máximos será aquella que corte al eje OY por el punto más alejado del origen. Estas líneas de nivel serán rectas que tienen por ecuación la forma y – y1 = m ( x – x1 )

Ésta es la ecuación de la recta de pendiente "m" que pasa por el punto (x1, y1). En forma explíci-ta, para representarla en la calculadora, vendrá determinada por:

y = m ( x – x1 ) + y1

Abel Martín


(4, 3)


Confirmamos que para obtener el máximo beneficio empresarial han de fabricarse 4 muebles de estilo clásico y 3 muebles de estilo funcional.

033

Una copistería de reciente apertura ofrece al público dos tipos de fotocopias: en blanco y negro y en color. Cada fotocopia le supone un cierto coste: 1 PTA por copia para las de blanco y negro, y 3 PTAS por copia para las de color.

Asimismo, cada copia en blanco y negro produce un beneficio de 2 PTAS y cada una en co-lor un beneficio de 10. El número de copias en blanco y negro por día es como mínimo igual al número de copias en color, y la copistería tiene que servir a una empresa diariamente al me-nos 100 en color. Además, por razones técnicas no puede incurrir en unos costes mayores de 6 000 PTAS por día.

(a) ¿Cuántas copias de cada clase se pueden hacer al día? Plantea el problema y represen-ta gráficamente el conjunto de soluciones.

(b) ¿Cuántas unidades de cada tipo han de hacer para maximizar los beneficios diarios? ¿Cuál es el máximo beneficio diario?

BS2

SEL

OVIEDO J2000


x ≡ "Número de copias en blanco y negro que se hacen al día. y ≡ "Número de copias en color que se hacen diariamente. CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

x ≥≥≥≥ y

y ≥≥≥≥ 100

1x + 3y ≤≤≤≤ 6000

x ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + 3y = 6000 x = y

x y x y

0 2000 0 0

6000 0 3000 3000

A

1500

500

x + 3y ≤ 6000

y ≤ xB

Cy ≥≥≥≥ 100



El número de copias realizadas diariamente viene determinado por los puntos (x, y) pertenecien-tes a la región factible, donde "x" es el número de copias en blanco y negro e "y" es el número de co-pias en color, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales.


B(x, y): Beneficio diario expresado en PTAS B(x, y) = 2·x + 10·y





A(x, 100) Como x = y � x = 100

A(100, 100) B(x, y) Resolvemos el sistema: x = y x + 3y = 6000 � x + 3x = 6000 � 4x = 6000 � x = 1500

B(1500, 1500) C(x, 100) Resolvemos el sistema: x + 3y = 6000 � x + 300 = 6000 � x = 5700



Vértices B(x, y) = 2·x + 10·y Valor A (100, 100) 2·100 + 10·100 1200 B (1500, 1500) 2·1500 + 10·1500 18 000 C (5700, 100) 2·5700 + 10·100 12 400


Para obtener el máximo beneficio han de hacerse 1500 copias en blanco y negro y 1500 en color, momento en el que éste ascenderá a 18 000 PTAS.


Observemos la recta que representa a la función objetivo cuyos beneficios son nulos� 2x+10y=0


2− x � m = – 0.2

De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de beneficios nulos que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a unos beneficios máximos será aquella que corte al eje OY por el punto más alejado del origen. Estas líneas de nivel serán rectas que tienen por ecuación la forma y – y1 = m ( x – x1 )

Ésta es la ecuación de la recta de pendiente "m" que pasa por el punto (x1, y1). En forma explíci-ta, para representarlo en la calculadora, vendrá determinada por:

y = m ( x – x1 ) + y1

Abel Martín



Confirmamos que para obtener el máximo beneficio han de hacerse 1500 copias en blanco y ne-gro y 1500 en color, momento en el que éste ascenderá a 18 000 PTAS

034

Una fábrica de confección de ropa especializada en faldas y pantalones recibe una partida de tela de 5 000 metros. Para la confección de los pantalones se precisan dos metros de tela y uno, para las faldas. Por razones productivas, la fábrica ha de confeccionar al menos el doble de pantalones que de faldas.

(a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

(b) ¿Cuántas faldas y pantalones puede ofertar? (c) Si la fábrica vende cada pantalón a un precio de 50 € y cada falda a 30 € ¿cuántas fal-

das y pantalones debe vender para maximizar sus ingresos? ¿cuál es el ingreso máximo que puede obtener?

BH2

PAU OVIEDO

S2000


x ≡ "Número de faldas". y ≡ "Número de pantalones". CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

x + 2y ≤≤≤≤ 5000 y ≥≥≥≥ 2x

x ≥≥≥≥ 0 y ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + 2y = 5000 y = 2x

x y x y

0 2500 0 0

5000 0 5000 10000

C

A

B

1000

1000 x + 2y ≤ 5000

y ≥ 2x

El número de prendas de ropa de cada tipo viene determinado por los puntos (x, y) pertenecien-tes a la región factible, donde "x" es el número de faldas e "y" es el número de pantalones, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales.





I(x, y): Ingresos expresados en €

I(x, y) = 30·x + 50·y





Los vértices A y B se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 0) B(0, 2500)


==+

xy

yx

2

50002 x + 2·2x = 5000 � 5x = 5000 � x = 1000 ; y = 2000



Vértices I(x, y) = 30·x + 50·y Valor A (0, 0) 30·0 + 50·0 0

B (0, 2500) 30·0 + 50·2500 12 500 0 C (1000, 2000) 30·1000 + 50·2000 130 000


Para maximizar sus ingresos, con las restricciones impuestas, la fábrica ha de vender 1000 faldas y 2000 pantalones, momento en el que dichos ingresos ascenderán a 130000 €.


Observemos la recta que representa a la función objetivo cuyos beneficios son nulos: 30x + 50y = 0


30− x � m = – 0.6

De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de beneficios nulos que pasan por el conjunto de restricciones, la que corresponde a unos ingresos máximos será aquella que corte al eje OY por el punto más alejado del origen. Estas líneas de nivel serán rectas que tienen por ecuación la forma � y – y1 = m ( x – x1 )

Esta es la ecuación de la recta de pendiente "m" que pasa por el punto (x1, y1). En forma explíci-ta, para representarlo en la calculadora, vendrá determinada por y = m ( x – x1 ) + y1

Hagamos un ZOOM para observar mejor la zona superior

Abel Martín


ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS Confirmamos que para maximizar sus ingresos, con las restricciones impuestas, la fábrica de confec-ción ha de vender 1000 faldas y 2000 pantalones.

035

Una empresa fabricante de aviones comerciales producirá este año 2 tipos de modelos. El modelo D-12, cuya venta le proporcionaría unos ingresos de 100 millones de € por unidad, y el C-15, que le proporcionaría 120 millones por unidad. Dicha compañía puede hacer frente como mucho a una producción total de 100 unidades pero sabe que del modelo D-12 habrá una de-manda de al menos 20 unidades y debe ser cubierta, y que no puede producir más unidades del C-15 que del D-12.

(a) ¿Qué cantidad de cada modelo se puede fabricar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

(b) ¿Qué combinación de unidades de cada modelo debe fabricar para obtener los mayores ingresos posibles caso de vender toda la producción? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos?

BS2

SEL OVIEDO

S2000


x ≡ "Número de aviones del modelo D – 12" y ≡ "Número de aviones del modelo C – 15" CCCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOO DDDEEE RRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS

x + y ≤≤≤≤ 100 x ≥≥≥≥ 20 x ≥≥≥≥ y y ≥≥≥≥ 0

LLLAAA RRREEEGGGIIIÓÓÓNNN FFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + y = 100 y = x

x y x y

0 100 0 0

100 0 100 100

C

A

B

10

x + y ≤ 100 x ≥ y

10

D

x ≥ 20

El número de modelos de cada tipo viene determinado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de aviones del modelo D – 12 e "y" es el número de aviones del modelo C – 15, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales.


I(x, y): Ingresos expresados en millones de €

I(x, y) = 100x + 120y







Los vértices A y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (20, 0) D(100, 0)

B(20, y) Resolvemos el sistema:

==

20x

yx x = 20 ; y = 20

B(20, 20) C(x, y) Resolvemos el sistema:

=+=

100yx

yx x + x = 100 � 2x = 100 � x = 50 ; y = 50



Vértices I(x, y) = 100·x + 120·y Valor A (20, 0) 100·20 + 120·0 2 000

B (20, 20) 100·20 + 120·20 4 400 C (50, 50) 100·50 + 120·50 11 000

D (100, 0) 100·100 + 120·0 10 000


Para maximizar sus ingresos, con las restricciones impuestas, la empresa ha de fabricar 50 modelos del avión D–12 y 50 unidades del modelo C–15, momento en el que dichos ingresos ascenderán a 11 mil millones de €.


Observemos la recta que representa a la función objetivo cuyos ingresos son nulos: 100x + 120y = 0


100− x � m = – 0.833

De todas las infinitas rectas paralelas a ésta de ingresos nulos que pasan por el conjunto de res-tricciones, la que corresponde a unos ingresos máximos será aquella que corte al eje OY por el punto más alejado del origen. Estas líneas de nivel serán rectas que tienen por ecuación la forma:

y – y1 = m ( x – x1 ) Ésta es la ecuación de la recta de pendiente "m" que pasa por el punto (x1, y1). En forma explíci-

ta, para representarlo en la calculadora, vendrá determinada por: y = m ( x – x1 ) + y1

ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Confirmamos que para maximizar sus ingresos, con las restricciones impues-tas, la empresa ha de fabricar 50 mo-delos del avión D–12 y 50 unidades del

modelo C–15.

ddeettteeerrrmmiinnnaaa ccciiiÓÓÓ nnn i … · alcanzará en uno de los vértices del polígono...

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