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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO CONSIDERANDO FATIGA DE BAJOS CICLOS.
David Porras Navarro González1, Alberto López López
1 , Erik Rosado Tamariz
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RESUMEN
El objetivo es estudiar el comportamiento estructural en estructuras de concreto reforzado ante fatiga de bajos ciclos
inducidos por efectos sísmicos. Como alcance de este trabajo se estudia una estructura de concreto reforzado con el
fin de encontrar su curva de desempeño mediante un análisis pushover y así conocer el límite de deformación
elástico y la fuerza cortante para incursionar en un comportamiento no lineal. A partir de la curva de desempeño se
construyen las curvas Deformación-Vida necesarias para el estudio de la fatiga. Se presenta un ejemplo de aplicación
considerando diferentes condiciones de carga y empleando el módulo Design Life nCode para fatiga del código
ANSYS. Las conclusiones recapitulan la forma de obtener la curva E-N propuesta para el caso de estructuras de
concreto reforzado. Así mismo se discuten los resultados del ejemplo de aplicación presentado.
ABSTRACT
The objective is to study the structural behavior of reinforced concrete structures with low cycles fatigue induced by
seismic effects. As scope of this work, a reinforced concrete frame is studied in order to find their performance curve
through a pushover analysis, and thus to establish the limit of elastic deformation and shear to move into nonlinear
behavior. Strain-Life curves are constructed from the performance curve and are necessary for the study of fatigue.
The conclusions summarize how to obtain the curve given S-N for the case of reinforced concrete structures. Also
the results presented in the application example are discussed.
INTRODUCCIÓN
Bajo los efectos de sismos fuertes las estructuras pueden sufrir daño por fatiga a pesar de que el número de ciclos de
cargas sea bajo, sin embargo, las deformaciones inducidas pueden ser importantes. La evaluación del daño puede
obtenerse mediante el criterio de Deformación-Vida en estructuras sometidas a repeticiones de carga menores a los
1,000 ciclos.
Fatiga de bajos ciclos
La fatiga de bajos ciclos es controlada por el nivel de deformación más que por el nivel de esfuerzos, la corta vida de
las estructuras o componentes tiene como influencia el efecto de la deformación plástica que frecuentemente
acompaña a la fatiga de bajos ciclos. Muchas fallas por fatiga ocurren cuando el número de ciclos de carga es
relativamente bajo y el valor del esfuerzo de trabajo es importante. La curva de comportamiento esfuerzo-
deformación de una prueba monotónica puede ser muy diferente de la obtenida de una prueba bajo carga cíclica. El
comportamiento histerético (curvas de Bauschinger) indica que el esfuerzo de fluencia en tension o compresión
decrece despues de aplicar una carga de signo opuesto a la que causó una deformación inelástica (Fig. 1), es decir,
que un solo ciclo en el que se alcanzan deformaciones inelásticas se modifica el comportamiento de la curva
esfuerzo-deformación. La deformación total esta constituida por dos componentes (Fig. 2), una deformación elástica
y una deformación plástica lo cual se puede expresar como:
(1)
donde:
rango de deformación total
rango de deformación elástica
rango de deformación plástica
1 Investigador, Instituto de Investigaciones Eléctricas, Reforma 113, Col. Palmira, 62490 Cuernavaca, Morelos Teléfono:
(777)3623811; [email protected], [email protected], [email protected]
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Figura 1 Efecto Bauschinger ante carga cíclica.
Figura 2 Diagrama de Esfuerzo Deformación ante carga cíclica (Stress-Strain).
La deformación elástica puede definirse como
(2)
donde:
rango de esfuerzo
módulo de elasticidad
La deformación plastica puede definirse como
(3)
La ecuación de para el cálculo de fatiga por el criterio de Deformación-Vida (Strain-Life) también conocida en su
parte plástica como ecuación de Coffin-Manson (Chai y Romstad ,1996), se basa en la amplitud de la deformación
plástica y se expresa de la siguiente manera:
(4)
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donde:
es el coeficiente de ductilidad de fatiga.
es el exponente de ductilidad de fatiga.
número de ciclos a la falla
Combinando la ecuación de Coffin-Manson con la ecuación de Deformación unitaria-Vida, se obtiene la ecuación
global de fatiga basada en la teoría de Deformación-Vida; la cual incluye las contribuciones elásticas y plásticas del
material:
(5)
donde:
es el coeficiente de resistencia a la fatiga
es el exponente de resistencia a la fatiga número de ciclos a la falla
Para la evaluación del daño es convieniente utilizar los desplazamientos en la respuesta estructural en lugar de
deformaciones por lo que la ecuación 4 puede escribirse en términos de desplazamientos (Chai y Romstad ,1996).
(6)
donde:
desplazamiento de respuesta pico bajo una carga cíclica. desplazamiento en la primera fluencia
desplazamiento último bajo carga monótonica El desarrollo de un análisis de tipo push over nos permite encontrar los desplazamientos y , por lo tanto ,
el cual es necesario para la evaluación de la curva de Deformación-Vida.
El área comprendida en un ciclo histerético representa la energía disipada durante un ciclo, usualmente en forma de
calor, esta energía representa el trabajo plástico del material en cada ciclo, podemos observar en la Figura 3 y 4 que
existe un apreciable cambio progresivo en el comportamiento esfuerzo deformación durante el proceso cíclico
inelástico, existen dos mecánicos descritos en términos de la dislocación y movimiento de la microestructura del
material, uno de los mecanismos permite un incremento de la resistencia a la deformación originando ciclos de
endurecimiento (Fig. 3), el otro mecanismo indica un decremento en la resistencia de la deformación por lo que se origina un ciclo de reblandecimiento (Fig. 4). El comportamiento cíclico de la curva esfuerzo-deformación esta dada
por dos parámetros: que es el coeficiente de resistencia cíclica y que es el exponente de endurecimiento por
deformación cíclico.
ACUMULACIÓN DE DAÑO
El daño de un componente está determinado por el número de ciclos que es capaz de soportar bajo la acción de carga
determinada entre el número de ciclos que el material puede soportar antes de llegar a la falla .
(7)
Para determinar el daño total acumulado se propone la regla lineal de acumulación de daño o regla de Palmgren-
Miner (Miner,1945), esta regla se define como la suma lineal de los daños individuales para cada ciclo de carga.
(8)
La falla en el componente ocurre cuando es igual o mayor que la unidad.
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Figura 3 Ciclo histeretico y diagrama de endurecimiento por carga cíclica.
Figura 4 Ciclo histeretico y diagrama de reblandecimiento por carga cíclica.
ANALISIS PUSH OVER
Para conocer la curva Deformación-Vida es necesario realizar un análisis no lineal denominado push-over con el fin
de conocer la curva de capacidad del componente y con ello obtener el límite de deformación para el cual la
estructura deja de comportaste linealmente y comienza a desarrollar deformaciones plásticas.
Para el desarrollo de este análisis se utilizó el programa Drain-2DX, la estructura a analizar está formada por 6
crujías y se puede observar en la Figura 5.
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Figura 5. Estructura del marco representativo
Es necesario definir la capacidad de cada columna, para lo cual se utilizan los diagramas de interacción (curvas de
fluencia) dónde se toma en cuenta la cuantía de acero y su posición, así se calcularon las siete superficies de
fluencia, un ejemplo de ellas se presenta a continuación.
Figura 6. Curva de Fluencia columnas C-0-A (Superficie sf-1)
Para determinar las propiedades mecánicas de las columnas y trabes se consideraron las secciones de cada elemento;
Los coeficientes de rigidez a flexión K11x K12x en la matriz de rigideces de cada elemento, fueron calculados
considerando la contribución a cortante con el factor y.
(9)
En el caso de las columnas se crearon 9 secciones y para el caso de las trabes fueron 24 tipos de propiedades.
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Para incluir el efecto de las zonas rígidas en las propiedades mecánicas en las secciones de las trabes, se consideraron
las zonas de unión entre trabes y columnas como nodos rígidos mediante los cálculos de los coeficientes de rigidez a
flexión y .
(10)
En las trabes de la estructura se definieron 10 diferentes tipos de superficie de fluencia, en las cuales únicamente se
deben incluir las resistencias nominales a flexión debidas a las capas de acero superior e inferior.
Figura 7. Superficies de fluencia en trabes
Utilizando la curva de capacidad de la estructura, ver Figura 8, que es resultado del análisis tipo push over, se
determina el valor de , igual a 0.015 m; así como el valor de de 0.09 m, por lo tanto el valor de resulta:
(11)
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Figura 8. Curva de Capacidad de la Estructura
PROPIEDADES DE FATIGA EN EL CONCRETO
Las curvas características de fatiga de un material regido por el criterio de falla de Deformación-Vida se pueden
desarrollar mediante la determinación de las cuatro constantes
y para el comportamiento cíclico se
necesita de los valores de y .
De acuerdo a lo reportado por (Chai y Romstad ,1996), se propone un rango de variación del exponente de
resistencia a la fatiga entre -0.05 y -0.15 y para el exponente de ductilidad a la fatiga un rango de -0.5 a -0.8. De
acuerdo a la referencia anteriormente mencionada, en la evaluación desarrollada en el presente trabajo se propone
valores de =-0.064 y mientras que los valores propuestos de es de 2.3e10 Pa, 4.6e7 Pa para ,
=1e5 y =0.1306.
Figura 9. Curva E-N
En la figura 9 la línea en color negro representa la curva deformación vida, que está formada por dos líneas rectas, la
línea azul que representa la deformación no lineal y la línea roja que representa la deformación lineal.
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METODOLOGÍA DE ANÁLISIS PARA LA ESTIMACIÓN DE FATIGA
La metodología para determinar la fatiga de bajos ciclos en una estructura de concreto reforzado aplicando
herramientas numérico-computacionales basadas en el método de elemento finito, comienza con la creación de los
modelos geométrico y numérico, así como la definición de las cargas que se aplicarán en el análisis estructural
inicial que servirá de base para tomar en cuenta los esfuerzos en cada elemento de la estructura para el análisis de
fatiga. El siguiente paso es definir el comportamiento del material mediante la curva Deformación-Vida y para
proceder con el análisis de la fatiga debe considerarse el tipo de cargas cíclicas a las que estará sometida la estructura; dichas cargas pueden ser de amplitud constante o de amplitud variable en cada ciclo de carga, finalmente
se determina el daño y la resistencia a la fatiga de la estructura analizada. A continuación se presenta un ejemplo de
aplicación de la metodología propuesta para un estructura especial.
EJEMPLO DE APLICACIÓN:
Se requiere analizar la fatiga de bajos ciclos de una estructura de concreto que sirve de soporte para una maquinaria
rotatoria y evaluar el nivel de daño que puede alcanzar ante un evento sísmico extraordinario. El problema se
resuelve con el software comercial ANSYS DESIGN LIFE y su módulo especializado de fatiga nCode. Se considera
un análisis con base en el criterio de Deformación-Vida utilizando la curva E-N descrita anteriormente Figura 9.
Aunque se propone un espectro sísmico de alta intensidad y dado que la estructura es muy rígida, se desea evaluar a
partir de que niveles de desplazamiento entraría en el intervalo de comportamiento inelástico para generar un daño en
la estructura.
El modelo numérico puede verse en la Figura 10 donde se muestra la estructura de concreto reforzado con un modelo
acoplado al equipo rotatorio, en este modelo se emplearon elementos finitos 3D de 20 nodos de interpolación cuadrática para la estructura de concreto y elementos tipo viga para los componentes principales del equipo rotatorio.
Figura 10. Modelo numérico del acoplamiento de la estructura de concreto con el equipo rotatorio.
Los condiciones de frontera o restricciones de movimiento en el modelo son de traslación en las direcciones (x, y, z)
en la base de las columnas.
Evaluación de daño por fatiga de la estructura por un evento sísmico
Con la finalidad de evaluar el daño por la acción sísmica, se crea un acelerograma sintético, en caso de no contar con
éste, como se muestra en las siguientes figuras.
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Figura 11. Espectro de Sitio
Figura 12. Acelerograma Sintético
El acelerograma se presenta en la Figura 12 donde se observa una duración de 25 segundos cuya parte más intensa
dura alrededor de 15 segundos.
Para el análisis de fatiga de la estructura tridimensional de la Figura 10 se tiene que tomar en cuenta adicionalmente
a las cargas sísmicas otro tipo de cargas permanentes (Tabla 1) que están presentes en la operación del equipo como
son:
Tabla 1 Cargas para caso excepcional de carga sísmica
Cargas Permanentes Cargas
Excepcionales
Fue
rzas
gra
vitacio
nale
s
de p
eso m
uert
o
Fu
erz
as
gra
vitacio
nale
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Fue
rzas
Sís
mic
as
Caso de Carga Excepcional Sísmico
X X X
X
X X
Fuerzas de Sismo. Se tomó en cuenta una combinación de fuerzas sísmicas igual a 100 % en la dirección longitudinal
de la estructura de concreto (eje x), 30% en la dirección transversal (eje z), y 100% en la dirección vertical (eje y).
Las descripción de las otras fuerzas puede verse en (Lopez et al., 2014).
Para evaluar el daño total por fatiga en la estructura de concreto, es necesario considerar un efecto de combinación
de cargas permanentes sumadas a las cargas sísmicas Figura 13; las cargas permanentes serán multiplicadas por una
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carga cíclica con amplitud constante igual a 1; las cargas sismicas son de tipo cíclico con amplitud variable inducidas
inicialmente por un analisis estático con una aceleración de 1 m/s2 es decir estas cargas sísmicas iniciales efecto de la
aceleracíon de 1m/s2 son multiplicadas por una señal de amplitud variable que representa el acelerograma sintético
de la Figura 11.
Figura 13. Amplitud de carga cíclica variable y Amplitud de carga cíclica constante
En las Figuras 14 y 15, se muestran la resistencia a la fatiga y el daño en la estructura de concreto, respectivamente,
para la condición de carga sísmica. Se puede observar que el daño en este caso es mínimo, el elemento con el mayor
valor de daño es 0.0096, podemos entonces argumentar que la estructura no presenta daño por fatiga, lo anterior
coincide con el modelo simple para predecir fatiga de bajo número de ciclos propuesto por (Terán y Jirsa,
2003) basado en el índice de daño formulado por (Park y Ang, 1985).
(12)
donde:
Energia plástica normalizada que se basa en la energía plástica disipada por el sistema durante una excitación
sísmica denotada como
Parametro estructural que caracteriza la estabilidad del ciclo histerético, autores como (Powell y Allahabadi, 1988)
proponen valores dentro de una rango de 1.6 a 1.8, un valor de b igual a 1.5 es propuesto como un valor razonablemente conservador para el diseño sísmico de estructuras dúctiles (Terán y Jirsa, 2003)
Es la ductilidad cíclica plástica última definida como
(13)
Es la ductilidad plástica última en otras palabras es la capacidad Q de diseño En esta estructura existe un amplio detallado de acero en los armados en las secciones por lo que se toma en cuenta
un =3, por lo que la ecuación 13 resulta en
Un índice menor a 0.4 implica un daño reparable, si se encuentra entre 0.4 a 1.0 ocurre un daño no reparable y para un valor mayor que 1.0 ocurre la falla del elemento.
Para la obtención del parámetro se necesita calcular en primer lugar la demanda de ductilidad que está
definida por el cociente del coeficiente sísmico de demanda y el coeficiente sísmico del sitio.
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Para obtener el coeficiente sísmico de demanda, primeramente se obtiene del espectro de diseño Figura 11 el
coeficiente sísmico para el periodo dominante de nuestro sistema que es de 0.16 seg (6 Hz) este valor resulta en un
coeficiente sísmico de 0.375, tomando un cuenta una sobreresistencia igual a 2 el coeficiente sísmico de demanda
es igual a 0.75; el coeficiente sísmico de capacidad se obtiene multiplicando el coeficiente
de sitio que es de 0.25 por una sobreresistencia de 2 dando como resultado un coeficiente sísmico de capacidad de
0.5 por lo que
.
Finalmente el valor propuesto de =3 se obtuvo con la Figura 2 del articulo (Terán y Jirsa, 2004) con el valor
que de manera conservadora se aproximo a y utilizando el espectro LA 10en50 de energía plástica
normalizada con 5% de amortiguamiento crítico que corresponde a una zona de baja sismicidad
Por lo tanto el índice de daño resulta en
Figura 14. Distribución global de la resistencia a la fatiga [número de ciclos] en la estructura de concreto para el caso de carga sísmica.
Figura 15. Distribución de daño por fatiga en la estructura de concreto en sus zonas críticas para el caso de carga sísmica.
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Con el fin de conocer cuál sería el valor del coeficiente sísmico que causaría daño por fatiga en la estructura de
concreto se realiza un análisis paso a paso utilizando el acelerograma sintético de la Figura 12 y el modelo descrito
en el análisis push-over, en incisos anteriores; alguno de los resultados obtenidos son las distorsiones de entrepiso a
través del tiempo, como se muestra en la Figura 16, la cual permite conocer si la estructura ingresara en el rango no
lineal durante la excitación sísmica introducida como excitación dado a que no rebasa la distorsión de 0.010 que es
un parámetro muy comúnmente usado para estructuras de marcos de concreto. Más allá de este límite es muy
probable que la estructura desarrolle deformaciones plásticas y por tanto un daño importante.
Figura 16. Distorsiones de Entrepiso
Otra forma de verificación de que el comportamiento de la estructura se mantiene en el rango lineal, es monitorear la
respuesta, a través del tiempo, de la rotación y del momento flexionante desarrollado en un nodo de azotea como se
muestra en las siguientes figuras.
Figura 17. Respuesta Rotación vs. Tiempo
Figura 18. Respuesta Momento vs. Tiempo
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Un diagrama histerético como el que se presenta a continuación nos permite evaluar la respuesta local de nodo de
azotea y verificar que este se mantiene lineal a través del tiempo.
Figura 19. Diagrama de Histéresis Momento vs. Rotación
Podemos observar en la Figura 8 que para una deformación de 1.5e-2 m (1.5 cm) el comportamiento deja de ser
lineal, en este punto se desarrolla un cortante basal de 10.8 e7 (N) por lo que podemos calcular cual sería el
coeficiente sísmico necesario aplicar para desarrollar comportamiento no lineal.
Si comparamos el coeficiente sísmico de 2.16 contra el coeficiente máximo sísmico máximo de 1.0 que se introduce con el espectro de diseño Figura 11, podemos observar que se necesitaría un sismo 2.16 veces mayor para lograr
desarrollar comportamiento no lineal.
A continuación exponemos el pseudocoeficiente sísmico desarrollado a través del tiempo con el acelerograma
sintético y podemos observar que en ningún momento se alcanza el valor de 0.70 g ni mucho menos el de 2.16 veces
la aceleración de la gravedad (g) por lo que el análisis se mantiene elástico.
Figura 20. Pseudocoeficiente Sísmico
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Si consideramos una carga sísmica factorizada por un valor de 2.16 y recalculamos el daño por fatiga podemos
observar, como se comentó anteriormente en el análisis paso a paso que aparece un daño por fatiga en la estructura
reportado en las Figuras 21 y 22. En este caso aparece un daño de 0.1365 y representa un daño reparable según lo
comentado anteriormente en el cálculo del índice
Figura 21. Distribución global de la resistencia a la fatiga [número de ciclos] en la estructura de concreto para el caso de carga sísmica factorizada.
Figura 22. Distribución de daño por fatiga en la estructura de concreto en sus zonas críticas para el caso de carga sísmica factorizada.
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CONCLUSIONES
Se ha propuesto una metodología a seguir para evaluar el daño por fatiga de bajos ciclos producida por eventos
sísmicos, en estructuras de concreto reforzado. Para la aplicación de esta metodología se han definido curvas
Deformación-Vida para el concreto reforzado que fueron construidas con la ayuda de un análisis pushover de la
estructura a estudiar.
Todo el daño calculado en este estudio es para elementos cuya falla es predominantemente de flexión sin embargo debido a las dimensiones de algunos elementos, estos pueden presentar daño por corte el cual no fue considerado;
Esta investigación podría ampliarse en un futuro tomando en cuenta el daño por corte en los elementos.
La metodología propuesta se aplica a una estructura rígida observándose su comportamiento ante una alta excitación
sísmica, y deduciéndose los niveles de intensidad sísmica para los cuales la estructura incursionaría en el intervalo de
comportamiento no lineal y a partir del cual se generaría un daño en la estructura.
La metodología presentada presento coincidencia con el modelo simple para predecir fatiga de bajo número de ciclos
de (Terán y Jirsa, 2003)
La estructura del ejemplo de aplicación sometida bajo la señal sísmica estudiada no presento daño significativos los
cuales fueron de 0.0096 sin embargo una vez que se encontró que la intensidad sísmica adecuada para incursar en el
rango no lineal del sismo requería factorizar la señal sísmica por un valor de 2.16, se volvió analizar la estructura y
esta resulto que efectivamente aparecen daño reparables de un orden de 0.1365.
La metodología propuesta arroja como resultado la ubicación de zonas críticas, las cuales pueden ser susceptibles a
reforzamiento o reparación cuando se manifieste un evento sísmico extraordinario.
Así también la acumulación de daño puede ser significativa cuando las condiciones de carga, como la operación
propia del equipo rotativo se sumara a la condicione sísmica extraordinaria o con la presencia y acumulación de
varios eventos sísmicos se presenten a lo largo de la vida útil de la estructura, esto se podrá abordar en
investigaciones futuras.
REFERENCIAS
Chai Y.H., Romstad K.M.(1996), “Characterization of structural damage under high-intensity seismic
loading”, Elsevier Science Ltd, Eleventh World Conference on Earthquake Engineeering.
Miner, M.A.(1945), “Cumulative damage in fatigue”, Transactions, American Society of Mechanical Engineering,
67, pp. A159-A164
Park Y. J. y Ang A.H. (1985), “Mechanics seismic damage model for reinforced concrete”, ASCE Journal of
Structural Engineering, 111(ST4), 740-757
Powell G.H. y Allahabadi (1987), “Seismic damage prediction by deterministic methods: concepts and
procedures”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 16, 719-734
Terán A. y Jirsa J. (2004), “Un modelo simple para predecir la ocurrencia de fatiga de bajo número de ciclos”,
Memorias XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural. Artículo IV-06
Terán A. y Arroyo D. (2002), “Diseño contra fatiga de bajo número de ciclos mediante el uso de factores de
reducción de resistencia”, Memorias XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural
Terán A. y Jirsa J. (2004), “Uso de espectros de ductilidad acumulada constante para un diseño sísmico que
contemple el efecto de la fatiga de bajo número de ciclos”, Memorias XIV Congreso Nacional de Ingeniería
Estructural