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Datos del Equipo 8
Integrantes
Apellido paterno:
Heredia
Apellido materno:
Rivera
Nombres: Ulisses Alberto
Sexo: M
Promedio:
98.39
Matricula: 09260776
Semestre:
7
Carrera:
Ing. Mecatronica
Correo electrónico:
Tel. : 8681030156
Expectativa: aprender a trabajar en
equipo
Apellido paterno:
Flores
Apellido materno:
Perales
Nombres:
Carlos
Sexo:M
Promedio: 89.97
Matricula: 09260757
Semestre: 7
Carrera: Ing. Mecatronica
Correo electrónico:
[email protected]. Tel.: 86 81 89 92 67
Expectativa: aprender a trabajar en
equipo
Apellido paterno: Mondragon
Apellido materno: Aguilar
Nombres: David
Sexo: M
Promedio: 82.27
Matricula: 09260826
Semestre: 7
Carrera: Ing. Mecatronica
Correo electrónico:
[email protected] Tel.: 86 88 23 82 59
Expectativa: aprender a trabajar en
equipo
Apellido paterno: Martínez
Apellido materno: Delgadillo
Nombres : Oliver de
Jesús
Sexo: M
Promedio: 89.57
Matricula: 09260185
Semestre: 7
Carrera: Ing. Mecatronica
Correo electrónico: [email protected]
Tel.: 86 81 02 20 30 Expectativa: aprender a trabajar en
equipo
Apellido paterno: Chavez
Apellido materno: Leal
Nombres: Erick Elver
Sexo: M
Promedio: 80.1
Matricula: 09260732
Semestre: 7
Carrera: Ing. Mecatronica
Correo electrónico: [email protected]
Tel.: 86 81 69 39 29
Expectativa: aprender a trabajar en
equipo
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Tarea Teórica 1 Análisis de Vibraciones
1. Llenar el archivo de Datos y reenviarla a los 5 integrantes (1 Pts.)
2. Comprar un domino para la elaboración de una pagina Web. (20 Pts.)
Anexar el Link: http://superamigosincreibles.wordpress.com/
3. Crear una cuenta con la presentación del equipo en un video de Youtube y anexar el link. (1.5 Pts.)
http://www.youtube.com/channel/UC77KCcPliFr4VAPYblc1YFQ/videos
Redactar las definiciones de todos los conceptos de los subtemas de la
Unidad 1 Introduccion. Anexado en el archivo Análisis de Vibraciones. 20 hojas
Mínimo 30 Máximo se evaluara por cantidad de conceptos y hojas contenidas. (10
Pts.)
4. Descargar el software Matlab para simulación. 0 pts
Asesor
Apellido paterno
Apellido materno
Nombres
Titulo
Nivel académico
Rincón Ruiz Luis Carlos Licenciado Maestría en
Administración de Negocios
Correo electrónico
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MATAMOROS.
INGENIERÍA MECATRÓNICA.
UNIDAD I: INTRODUCCIÓN.
Materia: Análisis de Vibraciones.
Clase: 17:00-18:00 hrs
Profesor. Luis Carlos Rincón Ruíz.
Integrantes del Equipo:
Ulisses Alberto Heredia Rivera.
Carlos Flores Perales.
Oliver de Jesús Martínez Delgadillo.
David Mondragón Aguilar.
Erick Elver Chávez Leal.
Agosto 2012 H.Matamoros.Tam
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1.1. Conceptos básicos de vibraciones mecánicas.
Aceleración. La aceleración es la razón de cambio en la velocidad respecto al
tiempo. Es decir, la aceleración se refiere a cuan rápido un objeto en movimiento
cambia su velocidad. Por ejemplo, un objeto que parte de reposo y alcanza una
velocidad de 20 km/h, ha acelerado. Sin embargo, si a un objeto le toma cuatro
segundos en alcanzar la velocidad de 20 km/h, tendrá mayor aceleración que otro
objeto al que le tome seis segundos en alcanzar tal velocidad.
Amplitud. En física la amplitud de un movimiento oscilatorio, ondulatorio o señal
electromagnética es una medida de la variación máxima del desplazamiento u otra
magnitud física que varía periódica o cuasi periódicamente en el tiempo. Es la
distancia máxima entre el punto más alejado de una onda y el punto de equilibrio o
medio.
Amortiguamiento. Es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas
vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de
un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.
Amortiguamiento [C]. Está constituida por los coeficientes de amortiguamiento
cij, que se define como la fuerza que hay que aplicar según el gdl “i” para que
aparezca una velocidad unidad según el gdl “j” y cero según todos los demás gdl.
Amortiguamiento Relativo o Relación de Amortiguamiento. Relación de
amortiguamiento (ξ) de un sistema es el cociente entre el amortiguamiento del
sistema c y el valor de su amortiguamiento crítico (C0):
Amortiguamiento Crítico. Parámetro intrínseco de un sistema de un grado de
libertad amortiguado. Su valor es: c0 = 2mω, siendo m la masa del sistema y ω su
frecuencia natural.
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Armónica. Es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental.
Análisis. Un análisis, en sentido amplio, es la descomposición de un todo en
partes para poder estudiar su estructura, sistemas operativos, funciones, etc.
Análisis de Respuesta Armónica. Estudia la respuesta del sistema sometido a
una carga armónica.
Análisis de Respuesta a Vibración Aleatoria. Estudia la respuesta del sistema
sometido a una vibración aleatoria, como pueden ser los terremotos, o las ráfagas.
Las vibraciones en general, son movimientos armónicos, y teóricamente va a ser
posible expresarlas como suma de movimientos armónicos simples.
Análisis Dinámico transitorio. Estudia la respuesta del sistema sometida a una
carga transitoria.
Análisis Modal. Es el proceso de determinación de las características dinámicas
inherentes a un sistema mecánico necesarias para la posterior formulación de un
modelo matemático del comportamiento dinámico de dicho sistema. Esta
modelización dinámica se lleva a cabo sobre la base de los parámetros modales
(frecuencias naturales, modos naturales de vibración y relaciones de
amortiguamiento) propios del sistema, y que dependen de la distribución de sus
características de masa, rigidez y amortiguamiento.
Antinodo. Es el sitio en donde una estacionaria en donde el desplazamiento es
máximo.
Amortiguamiento Proporcional.
Se denomina así a aquella hipótesis de modelización del amortiguamiento que
permite desacoplar las ecuaciones del movimiento de sistemas de N gdl. En tal
caso, la matriz [C] debe poder ser diagonalizada junto con [K] y [M]. Por ello, en la
expresión que se adopte para [C] deberán intervenir [K] y [M]. Así, [C] será
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diagonalizable cuando pueda ser expresada como combinación lineal de las
matrices de rigidez e inercia:
[C] = A* [M] +B*[K ]
Carga Mecánica. Se aplica en los bordes de la estructura (bridas, anclajes) y
generalmente se calcula con ayuda del Modelo de Motor Completo (Whole
EngineModel,WEM) o por la definición de un espectro de vibración. Los datos
suministrados dan relación de los niveles de carga y la frecuencia de los mismos
en los diferentes puntos de funcionamiento.
Carga Térmica. Se aplica en todo el volumen de la estructura y generalmente se
calcula con ayuda del Modelo Térmico. Para el cálculo de vida a fatiga será
necesario recibir la historia de temperaturas a lo largo del ciclo de funcionamiento
proveniente de un análisis térmico transitorio, aunque para el problema de
vibraciones suelen considerarse condiciones estacionarias.
Coordenadas Naturales. Es el sistema de coordenadas resultante de aplicar al
sistema mecánico a estudio un cambio de coordenadas basado en la matriz de
modos. En estas nuevas coordenadas, el sistema de N ecuaciones diferenciales
con N incógnitas se desacopla y transforma en N ecuaciones de una sola
incógnita; es decir, en N problemas de 1 gdl.
Diagrama de Goodman. Representa la relación entre la tensión media y la
amplitud de la tensión o deformación alternante permisible. El diagrama pone de
manifiesto la influencia de la tensión media en el comportamiento final a fatiga.
Ecuación de movimiento. Expresa el desplazamiento como una función del
tiempo o también, la distancia entre cualquier posición instantánea de la masa
durante su movimiento y la posición de equilibrio. La ecuación de movimiento es
uno de los medios para eliminar los efectos perjudiciales de la mayor parte de las
vibraciones.
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Ecuaciones de LaGrange. Son el punto de partida de la Mecánica Analítica. Se
establece una ecuación por cada grado de libertad o coordenada generalizada:
L=T - U es la función Lagrangiana, igual a la diferencia entre la energía cinética y
la energía potencial, y Qi es la fuerza generalizada según el grado de libertad i.
Energía cinética de traslación. Un cuerpo de masa ‘m’ con movimiento de
traslación a velocidad ‘x’ posee una energía cinética igual:
ECT=1/2 mx2
Energía cinética de rotación. Un cuerpo de masa ‘m’ y un momento de inercia de
masa c respecto al pivote ‘p’ Jp y una velocidad angular “θ”
ECR=1/2 Jp θ2
Energía potencial gravitacional: un cuerpo de masa ‘m’ que esta a una altura ‘h’
de una referencia poseerá una energía potencial igual.
EPG= mgh
Espectro de Vibración. Es una imagen de cálculo de datos que nos muestra los
datos de frecuencia contra amplitud. La frecuencia ayuda a determinar el origen de
la vibración, mientras la amplitud ayuda a determinar el grado de severidad del
problema.
Factor de Amplificación Dinámica (D).Es la relación existente entre la amplitud
de las vibraciones de un sistema sometido a una excitación de tipo armónico y el
desplazamiento estático (cuando la carga es aplicada estáticamente).
Fatiga de Altos ciclos (HCF). La fatiga de altos ciclos está relacionada con las
vibraciones, a frecuencias que típicamente varían entre 70 y 300 Hz. Si se llega a
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condiciones de resonancia, el número de ciclos que se pueden acumular en un
ciclo de funcionamiento puede ser muy elevado, por lo que este tipo de condición
es crítico y suele evitarse desde la definición del componente.
Frecuencia. Número de ciclos por unidad de tiempo.
Frecuencia de Excitación. Es la frecuencia (Hz) asociada a una acción exterior
actuante sobre el sistema mecánico a estudio y que varía armónicamente en un
problema de vibraciones forzadas debidas a una excitación armónica.
Frecuencia de una vibración periódica. La frecuencia de una vibración
periódica, f, se define como el numero de veces que una vibración se repite en un
intervalo de tiempo. Las unidades de la frecuencia son ciclos/segundo, también
denominados Hertz o ciclos por minuto.
f = 1/T. (5)
Frecuencia natural. La frecuencia natural de un sistema es la frecuencia que
tiene vibración libre sin fricción.
Frecuencia natural amortiguada. Es la frecuencia de un sistema que tiene
vibración libre con fricción.
Grados de libertad (gdl).También conocidas como coordenadas generalizadas
de un sistema mecánico son los parámetros independientes que definen la
posición y la configuración deformada de dicho sistema. En ingeniería se refiere al
número mínimo de números reales que necesitamos especificar para determinar
completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una
estructura. Un cuerpo aislado en el espacio puede desplazarse libremente en un
movimiento que se puede descomponer en 3 rotaciones y 3 traslaciones
geométricas independientes (traslaciones y rotaciones respecto de ejes fijos en las
3 direcciones de una base referida a nuestro espacio de tres dimensiones).Para
un cuerpo unido mecánicamente a otros cuerpos (mediante pares cinemáticos),
algunos de estos movimientos elementales desaparecen. Se conocen como
grados de libertad los movimientos independientes que permanecen.
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Grados de libertad en mecanismos planos. Para un mecanismo plano cuyo
movimiento tiene lugar sólo en dos dimensiones, el número de grados de libertad
del mismo se pueden calcula mediante el criterio de Grübler-Kutzbach:
m =3 (n-1) – 2 j 1 – j 2
donde: m, movilidad n, número de elementos j1, número de uniones de un grado de libertad. J2, número de uniones de 2 grados de libertad.
Las Leyes de Newton. También conocidas como Leyes del movimiento de
Newton,1 son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de
los problemas planteados por la dinámica, en particular aquellos relativos al
movimiento de los cuerpos. Revolucionaron los conceptos básicos de la física y el
movimiento de los cuerpos en el universo, en tanto que constituyen los cimientos
no sólo de la dinámica clásica sino también de la física clásica en general. Aunque
incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido pueden verse como axiomas,
Newton afirmó que estaban basadas en observaciones y experimentos
cuantitativos; ciertamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones más
básicas. La demostración de su validez radica en sus predicciones... La validez de
esas predicciones fue verificada en todos y cada uno de los casos durante más de
dos siglos.
Máquina. Una máquina es un conjunto de elementos móviles y fijos cuyo
funcionamiento posibilita aprovechar, dirigir, regular o transformar energía o
realizar un trabajo con un fin determinado. Se denomina maquinaria (del latín
machinarĭus) al conjunto de máquinas que se aplican para un mismo fin y al
mecanismo que da movimiento a un dispositivo.
Masa: La masa, en física, es una medida de la cantidad de materia que posee un
cuerpo1 (pero no debe confundirse directamente con la cantidad de sustancia o
materia ya que la unidad en el Sistema Internacional de Unidades de esta
magnitud es el mol). Es una propiedad intrínseca de los cuerpos que determina la
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medida de la masa inercial y de la masa gravitacional. La unidad utilizada para
medir la masa en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo (kg). Es
una magnitud escalar y no debe confundirse con el peso, que es una magnitud
vectorial que representa una fuerza.
Matriz de Rigidez [K]. Está constituida por los coeficientes de rigidez kij, que se
definen como la fuerza que hay que aplicar según el gdl “i” para producir un
desplazamiento unidad según el gdl “j”, y cero según todos los demás gdl.
Matriz de Masas [M] (o inercias). Está constituida por los coeficientes de inercia
mij, que se definen como la fuerza que hay que aplicar en el gdl “i” para producir
una aceleración unidad en el gdl “j” y cero según todos los demás. Matriz de
Método de los Trabajos Virtuales. El trabajo de las fuerzas exteriores en un
pequeño desplazamiento virtual de las coordenadas del sistema es igual al
incremento de energía potencial elástica producido por dicho desplazamiento
virtual. Este desplazamiento virtual debe cumplir las condiciones de ser pequeño,
para que no varíe la magnitud de las fuerzas y la geometría del sistema, y
compatible con las ligaduras cinemáticas de dicho sistema. A veces, es más
cómodo utilizar velocidades que desplazamientos y, entonces, en lugar de hablar
del Método de los Trabajos Virtuales se habla del Método de las Potencias
Virtuales.
Modelo. Un modelo es una representación de un objeto, sistema o idea, de forma
diferente al de la entidad misma. El propósito de los modelos es ayudarnos a
explicar, entender o mejorar un sistema. Un modelo de un objeto puede ser una
réplica exacta de éste o una abstracción de las propiedades dominantes del
objeto.
Modelo matemático. Es la representación de todas las características
importantes de un sistema con el propósito de derivar las ecuaciones matemáticas
que determinen su comportamiento.
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El modelo matemático debe incluir los mínimos detalles del sistema tal que dicho
comportamiento pueda ser representado por una ecuación.
El modelo matemático puede ser lineal o no lineal. Un modelo matemático permite
soluciones rápidas y simples, sin embargo los modelos no lineales, revelan
algunas veces ciertas características del sistema que los modelos lineales no
proporcionan.
Movimiento. En mecánica, el movimiento es un cambio físico que se define como
todo cambio de posición en el espacio
Movimiento oscilatorio. Son los movimientos periódicos en los que la distancia
del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
Movimiento vibratorio. Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el
punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes,
son iguales.
Movimiento vibratorio armónico simple. Es un movimiento vibratorio con
aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se
separa de su posición de equilibrio.
Movimiento aperiódico. Se dice que el movimiento es aperiódico cuando no se
repite.
Movimiento periódico. Se dice que es un movimiento periódico cuando la
configuración del sistema que realiza el movimiento se repite o toma los mismos
valores en intervalos iguales de tiempo (período: T).
Posición x(t) = x(t +T) = x(t + 2T) = ...... = x(t + nT).
Velocidad x(t) = x¢(t +T) = x¢(t + 2T) = ...... = x(t + nT).
Nodo. Es la posición de una onda estacionaria en donde el desplazamiento es
cero.
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Onda. En física, una onda consiste en la propagación de una perturbación de
alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o
campo magnético, a través de dicho medio, implicando un transporte de energía
sin transporte de materia. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa
como aire, agua, un trozo de metal e, incluso, inmaterial como el vacío. También
se les define como la alteración de un medio que transporta energía sin originar un
movimiento significativo de una masa cuando la onda se propaga.
Ondas estacionarias. Son consecuencia de la superposición de dos ondas de
frecuencia y longitud de ondas idénticas que se propagan en direcciones
opuestas.
Periodo. El periodo es el tiempo necesario para que un movimiento periódico se
repita.
Periodo Fundamental. El intervalo de tiempo mas pequeño que satisface la
ecuación 2, es decir f(t + T) = f(t), se conoce como el periodo fundamental.
Principio de Hamilton. Es un principio variacional, y establece que de todas las
posibles formas de evolucionar el sistema entre dos instantes de tiempo t1 y t2 la
que verdaderamente se produce es la que hace mínima integral la respecto al
tiempo de la función Lagrangiana.
Principio de superposición. El desplazamiento en un punto determinado del
espacio y el tiempo dado, debido a la influencia simultánea de dos onas es la
suma vectorial de los desplazamientos debidos a cada onda cuando actúan
independientemente.
Propagación de ondas. Es un mecanismo para transmitir energía entre dos
puntos en el espacio que no necesita la alteración física del material.
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Régimen Estacionario. Un sistema dinámico se dice que está en régimen
estacionario cuando su variación con el tiempo reviste un carácter periódico; es
decir, todas las variables del problema repiten valores cada T segundos (T =
periodo).
Régimen Transitorio. Un sistema dinámico se dice que está en régimen
transitorio cuando la dependencia temporal de las variables del problema es
arbitraria o carece del carácter periódico.
Resonancia. Se dice que un sistema está en condición de resonancia o que tiene
lugar un fenómeno de resonancia, cuando la frecuencia de la excitación que actúa
sobre el mismo (Ω) coincide con alguna de sus frecuencias naturales (ω).
Resorte. Se conoce como resorte o muelle a un operador elástico capaz de
almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente
cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido. Son fabricados con
materiales muy diversos, tales como acero al carbono, acero inoxidable, acero al
cromo-silicio, cromo-vanadio, bronces, plástico, entre otros, que presentan
propiedades elásticas y con una gran diversidad de formas y dimensiones.
Serie de Fourier. Una serie de Fourier es una serie infinita que converge
puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series
de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier
empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de
dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples
(como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se
debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría
cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series
sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área
de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una
herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación
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incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y
señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de
telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de
frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la
señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Sistema. Sistema es un todo organizado y complejo; un conjunto o combinación
de cosas o partes que forman un todo complejo o unitario. Es un conjunto de
objetos unidos por alguna forma de interacción o interdependencia. Los límites o
fronteras entre el sistema y su ambiente admiten cierta arbitrariedad.
Sistema Continuo. Sistema mecánico que precisa de un número infinito de
grados de libertad para determinar su posición deformada.
Sistema Discreto. Sistema mecánico cuya posición deformada puede
determinarse mediante un número finito de grados de libertad.
Sistema invariante en el tiempo. Si H(f(t−T))=y(t−T) no se cumple entonces es
un sistema invariante en el tiempo.
Sistema variante en el tiempo. Un sistema invariante en el tiempo es aquel que
no depende de cuando ocurre: la forma de la salida no cambia con el retraso de la
entrada. Es decir que para un sistema H donde H(f(t))=y(t), H es invariante en el
tiempo si para toda T:
H(f(t−T))=y(t−T)
Señales. Entes que contienen información acerca de la naturaleza o
comportamiento de algún fenómeno. Es cualquier cantidad cuya magnitud se
puede representar matemáticamente como función de una o más variables
independientes.
Trabajo. El trabajo efectuado por una fuerza es el producto de la fuerza, e
desplazamiento del punto sobre el cual se aplica la fuerza, y el coseno del ángulo
entre la fuerza y el desplazamiento.
ΔW = F Δs cosθ
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Transmisibilidad (Tr). Puede definirse como el cociente entre la amplitud de la
fuerza transmitida por un sistema y la de la fuerza de excitación que se introduce
en el mismo.
Al analizar el problema de la transmisión de vibraciones de un sistema mecánico a
su base o soporte, se define el concepto de transmisibilidad como la relación entre
el módulo de la fuerza transmitida al soporte Ft y el módulo de la fuerza excitadora
f0. Recordando la definición del Factor de Amplificación Dinámica (D).
Trasformada de Laplace. La transformada de Laplace de una función f(t) definida
(en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional)
para todos los números positivos t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino
una distribución con una singularidad en 0, la definición es
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la
versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se
define como sigue:
Transformada de Fourier. Sabemos obtener la respuesta de la estructura para
una excitación senoidal a una determinado frecuencia, pero en muchos casos las
cargas dependen del tiempo. La transformada de Fourier nos permite convertir
cualquier carga en el dominio del tiempo a la frecuencia, y la trasformada de
Fourier inversa lo hará al revés de la frecuencia al tiempo:1º En un primer paso se
obtiene la transformada de Fourier de la solicitación en el tiempo que tenemos, de
esta forma tenemos nuestra excitación en el campo de la frecuencia.2º
Obtenemos la respuesta para cada frecuencia.3º Realizando la transformada de
Fourier inversa obtenemos de nuevo el resultado en el dominio del tiempo. Estas
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simplificaciones se pueden realizar porque el sistema es lineal y la suma de los
efectos de dos fuerzas, es igual al efecto de la suma de fuerzas.
Trayectoria. En cinemática, la trayectoria es el lugar geométrico de las posiciones
sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende
del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de
vista del observador.
En la mecánica clásica la trayectoria de un cuerpo puntual siempre es una línea
continua. Por el contrario, en la mecánica cuántica hay situaciones en las que no
es así. Por ejemplo, la posición de un electrón en un orbital de un átomo es
probabilística, por lo que la trayectoria corresponde más bien a un volumen.
Trémolo. Es un ejemplo de superposición de ondas que consiste en la variación
lenta y regular de la intensidad cuando dos fuentes sonoras de casi la misma
frecuencia tocan simultáneamente.
Valor Cuadrático Medio de una Vibración Periódica. Sea y = f(t) una vibración
periódica de periodo T .Entonces, el valor cuadrático se define como:
Valor Promedio Medio de una Vibración Periódica. Sea y = f(t) una vibración
periódica de periodo T .Entonces, el valor promedio se define como:
Velocidad. La velocidad, es una magnitud física de carácter vectorial que expresa
la distancia recorrida por un objeto por unidad de tiempo. Se representa por “v”.
Sus dimensiones son [L] / [T]. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s.
En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la
dirección del desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez.
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De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por
unidad de tiempo, la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad
de tiempo.
Velocidad Angular. La velocidad angular es una medida de la velocidad de
rotación. Se define como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa
mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por
segundo (rad/s).
Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la
emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando
esta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc).
En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa
2π radianes, tenemos:
donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es
la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo).
Si v es la velocidad de un punto y r es su distancia al eje de rotación (radio), el
periodo también se puede obtener a partir de la velocidad:
Vibración. Es la variación con respecto al tiempo, de la magnitud de un parámetro
que define, totalmente o parcialmente, el estado de un sistema –mecánico,
eléctrico, económico, biológico–, respecto a una referencia especifica, cuando la
magnitud del parámetro es alternativamente mayor y menor que la de referencia.
Una vibración es, simplemente, una función no monótona del tiempo, f(t); así pues,
en sentido estricto, las funciones constantes; es decir aquellas que:
f(t) = c ∀t ∈ Id, (1)
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“La función f(t) es igual a toda “c” para toda “t” que pertenece al intervalo de
definición de la función Id ” no satisfacen la definición de vibración.
La vibración es en general, una forma de energía disipada particularmente en la
maquinaria; debido a las vibraciones, se producen ruidos, se arruinan las
diferentes partes y se transmiten fuerzas y movimientos indeseables a los objetos
muy cercanos.
Vibraciones Aperiódicas. Si la vibración o función no satisface la ecuación 2, la
vibración o función se denomina aperiódica.
Ejemplo de Vibración Aperiódica.
Vibración amortiguada. Es cuando la vibración de un sistema es disipada.
Vibración Armónica. Una vibración se denomina armónica si la relación entre el
parámetro de la vibración y el tiempo esta dada por:
x(t) = x0 Sen(ω t + φ)
donde, por convención, el valor de x0 es siempre positivo.
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Vibración armónica.
Vibraciones determinísticas. Una vibración se denomina determinística si es
posible conocer la función, f(t), que describe la función.
Vibración forzada. Son vibraciones que tienen lugar debido a la presencia de
fuerzas exteriores variables con el tiempo actuando sobre el sistema f(t) ≠ 0. Una
vibración forzada ocurre cuando un sistema vibra debido a una excitación
constante.
Vibración libre o transitoria. Es el movimiento periódico que se observa cuando
el sistema de desplaza de su posición de equilibrio estático. Las fuerzas que
actúan son: la fuerza de resorte, la fuerza de fricción y el peso. Debido a la
presencia de la fricción, la vibración disminuirá con el tiempo. También se definen
como las vibraciones que tienen lugar en ausencia de fuerzas exteriores: f (t) = 0 y
sólo son debidas a unas determinadas condiciones iniciales de desplazamiento y/o
velocidad.
Vibración lineal. Si los componentes básicos de un sistema tienen un
comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.
Vibración no amortiguada. Es cuando la disipación de energía se puede disipar
para su estudio.
Vibración no lineal. Se produce si alguno de sus componentes se comporta
como no lineal.
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El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo
elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no
difieren, en su mayoría, a los realizados si se consideran como elementos lineales.
Vibraciones Periódicas. Las vibraciones determinísticas se clasifican en
vibraciones periódicas y aperiódicas. Una vibración periódica es aquella que se
repite con todas sus características después de un intervalo de tiempo conocido
como Periodo de la Vibración y representado por T. Matemáticamente, la función
que describe la vibración o función periódica debe satisfacer la condición:
f(t + T) = f(t) ∀t ∈ Id .
1.1. (a).Ejemplo de Vibración Periódica.
Vibración probabilística o estocástica. Una vibración se denomina probabilística
o estocástica si lo único a lo que es posible aspirar es conocer una función de
probabilidad de la amplitud del parámetro descrito por la función. También se
definen como vibraciones que tienen lugar debido a la aplicación sobre el sistema
de unos esfuerzos exteriores de los que, como mucho, todo lo que se puede
aspirar a conocer es algunos valores estadísticos tales como su valor medio, su
varianza, su composición en frecuencia, etc.
Vibrómetro. El vibrómetro es ideal para que los trabajadores de mantenimiento
comprueben de forma rápida las vibraciones en piezas, máquinas e instalaciones.
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El vibrómetro le muestra directamente en la pantalla la aceleración, la velocidad y
el desplazamiento de vibración. Con este aparato puede detectar y efectuar un
seguimiento del desequilibrio y las averías en cojinetes. El vibrómetro puede tener
una interfaz RS-232 integrada que permite traspasar los datos del analizador de
vibración directamente al ordenador. El aparato es también puede ser calibrable
según la normativa ISO. Comprueba el comportamiento vibratorio de las máquinas
y su uso previene posibles daños en las mismas.
1.2. Movimiento Armónico simple y su presentación.
Movimiento Armónico simple. El movimiento armónico simple (se abrevia
m.a.s.), también denominado movimiento vibratorio armónico simple (abreviado
m.v.a.s.), es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de
fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente
proporcional al desplazamiento pero en sentido opuesto. Y que queda descrito en
función del tiempo por una función senoidal (seno o coseno).
Elongación (y): es la distancia del móvil al origen (o) del movimiento en cada
instante.
Amplitud (A): Es la elongación máxima que se alcanza.
Periodo (T): tiempo que tarde en realizarse una vibración completa
Frecuencia (F): número de vibraciones completas realizadas en la unidad de
tiempo. Es la inversa del periodo f=1/T
Pulsación o frecuencia angular (w)
Desfase, fase inicial o corrección de fase: su valor determina la posición del
cuerpo en el instante inicial.
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Posición de equilibrio. Es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta
sobre la partícula oscilante.
Se dice que una partícula en movimiento a lo largo del eje x tiene un movimiento
armónico simple cuando su desplazamiento respecto al equilibrio, x, varía con el
tiempo según la relación
La velocidad del móvil viene dada por:
La aceleración del móvil se expresa como:
Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos,
desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto
medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los
extremos la llamamos amplitud y la representamos por A.
La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central
la conocemos como elongación, x.
El tiempo en realizar una oscilación completa es el período, representado por T y
medido en segundos.
La frecuencia es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la
representamos por n
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La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la
trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del
movimiento.
Es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleración es proporcional
al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor máximo en los
extremos de la trayectoria, mientras que es mínimo en el centro.
Podemos imaginar un M.A.S. como una proyección de un Movimiento Circular
Uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo en el instante inicial.
Cinemática. En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil,
obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración
derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por
la ecuación
x = A sen (w t + j)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
v = A w cos (w t + j)
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil
a = - A w2 sen (w t + j ) = - w2x
Siempre que sobre una partícula, desplazada una longitud x de su posición de
equilibrio, actúe una fuerza que es proporcional al desplazamiento x, y de sentido
contrario a éste, tal como se muestra en el ejemplo de la figura:
Energía de un M.A.S En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de
potencial en cinética y viceversa.
En los extremos solo hay energía potencial puesto que la velocidad es cero y en el
punto de equilibrio solo hay energía cinética. En cualquier otro punto, la energía
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correspondiente a la partícula que realiza el m.a.s. es la suma de su energía
potencial más su energía cinética.
Toda partícula sometida a un movimiento armónico simple posee una energía
mecánica que podemos descomponer en: Energía Cinética (debida a que la
partícula está en movimiento) y Energía Potencial (debida a que el movimiento
armónico es producido por una fuerza conservativa).
Un ejemplo clásico de movimiento armónico simple es el movimiento que
describiría una sombra generada por un punto de una rueda que esté girando si la
sombra se mueve por una línea recta y la fuente de luz es muy lejana.
Otro ejemplo que también podemos ver en nuestra vida cotidiana es El
movimiento en vertical que realizaría la punta de la aguja de un tocadiscos (el
típico con el disco horizontal). Cuando se está reproduciendo una "nota pura" (de
una frecuencia concreta).
Una aplicación sencilla sería la de un péndulo donde:
Como el Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la
Tierra. Se llama así en honor del físico francés León Foucault y está formado por
una gran masa suspendida de un cable muy largo.
También sirve, puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba
efectiva de la rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes:
En 1851 Jean León Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula
de los Inválidos en Paris (latitud≅49º). Un recipiente que contenía arena estaba
sujeto al extremo libre; el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el
Péndulo señalaba la trayectoria: demostró experimentalmente que el plano de
oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por tanto que la Tierra rotaba.
Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una trayectoria
circular, el movimiento de la proyección del objeto sobre el diámetro es un
movimiento armónico simple.
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Péndulo simple. El sistema físico llamado péndulo simple esta constituido por
una masa puntual m suspendida de un hilo inextensible y sin peso que oscila en el
vació en ausencia de fuerza de rozamientos. Dicha masa se desplaza sobre un
arco circular con movimiento periódico. Esta definición corresponde a un sistema
teórico que en la práctica se sustituye por una esfera de masa reducida
suspendida de un filamento ligero.
El periodo del péndulo resulta independiente de la masa del cuerpo suspendido,
es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud e inversamente
proporcional a la aceleración de la gravedad.
Péndulo de torsión. Se dice que un cuerpo se desplaza con movimiento
armónico de rotación entono a un eje fijo cuando un Angulo de giro resulta función
sinusoidal del tiempo y el cuerpo se encuentra sometido a una fuerza
recuperadora cuyo momento es proporcional a la elongación angular.
Las ecuaciones que rigen este movimiento se obtienen por sustitución de las
magnitudes lineales del movimiento armónico simple por las perspectivas.
Siendo I el momento de inercia del sistema, con respecto al eje de rotación y D la
constante de torsión (esta formula es exacta aun para oscilaciones de gran
amplitud), si se conoce el momento de inercia I y se mide el periodo T se puede
calcular D.
Péndulo físico. El péndulo físico, también llamado péndulo compuesto, es un
sistema integrado por un sólido de forma irregular, móvil en torno a un punto o a
eje fijos, y que oscila solamente por acción de su peso.
Movimiento armónico complejo. Un movimiento armónico complejo es un
movimiento en superposición lineal de movimientos armónicos simples. Aunque un
movimiento armónico simple es siempre periódico, un movimiento armónico
complejo no necesariamente es periódico, aunque sí puede ser analizado
mediante análisis armónico de Fourier. Un movimiento armónico complejo es
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periódico sólo si es la combinación de movimientos armónicos simples cuyas
frecuencias son todos múltiplos racionales de una frecuencia base.
1.3. Uso de fasores para la suma, resta, multiplicación y división de movimiento
armónico.
Fasor. Un fasor es una representación gráfica de un número complejo que se
utiliza para representar una oscilación, de forma que el fasor suma de varios
fasores puede representar la magnitud y fase de la oscilación resultante de la
superposición de varias oscilaciones en un proceso de interferencia.
Los fasores se utilizan directamente en óptica, ingeniería de telecomunicaciones y
acústica. La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje-x
la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de oscilaciones, en
electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario de
circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el
movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e y tiene
diferentes significados físicos.
Cantidad escalar. Es cuando no nos indican la dirección que tiene la magnitud,
es decir magnitud asociada a una unidad. (15m)
Cantidad vectorial. Cuando indican la dirección de la magnitud, es decir
magnitud + unidad + dirección. (45m al S)
Números Complejos. Los números complejos son una extensión de los números
reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El
conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de
los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las
raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede
representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un
múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
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Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria,
llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las
matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y
electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números
complejos se utilizan por doquier matemáticas, en muchos de la física (y
notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la
electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas
electromagnéticas y la corriente eléctrica.
Interferencia. En física, la interferencia es un fenómeno en el que dos o más
ondas se superponen para formar una onda resultante de mayor o menor
amplitud. El efecto de interferencia puede ser observado en cualquier tipo de
ondas, como luz, radio, sonido, ondas en la superficie del agua, etc.
La corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad
angular ω. Este vector recibe el nombre de fasor. Su longitud coincide con el valor
máximo de la tensión o corriente (según sea la magnitud que se esté
representando). El ángulo sobre el eje horizontal representa la fase. La velocidad
de giro ω está relacionada con la frecuencia de la señal.
En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las tensiones y
corrientespresentan desfasajes entre sí (distintas fases en un determinado
momento). Enlos diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entre los
fasores.
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Los fasores pueden representarse mediante números complejos, teniendo una
componente real y otra imaginaria .El igual que en los números complejos, los
fasores pueden estar representados en forma binómica y polar (existen otras
como la trigonométrica y la exponencial, pero utilizamos las dos primeras). En
algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros casos será más
simple hacer cuentas con la otra forma.
Forma polar. Los fasores suelen indicarse matemáticamente también en forma
polar, es decir como un módulo y un ángulo. Por ejemplo la expresión: V = 311
sen (2π 50 t + ¼ π).Se puede representar como un fasor de la siguiente manera:
V = 311 V
ω = 2π 50 (para una f = 50 Hz)
Φ = 45 ° (o ¼ π)
En forma polar se escribe como 311 (45°) V.
Forma binómica .Otra forma de expresar a un fasor o número complejo, es la
forma binómica, es decir como: a + j b siendo a la parte real y b la parte
imaginaria.
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Con las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, podemos calcularlas
componentes de la forma binómica (a y b) a partir del módulo del fasor y de su
ángulo (forma polar) o bien hallar el módulo del fasor y su ángulo a partir dela
forma binómica.
Suma y resta de fasores. Para sumar o restar dos fasores es conveniente
tenerlos en forma binómica, por lo tanto se hace la suma o resta componente a
componente.
Multiplicación y división de fasores. Es más simple hacerlas en forma polar. Se
multiplican o dividen los módulos según corresponde y se suman los argumentos
(para el caso de la multiplicación) o se los resta (para el caso de la división).
Diferenciación con fasores
Si tenemos una función g(t) con su parte real x(t) y su parte
imaginaria y(t), y definimos la función:
diferenciando f(t):
Si diferenciamos g(t) y luego tomamos la parte real:
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Al final:
Las relaciones que tenemos en la diferenciación son:
Integración con fasores
Con la función h(t) definida como la integración de f(t):
Las relaciones que hay en la integración se pueden ver a
continuación:
Por lo tanto, se pueden resolver las ecuaciones integro-diferenciales que
aparecen en régimen permanente senoidal mediante la utilización de
fasores. Esto se debe a que las derivadas y las integrales se transforman
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en multiplicaciones y divisiones por y así estas ecuaciones se
convierten en algebraicas mediante fasores.
Bibliografía.
http://cnx.org/content/m12822/latest/
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad
https://sites.google.com/site/timesolar/cinematica/aceleracion
http://www.pce-iberica.es/medidor-detalles-tecnicos/instrumento-de-
vibracion/vibrometro-vc-check.htm
http://es.scribd.com/doc/61359688/33/El-efecto-del-interfase-blade-angle-en-el-
flutter
http://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoria
http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-28/cinemat.htm
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm
http://es.scribd.com/doc/44425510/Cinematic-A-de-La-Vibracion
http://es.wikipedia.org/wiki/Fasor
Fundamentos de Fisica, Frank J. Blatt
Mecanical Vibrations, Den Hargton
http://delibes.tel.uva.es/tutorial_cir/tema5/fasores.html#3