dam m1

LES

DIF

ICU

LTA

TS D

’APR

ENEN

TATG

E D

E LE

S M

ATE

MÀ

TIQ

UES Mòdul 1:

Contextualització de les dificultats d’aprenentatge de les matemàti-ques

Formació Psicopedagògica

Diversos autors

1

índex

1. Introducció

2. Aprendre matemàtiques

3. Les matemàtiques com a competència bàsica

4. Coneixements matemàtics bàsics

5. Detecció i criteris diagnòstics de les dificultats del càlcul

5.1 Protocol de detecció

5.2. Observacions generals sobre els criteris diagnòstics

dels trastorns de lectura, escriptura i/o càlcul

5.3. Trastorn de càlcul: criteris diagnòstics

5.4. Pautes de diagnòstic

6. Contextualització de les dificultats d’aprenentatge de les

matemàtiques

2

3

5

8

13

13

15

16

17

19

LES DIFICULTATS D’APRENENTATGE DE LES MATEMÀTIQUESMòdul 1: Contextualització de les dificultats d’aprenentatge

de les matemàtiquesFormació Psicopedagògica


de les matemàtiques

2

1. INTRODUCCIÓ1

Al igual que la lectoescriptura, la matemàtica elemental constitueix un altre aprenentatge

instrumental bàsic de la persona que li permetrà desenvolupar-se no només a nivell

acadèmic sinó en una gran quantitat de situacions de la vida quotidiana com ara efectuar

compres, fer intercanvis monetaris, distribuir el pressupost familiar, situar-se en el temps

i en l’espai, calcular horaris, estimar, amidar, organitzar i aplicar diferents magnituds

(temperatura, longitud, massa, capacitat…), planificar un viatge, interpretar dades esta-

dístiques, prendre la dosi adequada d’un medicament, calcular els ingredients necessaris

per a cuinar una recepta en funció del nombre de comensals, interpretar registres esportius,

jocs d’atzar…

A més a més, l’aprenentatge de la matemàtica, al igual que passa amb la lectoescriptura,

constitueix la base per a continuar amb l’adquisició de d’altres coneixements més com-

plexes.

A la pràctica educativa, però, ens trobem també amb un percentatge significatiu

d’alumnes que manifesten dificultats en el processament de la numeració, el càl-

cul aritmètic i la resolució de problemes. Aquestes dificultats suposen una pèrdua

d’autonomia en el moment d’haver de resoldre les situacions quotidianes que abans

esmentàvem.

1 Remedios Sanabria Arias



3

2. APRENDRE MATEMÀTIQUES2

La competència matemàtica segueix un procés de construcció lent i gradual, començant

des d’allò que és concret i específic fins arribar al allò que és abstracte i general. Així

doncs, les activitats concretes i manipulatives constitueixen la base que farà possible

aquest procés de construcció.

L’habilitat matemàtica es pot descompondre en diferents subhabilitats entre les que es pot

remarcar la numeració, el càlcul, la resolució de problemes, l’estimació, els conceptes de

mesura i nocions de geometria.

A més a més, des de la perspectiva cognitiva, es considera que existeixen una sèrie de

principis que haurien d’ésser presents en l’ensenyament i l’aprenentatge de la mate-

màtica:

• L’adquisició de l’aprenentatge matemàtic com un procés actiu

Cal establir relacions entre els diferents conceptes adquirits en cada moment, la qual

cosa implica contínues elaboracions i reestructuracions del coneixement.

• Es poden distingir dos tipus de coneixements matemàtics: els declaratius i els

procedimentals

El fet d’assolir un coneixement matemàtic no implica l’assoliment automàtic d’un

coneixement procedimental que ens permeti aplicar-lo en una situació matemàtica

determinada.

• Resulta necessari automatitzar els procediments

Cal automatitzar l’execució de les operacions matemàtiques més senzilles.

Per tant caldrà exercitar càlculs senzills com 4+4, 9×2, 10-4, 25÷5 etc. fins a arribar a la

memorització o automatització per tal que aquestes activitats no requereixen l’atenció

conscient de la persona i així pugui focalitzar la seva atenció en les passes d’un algo-

ritme més complex com la divisió entre dues xifres, o en el moment de planificar la

resolució d’un problema.

• Cal treballar l’aplicació d’un mateix concepte en diferents contextos




4

• L’anàlisi dels errors sistemàtics de l’alumne posen en evidència les estratègies uti-

litzades pel mateix

Tal i com expressa Rivière (1990), “moltes vegades són les úniques finestres per les

que podem observar les ments dels alumnes”. Una bona anàlisi d’aquests errors ens

permetrà cercar la manera de proporcionar-li estratègies més eficaces.

• Les experiències negatives a nivell de matemàtiques viscudes amb anterioritat hi-

potequen la possibilitat de l’adquisició de nous conceptes matemàtics

En el cas de la matemàtica aquest apartat pren una gran importància, ja que són molts

els alumnes que arriben al convenciment erroni que “no serveixen per les matemàti-

ques”.

El paper del docent en aquest apartat és essencial per tal de trencar amb aquest blo-

queig: planificant activitats que comportin un aprenentatge significatiu (aplicable a la

resolució de situacions quotidianes), proposant activitats en funció dels coneixements

ja assolits, aprofitant l’interès natural per al joc, aprofitant la matemàtica informal o

les situacions plantejades pels propis alumnes…



5

3. LES MATEMÀTIQUES COM A COMPETÈNCIA BÀ-SICA3

És un fet que l’escola no pot proporcionar a tots i cadascun dels subjectes que la

segueixen la multitud de sabers que actualment integren el món científic, tecnològic

i social. L’escola no és l’única font d’informació i, a més, es troba davant l’important

problema d’haver de seleccionar allò que pot resultar més necessari i beneficiós per als

alumnes, tant per a la vida escolar com per a la seva vida extraescolar. Aquesta selecció

implica una dimensió tecnicopedagògica però també politicosocial. La solució no pot ser

una altra que establir prioritats, atès que no es pot acumular tot el saber durant el període

de l’escolaritat obligatòria.

Així sorgeixen un seguit d’interrogants als quals l’escola ha de respondre. L’escola, ha

de preocupar-se només de procurar aprenentatges al marge de procurar que aquests

siguin aplicables a la vida quotidiana?, o bé, ha de preocupar-se de manera preferent que

els subjectes adquireixen les estratègies i les habilitats que els siguin útils per a la vida

quotidiana? Encara més, en aquesta preparació per a la «vida quotidiana», s’inclou la pre-

paració per a accedir al món laboral? De la resposta que es doni a aquestes qüestions

dependrà la perspectiva des de la qual es realitzi la selecció dels elements curriculars

que l’escola triï per a complir la seva funció social de preparar les joves generacions per

a incorporar- se plenament a la vida col·lectiva.

Es pot advertir que les reformes escolars que s’han donat en els últims temps han vol-

gut insistir més en l’assoliment d’habilitats enteses en un sentit ampli, incorporant-hi les

que permeten accedir al coneixement i avançar-hi, que no en la simple acumulació de co-

neixements, que avui dia és a l’abast de tots mitjançant les nombroses fonts d’informació

de què disposem.

Actualment s’adverteix la presència d’una demanda creixent de «tornar a allò que

és bàsic», com a resultat del fet que l’escola no pot ocupar-se alhora de tot, i que

l’aprenentatge de tot tipus no finalitza amb el període de l’escolaritat, sinó que aquí només

s’inicia. Justament es tracta d’assentar els principis que facilitin l’aprenentatge continu al

qual tots avui dia estem sotmesos.

3 Identificació de les competències bàsiques en l’ensenyament obligatori Jaume Sarramona i Cristina Pintó



Però, què vol dir «allò que és bàsic»?

Sens dubte que és més fàcil definir el concepte de «bàsic», entès com a requisit fonamen-

tal per a assolir una fita, que determinar de què es compon. Per aquesta raó no ens atu-

rarem tant a buscar definicions al voltant d’«allò que es bàsic» sinó a intentar-ne identifi-

car el contingut. La concreció d’aquest contingut ens adreça a les exigències que la vida

actual planteja als subjectes durant la seva escolaritat obligatòria i sobretot en acabar

aquest període.

Les competències se’ns presenten així com a relacionades amb facultats generals, al

potencial humà de transformació de la realitat.

Com ja s’ha dit, el domini d’unes competències bàsiques per part de l’alumnat en

l’escolaritat obligatòria hauria d’habilitar-lo per a poder-se inserir perfectament a la vida

escolar i social.

D’acord amb això es pot advertir que les competències bàsiques han de tenir en comp-

te tant la preparació per a la vida acadèmica, entesa com la progressiva facilitació dels

aprenentatges tecnicocientífics, com la preparació per a l’accés al món laboral i per a la

vida social de relació.

Volem donar aquí algunes idees que ens semblen fonamentals en l’àmbit de

l’aprenentatge de les matemàtiques com a competència bàsica:

- Un comú denominador de totes les dimensions en l’àmbit de les matemàtiques és

l’aplicabilitat a la vida quotidiana, en especial pel que fa al càlcul i la geometria.

- L’operatòria apareix com a competència bàsica en diverses form es, insistint en el

coneixement de les quatre regles, el càlcul de proporcions i la mesura d’àrees i volums,

tant si es realitzen mentalment com mitjançant calculadora.

- La resolució de problemes comença amb la interpretació dels enunciats i segueix amb

l’actitud general de tenir l’hàbit consolidat de corregir els possibles errors de càlcul.

- El pensament matemàtic ha de portar a diferenciar conceptes com atzar, probabilitat,

predicció... com a base d’un pensament lògic i racional.

6



7

- Les mesures, a banda d’aplicar-se a la vida quotidiana, han de saber-se interpretar i

representar gràficament.

Per què la matemàtica és una competència bàsica?

- Perquè és un poderós llenguatge universal que es constitueix en la principal eina per

a poder abstreure, generalitzar i sintetitzar.

- Perquè és el llenguatge que utilitza la tecnologia i la ciència, i l’eina que possibilita el

desenvolupament de les noves tecnologies que estan a la base del desenvolupament i

que permeten el canvi social i arribar a millors nivells de vida per a tots.

- Perquè a través de la matemàtica s’aconsegueix el desenvolupament de la ment, del

raonament lògic i crític, que són la base que ens permet abordar i solucionar proble-

mes cada vegada més difícils.

- Perquè no són només una competència bàsica per als sabers que tradicionalment

s’han agrupat sota l’etiqueta de “ciències”, sinó que també són requerides per a

l’exercici de disciplines humanístiques o catalogades com de “lletres”.



4. CONEIXEMENTS MATEMÀTICS BÀSICS4

Els continguts bàsics que cal assolir a nivell matemàtic es podrien agrupar en diferents

categories.

1. Numeració

Per aprendre a comptar i a entendre i aplicar la base deu (sistema numèric decimal)

els alumnes necessiten adquirir:

• Una sèrie de conceptes bàsics o previs (com per exemple molt, poc, massa, més,

menys, igual, diferent, abans, després…)

• Percepció de la quantitat i correspondència de cada quantitat amb un número

(nom del número i xifra que representa la quantitat).

• Traç de la grafia de cada nombre.

• Habilitats per comptar: fer correspondre cada número amb un únic element dife-

rent, sense deixar-se’n cap (no descomptar-se quan compta).

• Habilitats per fer agrupacions i distingir entre nombre de grups i nombre

d’elements.

• Conceptes d’unitat, desena, centena, miler… i les diferents equivalències ( 1 dese-

na = 10 unitats, 1 centena = 10 desenes = 100 unitats…)

• Valor posicional de les xifres ( el 3 del 34 val 30 mentre que el 3 del 1003 només

val 3…)

• Ordenació en la línia numèrica.

• Agrupacions de números (per desenes, centenes…) en una graella.




• Observacions de les propietats dels números ( números que van bé per fer pare-

lles o números que van bé per repartir…)

• Comparació entre quantitats i xifres.

• Coneixement del nombre anterior i posterior a un nombre donat.

• Desplaçament mental per la línia numèrica.

• Situació d’un nombre dins la línia numèrica determinant les desenes, centenes o

milers propers.

• …

2. Habilitat per al càlcul i per a l’execució d’algoritmes

Com ja s’ha dit anteriorment resulta imprescindible automatitzar una sèrie de càlculs

mentals senzills (parelles que fan 10, sumes de dobles, sumes i restes de desenes o

centenes completes, sumes i restes de desenes completes i unitats, taules de multi-

plicar…) alhora que assolir altres estratègies que ajudaran a l’alumne a moure’s men-

talment per la línia numèrica o les graelles numèriques (començar pel nombre gros i

afegir-ne el petit, afegir nombres grossos a partir de la seva descomposició numèrica,

aplicar la propietat commutativa…).

Abans d’iniciar-se en el càlcul escrit dels diferents algoritmes, però, cal adquirir els

conceptes de les 4 operacions bàsiques: suma, resta, multiplicació i divisió.

A més a més, el seu significat no ha de limitar-se en un únic sentit o interpretació, sinó

que cal contemplar les seves diferents accepcions:

• Suma.- Ajuntar, guanyar, afegir, augmentar, total..

• Resta.- Treure, perdre, disminuir, comparar quantitats, trobar la diferència…

• Multiplicació.- Repetir col·leccions, sèries numèriques…

9



• Divisió.- Repartir, fer grups i trobar el nombre de grups…

Per últim, l’aprenentatge dels diferents algoritmes escrits és un altre dels objectius a

tenir en compte dins la categoria de càlcul. Aquest aprenentatge implica automatitzar

una sèrie d’accions consecutives, si bé cal remarcar que aquesta automatització convé

que estigui raonada, és a dir, basada en el coneixement dels principis que expliquen

cada pas de la cadena.

3. Resolució de problemes

Aquest és un dels objectius claus de la matemàtica i implica desenvolupar el raonament

matemàtic, si bé depèn força de l’agilitat i precisió en el càlcul.

A més a més, en la resolució de problemes verbals (orals i escrits) es veuen involucrats,

alhora, processos de llengua i en ocasions una dificultat a nivell de comprensió lectora

pot impossibilitar resoldre adequadament el problema.

D’aquesta forma en algunes ocasions es pot observar com alumnes no tenen èxit en la

resolució d’un problema per interpretar inadequadament el text del mateix, més que

per una dificultat específica a nivell de matemàtica.

Així, el veritablement important és arribar a la comprensió de l’estructura lògica del

problema, així com disposar d’estratègies eficaces per a efectuar una adequada resolució.

4. Estimació

La capacitat d’estimar el resultat d’un problema abans de resoldre’l és una capacitat

molt útil en la vida quotidiana en aquelles situacions que una resposta aproximada ja

ens resulta suficient, alhora que aporta una eina important per a efectuar una “activitat

de control” sobre els resultats que obtenim després de resoldre’l.

Amb el desenvolupament d’aquesta capacitat es pot valorar si la nostra resposta és

possible o impossible i ens pot alertar sobre si cal o no canviar de procediment per a

resoldre’l.

10



11

Aquesta capacitat implica treballar estratègies com l’arrodoniment, la utilització

d’operacions equivalents més senzilles, la compensació inversa del resultat final en

funció del tipus d’arrodoniment (a l’alça o a la baixa)…

5. Habilitat per a utilitzar instruments tecnològics

Tot i que no representa un coneixement matemàtic per ell mateix, cal assolir habilitats

per a utilitzar instruments que cada vegada més formen part de la nostra vida quoti-

diana i que poden donar suport a l’aprenentatge matemàtic: calculadora, ordinador…

6- Coneixement de les fraccions i els decimals

Si bé es pot pensar que les fraccions i els decimals corresponen a un nivell avançat de

la numeració cal iniciar-se en aquest coneixement, amb experiències molt “concretes”

des de les primeres etapes escolars. De fet, formen part de les matemàtiques funcionals

del dia a dia ( interpretant els preus dels articles en euros fem ús dels decimals, repartint

unitats en parts fem fraccions, els quarts del rellotge…).

Cal arribar a entendre les relacions entre les parts i el tot i l’equivalència entre les fraccions

i els decimals.

7. Mesura

En la vida quotidiana fem ús de forma continuada de les unitats de les diferents mag-

nituds (longitud, massa, superfície, volum, temps, temperatura, sistema monetari,

capacitat...)

Resulta doncs totalment necessari assolir un domini mínim d’aquestes unitats per tal

d’entendre i utilitzar les diferents unitats.

És aconsellable integrar des de les primeres etapes i de forma progressiva l’ús de les

diferents unitats de mesura, establint rutines (calendari, agenda, amidar alçades, control

del pes propi i dels objectes, manipulació i comparació de líquids, lectura del rellotge,

utilització d’horaris, la botiga, control de temperatures…)



12

8. Geometria

En aquest apartat es pot prioritzar el coneixement de les formes planes i els cossos

geomètrics, així com les relacions geomètriques a partir de la manipulació dels objectes.

9. Gràfics i estadística

Les representracions gràfiques i diagrames estan molt presents en la nostra vida

quotidiana.

Es fa necessari, doncs, familiaritzar-se amb elles per tant d’interpretar les dades que

trobem al nostre entorn.



13

5. DETECCIÓ I CRITERIS DIAGNÒSTICS DE LES DIFICUL-TATS DEL CÀLCUL5

Als voltants dels 5-6 anys d’edat, entre un 20% i un 25% d’alumnes acostumen a presentar

dificultats en l’adquisició de la lectura, l’escriptura i el càlcul; d’aquests entre un 10 i un

17% aproximadament, recuperen el retard al llarg de l’any següent, mentre que la resta

mostraran dificultats de forma persistent.

Un percentatge elevat d’aquest últim grup continua presentant signes del trastorn al

llarg de la seva vida adulta.

Una detecció primerenca del trastorn permet una ràpida intervenció educativa i pot

reduir, de forma considerable, la simptomatologia i, en conseqüència, possibilita una

millora del rendiment escolar.

Una detecció primerenca resulta efectiva si s’efectua de forma sistemàtica en les etapes

inicials (entre els 5 i 8 anys d’edat) ja que permet que els alumnes puguin rebre un ajut

abans que les dificultats siguin tan greus com per a impedir l’adquisició de les habilitats

instrumentals bàsiques.

Una manca de detecció o un diagnòstic tardà comporta que no es facilitin les mesures

de tractament adequades i provoca uns mals resultats acadèmics, els quals deriven, en

la majoria dels casos, en una baixa autoestima, una desmotivació pels aprenentatges i

l’aparició de trastorns emocionals secundaris.

Les dificultats d’aprenentatge es tradueixen en mals resultats acadèmics que provoquen

una baixa autoestima, la qual, a la vegada, implica una desmotivació i unes creences

negatives sobre les pròpies capacitats que bloquegen la possibilitat d’actuar i de superar

les dificultats d’aprenentatge.

5.1 Protocol de detecció

A partir de la pràctica educativa i del coneixement de les etapes evolutives dels nostres




14

alumnes es pot identificar aquelles desviacions que són susceptibles d’esdevenir un

trastorn de lectura, escriptura i/o càlcul.

En les següents pràctiques s’exposaran indicadors que ens poden alertar sobre aques-

tes dificultats específiques, si bé, cal tenir molt present que cada persona és única i sin-

gular en les seves dificultats i no sempre presentarà ni els mateixos signes, ni ho farà

sempre de la mateixa manera.

D’altra banda, convé també tenir molt present que per tal que aquests indicadors ens

portin a la detecció d’un trastorn de lectoescriptura i/o de càlcul, descartant que es tracti

només d’un retard d’aprenentatge, cal que es compleixen les característiques que defi-

neixen un Trastorn d’Aprenentatge, destacant principalment els dos següents:

• Discrepància intraindividual. Els alumnes mostren un rendiment normal en les altres

àrees mentre que manifesten una dificultat persistent en l’àrea afectada.

• Caràcter d’exclusió. Les dificultats no es deriven d’una dificultat global de desen-

volupament, com ara el retard mental, o bé, no són conseqüència d’un altre trastorn

específic, com per exemple el TDAH o altres dèficits psíquics, físics o sensorials.

Així, doncs, resulta necessari per tal d’aconseguir un diagnòstic diferencial, que com a

docents efectuem les següents actuacions com a PROTOCOL DE DETECCIÓ:

• Recollir dades sobre el rendiment i les dificultats observades a totes les àrees.

• Disposar d’una avaluació del nivell cognitiu de l’alumne.

• Efectuar les derivacions pertinents per tal de detectar qualsevol problema físic i/o

psíquic que puguin estar interferint en els processos d’aprenentatge.

• Recollir informació sobre la història de l’alumne, malaties, possibles deficiències,

escolarització, etc.



15

El disposar de tota aquesta informació resultarà útil per a descartar l’existència dels

següents criteris d’exclusió:

• Q.I. (quocient intel·lectual) per sota del que es considera “normal”.

• Problemes visuals i/o auditius.

• Problemes o dificultats de tipus emocional i/o psicològic.

• Lesions cerebrals que afecten les àrees implicades en el llenguatge i/o càlcul.

• Existència d’un entorn o circumstàncies ambientals poc o gens estimuladores de

l’aprenentatge.

5.2 Observacions generals sobre els criteris diagnòstics dels trastorns de lectura, escriptura i/o càlcul

Des de l’àmbit educatiu no existeix, ara per ara, cap prova baremada específica per a

valorar i diagnosticar els Trastorns d’Aprenentatge.

Els Trastorns d’Aprenentatge tradicionalment han estat diagnosticats des de l’àmbit clínic, a

partir dels criteris diagnòstics del DSM i de la CIE.

A més a més, aquest diagnòstic es porta a terme tenint en compte una història detallada

en la qual es cerquen:

• Símptomes específics.

• El context en que apareixen aquest símptomes (cal descartar que siguin conseqüència

d’un ambient poc o gens estimulador).

• La seva evolució.

• El grau de discordança amb l’edat cronològica (cal constatar un desfasament



16

d’almenys dos anys, o dues desviacions típiques, entre el rendiment de les proves

administrades i el que seria esperable segons el seu quocient intel·lectual).

5.3 Trastorn de càlcul: criteris diagnòstics

El trastorn de càlcul és un trastorn que es manifesta per un a baixa capacitat per al

processament numèric i del càlcul.

A l’escola es manifesta per un baix rendiment a l’àrea de matemàtica, mentre que el

rendiment de les altres àrees acostuma a estar dins de la normalitat.

Així i tot, alguns alumnes poden presentar de forma simultània dificultats de lectoescrip-

tura i/o dèficit d’atenció.

Signes que ens alerten sobre la possibilitat que un alumne presenti un trastorn de càlcul:

• Utilitzen els dits per a comptar.

• Presenta moltes dificultats per a comptar enrera.

• Li resulta molt difícil fer càlcul aproximats.

• Li costa manipular xifres grosses, com les centenes o els milers.

• Presenta dificultats per saber quina operació necessita aplicar per a resoldre un

problema.

• Li costa molt memoritzar les taules de multiplicar. Avui les sap i demà no se’n recorda.

• Efectua errors de transcripció, per exemple, quan escriu nombres que li són dictats.

• Necessita dedicar molt temps i esforç a fer els deures i les activitats de matemàtica,

sense obtenir resultats positius.



17

• És freqüent que l’alumne manifesti ansietat i/o rebuig cap a les matemàtiques, a

mida que va acumulant experiències de fracàs en questa àrea.

Afortunadament, els estudis realitzats al respecte demostren que si el trastorn es detecta el

més aviat possible i s’hi intervé de forma adequada amb un programa específic, l’alumne

pot arribar a superar les seves dificultats amb èxit.

Criteris per al diagnòstic del trastorn del càlcul segons el DSM-IV-TR (APA, 2002)

1. La capacitat per al càlcul, avaluada mitjançant proves normalitzades i administrades

individualment, és substancialment inferior al que s’espera per edat cronològica,

escolarització i nivell d’intel·ligència.

2. L’alteració en el rendiment del càlcul interfereix significativament en el rendiment

acadèmic o en les activitats de la vida quotidiana que requereixen capacitat per al càlcul.

3. Si existeix un dèficit sensorial, les dificultats per al rendiment en càlcul excedeixen

de les que es consideren habitualment associades a ell.

Criteris per al diagnòstic del trastorn específic de càlcul segons la CIE-10 (OMS, 1992)

Trastorn caracteritzat per una alteració específica de la capacitat d’aprendre l’aritmètica, no

explicable per un retard mental generalitzat o per una escolaritat clarament inadequada.

El trastorn afecta l’aprenentatge dels coneixements aritmètics bàsics d’addició, sub-

tracció, multiplicació i divisió (més que als coneixements matemàtics més abstractes de

l’àlgebra, la trigonometria o la geometria).

5.4 Pautes de diagnòstic

El domini del càlcul aritmètic està significativament per sota del nivell esperat per la seva

edat, per la seva intel·ligència general i pel seu nivell escolar.

El rendiment es valora preferentment mitjançant l’aplicació individual de tests de càlcul

aritmètic estandarditzats.



18

La capacitat de lectoescriptura i el Q.I. s’han de trobar dins de la mitjana normal, avaluats

tots dos preferentment mitjançant l’aplicació individual de tests adequadament estandar-

ditzats.

Les dificultats per al càlcul aritmètic no són conseqüència d’un ensenyament clarament

inadequat ni de dèficits funcionals visuals, auditius o neurològics. Tampoc han d’ésser el

resultat d’un trastorn neurològic, psiquiàtric o d’un altre tipus adquirit.

Els problemes per al càlcul aritmètic són de diferents tipus i comprenen: fracàs en la com-

prensió dels conceptes bàsics de les operacions aritmètiques específiques, manca de

comprensió de termes o signes matemàtics, no reconeixement de símbols numèrics, difi-

cultat en el maneig de les regles aritmètiques, dificultat per a comprendre quins nombres

són els adients per a un problema aritmètic concret, dificultat per alinear adequadament

nombres o per a inserir decimals o símbols durant els càlculs, mala organització espacial

dels càlculs aritmètics i manca de capacitat per aprendre de forma satisfatòria les taules

de multiplicar.

Inclou:

• Trastorn de l’aprenentatge de l’aritmètica.

• Síndrome del desenvolupament de Gerstmann.

• Acalculia i discalculia del desenvolupament.

Exclou:

• Dificultats aritmètiques associades a trastorns de lectura o de l’ortografia.



19

6. CONTEXTUALITZACIÓ DE LES DIFICULTATS D’APRENENTATGE DE LES MATEMÀTIQUES6

Les dificultats d’aprenentatge de les matemàtiques constitueixen, juntament amb les

dificultats en el llenguatge escrit, un dels trastorns de l’aprenentatge que ha suscitat més

interès en el món de l’educació. Malgrat això, a diferència del llenguatge escrit, aquest

interès no s’ha traduït en prou investigació per a comprendre’l en tota la seva profunditat.

Això no significa que no puguem encarar-nos amb aquesta dificultat d’aprenentatge. De

fet, en els darrers anys hi ha un interès creixent per conèixer el desenvolupament del

pensament matemàtic i, per extensió, les dificultats d’aquest desenvolupament, per bé

que, com diem, el terreny per recórrer és llarg.

De qualsevol manera, en aquest mòdul intentarem desenvolupar alguns dels coneixements

acumulats fins al moment. Un primer element que cal tenir present és el de delimitar allò

que entenem per dificultats en les matemàtiques. Alguns creuen que en aquest fenomen

s’haurien d’incloure els problemes que els alumnes troben en el càlcul.

Per contra, d’altres, entre els quals ens incloem, consideren que les dificultats van més

enllà de les meres operacions, i que també caldria tenir en compte els contextos en què

es posen en joc les operacions, és a dir, la resolució de problemes.

Per aquest motiu, ens proposem estudiar com es desenvolupen les habilitats per al càlcul

per a poder comprendre millor, d’aquesta manera, les dificultats que troben determinats

alumnes amb aquesta destresa. Igualment, abordarem el context en què es fa operatiu

el càlcul: la resolució d’un problema, considerant tant el que fan els alumnes competents

com les dificultats que troben molts d’altres per a resoldre problemes.

La comprensió d’aquests fenòmens ens permetrà plantejar-nos com donar una resposta

educativa a tots aquests alumnes que, per un motiu o altre, fracassen en les matemàtiques,

una àrea curricular tan necessària en una societat moderna com la nostra. Som ben

conscients que aquesta és una visió molt individualista de les dificultats, i que la inter-

venció pedagògica ha d’anar més enllà i considerar el context educatiu en què es troba

immergit l’alumne.

6 José Orrantia Rodríguez



20

Però per a fer aquest salt, abans cal entendre l’alumne o alumna que presenta dificultats.

Tan sols per mitjà d’aquesta comprensió podrem concebre una visió més global en què

situar les dificultats d’aprenentatge de les matemàtiques.

Les matemàtiques, en comparació amb altres àrees curriculars, presenten una de les quotes

més elevades de fracàs escolar. Els resultats d’una investigació recent, duta a terme per

A.E. Lapointe, N.A. Mead i G.V. Philips (1989) amb alumnes de diferents països, mostra

que a l’entorn del 50% dels alumnes de l’Estat espanyol de tretze anys no han assolit els

coneixements i les habilitats matemàtiques mínimes que haurien d’adquirir-se durant

l’escolaritat obligatòria.

Aquest fracàs ha motivat que cada vegada hi hagi més interès per conèixer-ne les causes,

és a dir, per esbrinar l’origen d’aquestes discrepàncies entre uns alumnes i uns altres. I

aquest serà també l’objectiu central d’aquest mòdul. Lògicament, no podrem revisar tots

els continguts inclosos en l’àrea de matemàtiques, perquè sobrepassaria els límits del mòdul.

Per exemple, pot ser comú que ens trobem davant situacions similars a les següents quan

un alumne concret ha de resoldre diferents tasques matemàtiques:

• Quan ha d’extreure d’un conjunt de n elements un subconjunt més petit que n, n’és

incapaç i compta tot el conjunt.

• Quan ha de llegir o escriure el número 9, ho fa com un 6.

• Quan li demanem que escrigui cinc mil tretze, la resposta és 513; i a l’inrevés, quan ha

de llegir 5.013, diu «cinc-cents tretze».

• Quan li demanem que classifiqui diferents objectes de l’entorn segons la forma

geomètrica, ho fa utilitzant qualsevol altra categoria.

• Quan li demanem que digui quant és 9 + 7 diu 15, i ho fa fent servir els dits o bé

recuperant-ne el resultat de la memòria.

• Quan davant d’un problema d’enunciat verbal de suma confon l’operació (fa una

resta) o és incapaç de raonar-ne el resultat.



21

Totes aquestes situacions reflecteixen diferents dificultats que pot presentar un alumne o

alumna en l’àrea de matemàtiques que tenen a veure amb continguts relacionats amb els

nombres, la numeració, les operacions, la geometria o la resolució de problemes, a més

d’altres que podem incloure-hi, com ara la mesura, l’estimació o la probabilitat.

Però sembla que hi ha un consens generalitzat a considerar que les dificultats més grans

que troben les alumnes i els alumnes se centren fonamentalment en l’aritmètica, concre-

tament en els aspectes relacionats amb el càlcul i la resolució de problemes.

A més, possiblement aquests són els continguts més estudiats des de la perspectiva

adoptada en aquest llibre, i especialment els continguts sobre els quals els professionals de

l’educació i, de manera particular els relacionats amb l’etapa de primària, demanen més

informació. Aquesta demanda està motivada principalment per la manifestació d’aquests

professionals cap a la falta de recursos per a donar resposta als alumnes i les alumnes amb

dificultats en aquests continguts, com també per a promoure el seu desenvolupament.

Per això, i des d’aquest argument, partirem d’una tasca escolar típica en què molts alumnes

troben dificultats i, des d’aquest punt, plantejarem l’organització d’aquest mòdul. La tasca

en qüestió és un problema, ja que en la resolució d’un problema es recullen la major part

dels continguts relacionats amb aritmètica. Considerem que es planteja a l’alumne el

problema següent:

En Joan va jugar una partida de bales amb els amics.

En Joan va guanyar 3 bales.

Quan es va acabar la partida en Joan tenia 8 bales.

Quantes bales tenia abans de la partida?

Aquest és un problema típic dels primers cursos de l’educació primària, i és molt probable

que bona part dels alumnes tinguin dificultats per a resoldre’l. La qüestió és per què. Per

tal de donar-li resposta, partirem d’una teoria que ens especifiqui quins processos,

estratègies i estructures de coneixement es posen en joc per a resoldre aquest problema

i, basant-nos en aquesta teoria, establirem les possibles dificultats que poden trobar els

alumnes.



22

Hi ha un acord generalitzat a establir que per a resoldre un problema es duen a terme un

seguit de passos:

a) traslladar a una representació interna les frases de l’enunciat, la qual cosa implicaria

comprendre aïlladament cada frase;

b) integrar les frases en una representació coherent.

Aquests dos passos permeten representar globalment el problema en la memòria o,

en altres paraules, permeten comprendre verbalment el problema. A partir d’aquesta

representació:

c) es planifica quina operació o operacions necessitem per a resoldre’l, i

d) s’executen aquestes operacions (càlcul).

Des d’aquest marc, es podria pensar que les dificultats poden sorgir en qualsevol

d’aquests casos. Però, globalment, es considera que les dificultats es poden trobar:

• en l’execució de les operacions,

• en la comprensió verbal del problema, la qual cosa impediria escollir l’operació correcta.

Considerem ara breument cadascuna d’aquestes possibilitats. Una de les possibilitats la

trobem en el fet que l’alumne no sap operar amb els números. En aquest cas, diem que

té un problema amb el càlcul. I aquí es poden produir dues situacions:

a) que certs alumnes tinguin dificultats per recuperar directament el resultat des de la

memòria (8 – 3 = 5);

b) o també que, com que no tenen emmagatzemada aquesta operació, hagin d’utilitzar

estratègies de recompte (“poso vuit dits, compto cap enrere tres vegades...”), però

que ho facin incorrectament, tant si és perquè s’equivoquen en el recompte, com per-

què són molt lents comptant i obliden els números.



23

No obstant això, aquest resultat queda molt lluny del 50% de què parlàvem més amunt.

En aquest sentit, les dificultats per a resoldre el problema exposat anteriorment poden

no trobar-se en la mecànica de les operacions, sinó en la comprensió verbal de l’enunciat.

Per exemple, tenim bones raons per creure que molts alumnes responen amb una addició

(8 + 3 = 11) perquè es guien per una estratègia superficial (en l’enunciat apareix “guanya”

i això els porta a pensar en una addició).

En aquest cas, no podríem dir que la dificultat es troba en l’execució de l’operació, ja que

l’alumne opera perfectament (imaginem que davant aquesta operació, recupera ràpida-

ment l’11 de la seva memòria). Més aviat diríem que no ha creat una representació correcta

de la situació problemàtica.

Ara bé, som conscients que algú pot dir que aquest segon cas no és una dificultat específica

de les matemàtiques, sinó més aviat un problema d’abast general relacionat amb la com-

prensió del llenguatge. I, en realitat, no li faltaria raó. Tanmateix, però, cal que tinguem

present que la resolució de problemes és un objectiu prioritari dins del currículum de

matemàtiques, ja que les operacions s’han d’introduir en contextos significatius.

En aquest sentit, les dificultats del càlcul no es poden abordar al marge de la

resolució d’un problema, atès que el càlcul és un component més de la seva re-

solució. Encara més, l’execució de les operacions s’ha d’arribar a automatitzar

a fi d’utilitzar tots els recursos cognitius en la resta de components implicats en

la resolució del problema (traslladar les frases, integrar-les i escollir l’operació

corresponent).

En general, es considera que les dificultats en les matemàtiques es troben preci-

sament en el càlcul d’operacions. Alguns estudis epidemiològics (L. Kosc, 1974;

N.A. Badian, 1983; C. Lewis, G.J. Hitch i P. Walker, 1994) indiquen que entre el

3,6% i el 6,4% d’alumnes mostren una dificultat específica en el càlcul quan s’han

donat les condicions necessàries perquè no sigui així, com s’estableix en la

definició de dificultats d’aprenentatge desenvolupada en el mòdul “Les dificultats

d’aprenentatge: noció i naturalesa”.



24

Partint d’aquests plantejaments, organitzarem els continguts del mòdul en dues parts:

- Les dificultats en el càlcul (apartat 2).

- Les dificultats de comprensió dels problemes (apartat 3).

Ara bé, hem d’anunciar que aquesta separació és solament didàctica i ens servirà per a

diferenciar diversos tipus de dificultats que podem trobar.

Però això no significa, com ja avançàvem, que les operacions i la resolució dels problemes

segueixin camins diferents o, el que molt sovint es pensa, que no es resolen problemes

fins que no es dominen les operacions. Res més lluny de la realitat. Les operacions, insistim,

formen part de la resolució dels problemes.

Dins de cadascun d’aquests apartats, considerarem diverses qüestions. Així, ens centrarem

en l’explicació de les dificultats, és a dir, considerarem què és el que succeeix amb els

alumnes que no operen bé amb els números o que no resolen problemes verbals. Però,

per a respondre aquesta qüestió, abans és necessari que tinguem alguna teoria que

ens indiqui el desenvolupament normal d’aquestes habilitats, és a dir, què és el que fa

un alumne competent per a arribar a operar correctament amb els números o a resol-

dre problemes. Acabarem aquest apartat plantejant algunes qüestions relacionades amb

l’avaluació i la intervenció en cadascuna d’aquestes habilitats.

dam m1

Education