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1.1 Definición y notación de conjuntos.
Definir el concepto de un conjunto y sus elementos, describiendo los diferentes tipos, para poder realizar operaciones.
OBJETIVO
ITESM-Preparatoria Zona EsmeraldaSemestre Enero – Mayo 2015Prof. Q.F.B. Mary Luz Noguera
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1.1 Definición y notación de conjuntos
La mente humana posee una inclinación natural a reunir o agrupar.
Cuando vemos en el cielo cinco estrellas reunidas, en lugar de considerarlas como cinco elementos separados, las personas tendemos a verlas como un grupo de estrellas.
Nuestra mente trata de encontrar orden y patrones.
En matemáticas, esta tendencia a agrupar es representada mediante el concepto de conjunto
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Conjunto.
Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos que pueden ser cualquier cosa, a saber: números, personas, letras, animales, etc.
El concepto de conjunto es fundamental en todas las ramas de las matemáticas.
Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.
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Notación de conjuntos
Usaremos letras mayúsculas para presentar los conjuntos e incluiremos sus elementos dentro de
llaves, separándolas por comas.
A los elementos que forman el conjunto los denotaremos con letras minúsculas.
A = { a, e, i, o, u }
A es el conjunto de las vocales y
a es un elemento del conjunto A
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2) por comprensión.
2) Un conjunto está descrito por comprensión si sus elementos están dados en forma implícita mediante una
frase que los describa.
Conjuntos: 1) por enumeración (extensión).
1) Un conjunto está descrito por enumeración si se han dado explícitamente todos sus elementos.
enumeramos totalmente a los elementos del conjunto.
A = { a, e, i, o, u }
B = {Estados de la República Mexicana}B es el conjunto de todos los estados de la República Mexicana y
podemos decir que Yucatán es un elemento de B
damos una frase que describe a los elementos de éste conjunto.
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Identifica los siguientes conjunto:por enumeración o por
comprensión
C = { José, Bertha, Rafael, María }
A = { }
B = {Manzanas producidas en México }
D = {Países Latinoamericanos }
ENUMERACION
ENUMERACION
COMPRENCION
COMPRENCION
enumeramos totalmente a los elementos del conjunto.
damos una frase que describe a los elementos del conjunto.
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Símbolo Є significa pertenecer
Para decir que un elemento está o no en un conjunto dado usaremos el símbolo Є y Є respectivamente.
X Є A significa que X no pertenece al conjunto A
Construcción de conjuntos
X Є A significa que X pertenece al conjunto A
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Expresar los siguientes conjuntos en su forma de enumeración.
Expresar los siguientes conjuntos en su forma de comprensión.
a) A = {x/x es un niño héroe}b) B = { x/x es un par positivo menor
que 20}c) C = {x/x es un mes del año}
a) A = {1, 3, 5, 7, 9 }b) B = {Septiembre, octubre,
noviembre, diciembre}c) C = {México, Canadá }
x/x significa en el lenguaje algebraico x tal que x
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Conjuntos especiales
Conjunto universo
Conjunto vacio
Conjunto unitario
Conjuntos iguales
Conjuntos ajenos
Conjuntos finitos e infinitos.
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Conjunto universo
La letra U representa el universo.
Un conjunto queda determinado por una colección de atributos que los elementos del universo pueden o no poseer.
Llamaremos universo al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos.
Así los elementos del universo que si poseen los atributos requeridos forman el conjunto.
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Conjunto vacio
Si A = { personas vivientes mayores de 200 años },
A es vacio según las estadísticas conocidas.
Sea B = { personas que vuelan }
Sea C = { x/x es rojo y verde a la vez }
Sea D = { x/x es un numero racional e irracional }
Es un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar conjunto
nulo.
Se denota así:
Ø
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Conjunto unitario
A = { 5 }
B = { números pares entre 6 y 10}
C = { la capital de Perú}
Es todo conjunto que está formado por un solo y único elemento.
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Conjuntos iguales
Tienen los mismos elementos
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Conjuntos ajenos o disjuntos
Son aquellos que no tienen nada en común.
Por ejemplo, el conjunto de los
números pares y el conjunto de los
números nones son ajenos.
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Conjuntos finitos e infinitos
Conjunto finito
Es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos del
conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito.
Conjunto infinito
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¿PREGUNTAS?
¿COMENTARIOS?
Q.F.B MARY LUZ NOGUERA DE DE REGULES, MATEMATICAS I 16
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Subconjunto
A es subconjunto de B A c B
A no es subconjunto de B A ¢ B
Ej. A = { 2, 4, 6, 8 } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Es claro que A c B. Toda x que pertenece a A también pertenece a B
Sean A y B dos conjuntos, diremos que A es un subconjunto de B, si para toda x que pertenece a A se tiene que x también
pertenece a B. Es decir, todos los elementos de A lo son también de B
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Subconjunto propio
Si A = { x/x es una vocal } y B = { x/x es una letra del abecedario}
A B ya que A B y A ≠ B
A B
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Diremos que A es un subconjunto propio de B si solo si:
1º) A B y 2º) A ≠ B y lo denotaremos A B
Si A = { a, b, c } y B = { a, b, c } A no es subconjunto propio de B, ya que A B pero A = B
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Subconjunto propio
B c A A c B
Nota:
𝑺𝒊 𝑨=∅ 𝒚 𝑩={𝟏 ,𝟐 ,𝟑 } 𝑨⊆𝑩𝒚𝒂𝒒𝒖𝒆∅⊂𝑩𝒚 ∅ ≠𝑩
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Correspondencia biunivoca Se da si y sólo si cada elemento del conjunto A está
relacionado con uno y solo un elemento del conjunto B.
Si A = { a, e, i, o, u }
B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Hay una correspondencia biunívoca entre ellos
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Cardinalidad de un conjuntoNúmero de elementos de un conjunto Se denota #
# = 3 # = 7 # = 3
Si A = { 2 } # = 1
Si B = { a, b, c } # = 3
Si C = { x/x son los meses del año } # = 12
Otros ejemplos
Ø # = 0
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Ejercicios
Establecer una correspondencia biunívoca cuando sea posible entre los siguientes pares de conjuntos
A = {x/x es un número múltiplo de 5} B = {x/x es un múltiplo de 3 }
A = {x/x es un hombre } B = {x/x es una mujer }
A = {maestros del Tec. de Monterrey } B = {alumnos del Tec. De Monterrey }
A = { números naturales } B = {números naturales terminados en cero }