CURVATURA: FORMULAS DE FRENET - RESSET

CURVATURA: FORMULAS DE FRENET - RESSETINTRODUCCION:En clculo vectorial , las frmulas de Frenet-Serret describe la cinemtica de las propiedades de una partcula que se mueve a lo largo de un continuo, diferenciable curva en tres dimensiones del espacio euclidiano R 3 FORMULAS DE FRENET -RESSETLas frmulas de Frenet - Serret son:T es el vector unitario tangente a la curva, apuntando en la direccin del movimiento.N es la derivada de T con respecto a los parmetros arclength de la curva, dividida por su longitud.B es el producto vectorial de T y N. es la curvatura y es la torsin de la curva. Esta frmula define efectivamente la curvatura y la torsin de una curva en el espacio.

Las frmulas de Frenet-Serret tambin se pueden escribir como:

donde

Ejemplo 1:Dada la curva hallar la curvatura k

SOLUCION:El vector posicin:

Su derivada:Como

El vector posicin:

Entonces:

Ahora hallamos:

realizando las operaciones

En donde:

para calcular la curvatura utilizamos:

Ejemplo 2:Calcular la curvatura de la hlice

Podemos expresar que:

Entonces hallamos la derivadas

Debemos hallar

ahora calculamos su magnitud

Necesitamos saber

Entonces la curvatura k es igual a:

Para la curva x=3cost, y=3sent, z=4t. Hallar la curvatura KSe puede decir que la curva describe la siguiente trayectoria.El vector posicin esta dado por:Su derivada es:

Su magnitud:

Tomamos en cuenta

Ejemplo 3:Hallamos vector tangente T

Para hallar la curvatura k utilizamos:Ahora:

Ahora como