curvas en calculo

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1

1 Curvas en Rn.Definición 1 Una curva en Rn es una función ~r : [a, b] → Rn, t 7→ ~r(t)(función de variable real t y a valores vectoriales).

La curva está determinada por sus n funciones componentes en la forma~r(t) = (r1(t), ..., rn(t)). Cuando n = 2 y n = 3, la curva se representa por:½

x = x(t)y = y(t)

, para curvas en el plano x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, para curvas en el espacio.

Una curva en R3 se representa también en la forma~r(t) = x(t) · ı + y(t) · + z(t) · k, con a ≤ t ≤ b. Si consideramos la imagenC (el recorrido) de esta función, ella es un conjunto de puntos en R3 quegeométricamente constituyen una curva. Además ella se puede orientar apartir de la orientación de los números reales en el intervalo [a, b] . Física-mente, la curva C puede representar la trayectoria recorrida por un puntoen el espacio, durante el intervalo de tiempo que va de t = a hasta t = b,teniendo un punto inicial ~r(a) y un punto terminal ~r(b).Desde un punto de vista más geométrico o físico, la curva es el conjunto

de puntos C, orientado, y ~r es una parametrización de la curva.Por ejemplo, la función ~r(t) = cos t · ı+ sin t · + t · k, con 0 ≤ t ≤ 13; es

una parametrización de la espiral mostrada abajo.

024681012

-1-0.5

0.51

y

-1-0.5

0.51

t


Note que por conveniencia el eje z tiene una escala diferente de los ejesx e y. (el resorte es más estirado que lo que se muestra). Observe tambiénque las dos primeras componentes de la curva (parametrización) satisfacenla relación x(t)2 + y(t)2 = 1, lo que muestra que la espiral está en el cilindrox2 + y2 = 1.El concepto de límite para una función como la ~r establece que:

Definición 2 Para ~r(t) = x(t) · ı+ y(t) · + z(t) · k , t0 ∈ (a, b) y~r0 = x0 · ı+ y0 · + z0 · k vector fijo, se tiene:

limt→t0

~r(t) = ~r0 si, y sólo si,

dado ε > 0, ∃δ > 0 tal que, ∀t : 0 < |t− t0| < δ ⇒ k~r(t)− ~r0k < ε

Las desigualdades: |xi| ≤ k(x1, x2, ..., xn)k ∀i, para la norma en Rn,permiten probar que:

limt→t0

~r(t) = ~r0 ⇔ limt→t0

x(t) = x0, limt→t0

y(t) = y0, limt→t0

z(t) = z0,

Del concepto de límite se obtiene la noción de continuidad:

Definición 3 La curva ~r(t) = x(t) · ı + y(t) · + z(t) · k es continua en t0cuando

limt→t0

~r(t) = ~r(t0)

Es claro entonces que: ~r(t) = x(t) · ı+ y(t) · + z(t) · k es continua en t0cuando las funciones componentes son continuas en dicho punto. En términosgeométricos, que la parametrización sea una función continua significa queC es una curva que no se corta (continua).La espiral del ejemplo anterior es una curva continua, porque sabemos

que las funciones x(t) = cos t, y(t) = sin t y z(t) = t son todas funcionescontinuas.Otro concepto importante para una curva es el de derivada:

Definición 4 La curva ~r(t) = x(t) · ı + y(t) · + z(t) · k es derivable en t0cuando existe el límite

limt→t0

~r(t)− ~r(t0)t− t0 = ~r0(t0)


Geométricamente, el vector r0(t0) es un vector tangente a la curva C en elpunto r(t0). Cuando la curva C representa el movimiento de un punto en elespacio, la derivada r0(t0) = v(t0) es la velocidad instantánea en el instantet0. También podemos considerar la segunda derivada r00(t0) para obtener laaceleración en t0.

Cuando r0(t0) 6= θ (no es el vector nulo), el vector T (t0) =r0(t0)kr0(t0)k es

tangente y unitario.

Definición 5 Se dice que la curva ~r(t) = x(t) · ı+ y(t) · + z(t) · k definidapara t ∈ (a, b) es suave cuando la función es de clase C1 (su derivada escontinua) y r0(t) 6= θ, ∀t ∈ (a, b).Cuando la curva es suave, admite en cada uno de sus puntos un vector

tangente unitario.Se dice que la curva es seccionalmente suave (o suave por tramos) en (a, b)

cuando la condición de ser de clase C 1 y r0(t) 6= θ falla sólo en un númerofinito de puntos. Por ejemplo, la curva de ecuación cartesiana x2/3+y2/3 = 1,que tiene parametrización x(t) = cos3 t, y(t) = sin3 t; es seccionalmentesuave. Es posible considerarla como una curva formada por cuatro seccionessuaves (una en cada cuadrante)

x2/3 + y2/3 = 1 :

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

Es posible que una curva C admita más de una parametrización según seprecisa:

Definición 6 Se dice que r1 : [a, b]→ Rn y r2 : [c, d]→ Rn son parametriza-ciones de la misma curva C cuando existe una biyección ϕ : [a, b]→ [c, d] declase C1 y creciente tal que ∀t ∈ [a, b] : r1(t) = r2(ϕ(t)).Geométricamente, las dos funciones (parametrizaciones) ”recorren” la

misma curva C. La diferencia está en que r01(t) = ϕ0(t) · r02(ϕ(t)).


Se dice también que r2 es una reparametrización de r1, o al revés.Un ejemplo simple: r1 (t) = cos t · ı + sin t · , 0 ≤ t ≤ 2π , y r2 (t) =

cos 2t · ı + sin 2t · , 0 ≤ t ≤ π son parametrizaciones de la misma curvaC,circunferencia unitaria recorrida una vez en sentido antihorario.Otra propiedades importantes para curvas son:

a) la curva r : [a, b]→ Rn es simple cuando es inyectiva en el intervalo [a, b).O sea, la curva no se corta a si misma.b) la curva r : [a, b]→ Rn es cerrada cuando r(a) = r(b).c) una curva simple y cerrada se denomina curva de Jordan.d) dada una curva C parametrizada por r : [a, b]→ Rn, la funciónr− : [0, 1] → Rn, r−(t) = r(b + (a − b)t) parametriza una curva que recor-riendo el mismo conjunto C tiene punto inicial r(b) y punto terminal r(a).Se denomina curva opuesta a C y se denota C−.

Definición 7 Dada una curva C parametrizada por r : [a, b]→ Rn de claseC1, su longitud se define por

l(C) =

Z b

a

kr0(t)k dt

Es importante notar que esta definición no depende de la parametrizacióndada a la curva C. En efecto, si r1 y r2 son dos parametrizaciones como enla definición anterior, entonces el teorema del cambio de variable indica queZ b

a

kr01(t)k dt =Z d

c

kr02(t)k dt

Para una curva en R3, ~r(t) = x(t) · ı+ y(t) · + z(t) · k, su longitud estádada por

l(C) =

Z b

a

px0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2dt

Ejemplo 8 Calcule la longitud de la espiral C con parametrización~r(t) = cos t · ı+ sin t · + t · k, con 0 ≤ t ≤ 4πAquí, x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t y luego x0(t) = − sin t,

y0(t) = cos t, z0(t) = 1 y

l(C) =

Z 4π

0

p(− sin t)2 + (cos t)2 + 1dt = 4π

√2


2 Integrales de línea.

Se definirán los conceptos de integral de línea para dos tipos de funcionesa) Campos escalares: que son funciones f : Rn → R, de varias variables ycon valores en R. En términos físicos, un campo escalar puede determinar latemperatura de cada punto de una región del espacio.b)Campos vectoriales: que son funciones F : Rn → Rn, de varias variablesy con valores vectoriales. Considere un campo de fuerzas, como por ejemploun campo gravitacional.

Definición 9 Sea C una curva parametrizada por ~r : [a, b]→ Rn de clase C1y f : A ⊂ Rn → R un campo escalar continuo en un abierto A que contienea la curva C. La integral de f al lo largo de C esZ

C

f ds =

Z b

a

f(~r(t)) k~r0(t)k dt

Definición 10 Sea C una curva parametrizada por ~r : [a, b] → Rn de claseC1 y ~F : A ⊂ Rn → Rn un campo vectorial continuo en un abierto A quecontiene a la curva C. La integral de F al lo largo de C esZ

C

~F · ds =Z b

a

~F (~r(t)) · ~r0(t) dt

Estas definiciones no dependen de la parametrización elegida para la curvaC.

2.1 Ejemplos para campos escalares.

En R3, ~r (t) = x (t) · ı+ y (t) · + z (t) · k para a ≤ t ≤ b yZC

f ds =

Z b

a

f (x (t) , y (t) , z (t))

qx0 (t)2 + y0 (t)2 + z0 (t)2dt

En el caso particular que f (x, y, z) = 1, se tieneZC

1 ds =

Z b

a

kr0 (t)k dt = l (C)


Ejemplo 11 Si la imagen C de ~r : [a, b] → R3 representa un alambre condensidad de masa dada por la función f (x, y, z) entonces

M =

ZC

f ds es la masa total del alambre.

y el centro de masa es el punto (x, y, z) con

x =1

M

ZC

xf (x, y, z) ds , y =1

M

ZC

yf (x, y, z) ds , z =1

M

ZC

zf (x, y, z) ds

Ejercicio.- Un alambre está situado en el semicírculo superior x2 + y2 =a2, y ≥ 0. Si la densidad de masa está dada por f (x, y) = y, encuentre elcentro de masa.Una parametrización para el alambre es ~r (t) = a cos t · ı + a sin t · con

0 ≤ t ≤ π , luego ~r0 (t) = −a sin t · ı + a cos t · y k~r0 (t)k = a. De aquí, lamasa del alambre está dada por

M =

ZC

y ds =

Z π

0

a2 sin tdt

= 2a2

y las coordenadas del centro de masa son

x =1

M

ZC

xy ds =1

2a2

Z π

0

a3 sin t cos tdt = 0

y =1

M

ZC

y2 ds =1

2a2

Z π

0

a3 sin2 tdt =1

4πa

Ejemplo 12 Si ~r : [a, b] → R2 es una curva C en el plano xy y f (x, y)es campo escalar con f (x, y) ≥ 0, entonces

RCf ds tiene interpretación

geométrica natural como el área de una “valla” que tiene la imagen C de ~rcomo base y altura f (x, y) en cada punto (x, y)de C.Ejercicio.- Encuentre el área de una pared con base en la curva de ecuación

x2+4y2 = 4, que se encuentra en el primer cuadrante y cuya altura en (x, y)es f (x, y) = xy.Indicación.- Considere la parametrización ~r (t) = 2 cos t · ı + sin t · con

0 ≤ t ≤ π2.


2.2 Ejemplos para campos vectoriales.

En R3, ~r (t) = x (t) · ı + y (t) · + z (t) · k para a ≤ t ≤ b y ~F (x, y, z) =F1 (x, y, z) · ı+ F2 (x, y, z) · + F3 (x, y, z) · kZ

C

~F · ds =

Z b

a

~F (x (t) , y (t) , z (t)) · ~r0 (t) dt

=

Z b

a

[F1 (x, y, z)x0 (t) + F2 (x, y, z) y0 (t) + F3 (x, y, z) z0 (t)] dt

En vista de la última fórmula, también se escribeZC

~F · ds =ZC

F1dx+ F2dy + F3dz

Ejemplo 13 Cuando un objeto se mueve en el espacio, a lo largo de unatrayectoria C bajo la acción de un campo de fuerzas ~F , el trabajo realizadoestá dado por

W =

ZC

~F · ds

Un campo de fuerzas está definido por

~F (x, y, z) =¡x+ y2

¢ · ı+ (x+ z) · + xy · kcalcule el trabajo realizado por ~F al mover una partícula desde el origen alpunto (1,−1, 1) a lo largo de:a) el segmento de recta que une dichos puntos.b) la curva parametrizada por ~r (t) = t · ı− t2 · + t3 · k, 0 ≤ t ≤ 1.

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