CURVAS CCLICAS

Son curvas lugares geomtricos de las posiciones de un punto de una circunferencia que rueda sin resbalar sobre una recta o sobre

otra circunferencia.

A las curvas cclicas tambin se les denomina mecnicas por sus aplicaciones en el diseo de piezas.

En las curvas cclicas interviene dos elementos:

* Ruleta (o generatriz): Es la curva (crculo o circunferencia que rueda) mvil.

* Base (o directriz): Es la curva o recta fija, el camino sobre el que rueda la ruleta..

Si tomamos un punto relacionado de forma invariable con la ruleta (siempre se encuentra en la misma posicin respecto a sta) y

trazamos su trayectoria durante el movimiento de la ruleta sobre la base, la curva obtenida se denomina curva tcnica.

La base y la ruleta son siempre una circunferencia o una recta.

Si la ruleta es circular podr ser exterior o interior a la base segn donde se produzca el rodamiento.

Si la ruleta es una recta ser siempre exterior.

CICLOIDE. (Ilustracin n 1)

Es una curva plana, lugar geomtrico

de las posiciones de un punto de una

circunferencia que rueda, sin resbalar,

sobre una recta. La recta se denomina

directriz y la circunferencia ruleta o

generatriz.

Para trazarla rectificamos la circunfe-

rencia y dividimos dicha recta y la cir-

cunferencia en un mismo nmero de

partes (12). Disponemos la rectifica-

cin respecto a la circunferencia de

manera que quede tangente por su pun-

to medio.

Trazando una paralela a la rectificacin

por el centro de la circunferencia y

levantando perpendiculares a la rectifi-

cacin por cada una de sus divisiones,

obtenemos los centros de circunferen-

cia (O0, O1,O2..) de igual radio que la

original.

Por cada una de las divisiones de la

circunferencia (7-5, 8-4...) se trazan

paralelas a la rectificacin cortando a

cada circunferencia en un punto, la

interseccin de cada curva con su para-

lela correspondiente determinar los

puntos de la cicloide. Para trazar la

cicloide alargada y acortada se suma

una distancia cualquiera al segmento

formado por un punto de la cicloide

normal, por ejemplo P7, y su centro

correspondiente (O7) obteniendo dos

puntos, P7' y P que pertenecen a la

cicloide alargada y acortada respectiva-

mente. Los dems puntos de las dos

cicloides se determinan de igual forma. ILUSTRACIN N 1

CICLOIDE ACORTADA

CICLOIDE ALARGADA

CICLOIDE NORMAL

O6

O6

0' 1'

O0 O1

0 1

2' 3' 4' 5'

O4O2 O3

2 3

O5

4 5

0' 1'

O0 O1

2' 3' 4' 5'

O4O2 O3 O5

9

8

7

O10

6' 7' 8' 9'

O8

P7

O7

P7''

6 7

P7'

O9

P8''

8 9

12'10' 11'

O12O11

P8'

10 11 12

O10

6'

12

7' 8' 9'

O8O7

2

6

5

O9

4

12'10' 11'

O12O11

EPICICLOIDE. (Ilustracin n 2

Es una curva plana, lugar geomtrico de las posiciones de un punto de una

circunferencia que rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra circunfe-

rencia. La circunferencia que rueda se llama generatriz o ruleta (radio r) y

aquella sobre la que rueda, circunferencia directriz (radio R).

El ngulo central que delimita el desarrollo de la ruleta se determina apli-

cando la frmula:

siendo r el radio de la ruleta y R el radio de la circunferencia directriz.

Para trazar la epicicloide empleamos el siguiente mtodo:

1) Dividimos la circunferencia generatriz en un nmero cualquiera de

partes iguales (12 en la ilustracin n 2), rectificando una de las

divisiones y transportndola sobre la circunferencia directriz se

obtienen los puntos 1', 2', 3',.......

2) Unimos el centro de la circunferencia directriz (O) con los puntos

anteriores mediante rectas y centrando en O se traza un arco de

magnitud O O que cortar a las prolongaciones de las rectas ante-

riores en O1, O2, O3.

3) Los puntos anteriormente determinados (O1, O2, O3, ..) Son los

centros sucesivos que ocupar la circunferencia generatriz.)

4) Centrando en O trazar arcos que pasen por las divisiones de la cir-

cunferencia (1, 2, 3,...), estos arcos cortarn a las circunferencias

auxiliares (P5.. P7...) determinando as los puntos de la epicicloide.

La epicicloide alargada y acortada se obtiene aplicando el mismo

mtodo que en el caso de la cicloide.

2

360

2

360360

R r R r r

R

HIPOCICLOIDE (Ilustracin n 3)

Es una curva plana, lugar geomtrico de las posiciones de un punto de una

circunferencia que rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra circunfe-

rencia. La circunferencia que rueda se llama generatriz o ruleta y aquella

sobre la que rueda, circunferencia directriz.

Para calcular el ngulo del arco directriz aplicamos la frmula de la Epici-

cloide.

Obtenida la rectificacin de la circunferencia generatriz se traslada sobre

el arco directriz y se procede de idntico modo al explicado en el mtodo

de la epicicloide con la nica diferencia que el trazado se realiza interior-

mente a la directriz.

La hipocicloide alargada y acortada se obtiene aplicando el mismo mtodo

que en el caso de la cicloide.

ILUSTRACIN N 3

ILUSTRACIN N 2

EPICICLOIDEACORTADA

EPICICLOIDEALARGADA

EPICICLOIDENORMAL

O'

O6

O'

O6

PO P'

1'

P'5

O1

P''

O2

O3

O4

6'5'

2'

3'

4'

P''5

P5

O5

7

6

5

O1

2'

12

1'

98 10

11

1

O

4

3

2

O2

O3

3'

5'4'

O4

6'

O5

O12

P''8

P'7

O8

7'8'

12'

11'

10'

9'

O7

P''7

P7

O10

O9

P8 P'8

O11

11'

12' O12

9'

10'

8'

O7

7'

O8

O10

O9

2

360

2

360360

R r R r r

R

HIPOCICLOIDENORMALHIPOCICLOIDE

ACORTADA

HIPOCICLOIDEALARGADA

P''7

5'4'

P

1'P'

O1

P''

2'

3'

P6

P'6

O6

1'

2'

3'

6'

5'4'

6'

8'7'

10'

P'7

O9

P7

O7

9'

P10

11'

12'

10'

8'7'

9'

12'

11'

R s

m n