Curva elptica

1 2

y = x x y = x x + 1

Representacin grca en un sistema de coordenadas cartesianasde curvas elpticas sobre R .

En matemticas, las curvas elpticas se denen me-diante ecuaciones cbicas (de tercer grado). Han si-do utilizadas para probar el ltimo teorema de Fer-mat y en factorizacin de enteros. Se emplean tambinen criptografa de curvas elpticas. Estas curvas no sonelipses.Las curvas elpticas son regulares, es decir, no tienenvrtices ni autointersecciones, y se puede denir unaoperacin binaria para el conjunto de sus puntos de unamanera geomtrica natural, lo que hace de dicho conjuntoun grupo abeliano.Algunas de las curvas elpticas sobre el cuerpo de losnmeros reales vienen dadas por las ecuaciones y2 =x3 x y por y2 = x3 x+ 1 .

1 GeneralidadesLas curvas elpticas pueden denirse sobre cualquiercuerpoK ; la denicin formal de una curva elptica es lade una curva algebraica proyectiva no singular sobre Kde gnero 1.Si la caracterstica de K no es ni 2 ni 3, entonces todacurva elptica sobreK puede escribirse en la forma: y2 =x3 px q donde p y q son elementos de K tales queel polinomio del miembro derecho x3 px q no tenganinguna raz doble. Si la caracterstica es 2 o 3 harn faltams trminos.Normalmente se dene la curva como el conjunto de to-dos los puntos (x; y) que satisfacen la ecuacin anterior,y tales que x e y sean elementos de la cerradura alge-braica de K . Los puntos de la curva cuyas coordenadaspertenezcan ambas aK se llaman puntos K-racionales.Si aadimos un punto en el innito, obtenemos la ver-

sin proyectiva de tal curva. Si tenemos dos puntos de lacurva, P y Q entonces podemos describir de forma un-voca un tercer punto que sea la interseccin de la curvacon la lnea que contiene los dos puntos P yQ . Si la lneaes tangente a la curva en un punto, entonces ese punto lacontar dos veces; y si la lnea es paralela al eje y , de-nimos el tercer punto como en el innito. Entonces unade tales condiciones ser la que cumpla cualquier par depuntos de una curva elptica.

P

P

R

QQ

PP

Q

1 2 3 4

P + Q + R = 0 P + Q + Q = 0 P + Q + 0 = 0 P + P + 0 = 0

Podemos entonces introducir una operacin de grupo,+, sobre la curva con las propiedades siguientes: con-sideremos el punto en el innito como el 0, esto es, laidentidad del grupo; y si una lnea recta interseca la cur-va en los puntos P , Q y R , entonces requerimos queP + Q + R = 0 en el grupo. Se demuestra que estoconvierte a la curva en un grupo abeliano, y por tantoen una variedad abeliana. Se puede tambin demostrarque el conjunto de los puntos K-racionales (incluyendoal punto en el innito) forma un subgrupo de este grupo.Si la curva se denota por E , este subgrupo se denota amenudo como E(K) .El grupo de arriba se puede describir geomtrica y alge-braicamente. Dada la curva y = x - px - q sobre el cuerpoK (cuya caracterstica asumimos que no es ni 2 ni 3), ylos puntos P = (xP, yP) (subndice P) y Q = (xQ, yQ) enla curva, asumimos primero que xP xQ. Sea s = (yP -yQ)/(xP - xQ); ya que K es un cuerpo, s est bien de-nido. Entonces podemos denir R = P + Q = (xR, yR)mediante

xR = s2 xP xQ

yR = yP + s(xP xR)Si xP = xQ, entonces hay dos opciones: si yP = -yQ, en-tonces la suma se dene como 0; as que el inverso decada punto de la curva se encuentra reejndolo en el ejex. Si yP = yQ 0, entonces R = P + P = 2P = (xR, yR)vendr dado por

s = (3xP2 p)/(2yP )

1

2 5 ENLACES EXTERNOS

xR = s2 2xP

yR = yP + s(xP xR)Si yP = yQ = 0, entonces P + P = 0.

2 Teora asociadaEl teorema de Mordell-Weil establece que si el cuerposubyacente K es el de los racionales (o ms en gene-ral un cuerpo numrico), entonces el grupo de puntosK-racionales ser nitamente generado. Mientras que sepuede determinar fcilmente el subgrupo de torsin deE(K) , no se conoce un algoritmo general para compu-tar su rango. Una frmula para dicho rango viene dadapor la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.La prueba reciente del ltimo teorema de Fermat se lle-va a cabo probando un caso especial de la profundaconjetura de Taniyama-Shimura que relaciona las curvaselpticas sobre los racionales con las formas modulares;dicha conjetura ha sido tambin completamente demos-trada.Si el cuerpo subyacente K es el de los complejos, todacurva elptica podr ser parametrizada por cierta funcinelptica y su derivada. Especcamente, a cada curva elp-tica E se le asocia un reticulado L y una funcin elpticade Weierstrass correspondiente } , tal que la aplicacin

: C/L E

con

'(z) = C(}(z); }0(z))

sea un isomorsmo de grupos y un isomorsmo desupercies de Riemann. Lo que prueba en particular quetopolgicamente, E semeja un toro (ya que C/L es un to-ro). Si el reticulado L est relacionado con otro reticuladocL mediante la multiplicacin por un nmero complejodistinto de cero c, entonces las curvas correspondientesson isomorfas. Las clases de isomorsmo de curvas elp-ticas se especican mediante el j-invariante.Mientras que el nmero de puntos racionales de una curvaelptica E sobre un cuerpo nito Fp es difcil de computaren general, un teorema de Hasse dice que

j#E(F) p 1j < 2pp

Este hecho puede entenderse y demostrarse con algo deteora general; ver funcin zeta local, cohomologa tale.Para desarrollos ulteriores ver aritmtica de variedadesabelianas.

3 AplicacionesLas curvas elpticas sobre cuerpos nitos se usan enalgunas aplicaciones en criptografa as como en lafactorizacin de enteros. La idea general en esas aplica-ciones es que si tenemos un algoritmo que usa ciertosgrupos nitos podemos reescribirlo usando los grupos depuntos racionales de curvas elpticas.

4 Vase tambin Criptografa de curvas elpticas Curva elptica DSA Factorizacin Lenstra de curvas elpticas

5 Enlaces externos

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The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves Introduccin a las curvas elpticas, hiperelpticas ylibcurve

Curva elptica interactiva sobre R y sobre Zp - Apli-cacin web que requiere de un navegador que imple-mente HTML5 (canvas).

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Curva elptica Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%ADptica?oldid=75208653 Colaboradores: Romero Schmidtke, Sab-but, Ivn, Elwikipedista, Tano4595, Pati, Serrador~eswiki, Emijrp, Johnbojaen, RobotQuistnix, Chobot, Akhram, Yrbot, FlaBot, YurikBot,GermanX, KnightRider, CEM-bot, JMCC1, Daniel ht, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Gsrdzl, Chabbot, VolkovBot, Matdrodes, Barri, Esti-rabot, Descansatore, Darkicebot, Raulshc, Luckas-bot, MystBot, Xqbot, Jkbw, JViejo, Jerowiki, ZroBot, Acratta, Justincheng12345-bot,Dexbot, Addbot, Enfer Diez y Annimos: 13

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