CALCULO DE LAS TASAS DE RENDIMIENTO DE LOS TITULOS DE TESORERIA (TES B) EN COLOMBIA MEDIANTE SPLINES CUBI COS

JORGE ARMANDO BEDOYA CADAVID

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

AREA DE ECONOMIA Y FINANZAS PEREIRA

2008

CALCULO DE LAS TASAS DE RENDIMIENTO DE LOS TITULOS DE TESORERIA (TES B) EN COLOMBIA MEDIANTE SPLINES CUBI COS

JORGE ARMANDO BEDOYA CADAVID

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PARA OPTAR EL TÍTULO DE IN GENIERO INDUSTRIAL

DIRECTOR INGENIERO EDUARDO ARTURO CRUZ TREJOS

MAGISTER EN ADMINISTRACIÓN ECONÓMICA Y FINANCIERA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL AREA DE ECONOMIA Y FINANZAS

PEREIRA

Nota de Aceptación:

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_____________________________ Firma jurado

_____________________________ Firma jurado

Pereira, 23 de junio de 2008

CONTENIDO

Pág. AGRADECIMIENTOS RESUMEN ABSTRACT 1. INTRODUCCION 12 1.1 Antecedentes 12 1.2 Planteamiento del problema 13 1.2.1 Cobertura del estudio 14 1.2.2 Situación del problema 14 1.2.3 Importancia de la investigación 15 1.2.4 Formulación del problema 15 1.2.5 Sistematización del problema a investigar 15 1.3 Justificación 16 1.4 Objetivos 17 1.4.1 Objetivos generales 17 1.4.2 Objetivos específicos 17 1.5 Narrativa por capítulos 17 1.6 Glosario de términos 18 2. MARCO TEORICO 22 2.1 Los activos financieros de renta fija 22 2.2 Proceso de emisión de los títulos de renta fija en Colombia 24 2.3 Títulos de renta fija en Colombia 28 2.4 Estructura de Términos de las tasas de interés 49 2.5 Calculo del precio de los títulos de tesorería clase b (TES B) 53 2.6 Tasas de interés Spot y futuro 54 2.7 Interpolación mediante splines cúbicos 57 3. METODOLOGIA PROPUESTA 63 3.1 Tipo de estudio 63

3.1.1 Recorrido general por el mercado de renta fija en 63 Colombia y revisión de los conceptos fundamentales para el desarrollo del estudio. 3.1.2 Consulta de las captaciones de TES B subastas y 64 underwriting a través del misterio de hacienda y crédito público.

3.1.3 Selección de una muestra de TES B subastados en 64 diferentes fechas para realizar la estimación de las tasas de rendimiento.

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3.1.4 Realizar un grafico de los rendimientos de los títulos 64 de tesorería TES B contra su fecha de vencimiento. 3.1.5 Estudio de la interpolación mediante splines cúbicos 64 a través de la Internet, libros de métodos numéricos y publicaciones en revistas.

3.1.6 Interpolar las tasas de rendimiento con splines cúbicos 65 3.1.7 Calculo del precio teórico de los TES B 65

3.1.8 Calculo de las tasas forward y spot teóricas mediante 65 el método bootstrap. 3.1.9 Presentar el informe el final 65 4. DESARROLLO DE LA PROPUESTA 66 4.1 Planteamiento de modelos 66 4.2 Solución de ecuaciones y grafico de las curvas de rendimiento 76 4.3 Calculo del precio teórico de los TES B, calculo de la tasa spot 89 teórica y la tasa forward teórica. 5. ANALISIS DE RESULTADOS 96 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 104 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 106

LISTA DE TABLAS

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Tabla 1 Relación de la calificación de la deuda nacional emitida 26 por la República de Colombia. Tabla 2 Escala de Calificación de Riesgo 27 Tabla 3 Puntos o Nodos para la interpolación mediante splines cúbicos 76 Tabla 4 Precio teórico de los TES B subastados el 13-05-05 90 Tabla 5 Tasas spot teóricas de los TES B subastados el 13-05-05 92 Tabla 6 Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B 94 subastados el 13-05-05 Tabla 7 Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B 95 subastados el 11-07-07 Tabla 8 Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B 98 subastados el 13-05-05 Tabla 9 Precio teórico, tasas spot y forward teóricas de los TES B 102 subastados el 11-07-07

LISTA DE GRÁFICOS

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Gráfico 1 Proceso de emisión de Bonos 25 Gráfico 2 Formas típicas de curva de rendimientos 50 Gráfico 3 Tasas spot y Tasas Forward 54 Gráfico 4 Interpolación con splines cúbicos 58 Gráfico 5 Vencimiento (años) de los TES B Vs. Rendimiento 67 Gráfico 6 Construcción de la curva de rendimiento inicial de los 78 TES B subastados el 13-05-05 Gráfico 7 Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados 79 el 13-05-05 Gráfico 8 Construcción de la curva de rendimiento estabilizada 81 de los TES B subastados el 13-05-05 Gráfico 9 Curva de rendimiento de los TES B subastados el 13-05-05 82 Gráfico 10 Construcción de la curva de rendimiento inicial de los TES B 84 subastados el 11-07-07 Gráfico 11 Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados 85 el 11-07-07 Gráfico 12 Construcción de la curva de rendimiento estabilizada de los 87 TES B subastados el 11-07-07 Gráfico 13 Curva de rendimiento de los TES B subastados el 11-07-07 88 Gráfico 14 Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados 96 el 13-05-05 Gráfico 15 Curva de rendimiento de los TES B subastados el 13-05-05 97 Gráfico 16 Curva de rendimiento inicial de los TES B subastados 100 el 11-07-07 Gráfico 17 Curva de rendimiento de los TES B subastados el 11-07-07 101

LISTA DE ANEXOS

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Anexo A Fragmento (1) de las Captaciones de TES B 2005 107 Anexo B Fragmento (2) de las Captaciones de TES B 2005 108 Anexo C Curva de rendimiento de los TES B subastados el 26-10-2005 109 Anexo D Fragmento de las Captaciones de TES B 2006 110 Anexo E Curva de rendimiento de los TES B subastados el 08-02-06 111 Anexo F Fragmento de las Captaciones de TES B 2007 112 Anexo G Curva de rendimiento de los TES B subastados el 22-08-07 113 Anexo H Fragmento de las Captaciones de TES B 2008 114 Anexo I Curva de rendimiento de los TES B subastados el 28-01-2008 115

AGRADECIMIENTOS

Han sido muchas las personas que directa o indirectamente han colaborado en la realización de esta investigación, pero antes de mencionarlas agradezco primero a Dios por guiarme en todas mis decisiones y por poner a esas personas en mi camino. El agradecimiento mas especial es a mi madre y hermana que me han acompañado, han sido un apoyo incondicional en todos los momentos de mi vida, han sido mi principal fuente de alegría, confort y sobre todo por que me han ensañado los valores que un buen hombre debe poseer, gracias a mi director de tesis Eduardo Cruz por la motivación, el apoyo, lo comprometido que estuvo con este trabajo y por inculcarme como nadie el amor por el área financiera, gracias a la empresa donde trabaje grupoJAD LTDA, por regalarme mucho de su tiempo en la realización de este trabajo, gracias a Andrés Hurtado un gran matemático y programador por compartir conmigo un poco de su conocimiento, gracias a mi novia Silvia por su preocupación, cariño y por darme muchos empujoncitos y gracias a la Universidad Tecnológica de Pereira y la facultad de Ingeniería Industrial por brindarme la educación de los mejores ingenieros.

RESUMEN

Uno de los instrumentos fundamentales que sirven como fuente de información financiera para la toma de decisiones en proyectos e inversiones es la estructura de tasas de interés, la cual trata de medir la relación entre el rendimiento al vencimiento de activos financieros, de la misma calidad crediticia y sus respectivos periodos de vencimiento, generando la curva de rendimientos. El objetivo del presente estudio es obtener la estructura temporal de los tipos de interés de los activos de renta fija específicamente para los títulos de tesorería clase B (TES B) y calcular la curva de rendimiento mediante splines cúbicos. Sin embargo no se seguirá la metodología empleada por algún autor específico, debido a que algunas características y condiciones en los mercados de renta fija de otros países son muy diferentes al colombiano. En el presente trabajo se plantean dos modelos con las condiciones esenciales de una función spline para el cálculo de la curva de rendimientos de una muestra de títulos de tesorería (Tes B) que se han negociado recientemente en el mercado Colombiano, donde se pueda verificar la potencialidad de la metodología propuesta. Cabe notar que esta metodología puede extenderse de igual forma para calcular las curvas de rendimientos de títulos de deuda con la misma calidad crediticia. También se calcula a partir de la representación grafica de la estructura de tipos de interés, las tasas de interés al contado (spot) teóricas y las tasas de interés a plazo (forward) teóricas, para que permitan a los agentes del mercado tomar decisiones más acertadas sobre el tiempo propicio para asumir deuda, o bien, posponerla. Palabras Clave Títulos de Tesorería clase B (TES B) Estructura Temporal de los Tipos de Interés Curva de rendimiento Tasa spot Tasa Forward Splines cúbicos Bootstrap

ABSTRACT

One of the main instruments that works as financial information source to make decisions in projects and investments, is the term structure of interest rates, witch tries to measure the relation between the yield to maturity of financial assets, of the same credit quality and its respective maturity period, creating the yield curve or interest rate. This project’s objective is to get the term structure of interest rates, specifically for treasury tittles class b (TES B) and calculate the yield curve intervening cubic splines. However a methodology for an specific author won’t be followed, due to that some characteristics, and conditions in the set rent markets from other countries are very different to Colombian ones. That is why two models were planned with the main conditions of a spline function to calculate the yield curve of a treasury title sample (TES B) that has been negotiated recently in the Colombian market where can be confirmed the proposed methodology potential. This methodology can be extended in the same way to calculate the yield curves of the debt tittles with equal credit quality. Also it will be calculated from the graphic representation of the term structure of interest rates, theoretical value of the spot interest rates and forward interest rates that allow the market agents to make the correct decisions about the propitious time to assume the debt or postpone it. Key words

Treasury tittles class b (TES B) Term structure of interest rates Yield Curve Spot Rate Forward Rate Cubic splines Bootstrap

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1. INTRODUCCION

En este capitulo se conocerán las razones fundamentales por las cuales se realiza este trabajo, se encontraran los antecedentes del problema a investigar, la solución a este problema indagando sobre la situación actual del problema, estableciendo la importancia de la investigación y la formulación del problema para luego sistematizarlo, se presentara la justificación de este trabajo, los objetivos generales y específicos, como se hará la narrativa por capítulos y finalmente se incluirá un glosario de términos básicos para que las personas que estudien este trabajo tengan una mejor lectura y comprensión del mismo. 1.1 ANTECEDENTES En el caso de instrumentos de deuda, el factor de riesgo más importante es la tasa de interés, de ahí radica la importancia de una buena estimación de las curvas de rendimiento donde se puedan inferir las tasas de interés esperadas para diferentes períodos de maduración. Los modelos para el cálculo de esta estructura temporal de tipos de interés han experimentado una profunda revisión en las últimas décadas, lo que ha dado lugar a la coexistencia de numerosos enfoques para la gestión de carteras de renta fija. McCulloch (1971, 1975), fue uno de los primeros en combinar técnicas econometricas con la teoría matemática de aproximación de funciones, para la estimación de la curva de rendimientos en activos de renta fija, en sus estudios propuso modelar la estructura de rendimientos como una función cubic spline y estimar los coeficientes mediante regresiones lineales. Siguiendo esta metodología muchos autores han propuesto diferentes modelos que emplean distintas funciones de aproximación, Posteriormente, Vasicek & Fong (1982), Shea (1984, 1985), Jordan (1984), Chambers (1984), Heath (1992) y Coleman (1992) extendieron la técnica de estimación de McCulloch al introducir el efecto de los impuestos sobre el precio de los bonos para analizar las diferentes parametrizaciones de la función; Nelson y Siegel (1987) y posteriormente Bliss (1993), desarrollaron formas funcionales con cuatro parámetros, a diferencia de los trabajos de McCulloch (1975) que incorporaban hasta dieciocho parámetros. Este modelo forma parte de las técnicas de interpolación no lineal que incorpora funciones cubic spline para modelar la tasa de descuento a partir del precio de instrumentos de deuda. Svensson (1994) propone extender el método de Nelson y Siegel de manera de generar curvas forward con mayor flexibilidad al incorporar parámetros al modelo.

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Una de las desventajas de la función cubic spline estimada por McCulloch (1975) es que tiende a ser muy inestable lo que se traduce en estructuras de tasas de interés oscilantes las cuales son poco creíbles en la práctica. Esto dio origen a las estimaciones de Fisher, Nychka y Zervos (1994) que utilizan B-splines (splines bicúbicos) de manera de darle mayor estabilidad al método de estimación. Esta formulación también genera splines cúbicos, idénticos a los generados por el método de McCulloch (1975), pero a su vez permite resumir en menos parámetros la función en una formulación numéricamente estable, que busca un buen ajuste en los precios usando splines pero que a su vez controlan la suavidad de las curvas generadas. Muchos han sido los autores que han propuesto, con mayor o menor éxito, diferentes metodologías y modelos de estimación, sin embargo no existe consenso a nivel académico ni profesional, sobre cuál es el modelo válido para establecer la curva de tipos de interés. En el año 2001 y 2002 se desarrollaron en Colombia trabajos relacionados con el estudio de metodologías que permitieran estimar la curva de rendimientos spot, con la colaboración estrecha entre la bolsa de valores de Colombia, el banco de la republica, la superintendencia de valores y bancaria, y el ministerio de hacienda y crédito público. Las metodologías estudiadas fueron las de Nelson y Siegel (1987) y Fisher, Nychka y Zervos (1994) En este trabajo se profundizara en la utilización de splines cúbicos que es uno de los modelos que tienen mayor aceptación en el mundo para el calculo de la curva de rendimiento (yield curve), sin embargo se planteara una metodología diferente a la de los autores previamente mencionados; para que de acuerdo a las condiciones particulares de cada instrumento de deuda se pueda modificar y adaptar el modelo spline a las condiciones de cada mercado. 1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La curva de rendimientos (yield curve) para los títulos de tesorería clase B (TESB) no es directamente observable en el mercado Colombiano, ya que no cuenta con suficientes títulos que satisfagan todos los plazos, por lo que es necesario estimarla. Una función cubic spline permite valorizar instrumentos de deuda con la misma precisión que otras formas funcionales. Un inconveniente que se presenta en la estimación de una curva spot, es cuando el número de puntos o nodos se incrementa por que se generan fuertes oscilaciones en la curva al valorizar instrumentos de mayor duración. Bajo un escenario libre de riesgo, la estructura de plazos incorpora información tanto de los precios actuales como de los precios esperados futuros de las emisiones. En este sentido, oscilaciones en la

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curva implican fluctuaciones en las expectativas de precios, y por consiguiente en las tasas de interés futuras esperadas. Para solucionar el problema de las oscilaciones, Fisher, Nychka y Zervos (1995) presentó una extensión a esta técnica. En particular, introdujo una restricción adicional o penalidad λ(t) en la función objetivo para controlar las oscilaciones de la curva. En este sentido, propone una función cubic spline suavizada para reducir el comportamiento oscilatorio de los instrumentos de maduración de largo plazo al mismo tiempo que mantiene la flexibilidad en los instrumentos de maduración de corto plazo. Sin embargo es una curva de rendimientos (yield curve) la que se va a estimar para los títulos de tesorería TES B y no una curva spot, ya que estos títulos de tesorería subastados no se emiten con cero cupón, sino que pagan principal mas cupones generalmente a plazos de 1, 3, 5, 6 y 10 años y en determinadas ocasiones hasta de 15 años, esto hace que el numero de nodos sea pequeño y por consiguiente que las oscilaciones de la curva no sean tan fuertes. Para controlar estas pequeñas oscilaciones se experimentaran diferentes condiciones de frontera de modo que estabilicen la curva en los tramos mas largos y una vez obtenida la curva de rendimientos se utilizara la técnica del bootstrapping para obtener las tasas spot teóricas y las tasas forward implicitas en diferentes plazos que permitan dar una mejor interpretación a la curva. 1.2.1. COBERTURA DEL ESTUDIO El estudio propuesto se enmarca en la Dirección General de Crédito Público y del Tesoro Nacional del Ministerio de Hacienda y Crédito Público con las captaciones de TES clase B subastas y underwriting. 1.2.2. SITUACIÓN PROBLEMA.

El inversionista de hoy debe hacer uso de diferentes herramientas y metodologías para crear no sólo métodos más eficientes y productivos sino también para lograr un mayor grado de certidumbre en sus decisiones; más concretamente con todo lo relacionado a las decisiones financieras. Se puede afirmar entonces, que día a día las decisiones financieras de inversión y financiación toman mayor importancia para los inversionistas y las empresas publicas y privadas; cada uno de estos agentes del mercado se enfrentan diariamente al gran dilema en qué invertir?, cuánto invertir?, cuál será el riesgo al que está expuesta la inversión?, y cuál será la rentabilidad obtenida?

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1.2.3. IMPORTANCIA DE LA INVESTIGACIÓN .

La investigación pretende proponer una metodología de inversión que resuelva las preguntas enunciadas en el párrafo anterior para los Títulos de Tesorería clase B (TES B) a través de la aplicación de splines cúbicos en el calculo de la estructura temporal de los tipos de interés y obtener tasas spot teóricas y forward teóricas que permitan decisiones muy acertadas a lo hora de invertir en los TES. 1.2.4. FORMULACION DEL PROBLEMA

¿Que metodología se podría utilizar para estimar de forma adecuada los retornos y rendimientos de un portafolio de inversión en renta fija en Colombia de manera que los inversionistas tengan una excelente herramienta de decisión?

1.2.5. SISTEMATIZACION DEL PROBLEMA A INVESTIGAR

• ¿Cómo se determinan los precios de los Títulos de Tesorería (Tes B) negociados en el mercado?

• ¿Como funciona la interpolación mediante esplines cúbicos?

• ¿Cómo proyectar las tasas de rendimiento del mercado de títulos de tesorería clase b (TES B) mediante los splines cúbicos?

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1.3 JUSTIFICACION

La estimación de la curva de Rendimientos es de suma importancia para la optimización financiera ya que permiten valorizar portafolios de renta fija y aplicar modelos internos de valoración de riesgos. En la actualidad, la curva de rendimientos se ha convertido en una herramienta tradicional de análisis en los mercados de deuda en países desarrollados. Este trabajo pretende demostrar que una adecuada estimación de la curva de rendimientos será de suma utilidad en un mercado como el nuestro, especialmente cuando se busca mayor eficiencia en las decisiones de inversión y menores riesgos de manipulación de precios y uso de la información. Los principales beneficios que traerá este trabajo se pueden resumir en cuatro:

1. Obtener una adecuada estructura de plazos de las tasas de interés. 2. Entender de que forma los cambios en las tasas de interés de corto plazo

afectan los niveles de las tasas de interés de largo plazo; esto es especialmente importante si se toma en cuenta el efecto que tiene la política monetaria sobre las primeras.

3. Proveer mejor información acerca de las expectativas de los participantes en el mercado financiero, aspecto muy valioso para los encargados tanto de los pronósticos de las principales variables macroeconómicas como de la política monetaria.

4. Asignar los recursos escasos a través de los mercados financieros,

influenciando las decisiones de ahorro e inversión de los agentes económicos.

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1.4 OBJETIVOS

1.4.1. OBJETIVO GENERAL

Modelar el proceso metodológico para calcular las tasas de rendimiento del mercado de títulos de tesorería en Colombia.

1.4.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Explicar la metodología para el cálculo de las tasas de rendimiento proyectada del mercado de títulos de tesorería en Colombia.

• Describir el del funcionamiento de los splines cúbicos y su aplicación en el cálculo de las tasas de rendimiento

• Determinar el precio en el mercado de los Títulos de Tesorería (Tes B) y calcular su tasa spot y forward teóricas.

1.5. NARRATIVA POR CAPITULOS

Este trabajo consta de seis capítulos: en el capitulo uno están incluidos los antecedentes del problema, el planteamiento del problema, la justificación, los objetivos de este trabajo y finalmente un glosario de términos; en el capitulo dos se encontrara todo el marco teórico necesario para lograr los objetivos de este trabajo; en el capitulo tres se plantea la metodología a seguir; en el capitulo cuatro se desarrollaran los planteamientos propuestos usando los títulos tesorería clase b subastados en pesos por el ministerio de hacienda y crédito publico; en el capitulo cinco se mostraran y analizaran los resultados y finalmente en el capitulo seis se presentan las conclusiones de este trabajo.

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1.6. GLOSARIO DE TERMINOS

Título o Valor: También llamado activo financiero, es un contrato que concede al inversor el derecho a percibir un flujo de pagos periódicos en el futuro, a cambio de entregar hoy una cantidad de dinero. Emisión: Conjunto de títulos o valores, efectos de comercio, que se crean para ponerlos en circulación. Acto de emitir dinero por el Banco Emisor o títulos cuando se trata de una sociedad. Emisor: Entidad oficial que emite papel moneda - Banco Emisor o Banco Central Institución privada que pone en circulación títulos - valores, bien sea representativos de propiedad, de deuda, de tradición o de participación. Underwriting: Es una operación realizada a través de la Banca de Inversión mediante la cual, sola u organizada en consorcio, se compromete a colocar una emisión o parte de ella, para posterior reventa en el mercado. La operación de underwriting se inicia con la asesoría al cliente y puede ser de varias clases según el nivel de compromiso: en firme, garantizado o al mejor esfuerzo. Underwriting al Mejor Esfuerzo: El intermediario se compromete con el emisor a realizar sus esfuerzos a fin de colocar la inversión en el público inversionista a un precio fijo dentro de un plazo determinado. En este caso, el agente intermediario no está corriendo ningún riesgo por cuanto al ente emisor más bien le interesa la experiencia que posee en este campo el agente intermediario y no su capacidad financiera para absorber los títulos, en caso de que no puedan ser colocados. Ganancias de una inversión luego de deducir todos los gastos. Underwriting en Firme: El agente de colocación o intermediario suscribe o adquiere la totalidad o parte de una emisión de valores, obligándose a ofrecerlos al público inversionista, al precio que se hubiere establecido y durante un plazo determinando. En el evento de que el intermediario no coloque los valores o papeles, asume directamente el compromiso de adquisición. Underwriting Garantizado: El agente de colocación o intermediario garantiza ante el emisor de valores la colocación de los mismos dentro de un plazo determinado al efecto, con el compromiso de adquirir el remanente no colocado en dicho plazo. Riesgo del Emisor: Es la capacidad o percepción que tiene el mercado de que los emisores paguen sus títulos de deuda.

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Calidad Crediticia: Grado de cumplimiento que el emisor tiene respecto de las obligaciones contraídas con la emisión objeto de la calificación. Fitch Ratings, Standard & Poor's y Moody's Investor Service: Son agencias de calificación que operan en todo el mundo y se encargan de medir la solvencia de los distintos emisores de renta fija. Si deciden bajar la calificación de un país se produce una crisis de confianza en ese país ya que los inversores desconfían y buscan otros países más solventes. Tienen por tanto mucho poder en el mercado. TRADER: Persona que compra y vende acciones o títulos valores de manera personal o a nombre de su firma y de terceros. Activo de renta fija: Se trata de títulos emitidos por emisores públicos o privados, que garantizan una determinada rentabilidad a lo largo de su vida. En estos casos los más conocidos son las emisiones de deuda del Tesoro Público y las emisiones de deuda de empresas privadas, habitualmente conocidos como pagarés u obligaciones de empresa. Mercado de renta fija: Es aquel en el que los valores que se transan pagan a su tenedor una tasa de rendimiento preestablecida para su plazo de vigencia. Por ejemplo: Bonos, certificados de depósito, etc. Mercado Público de Valores: Conforman el mercado público de valores la emisión, suscripción, intermediación y negociación de los documentos emitidos en serie o en masa, respecto de los cuales se realice oferta pública, que otorguen a sus titulares derechos de crédito, de participación y de tradición o representativos de mercancías. Mercado Primario: Se habla de mercado primario para referirse a la colocación de títulos que se emiten o salen por primera vez al mercado. A éste recurren las empresas y los inversionistas, para obtener recursos y para realizar sus inversiones, respectivamente. Mercado Secundario: Se refiere a la compra y venta de valores ya emitidos y en circulación. Proporciona liquidez a los propietarios de títulos. Se realiza entre inversionistas. Inversión : Es la aplicación de recursos económicos al objetivo de obtener ganancias en un determinado período. Rentabilidad: Es la relación entre la utilidad proporcionada por un título y el capital invertido en su adquisición.

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Tasa interna de retorno ( T.I.R.): Tasa que iguala los flujos de ingresos y egresos futuros de una inversión. Corresponde a la rentabilidad que obtendría un inversionista de mantener el instrumento financiero hasta su extinción, bajo el supuesto que reinvierte los flujos de ingresos a la misma tasa. Tasa de Interés Libre de Riesgo: No presenta ningún riesgo para los inversionistas. Un ejemplo de ella es la que otorgan en Colombia los Títulos de Tesorería (TES) del Gobierno. Rendimiento al vencimiento (YTM) Tasa de rendimiento que obtienen los inversionistas si compran un bono a un precio especifico y lo conservan hasta su vencimiento. (Supone que el emisor hace todos los pagos programados de intereses y principal como prometió) TES (Títulos de tesorería): Los títulos de tesorería creados en la ley 51 de 1990 son títulos de deuda pública interna emitidos por el Gobierno Nacional. Existen dos clases de títulos: clase A y clase B. Los primeros fueron emitidos con el objeto de sustituir la deuda contraída en las operaciones de mercado abierto realizadas por el Banco de la República. Los segundos son emitidos por la Tesorería General de la Nación (en pesos, en UVR´s - Unidades de Valor Real Constante - o en pesos ligados a la TRM) y son subastados por el Banco de la República. Se caracterizan por ser una de las mayores fuentes de financiación del Gobierno. En la actualidad solamente se emiten los títulos de clase B. El plazo se determina de acuerdo con las necesidades de regulación del mercado monetario y de los requerimientos presupuestales o de tesorería, y fluctúa entre 1 y 10 años. El rendimiento de los títulos lo determina el Gobierno Nacional de acuerdo con las tasas del mercado para el día de colocación de los mismos.

Moneda de Denominación: Moneda de cotización de precios de los fondos y con la que se mide el valor de los activos de un fondo.

Tasa Representativa del Mercado: Es el valor del dólar y lo calcula diariamente el Banco de la República, tomando el promedio del precio de las operaciones de compra y venta de los dólares, realizadas por entidades financieras en las principales ciudades del país. Plazo de Maduración: Término establecido por el emisor para la redención de un título valor en el cual se retorna el monto total invertido más el valor correspondiente a los rendimientos obtenidos por la inversión a lo largo del período.

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Liquidez : Es la facilidad o dificultad para convertir mi inversión en dinero. Cada activo tiene un grado de liquidez diferente e incluso entre mismos activos pueden existir grados de liquidez diferente. Riesgo de Liquidez: Es la contingencia de que la entidad incurra en pérdidas excesivas por la venta de activos y la realización de operaciones con el fin de lograr la liquidez necesaria para poder cumplir con sus obligaciones. Inflación: Mide el crecimiento del nivel general de precios de la economía. La inflación es calculada mensualmente por el DANE sobre los precios de una canasta básica de bienes y servicios de consumo para familias de ingresos medios y bajos. Con base en éstas se calcula un índice denominado Índice de precios al Consumidor (IPC). La inflación corresponde a la variación periódica de ese índice. Riesgo de Inflación: Posibilidad de que los aumentos en el costo de la vida reduzcan o eliminen los retornos reales (después de inflación) de una inversión.

Estructura de términos de las tasas de interés: Relación entre la tasa de interés o tasa de rendimiento y el tiempo al vencimiento. Curva de rendimiento: Grafica de la relación entre el tiempo que resta para el vencimiento de la deuda (eje x) y su rendimiento al vencimiento (eje y); muestra el patrón de los rendimientos anuales de las deudas de características similares y vencimientos diferentes. Traza gráficamente la estructura de términos de las tasas de interés. Arbitraje: es el proceso de comprar y vender simultáneamente el mismo título o un título equivalente en mercados distintos, generándose ganancias por los diferenciales de precio. Cabe destacar que mientras más entes participen en el proceso de arbitraje, los diferenciales tienden a desaparecer. Para que exista arbitraje es necesario que se cumpla alguna de las siguientes condiciones: 1. Un mismo activo, se negocia con diferente precio en los mercados. 2. Dos activos con idénticos flujos de caja se negocian a precios distintos y 3. Un activo con un precio conocido en el futuro, se negocia hoy a un precio distinto al precio futuro descontado a la tasa del instrumento libre de riesgo. Spline: Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios.

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2. MARCO TEORICO

En este capitulo se trataran los conceptos básicos y necesarios para el desarrollo del modelo con el cual se calculara la Estructura temporal de tipos de interés y a partir de esta obtener las tasas spot y forward. Primero se definirán los activos de renta de fija, como se emiten los activos de renta fija en Colombia y como se subastan, que entidades califican estos títulos y como lo hacen. Después de esto se darán a conocer los títulos de renta fija que se encuentran en el marcado colombiano entre los cuales están los Títulos de Tesorería Clase B (TES B) que son el objetivo de estudio en este trabajo, luego se definirá que es una Estructura temporal de tipos de interés, una curva de rendimientos, y se darán a conocer algunas de las teorías que intentan explicar la forma que toman estas curvas, después de esto se explicaran algunos conceptos muy relacionados con la Estructura temporal de tipos de interés y la curva de rendimientos como son las tasas spot y forward. Al final de este capitulo se tratara la interpolación mediante splines cúbicos que es el método por el cual se obtendrá la estructura temporal de tipos de interés y la curva de rendimientos para los títulos de tesorería clase B (TES B) subastados a través del banco de la republica y el ministerio de hacienda y crédito publico.

2.1. LOS ACTIVOS FINANCIEROS DE RENTA FIJA 1

Un activo financiero es un contrato que concede al inversor el derecho a percibir un flujo de pagos periódicos en el futuro, a cambio de entregar hoy una cantidad de dinero. A diferencia de los préstamos, los activos financieros, o títulos, de renta fija permiten la participación de un mayor número de inversionistas. Y a los inversionistas les representa la oportunidad de obtener rendimientos más altos que los que podrían encontrar invirtiendo en lugares como un banco. Los títulos de renta fija se diferencian de los otros instrumentos de inversión porque el rendimiento que otorgan esta definido desde el momento de su emisión. Para poder trabajar con un titilo de renta fija, se deben conocer el cupón y la tasa del cupón, el plazo y la periodicidad del mismo. El cupón de un Titulo es el valor de lo que se recibirá si se adquiere el titulo. El plazo, es el periodo de tiempo durante el cual el titulo estará vigente. La periodicidad es el periodo de pago de las rentas del cupón. 1 Maria Liduvina Uscanga Borja, " Propuesta para la creación de un índice de renta fija en México " (Tesis Licenciatura. Actuaría. Departamento de Actuaría, Escuela de Ciencias, Universidad de las Américas Puebla. 2005) pp. 12-16

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Los títulos de renta fija pueden ser emitidos de tres maneras: a la par, con prima, o con descuento. La emisión a la par expresa que se tiene que pagar el valor nominal para recibir, al vencimiento, el valor nominal más el rendimiento que generen. Las emisiones con prima son aquellas por las cuales además de pagar el valor nominal, se tiene que pagar una cantidad adicional. El descuento es lo contrario a la emisión con prima. En este se paga por el titulo el valor nominal menos una cantidad predeterminada Las razones por las cuales se hacen las emisiones con descuento o con prima son dos: la primera es para aprovechar las ventajas fiscales que se puedan presentar y la segunda es para unificar las emisiones de un tiempo (t) y anteriores (t-1) y así facilitar la liquidez. Dado que muchos países consideran distintas a las rentas periódicas y las ganancias o perdidas de capital, las emisiones con prima o descuento ayudan a que los participantes se vean afectados lo menos posible por los cobros de impuestos.

Un titulo promete al inversor la recepción en el futuro de ciertos flujos de caja previamente especificados. Sin embargo estos flujos pueden llegar a ser, en realidad, uno sólo; en cuyo caso se dice que es un título cupón cero, y es emitido con un descuento respecto de su valor nominal, Si, por el contrario, la emisión consta de varios flujos de caja (por lo general, todos los flujos menos el último tendrán el mismo valor) se referencia a éstos con el nombre de títulos amortizables. Se denomina fecha de vencimiento o de amortización al momento en que el inversor no tiene derecho a recibir ningún flujo de caja más; en esta fecha, y junto con el último cupón, recibirá el principal o valor nominal del título.

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2.2. PROCESO DE EMISIÓN DE LOS TÍTULOS DE RENTA FIJ A EN COLOMBIA 2

EMISOR: Es la entidad originadora de los Títulos, quien hace la promesa de pago de los títulos y recibe los recursos de la emisión.

• Pueden emitir títulos privados: las sociedades por acciones, sociedades

limitadas, cooperativas y entidades sin ánimo de lucro.

• Pueden emitir Títulos públicos: la Nación, las entidades territoriales, las empresas industriales del Estado y sociedades de economía mixta.

ESTRUCTURADOR o BANCA DE INVERSION: Es la entidad que se encarga de realizar la oferta. En Colombia son estructuradores las Fiduciarias, las Corporaciones Financieras, las Comisionistas de Valores y Bancas de Inversión. Se encargan de hacer el prospecto de Colocación, que es el documento base del proceso y hace los análisis técnicos, financieros y legales requeridos en el proceso.

Operaciones Underwriting (Colocaciones)

Después de estos trámites legales de la emisión, es necesario colocar o suscribir (vender) los títulos en el mercado. Esta colocación se debe hacer por medio de un agente colocador o comisionista, que ofrece el servicio de Comercialización. Este servicio se puede hacer a través de tres modalidades: • Underwriting en Firme: El comisionista compra toda la emisión y después la vende en el mercado de valores y por consiguiente asume todos los riesgos de la colocación. 2 Julio Alejandro Sarmiento Sabogal, "Mercado financiero en Colombia", Departamento de Administración- Pontificia Universidad Javeriana, 2003, www.javeriana.edu.co/decisiones/Julio/presentaciones/MerVal.pdf, (acceso Octubre 25, 2007).

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• Underwriting Garantizado: El comisionista se compromete a comprar la parte de la emisión que no se coloca inmediatamente en el mercado. • Underwriting al Mejor Esfuerzo: Simplemente se compromete a hacer todo lo posible por colocar la emisión.

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Fuente: Sarmiento, J, 2003

CALIFICACIÓN DE RIESGO

La calificación es una opinión de una entidad independiente especializada en estudios de riesgo, sobre la calidad crediticia de una emisión de títulos. De esta manera las sociedades calificadores de valores promueven la eficiencia y estabilidad en el mercado de valores. La evaluación se realiza sobre la capacidad de la entidad emisora de cumplir puntualmente los compromisos financieros derivados de la emisión. Cabe señalar que tal opinión se concibe sobre la calidad crediticia de la deuda de un emisor más no de la empresa y no puede interpretarse como una garantía de pago.

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La evaluación del riesgo crediticio se basa en el análisis de la interrelación de los elementos tanto cualitativos como cuantitativos que mayormente afectan o pueden afectar el cumplimiento de los compromisos financieros adquiridos por un emisor. Entre los cualitativos se encuentran factores tales como: entorno macroeconómico, sector en que desarrolla su actividad, posición competitiva a nivel nacional e internacional, planes y estrategias, calidad de la administración, innovaciones tecnológicas oportunidades de mercado y políticas de control y auditoria. La calificación también implica el análisis cualitativo que evalúa aspectos contables, financieros, de mercado, proyecciones, flujos de ingresos y egresos, productividad, proveedores, clientes, entre otros. En síntesis la calificación es un instrumento que permite ponderar la seguridad de los títulos frente a la rentabilidad que ofrecen sus emisores.

Las agencias internacionales calificadoras de riesgo que monitorean la deuda del gobierno Colombiano son: Fitch Ratings, Standard & Poor's y Moody's Investor Service3.

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Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2007

3 Ministerio de Hacienda y Crédito Público. República de Colombia, “Calificación de Riesgo” , http://www.minhacienda.gov.co/pls/portal30/url/ITEM/141B5408C24B015CE040007F01006D7B. (acceso Noviembre 18, 2007)

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Escala de calificación

La opinión emitida por las Sociedades calificadoras se orienta a distinguir entre dos grados:

De inversión: Se considera que la emisión no representa mayores riesgos de incumplimiento.

Especulativo: Se presentan factores de riesgo que podrían llevar al incumplimiento en el pago de intereses o del capital.

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Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2007

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2.3. TITULOS DE RENTA RIJA EN COLOMBIA 4

Existe una gran variedad de títulos de renta fija, a continuación se presenta la descripción de los principales títulos de renta fija Colombianos:

� Papeles Comerciales

� Aceptaciones Bancarias

� TIDIS

� CERTS

� CDT’s

� Bonos

� Bonos Agrarios

� Bonos Pensiónales

� Bonos de Seguridad

� Bonos de Paz

� Repos en Renta Fija

� TES

� PAPELES COMERCIALES

Son papeles comerciales los pagarés ofrecidos públicamente en el mercado de valores, emitidos masiva o serialmente. Podrán emitir papeles comerciales para ser colocados mediante oferta pública, previa autorización de la oferta por parte de la Superintendencia de Valores, toda entidad que de conformidad con su régimen legal tenga capacidad para hacerlo, salvo los patrimonios autónomos. El plazo de los papeles comerciales deberá ser superior a 15 días e inferior a un año, contado a partir de la fecha de suscripción.

Para adelantar la oferta pública de papeles comerciales, deberán observarse las siguientes reglas:

4 SERFINCO S.A. Medellín - Colombia, Comisionistas de bolsa, “Productos-Renta Fija”, http://www.serfinco.com/products/rent/default.asp (acceso Noviembre 15, 2007)

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1. El monto de la emisión de papeles comerciales objeto de oferta pública no debe ser inferior a dos mil (2.000) salarios mínimos mensuales.

2. Los recursos obtenidos a través de la colocación de papeles comerciales no podrán destinarse a la realización de actividades propias de los establecimientos de crédito ni a la adquisición de acciones o bonos convertibles en acciones.

3. Previamente a la publicación del respectivo aviso de oferta pública y con el fin de dar liquidez secundaria a los papeles comerciales, la sociedad emisora deberá inscribir dichos títulos en una bolsa de valores.

La oferta de los papeles comerciales podrá adelantarse bajo cualquiera de las siguientes modalidades:

1. Emisión única. Ofreciendo y colocando una única emisión sin posibilidad de prórroga del plazo de los papeles comerciales. En este caso, el emisor deberá indicar en el respectivo aviso de oferta que se trata de una emisión de papeles comerciales sin posibilidades de rotación ni de prórroga al vencimiento de los valores.

2. Emisión rotativa. Ofreciendo y colocando de forma rotativa los papeles comerciales con o sin posibilidad de prórroga de los mismos, utilizando cualquiera de los siguientes mecanismos:

2.1. Emisión rotativa con posibilidad de prórroga. Se podrán emitir y colocar papeles comerciales en forma rotativa con la posibilidad de prórroga de su plazo por un término igual al inicial, evento en el cual la prórroga no implicará una nueva emisión. En estos casos se podrán variar las condiciones de la tasa de rentabilidad durante dicha prórroga.

En todo caso, el emisor deberá indicar en el aviso de oferta que los papeles ofrecidos tienen posibilidad de prórroga de su plazo y la forma y medio que empleará para informar sobre la efectividad de tal condición.

Esta modalidad de oferta se regirá por los siguientes parámetros:

a) Al cumplimiento del plazo inicial pactado, en silencio del emisor y del inversionista, se entenderá prorrogado automáticamente el plazo por un término igual al inicialmente pactado en las mismas condiciones financieras.

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b) Si a la fecha de vencimiento respectiva, el emisor guarda silencio y el inversionista solicita la redención, el emisor deberá proceder a la redención del título.

c) Si el emisor propone modificar la tasa de rentabilidad inicial, y el inversionista guarda silencio, el plazo del título se prorrogará por un término igual al pactado inicialmente con las nuevas condiciones financieras ofrecidas por el emisor.

d) Si el emisor propone modificar la tasa de rentabilidad y el inversionista manifiesta su no aceptación, el emisor deberá proceder a redimir el título.

e) Si el emisor decide redimir los títulos a su vencimiento comunicará este hecho al inversionista, el cual se encuentra obligado a aceptar tal redención.

En el caso de que el emisor opte por lo previsto en los literales c), d) y e) del presente artículo, deberá comunicar su decisión de redención o de cambio de la tasa de rentabilidad el segundo día hábil anterior a la fecha de vencimiento de los títulos. En caso de que el inversionista opte por la redención a que se refieren los literales b) y d) del presente artículo deberá manifestar su voluntad al emisor el día hábil anterior a la fecha de vencimiento de los títulos.

En todo caso, la sumatoria de las prórrogas de los papeles comerciales no podrá exceder el plazo máximo contemplado para éstos en la presente resolución.

2.2. Emisión rotativa sin posibilidad de prórroga. Se podrán emitir y colocar papeles comerciales en forma rotativa sin posibilidad de prórroga de su plazo. En este evento, el emisor deberá establecer en el aviso de oferta que el plazo de los títulos no es objeto de prórroga y que por lo tanto se redimirán a su vencimiento.

La oferta rotativa de papeles comerciales no podrá superar en ningún evento el monto total autorizado para los mismos.

Aspectos Jurídicos:

Todos los aspectos legales de la oferta pública de papeles comerciales se encuentran en la Resolución 400 de 1995. Art. 1.2.4.47

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� ACEPTACIONES BANCARIAS

Instrumento comercial, mediante el cual un banco acepta pagar (se obliga), una letra de cambio a su vencimiento a un beneficiario, vendedor de una mercancía, que ha sido adquirida por un comprador mediante una modalidad de financiación. El comprador se beneficia al poder agilizar compras, pone a su alcance cualquier proveedor, no necesita liquidez. El vendedor amplía la base de sus clientes, incrementa las ventas, puede descontar la letra en el banco o en cualquier bolsa de valores. Perfil del Inversionista: Las Aceptaciones Bancarias le permiten al originador del título tener una alternativa de financiamiento, ya que le proporcionan recursos durante un periodo corto de tiempo. Desde el punto de vista del inversionista, son adecuadas para aquellas personas que desean conocer con anterioridad sus rendimientos y que en cualquier momento necesitan de liquidez, ya que son libremente negociables en el mercado secundario. Características

• Ley de circulación: Son títulos a la orden. Se transfieren mediante endoso y entrega del título.

• Valor nominal: Corresponde al valor total de los bienes objeto de la transacción comercial.

• Plazo: Se expiden máximo a 6 meses. Al cabo de este plazo, la entidad aceptante paga al poseedor el valor nominal del título.

• Liquidez: Tienen liquidez inmediata en las bolsas de valores del país, donde se encuentran inscritas. Se negocian con un descuento determinado por las condiciones del mercado.

• Rendimiento: Está determinado por la diferencia entre su valor de compra en bolsa y el valor nominal o de redención ante la entidad aceptante.

• Tratamiento tributario: Los rendimientos son gravables.

• No son fraccionables: Estos títulos a diferencia de otros, deben ser negociados por su valor total, no es posible comprar o vender una fracción de estos.

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� TÍTULOS DE DEVOLUCIÓN DE IMPUESTOS ( TIDIS )

Título valor cuya finalidad es la de servir como instrumento de pago para la devolución de impuestos, cuya cuantía sea superior a $1.000.000.

Perfil del Inversionista: Los TIDIS son el tipo de inversión apropiado para toda persona que necesita pagar impuestos al Gobierno, ya que al adquirir este título, se obtienen ventajas derivadas de un menor valor de compra de éste. Así, se pagan impuestos y se obtienen ganancias por la inversión realizada.

Características

• Ley de circulación: Son documentos expedidos a la orden, transferibles por endoso, denominados en moneda nacional.

• Emisión: Son emitidas por el proponente, autorizado por el Ministerio de Hacienda por licitación pública. Actualmente el emisor es Fiducolombia.

• Liquidez: Tienen liquidez primaria, al valor nominal, para el pago de impuestos o derechos administrados por la Dirección de Impuestos y Aduanas Nacionales. Tiene liquidez secundaria en cualquier momento a través de las bolsas de valores. No se puede pagar con TIDIS cuando las normas legales señalen su pago en efectivo o cheque de gerencia.

• Plazo: Un año.

• Rendimiento: No devengan intereses. Sin embargo, en el mercado secundario, su rendimiento está determinado por la diferencia entre el precio de compra y su valor nominal, y por el plazo transcurrido entre la fecha de compra y la fecha de utilización para el pago de impuestos.

• Tratamiento tributario: La diferencia entre el precio de compra y el valor nominal del título, causa retención en la fuente.

• Pueden ser denominados en moneda extranjera, dependiendo de las condiciones de la emisión.

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� CERTIFICADOS DE REEMBOLSO TRIBUTARIO (CERTS)

Los CERTS son títulos valores expedidos a favor de los exportadores, como un incentivo a este sector. Buscan orientar la política de comercio exterior colombiano para promover las exportaciones de bienes y servicios, diversificando y estimulando la industria y los sectores productivos nacionales, facilitando el desarrollo y la aplicación de los tratados internacionales y adecuando en forma permanente, la legislación nacional a los cambios del comercio exterior. Perfil del Inversionista: Este tipo de inversión es adecuado para aquellas personas que quieren beneficiarse al pagar los impuestos exigidos por el Gobierno y que desean obtener rentabilidad por motivo de su inversión, ya que al invertir en CERTS, se obtiene una utilidad derivada de la diferencia entre el precio de compra del título y el valor que se paga al Gobierno. Características Los CERTS se pueden utilizar desde el momento de su expedición para el pago de los impuestos sobre la renta y complementarios, gravámenes arancelarios, impuesto al valor agregado y otros impuestos, tasas o contribuciones siempre que la entidad que los perciba, los acepte previo acuerdo con el Banco de la República.

• Ley de circulación: A la orden.

• Emisión: El Incomex es el encargado de la emisión y el Ministerio de Hacienda es el encargado de la edición y expedición.

• Liquidez: Libremente negociables en el mercado secundario de las bolsas de valores.

• Rendimiento: El rendimiento para quien los adquiera en bolsa está determinado por el descuento entre el precio de compra y su valor nominal, si paga impuestos con ellos. En caso de que se vendan nuevamente en bolsa, estará dado por la diferencia entre el precio de compra y el de venta.

• Vigencia: Plazo de dos años.

• Tratamiento tributario: Sus rendimientos son gravables.

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� CERTIFICADO DE DEPÓSITO A TÉRMINO (CDT)

Es un título valor expedido por una entidad financiera por el depósito de una suma de dinero a un plazo y a una tasa determinada. Los plazos pueden ser de 30 días en adelante, siendo los más comunes los de 30, 60, 90, 180 y 360 días. Instrumento de inversión de renta fija que puede negociarse en el mercado secundario de la bolsa de valores, pero que no es redimible sino hasta su vencimiento.

Perfil del Inversionista: Los CDT son la alternativa de inversión tradicional por excelencia, donde quien invierte, desea conocer con certeza los rendimientos que va a recibir en un periodo corto de tiempo. De acuerdo a la entidad donde se invierte, se obtiene la rentabilidad, dependiendo ésta última en gran medida, de las condiciones financieras del emisor, así como de las condiciones del mercado al momento de comprar el CDT. Los CDT son una inversión apropiada para quienes buscan liquidez en el corto plazo y para aquellas personas que requieren certeza en los rendimientos que van a percibir. Es adecuado tener dentro del portafolio de inversión un porcentaje en este tipo de títulos, ya que garantizan una alta posibilidad de liquidez. Sin embargo, se debe tener en cuenta que en el caso de los CDT a tasa fija entre 30 y 180 días, se sacrifica rentabilidad frente a otras opciones de inversión.

Existe la posibilidad de invertir en un CDT cuya rentabilidad va ligada a un indicador como la DTF, los intereses fluctúan de acuerdo al comportamiento de este indicador, por lo tanto, los flujos de caja pueden tener variaciones en cada periodo de cobro de intereses.

Características

• Emisor: Son emitidos por entidades financieras (Bancos, Corporaciones financieras, Corporaciones de ahorro y vivienda y Compañías de leasing), con el fin de captar ahorro del público.

• Clase de título: Son títulos nominativos, se emiten a nombre de uno o varios titulares.

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• Ley de circulación: La propiedad se transfiere mediante carta de endoso y registro ante el emisor.

• Plazo: El plazo mínimo de los CDT's es de un mes. Son prorrogables por un término igual al pactado inicialmente, de lo contrario, se redimen en el plazo previsto.

• Liquidez: Gozan de liquidez secundaria antes de su vencimiento y son libremente negociables en el mercado bursátil.

• Valor Nominal: Se expiden en cuantías mínimas determinadas por el emisor.

• Rendimiento: La tasa de interés que devengan los CDT's se pacta con la entidad emisora dependiendo de las condiciones del mercado de capitales, el monto y el plazo del depósito.

• Tratamiento Fiscal: Están sujetos a un 7% de Retención en la Fuente sobre intereses devengados.

Función Económica:

El CDT se encuadra en el contexto de un contrato de depósito a término. Para definir su función económica, se establece un paralelo entre los depósitos a término y los depósitos a la vista.

En los depósitos a término, no sólo cuenta la confianza que se tiene en la entidad, sino que adicionalmente se persigue un rendimiento al prestar el dinero a un interés, otorgando la facultad de utilización de este dinero al intermediario financiero.

Aspectos Jurídicos:

La definición legal se encuentra en el artículo 1393 del Código de Comercio, el cual se limita a incluir como elementos del contrato, el depósito, la obligación de restituir el dinero y el plazo. La Superintendencia Bancaria ha definido con mayor precisión este contrato, al adicionar el derecho al uso y la transferencia del dominio sobre el dinero depositado.

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� BONOS

Los Bonos son títulos valores que incorporan una parte alícuota de un crédito colectivo constituido a cargo de una sociedad o patrimonio autónomo.

Los bonos pueden ser emitidos tanto por entidades del sector público, como del sector privado. Los bonos públicos son emitidos tanto por entes territoriales, como por personas jurídicas del sector oficial. Ejemplos pueden ser los bonos Santa Fe de Bogotá o los de Empresas Publicas de Medellín, respectivamente. Ejemplos de bonos del sector privado pueden ser los bonos ordinarios emitidos por entidades del sector bancario o compañías de leasing.

Función Económica:

El objetivo, es que los recursos captados con estos bonos, se destinen a financiar nuevos proyectos de inversión, ampliaciones de planta, sustitución de pasivos, atención de necesidades de capital de trabajo, etc.

Perfil del Inversionista: Los Bonos son títulos apropiados para aquellas personas naturales o jurídicas con excedentes de liquidez a más de un año. Como la rentabilidad generalmente va ligada a un indicador (DTF, TCC, IPC, entre otros), éste le permite protegerse de las fluctuaciones del mercado. Es importante tener en el portafolio de inversiones este tipo de títulos, ya que en éstos obtenemos generalmente mejores oportunidades de rentabilidad.

Características

• Ley de circulación: Son títulos a la orden. Se transfieren mediante endoso y entrega del título

• Valor nominal: Cada bono tiene un valor nominal determinado en el reglamento de emisión.

• Liquidez: Son libremente negociables en el mercado bursátil una vez inscritos en Bolsa.

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• Rendimiento: Devengan intereses periódicos de acuerdo con el respectivo reglamento de emisión. El rendimiento pactado en el mercado secundario depende de las condiciones imperantes en el momento. La mayoría tienen su rendimiento indexado con base en una tasa de interés variable( DTF, IPC, UVR), más algunos puntos porcentuales adicionales.

• Tratamiento fiscal: Los intereses percibidos están sujetos a un 7% de retención en la fuente. Bonos emitidos por entidades vigiladas por la Superintendencia Bancaria a plazos mayores o iguales a 5 años, la retención en la fuente es del 4%, la misma norma aplica para los bonos representativos de deuda pública interna.

De acuerdo con la Resolución No. 400 de 1995 de la Superintendencia de Valores y el Código de Comercio, pueden emitir bonos ordinarios, previa autorización de la Superintendencia de Valores, las sociedades por acciones y los patrimonios autónomos para efectos de movilizar activos, las sociedades limitadas, las cooperativas y las entidades sin ánimo de lucro, en estos dos últimos casos, siempre y cuando la totalidad del emprésito sea avalado por un establecimiento de crédito sujeto a la inspección y vigilancia de la Superintendencia Bancaria.

� BONOS AGRARIOS

Son títulos de deuda pública interna, esto es, emitidos y respaldados por la Nación, lo que garantiza su liquidez secundaria en los mercados de dinero y de capitales. Fueron creados en virtud de la ley 160 de 1994. Los títulos son colocados por el Instituto Colombiano de la Reforma Agraria INCORA. En su nombre y en el de la nación, y según el contrato de administración fiduciaria entre ellos, el Banco de la República tiene a su cargo la edición y administración de los Bonos Agrarios. Perfil del Inversionista : El mayor atractivo de estos títulos, es el beneficio tributario de los intereses, los cuales se encuentran exentos de retención en la fuente y del impuesto de renta. Esta inversión es adecuada para las personas naturales o jurídicas que buscan evitar riesgos de emisor y conservar el valor del dinero en el tiempo, ya que parte de la rentabilidad va ligada a la inflación. La posibilidad de lograr liquidez cada año, a medida que se libera capital, permite una mejor y flexible administración de los recursos.

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Cuando se realizan inversiones en Bonos Agrarios a 5 o 6 años, no significa que los recursos quedan congelados durante este periodo, debido a que cada cupón del título tiene la posibilidad de ser negociado de forma independiente en el mercado secundario. Características

• Los intereses generados por los Bonos, gozan de exención de impuestos

de renta y complementarios y en consecuencia, no están sujetos a retención en la fuente.

• Expedidos en moneda legal.

• Se emiten a la orden, son libremente negociables y se transfieren por simple endoso y entrega material del título.

• Cada Bono se emite como una serie de cupones de igual valor, con vencimiento consecutivo anual y plazo final a cinco años, en los casos de negociación o intervención directa, o seis años en el caso de una expropiación. Ej.: Un bono de $50 millones emitido en el año 2000 está compuesto por 5 cupones de $10 millones, donde en el 2001 nos pagan $10 millones, en el 2002, otros $10 millones y de esta forma, nos van liberando $10 millones anuales hasta el 2005.

• La redención parcial por cupones anuales hace que la duración (plazo medio ponderado) de los Bonos, sea de 2.7 y 3.1 años, para plazos finales a 5 y 6 años, respectivamente.

• Cada uno de los cupones puede ser negociado y transferido individualmente, lo que permite una ágil y eficiente gestión del portafolio.

• Devengan intereses pagaderos por semestres vencidos, equivalentes al 80% de la variación porcentual del Índice de Precios al Consumidor IPC que certifique el DANE para el semestre que termina tres meses calendario antes de la fecha de exigibilidad de los intereses.

• Agilidad: Para ingresar al fondo, sólo debe llenarse un formulario de apertura de cuenta.

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Función Económica El objetivo de los Bonos Agrarios, es financiar la adquisición de tierras por parte del Instituto Colombiano de la Reforma Agraria, INCORA, en desarrollo del programa de reforma agraria. El Sistema Nacional de la Reforma Agraria, bajo los lineamientos de la Ley 160 de 1994 y la Ley 30 de 1988, introdujo un nuevo dinamismo a la estructura social de la agraria, con la activación del mercado de tierras sujetas de reforma agraria. Los Bonos Agrarios son uno de los instrumentos financieros que hacen posible este cometido, al servir como medio de pago en cualquiera de las tres modalidades de tradición de bienes rurales que previó la ley:

• Negociación directa entre campesinos y propietarios, modalidad en la cual

el INCORA paga el 50% del precio pactado con Bonos Agrarios, entregados como parte del subsidio que establece la ley.

• Intervención directa, mediante la cual el INCORA, adquiere directamente el predio, caso en el cual, paga el 60% del precio con Bonos Agrarios.

Administración:

Los títulos son colocados por el Instituto Colombiano de la Reforma Agraria INCORA. En su nombre y en el de la Nación, y según el contrato de administración fiduciaria suscrito entre ellos, el Banco de la República tiene a su cargo la edición y administración de los Bonos Agrarios. El pago de capital e intereses de cada cupón se realiza en cualquiera de las oficinas del Banco de la República, por cuenta y con recursos de la Nación, para lo cual basta que el tenedor legítimo presente los títulos que demuestren la obligación exigible. Para la expedición y redención de los títulos, el Banco de la República tiene cobertura en todas las capitales de departamento del país, con excepción de Arauca, Casanare, Guainía y Amazonas. Los cupones pueden ser fraccionados en valores múltiples de mil pesos ($1.000), sin que el valor nominal sea inferior a un millón de pesos ($1.000.000). El cargo por fraccionamiento fijado por el Banco, será asumido por el tenedor legítimo. Los títulos pueden ser depositados en el Depósito Central de Valores del Banco de la República. Las acciones judiciales para el cobro del capital y los intereses de los Bonos Agrarios caducarán en el término de 4 años, contados a partir de la fecha de su exigibilidad, y el derecho derivado de los títulos prescribirá en el mismo periodo de tiempo, de acuerdo con lo previsto en el Art. 17 de la Ley 185 de 1995.Los Bonos son amortizados mediante cinco cuotas anuales iguales y sucesivas, la primera de las cuales vence un año después de la fecha de expedición del bono.

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� BONOS PENSIONALES

Los Bonos Pensionales constituyen aportes destinados a contribuir a la conformación del capital necesario para financiar las pensiones de los afiliados al Sistema General de Pensiones. La Nación - Ministerio de Hacienda y Crédito Público - emite los bonos pensionales tipo A, negociables en el mercado secundario. Existen también otros bonos, llamados tipo B, emitidos a favor del ISS, pero éstos no son negociables.

Los bonos pensionales tipo A están debidamente inscritos en la Bolsa de Valores de Colombia. Los bonos tipo A se expiden a nombre de las personas que, después de la ley 100 de 1993, se hayan afiliado a alguna Administradora de Fondo de Pensiones (AFP) habiendo tenido, antes de su afiliación, al menos 150 semanas de aportes al ISS o a alguna Caja de previsión.

Existen actualmente las siguientes AFP, a saber: COLFONDOS, HORIZONTE, PORVENIR, PROTECCIÓN, SANTANDER y SKANDIA.

Perfil del Inversionista: Estos bonos son adecuados para aquellas personas que poseen recursos a mediano y largo plazo y que buscan protegerse de la inflación. Además, para quienes buscan liquidez, ya que por estar ligados a la inflación y estar respaldados por el Ministerio de Hacienda y Crédito Público, gozan de este beneficio. También son aptos para las personas que prefieren que el cobro de intereses se dé al finalizar el periodo.

Características

• Se denominan en moneda legal colombiana.

• Son nominativos.

• Son endosables a favor de las entidades administradoras o aseguradoras cuando se vaya a efectuar el pago de pensiones, o a favor de terceros que los hayan adquirido según lo dispuesto por la ley.

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• A su redención se pagan todos los rendimientos capitalizados a una tasa del 4% real anual efectiva, para las personas que se hayan trasladado antes del 1º de enero de 1999. A partir de esa fecha, será el 3% real.

• Su emisor es el Ministerio de Hacienda y Crédito Público en representación de la Nación.

• Son administrados por la oficina de Bonos Pensionales del Ministerio de Hacienda y Crédito Público.

• Se mantienen en custodia por las sociedades administradoras de fondos de pensiones mientras no se rediman.

� BONOS DE SEGURIDAD

Los Bonos para la seguridad son títulos de deuda interna, a la orden, con un plazo de cinco años.

Las personas naturales y jurídicas deberán efectuar por una sola vez una inversión forzosa en 1997, en Bonos para la Seguridad, equivalente al 0.5% del patrimonio líquido determinado a 31 de diciembre de 1996.

Perfil del Inversionista: Los Bonos de Seguridad son una excelente oportunidad de inversión para quienes declaran renta, ya que los rendimientos de estos títulos están exentos del correspondiente impuesto. Además, al momento del cobro de rendimientos, están libres de retención en la fuente.

Es una inversión adecuada para aquellos que buscan seguridad y rentabilidad.

Características

• Son títulos a la orden, denominados en moneda legal.

• Emitidos en el año de 1997.

• Tienen un vencimiento de cinco años, contados a partir de la fecha en que se efectúe la inversión forzosa.

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• A partir de la fecha de su vencimiento, los bonos son redimidos en dinero por las instituciones financieras que autorice el Ministerio de Hacienda y Crédito Público, en el ciento por ciento (100%) de su valor nominal y podrán utilizarse para el pago de impuestos, anticipos, retenciones, sanciones e intereses, administrados por la Unidad Administrativa Especial Dirección de Impuestos y Aduanas Nacionales.

• Los Bonos de Seguridad generan intereses vencidos, en un porcentaje igual al ochenta por ciento (80%) de la variación de precios al consumidor para ingresos medios certificada por el DANE, durante el periodo transcurrido entre el primer día del mes en que se suscriban y el último día del mes anterior a aquel en que se vence el respectivo año.

• Los intereses se reconocen en cinco (5) vencimientos anuales iguales y sucesivos, el primero de los cuales tiene lugar un (1) año después de la fecha en que se realice la inversión forzosa.

• Son libremente negociables en el mercado de valores.

• Son fraccionables, por una sola vez en múltiplos de un mil pesos ($1.000), sin que la fracción sea inferior al 25% del valor nominal del título original, según lo determine el Ministerio de Hacienda y Crédito Público.

• Son colocados por las Instituciones Financieras que autorice el Ministerio de Hacienda y Crédito Público.

• El Ministerio de Hacienda y Crédito Público solicita la inscripción de los títulos en las bolsas de valores.

• Los rendimientos originados en los Bonos para la Seguridad son considerados como ingreso no constitutivo de renta y por consiguiente, están exentos de retención en la fuente.

� BONOS DE PAZ

Son bonos de deuda pública interna de la Nación.

Perfil del Inversionista: Este tipo de papel es apto para aquellas personas que poseen recursos a largo plazo, que buscan inversiones en títulos seguros, rentables y que ofrezcan liquidez. Para quienes declaran renta, es una excelente inversión, ya que los rendimientos financieros están completamente exentos de retención en la fuente.

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Características

• Son títulos a la orden, denominados en moneda legal.

• Se emitieron a partir del mes de mayo del año de 1999.

• Tienen un vencimiento de siete (7) años, contados a partir de la fecha en que se efectúe la inversión primaria.

• Generan intereses anuales vencidos, en un porcentaje igual al ciento diez por ciento (110%) de la variación de precios al consumidor para ingresos medios certificada por el DANE para el año respectivo, definido como aquel cuyo vencimiento haya ocurrido dos (2) meses calendario antes de la fecha de exigibilidad de los intereses.

• Los intereses se pagan en siete (7) vencimientos anuales iguales y sucesivos, el primero de los cuales tendrá lugar un (1) año después de la fecha en que se realice la inversión primaria.

• Son colocados por las Instituciones Financieras autorizadas por el Ministerio de Hacienda y Crédito Público.

• Son emitidas, colocadas y circulan en forma desmaterializada.

• Son libremente negociables en el mercado de valores.

• La inversión se debe liquidar y pagar aproximando el valor a invertir al múltiplo de mil (1.000) más cercano.

• A partir de la fecha de su vencimiento, son redimidos a través de las Instituciones Financieras que autorice el Ministerio de Hacienda y Crédito Público, en moneda legal colombiana por el ciento por ciento (100%) de su valor nominal y se podrán utilizar para el pago de impuestos, anticipos, retenciones, sanciones e intereses que administre la Unidad Administrativa Especial Dirección de Impuestos y Aduanas Nacionales.

Están obligados a suscribir los Bonos de Paz: 1. Personas jurídicas: Las personas jurídicas deben efectuar durante los años 1999 y 2000, por una sola vez cada año, la inversión forzosa en Bonos de Paz, en el equivalente al 0.6% del valor que se señala a continuación:

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• Para las inversiones que se deben efectuar en el año de 1999, el patrimonio liquido poseído a 31 de diciembre de 1998.

• Para las inversiones que se deben efectuar en el año de 2000, el patrimonio liquido poseído a 31 de diciembre de 1998, multiplicado por el resultado que se obtenga de sumar a la unidad, el porcentaje de inflación medido en términos del IPC certificado por el DANE para el año de 1999.

• Para las inversiones que se deben efectuar en el año de 1999 por personas jurídicas que se hayan constituido durante el año de 1998, el patrimonio liquido poseído a 31 de diciembre de 1998.

• Para las inversiones que se deban efectuar en el año 2000 por personas jurídicas que se hayan constituido durante el año de 1998, el patrimonio liquido poseído a 31 de diciembre de 1998, multiplicado por el resultado que se obtenga de sumar a la unidad, el porcentaje de inflación medida en términos del IPC certificado por el DANE para el año de 1999.

• Para las inversiones a efectuarse durante el año 2000 por personas jurídicas que se constituyan durante el año de 1999, el patrimonio liquido poseído a 31 de diciembre de 1999.

2. Personas naturales: Las personas naturales cuyo patrimonio liquido a 31 de diciembre de 1998 exceda la suma de $210.000.000, deberán efectuar durante los años 1999 y 2000, por una sola vez cada año, la inversión forzosa, en el equivalente al 0.6% del valor que se señala a continuación:

Para las inversiones que se deben efectuar en el año de 1999, el patrimonio liquido poseído a 31 de diciembre de 1998.

Para las inversiones que se deben efectuar durante el año 2000, el patrimonio liquido poseído a 31 de diciembre de 1998, multiplicado por el resultado que se obtenga de sumar a la unidad, el porcentaje de inflación medido en términos del IPC certificado por el DANE para el año de 1999.

Las personas no obligadas a efectuar la inversión forzosa o las personas extranjeras sin residencia o domicilio en el país, pueden suscribir voluntariamente los Bonos de Paz.

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� OPERACIONES DE VENTA CON PACTO DE RECOMPRA EN RENTA FIJA (REPO EN RENTA FIJA)

Las operaciones de venta con pacto de recompra son operaciones de compraventa de títulos valores, en la cual el comprador se obliga a transferir nuevamente al vendedor inicial, la propiedad de los títulos negociados, en un plazo y condiciones fijadas de antemano en el negocio inicial, operación que requiere autorización escrita del cliente. Su objetivo, es crear oportunidades de inversión y de utilización de recursos a muy corto plazo por parte de las entidades o personas que a través de las firmas comisionistas, acudan al mercado bursátil.

Perfil del Inversionista: El REPO es una alternativa de financiación para aquellas personas naturales o jurídicas que teniendo un activo transable (acciones o renta fija), requieren de liquidez en periodos cortos de tiempo (caso del vendedor), o una alternativa de inversión para aquellos que buscan obtener rentabilidad a corto plazo y que desean conocer sus utilidades con anterioridad (caso del comprador). Además, es una inversión rentable, ya que sus rendimientos están exentos de retención en la fuente.

Características

• Monto de la operación: El monto mínimo de las operaciones de venta con pacto de recompra, es el equivalente a 200 salarios mínimos mensuales, entendiéndose por monto, la suma de dinero que demanda el vendedor del título.

• Plazo de la operación y de vencimiento de los títulos: El plazo para la recompra de los títulos valores de las operaciones de venta con pacto de recompra no puede exceder de 90 días calendario. El plazo de vencimiento de los títulos no puede ser inferior a tres días hábiles a partir de la fecha de vencimiento de la operación de recompra.

• Comisiones: Las operaciones de venta con pacto de recompra causan comisión tanto de compra como de venta, que se liquida en el momento en que se cumpla la operación de compraventa inicial y que se cobra proporcionalmente al tiempo que transcurre entre la operación de compraventa y la operación de recompra.

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� TÍTULOS DE TESORERÍA - TES Títulos de deuda pública emitidos por la Tesorería General de la Nación (en pesos, en UVR´s - Unidades de Valor Real Constante - o en pesos ligados a la TRM) que son subastados por el Banco de la República. Se caracterizan por ser una de las mayores fuentes de financiación del Gobierno.

Son títulos a la orden, libremente negociables en el mercado secundario. El plazo se determina de acuerdo con las necesidades de regulación del mercado monetario y de los requerimientos presupuestales de tesorería y fluctúa entre 1 y 10 años. El rendimiento de los títulos lo determina el Gobierno Nacional de acuerdo con las tasas del mercado para el día de emisión de los mismos.

Perfil del Inversionista: Por rentabilidad, seguridad y liquidez, los TES son los títulos que por excelencia, todos los inversionistas deben tener en sus portafolios. Las posibilidades de obtener rentabilidad en una variedad de indicadores (tasa fija, IPC, UVR y TRM) hacen de estos títulos una interesante opción de inversión. Los TES son el tipo de inversión apropiado para aquellas personas que buscan seguridad por parte del emisor del título, ya que están respaldados por la Nación. Además, son adecuados para aquellos que invierten su dinero a largo plazo y que buscan conocer con anterioridad el rendimiento de su inversión, en el caso de los que pagan rendimientos a tasa fija.

Son altamente confiables (calificación AAA) y por lo tanto, al momento de necesitar liquidez, son fácilmente negociables en el mercado secundario.

Características

Los Títulos de Tesorería -TES- se introdujeron como mecanismo de financiación interna del gobierno nacional mediante la Ley 51 de 1990, con el objetivo de ser utilizados para financiar las operaciones presupuestales, reemplazar a su vencimiento los Títulos de Ahorro Nacional -TAN - y los Títulos de Participación. Esta Ley dispuso dos tipos de TES:

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• TES Clase A , utilizados para cubrir el pasivo existente con el Banco Central (Banco de la República), y para sustituir a su vencimiento la deuda contraída en Operaciones de Mercado Abierto (OMAS) a través de Títulos de Participación creados con base en las resoluciones 28 de 1986 y 50 de 1990.

• TES Clase B , destinados a la financiación de la Nación (Apropiaciones presupuestales y Operaciones temporales de Tesorería del Gobierno Nacional), para sustituir a su vencimiento a los Títulos de Ahorro Nacional (TAN) y para emitir nuevos títulos para reponer los que se amorticen o deterioren sin exceder los montos de emisión autorizados.

Los TES Clase B están conformados por el principal y cupones anuales (intereses que genera un título en el caso de los TES tasa fija. Se pueden negociar los intereses en forma independiente al capital).

Son títulos a la orden, no gozan de liquidez primaria antes de su vencimiento y son libremente negociables en el mercado secundario. La transferencia de los valores que se encuentren en el Depósito Centralizado de Valores -DCV- puede hacerse por el registro, previa orden escrita del titular de dichos valores o de su mandatario.

Los TES Clase B devengan intereses periodo vencido, sobre los cuales se aplica retención en la fuente.

Los TES Clase B a tasa fija de una misma emisión podrán reunirse en un solo título que los reemplazaría, con el objeto de unificar un volumen de títulos.

El uso del Depósito Centralizado de Valores será pagado por la entidad emisora de los títulos y en consecuencia, el usuario no incurrirá en ningún costo por el servicio prestado.

El valor mínimo del principal es de quinientos mil pesos y se expedirán títulos en múltiplos de cien mil pesos.

Pueden ser denominados en moneda extranjera, dependiendo de las condiciones de la emisión.

Las obligaciones emanadas de los intereses y del capital de los títulos prescriben a los cuatro años, contados a partir de la fecha de su exigibilidad.

Los TES Clase B están inscritos en las tres Bolsas de Valores del país.

Además de lo anterior, los TES Clase B cumplen con los siguientes objetivos:

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• Desarrollan el mercado de capitales Colombiano.

• Incentivan el ahorro interno a largo plazo.

• Informan al mercado financiero sobre las expectativas y precios por plazo.

• Implementan una curva de rendimientos dentro del mercado que permite su profundización.

• Atraen inversionistas institucionales.

• Son instrumentos para las operaciones monetarias (Operaciones de Mercado Abierto) del Banco Central a partir de 1999.

Títulos de Tesorería TES Clase B - Marco Jurídico En la Ley 384 de 1997, el Decreto reglamentario 1250 de 1992 y las Circulares Reglamentarias del Banco de la República UOM-33 de marzo 20 de 1996 y UOM-41 de abril 1 de 1997, se establecieron las características de los TES Clase B y los requisitos para su emisión:

• Los TES Clase B se dividen según su rendimiento en TES Clase B de Tasa Fija y TES Clase B de Tasa Variable. Los TES Clase B de Tasa Fija son emitidos para los plazos de 1, 2, 3 y 5 años, mientras que los plazos para los de Tasa Variable son de 5, 7 y 10 años.

• Los TES Clase B son emitidos por la Nación y cuentan con la garantía de esta última.

• El estimativo de los ingresos de su colocación se incluirá en el Presupuesto General de la Nación como recursos de capital.

• Sus rendimientos se atienden con cargo al Presupuesto General de la Nación.

• Su redención se atiende con cargo a los recursos del Presupuesto General de la Nación.

• Pueden ser administrados directamente por la Nación o ésta puede celebrar con el Banco de la República o con otras entidades nacionales o extranjeras, contratos de administración fiduciaria y todos aquellos necesarios para la agencia, edición, emisión, colocación, garantía, administración o servicio de los mismos.

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• Su emisión requiere concepto de la Junta Directiva del Banco de la República sobre las características de la emisión y sus condiciones financieras, además, requiere del Decreto que las autorice y fije sus condiciones financieras específicas.

• Su emisión no afecta el cupo de endeudamiento y está limitada para las destinadas, a financiar las apropiaciones presupuestales por el monto de éstas.

• No cuentan con la garantía del Banco de la República.

En este trabajo se analizaran las curvas de rendimiento para los Títulos de Tesorería clase B (TES B.)

2.4. ESTRUCTURA DE TÉRMINOS DE LAS TASAS DE INTERES

Tasa de rendimiento libre de riesgo La tasa de rendimiento libre de riesgo es el rendimiento que se obtiene de un titulo valor sin riesgo de incumplimiento de pago por parte del emisor del titulo. En el caso de los títulos de deuda “libre de riesgo” quiere decir que los pagos de principal ó nominal e intereses prometidos están garantizados. Los Títulos de Tesorería TES CLASE B del gobierno Colombiano, se consideran en general inversiones libre de riesgos. Estructura de Términos de la tasa de interés. Para cualquier clase de valores de riesgo similar, la estructura de términos de las tasas de interés relaciona la tasa de interés o tasa de rendimiento con el tiempo al vencimiento. En el desarrollo de este trabajo usaremos los Títulos de Tesorería TES CLASE B para la construcción de la estructura de términos de la tasa de interés, pero otras clases de títulos de deuda podrían incluir valores que tengan calidad o riesgo global similar. La naturaleza libre de riesgo de los valores del tesoro proporciona un escenario adecuado para desarrollar la estructura de términos.

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Curvas de rendimientos “El rendimiento al vencimiento de una deuda representa la tasa de rendimiento que se obtiene de un valor adquirido en un día dado y que se conserva hasta el vencimiento. En algún punto en el tiempo, la relación entre el tiempo que resta para el vencimiento de una deuda y su rendimiento al vencimiento se representa mediante la curva de rendimiento, la cual muestra el rendimiento al vencimiento de deudas de características similares y vencimientos diferentes. La curva de rendimientos es una ilustración grafica de la estructura de términos de la tasa de interés”5.

GGrraaffiiccoo 22.. FFoorrmmaass ttííppiiccaass ddee ccuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttooss

Las curvas de rendimiento con pendiente positiva, son llamadas curvas de rendimiento normales e indican que los costos de endeudamiento a corto plazo son más bajos que los costos de endeudamiento a largo plazo; algunas veces se han presentado curvas de rendimientos planas que reflejan costos de endeudamiento relativamente similares para préstamos a corto plazo y a plazos más largos; muy pocas veces se han observado curvas de rendimiento con pendiente negativa, llamadas también curvas de rendimiento inversa o anormales que reflejan costos de endeudamiento a largo plazo mas económicos que los costos de endeudamiento a corto plazo. 5 Lawrence J. Gitman, Principios de administración financiera, Décima edición, México, Pearson Educacion, 2003, p 231

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Teorías de la estructura de términos 6 Con frecuencia se citan tres teorías para explicar la forma general de la curva de rendimiento. Estas son la teoría de las expectativas, la teoría de la preferencia de liquidez y la teoría de la segmentación del mercado Teoría de las expectativas. Una teoría de la estructura de términos de las tasas de interés, la teoría de las expectativas, sugiere que la curva de rendimiento refleja las expectativas del inversionista acerca de las tasas de interés y de la inflación futuras. Índices futuros mas altos de inflación esperada dan como resultado tasas de interés a largo plazo más altas; lo opuesto ocurre con índices futuros más bajos. Esta explicación ampliamente aceptada de la estructura de términos se puede aplicar a valores de cualquier emisor. Según la teoría de las expectativas, por lo general una expectativa de incremento en la inflación da como resultado una curva de rendimiento de pendiente positiva; una expectativa de reducción en la inflación de como resultado una curva de rendimiento de pendiente negativa, y una expectativa de inflación estable produce una curva de rendimiento plana. Aunque como veremos, existen otras teorías, la fuerte relación observada entre la inflación y las tasas de interés apoya esta teoría ampliamente aceptada. Teoría de la preferencia de liquidez. La tendencia de las curvas de rendimiento a ser de pendiente positiva se puede explicar con más detalle mediante la teoría de la preferencia de liquidez. Esta teoría sostiene que para un emisor dado, las tasas a largo plazo tienden a ser más altas que las tasas de corto plazo. Esta creencia se basa en dos hechos de comportamiento: 1. los inversionistas perciben menos riesgo en valores de corto plazo que en valores a plazo más largo y, por tanto, están más dispuestos a aceptar rendimientos menores de ellos. La razón es que los valores a plazo mas corto son líquidos y menos sensibles a los movimientos generales de la tasa de interés ³. 2. Por lo común, los prestatarios están dispuestos a pagar una tasa más alta por un financiamiento a largo plazo que por uno a corto plazo. Limitándose a fondos con un periodo mas largo, pueden eliminar las posibles consecuencias adversas de tener que refinanciar una deuda a corto plazo a costos desconocidos para obtener un financiamiento a largo plazo. 6 Lawrence J. Gitman, Principios de administración financiera, Décima edición, México, Pearson Educacion, 2003, pp. 232-233

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Los inversionistas (prestamistas) tienden a exigir una prima por invertir fondos durante periodos más largos, mientras que los prestatarios están dispuestos a pagar una prima por obtener un financiamiento a plazo mas largo. Estas preferencias de prestatarios y prestamistas hacen que la curva de rendimientos tienda a ser de pendiente positiva. En pocas palabras, los vencimientos más largos tienden a tener tasas de interés más altas que los vencimientos más cortos. Teoría de segmentación del mercado. La teoría de segmentación del mercado sugiere que el mercado de préstamos se segmenta con base en el vencimiento y que la oferta y la demanda de préstamos dentro de cada segmento determinan su tasa de interés prevaleciente. En otras palabras, el equilibrio entre proveedores y demandantes de fondos a corto plazo, como prestamos comerciales, determinaría las tasas de interés a corto plazo prevalecientes, y el equilibrio entre proveedores y demandantes de fondos a largo plazo, como los prestamos de bienes raíces, determinaría las tasas de interés a largo plazo prevalecientes. La relación general entre las tasas prevalecientes en cada segmento del mercado determinaría la pendiente de la curva de rendimiento. Dicho llanamente, tasas bajas en el segmento a corto plazo y tasas altas en el segmento a largo plazo hacen que la curva de rendimiento tenga una pendiente positiva. Lo contrario ocurre con las tasas altas a corto plazo y las tasas bajas a largo plazo. Estas tres teorías de la estructura de términos son validas. De ellas concluimos que, en cualquier momento, la pendiente de la curva de rendimientos se ve afectada por: 1) las expectativas inflacionarias, 2) las preferencias de liquidez, 3) el equilibrio comparativo de la oferta y demanda en los segmentos a corto y a largo plazos del mercado. Las curvas de rendimiento de pendiente positiva resultan de expectativas inflacionarias futuras más altas, preferencias del prestamista por préstamos de vencimientos más cortos y una oferta mayor de préstamos a corto plazo que de préstamos a largo plazo respecto de la demanda. Los comportamientos opuestos darían como resultado una curva de rendimientos de pendiente negativa. En cualquier momento, la interacción de estas tres fuerzas determina la pendiente prevaleciente de la curva de rendimiento.

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2.5. CALCULO DEL PRECIO DE LOS TITULOS DE TESORERIA CLASE B

(TESB)

Antes de tratar el tema de las tasas spot es indispensable saber como se calcula en Colombia el precio para los Títulos de Tesorería clase B (TES B). Quien determina la forma del cálculo del precio es el ministerio de hacienda y crédito público, entidad que ha establecido lo siguiente: El precio de los TES B es la suma del valor presente (o valor costo) del principal y de el(los) cupón(es) del título en el día de cumplimiento de la oferta, descontados a la tasa de rendimiento aprobada en la subasta. Para el cálculo del precio, el valor nominal será de cien (100) unidades, el cual se aproximará al milésimo más cercano, menor de cinco (5) o mayor o igual a cinco (5) según corresponda. Dicho cálculo se hará expresando en forma porcentual con tres (3) decimales. El precio será el resultado de la siguiente expresión matemática:

Donde:

Precio: Es el valor costo de la inversión. Tasa Cupón: Es el porcentaje con el cual se calculan los rendimientos periódicos de los títulos y corresponde a la tasa facial de los mismos. i e: Es la tasa de rendimiento efectiva anual de los TES resultante de la subasta (tasa de corte), expresada como porcentaje. n: Es el número de días transcurridos entre la fecha de cumplimiento de la subasta y el próximo pago de intereses del título. N: Es el número de cupones de intereses del título pendientes de pago en la fecha de cumplimiento de la Subasta. k: Variable que toma valores entre 1 y N.

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2.6. TASAS DE INTERES SPOT Y FORWARD

“La tasa de interés spot o cero cupón para cierto plazo, por ejemplo anual o a n años, es la tasa de interés que se le pagaría una inversión que se realice al plazo respectivo. Esto es una tasa spot a 1 año es la tasa de interés que ganaría una inversión a un año, una tasa spot a 3 años es la tasa de interés que se pagaría a una inversión realizada para ese periodo, y así para cada periodo que se quiera considerar. Lo importante que se debe notar es que esa “inversión” que se esta considerando es una inversión que solamente realiza pagos finales, es decir que al final del plazo que se considere se pagan intereses y principal, sin que existan pagos intermedios de ninguna índole como podrían ser pagos de cupones. Por otro lado, la tasa de interés a futuro o foward, es la tasa de interés que existe de forma implícita, entre dos tasas spot de diferentes periodos, de esta forma, podemos hablar de la tasa forward a un año dentro de dos años, por ejemplo, y con esto nos estaríamos refiriendo a la tasa spot anual que posiblemente podrá existir dentro de dos años y es la tasa spot forward implícita entre la tasa spot de dos años y tres años” 7

GGrrááffiiccoo 33.. TTaassaass ssppoott yy TTaassaass FFoorrwwaarrdd Fuente: Perotti, E, 2005 7 Jaime Díaz Tinoco e Fausto Hernández Trillo, Futuros y opciones financieras, Tercera edición México, Limusa, 2003, pp. 51-52.

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Como se puede observar en la sección 2.5 Cálculo del precio de los títulos de tesorería clase B (TES B), la expresión utilizada para el cálculo del precio de los TES B es la misma formula para el cálculo del precio de un bono, que puede ser escrita de una forma más convencional o estandarizada como se muestra a continuación:

Donde:

P0: Es el valor costo de la inversión. c: Es el pago de Interés (100 * Tasa Cupón) i e: Es la tasa de rendimiento efectiva anual de los TES resultante de la subasta (tasa de corte), expresada como porcentaje. En esta expresión se nota que esta siendo utilizada una tasa de corte constante para traer a valor presente cada uno de los flujos, esto es común a nivel mundial, aunque seria mas razonable traer a valor presente cada uno de los flujos usando la tasa correspondiente del flujo, es decir, usando una tasa spot, ya que si se tienen dos títulos con el mismo vencimiento, los rendimientos serán distintos si la tasa del cupón es diferente, esto hace que la curva que relaciona los rendimientos al vencimiento y su vencimiento sea muy difícil de interpretar y de usar en la práctica, debido a esto, es adecuado obtener las tasas spot o forward a partir de la estructura de plazos de las tasas de interés. “Un bono con cupones puede verse como un conjunto de bonos que únicamente poseen un pago al final de cada periodo (bonos cero cupón). El precio del bono con cupones debe ser igual a la suma de los precios de los bonos cero cupón que lo componen. La tasa spot z(t), es la tasa a la que se descuenta un flujo de caja único en el tiempo t, tal como un bono cero cupón”8. El precio del bono estaría dado por la siguiente expresión:

8 Bolsa de valores de Colombia, “Métodos de estimación de la curva cero cupón para títulos Tes”, Dirección de investigación y desarrollo, Colombia, 2002, http://www.bvc.com.co/Normatividad/DocumentoCurvaCeroCupon02.pdf, (acceso Diciembre 9, 2007).

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Si se suponen tasas compuestas continuas, El precio del bono estaría dado por la siguiente expresión:

O lo que es lo mismo:

En el momento de graficar la curva de rendimiento mediante splines cúbicos, se hace en el plano rendimiento (eje y) – vencimiento (eje x) con una serie de puntos discretos. Una vez se interpolan estos puntos se obtiene una curva continua donde se genera la estructura de tasas de interés y a partir de ella las tasas spot. Si se conoce la tasa spot (z1) de un TES B a un año, se puede determinar la tasa spot para el segundo año (z2). Usando un TES B existente a dos años:

Como las otras variables son conocidas, z2 se puede calcular. Luego, z3, el tercer período de la tasa spot, puede encontrarse si se observa un TES B a 3 años:

Este proceso continúa hasta obtener las tasas spot de todos los periodos. Este método es conocido como bootstrap y es uno de los modelos mas utilizados para encontrar las tasas spot y para crear la curva spot (cero cupón). Como se menciono al inicio de esta sección las tasas forward implícitas son las tasas de interés de un contrato pactado entre dos fechas en el futuro, pero sobre condiciones establecidas hoy. Para ilustrar como se realiza el cálculo de estas tasas, se define la siguiente notación:

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: Tasa forward implícita entre el periodo t y t+1 z 0,t : Tasa spot en el periodo t que se negocia el instrumento de deuda z 0,t +1 : Tasa de interés spot para el periodo de 0 a t+1 a la que se negocia el Instrumento de deuda

Por relaciones de arbitraje, estas tasas deben cumplir la siguiente condición: Para t = 1, 2, 3, …, n (numero de periodos) Luego: Para t = 1, 2, 3, …, n (numero de periodos) 2.7. INTERPOLACION MEDIANTE SPLINES CUBICOS 9

En esta parte se tratara la interpolación polinómica a trozos, método con el cual se pretenden encontrar las curvas de rendimientos para los TES B subastados en pesos colombianos por el ministerio de hacienda y crédito publico nacional. Si se tienen n + 1 puntos:

P k ( x k, y k ), donde y k = f(x k), k = 0, 1, . . . , n en los cuales se quiere interpolar la función f. Las abcisas no es necesario que sean equidistantes, pero se suponen ordenados, es decir,

x 0 < x1 < x 2 < . . . < x n

Entonces se pueden encontrar polinomios cúbicos q k (x) que interpolen la función f en el subintervalo [ x k, x k+1 ], k = 0, 1, . . . , n – 1. 9 Jesús García Quesada. "Tutorial de Análisis Numérico” Interpolación: Splines cúbicos, Depto. de Informática y Sistemas - Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, v0.3 - 2 de Octubre de 2000, https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2007/2/MA33A/1/material_alumnos/objeto/4656. (acceso Diciembre 9, 2007).

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GGrrááffiiccoo 44.. IInntteerrppoollaacciióónn ccoonn sspplliinneess ccúúbbiiccooss Definición 1. La función s(x) se llama cúbica a trozos en [ x 0, x n] si existen polinomios cúbicos q0(x), q1(x), . . . , q n-1(x) tales que:

s(x) = q k (x) en [ x k, x k+1], para k = 0, 1, . . . , n – 1 Para que s(x) interpole en los puntos P0, P1, . . . , Pn los q k(x) han de verificar: q k ( x k ) = y k

q k ( x k+1) = y k+1, k = 0, 1, . . . , n – 1 (1) lo cual supone 2n condiciones. Se llama s(x) spline cúbico, o simplemente spline, si los polinomios q k (x) tienen la misma pendiente y la misma concavidad en los nodos que las unen: q' k-1 ( x k ) = q' k ( x k ) q'' k-1 ( x k ) = q'' k ( x k), k = 1, 2, . . . , n – 1 (2) lo cual supone 2(n - 1) condiciones a cumplir. Al tener que verificar las condiciones (1) y (2) se asegura que s(x) tiene su primera y segunda derivadas continuas en [x0, xn]. En este caso se dice que s(x) es un spline interpolador para P0, P1,..., Pn.

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Si s(x) es cúbica a trozos en el intervalo [ x 0, x n ], su derivada segunda s''(x) es lineal en el mismo intervalo e interpola en los puntos (x k, s'' (x k)) y ( x k+1, s'' (x k+1)) en [ x k, x k+1 ]. Por tanto, q k ( x ) es un polinomio de grado uno que interpola en los puntos ( x k, s '' ( x k ) ) y ( x k+1, s'' ( x k+1)):

Si se denota

h k = x k+1 – x k, k = 0, 1, . . . , n – 1 y

σ k = s'' (x k), k = 0, 1, . . . , n se tiene: (3) donde h k y σ k son constantes (k a determinar). Integrando dos veces. (4) donde el termino lineal se puede escribir como:

C k + D k x = A k(x – x k) + B k (x k+1 – x) siendo A k y B k constantes arbitrarias, quedando entonces: (5) Aplicando a (5) las condiciones (1): (6) (7) y despejando de aquí A k y B k y sustituyendo en (5) resulta :

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(8) Que es la ecuación del spline q k (x). Falta aun por conocer los valores σ0, σ1, . . . , σ n (n+1 incógnitas) para lo cual se puede usar (2); derivando en (8) se tiene :

Por tanto: (9) (10) Reemplazando k por k -1 en (10) para obtener q ' k-1(x k) e igualando a (9) se tiene: (11)

o también (12)

o incluso (13)

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Como el índice k varia de 1 a n – 1, se producen n -1 ecuaciones lineales con n +1 Incógnitas σ0, σ1, . . . , σn, lo cual produce un sistema subdeterminado que tiene linfitas soluciones. Existen varias estrategias para eliminar σ0 de la primera ecuación y σn de la (n–1)- esima produciendo un sistema tridiagonal de orden (n–1) en las variables σ1, σ2, . . . , σn-1

ALTERNATIVA I Especificar el valor de s''(x) en los puntos extremos: σ0 = s''(x0) y σn = s''(xn). Si se pone σ0 = 0; σn = 0 se denomina spline cúbico natural. ALTERNATIVA II Suponer que s''(x) es constante en los extremos: σ0 = σ 1 y σ n = σ n-1

ALTERNATIVA III Suponer que s''(x) es lineal cerca de los extremos:

ALTERNATIVA IV Especificar el valor de s'(x) en los puntos extremos:

Si hay que calcular muchas veces s(z) entonces es preferible hacer la sustitución :

x k+1 – z = (x k+1 – x k) – (z – x k) = h k – (z – x k) en q k (z) y entonces expresar este en potencias de z – x k para obtener :

q k (z) = y k + α1 (z – x k) + α 2 (z – x k)2 + α 3 (z – x k)3

= y k + (z – x k) (α1 + (z – x k) (α2 + (z – x k) α3))

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Evaluado con solo 4 sumas/restas y 3 productos, donde

En forma matricial, el sistema tridiagonal que resulta es (caso de spline cúbico natural):

o también

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3. METODOLOGIA PROPUESTA En este capitulo se describirá brevemente la metodología que se siguió para cumplir con el objetivo de este trabajo que es encontrar la forma adecuada de estimar los rendimientos y retornos de un portafolio de inversión en títulos de renta fija específicamente en los títulos de tesorería de manera que los inversionistas tengan una excelente herramienta de decisión.

3.1. TIPO DE ESTUDIO. Se utilizo la investigación descriptiva - explicativa para conocer los activos de renta fija, las curvas de rendimiento, la interpolación mediante splines cúbicos y el método bootstrap para el calculo de tasas spot y forward. Se utilizo la investigación histórica para la recolección de información acerca de las emisiones y subastas de los títulos de tesorería clase B (TES B) a través del ministerio de hacienda y crédito publico. Finalmente, con base en el tipo de investigación estudio de caso, se presento la propuesta del modelo de splines cúbicos para estimar la estructura temporal de tipos de interés que permitirá obtener las tasas spot y forward para evaluar cada alternativa de inversión en TES B de la mejor manera.

3.1.1 Recorrido general por el mercado de renta fi ja en Colombia y revisión de los conceptos fundamentales para el desarrollo d el estudio.

El primer paso necesario para el desarrollo de este trabajo es conocer el mercado de renta fija en Colombia, por lo que se investigo en diferentes entidades cuales son los títulos de renta fija en Colombia con todas sus características, como se emiten, quien los emite y quien los califica, para de esta forma introducir el objeto de estudio que son los títulos de tesorería clase b (TES B), después de hacer esto se introducirán varios conceptos fundamentales buscados en diferentes libros y publicaciones como que es la estructura temporal de tipos de interés, que es una curva de rendimiento y sus formas típicas, que son las tasas spot y forward y como se calculan, y finalmente se estudiara la teoría sobre interpolación mediante splines cúbicos. Todos estos conceptos se trataron en el marco teórico (Capitulo 2), y una vez claros se puede proceder a buscar las emisiones de TES B para extraer un conjunto de títulos y hacer el cálculo de las curvas de rendimiento mediante splines cúbicos.

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3.1.2 Consulta de las captaciones de TES B subas tas y underwriting a través del Misterio de Hacienda y Crédito Público.

A través de la pagina Web del ministerio de hacienda y crédito publico se consultaron las emisiones de títulos de tesorería clase b (TES B) subastados en pesos en los últimos tres años; la información de estas emisiones consultadas se observan en los Anexos A, B, D, F y H.

3.1.3 Selección de una muestra de TES B emitidos en diferentes fechas

para realizar la estimación de las tasas de rendimi ento. Una vez obtenido los archivos de las emisiones de los TES B subastados en pesos de los últimos tres años, se utilizaron varios de estos títulos para probar los modelos splines propuestos en el capitulo cuatro. 3.1.4 Realizar un grafico de los rendimientos de los títulos de tesorería

TES B contra su fecha de vencimiento. Una vez fueron seleccionados los TES B para las probar los modelos planteados, se graficaron los puntos que serán interpolados, donde el tiempo que resta para el vencimiento del TES B se representara en el eje x y su rendimiento al vencimiento (tasa de corte) se representara en el eje y). 3.1.5 Estudio de la interpolación mediante splines cúbicos a través de la

Internet, libros de métodos numéricos y publicaci ones en revistas. Se realizo una búsqueda profunda sobre la interpolación con splines cúbicos en diferentes medios como el Internet, libros en bibliotecas y revistas, y se selecciono la teoría que de forma mas clara daba a entender la interpolación mediante los splines cúbicos para que finalmente fuera usada como base en el desarrollo de los modelos splines para el calculo de las curvas de rendimiento.

65

3.1.6 Interpolar las tasas de rendimiento con splin es cúbicos. Luego de estudiar y entender la interpolación mediante splines cúbicos, se plantearan dos modelos que estimen el vencimiento y el rendimiento al vencimiento para el conjunto de TES B seleccionados, se establecerán nuevas condiciones de frontera si es necesario, para estabilizar el modelo spline y finalmente se trazara la grafica con los resultados del modelo. 3.1.7 Cálculo del precio teórico de los TES B A partir de las graficas obtenidas mediante los splines cúbicos, se logra extraer el rendimiento para cualquier vencimiento, utilizamos el rendimiento de cada TES B con periodos de vencimiento de 6 meses hasta llegar al vencimiento mas largo de cada titulo emitido; para luego calcular el precio de cada titulo en estos periodos, de manera que mas adelante se puedan calcular las tasas spot y forward.

3.1.8 Cálculo de las tasas forward y spot teóricas mediante el método

bootstrap.

Una vez graficada la curva de rendimientos y obtenida la estructura temporal de los tipos de interés para los TES B escogidos, se procedió a calcular las tasas spot y forward teóricas mediante el método de bootstrap y luego se presentaron los resultados en una tabla.

3.1.9 Presentar el informe final Finalmente se mostraron los resultados de cada modelo planteado, se realizo el análisis de los resultados y se presentaron las conclusiones finales del trabajo.

66

4. DESARROLLO DE LA PROPUESTA Hasta el momento se tienen todos los conceptos necesarios para el desarrollo del modelo de splines cúbicos para el cálculo de la estructura temporal de los tipos de interés para los TES B, para que a partir ella podamos obtener las tasas spot y forward. En este capitulo se desarrollaran dos modelos de splines para los TES B, uno con cinco nodos, cuando en una emisión se tengan cuatro fechas de vencimiento y otro con seis nodos, cuando en una emisión se tengan cinco fechas de vencimiento, esto debido a que en una emisión de TES B a veces se tienen cuatro plazos de vencimiento y otras veces cinco.

4.1. PLANTEAMIENTO DEL MODELO En el marco teórico se mostró la forma de construir una función spline para que de acuerdo con las condiciones de una función spline se pueda construir la curva de rendimientos para los TES (títulos de tesorería) clase B subastados en pesos por el gobierno nacional y el ministerio de hacienda y crédito público. A continuación se explica como construir la curva de rendimientos con una función spline, todos los cálculos se realizaron a través del programa DERIVE 6 gracias a la facilidad de su estructura para realizar operaciones matemáticas y para realizar gráficos con múltiples opciones para el análisis de las curvas. Antes de empezar la construcción de los modelos, se recuerdan las condiciones esenciales de una función spline: Si se tienen n + 1 puntos:

P k ( x k, y k ), donde y k = f(x k), k = 0, 1, . . . , n en los cuales se quiere interpolar la función f. Las abcisas no es necesario que sean equidistantes, pero se suponen ordenados, es decir,

x 0 < x1 < x 2 < . . . < x n

Entonces se pueden encontrar polinomios cúbicos q k (x) que interpolen la función f en el subintervalo [ x k, x k+1 ], k = 0, 1, . . . , n – 1.

67

Definición 1 . La función s(x) se llama cúbica a trozos en [x0, xn] si existen polinomios cúbicos q0(x), q1(x), . . . , q n-1(x) tales que:

s(x) = q k (x) en [ x k , x k+1 ], para k = 0, 1, . . . , n - 1 Para que s(x) interpole en los puntos P0, P1, . . . , Pn los q k(x) han de verificar: q k ( xk ) = y k

q k ( xk+1) = y k+1, k = 0, 1, . . . , n – 1 (1) q ' k-1 ( x k) = q ' k ( x k ) q '' k-1 ( x k ) = q '' k( x k ), k = 1, 2, . . . , n – 1 (2) Se llamará a s(x) spline cúbico, o simplemente spline, si los polinomios q k (x) tienen la misma pendiente y la misma concavidad en los nodos que las unen. Con base esta teoría se obtendrá la representación de la estructura temporal de tipos de interés; se redefinirán algunos de los términos anteriormente utilizados para un mejor acercamiento a la construcción de la curva de rendimientos: Cada punto será P k (t k, r k), donde r k = f ( t k), k = 0, 1, . . . , n La variable t representa el tiempo en años, y la variable r representa el rendimiento al vencimiento de cada TES B.

GGrrááffiiccoo 55.. VVeenncciimmiieennttoo ((aaññooss)) ddee llooss TTEESS BB VVss RReennddiimmiieennttoo aall vveenncciimmiieennttoo

68

Generalmente en las subastas, se tienen TES B a plazos de 1, 3, 5, 6, 10 y/o 15 años con diferentes rendimientos. Por esta razón se construirá un spline con cinco nodos y otro spline con seis nodos, donde cada nodo representa el tiempo y el rendimiento en ese tiempo. Sin embargo si se tuvieran más o menos nodos el procedimiento para la construcción de la curva seria el mismo; la diferencia estaría simplemente en el aumento o disminución de las restricciones del spline. Cada polinomio cúbico que interpole la función f en el subintervalo [t k, t k+1] será llamado Rk (t), para k = 0, 1, . . . , n - 1 Con cinco nodos (n=5) se tienen cuatro polinomios: R0 = a + b t + c t ² + d t ³ para t en el intervalo [ t 0, t 1 ] R1 = e + f t + g t ² + h t ³ para t en el intervalo [ t 1, t 2 ] R2 = i + j t + k t ² + l t ³ para t en el intervalo [ t 2, t 3] R3 = m + n t + p t ² + q t ³ para t en el intervalo [ t 3, t 4] Con seis nodos (n=6) se tienen cinco polinomios, los cuatro anteriores más el siguiente: R4 = u + v t + w t ² + x t ³ para t en el intervalo [ t 4, t 5]

Para que s(x) interpole en los puntos P1, P2, . . . ,Pn los R k ( t ) han de verificar: R k (t k ) = r k

R k (t k+1) = r k+1, k = 0, 1, . . . , n – 1 (1)

69

Las condiciones de continuidad para n=5 son entonces las siguientes: a + b t0 + c t0 ² + d t0 ³ = r 0 para t en el intervalo [ t 0, t 1 )

a + b t1 + c t1² + d t1 ³ = r 1 para t en el intervalo ( t 0, t 1 ]

e + f t1 + g t1 ² + h t1 ³ = r 1 para t en el intervalo [ t 1, t 2 ) e + f t2 + g t2 ² + h t2 ³ = r 2 para t en el intervalo ( t 1, t 2] i + j t2 + k t2 ² + l t2 ³ = r 2 para t en el intervalo [ t 2, t 3)

i + j t3 + k t3 ² + l t3 ³ = r 3 para t en el intervalo ( t 2, t 3] m + n t3 + p t 3 ² + q t3 ³ = r 3 para t en el intervalo [ t 3, t 4) m + n t4 + p t 4 ² + q t4 ³ = r 4 para t en el intervalo ( t 3, t 4] Si n=6 Entonces se adicionan las siguientes condiciones de continuidad a las anteriores:

u + v t4 + w t 4 ² + x t4 ³ = r 4 para t en el intervalo [ t 4, t 5) u + v t5 + w t 5 ² + x t5 ³ = r 5 para t en el intervalo ( t 4, t 5]

Para que s(x) interpole en los puntos P1, P2, . . . ,P5 los R k ( t ) también verifican: R'k-1 ( t k) = R'k (t k ) R''k-1 ( t k) = R'' k ( t k ), k = 1, 2, . . . , n – 1 (2) Para n=5 las condiciones de diferencialidad (primera y segunda derivadas continuas) son las siguientes:

70

b + 2c t1 + 3d t1 ² = f + 2g t1 + 3h t1 ²

f + 2g t2 + 3h t2 ² = j + 2k t2 + 3l t2 ² j + 2k t3 + 3l t3 ² = n + 2p t3 + 3q t3 ² 2c + 6d t1 = 2g + 6h t1 2g + 6h t2 = 2k + 6l t2 2k + 6l t3 = 2p + 6q t3

si n=6 entonces se adicionan a las anteriores condiciones de diferencialidad estas dos condiciones n + 2p t4 + 3q t4 ² = v + 2w t4 + 3x t4 ² 2p + 6q t4 = 2w + 6x t4

Como se observa, cuando se tienen cinco nodos (n=5) el sistema se encuentra con dieciséis incógnitas y catorce ecuaciones, de igual forma cuando se tienen seis nodos (n=6) el sistema se encuentra con veinte incógnitas y dieciocho ecuaciones; por lo cual es necesario incluir dos condiciones de borde, las alternativas son: (a) Spline Natural: R '' (t0) = 0, R '' (t n) = 0 (b) Spline Extremos Constantes: R '' ( t 0) = R '' ( t 1), R '' ( t n ) = R '' ( t n−1 ) (c) Spline Valor Fijo: R'' ( t 0 ) = α, R '' ( t n ) = β (d) Spline Sujeta: R ' ( t 0 ) = f ' ( t 0 ), R ' ( t n ) = f ' ( t n ) La propuesta que se plantea es utilizar el spline natural y observar como es el comportamiento de la curva, si en el corto o largo plazo se presenta alguna oscilación fuerte, se propone utilizar otra condición de borde como el spline de valor fijo. El valor se calculara mediante un proceso de prueba y error, ensayando con diferentes valores para R '' (x0) y R '' (t n) hasta encontrar los valores fijos óptimos. Por ahora se trabajara con el spline natural.

71

Las condiciones finales de borde con el spline cúbico natural serian entonces: Para n=5

2c + 6d t0 = 0 2p + 6q t4 = 0 Para n=6

2c + 6d t0 = 0 2p + 6q t5 = 0 Incluidas las condiciones de borde se observa que: Para n = 5 se tienen dieciséis incógnitas con dieciséis ecuaciones y Para n = 6 se tienen veinte incógnitas con veinte ecuaciones Para encontrar los coeficientes de cada polinomio Rk (t), k = 0, 1, . . . , n - 1 se utiliza la notación A¯¹ . r = B Donde A¯¹ representa la inversa de la matriz del spline, r el vector de resultados de la matriz y B representa la matriz de coeficientes de cada polinomio Rk (t), k = 0, 1, . . . , n – 1

72 72

Sistema Inicial de Ecuaciones para cinco nodos (n=5)

73 73

Forma matricial (con n=5) para hallar los coeficientes de cada polinomio Rk (t), k = 0, 1, . . . , n – 1

74 74

Sistema Inicial de Ecuaciones para seis nodos (n=6)

75 75

Forma matricial (con n=6) para hallar los coeficientes de cada polinomio Rk (t), k = 0, 1, . . . , n –1

76 76

4.2. SOLUCION DE ECUACIONES Y GRAFICO DE LAS CURVAS DE

RENDIMIENTO.

La estimación de la curvas de rendimientos que se presentan en las gráficas 9 y 13, se realizaron con los TES B subastados el 13 de mayo de 2005 y el 11 de julio de 2007 (Ver las características de estas emisiones en los Anexos A y D); Se seleccionaron estos TES a conveniencia ya que después de varias curvas de rendimiento realizadas con diferentes TES B (ver Anexos C, E, G, I) se encontraron características especiales en ellos, por ejemplo en los TES subastados el 13-05-05 se encontraron oscilaciones en el largo plazo por lo que hubo que recurrir a cambios en las dos condiciones de borde para estabilizar el spline, con lo cual se tendría un base perfecta para el calculo de otras curvas que presenten oscilaciones en largo plazo; en el TES subastado el 11-07-07 se encontró que los rendimientos en el corto, mediano y largo plazo eran muy similares, situación perfecta para que con las tasas spot teóricas calculadas mas adelante se tome la mejor dedición a la hora de elegir al plazo al cual invertir. Otra característica importante de estos dos TES es que con el subastado el 13-05-05 se tiene información para formar el spline con seis nodos, y con el TES subastado el 11-07-07 existe información para calcular un spline con cinco nodos; de esta forma se pueden aplicar los dos modelos planteados anteriormente. De la información presentada en cada emisión se obtienen las coordenadas de cada punto o nodo para la estimación de las curvas de rendimiento de los TES B:

TTaabbllaa 33.. PPuunnttooss oo NNooddooss ppaarraa llaa iinntteerrppoollaacciióónn mmeeddiiaannttee sspplliinneess ccúúbbiiccooss

Fecha Cumplimiento

Fecha Vencimiento

Vencimiento (Días)

Vencimiento (Años) Tasa de Corte

13/05/2005 0 1 13/05/2005 07/04/2006 329 0,90 7,19 13/05/2005 11/04/2008 1064 2,92 9,18 13/05/2005 10/07/2009 1519 4,16 10,14 13/05/2005 12/02/2010 1736 4,76 10,80 13/05/2005 12/09/2014 3409 9,34 12,10 11/07/2007 0 1 11/07/2007 14/05/2009 673 1,84 9,72 11/07/2007 24/11/2010 1232 3,38 9,82 11/07/2007 28/10/2015 3031 8,30 9,87 11/07/2007 24/07/2020 4762 13,05 9,83

De igual manera se establecieron los nodos para la estimación de las curvas de rendimiento mostradas en los Anexos C, E, G, I

77 77

Reemplazando la información de cada nodo en la matriz se obtienen los polinomios del spline natural TES B subastados el 13-05-05 .

78 78

R0 = 1 + 7.8839·t + 0·t ² - 1.2421·t ³ para t en el intervalo [ 0 , 0.9 ] R1 = -0.42262 + 12.626·t - 5.2689·t ² + 0.70932 t ³ para t en el intervalo [ 0.9 , 2.92 ] R2 = 23.656 - 12.112·t + 3.2031·t ² - 0.2578·t ³ para t en el intervalo [ 2.92 , 4.16 ] R3 = 13.942 - 5.1073·t + 1.5191·t ² - 0.12287·t ³ para t en el intervalo [ 4.16 , 4.76 ] R4 = -1.1586 + 4.41·t - 0.48027·t ² + 0.01714·t ³ para t en el intervalo [ 4.76 , 9.34 ]

GGrrááffiiccoo 66.. CCoonnssttrruucccciióónn ddee llaa ccuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo iinniicciiaall ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1133--0055--0055

79 79

GGrrááffiiccoo 77.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo iinniicciiaall ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1133--0055--0055

Como se menciono en el planteamiento del problema, bajo un escenario libre de riesgo, la estructura de plazos incorpora información tanto de los precios actuales como de los precios esperados futuros de las emisiones. En este sentido, oscilaciones en la curva implican fluctuaciones en las expectativas de precios, y por consiguiente en las tasas de interés futuras esperadas, para solucionar este problema se establecieron nuevas condiciones de frontera en cada uno de los modelos planteados, como se muestra a continuación:

80 80

Para estabilizar la curva se cambio R''(t 0) = 0 por R''(t 0) = -22 y R''(t 6) = 0 por R''( t 6 ) = 0.4

81 81

R0 = 1 + 13.909·t - 11· t ² + 3.5414·t ³ para t en el intervalo [ 0 , 0.9 ] R1 = 3.3717 + 6.0033·t - 2.2156· t ² + 0.28799·t ³ para t en el intervalo [ 0.9 , 2.92 ] R2 = 11.145 - 1.9829·t + 0.51934 t ² - 0.024219·t ³ para t en el intervalo [ 2.92 , 4.16 ] R3 = 31.575 - 16.716·t + 4.061· t ² - 0.30801·t ³ para t en el intervalo [ 4.16 , 4.76 ] R4 = -5.8611 + 6.878·t - 0.89577· t ² + 0.039106·t ³ para t en el intervalo [ 4.76 , 9.34 ]

GGrraaffiiccoo 88.. CCoonnssttrruucccciióónn ddee llaa ccuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo eessttaabbiilliizzaaddaa ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1133--0055--0055

82 82

GGrraaffiiccoo 99.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1133--0055--0055

83 83

TES B subastado el 11-07-07

84 84

R0 = 1 + 6.0489·t + 0·t^2 - 0.38688· t ³ para t en el intervalo [ 0 , 1.84 ] R1 = - 4.6524 + 15.264·t - 5.0086· t ² + 0.52048· t ³ para t en el intervalo [ 1.84 , 3.38 ] R2 = 16.335 - 3.3637·t + 0.50278· t ² - 0.023056· t ³ para t en el intervalo [ 3.38 , 8.3 ] R3 = 0.29125 + 2.4354·t - 0.19592· t ² + 0.0050044· t ³ para t en el intervalo [ 8.3 , 13.05 ]

GGrraaffiiccoo 1100.. CCoonnssttrruucccciióónn ddee llaa ccuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo iinniicciiaall ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1111--0077--0077

85 85

GGrraaffiiccoo 1111.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo iinniicciiaall ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1111--0077--0077

86 86

Para estabilizar la curva se cambio R''(t 0) = 0 por R''(t 0) = -15

87 87

R0 = 1 + 13.958·t - 7.5· t ² + 1.353·t ³ para t en el intervalo [ 0 , 1.84 ] R1 = 9.3992 + 0.26367·t - 0.057378· t ² + 0.0047922·t ³ para t en el intervalo [ 1.84 , 3.38 ] R2 = 9.563 + 0.11832·t - 0.014375· t ² + 0.00055131·t ³ para t en el intervalo [ 3.38 , 8.3 ] R3 = 9.8522 + 0.013777·t - 0.0017796· t ² + 0.00004·t ³ para t en el intervalo [ 8.3 , 13.05 ]

GGrraaffiiccoo 1122.. CCoonnssttrruucccciióónn ddee llaa ccuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo eessttaabbiilliizzaaddaa ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1111--0077--0077

88 88

GGrraaffiiccoo 1133.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1111--0077--0077

89 89

4.3. CALCULO DEL PRECIO TEORICO DE LOS TES B, CALCU LO DE LA

TASA SPOT TEORICA Y LA TASA FORWARD TEORICA Hasta el momento se ha estimado la estructura de tasas de interés, sin contar con suficientes instrumentos que satisficieran todos los plazos. Gracias a que ahora se cuenta con la representación grafica de la estructura de las tasas de interés se pueden obtener las tasas de corte para diferentes plazos, y con un tasa de cupón dada, calcular el precio teórico, las tasas spot teóricas y las tasas forward teóricas. El cálculo de las tasas spot teóricas se realizara con el método Bootstrap ilustrado en el marco teórico que consiste básicamente en lo siguiente:

1. La tasa spot de un periodo es igual a la tasa de corte de un TES B a un período.

2. Utilizando la tasa spot a un periodo, se determina la tasa spot para el

segundo periodo ya que las demás variables como el precio del TES B en el segundo periodo, el cupón, y la tasa de corte son conocidas.

3. Se repite el proceso de la misma manera para determinar secuencialmente

las tasas spot para todos los periodos. El procedimiento produce las tasas cero cupón para los distintos vencimientos de cada TES B. Como se ha mencionado a largo de este trabajo en las captaciones de TES B subastas y underwriting realizadas por el ministerio de hacienda y crédito publico no se emiten TES B con cero cupón, por lo tanto se asumirá que un TES B a seis meses (0,5 años) se emite con cero cupón, debido a esto el periodo de pago de intereses debe ser cada 6 meses, la tasa de cupón fue propuesta de acuerdo a las captaciones de TES B subastas y underwriting realizadas por el ministerio de hacienda y crédito publico para los TES B donde se ha calculado la curva de rendimientos. A continuación se ilustra el proceso para el cálculo de las tasas spot y forward teóricas. La tasa de corte de acuerdo al vencimiento en años es obtenida de la curva de rendimientos, y la tasa de cupón fue escogida como se explico en el párrafo anterior. El proceso del cálculo de las tasas spot y forward teóricas de los TES B subastados el 13-05-05 es el siguiente: Primero se calcula el precio de acuerdo con el vencimiento, tasa de cupón y tasa de corte:

90 90

• Precio para el primer periodo:

• Precio para el segundo periodo:

• Precio para el tercer periodo:

• Precio para el cuarto periodo:

Y así de igual forma se calcula el precio para los plazos restantes. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

TTaabbllaa 44.. PPrreecciioo tteeóórriiccoo ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1133--0055--0055

VENCIMIENTO (Años)

TASA CUPON

TASA DE CORTE PRECIO

0,5 0,000% 5,653% 97,213 1,0 3,750% 7,452% 99,912 1,5 4,000% 8,368% 99,247 2,0 4,250% 8,819% 99,074 2,5 4,650% 9,031% 100,136 3,0 5,000% 9,219% 101,448 3,5 5,650% 9,527% 104,482 4,0 6,250% 9,981% 107,287 4,5 6,500% 10,521% 107,672 5,0 6,500% 11,023% 106,235 5,5 6,525% 11,378% 105,332 6,0 6,550% 11,607% 104,826 6,5 6,575% 11,738% 104,683 7,0 6,600% 11,806% 104,803 7,5 6,625% 11,835% 105,105 8,0 6,650% 11,856% 105,445 8,5 6,700% 11,898% 105,922 9,0 6,750% 11,994% 106,084

91 91

Ahora se procede a calcular la tasa spot teórica con el método bootstrap como se muestra a continuación: Se recuerda que la tasa spot de un periodo (6 meses) es igual a la tasa de corte de un TES B a un período. Por lo tanto la primera tasa spot que se conoce es 5,653%, el cálculo para la tasa spot a dos periodos (1 año) se hace de la siguiente forma: Tasa spot para el segundo periodo (1 año)

Tasa spot para el tercer periodo (18 meses)

92 92

Tasa spot para el cuarto periodo (2 años)

Y así de igual forma se repite el proceso para determinar secuencialmente las tasas spot de todos los periodos de los TES B subastados el 13-05-05; el resultado final es el siguiente:

TTaabbllaa 55.. TTaassaass ssppoott tteeóórriiccaass ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1133--0055--0055

VENCIMIENTO (Años)

TASA CUPON

TASA DE CORTE PRECIO

TASA SPOT

0,5 0,000% 5,653% 97,213 5,653% 1,0 3,750% 7,452% 99,912 0,928 7,486% 1,5 4,000% 8,368% 99,247 0,881 8,430% 2,0 4,250% 8,819% 99,074 0,837 8,899% 2,5 4,650% 9,031% 100,136 0,796 9,122% 3,0 5,000% 9,219% 101,448 0,756 9,325% 3,5 5,650% 9,527% 104,482 0,712 9,687% 4,0 6,250% 9,981% 107,287 0,664 10,247% 4,5 6,500% 10,521% 107,672 0,611 10,931% 5,0 6,500% 11,023% 106,235 0,561 11,573% 5,5 6,525% 11,378% 105,332 0,516 12,029% 6,0 6,550% 11,607% 104,826 0,478 12,316% 6,5 6,575% 11,738% 104,683 0,445 12,465% 7,0 6,600% 11,806% 104,803 0,416 12,523% 7,5 6,625% 11,835% 105,105 0,391 12,523% 8,0 6,650% 11,856% 105,445 0,367 12,516% 8,5 6,700% 11,898% 105,922 0,344 12,555% 9,0 6,750% 11,994% 106,084 0,319 12,704%

93 93

Ahora que se han calculado las tasas spot para cada periodo, se pueden determinar fácilmente las tasas forward tratadas en el capitulo 2, su cálculo se realiza como se muestra a continuación: Tasa forward implícita entre 0.5 y 1 (entre 6 y 12 meses)

= 9,351% Tasa forward implícita entre 1 y 1.5 (entre 12 y 18 meses)

= 10,343% Tasa forward implícita entre 1.5 y 2 (entre 18 y 24 meses)

= 10,317%

94 94

De la misma forma se calculan las demás tasas forward, a continuación se presentan los resultados finales para el TES B subastado el 13-05-05: TTaabbllaa 66.. PPrreecciioo tteeóórriiccoo,, ttaassaass ssppoott yy ffoorrwwaarrdd tteeóórriiccaass ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell

1133--0055--0055

VENCIMIENTO (Años)

TASA CUPON

TASA DE CORTE PRECIO

TASA SPOT

TASA FORWARD

PRIMA POR

LIQUIDEZ 0,5 0,000% 5,653% 97,213 5,653%

1,0 3,750% 7,452% 99,912 7,486% 9,351% 1,865%

1,5 4,000% 8,368% 99,247 8,430% 10,343% 1,913%

2,0 4,250% 8,819% 99,074 8,899% 10,317% 1,418%

2,5 4,650% 9,031% 100,136 9,122% 10,019% 0,897%

3,0 5,000% 9,219% 101,448 9,325% 10,350% 1,025%

3,5 5,650% 9,527% 104,482 9,687% 11,882% 2,195%

4,0 6,250% 9,981% 107,287 10,247% 14,250% 4,003%

4,5 6,500% 10,521% 107,672 10,931% 16,561% 5,629%

5,0 6,500% 11,023% 106,235 11,573% 17,520% 5,946%

5,5 6,525% 11,378% 105,332 12,029% 16,693% 4,663%

6,0 6,550% 11,607% 104,826 12,316% 15,519% 3,203%

6,5 6,575% 11,738% 104,683 12,465% 14,266% 1,802%

7,0 6,600% 11,806% 104,803 12,523% 13,276% 0,753%

7,5 6,625% 11,835% 105,105 12,523% 12,529% 0,006%

8,0 6,650% 11,856% 105,445 12,516% 12,411% -0,105%

8,5 6,700% 11,898% 105,922 12,555% 13,189% 0,633%

9,0 6,750% 11,994% 106,084 12,704% 15,267% 2,563% Como complemento, se adiciono a la anterior tabla la prima por liquidez teórica que se otorgo en esta emisión; que es el resultado de restarle a la tasa forward la tasa spot en los periodos correspondientes.

95 95

El proceso para el cálculo del precio, la tasa spot y la tasa forward de los TES B subastados el 11-07-07, es igual al anterior, por lo que no se hace necesaria su ilustración, los resultados finales son los siguientes: TTaabbllaa 77.. PPrreecciioo tteeóórriiccoo,, ttaassaass ssppoott yy ffoorrwwaarrdd tteeóórriiccaass ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell

1111--0077--0077

VENCIMIENTO (Años)

TASA CUPON

TASA DE CORTE PRECIO

TASA SPOT

TASA FORWARD

PRIMA POR

LIQUIDEZ 0,5 0,000% 6,321% 96,889 6,321%

1,0 3,750% 8,808% 98,591 8,855% 11,450% 2,595%

1,5 4,375% 9,632% 98,476 9,706% 11,428% 1,722%

2,0 4,375% 9,736% 97,824 9,799% 10,079% 0,279%

2,5 4,150% 9,755% 96,327 9,805% 9,828% 0,023%

3,0 3,950% 9,804% 94,552 9,849% 10,071% 0,222%

3,5 3,750% 9,825% 92,573 9,865% 9,959% 0,094%

4,0 3,780% 9,842% 91,844 9,880% 9,987% 0,107%

4,5 3,810% 9,855% 91,200 9,892% 9,986% 0,094%

5,0 3,840% 9,864% 90,638 9,900% 9,970% 0,070%

5,5 3,870% 9,871% 90,152 9,906% 9,966% 0,060%

6,0 3,900% 9,875% 89,742 9,909% 9,939% 0,030%

6,5 3,930% 9,876% 89,406 9,908% 9,899% -0,009%

7,0 3,960% 9,876% 89,135 9,906% 9,884% -0,022%

7,5 3,990% 9,874% 88,930 9,902% 9,843% -0,059%

8,0 4,000% 9,871% 88,568 9,896% 9,813% -0,084%

8,5 4,150% 9,869% 89,804 9,893% 9,841% -0,052%

9,0 4,300% 9,865% 91,199 9,887% 9,779% -0,107%

9,5 4,450% 9,861% 92,732 9,880% 9,763% -0,117%

10,0 4,600% 9,857% 94,392 9,874% 9,746% -0,127%

10,5 4,750% 9,853% 96,172 9,867% 9,728% -0,138%

11,0 4,900% 9,850% 98,057 9,861% 9,748% -0,114%

11,5 5,050% 9,844% 100,065 9,850% 9,607% -0,243%

12,0 5,200% 9,840% 102,157 9,842% 9,667% -0,176%

12,5 5,350% 9,835% 104,346 9,833% 9,595% -0,237%

13,0 5,500% 9,830% 106,619 9,822% 9,566% -0,256%

Como complemento, se adiciono a la anterior tabla la prima por liquidez teórica que se otorgo en esta emisión; que es el resultado de restarle a la tasa forward la tasas spot.

96 96

5. ANALISIS DE RESULTADOS

Lo primero que cabe notar en este análisis de resultados, es que los dos modelos splines propuestos en el capitulo cuatro para el calculo de la estructura temporal de tipos de interés en los títulos de tesorería clase B (TES B) fueron correctamente planteados, esto se evidencia en el trazo de las graficas que se hicieron con las ecuaciones obtenidas, donde se puede observar una curva que interpola todos los puntos y que además es suave y continua en cada punto o nodo. En el siguiente análisis se considera específicamente los TES B mostrados en el anterior capitulo, ya que en las pruebas de los modelos, estos TES B presentaron mayor dificultad en los cálculos, así que un similar análisis de estos títulos puede hacerse para los demás TES B mostrados en los Anexos. Análisis TES B subastado el 13-05-05 R0 = 1 + 7.8839·t + 0·t ² - 1.2421·t ³ para t en el intervalo [ 0 , 0.9 ]

R1 = -0.42262 + 12.626·t - 5.2689·t ² + 0.70932 t ³ para t en el intervalo [ 0.9 , 2.92 ]

R2 = 23.656 - 12.112·t + 3.2031·t ² - 0.2578·t ³ para t en el intervalo [ 2.92 , 4.16 ]

R3 = 23.656 - 12.112·t + 3.2031·t ² - 0.2578·t ³ para t en el intervalo [ 4.16 , 4.76 ]

R4 = -1.1586 + 4.41·t - 0.48027·t ² + 0.01714·t ³ para t en el intervalo [ 4.76 , 9.34 ]

GGrrááffiiccoo 1144.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo iinniicciiaall ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1133--0055--0055

97 97

El ggrrááffiiccoo 1144 muestra la curva de rendimientos obtenida inicialmente con el modelo de splines para 6 nodos, como se menciono en el capitulo cuatro, la propuesta era inicialmente construir un spline natural, donde se encontraran los coeficientes de cada polinomio, y de acuerdo con el comportamiento de la grafica de las ecuaciones, establecer nuevas condiciones de frontera para estabilizar la grafica. La alternativa utilizada fue especificar el valor de s''(x) en los puntos extremos: R '' ( t 0 ) = α y R '' ( t n ) = β Los valores iniciales eran R '' ( t 0 ) = 0; R'' ( t 6 ) = 0 que es el spline cúbico natural, mediante un proceso de prueba y error se encontraron los valores óptimos para estabilizar la grafica que fueron: R'' ( t 0 ) = -22, R '' ( t 6) = 0.4 Estas fueron las ecuaciones encontradas y la grafica de la curva de rendimientos con las estas nuevas condiciones de frontera: R0 = 1 + 13.909·t - 11· t ² + 3.5414·t ³ para t en el intervalo [ 0 , 0.9 ] R1 = 3.3717 + 6.0033·t - 2.2156· t ² + 0.28799·t ³ para t en el intervalo [ 0.9 , 2.92 ] R2 = 11.145 - 1.9829·t + 0.51934 t ² - 0.024219·t ³ para t en el intervalo [ 2.92 , 4.16 ] R3 = 31.575 - 16.716·t + 4.061· t ² - 0.30801·t ³ para t en el intervalo [ 4.16 , 4.76 ] R4 = -5.8611 + 6.878·t - 0.89577· t ² + 0.039106·t ³ para t en el intervalo [ 4.76 , 9.34 ] GGrrááffiiccoo 1155.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1133--0055--0055

98 98

En la curva de rendimientos del ggrraaffiiccoo 1155 se puede observar una pendiente siempre positiva, la cual posiblemente indica que en los días de negociación del titulo, el mercado esperaba que las tasas de interés aumentaran sustancialmente al igual que la inflación, esto efectivamente ocurrió en Colombia entre los años 2005 y 2008. La inflación en el 2007 se ubicó en un 5,69 por ciento, por encima del punto máximo del rango entre 3,5 y 4,5 por ciento establecido por el banco de la republica como meta para ese año y que es el mismo fijado para el 2008. Mas adelante en la grafica del titulo subastado el 11 de julio de 2007 se observa una curva de rendimientos muy plana que podría indicar que el mercado esperaba una disminución en las tasas de interés y en la inflación, de manera que se estabilizaran un poco de acuerdo con las metas establecidas por el banco de la republica. Para una mejor interpretación de la curva de rendimientos y determinar cual es la mejor opción de inversión se calcularon las tasas spot y forward cuyos resultados finales fueron los siguientes: TTaabbllaa 88.. PPrreecciioo tteeóórriiccoo,, ttaassaass ssppoott yy ffoorrwwaarrdd tteeóórriiccaass ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell

1133--0055--0055

VENCIMIENTO (Años)

TASA CUPON

TASA DE CORTE PRECIO

TASA SPOT

TASA FORWARD

PRIMA POR

LIQUIDEZ 0,5 0,000% 5,653% 97,213 5,653%

1,0 3,750% 7,452% 99,912 7,486% 9,351% 1,865%

1,5 4,000% 8,368% 99,247 8,430% 10,343% 1,913%

2,0 4,250% 8,819% 99,074 8,899% 10,317% 1,418%

2,5 4,650% 9,031% 100,136 9,122% 10,019% 0,897%

3,0 5,000% 9,219% 101,448 9,325% 10,350% 1,025%

3,5 5,650% 9,527% 104,482 9,687% 11,882% 2,195%

4,0 6,250% 9,981% 107,287 10,247% 14,250% 4,003%

4,5 6,500% 10,521% 107,672 10,931% 16,561% 5,629%

5,0 6,500% 11,023% 106,235 11,573% 17,520% 5,946%

5,5 6,525% 11,378% 105,332 12,029% 16,693% 4,663%

6,0 6,550% 11,607% 104,826 12,316% 15,519% 3,203%

6,5 6,575% 11,738% 104,683 12,465% 14,266% 1,802%

7,0 6,600% 11,806% 104,803 12,523% 13,276% 0,753%

7,5 6,625% 11,835% 105,105 12,523% 12,529% 0,006%

8,0 6,650% 11,856% 105,445 12,516% 12,411% -0,105%

8,5 6,700% 11,898% 105,922 12,555% 13,189% 0,633%

9,0 6,750% 11,994% 106,084 12,704% 15,267% 2,563%

99 99

Con las tasas spot y forward, el inversionista puede seleccionar cual considera es su mejor alternativa de inversión, en la ttaabbllaa 88 se observa que entre mayor es el vencimiento del titulo mayor es el tasa spot teórica del título, donde se esta otorgando una prima por liquidez al inversionista. La decisión que tome cada inversionista sobre el tiempo adecuado para realizar una inversión en los TES B, depende de sus necesidades. Con la anterior estructura temporal de tipos de interés, el inversionista cuenta con un precio, tasa spot y forward teóricas para esta emisión, donde tiene la posibilidad de elegir claramente lo que mas le convenga, si el inversionista necesita liquidez, podría invertir entre 1.5 años con una tasa spot de 8,430%, pero como se observa hay expectativa de que las tasas de interés suban en el futuro, debido a una pendiente bastante pronunciada, además de que se esta otorgando una prima por liquidez al aumentar las tasas spot año tras año, por lo que seria conveniente invertir en el mediano o largo plazo. Si el inversionista optara por invertir en el mediano o largo plazo la mejor alternativa serian invertir entre 4 y 5 años, ya que es en este tiempo donde se esta otorgando la prima por liquidez mas alta, como se puede observar en la ttaabbllaa 88. Se otorga una prima por liquidez cuando la tasa forward implícita es mayor que la tasa spot. Entre mayor es esta distancia, mayor es la prima que se esta otorgando, por eso la importancia de haber encontrado las tasas spot y seguidamente las tasas forward para determinar cuando es el tiempo propicio para invertir en los TES B.

100 100

Análisis TES B subastado el 11-07-07

R0 = 1 + 6.0489·t + 0·t^2 - 0.38688· t ³ para t en el intervalo [ 0 , 1.84 ] R1 = - 4.6524 + 15.264·t - 5.0086· t ² + 0.52048· t ³ para t en el intervalo [ 1.84 , 3.38 ] R2 = 16.335 - 3.3637·t + 0.50278· t ² - 0.023056· t ³ para t en el intervalo [ 3.38 , 8.3 ] R3 = 0.29125 + 2.4354·t - 0.19592· t ² + 0.0050044· t ³ para t en el intervalo [ 8.3 , 13.05 ] GGrrááffiiccoo 1166.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo iinniicciiaall ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1111--0077--0077 El ggrraaffiiccoo 1166 muestra la curva de rendimientos obtenida inicialmente con el modelo de splines para cinco nodos, que se planteo en el capitulo cuatro, al igual que el anterior título analizado, la propuesta era inicialmente construir un spline natural, donde se encontraran los coeficientes de cada polinomio, y de acuerdo con el comportamiento de la grafica de las ecuaciones, establecer nuevas condiciones de frontera para estabilizar la grafica. La alternativa igualmente fue especificar el valor de s''(x) en los puntos extremos:

R '' ( t 0 ) = α y R '' ( t n ) = β

101 101

Los valores iniciales eran R '' ( t 0 ) = 0; R '' ( t 6 ) = 0 que es el spline cúbico natural y mediante el proceso de prueba y error se encontraron los valores óptimos para estabilizar la grafica que fueron: R '' ( t 0 ) = -15, R '' ( t 6) = 0. Cabe notar que solo se cambio la condición de frontera inicial, ya que cuando se experimentaron varios valores para establecer la condición de frontera optima en el ultimo nodo, estos valores desestabilizaban la curva de rendimientos en el tramo largo, por esto se conservo en el valor de 0 para R '' ( t 6). Estas fueron las ecuaciones encontradas y la grafica de la curva de rendimientos con las estas nuevas condiciones de frontera: R0 = 1 + 13.958·t - 7.5· t ² + 1.353·t ³ para t en el intervalo [ 0 , 1.84 ] R1 = 9.3992 + 0.26367·t - 0.057378· t ² + 0.0047922·t ³ para t en el intervalo [ 1.84 , 3.38 ] R2 = 9.563 + 0.11832·t - 0.014375· t ² + 0.00055131·t ³ para t en el intervalo [ 3.38 , 8.3 ] R3 = 9.8522 + 0.013777·t - 0.0017796· t ² + 0.00004·t ³ para t en el intervalo [ 8.3 , 13.05 ]

GGrrááffiiccoo 1177.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 1111--0077--0077

Se observa en el ggrrááffiiccoo 1177 una curva de rendimientos muy plana que como se menciono anteriormente indica que el mercado posiblemente esperaba una disminución en las tasas de interés y en la inflación, de manera que se

102 102

estabilizaran un poco de acuerdo con las metas establecidas por el banco de la republica. Se nota incertidumbre en el mercado por en el comportamiento futuro de las tasas de interés y por el compartimiento de la inflación. Además de esto se observa unas tasas de rendimientos similares para todos los plazos, con lo que resultaría muy difícil tomar una decisión sino se obtienen las tasas spot, y aquí es donde esta uno de los puntos fuertes de este estudio, ya que se utilizaron los TES B con cupones para convertirlos en conjunto de bonos que únicamente poseen un pago al final de cada periodo (bonos cero cupón), y de esta forma mediante el método bootsrap calcular las tasas spot y forward para cada periodo y establecer la mejor alternativa de inversión. Los resultados de esta emisión fueron los siguientes:

TTaabbllaa 99.. PPrreecciioo tteeóórriiccoo,, ttaassaass ssppoott yy ffoorrwwaarrdd tteeóórriiccaass ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell

1111--0077--0077

VENCIMIENTO (Años)

TASA CUPON

TASA DE CORTE PRECIO

TASA SPOT

TASA FORWARD

PRIMA POR LIQUIDEZ

0,5 0,000% 6,321% 96,889 6,321%

1,0 3,750% 8,808% 98,591 8,855% 11,450% 2,595%

1,5 4,375% 9,632% 98,476 9,706% 11,428% 1,722%

2,0 4,375% 9,736% 97,824 9,799% 10,079% 0,279%

2,5 4,150% 9,755% 96,327 9,805% 9,828% 0,023%

3,0 3,950% 9,804% 94,552 9,849% 10,071% 0,222%

3,5 3,750% 9,825% 92,573 9,865% 9,959% 0,094%

4,0 3,780% 9,842% 91,844 9,880% 9,987% 0,107%

4,5 3,810% 9,855% 91,200 9,892% 9,986% 0,094%

5,0 3,840% 9,864% 90,638 9,900% 9,970% 0,070%

5,5 3,870% 9,871% 90,152 9,906% 9,966% 0,060%

6,0 3,900% 9,875% 89,742 9,909% 9,939% 0,030%

6,5 3,930% 9,876% 89,406 9,908% 9,899% -0,009%

7,0 3,960% 9,876% 89,135 9,906% 9,884% -0,022%

7,5 3,990% 9,874% 88,930 9,902% 9,843% -0,059%

8,0 4,000% 9,871% 88,568 9,896% 9,813% -0,084%

8,5 4,150% 9,869% 89,804 9,893% 9,841% -0,052%

9,0 4,300% 9,865% 91,199 9,887% 9,779% -0,107%

9,5 4,450% 9,861% 92,732 9,880% 9,763% -0,117%

10,0 4,600% 9,857% 94,392 9,874% 9,746% -0,127%

10,5 4,750% 9,853% 96,172 9,867% 9,728% -0,138%

11,0 4,900% 9,850% 98,057 9,861% 9,748% -0,114%

11,5 5,050% 9,844% 100,065 9,850% 9,607% -0,243%

12,0 5,200% 9,840% 102,157 9,842% 9,667% -0,176%

12,5 5,350% 9,835% 104,346 9,833% 9,595% -0,237%

13,0 5,500% 9,830% 106,619 9,822% 9,566% -0,256%

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Como se puede observar en la ttaabbllaa 99 con las tasas spot y forward, seria muy riesgoso para el inversionista invertir en el largo plazo, donde al contrario de la ttaabbllaa 88, en esta ocasión la mayoría de las tasas forward en el largo plazo son inferiores a las tasas spot, y solo en el corto plazo se observa una pequeña prima por liquidez, lo que posiblemente indica que no se debe invertir en el largo plazo. Además, teniendo en cuenta que la curva de rendimientos para esta emisión es muy plana, seria muy difícil determinar si las tasas de interés pueden subir o bajar, manejado un riesgo de tasa de interés considerable. Conociendo el inversionista los anteriores argumentos dados, sería aconsejable para el invertir en un rango entre 1 y 3 años; aunque otra alternativa que podría considerar seria invertir en el mediano plazo, esto si se tiene como expectativa que las tasas de interés al igual que la inflación podrían disminuir en los próximos años, y así el TES B ganaría unos puntos de interés, en este caso, en la ttaabbllaa 99 se observa que la mejor opción para invertir en el mediano plazo seria a 6 años, ya que la tasa spot teórica que se tiene para este periodo es 9,909%, la mayor tasa en toda la emisión. Cabe notar finalmente que con la información que se tiene inicialmente de las captaciones de los títulos de tesorería clase B (TESB) seria muy difícil tomar una decisión acertada acerca del tiempo propicio para realizar una inversión, con la estructura temporal de los tipos interés estimada, y las tasas spot y forward halladas a partir de esta estructura, se pueden realizar diferentes análisis que guíen al inversionista a tomar las mejores decisiones.

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6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES

• Ante la necesidad de buscar herramientas y crear nuevas metodologías que permitan valorizar mejor las inversiones en los mercados financieros de renta fija, se ha desarrollado en este trabajo una aplicación alternativa, con la estimación mediante splines cúbicos de las curvas de rendimiento de los títulos de tesorería clase B (TES B) colombianos, estas curvas de rendimiento han mostrado la relación entre el rendimiento y el vencimiento de los TES B que difieren sólo en el plazo al vencimiento, y la tasa del cupón. Se evidencio como la forma de las curvas de rendimiento define las expectativas de los agentes sobre el curso futuro de las tasas de interés, la liquidez del mercado y las preferencias en determinadas emisiones, además que permiten al inversionista mediante el calculo de las tasas spot y forward teóricas, tomar decisiones mas acertadas sobre el plazo y el rendimiento adecuado para invertir.

• En este trabajo se logro estimar la estructura temporal de las tasas interés para diferentes emisiones de títulos de tesorería clase B (TES B) en pesos colombianos, esta estimación se realizo satisfactoriamente mediante splines cúbicos y con un ajuste de las curvas de rendimiento, evitando así las oscilaciones en la curva que implican fluctuaciones en las expectativas de precios, y por consiguiente en las tasas de interés futuras esperadas. Para encontrar el ajuste que evitara las oscilaciones en las curvas de rendimiento se utilizo primero un spline natural donde R '' ( t 0 ) = 0 y R '' ( t n ) = 0, y después cambiando a un spline de valor fijo R '' ( t 0 ) = α y R '' ( t n ) = β, donde los valores α y β fueron hallados experimentalmente de manera que estabilizaran las curvas de rendimiento inicialmente encontradas.

• Gracias a la excelente estimación realizada de la estructura temporal de los

tipos de interés para diferentes TES B fue posible convertir cada titulo en bonos cupón cero, que no pagan intereses periódicos (cupones) sino que al momento del vencimiento se emite un solo pago que incluye principal e intereses. De esta forma los inversionistas pueden darle mejor interpretación a las curvas de rendimiento usando las tasas spot y forward para optimizar sus portafolios, evitando el problema de tener incertidumbre al encontrarse TES B con similares tasas de corte (rendimiento) pero con diferente tasa de cupón.

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RECOMENDACIONES

• El proceso metodológico propuesto en este estudio para el calculo de la curva de rendimientos, las tasas spot y forward de los títulos de tesorería (TES B) seleccionados, presentó unos resultados muy precisos y acordes con la realidad, por lo que se recomienda a los inversionistas utilizar esta metodología como herramienta para optimizar sus portafolios.

• Es Importante que se revisen diferentes trabajos donde se utilice el método de los splines cúbicos en el calculo de curvas de rendimientos para que se establezcan nuevas metodologías o se mejore la que se presenta en este trabajo; esto con el objetivo de lograr una mayor eficiencia en las predicción de la estructura temporal de los tipos de interés, y en las tasas spot y forward teóricas.

• La metodología propuesta y los resultados hallados permiten a las líneas y grupos de investigación en economía y finanzas, tener un referente adecuado sobre la valorización de instrumentos de renta fija y sobre la creación y aplicación de otros métodos parametricos y no parametricos en la optimización económica y financiera.

• Es necesario que se tengan en cuenta cambios en las políticas monetarias

al analizar las curvas de rendimientos, ya que variables como la tasa de interés y la inflación se harán visibles en la forma que adopten las curvas de rendimiento en los títulos de tesorería clase b (TES B).

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Gordon, J. Alexander, Fundamentos de inversiones: Teoría y práctica, Tercera edición, México, Pearson Educacion, 2003. R Charles Moyer, James R. McGuigan, William J. Kretlow, Administración financiera contemporánea, novena edición, México, Internacional Thomson editores, 2005.

Uscanga Borja, M. L. “Propuesta para la creación de un índice de renta fija en México”, Tesis Licenciatura. Actuaría. Departamento de Actuaría, Escuela de Ciencias, Universidad de las Américas Puebla, 2005

Gitman, Lawrence, Principios de administración financiera, Décima edición, México, Pearson Educacion, 2003, pp. 232-233 Díaz Tinoco, Jaime e Fausto Hernández Trillo, Futuros y opciones financieras, Tercera edición, México, Limusa, 2003, pp. 51-52. Sarmiento Sabogal, Julio Alejandro, "Mercado financiero en Colombia", Departamento de Administración- Pontificia Universidad Javeriana, 2003, www.javeriana.edu.co/decisiones/Julio/presentaciones/MerVal.pdf, (acceso Octubre 25, 2007). García Quesada, Jesús. "Tutorial de Análisis Numérico. Interpolación: Splines cúbicos" Departamento de Informática y Sistemas - Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, v0.3 - 2 de Octubre de 2000, https://www.u-cursos.cl/ingenieria/2007/2/MA33A/1/material_alumnos/objeto/4656. (acceso Diciembre 9, 2007). Bolsa de valores de Colombia, “Métodos de estimación de la curva cero cupón para títulos Tes”, Dirección de investigación y desarrollo, 2002, http://www.bvc.com.co/Normatividad/DocumentoCurvaCeroCupon02.pdf, (acceso Diciembre 15, 2007) Julio J.M., Mera, Silvia., Revéiz, Alejandro., “La curva Spot (Cero Cupón) Estimación con splines cúbicos suavizados-usos y ejemplos”, Banco de la republica, http://www.banrep.gov.co/docum/Lectura_finanzas/pdf/lectura4.pdf (acceso Diciembre 15, 2007) Ministerio de Hacienda y Crédito Público. República de Colombia, http://www.minhacienda.gov.co/MinHacienda

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ANEXOS

AAnneexxoo AA.. FFrraaggmmeennttoo ((11)) ddee llaass CCaappttaacciioonneess ddee TTEESS BB 22000055 Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2005

108 108

AAnneexxoo BB.. FFrraaggmmeennttoo ((22)) ddee llaass CCaappttaacciioonneess ddee TTEESS BB 22000055

Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2005

109 109

AAnneexxoo CC.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 2266--1100--22000055

Fuente: Elaboración Propia

110 110

AAnneexxoo DD.. FFrraaggmmeennttoo ddee llaass CCaappttaacciioonneess ddee TTEESS BB 22000066

Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2006

111 111

AAnneexxoo EE.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 0088--0022--0066 Fuente: Elaboración Propia

112 112

AAnneexxoo FF.. FFrraaggmmeennttoo ddee llaass CCaappttaacciioonneess ddee TTEESS BB 22000077 Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2007

113 113

AAnneexxoo GG.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 2222--0088--0077

Fuente: Elaboración Propia

114 114

AAnneexxoo HH.. FFrraaggmmeennttoo ddee llaass CCaappttaacciioonneess ddee TTEESS BB 22000088

Fuente: Ministerio de Hacienda y Crédito Público, 2008

115 115

AAnneexxoo II.. CCuurrvvaa ddee rreennddiimmiieennttoo ddee llooss TTEESS BB ssuubbaassttaaddooss eell 2288--0011--22000088 Fuente: Elaboración Propia