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Diseño de las cargas en edificios - Jorge Bernal Capítulo 10: Curva de Gauss

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Capítulo 10d:

Curva de Gauss.

1. Curvas de Gauss. 1.1. Estudio de lo aleatorio.

Todo el universo es aleatorio y de él los sucesos y fenómenos

climáticos y sísmicos de La Tierra, lo son más. Además, el hombre como

parte de ella posee la condición de azaroso, tanto a nivel individual como

colectivo.

La ecuación fundamental de la estabilidad de los edificios, en to-

dos sus términos contiene contingencias, veamos esa ecuación:


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ø: Factor que reduce la capacidad de resistencia del material por

posibles imperfecciones y según el tipo de solicitación (0,90 para

flexión y 0,85 para compresión).

Sn: Resistencia nominal de la estructura.

U: Valor que debe alcanzar o superar la resistencia de la estruc-

tura, “U” es función de las cargas.

γ1: Factor de seguridad para cargas permanentes “D”.

γ2: Factor de seguridad para sobrecargas “L”.

Las resistencias de diseño “S” de las estructuras poseen varia-

ciones de una obra a otra y la resistencia requerida “U” también oscila.

Entones en las tareas de proyecto y cálculo, nos enfrentamos a una triple

contingencia:

a) La propia de los fenómenos climáticos y sísmicos.

b) La de los materiales de la estructura.

c) La generada por el hombre en su interpretación.

1.2. Construcción de la curva.

Para aproximar un valor de resistencia o carga a futuro es nece-

saria la medición del suceso. Por ejemplo, se investigan las sobrecargas

de varios entrepisos cuyo destino son oficinas, se realiza el relevamiento,

algunos valores se repiten más que otros. En una gráfica se indican esos

dos parámetros:

a) Sobre el eje xx: intensidad de la sobrecarga.

b) Sobre el eje yy: porcentual o frecuencia de suceso.

Con una línea unimos las regiones de mayor densidad y de

esta manera logramos construir la figura que sigue:

1.3. Los datos que entrega desde la intensidad.

La curva superior muestra los resultados de una estadística

de las sobrecargas de edificios de oficinas. Mediante operadores

aritméticos y de mínimos cuadrados, la curva nos entrega datos in-

teresantes:

xp: valor promedio de sobrecarga (kN/m2).

xf: valor de mayor frecuencia (kN/m2).


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xi: valor individual de cada medición de sobrecarga

(kN/m2).

xk: valor característico, solo superado en el 5 % de los

casos (kN/m2).

1.4. Los datos desde la forma.

Hemos analizado en artículos anteriores al exponente del

neperiano, los datos que suministramos al exponente provienen de

la estadística y de ella la más usual es la desviación adimensional

δ de la curva “frecuencia intensidad”.

Ahora dibujamos una curva normal simétrica.

En la geometría el ancho sombreado (2σ) es el doble de la

desviación (σ) se corresponde con los puntos de inflexión, donde

la curva pasa de convexa a cóncava.

La “desviación normal σ” se mide en la unidad de la in-

tensidad, en el caso de las cargas concentradas en kN o en las car-

gas superficiales kN/m2, también con esa unidad se mide el valor

promedio de los valores “xp”. La “desviación adimensional” (δ)

resulta del cociente:

δ = σ/xp

El δ es adimensional y es posible utilizarlo en las ecuacio-

nes matemáticas que utilizaremos para calcular los coeficientes de

seguridad y los de reducción (R105 y R106).

1.5. Desde la teoría.

El estudio matemático de la curva puede abarcar miles de

hojas y no acabar. Ahora solo hacemos referencia a las expresio-

nes que nos interesan para determinar las oscilaciones o desvia-

ciones de las cargas en los edificios. La ecuación de la curva:

Función f(x): frecuencia en porcentual.

( )

√

( )

Eje (x-x): intensidad del valor de cargas.


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μ: valor medio o promedio.

σ: Desviación.

La curva puede ser simétrica, es el caso donde el valor de

mayor frecuencia coincide con la vertical del pico de la curva y la

geometría es espejada; el lado izquierdo igual al derecho. También

puede ser asimétrica donde no existe eje de simetría.

El valor de σ nos entrega una idea aproximada del porcen-

tual de valores que se encuentran en la superficie de la curva de

ancho 2σ.

El 68 % para ± 1σ

El 95 % para ± 2σ

El 99 % para ± 3σ

Esto es útil para establecer fronteras de precisión y exacti-

tud. Por ejemplo, para determinar la tensión característica del

hormigón se utiliza un percentil del 10 %, esto significa que reali-

zado el estudio estadístico de los ensayos, solo un 10 % pueden ser

menores al característico. En reglamentos anteriores se indicaba

un 5 %, que es la franja que queda por fuera del 95 %.

Estas curvas también son utilizadas para determinar los

coeficientes de seguridad empleados en el diseño y cálculo de las

estructuras, así como para establecer los factores de reducción en

el caso de combinación de cargas.

1.6. Mínimos cuadrados.

La teoría de los mínimos cuadrados es antigua. De los va-

lores de un censo o de una estadística, permite mediante expresio-

nes aritméticas establecer el valor del desorden o caos de ese con-

junto.

De una cantidad determinada de datos, utiliza el valor in-

dividual (xi) para ser restado del promedio (xp) para luego ser ele-

vado al cuadrado.

El valor de la desviación “σ” se lo obtiene de la expresión:

√

∑( )

xp: valor promedio de la estadística.

xi: valor individual.


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(xi – xp): indica el valor en kN que separa el dato indivi-

dual del promedio, puede ser positivo o negativo.

(xi – xp)2: es un valor positivo.

El “σ” indica el grado o nivel de dispersión de los resulta-

dos obtenidos de los ensayos o del censo. Posee la misma unidad

que el dato individual “xi” y del promedio “xp”.

También puede utilizarse un valor adimensional “δ” que

resulta de dividir la desviación por el valor promedio.

Es el valor σ es la distancia que mide la dispersión de la

curva, con él obtenemos el δ. Este es el valor que se utilizará como

exponente del neperiano junto al β (índice de seguridad).

Tengamos siempre presente que la desviación normal “σ”

siempre se mide en la unidad de la intensidad; en el caso de las

cargas superficiales de entrepisos en kN/m2, mientras que la socio-

logía o psicofísica en la unidad o nota que se utiliza para la califi-

cación.

En el punto que sigue mostramos los resultados de una in-

vestigación sobre la intensidad de las sobrecargas en un edificio de

viviendas en altura.

2. Las curvas de colectivos. 2.1. General.

Hacemos una interpretación desde las curvas de los tres pa-

rámetros que integran el diseño estructural de un edificio:

Cargas.

Materiales.

Conducta humana.

La frecuencia y la intensidad se pueden establecer en grupos

o colectivos de cargas (fuerza o presión), de materiales (resistencia)

o de humanos (conducta). Estas tres entidades determinan el grado

de incertidumbre en el proyecto y ejecución de un edificio.

2.2. Cargas.

En el caso de las cargas analizamos cuatro grupos: perma-

nentes, sobrecargas, vientos y sismos. Para cada grupo obtenemos

una curva en particular. Esas curvas nos indican el nivel de caos o

desorden en la intensidad y frecuencia particular de cada una


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(1) Cargas permanentes.

Las cargas permanentes poseen una baja dispersión, por-

que la masa y la gravedad son casi constantes en el edificio. Ade-

más los errores que se pueden cometer en su determinación son

reducidos porque el cálculo es determinista: producto del volumen

por la densidad.

(2) Sobrecargas.

Las sobrecargas poseen menor intensidad que las perma-

nentes, pero mayor dispersión. En las estadísticas de sobrecargas

en un departamento de vivienda los valores pueden oscilar entre

mínimos cercanos al cero y máximos superiores al indicado en re-

glamentos.

(3) Viento.

Las dos curvas anteriores se presentan de forma geométri-

ca, ahora las del viento muestran asimetría. Las cargas de viento

poseen mayores frecuencias en valores bajos; vientos normales

(brisas, vientos leves), y menores frecuencias en vientos fuertes

(tempestad, tormenta).

(4) Sismo.

Las cargas de sismo poseen largos períodos de tiempo con

intensidades nulas o mínimas, pero cortos períodos de intensidades

muy fuertes (terremotos).

Cada una de las curvas posee una determinada desviación

δ (kN/m2) que nos indica el nivel de su oscilación con el tiempo y

con ello el grado de incertidumbre para su diseño y cálculo.

2.3. Materiales.

La tecnología de fabricación de los materiales de la cons-

trucción ha avanzado de manera notable en las últimas décadas.

Podemos decir que los materiales de manera individual son bue-

nos, pero cuando son necesarios mezclarlos para producir otro ma-

terial combinado, como el caso del hormigón armado la calidad

del conjunto combinado puede variar. Este fenómeno es causa de

la participación del hombre en su elaboración. En el caso del hor-

migón la elaboración puede ser de control riguroso, mediano o po-

bre.

En la curva que sigue analizamos tres grupos de hormigo-

nes realizados con diferentes tipos de intervención. En la curva (1)

se muestra el resultado de los ensayos de probetas del hormigón

realizado cuidados extremos; curva esbelta con baja dispersión. La

curva (2) representa al grupo de control mediano. Por último la

curva (3) son los resultados de frecuencia y calificación del hor-

migón realizado con un control pobre.

En las curvas existe una particularidad, a los efectos didác-

ticos; todos los grupos poseen la misma resistencia media, pero la


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posibilidad de encontrarnos con hormigones de mala calidad es

elevada en la curva (3) y reducida en la (1).

En el caso de las barras de acero las curvas son muy esbel-

tas con muy poca dispersión en los resultados de los ensayos, por-

que el control que se realiza en fábrica es de nivel riguroso.

2.4. Conducta.

El estudio de la conducta o nivel de conocimiento de gru-

pos humanos también se lo realiza con la curva, porque lo requie-

ren los cálculos para los coeficientes establecidos en el R105 y el

R106.

Las gráficas que siguen nos muestran los resultados de una

evaluación de tres colectivos o grupos de técnicos que diseñan o

calculan, ellos deben establecer los valores de cada uno de los

términos de la ecuación fundamental:

Esta expresión la vimos al principio del presente capítulo

y explicamos cada uno de los miembros que participan. Las carac-

terísticas de cada grupo o colectivo, desde el conocimiento, de la

experiencia y del control que ejercen en obra, pueden ser:

Grupo (1): Riguroso.

Grupo (2): Regular.

Grupo (3): Bajo.

En la investigación y

sus resultados puede darse una

particularidad, similar al caso

de los materiales: la nota pro-

medio es la misma para los tres

grupos.

Grupo (1) de muy buen conocimiento uniforme, con muy baja

dispersión (δ ≈ 0,05).

Grupo (2) de conocimiento y control medios, la dispersión au-

menta (δ ≈ 0,15).

Grupo (3) de conocimiento bajos y control pobre, la dispersión

sigue en aumento (δ ≈ 0,30).

Cada una de las curvas posee una determinada desviación

adimensional “δ” que nos indica el nivel de dispersión del grupo

estudiado. Los gráficos anteriores pueden ser el resultado de una

investigación, realizadas en tres ciudades distintas sobre el nivel

de conocimientos, de los profesionales de la construcción. La pri-

mera curva nos muestra que la mayoría de los profesionales po-

seen un grado de conocimientos uniformes, mientras que la última

indica la elevada posibilidad de encontrarnos con un profesional

de bajo nivel. Veremos más

adelante, cuando estudie-

mos coeficientes de seguri-

dad, que el valor del mismo

depende del “δ” de la re-

gión.

En general, los re-

sultados del análisis de co-


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lectivos humanos, una reducida dispersión (δ bajo) va acompañada

de una calificación alta. Así las curvas no solo difieren en la forma

sino también en la posición de la nota media. Esto lo mostramos

en las gráficas que siguen.

2.5. Estudio desde la universidad. La investigación se realiza en un curso de posgrado de la univer-

sidad con una cantidad de cuarenta personas. Se efectúan dos medi-

ciones: la primera al inicio de las clases, y la segunda al final a efec-

tos de establecer el cambio producido en el conocimiento grupal.

Los datos se obtienen de la calificación individual en función de

las respuestas de un conjunto de preguntas relacionadas a las cargas

y control de obra. Las pruebas fueron calificadas del 1 al 100.

Se pretende con los resultados construir la curva normal y esta-

blecer:

Promedio de notas.

Desviación estándar.

Nota característica: k con un percentil del 5 %. Signifi-

ca que solo el cinco por ciento estará por debajo de esa

calificación.

Desviación adimensional: δ = ds/xp es la relación entre

la desviación y la nota promedio, es un número adimen-

sional.

Prueba inicial.

La investigación se realiza al inicio de las clases.

Promedio de notas: xp = 37

Desviación estándar: ds = 24

Desviación adimensional: δ = 0,65 Prueba final.

La investigación se realiza al finalizar las clases.

Promedio de notas: xp = 52

Desviación estándar: ds = 12

Desviación adimensional: δ = 0,23

Curva.

La curva (A) corresponde a la prueba inicial, mientras que la (B)

a la final.

Resumen.

En la segunda prueba se establece un aumento de la nota prome-

dio y reducción de la desviación adimensional. Existió un avance

hacia la seguridad de valores de conocimiento en el conjunto de la

población. También la forma de la curva “B” indica mayor unifor-

midad en el nivel de conocimientos del grupo.

3. Estudio de las sobrecargas.


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3.1. Objetivo del trabajo. La investigación se realiza para justificar mediante la operación de

mínimos cuadrados y la curva de Gauss, el valor de 2,00 kN/m2 adopta-

do por el R101 para la sobrecarga de uso en viviendas. Este valor puede

resultar elevado si se lo considera solo desde el promedio y desde una re-

lación directa entre superficie y carga. Por ejemplo en un departamento

de vivienda de un edificio en altura de 100 metros cuadrados para llegar

a los 2,0 kN/m2 se necesitan de una reunión de 150 personas y todos los

muebles y artefactos del hogar: esta situación es un imposible. Pero

veamos el análisis desde la estadística y los mínimos cuadrados.

3.2. Proceso del censo. Durante un largo período de tiempo, se efectúa el relevamiento de las

sobrecargas actuantes en los departamentos de un edificio en altura, tan-

to de personas como de muebles y artefactos. Tendremos sobrecargas

nulas cuando nos encontramos con la vivienda vacía, a la espera de re-

sultar alquilada, así como valores máximos en ocasiones de reuniones o

fiestas. Se efectuaron 30 mediciones.

3.3. Datos de referencias. Para disponer de referencias y lograr interpretar los valores que si-

guen indicamos cuatro valores de sobrecarga y la situación en la vivien-

da:

Valor kN/m2

Situación de uso de la vivienda

0,00 Departamento vacío, en situación de alquiler.

0,50 Uso normal. Tres a cinco integrantes de familia con muebles y arte-

factos domésticos mínimos. Sin reuniones sociales.

1,00 Similar a la anterior pero en situación de reunión familiar con diez a

veinte invitados.

2,50 Situación de pánico; las personas se agolpan en puerta principal de

salida.

3.4. Planilla del censo y operadores.

Referencias de las columnas:

(1): Número de medición.

(2): Valor relevado.

(3): Diferencia cuadrática (xp – xi)2

1 2 3

1 1,50 0,55

2 0,40 0,13

3 0,50 0,07

4 0,80 0,00

5 2,50 3,02

6 1,00 0,06

7 0,00 0,58

8 0,20 0,32


10

9 1,00 0,06

10 0,20 0,32

11 0,10 0,44

12 0,35 0,17

13 0,35 0,17

14 3,00 5,01

15 0,40 0,13

16 0,55 0,04

17 0,10 0,44

18 0,25 0,26

19 0,25 0,26

20 0,70 0,00

21 1,00 0,06

22 0,20 0,32

23 0,50 0,07

24 0,35 0,17

25 0,37 0,15

26 0,32 0,19

27 1,00 0,06

28 2,00 1,53

29 0,45 0,10

30 2,50 3,02

(1) 0,8 (2) 0,6

(3) 0,8

(4) 1,0

(5) 2,0

Referencias:

1) 0,80: Valor promedio de las mediciones.

2) 0,60: Cociente entre la suma de los mínimos cuadrados y

cantidad de mediciones.

3) 0,80: Desviación estándar σ.

4) 1,00: Desviación adimensional δ.

5) 2,00: Valor característico de la sobrecarga xk.

3.5. Sobrecarga característica. El valor característico se lo obtiene de la ecuación:

xk = xp + ds . 1,645 = 2,0 kN/m2

El factor 1,645 determina que solo el 5% de los datos registrados

supera el 2,0 kN/m2. También coincide con el adoptado por el R101

para las sobrecargas de viviendas residenciales.

La curva que sigue muestra los resultados de frecuencia e inten-

sidad.

El ejemplo anterior determina la

desviación adimensional “δ” que

alcanza un valor alto (δ = 1) esto

indica una elevada dispersión en los

valores de sobrecargas medidos.

El valor 2,0 kN/m2 se ubica a la

derecha del gráfico, alejado del va-


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lor 0,80 kN/m2 entregado por el promedio.

4. Estudio de los materiales. En este caso se determina la tensión características de conjuntos o

lotes de probetas de hormigón, la manera que incide la resistencia

media y la desviación δ de los resultados.

Seleccionamos determinar la tensión a compresión característica

de probetas de hormigón. El ejemplo lo obtenemos del libro: “Cálculo límite de vigas y estructuras aporti-

cadas de hormigón armado”. A. Puppo. Ins-

tituto del Cemento Portland Argentino. Pá-

gina 28.

“…los conjuntos de probetas A y B tienen la misma

resistencia media, pero el conjunto A presenta una dispersión menor…su desviación normal es de 2,4 Mpa, mientras que la del conjunto B es de 4,4 Mpa…el

conjunto A presenta mayor homogeneidad…mejor ca-lidad, que no se ve reflejada en la resistencia media, que es la misma para ambos conjuntos…”

“…el conjunto C tiene una resistencia característica superior al B porque ambos tienen la misma desvia-ción normal, pero la resistencia media de C es ma-yor.”

Resultados de los valores:

Conjunto A B C

Rm Resistencia (Mpa) MN/m2 23,8 23,8 24,9

σ (Mpa) MN/m2. Desviación. 2,4 4,4 4,4

Porcentual de la desviación 10,08 18,48 17,67

δ desviación adimensional 0,102 0,183 0,175

Rk (Mpa) MN/m2 19,6 16,1 17,2

La desviación se lo obtiene de la aplicación de la fórmula de mí-

nimos cuadrados:

√

∑( )

Esta expresión mide la desviación en Mpa que existe respecto del

promedio. Para tener un valor adimensional que es el que se ocupa:

Este último valor la “desviación” indica la calidad del producto.

El riguroso control e la fabricación de un producto busca que este

valor tienda a cero.

En el caso de los ensayos, la serie A tiene una desviación 0,10 es

un valor mucho menor que los de la serie B y C. Esto indica que el

lote de probetas de la serie A es el mejor.


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5. Estudio de la conducta humana. Más adelante, cuando se estudie la determinación de los coefi-

cientes y factores de seguridad, nos encontraremos ante la necesidad

de aplicar las herramientas de la estadística a otras variables de la

construcción. Pero esta vez no serán cargas, sobrecargas o resisten-

cias de materiales, ahora el problema es mucho más complejo; se

debe estudiar desde los operadores de mínimos cuadrados y curva de

Gauss, la conducta de los técnicos que participaron en todas las fases

de construcción del edificio.

Para ello se utilizará la variable “δ”: es la desviación del conjunto

de datos obtenidos del censo de investigación de las personas que ac-

tuaron durante la fase de proyecto, cálculo y ejecución de un edifi-

cio. La manera que ellos participaron se da de la siguiente forma:

1) de los materiales: δM.

2) del control de dimensionado: δD.

3) de la oscilación de cargas: δC.

4) del tipo de análisis estructural: δA

5) de la ejecución de obra: δE.

Durante el proyecto y construcción de una obra, todos estos “δ”

oscilan y su de su estudio es posible determinar la magnitud del coe-

ficiente de seguridad a utilizar en el diseño, para salvar los errores

que se producen en cada fase de la obra.

6. Resumen descriptivo de la curva.

En los párrafos que siguen hacemos un resumen de las di-

ferentes geometrías que puede tener la curva en función del fenó-

meno en estudio.

Una situación es cuando el valor promedio “xm” es coinci-

dente con la vertical de mayor porcentual. En estos casos, en gene-

ral la curva es simétrica.

Otra geometría es cuando el valor promedio no coincide

con la de mayor porcentaje. Es el caso más común, se da en gene-

ral en las curvas obtenidas de registros de calificación de alumnos.


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En algunos casos la vertical de mayor porcentual se des-

plaza hacia la derecha. Es el fenómeno donde intensidades altas se

producen con mayor frecuencia. Esta configuración se registra en

resistencia de materiales realizados con riguroso control de cali-

dad.

El caso contrario es la de materiales ejecutados con bajo o pobres

controles de ejecución. Ahora, en esta situación los mayores porcen-

tuales se presentan en bajas resistencias.

En situación de rigurosos controles los resultados se agrupan; hay

poca dispersión y la curva es esbelta.

También el caso de bajos controles, se traducen en una mayor

dispersión y la curva se aplana.

El caso teórico ideal, donde todos los resultados de ensayos de

laboratorio, por ejemplo de roturas de probetas de hormigón, entre-

guen el mismo resultado. La curva es una recta donde la dispersión

es nula.

Otra situación ideal teórica es cuando todos los resultados son di-

ferentes en una unidad. En este caso para cada intensidad existirá el

mismo porcentual de suceso.


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