curso provincial en convenio con la universidad 1999/2000

C.E.P. II de Valladolid

CURSO PROVINCIAL EN CONVENIO CON LA

UNIVERSIDAD 1999/2000

INFORMÁTICA EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA

OBLIGATORIA

PRÁCTICA DE POWER POINTSOBRE

MATEMÁTICAS

LUIS CARLOS ANDRÉS PELAYO

I.E.S. LEOPOLDO CANO

ABRIL DEL AÑO 2000

RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS

DE UN TRIÁNGULO

PARA ALUMNOS DE 4º DE E.S.O.

TEOREMAS

Pitágoras Altura Cateto Senos Coseno Área

APLICACIONES CONSECUENCIAS INTERPRETACIÓNGEOMÉTRICA

FÓRMULADE HERÓN

APLICACIONES PRÁCTICAS

TEOREMA DE PITÁGORAS

• En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

ENUNCIADO NOMINAL

TEOREMA DE PITÁGORAS

a2 = b2 + c2

ENUNCIADO SIMBÓLICO

EXPRESIÓN GRÁFICA

En un triángulo rectángulo

b2

c2

el cuadrado

construido sobre la hipotenusa es igual

a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

a2

Construimos un cuadrado de lado b+c. Unimos los puntos A, B, C y D obteniendo un nuevo cuadrado de lado a:

Construimos otro cuadrado de lado b+c, uniendo al dibujo inicial otros 3 triángulos iguales como se ve en la animación siguiente:

A

B

C

D

b c

a

Se ve que el cuadrado de la izquierda

a2b2

c2

b

c

a

DEMOSTRACIÓN GRÁFICA

es igual a la suma de los cuadrados de la derecha

b c

c

b

c b

DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA• Construimos un cuadrado de lado b+c.

A

B

C

D

Observamos que:

Área = Área - 4Área

Es decir:

a2 = ( b + c )2 - 4·( b · c ) =

= b2 + 2bc + c2 - 2bc Por tanto: a2 = b2 + c2

a

Unimos los puntos A, B, C y D obteniendo un nuevo cuadrado de lado a:

APLICACIONES

• Cálculo de:

La diagonal de un rectángulo.

La altura de un triángulo equilátero.

Una diagonal de un rombo.

La altura de un trapecio.

La apotema de un polígono regular.

ELEGIR UNA PULSANDO SU BOTÓN.

Dado un rectángulo de lados 9 y 12 cm., calcula su diagonal.

Construimos un rectángulo de esas medidas.

9cm

12cm

Trazamos su diagonal d

dY aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos:

d2 = 92 + 122 = 225

Por tanto: d = 15 cm

APLICACIÓN 1

Calcula la altura h de un triángulo equilátero de lado l.

Dibujamos un triángulo equilátero de lado l y trazamos su altura h.

Aplicamos el T. de Pitágoras al triángulo rectángulo de la izquierda:

l2 = (l/2)2 + h2 h2 = l2 - l2/4

Por tanto:

l h

l/2

23l

h

APLICACIÓN 2

d = 12 cm

El lado de un rombo mide 10 cm y su diagonal mayor 16 cm.Halla su diagonal menor.

Dibujamos un rombo y trazamos sus diagonales.

Queda descompuesto en 4 triángulos rectángulos. Aplicamos el T. de Pitágoras a uno de ellos y obtenemos la mitad de la diagonal menor: x = d/2.

8 10

x

102 = 82 + x2 x2 = 100 - 64 = 36Por tanto: d/2 = x = 6 cm

APLICACIÓN 3

Por tanto: h = 4 cm.

Calcula la altura de un trapecio isósceles de bases 8 y14 cm y lado oblicuo 5 cm.

Dibujamos un trapecio isósceles y trazamos sus alturas.

8

14

8 335h

Aplicamos el T. de Pitágoras en el triángulo rectángulo de la derecha:

52 = 32 + h2 h2 = 25 - 9 = 16

APLICACIÓN 4

APLICACIÓN 5Calcula la apotema de un hexágono regular de lado 6 cm.

Trazamos 2 radios

y la apotema.

En el triángulo rectángulo de la derecha aplicamos el T. de Pitágoras:

62 = 32 + a2 a2 = 36 - 9 = 27

Por tanto: cma 33

Dibujamos un hexágono regular.

a 6

3

TEOREMA DE LA ALTURA (I)ENUNCIADO

En un triángulo rectángulo la altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa.

H

A

B C

bc

a

x yh

y

h

h

x

TEOREMA DE LA ALTURA (II)

y

h

h

x

DEMOSTRACIÓN

A

B C

bc

a

x yh

H

Los triángulos rectángulos AHB y AHC son semejantes por tener un ángulo agudo igual: B =

Entonces sus lados son proporcionales: (Utilizamos los catetos sólo)

CH

AH

AH

BH

Por tanto: xyh 2

B H

A

HA

C

TEOREMA DEL CATETO (I)ENUNCIADO

En un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

H

A

B C

bc

a

x yh x

c

c

a

y

b

b

ay

coyx aPr boyy aPre

TEOREMA DEL CATETO (II)DEMOSTRACIÓN 1

H

A

B C

bc

a

x y

Los triángulos rectángulos ABC y AHB son semejantes por tener un ángulo agudo común B.

Entonces sus lados son proporcionales: (Utilizamos hipotenusas y catetos menores)

BH

AB

AB

BC

x

c

c

a

Por tanto: axc 2

AB

C

B H

A

TEOREMA DEL CATETO (III)DEMOSTRACIÓN 2

H

A

B C

bc

a

x y

B A

C

A H

C

Los triángulos rectángulos ABC y AHC son semejantes por tener un ángulo agudo común C.

Entonces sus lados son proporcionales: (Utilizamos hipotenusas y catetos mayores)

CH

AC

AC

BC

y

b

b

a

Por tanto: ayb 2

CONSECUENCIA DE LOS TEOREMAS ANTERIORES (I)

ENUNCIADO

En un triángulo rectángulo la altura es la cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos.

H

A

B C

bc

a

x yh

h

c

b

a

a

bch

CONSECUENCIA DE LOS TEOREMAS ANTERIORES (II)

DEMOSTRACIÓN

H

A

B C

bc

a

x yh

Por el Teorema de la Altura:

xyh 2

Por el Teorema del Cateto:

ayb 2 axc 2y

(1)

De aquí que:a

cx2

a

by2

y

Sustituyendo en (1): 2

22222

a

cb

a

c

a

bh

a

bch

TEOREMA DE LOS SENOS (I)ENUNCIADO

En un triángulo cualquiera los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

A B

C

c

ab

C

c

B

b

A

a

sensensen

TEOREMA DE LOS SENOS (II)DEMOSTRACIÓN 1

Si el triángulo es acutángulo.

A B

C

c

ab h

H

En el triángulo CHB:

AbhbhA sensen En el triángulo AHC:

BahahB sensen

Igualando:B

b

A

aAbBa

sensensensen

Trazando la altura desde A llegaríamos a:

C

c

B

b

sensen Por tanto:

C

c

B

b

A

a

sensensen

h’H´

A B

C

a

b

c

TEOREMA DE LOS SENOS (III)DEMOSTRACIÓN 2

Si el triángulo es obtusángulo.

En el triángulo CHB: BahahB sensen

bsenAhbhsenAAsen )(En el triángulo AHC:

H

h

Igualando:B

b

A

aAbBa

sensensensen

Trazando la altura desde A llegaríamos a:

C

c

B

b

sensen

C

c

B

b

A

a

sensensen

h’H`

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

En un triángulo cualquiera la razón constante entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

C

c

B

b

A

a

sensensen r2

B

CA

O

D

r

c ab

DEMOSTRACIÓN

B

CA

O

D

r

c ab

Unimos D con A y tenemos un triángulo rectángulo BAD.

En él se ve: rc

r

c2

sen2sen

Pero = C por ser inscritos y abarcar el mismo arco AB.

Por tanto: rC

c2

sen

Aplicando el Teorema de los Senos obtenemos:

rC

c

B

b

A

a2

sensensen

APLICACIÓN TEÓRICA DEL TEOREMA DE LOS SENOS

La bisectriz interior de un ángulo de un triángulodivide al lado opuesto en 2 segmentos que son proporcionales a los lados adyacentes de dicho triángulo.

A

B

C

x

y

Dc

b

cy

bx

DEMOSTRACIÓNAplicando el Teorema de los Senos a los triángulos ACD y ADB obtenemos:

A

B

C

x

y

Dc

b

sen2

sen

bAx e

sen2

sen

cAy

Intercambiando los medios de las dos proporciones y como sensen(tenemos:

sen2sen

;sen

2sen A

cyA

bx

cy

bx

TEOREMA DEL COSENO (I)ENUNCIADO

En un triángulo cualquiera ABC se cumplen las relaciones siguientes:

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

A B

C

ab

c

En el CHB: h2 = a2 - (c-x)2 (1)

TEOREMA DEL COSENO (II)DEMOSTRACIÓN 1

Si el triángulo es acutángulo:

A B

C

ab

c

h

Hc-x

En el AHC: h2 = b2 - x2 (2)

cos A = x / b x = b·cosA (3)

Igualando (1) y (2): a2 - (c-x)2 = b2 -x2

a2 = b2 - x2 + c2 -2cx + x2 a2 = b2 + c2 -2cx

Sustituyendo (3): a2 = b2 + c2 -2cb·cosAbcacb

A2

cos222

x

TEOREMA DEL COSENO (III)DEMOSTRACIÓN 2

Si el triángulo es obtusángulo:

H

h

C

BA

bc

a

x

c + x

En el CHB: h2 = a2 - (c+x)2 (1)

En el AHC: h2 = b2 - x2 (2) cos (A) = -cosA = x / b

x = - b·cosA (3)

Igualando (1) y (2): a2 - (c+x)2 = b2 -x2

a2 = b2 - x2 + c2 + 2cx + x2 a2 = b2 + c2 + 2cx

Sustituyendo (3): a2 = b2 + c2 -2cb·cosAbcacb

A2

cos222

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos: b, c y A.

hab

cA B

C

H

El área del triángulo es:

Pero en el AHC:

Entonces sustituyendo:

hcS 2

1

Abh sen

AbcS sen2

1

FÓRMULA DE HERÓN

Conocidos los tres lados a, b y c de un triángulo, el área viene dada por la fórmula:

A B

C

ab

c

))()(( cpbpappS

siendo2

cbap

(semiperímetro)

DEMOSTRACIÓN

A B

C

ab

c

h

Sabemos que el área de un triángulo es:

)cos1)(cos1(2

1cos1

2

1sen

2

1 2 AAbcAbcAbcS

Aplicando el Teorema del Coseno:

bc

acbbc

bc

acbbcbc

bc

acb

bc

acbbcS

2

2

2

2

2

1)

21)(

21(

2

1 222222222222

22224

)(

4

)( 2222 cbacbaacbacbcbaacb

Por tanto: ))()(( bpcpappS

APLICACIONES PRÁCTICAS

• Aplicaciones del Teorema del Cateto y de la Altura. ( 2 diapositivas )

• Aplicaciones del Teorema del Coseno y de los Senos. ( 4 diapositivas )

• Problemas de móviles. ( 2 diapositiv )

• Resolución de Triángulos. ( 4 diapo )

• Cálculo de Superficies irregulares. (2)

ELEGIR UNA PULSANDO SU BOTÓN.

APLICACIONES DEL T. DEL CATETO Y DE LA ALTURA

El ángulo que forma la escalera del dibujo en el punto A es recto. Para sujetar la escalera se han puesto por debajo las vigas 1 y 2. Calcula la longitud de cada viga.

A

12

3 m 3 m 4,5 m

Aplicamos el T. de la altura y calculamos la longitud de la viga 1:

5,73

1

1

hh

mh2

1035,221

Para calcular la longitud de la viga 2 aplicamos el T. de Tales:

5,7

5,4

1

2 h

hmh 109,0

5,72

103·5,4

2

APLICACIONES DEL T. DEL CATETO Y DE LA ALTURA

Las ciudades A, B y C están situadas en los vértices de untriángulo rectángulo en A. Una gasolinera G está situada

en la proyección de A sobre la hipotenusa BC y dista de C25 Km y de B 56 Km. Calcula la distancia de A a G y

la que hay entre cada dos ciudades.

A

BCG

25 56

Aplicando el Teorema de la altura hallamos AG:

KmAG 14105625

Aplicando el Teorema de Pitágoras hallamos AC y AB:

KmAC 455625252 y KmAB 14185625562

APLICACIONES DEL TEOREMA DEL COSENO Y DE LOS SENOS

Un avión realiza el trayecto entre dos ciudades P y Q que distan entre si 2.000 Km. A 700 Km de la ciudad P, el piloto observa que se encuentra 10º fuera de ruta. ¿A qué distancia se encuentra en ese momento de la ciudad Q? ¿Qué ángulo tiene que virar para dirigirse hacia ella?

P

Q

R

2000

700

d


Kmd 316.1º10cos700200027002000 22

Aplicando el Teorema de los Senos:

º10sen

1316

sen

2000

R 1316

º10sen2000sen

R

R=164º41’53,5’’

= 15º18’6,5’’


Dos boyas están situadas a 64 m de distancia. Un barco se encuentra a 35 m de la más cercana. El ángulo formado por las visuales de las boyas es de 30º.¿Qué distancia separa al barco de la boya más alejada?

AB

C

64

35

d

30º


Csen

35

º30sen

64 senC = 0,2734

C = 15º52’8’’ A = 134º7’52’’

Aplicando de nuevo el Teorema de los Senos: .92º30sen

sen64m

Ad


En un Supermercado A se produce un robo. La alarma está conectada a 2 Comisarías cercanas B y C, separadas entre sí por 4 Km. Con los datos del dibujo, si los ladrones salen del local 2 minutos después de sonar la alarma y el coche de policía de B va a 80 Km/h y el de C a 120 Km/h, ¿llegará alguno de ellos antes de que salgan los ladrones?.

A

B Ca=4Km

c b60º 45º

A = 180º - (B+C) = 75º

Aplicando el Teorema de los senos:C

c

B

b

A

a

sensensen

KmA

Bab )33(22

º75sen

º60sen4

sen

sen

seg m

v

bt

C

C48 1120

) 3 3( 2 2

KmA

Cac )13(4

º75sen

º45sen4

sen

sen

seg m

v

ct

B

B12 280

) 1 3 ( 4

Llegan los de C


Un topógrafo C situado en la llanura observa 2 picos A Y B de una montaña situados a 870 y 960 m respectivamente del observador con un ángulo de 60º. Encuentra la distancia entre ambos picos.

A

BC60º

960m

870mc


Cabbac cos2222

mc 3,918º60cos8709602870960 22

Cabbac cos222

Aplicando el T. de los Senos calculamos el ángulo C:

PROBLEMAS DE MÓVILESUn barco sale de un puerto A en dirección NE a una velocidad de 40 nudos. Al cabo de 3 horas gira 120º a babor y permanece en ese rumbo durante 5 horas. Entonces decide regresar al puerto A. ¿Cuántos grados a babor deberá girar y cuánto tardará en llegar? (1 nudo= 1,852 km/h).

A

B

C

AB = 74·3 = 222 Km BC = 74·5 = 370 Km Aplicando el T. del Coseno calculamos la distancia CA:

KmBBCABBCABCA 6,322·cos··222

V=74 Km/h

120º

senC= AB·senB/CA = 222·0.866/322,6 = 0,596

Por tanto: C=36º35’

Tardará en llegar: t= CA/V t= 4h 21m 34sg.

Deberá girar a babor: 143º25’

B=60º

PROBLEMAS DE MÓVILESUn avión observa dos ciudades A y B bajo ángulos de depresión de 30º y 45º respectivamente. Si la distancia entre las ciudades es de 40 Km, calcula la altura a la que se encuentra y la distancia que le separa del campo de aterrizaje en la ciudad B.

A B

30º 45ºh

40 Km

Entonces A=30º y B=45º. Por tanto C=105º

Aplicando el Teorema de los Senos obtenemos a:

aKm

C

Aca 7,20

º105sen

º30sen40

sen

sen

En el triángulo rectángulo de la derecha:a

hB sen

Despejando calculamos h: mBah 637.14sen

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Resolver el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, b = 16 cm y A = 30º.

A

B

C

a

b

c


B

b

A

a

sensen 8,0

sensen

a

AbB

Por tanto: ''48'7º53B y ''12'52º96C

Aplicando de nuevo el Teorema de los Senos:C

c

A

a

sensen

Por tanto: cmA

Cac 86,19

sen

sen


Resuelve el triángulo ABC conocidos: b = 12 cm, c = 6 cm y A = 60º. Calcula su Área.

A

B

C60º

c a

b

Aplicando el Teorema del coseno:

cmAbccba 36cos222

Aplicando el Teorema de los Senos:B

b

A

a

sensen

1sen

sen a

AbB B = 90º C = 30º

Calculamos su Área: 2318sen2

1cmAbcS


Resuelve el triángulo ABC conocidos: a = 10 cm, B = 60º y C = 45º. Calcula su Área.

A

B Ca

b

Calculamos el ángulo A: A = 180º - (B+C) = 75º

Aplicamos el Teorema de los Senos:

C

c

B

b

A

a

sensensen

Calculamos b y c: cmA

Bab )33(25

sen

sen cm

A

Cac )13(10

sen

seny

Por último, calculamos el Área: 2)33(25sen2

1cmBacS

c

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSResolver el triángulo ABC conocidos sus lados: a = 10 cm, b = 5 cm y c = 5 cm. Calcula su Área.

3

A

BC a

b cAplicando el Teorema del Coseno:

2

1

5102

7525100

2cos

222

ab

cbaC

De aquí que:A=90º, B=30º y C=60º

03552

1007525

2cos

222

bc

acbA

El Área: 2

2

325

2

1cmbcS

2

3

35102

2575100

2cos

222

ac

bcaB

SUPERFICIES IRREGULARESDisponemos de un terreno cuadrangular irregular como indica el siguiente dibujo.Si queremos calcular su superficie, medimos sus lados y la diagonal AC, obteniendo las siguientes medidas: AB=45m, BC=50m, CD=20m, DA=25m y AC=35m.

A

B

C

D Aplicamos la Fórmula de Herón a los triángulos ABC y ACD y lo sumamos:

226150))()(( mcpbpappSABC 26100))()(( mcpbpappSACD

Entonces el Área total será: 2)610026150( mAT

SUPERFICIES IRREGULARES

Calcula la superficie de la figura con los datos que aparecen en ella.

A

CD

6m7m

11m

12m 9m

7m

9m

Calculamos las áreas de los triángulos ABE, BED y BCD aplicando la Fórmula de Herón:

2:

))()((

cbapsiendo

cpbpappS

2106 cmSABE 2358 cmSDBE

2514 cmSBCD Por tanto:

B

E

26,97514358106 cmAT

curso provincial en convenio con la universidad 1999/2000

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