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BOGOTÁ, D. C., OCTUBRE DE 2010

Cartografía

UNIDAD 2

CURSO

Proyecciones y sistemas de coordenadas

CIAFCentro de Investigación y Desarrollo en Información Geográfica

Percepción Remota yAplicaciones Geográficas

Grupo

PRbásica y digital

Instituto Geográfico Agustín Codazzi, 2010. Todos los derechos comerciales reservados. Prohibida su reproducción para fines no académicos o de investigación.

Proyecciones y sistemas de coordenadas

En esta unidad atenderemos los temas de proyección, la utilización de los diferentes sistemas coordenados y finalmente estu-diaremos la escala en los mapas siendo estos fundamentales para el desarrollo de cualquier tipo de mapa.

Comentarios InícialesLos globos constituyen la forma más apropiada para representar la Tierra debido a que los rasgos con esta figura no sufren mayores deformaciones. Sin embargo el manejo de una superficie esférica y la escala grande restringe su uso. Es decir que se tendría que disponer de globos enormes para poder visualizar, medir y expresar la configuración de un territorio. Por esta razón la mejor representación que se puede lograr de la tierra es por secciones, pero para ello se debe partir del concepto de proyección.1

Los primeros mapas históricamente fueron geométricos, su construcción consistía en trasladar un punto ubicado en un globo a un mapa. Esta labor se hacía en forma gráfica con ayuda de una lámpara, de ahí fue donde se adoptó el término de “pro-yección”.

Más tarde, cuando los principios matemáticos fueron entendidos más claramente, fue posible determinar la relación entre líneas en la superficie terrestre y sus correspondientes en un mapa. El hecho de emplear fórmulas matemáticas facilitó el pro-ceso ya que no fue necesario el empleo de proyecciones geométricas. Sin embargo, a pesar de ser esta una transformación analítica se continuó empleando el término de “proyección”.

Ahora bien, a la luz del conocimiento actual de la geodesia acerca de la verdadera forma de la Tierra, se sabe que esta es un cuerpo irregular y por lo tanto es imposible representar partes de su superficie en un plano sin deformaciones.

Esto puede ser mejor entendido si se piensa por un momento, en el caso de tratar de restablecer la forma original de un balón de caucho cuando este presenta una deformidad o concavidad. Esto resulta imposible de lograr sin tener que estirar o compri-mir el balón. Para el Cartógrafo, sin embargo, le es posible determinar la mejor solución para cada caso, al elegir un sistema de proyección que le produzca un mapa con un mínimo de distorsiones o deformaciones.

Por tal motivo es conveniente que el estudiante conozca, los tipos de proyecciones y sistemas coordenados más utilizados para generar mapas conforme a las utilidades que estas brindan, siendo este un aspecto principal para cualquier proceso cartográfico realizado en las diferentes zonas del mundo.

Proyecciones en los mapas

Una proyección es cualquier tipo de transformación matemática de la tierra (superficie curva) sobre un plano (hoja). Esta trans-formación implica una serie de deformaciones, las cuales se explican más adelante.

Por tal razón, la Proyección Cartográfica, es una correspondencia biunívoca entre los puntos de la superficie terrestre y los puntos de un plano llamado plano de proyección.

1 Instituto Geográfico Agustín Codazzi – IGAC. AGUIRRE GUTIÉRREZ Nancy. Principios Básicos de Cartografía Temática. ISBN: 9789589067321. 1998.


Deformaciones

Las deformaciones son todas aquellas alteraciones que sufren las superficies de la tierra en cuanto a la forma, distancia o área. La distorsión δ es mínima cuando la superficie de proyección toca la superficie de la región que se va a representar. Existen tres tipos de deformación: deformación lineal, deformación angular o de forma y deformación de área:

• Deformación lineal: significa que una distancia en el globo es alterada en sus dimensiones o dirección (elongación o con-tracción).

• Deformación angular: Es aquella donde los contornos tales como las costas o límites de un país sufren un cambio signifi-cativo en su forma.

• Deformación de área: Tal como su nombre lo indica, es la alteración que sufren las superficies como países, islas o conti-nentes en cuanto a una expansión o reducción del área.

Para explicar gráficamente este concepto se emplean las Indicatríces de Tissot, (Figura 1) las cuales comparan círculos de radio igual a la unidad en la Tierra, con sus correspondientes en el mapa luego de hacer la proyección.

Si el indicador de la transformación es una elipse como se ilustra en la figura 1, la conexión con el círculo unitario es:

X’ = X. a Y’ = Y. ba: semieje mayorb: semieje menor

Figura 1. Deformación de las proyecciones según Indicatríces de Tissot.Fuente: modificado de Robinson, 1995.

En la figura 1, se observa en la parte superior un círculo ubi-cado en el globo antes de proyectarse, en el cual el radio es igual a uno (1). En la parte inferior se tiene la imagen del cír-culo después de la proyección, en este caso una elipse con los semiejes a y b. De esta manera, la longitud de b (1) en el círculo es reducida por una elongación de esta figura con respecto al Eje X.

La magnitud de la deformación depende de la dirección de la deformación, de tal manera que la escala será variable para cada sector de la figura.

Este cambio se puede ver en algunos mapas donde las dis-tancias son aumentadas en una dirección y reducidas en otra. La forma de un país también puede ser alterada pero su su-perficie o área puede mantenerse igual, tal como ocurre en una proyección equivalente.

Un mapa ideal con distorsiones mínimas es aquel donde las áreas son: ≤ 30 x 30 km (algo mayor que el casco urbano de Bogotá). En este caso la curvatura terrestre es considerada como insignificante. Para áreas mayores a 900 Km2, se debe seleccionar un tipo de proyección donde no ocurra alguno de los tipos de deformación comentados.

Q

P

Eje X

Eje Y

U

Y

a

X o

Eje Y

Eje X

P'

a

b

U' Y’

Q'

X’

Deformación de áreas:

δA = A2A1

= a * b

Deformación lineal:

δL = OP’ OP

Deformación Angular δ Ω:

δ Ω = 2( U- U' )

A2 = π a * b

A 1 = π . 1


Clasificación de las proyeccionesLas proyecciones se clasifican teniendo en cuenta los siguientes criterios:

• La figura geométrica elegida para la proyección.• Posición de esa figura en la proyección.• Contacto o tangencia de la figura geométrica de proyección con respecto a la superficie terrestre.• Posición de la fuente de luz en la proyección.• Por las deformaciones que esta puede corregir o minimizar.

Figura 2. Tipos de proyección según la figura geométrica

Según la figura geométrica

La figura geométrica que se sobrepone en forma imaginaria sobre el globo puede tener varias formas. Cuando la figura seleccionada es un plano envolvente curvo, se trata entonces de una proyección cilíndrica, si la figura elegida es un plano que se proyecta en parte del globo se denomina acimutal y si la figura elegida es un cono que cubre el globo, entonces se hablará de una proyección cónica. Ver Figura 2.

Figura 3. Tipos de proyección según la posición de la figura.

Figura 4. Proyecciones secante (a) y tangencial (b)

Según la posición de la figura

En este grupo son clasificadas las proyecciones por la inclina-ción del eje de la figura geométrica seleccionada. Si el eje es vertical, es decir orientado en sentido Norte-Sur, la proyección será normal. Ahora, si el eje es horizontal con una orienta-ción Este-Oeste, la proyección se denominará transversal. Cuando ese eje se dispone de manera diagonal, entonces la proyección será oblicua. Los tres casos se muestran en la Figura 3.

Según el contacto de la figura en el globo

En este grupo se considera el tipo de contacto o tangencia de la figura geométrica con respecto al globo. En este sentido se tendrá que cuando el cono, el cilindro o el plano toca el globo en alguna de sus partes, entonces se hablará de una proyección tangencial o tangente. En los sitios donde hay tangencia, normalmente se denominan “líneas estándar’’ ya que allí no existe deformación y el factor de escala es 1(igual). De otro lado, si esa superficie geométrica atraviesa o corta el globo en alguna de sus partes, la proyección será secante. Este concepto se ilustra en la Figura 4.

CILINDRICA AZIMUTAL CÓNICA

TRANSVERSAL OBLÍCUANORMAL

a b


Según la deformación que corrige

Se ha comentado anteriormente, como las proyecciones ge-neran una serie de deformaciones que son inevitables y que el Cartógrafo debía saber cuál de estas podría permitir en un momento dado, según los requerimientos del mapa. Pues bien, los tres tipos de proyección según este criterio son:

• Proyección Conforme: como su nombre lo indica, no hay variación en los contornos de los territorios cartografiados. En esta proyección no existe deformación angular, es de-cir que los paralelos y meridianos dibujados sobre el mapa se cortan a 90° siempre y cuando las áreas sean peque-ñas (menores de 900 Km²). En consecuencia, la forma de los territorios se conserva tal cual. En la Figura 5 se ilustra un mapa y la variación vertical de los círculos de Tissot.

• Proyección Equivalente: denominada también como Equiárea, ya que no se presenta distorsión en cuanto a las áreas. En esta, los rasgos son deformados, excepto en el punto o línea de tangencia. Ver Figura 6.

• Proyección Equidistante: no presenta distorsión lineal, a lo largo de ciertas líneas. La escala a lo largo de estas líneas es también constante, pero las áreas y los ángulos de intersección de meridianos y paralelos se distorsionan. Ver Figura 7.

Figura 5. Proyección conforme. Fuente: Robinson, 1995.

Figura 6. Proyección equivalente. Fuente: Robinson, 1995.Figura 7. Proyección equidistante. Fuente: Robinson, 1995.

Proyección Transversa de Mercator

Hacia los polos

aumenta el área, pero

no cambia la forma

A1

N N

W W

SS

E E

A1 = A2

b = 1 b 1

a 1

A2

a = 1

Círculo en la tierra Transformación a una elipse

Proyección azimutal gnomónica

Círculo en la tierra

Con igual distancia en elMERIDIANO

El círculo luego de ser proyectadose puede convertir en unade estas elipses:


Según la posición de la fuente de luz

Otro criterio de clasificación de las proyecciones cartográficas es el que tiene que ver con la posición de la fuente luminosa con relación al globo. Ésta presenta tres posiciones, como se observa en la figura 8.

2 PLATA, R.W. 1987. Fundamentos de Cartografía en los recursos naturales. Universidad Santo Tomás. Santa Fe de Bogotá, D.C.

Figura 11. Proyección Gnomónica o central.

Figura 9. Proyección stereográfica.

Figura 10. Proyección Orthográfica.

• La proyección sterográfica, ubica la fuente luminosa exac-tamente al lado opuesto al punto donde la superficie de proyección hace contacto con el globo. En otras palabras, la vista del observador se supone en la superficie de la es-fera y en el hemisferio opuesto al que se desea represen-tar en la proyección2. Esta es la única proyección azimutal que no tiene deformaciones angulares y en la que todo círculo se proyecta como un círculo, esto conduce a una proyección conforme. La figura 9 muestra una proyección stereográfica del hemisferio occidental frente a la proyec-ción de una cara.

• La proyección orthográfica, consiste en una ubicación de la luz fuera del globo, es decir en el infinito. En esta pro-yección los paralelos con líneas rectas y los meridianos son arcos de elipses tal como se ve en la figura 10. Si se observa el mapa y la cara proyectada se nota que las distancias se duplican y en consecuencia las escalas se aumentan.

• La proyección gnomonica, es aquella donde la fuente lu-minosa está ubicada en el centro del globo. El meridiano central exterior y el central en esta proyección, están divi-didos en partes iguales por los paralelos, que son arcos de círculo. El Ecuador también está dividido en partes iguales por los meridianos, que a su vez son arcos de círculo, véa-se figura 11. Como todos los meridianos pasan por cada uno de los polos, estas condiciones son suficientes para determinar la proyección. Comparándola con la stereo-gráfica, se verá que las formas de las diferentes partes no se deforman excesivamente y en comparación con la equiárea, muestra que las superficies no están mal repre-sentadas. Ciertamente, esta representación es muchos menos errónea que la de Mercator que tan frecuentemen-te aparece en las geografías que se usan en las escuelas y colegios. (Plata, 1987)

Fuente de luzen el infinito

(Orthográfica)

Antipoda(Sterográfica)

Rayosde luz

Central(Gnomónica)

Figura 8. Posiciones de la fuente de luz en una proyección cartográfica. Fuente: Intergraph, 2001.


Selección del tipo de proyección

El tipo de proyección a elegir depende de la posición del país en el globo terráqueo, la forma del área y el propósito del mapa.

Según la posición y forma del área

Para el caso de las tierras ubicadas en los polos, la proyección normal azimutal es la más adecuada para representar estas en un mapa.

Las proyecciones Cónicas por ejemplo son óptimas para países septentrionales y australes, es decir ubicados entre los polos y el Ecuador.

Para el caso de los países situados en el trópico, es decir cercanos al Ecuador como el caso de Colombia o Venezuela, la mejor opción es una proyección cilíndrica transversal o normal, ya que de esta manera se reducen las deformaciones teniendo en cuenta que esta proyección en estos territorios es tangencial.

Si se habla de un país cuya forma está orientada en el sentido Este–Oeste, como el caso de los Estados Unidos, México o Canadá, la proyección cónica normal y cilíndrica normal representa muy bien esos territorios.

En el caso contrario, cuando la orientación del país es en sentido Norte–Sur, como Chile, la mejor opción es la proyección ci-líndrica transversal (cilindro acostado) ya que de esta forma se disminuyen las distorsiones ocasionadas por la lejanía al punto de tangencia, es decir que si se elige como meridiano central el centro de este país las tierras a su alrededor prácticamente son tangentes a esta figura geométrica.

Para áreas pequeñas como islas, es conveniente la proyección acimutal transversal y oblicua.

Según el propósito del mapa

• Proyecciónconforme: En esta proyección los ángulos en el mapa son iguales a los ángulos en el terreno. Entonces su aplicación es óptima para la Geodesia, Topografía, Ingeniería, entre otros.

• Proyecciónequivalente: Esta proyección permite una comparación estadística apropiada entre diferentes áreas, en mapas temáticos donde se suelen presentar áreas extensas con relación a diferentes fenómenos.

• Proyecciónequidistante: Es ideal por ejemplo para cartas aeronáuticas donde es importante conocer la distancia correcta entre un punto y el aeropuerto de destino.

Finalmente, es importante resaltar los criterios para la selección de la proyección para un proyecto SIG que según Mailing3, son los siguientes:

• Saber cómo los resultados del análisis serán mejor representados en los mapas.

• Antes de ingresar los datos al SIG, los mapas deben ser transformados a un tipo de proyección común.

• Si se necesita hacer alguna medición en los mapas tales como: Área, longitud etc., el grado de exactitud de estos debe ser evaluado previamente.

3 ITC, 1994. Introduction to the use of Geographic Information Systems for practical Hydrology. Publication 23, chapter 3. pag. 37-43.

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