UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

PROFESOR: ING. JORGE A. MONTAÑO PISFIL

CURSO: MECÁNICA DE SÓLIDOS II

CAPÍTULO 5:

FLEXIÓNFalla por FLEXIÓN en

vigas de concreto

CURSO DE MECÁNICA DE SÓLIDOS II

CAPÍTULO 5:

FLEXIÓN5.1 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTOFLEXIONANTE

Las vigas son miembros rectos largos que toman cargasperpendiculares a su eje longitudinal. Ellas se clasifican deacuerdo a como están soportadas, por ejemplo, vigassimplemente apoyadas, vigas en voladizo o vigas con voladizo.

Para diseñar apropiadamente una viga, es importante conocerla variación de la fuerza cortante y del momento flexionante alo largo de su eje para hallar los puntos en que esos valoresson máximos.

Al establecer una convención de signos para la fuerza cortantey el momento flexionante positivos, la fuerza y el momento enla viga pueden ser determinados como función de su posición xy esos valores pueden ser graficados para establecer losdiagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

Los diagramas de cortante y momento son representacionesgráficas de la fuerza cortante interna y del momento flexionanteinterno de una viga. Ellos pueden construirse seccionando la viga auna distancia arbitraria x desde el extremo izquierdo, hallando Vy M como funciones de x, y luego graficando los resultados.

También es posible trazar los diagramas de cortante y momentoobservando que en cada punto la pendiente del diagrama decortante es el negativo de la carga distribuida, ω = dV/dx , y quela pendiente del diagrama de momento es la fuerza cortante,V =dM/dx . También, el área (negativa) bajo el diagrama decarga representa el cambio en la fuerza cortante, y el área bajo eldiagrama de cortante representa el cambio en momento. Losvalores de la fuerza cortante y del momento flexionante encualquier punto pueden también obtenerse usando el método delas secciones.

Procedimiento de análisisLos diagramas de fuerza cortante y momento flexionante puedenser construidos usando el siguiente procedimiento.

- Se halla las reacciones en los apoyos y los momentos de parque actúan sobre la viga, para ello se hace el DCL de la vigacompleta y se aplica las ecuaciones de equilibrio.

- Se halla las ecuaciones (o funciones) de fuerza cortante(V) y momento flexionante (M), para ello se aplica el métodode las secciones, es decir “cortamos” la viga las veces que seanecesario midiendo x a partir del extremo izquierdo, o a partir delorigen de coordenadas establecido, hasta el punto de corte. En elDCL de cada segmento, V y M deben tener signo positivo.

- Se construye el diagrama de fuerza cortante (V versus x) yel diagrama de momento flexionante (M versus x). Si losvalores numéricos de las funciones que describen V y M sonpositivos, los valores se trazan sobre el eje x, mientras que losvalores negativos se trazan debajo del eje. Se recomienda construirestos diagramas directamente abajo del diagrama de cuerpo librede la viga.

5.2 MÉTODO GRÁFICO PARA CONSTRUIRDIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTOFLEXIONANTE

En los casos en que una viga está sometida a varias fuerzas ymomentos concentrados, así como a cargas distribuidas, ladeterminación de V y M como funciones de x y el posterior trazode esas ecuaciones puede resultar muy tedioso. Un método mássimple para construir los diagramas de fuerza cortante ymomento flexionante es aquel que se basa en dos relacionesdiferenciales que existen entre la carga distribuida, la fuerzacortante y el momento flexionante.

)( xwdxdV

Pendiente del diagramade fuerza cortante encada punto

- Intensidad de la cargadistribuida en cadapunto

=

dxwV x )(

Cambio en la fuerza cortante - área bajo la cargadistribuida

=

Vdx

dM

Pendiente del diagrama de mo-mento flexionante en cada punto

Fuerza cortante en cadapunto=

dxVV x )(

Cambio en el momentoflexionante

área bajo eldiagrama defuerza cortante

=

5.3 DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN DE UNMIEMBRO RECTOLa sección transversal de una viga recta permanece planacuando la viga se deforma por flexión. Esto causa esfuerzosde tensión a un lado de la viga y esfuerzos de compresiónen el otro lado. El eje neutro está sometido a cero esfuerzo.

Debido a la deformación, la deformación unitaria longitudinalvaría linealmente de cero en el eje neutro a un máximo en lasfibras exteriores de la viga. Si el material es homogéneo y la leyde Hooke es aplicable, el esfuerzo también varía de manera linealsobre la sección transversal.

En un material elástico-lineal, el eje neutro pasa por el centroidedel área de la sección transversal. Esta conclusión se basa en elhecho de que la fuerza normal resultante que actúa sobre lasección transversal debe ser cero.

La fórmula de la flexión se basa en el requisito de que elmomento resultante sobre la sección transversal es igual almomento producido por la distribución del esfuerzo normal linealrespecto al eje neutro.

5.4 LA FÓRMULA DE LA FLEXIÓNSi suponemos que el material que constituye a una viga secomporta de manera elástica lineal, entonces es aplicablela ley de Hooke,es decir, σ = E ε . Una variación linealde la deformación unitaria normal debe ser entonces

máxcy

la consecuencia de una variación lineal del esfuerzonormal. Por tanto, igual que la variación de la deformaciónunitaria normal, σ variará de cero en el eje neutro del miembro aun valor máximo σmáx en puntos a la distancia c máxima desdeel eje neutro. Por triángulos semejantes se llega a la ecuaciónsiguiente:

x

M

σmáx

σ yc

Variación del esfuerzo de flexión (vista lateral)

Esta ecuación representa la distribución del esfuerzo sobre lasección transversal. La convención de signos establecida aquí esimportante. Para un M positivo actuando en la dirección + z,valores positivos de y dan valores negativos para σ , esto es, unesfuerzo de compresión ya que actúa en la dirección negativa de x.Similarmente, valores negativos de y darán valores positivos o detensión para σ .

Rotura por flexión de vigas de madera

IcM

máx

σmáx = esfuerzo normal máximo en el miembro que ocurre en el puntode la sección transversal más alejado del eje neutro.

M = momento interno resultante, determinado con el método de lassecciones y las ecuaciones de equilibrio y se calcula con respecto al ejeneutro de la sección transversal.

I = momento de inercia de la sección transversal calculado respecto aleje neutro.

c = distancia perpendicular del eje neutro al punto más alejado de esteeje y sobre el cual actúa σmáx

(FÓRMULA DE LA FLEXIÓN)

La fórmula de la flexión dada a continuación se usa paradeterminar el esfuerzo normal en un miembro recto con seccióntransversal simétrica respecto a un eje si el momento es aplicadoperpendicularmente a este eje.

como σmáx/c = - σ y, el esfuerzo normal a la distancia yintermedia puede determinarse con la ecuación siguiente:

IyM

Advierta que el signo negativo es necesario ya que es consistente conlos ejes x, y, z establecidos. Por la regla de la mano derecha, M espositivo a lo largo del eje +z, y es positiva hacia arriba por lo quedebe ser negativo (compresivo) ya que actúa en la dirección x negativa.

NOTA.- no obstante que hemos supuesto que el miembro es prismático,podemos en la mayoría de los casos de diseño usar la fórmula de laflexión también para determinar el esfuerzo normal en miembros quetienen un ligero ahusamiento. Por ejemplo, con base en la teoría de laelasticidad, un miembro con una sección transversal rectangular y unahusamiento de 15º en sus lados superior e inferior longitudinales,tendrá un esfuerzo normal máximo real que es aproximadamente 5,4%menor que el calculado usando la fórmula de la flexión.

(FÓRMULA DE LA FLEXIÓN)