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CURSO DE HIDRÁULICA 2010 LECCIÓN 3. MOVIMIENTO DEL AGUA EN CAUCES ABIERTOS: DEFINICIÓN, CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES Y DISTINTOS REGÍMENES DEL MOVIMIENTO. MOVIMIENTO PERMANENTE Y UNIFORME EN CAUCES ABIERTOS: CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES, ECUACIÓN QUE LO DEFINE. ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO: CURVAS DE KOCH. SECCIONES DE GASTO MÁXIMO. Movimiento del agua en cauces abiertos: Definición y principales características La característica de los cauces abiertos es que por ellos circula el agua con un contorno impenetrable y una superficie libre (sometida a la presión atmosférica). Lo cumplen los ríos, torrentes, canales e incluso lo pueden cumplir las tuberías si no van totalmente llenas.

En ellos el eje hidráulico es la línea representativa de la superficie libre. No existe en los cauces abiertos gradiente longitudinal de presiones y el movimiento viene condicionado por la gravedad, en consecuencia definido por el número de Froude

o bien Donde: u, velocidad de la corriente. y, calado. g = 9,81 m·s-2

Al término se le denomina celeridad de la onda de peso. En el movimiento en cauces abiertos se pueden diferenciar tres tipos de régimen de la corriente: a) Permanente y uniforme. b) Permanente no uniforme. c) Variable. Movimiento permanente y uniforme (onda cinemática) En sentido estricto este tipo de movimiento debe cumplir: a) Que el gasto Q sea constante, siendo constantes el calado y; el perímetro mojado χ y la velocidad u.

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b) Que la línea de energía, la superficie libre del agua y el lecho o solera del cauce sean paralelos (Figura 1).

Figura 1

En sentido estricto es difícil cumplir todas estas condiciones pero se admite que el movimiento es permanente y uniforme cuando se le aproxima suficientemente. La circulación de la corriente en un río en una situación normal (de no avenida) y sin estar alterado por ninguna obra en su recorrido, se considera permanente y uniforme. El movimiento permanente y uniforme viene condicionado por la siguiente ecuación de equilibrio: La resistencia al avance de la corriente, debido a la fricción del contorno y del propio líquido es igual a la componente de la fuerza de la gravedad de la masa líquida en la dirección del movimiento (Figura 2).

Figura 2

Operando:

S/χ, es el radio hidráulico. sen α = J, pendiente hidráulica, que coincide con la de la solera I. 2g/K, es una constante, C Luego

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Asimismo, aplicando la ecuación de Bernoulli a la situación del flujo (Figura 3):

Figura 3

Como el movimiento es permanente y uniforme

Luego:

La pendiente hidráulica J coincide con la pendiente geométrica del lecho I. Ambas ecuaciones (1) y (2) definen el movimiento permanente y uniforme. Respecto de la ecuación (1) existen diversas expresiones empíricas de la misma y todas ellas cumplen con la expresión general aportada por V. T. Chow:

Donde α y β son constantes. Las más utilizadas son las de Chezy (1769), Bazin (1897) y Manning (1889), si bien las fechas no significan nada, porque las constantes de estas ecuaciones están en continua revisión. Chezy (1769), C=Cte, normalmente 50

Bazin (1897), β es el coeficiente de rugosidad del lecho, oscila entre 0,05 y 2,00

Manning (1889), n es el coeficiente de rugosidad, oscila entre 0,010 y 0,200.

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Existen tablas de coeficientes de rugosidad para diferentes tipos de lechos, dependiendo de las ecuaciones utilizadas. Las tablas más completas son posiblemente las del número n de Manning, que se recogen en el V. T. Chow. Según este autor, el número de Manning depende de: a) rugosidad de la superficie b) vegetación de los contornos del canal c) irregularidades del canal d) alineamiento del canal e) depósitos y socavaciones del canal f) obstrucciones g) tamaño y forma del canal h) nivel y caudal de agua en el canal (lo que condiciona el número de Manning a las características de la avenida) De las ecuaciones anteriores se deduce que un elemento importante en el movimiento del agua en un cauce abierto es la pendiente de la solera. Su cálculo se debe realizar con precisión, a ser posible con topografía efectuada sobre el terreno. Si se trata de determinar la pendiente en una sección concreta del cauce Siedek aconseja utilizar el siguiente criterio: a) Si b (anchura del cauce) < 10 m.; la longitud cuya pendiente se debe precisar comprende 10 m aguas abajo de la sección y 20 m aguas arriba de la misma. b) Si b > 10 m.; la longitud aguas arriba debe ser 2·b y la longitud aguas abajo b. Análisis del movimiento en un canal rectangular en el movimiento permanente y uniforme Se estudia como un movimiento bidimensional en el plano vertical del perfil longitudinal medio. Con velocidad constante en toda la vertical y líneas de corriente paralelas, como si fuera un fluido perfecto (Figura 4). Se aplican las ecuaciones de: - Continuidad (conservación de la masa) - Bernoulli (conservación de la energía) Aplicando la ecuación de Bernoulli

Como la presión varía hidrostáticamente:

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Lo que se comenta a continuación son ensayos realizados con agua en un canal rectangular de laboratorio, de escasa rugosidad en paredes y lecho, por lo que se puede asimilar el movimiento al de un fluido perfecto. La H (energía total) permanece inalterable. Ho es la energía específica, contada desde la solera del canal

Figura 4

Primera curva de Koch Supongamos un canal ancho de ancho constante b=Cte; luego Q/b = q (caudal unitario). Las variables que se manejan son y (calado) y q (caudal unitario) Ecuación de continuidad:

Ecuación de Bernoulli

Sustituyendo la u de la ecuación (4) en la ecuación (3):

Dado que (H-h)=Ho, energía específica, la ecuación (3) se puede escribir como la (5); que es ecuación del movimiento en la primera curva de Koch.

Despejando las variables y estudiando el movimiento (Figura 5):

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Figura 5

Para calcular el valor máximo:

Sustituyendo la Ho de la ecuación (6) en la ecuación (5)

Se demuestra que la y correspondiente a la situación de máximo gasto, se corresponde con la situación crítica F=1. En efecto:

Luego a la situación de máximo gasto le corresponde el calado crítico y además la relación entre el gasto qc y la yc es biunívoca. Para cualquier otro valor de q < qc se dan dos calados conjugados

Segunda curva de Koch Supongamos un canal de ancho constante b. El caudal es constante y las variables que se van a considerar son; Ho (energía específica) e y (calado). Figura 6.

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La ecuación del movimiento es:

Son asíntotas a la curva: y = Ho; y = 0

Figura 6

Estudiando el movimiento:

Positivo, luego existe un mínimo cuyo valor será:

Sustituyendo (7’) en la ecuación (5):

Sustituyendo (7’) en la ecuación del número de Froude:

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En consecuencia se trata de valores críticos

Efecto de la apertura de una compuerta en la formación de los calados conjugados y1 (lento) e y2 (rápido) y en la determinación del calado crítico yc. (Figura 7)

Figura 7

Energía específica en un canal de forma cualquiera. Sea una sección no rectangular

Ecuación de continuidad:

Ecuación de Bernoulli:

Ecuación del movimiento:

Admitiendo que dS/dy = b , se estudia el movimiento en el canal

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Para la situación de mínimo se tiene que cumplir

Adoptando la situación más general: b = K·yn

Sustituyendo en la ecuación (9)

Sustituyendo en la ecuación del movimiento (8)

Para n = 0; Canal rectangular. b = K·y0 = K

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Para n = ½; Canal parabólico. b = K·y1/2

Para n = 1; Canal triangular. b = K·y

Para n = 2; b = K·y2

Estudio de las transiciones: (efectos de la variación en un canal rectangular en el que permanecen constantes la energía y el caudal) Se analizan los cambios altura de solera (tercera curva de Koch) y anchura del canal (cuarta curva de Koch). Se suponen válidos los supuestos de paralelismos y uniformidad de las líneas de corriente y las variaciones de cota h y de anchura b son progresivas. Tercera curva de Koch (cambios en la solera del canal) Tomando de referencia un plano de comparación horizontal (Figura 8), la ecuación de la conservación de la energía queda definida por:

Y la ecuación de continuidad:

Sustituyendo la ecuación (4’) en la ecuación (3’) resulta la ecuación del movimiento:

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Figura 8

Supongamos un canal de ancho constante b. El caudal es constante y las variables que se van a manejar son; h (cota de la solera) e y (calado) Suponiendo que se trate de un fluido perfecto, no existen pérdidas de energía y en consecuencia H (energía total) es constante. Sea q = Q/b el caudal unitario, que es también constante porque lo son Q y b. Se puede escribir la ecuación del movimiento (Figura 9) como:

Que presenta dos asíntotas; y = 0; y = (H – h)

Figura 9

Estudiando el movimiento:

Por lo tanto existe un máximo cuyo valor será:

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Sustituyendo la ecuación (7’’) en la ecuación (11)

Se comprueba que este valor máximo de calado corresponde con el calado crítico, al tomar el número de Froude el valor unidad:

En los ensayos de laboratorio estas curvas se muestran como se detalla en los gráficos siguientes (Figura 10):

Figura 10

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Cuarta curva de Koch (cambios en la anchura del canal) Supongamos un canal en el que la cota de su solera h permanece constante. El caudal es constante y las variables a considerar son; b (anchura del canal) e y (calado). Figura 11. Considerando como un fluido perfecto, no existen pérdidas de energía y en consecuencia H (energía total) es constante. Partiendo de la ecuación general del movimiento

Particularizando para la situación de esta curva de Koch:

La ecuación presenta dos asíntotas; y = 0; y = Ho

Figura 11

Despejando las variables y estudiando el movimiento:

d2h/dy2 > 0; luego hay un mínimo, cuyo valor es:

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Sustituyendo la ecuación (6’’’) en la ecuación (12)

Se puede comprobar que este valor mínimo corresponde a la situación crítica, es decir, un valor del número de Froude igual a la unidad.

En los ensayos de laboratorio estas curvas se muestran como se detalla en los gráficos siguientes (Figura 12.a y 12.b):

Figura 12.a

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Figura 12.b

Variación conjunta de la cota h y de la anchura b Se puede plantear de dos maneras, ambas llevan a la misma solución: 1) Determinar el ancho del canal necesario para que con una cota dada se produzca la sección crítica. 2) Determinar la posición de la solera necesaria para que con un ancho dado se produzca la sección crítica. Se aborda el primer planteamiento. Partiendo de la ecuación general del movimiento:

La sección crítica exige:

Sustituyendo yc en la ecuación del movimiento:

Operando:

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Despejando b de la ecuación (13)

Donde Ho es una asíntota (Figura 13).

Figura 13

Las propiedades del calado crítico se pueden resumir en la forma siguiente: a) Si el caudal Q es constante, la energía es mínima para el calado crítico. b) Si la energía permanece constante en una sección, ésta desagua el caudal máximo cuando el calado toma el valor crítico. c) Cuando en una sección el régimen es {rápido / lento} y en otra {lento / rápido}, en una sección intermedia se produce el calado crítico. Por tanto, el caudal queda limitado por la capacidad máxima en la sección crítica; por esta razón dicha sección se llama determinante. Se trata de la única solución dinámicamente estable, coincidiendo con el caudal máximo. Características del movimiento permanente y uniforme en las aplicaciones prácticas Los resultados de las curvas de Koch son reales, pero están supeditados por las condiciones en las que se realizan los ensayos en el laboratorio. En la práctica las líneas de corriente no son todas paralelas y con la misma velocidad, sino que la fricción que

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sufre la corriente en su recorrido a lo largo del contorno del canal, causa que las velocidades del flujo no se repartan de manera uniforme. Darcy y Bazin iniciaron los estudios de la distribución de la velocidad en las secciones transversales de una corriente, utilizando para ello el tubo de Pitot (más adelante se ha utilizado el molinete Woltman). De este modo definieron las isotacas (curvas de igual velocidad), que ponen de manifiesto la influencia del contorno (lecho y márgenes) en la distribución de la velocidad en una corriente.

Según Bazin, cuando (ancho medio del cauce) 5·h (calado de la corriente) la distribución de la velocidad cumple con la siguiente relación:

Donde: uo, velocidad del flujo en superficie (que considera máxima) u, velocidad del flujo a una profundidad z R, radio hidráulico I, pendiente del cauce Con estas premisas la velocidad de fondo de la corriente resulta:

Para cauces anchos el radio hidráulico es prácticamente igual al calado (R = y) En cauces estrechos Bazin encontró la siguiente relación:

Y asimismo estableció para la velocidad media:

En consecuencia:

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Es decir que la velocidad media es del orden del 75 % de la velocidad máxima que corresponde con la velocidad en superficie. Estudios posteriores, recogidos por V. T. Chow, establecen que la velocidad máxima está entre el 0,05 y el 0,25 de profundidad desde la superficie libre. Secciones de Gasto máximo Se trata de una cuestión interesante, cuando se conoce el caudal a evacuar Q; la pendiente del cauce I y la superficie de la sección de evacuación, dimensionar las magnitudes de esta última, para conseguir el gasto máximo de evacuación. Dado que:

Como todos los términos son fijos excepto el radio hidráulico R = S/χ; el gasto máximo se corresponde con el χ (perímetro mojado) mínimo. A continuación se definen las dimensiones de una sección rectangular y de otra trapezoidal para que el gasto por las mismas resulte máximo. Dimensiones de gasto máximo para una sección rectangular

Derivando respecto de x:

La segunda derivada resulta:

Luego hay un máximo cuyo valor es:

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Dimensiones de gasto máximo para una sección trapezoidal

Despejando L de la ecuación (15) y sustituyéndola en la ecuación (16):

Calculando la primera derivada respecto de h y a continuación la segunda derivada

Luego hay un máximo cuyo valor es:

Llevando este resultado a la ecuación (15) resulta:

Luego AB = 2BC. Por tanto OB = BC y el triangulo OBC es isósceles, pues tiene los lados iguales.

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Además

Luego los ángulos y son iguales Tranzando el segmento ON perpendicular a BC y el segmento OM perpendicular a CD, ambos son iguales; luego al trapecio se le puede inscribir una circunferencia de radio ON=OM Se demuestra que en las secciones de gasto máximo el radio hidráulico corresponde a la mitad del calado

Con el gasto máximo:

Evidentemente en las superficies circulares se cumple lo indicado:

R = (π r2 /2·π r) = r/2

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EJERCICIO 1.- El acceso a un canal rectangular se controla mediante una compuerta deslizante. Aguas arriba de la compuerta el nivel del agua alcanza 0,5 m y la velocidad del flujo es de 0,25 m·s-1; aguas abajo de la compuerta el nivel del agua es de 0,05 m. Se supone el flujo uniforme y permanente, con distribución de presiones igual que en hidrostática y sin rozamiento. Se pide: a) La velocidad del flujo aguas abajo de la compuerta y el gasto en la misma sección por unidad de anchura. b) Determinar el calado y caudal críticos (razonando las respuestas y dibujando la curva de Koch correspondiente) c) Partiendo de la situación (a), si a cierta distancia de la compuerta, aguas abajo de la misma, se produce el resalto hidráulico, cual sería el calado final del agua en el canal y con que velocidad circularía, razonando las respuestas.

a) Ecuación de la conservación de la energía (Bernoulli)

Ecuación de continuidad, teniendo en cuenta que se trata de un canal de ancho unitario

Aplicando la ecuación del movimiento aguas abajo de la compuerta:

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b) La ecuación del movimiento (combinación de la ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad)

Despejando q:

Determinación del máximo:

Sustituyendo el valor de y en la ecuación (*) en la ecuación del movimiento

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c) La resolución de este apartado implica conocer la ecuación por la que se rige el fenómeno del resalto hidráulico que se forma aguas abajo de la compuerta. Esta cuestión se analiza en la lección siguiente; pero para concluir el ejercicio, se adelanta la ecuación de resalto hidráulico

cuyos términos se detallan en la figura que se adjunta a continuación

Los calados conjugados del resalto hidráulico son y2 e y3

El resalto implica el paso de régimen rápido al lento

Al ser el número de Froude menor que 1 se confirma el paso a régimen lento. EJERCICIO2.- Por un canal de ensayo de anchura constante igual a 0,4 m, circula un caudal de 0,20 m3·s-1. La solera del canal tiene una elevación constante h en un pequeño tramo de longitud l, que condiciona a la corriente para que adopte el esquema que se detalla en la figura adjunta:

A) Si el calado de la corriente aguas arriba del tramo elevado es y1 = 0,40 m. Determinar razonadamente:

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a) El calado conjugado aguas abajo: y2 b) El calado crítico: yc c) El valor de la elevación: h B) Si la longitud del canal se prolonga aguas abajo del tramo elevado una longitud suficiente para que se forme el resalto hidráulico. Establecer razonadamente los calados conjugados de dicho fenómeno y la potencia disipada en el mismo. Esta última expresarla tanto en altura, como en watios

A) a) El calado conjugado aguas abajo: y2 Ecuación de Bernoulli antes de la elevación:

Ecuación de continuidad:

Ecuación del movimiento:

El paso de movimiento lento a rápido no comporta pérdida de energía (se puede aplicar la Ecuación de Bernoulli) y1 (calado en movimiento lento)

Aguas abajo se cumple:

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Operando:

Por aproximaciones sucesivas:

b) Calado crítico: yc . La ecuación

cuando se encuentra sobre la elevación constante h se convierte en:

Para calcular el calado crítico se deriva respecto de y la ecuación (*)

Luego hay un máximo. Su valor lo calculamos

que corresponde a la situación de calado crítico; porque:

En consecuencia:

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c) Valor de la elevación: h

B) La expresión de los calados conjugados en el fenómeno del resalto hidráulico es:

(Esta expresión hay que demostrarla cuando se realiza el ejercicio, pues se pide operar razonadamente)

Sabemos, porque lo hemos calculado anteriormente, que:

Operando:

Existe resalto hidráulico y los calados conjugados son

Potencia disipada en el resalto:

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Potencia en watios