curso gratis de matrices y determinantes
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CURSO GRATIS DE MATRICES Y DETERMINANTES
Calcular la matriz inversa con la hoja de cálculo Excel:
No merece la pena usar tanto tiempo para el cálculo de una matriz inversa y más, si ésta está compuesta de 4 ó 5 filas y columnas. En estos tiempos en que casi todos los que estudian tienen acceso a un ordenador conviene hacer buen del lo mismo.
Pasos a seguir para calcular la matriz inversa:
1) Escribe la matriz con un elemento en cada celda:
2) Reserva espacio en la Hoja de Cálculo de modo que haya el mismo número de celdas que tiene la matriz.
Para ello, con el botón izquierdo del ratón pulsado pasa de forma ordenada por las celdas que te hacen falta, en este caso 4 filas y 4 columnas:
Pulsa el botón izquierdo del ratón en la opción Insertar y verás que aparece una nueva opción Función pulsa sobre ella y aparecerá la ventana de opciones:
En la ventana del recuadro que te invita a seleccionar una categoría, eliges Todas.
En el paso siguiente tienes que fijarte en la siguiente escena:
En el espacio señalado con el aspa de líneas rojas pulsa el botón izquierdo del ratón y pulsa la tecla m hasta que aparezca MINVERSA.
Hacerlo de este modo es aumentar la velocidad de búsqueda de la opción que se necesita.
En este momento que aparece esta opción, pulsas en Aceptar y obtendrás en pantalla:
Nota: Cuando trabajes con el Excel puedes tener algún problema de comprensión con las cantidades que pueden aparecer en las celdas.
Cuando un número es muy grande, automáticamente, el Excel y otros programas lo convierten en número científico a lo que no estamos acostumbrados.
En este caso debes tomar la opción de Formato en la barra de herramientas:
Aparecerá una nueva ventana:
Escoges la opción Número.
Puedes, en una ventana que la verás a la derecha, una vez admitida la opción Número, controlar el número de cifras decimales.
En la ventana correspondiente a Matriz debe aparecer:
Que lo conseguirás fácilmente pasando el ratón desde la celda A1 hasta la D4 (con el botón izquierdo pulsado) y ahora pon mucha atención. No pulses Entrar, antes, debes pulsar al mismo tiempo las teclas Mayus (a la izquierda de la tecla > y <)+Ctrl. (dedos mano izquierda) y sin soltarlas, la tecla Entrar(dedo de la mano derecha).
Inmediatamente se rellenarán las casillas seleccionadas con los valores de la matriz inversa.
Comprobación:
Veamos como podemos ver si es correcto cuanto acabamos de hacer haciendo uso de Excel..
Sabemos que el producto de una matriz por su matriz inversa nos debe dar una matriz unidad.
Reservas como antes un espacio para recibir los datos correspondientes a la matriz unidad (eliges el lugar que prefieras de la Hoja.)
En la Hoja de Excel aparecerá:
Las cifras aparecen de mayor tamaño por lo que cabrán menos por casilla.
En fondo amarillo la matriz que me han propuesto.
En fondo azul su matriz inversa.
Si multiplico ambas, utilizando el Excel pero ahora tomando la opción MMULT (donde antes tomé la opción MINVERSA):
Obtendré la pantalla siguiente en la que leo el lugar en el que he de colocar en el debido orden las matrices: 1º la propuesta, 2º la inversa a la anterior.
No olvides que en el producto de matrices es importante guardar el orden de los factores.
CURSO GRATIS DE MATRICES Y DETERMINANTES
Paso el cursor del ratón (botón izquierdo pulsado) por la matriz en fondo amarillo (matriz1).
Tras activar la ventana (matriz2) paso el cursor del ratón (botón izquierdo pulsado) por la matriz en fondo azul.
Como hiciste anteriormente pulsas las teclas Mayúsculas + Ctrl + Entrar y en el lugar reservado obtendremos la matriz unidad.
Esta matriz aparece en fondo de color verde:
Habrás comprobado lo fácil, cómodo, rápido y exacto que resulta aplicar en estos cálculos las herramientas de las que tenemos a nuestra disposición.
Ejercicio #33 Haciendo uso del Excel o de cualquier otra herramienta o programa calcula la matriz inversa de:
Comprueba si es correcta:
Respuesta: la matriz inversa es:
Al hacer la comprobación y modificando el formato de las celdas obtenemos:
MATRICES
Archivo de prácticas:
matrices.xls
PRODUCTO DE MATRICES E INVERSA DE UNA MATRIZ Podemos obtener el producto de dos matrices con Excel mediante la función MMULT y la inversa con la función MINVERSA.
Abre una hoja nueva de Excel e introduce las dos matrices a multiplicar de la siguiente forma:
A B C D E F G 1 2 15 -8 -3 3 4 1 3 9 -5 -2 1 2 0 4 -5 3 1 2 5 3 5
Como la matriz producto es otra matriz de dimensión 3x3 vamos a hallarla en las celdas A6 hasta C8.Para ello introduciremos en la celda A6 la expresión =MMULT(A2:C4;E2:G4). Observa que las dos matrices se separan por ; y cada matriz se determina por las celdas de sus esquinas: desde A2 hasta A4 para la primera matriz y desde E2 hasta E4 para la segunda. Pero como el resultado (matriz producto) no cabe en una sola celda es preciso seleccionar previamente las nueve celdas que la contendrán . Por ello debes seguir los siguientes pasos:
Sitúa el cursor en la celda A6. Selecciona con el ratón el rectángulo A6:C8 Mientras el área A6:C8 permanece resaltada introduce en A6 la expresión
=MMULT(A2:C4;E2:G4)
Pulsa simultáneamente las teclas CTRL.+MAYUSC+INTRO (pulsa primero CTRL y sin soltarla pulsa MAYUSC y por último INTRO)
Si pulsas únicamente la tecla INTRO obtendrás sólo el primer elemento de la matriz producto.
Para obtener la matriz inversa puedes proceder de forma similar. Vamos a hallar la inversa de la matriz introducida en las celdas A2:C4.
Sitúa el cursor en la celda E6. Selecciona con el ratón el rectángulo E6:G8 Mientras el área E6:G8 permanece resaltada introduce en E6 la expresión
=MINVERSA(A2:C4). Pulsa simultáneamente las teclas CTRL.+MAYUSC+INTRO
La hoja creada puedes utilizarla para multiplicar dos matrices cuadradas de orden 3 cualesquiera o hallar la inversa de cualquier matriz de orden 3 (que admita inversa). Puedes mejorar su aspecto antes de guardarla añadiendo un nombre (A, B, AxB, A-1) sobre cada matriz y coloreando el fondo para distinguir cada matriz. Abre otra hoja nueva y prueba a multiplicar una matriz de dimensión 2x3 y otra de dimensión 3x4. Para el resultado deberás reservar un área de dos filas y cuatro columnas ( 8 celdas).Intenta hallar la inversa de cualquiera de las matrices anteriores. Observa que no tiene sentido hablar de la inversa de una matriz no cuadrada. Comprueba de igual forma el error que se produce al realizar el producto anterior en orden inverso y multiplicar la matriz de dimensión 3x4 por la de dimensión 2x3. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES ASOCIATIVA. Para comprobar la propiedad asociativa del producto de matrices introduce tres matrices a,b,c como en la figura siguiente y comprueba que a*(b*c)=(a*b)*c para ello las expresiones que debes incluir en el área E2:G4 y E6:G8 serán respectivamente :=MMULT(A2:C4;MMULT(A6:C8;A10:C12)) y
=MMULT(MMULT(A2:C4;A6:C8);A10:C12) Comprueba que ambas matrices son idénticas y repítelo con varios ejemplos cambiando las matrices a, b y c.
NO COMMUNTATIVA Recordar que el producto de matrices (incluso de matrices cuadradas) no es commutativo, en general, es de gran importancia para resolver correctamente muchos ejercicios de ecuaciones matriciales.Para comprobarlo crea una hoja como la de la siguiente figura y pruébala con diversos ejemplos de matrices a y b.Las expresiones que debes incluir en el área E2:G4 y E6:G8 serán respectivamente :MMULT(A2:C4;A6:C8) y =MMULT(A6:C8;A2:C4)
En algunos casos particulares si resulta ab=ba. Introduce en b la matriz identidad.Introduce en b la inversa de a. INVERSA
Para comprobar que la matriz proporcionada por Excel con la función MINVERSA es realmente la inversa construye una hoja como la siguiente:
En las celdas E2:G4 debes obtener la inversa con la expresión MINVERSA(A2:C4).Selecciona el área A7:C9, introduce la expresión =MMULT( A2:C4 ; E2:G4) y pulsa las teclas CTRL.+MAYUS+INTRO.Repítelo en el área E7:G9 con la expresión: =MMULT( E2:G4 ; A2:C4) Pruébalo con varias matrices y observa que obtienes siempre la matriz identidad.Por dificultades de precisión es posible que en algunos ejemplos no obtengas exactamente la matriz identidad y en algún elemento aparezcan valores como 1 E-15 ( es decir 1* 10 –15
) en vez de 0. Puedes evitarlo eligiendo sólo 2 posiciones decimales (o incluso 0 decimales) en el menú Formato – Celda – Número. Introduce como matriz a una matriz con dos filas iguales. Observa que ocurre en este caso en el que no existe inversa. Busca otros ejemplos análogos. DISTRIBUTIVA Para comprobar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de matrices construye una hoja como la siguiente y pruébala con varias matrices a, b, c.
Dada la sencillez de la suma de matrices, Excel no incorpora una función específica. Constrúyela de la siguiente forma:En E2 introduce la expresión =A6+A10. Arrastra el cuadradito inferior derecho tres celdas hacia la derecha para copiar la expresión. Con las tres celdas seleccionadas, arrastra el cuadradito hacia abajo tres filas (hasta G4) para copiar la expresión hacia abajo.Para obtener a*b+ac haz algo similar introduciendo en I6 la expresión =E6+E10 y copiándola hasta K8.
PRODUCTO DE MATRICES DE FORMA MANUAL
Aunque Excel proporciona una función que efectúa automáticamente el producto de matrices puedes elaborar una hoja que realice el producto para dos matrices cuadradas de orden 3 siguiendo el proceso que te han explicado para hacerlo manualmente (“filas por columnas”).
Puedes incluir en la misma hoja el producto obtenido con la función MMULT. Pruébala con distintos ejemplos y comprueba que obtienes el mismo resultado de las dos formas.
