curso: estÁtica sesiÓn 04:. momento de una fuerza respecto a un punto y a un eje (ver sílabo)...
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CURSO: ESTÁTICA
SESIÓN 04:
.MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN
PUNTO Y A UN EJE
(ver Sílabo)(ver Sílabo)Ing. José Vásquez Sevillano
31 DE MARZO 201410:50pm-12:20pm
Elección del Delegado Alumno
MOMENTO DE UNA FUERZAMOMENTO DE UNA FUERZA
1. MOMENTO DE UNA FUERZA 1. MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTOCON RESPECTO A UN PUNTO
Resulta del producto vectorial del vector de posición OP OP por el vector fuerza F.El momento es un vector perpendicular al plano de r y F.El sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derecha.Dado que las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz (propiedad de transmisibilidad)
La magnitud del momento esta dado por:
http://www.youtube.com/watch?v=F_HwlWwGFpI
2. PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon
Si un sistema de fuerzas concurrentes esta actuando sobre un cuerpo como se muestra en la figura, el momento de la fuerza resultante alrededor del punto puede ser determinado mediante la suma de cada uno de los momentos de las fueras individuales respecto al mismo punto. Es decir:
3. COMPONETES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNA FUERZA
El momento de la fuerza respecto a O es
Componentes rectangulares del momento respecto a un punto cualquiera
Producto cruz de dos vectores Producto cruz de dos vectores http://www.youtube.com/watch?v=fmAhi1N-uL8http://www.youtube.com/watch?v=fmAhi1N-uL8
Componentes rectangulares del momento en el plano
Ejemplo Se aplica una fuerza vertical de 100 lb al extremo de una palanca que está unida a un eje en O. Determine: (a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto al punto O, (b) el módulo de la fuerza horizontal que aplicada en A produce el mismo momento produce el mismo momento respecto a O,(c) la menor fuerza que aplicada en A produce el mismo momento respecto a O, (d) a que distancia del eje debe aplicarse una fuerza vertical de 750 N para que produzca el mismo momento respecto a O
Parte (a) La magnitud del momento de la fuerza de 100 lb se obtiene multiplicando la fuerza por el brazo de palanca esto es
La dirección de Mo es perpendicular al plano que contiene F y d y su sentido se determina mediante la regla derecha
in. 12lb 100
in. 1260cosin.24
O
O
M
d
FdM
in lb 1200 OM
SOLUCIÓN
Parte (b) La fuerza que aplcada en A produce el mismo momento se determina en la forma siguiente
SOLUCIÓN
in. 8.20
in. lb 1200
in. 8.20in. lb 1200
in. 8.2060sinin. 24
F
F
FdM
d
O
lb 7.57F
Parte (b) Debido a que M = F d. el mínimo valor de F corresponde al máximo valor de d. Eligiendo la fuerza perpendicular a OA se encuentra que d = 24 in; entonces
SOLUCIÓN
in. 42
in. lb 1200
in. 42in. lb 1200
F
F
FdMO
lb 50F
Parte (b). En este caso Mo = Fd obteniendo
SOLUCIÓN
in. 5cos60
in. 5lb 402
in. lb 1200
lb 240in. lb 1200
OB
d
d
FdMO
in. 10OB
Ejemplo • La placa rectangular es soportada por dos pernos en A y B y
por un alambre CD. Conociendo que la tensión e el alambre es 200 N. Determine el momento con respecto al punto A de la fuerza ejercida por el alambre en C
El momento MA de la fuerza F ejercida por el alambre es obtenido evaluando el producto vectorial
SOLUCIÓN
SOLUCIÓNFrM ACA
jirrr ACAC
m 08.0m 3.0
kji
kji
r
rFF
DC
DC
N 128N 69N 120
m 5.0
m 32.0m 0.24m 3.0N 200
N 200
12896120
08.003.0
kji
M A
EjemploLa tensión en el cable AB es 150 N. Determine la tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por los cables en el punto A es cero.
Ejemplos
INTERPRETACIÓN DEL MOMENTO DE UNA FUERZA
El momento de una fuerza con respecto a un eje da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.
El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN
• Sabemos que el momento de la fuerza F respecto al punto O.
• El momento de la fuerza F con respecto al eje OL es la proyección ortogonal de Mo sobre el eje OL.
• El momento MOL de F alrededor del eje OL mide la tendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígido rotación alrededor del eje OL
0ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OLM M r F
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR
UN PUNTO CUALQUIERA• El momento de una fuerza
alrededor de un eje cualquiera es
• El resultado es independiente del punto B
/
/
ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OL B A B
A B A B
M M r F
r r r
Ejemplo • Sobre un cubo de arista a
actúa una fuerza P, como se muestra en la figura. Determine el momento de P:(a) con respecto a A,(b) con respecto a la arista AB.(c) Con respecto a la diagonal AG
SOLUCIÓN
• Moment of P about A,
jiPjiaM
jiPjiPP
jiajaiar
PrM
A
AF
AFA
2
222
kjiaPM A
2
• Moment of P about AB,
kjiaPi
MiM AAB
2
2aPM AB
La magnitud del momento respecto a AB es
SOLUCIÓN
(c) La magnitud del momento respecto a AG es
1116
23
12
3
1
3
aP
kjiaP
kjiM
kjiaP
M
kjia
kajaia
r
r
MM
AG
A
GA
GA
AAG
6
aPM AG
Ejemplo• Se aplica una tensión T de
intensidad 10 kN al cable amarrado al extremo superior A del mástil rígido y se fija en tierra en B. Hallar e momento Mz de T respecto del eje Z que pasa por la base O del mástil.
Ejemplo• La fuerza F tiene una
intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine : (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD y (c) si el modulo del momento F respecto a la recta CD es de 50 N. m, halle el módulo de la fuerza
Ejemplo• La tensión el cable es 143,4 N. Determine el momento
alrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuando en A. Compare su resultado con el momento del peso de 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x. ¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuando en A alrededor de la línea OB
Ejemplo• Una barra doblada está rígidamente fijada a una pared en el
punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea de acción que pasa por el origen, como se muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la fuerza respecto al punto P, (b) el momento respecto a la línea l que pasa por P con una pendiente 5/12 en el plano yz.