curso de matemáticas ii(apuntes)

CURSO deCURSO deMatemticas II 2013-14

Luis Sainz de los TerrerosDICIEMBRE DE 2013

Notacion

R, R+ Numeros reales, reales mayores que 0,Rp Conjunto de los vectores ~x = (x1, , xp) de p componentes reales,N,C Numeros naturales: {1, 2, . . .}, numeros complejos

]a b[, [a b] intervalo en R (abierto, cerrado)Br(~a) B(~a, r) bola abierta de centro ~a y radio r

f : Rp R funcion real (escalar) de p variablesf : Rp Rq funcion vectorial

D1f fx f x, D2f

f

y f y Derivadas parciales de una funcion de dos variables f(x, y)

df(~a), df(~a)(~x) Diferencial de una funcion en un punto ~a, ~x: argumento de la diferencial~x, f(~a) = f(~a+ ~x) f(~a) Incremento de una variable, incremento de una funcion

d2f(~a), d3f(~a), . . . Diferencial segunda de una funcion en un punto, diferenciales sucesivasd(n)(g f)(~a) diferencial de una funcion compuesta (de orden n = 1, 2, ...)

f

~v(~a) D~vf(~a) Derivada de una funcion en ~a, segun un vector ~v

A

f A

f(~x)dpx integral de f(x1, , xn) en un dominio A Rp (integral multiple)

Alfabeto griegocaracter nombre caracter nombre, alpha nu, beta , xi, gamma o omicron, delta pi, pi epsilon rho, zeta , sigma eta tau, theta , upsilon iota , phi kappa chi, lambda , psi mu , omega

ndice general

Captulo 1: Espacio eucldeo.I Espacio eucldeo Rp: norma y distancia. . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.1 Norma y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Bolas y entornos. Conjuntos abiertos. . . . . . . . . . . . . . . . 3I.3 Notas y complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II Funciones y lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.1 Punto de acumulacion. Lmite de una funcion . . . . . . . . . . . 4II.2 Propiedades y calculo de lmites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III Topologa en Rp: Conjuntos abiertos, cerrados y compactos . . . . . . 11III.1 Conjuntos abiertos y cerrados. Adherencia de un conjunto. . . . . 11III.2 Puntos interiores y puntos de frontera. Frontera de un conjunto. . 13III.3 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Suplemento: Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.1 Lmite de una sucesion. Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.2 Propiedades. Puntos lmite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Suplemento: Infinitesimos e infinitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19V.1 Infinitesimos. Notacion de Landau. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Captulo 2: Funciones continuas.I Funciones continuas. Primeras propiedades. . . . . . . . . . . . . . . 25

I.1 Continuidad en un punto y en un conjunto . . . . . . . . . . . . . 25I.2 Operaciones con funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . 27I.3 Primeras propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . 28

II Propiedades globales de las funciones continuas. . . . . . . . . . . . . 29II.1 Continuidad en conjuntos compactos. . . . . . . . . . . . . . . . 29II.2 Conjuntos conexos. Relacion con la continuidad. . . . . . . . . . 31

Suplemento: Curvas continuas y superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . 36Suplemento: Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Captulo 3: Derivadas parciales. Diferencial de una funcion.I Derivadas parciales de una funcion real de varias variables . . . . . . 41

I.1 Derivadas segun vectores. Derivadas parciales. . . . . . . . . . . 41II Funciones diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II.1 La diferencial de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II.2 Primeras propiedades de las funciones diferenciables. . . . . . . . 47

III Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III.1 Diferencial y derivadas de una funcion vectorial. Matriz Jacobiana 51IV Teorema de los incrementos finitos. Funciones diferenciables con

continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53IV.1 Funciones diferenciables con continuidad . . . . . . . . . . . . . 54

V Funciones compuestas. Derivadas y diferenciales. . . . . . . . . . . . 55V.1 Composicion de funciones diferenciables. . . . . . . . . . . . . . 55V.2 Ejemplos de aplicacion de la regla de la cadena. . . . . . . . . . . 56

Suplemento: Regla de la cadena: Forma matricial. Reglas de derivacion. . 58

Captulo 4: Derivadas y diferenciales de orden superior.I Derivadas parciales de orden superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I.1 Derivadas parciales de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . 61I.2 Diferencial segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64I.3 Derivadas segun vectores de orden superior . . . . . . . . . . . . 66

II Derivadas y diferenciales de funciones compuestas de orden superior. . 67II.1 Diferencial segunda de funciones compuestas . . . . . . . . . . . 67

III Desarrollos de Taylor en varias variables. Teorema de Taylor. . . . . . 68III.1 Aproximacion mediante polinomios de Taylor. . . . . . . . . . . 68III.2 Notas sobre el Teorema de Taylor y el calculo de desarrollos de

Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Captulo 5: Funciones inversas. Funciones implcitas.I Funciones inversas. Teorema de la funcion inversa. . . . . . . . . . . 73

I.1 Funcion inversa: Caso de una variable . . . . . . . . . . . . . . . 74I.2 Funcion inversa local. Teorema de la funcion inversa. . . . . . . . 74

II Funciones implcitas. Teorema de la funcion implcita . . . . . . . . . 77II.1 Caso I: una sola ecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II.2 Caso II: Sistemas de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Captulo 6: Extremos de funciones de varias variables.I Extremos relativos de funciones de varias variables. . . . . . . . . . . 83

I.1 Extremos relativos. Condiciones necesarias de extremo. . . . . . 84I.2 Condiciones suficientes de extremos relativos. . . . . . . . . . . . 86

II Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91II.1 Extremos relativos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91II.2 Metodo de los multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . 96II.3 Relaciones entre extremos absolutos, relativos y condicionados. . 102

Captulo 7: Integral de RiemannI Particiones y sumas. Sumas inferiores y superiores. . . . . . . . . . . 105

I.1 Particiones y sumas en rectangulos. . . . . . . . . . . . . . . . . 106I.2 Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

II Calculo de integrales multiples. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . 113II.1 Integracion sobre conjuntos acotados. . . . . . . . . . . . . . . . 116

III Cambio de variables en Rp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119III.1 Cambio de variables en integrales multiples. . . . . . . . . . . . . 119III.2 Cambios de variable en integrales triples. . . . . . . . . . . . . . 123

Captulo 8: Integrales parametricas. Integrales impropias.I Integrales dependientes de un parametro. . . . . . . . . . . . . . . . . 127

I.1 Derivada de una integral parametrica . . . . . . . . . . . . . . . 128II Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

II.1 Integrales de funciones no acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . 130II.2 Integrales sobre intervalos no acotados. . . . . . . . . . . . . . . 133

Captulo 9: Geometria diferencial de curvas y superficies.I Curvas en R3: Representacion parametrica. . . . . . . . . . . . . . . . 139

I.1 Representacion parametrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139I.2 Longitud de arco. Parametrizacion intrnseca de una curva. . . . . 143

II Superficies parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146II.1 Area de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148II.2 Tipos de superficies. Superficies de revolucion. . . . . . . . . . . 149II.3 Superficies y curvas en forma implcita. . . . . . . . . . . . . . . 151

III Geometra intrnseca de curvas y superficies. . . . . . . . . . . . . . . 152III.1 Curvatura y torsion. Formulas de Frenet-Serret. . . . . . . . . . . 152III.2 Metrica sobre una superficie: Primera forma fundamental. . . . . 155

Captulo 10: Integrales de lnea y de superficie. Calculo vectorial.I Integrales de lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

I.1 Integral de lnea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . 157I.2 Teorema Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160I.3 Independencia del camino. La integral de lnea de un gradiente. . 162

II Integrales de superficie. Teorema de Gauss y de Stokes . . . . . . . . 164II.1 Integrales de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164II.2 Teorema de Gauss (o de la divergencia) . . . . . . . . . . . . . . 167II.3 Teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168II.4 Campos incompresibles e irrotacionales. Campos conservativos. . 172

Suplemento: Teoremas de Gauss y de Stokes: demostraciones . . . . . . . 179

ApendiceFormulas del Calculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A-1

Bibliografa

Captulo 1

Espacio eucldeo.

I. Espacio eucldeo Rp: norma y distancia.I.1. Norma y distancia

1.1 Definicion La recta real, los espacios de la geometra eucldea en las variantes dedimension dos (el plano eucldeo) o dimension tres (espacio eucldeo tridimensional)y otros espacios de dimension superior de uso en la fsica y otras disciplinas, soncasos del mismo modelo general:

Rp = R R ...(p R = {~x = (x1, ..., xp) |xj R, j = 1, 2..., p}

P(a,b,c)x

xy

z

Los elementos de Rp son sistemas ordenados p numeros reales (paresde numeros reales si p = 2, ternas si p = 3, etc.). Este conjunto adquieresu significado de espacio cuando le dotamos con una estructura apropia-da.

Proposicion I.1.1. Rp es un espacio vectorial real bajo las operaciones(~u, ~v Rn):

~u+ ~v = (u1, , up) + (v1, , vp)= (u1 + v1, , up + vp)

~u = (u1, , up)= (u1, , up)

2 Captulo 1. Espacio eucldeo.

Observacion. Haremos uso de los elementos de Rp, interpretandolos como vectores(elementos de un espacio vectorial) o alternativamente como puntos (elementos de unespacio afn). Interpretados como vectores, pueden tener distintos significados (signi-ficado geometrico como vector de posicion de un punto en un sistema de referenciacartesiano, vector de desplazamiento o de traslacion; significado fsico como elementode un campo vectorial, etc.) Para distinguir los elementos de Rp como puntos de un espacio afn, utilizaremos enocasiones la notacion Ep. La relacion entre puntos y vectores queda de manifiesto, porejemplo, en la expresion de un vector de posicion:

~x OP = a~+ b~+ c~k(los vectores ~, ~, ~k se pueden asimilar a los vectores de la base canonica del espaciovectorial R3; asimismo (x, y, z) son las coordenadas del punto P en el correspondientesistema de referencia {O;~, ~, ~k} y escribiremos, P P (a, b, c).)

La estructura del espacio vectorial Rp se ampla al incorporar las nociones denorma y distancia:

Espacio vectorial de dimension p, con la norma eucldea:

~x = p

i=1

(xi)2 (1.1)

Espacio metrico con la distancia eucldea:

d(~x, ~y) = ~x ~y = p

i=1

(xi yi)2 (1.2)

Notese que norma y distancia eucldeas, derivan, en ultima instancia, del conceptoprimario de producto escalar*. La formula del producto escalar estandar en Rp es:

~x ~y = x1y1 + + x1ypde manera que ~x =

~x ~x, y d(~x, ~y) =

(~x ~y) (~x ~y)

Llamaremos espacio eucldeo de dimension p al espacio vectorial Rp con la estruc-tura ampliada de espacio normado y metrico determinado por las definiciones anterio-res. +

Repasar las propiedades del producto escalar, norma y distancia. Dos desigualdades importantes, que conciernen a la estructura del espacio eucldeoRp son las siguientes:

|~x ~y| ~x ~y Desigualdad de Schwartz (1.3a)~x+ ~y ~x+ ~y Desigualdad triangular (1.3b)

Es preciso distinguir bien entre valor absoluto (de un numero real en R) y normao longitud (de un vector en Rp). Es claro que si p = 1 ambos conceptos coinciden.

*Un espacio vectorial con producto escalar se dice espacio vectorial eucldeo.

Seccion I. Espacio eucldeo Rp: norma y distancia. 3

I.2. Bolas y entornos. Conjuntos abiertos.

2.1 Definicion i) BOLA ABIERTA Br(~a): Se llama bola abierta centrada en ~a y deradio r, al conjunto:

Br(~a) = {~x Rp : ~x ~a < r}Definimos tambien:

ii) BOLA CERRADABr(~a):Br(~a) = {~x Rp : ~x ~a r}

iii) BOLA REDUCIDA (bola abierta desprovista de su centro):Br (~a) = {~x Rp : 0 < ~x ~a < r}

La expresion bola (abierta o cerrada), corresponde a un disco circular si p = 2,esfera si p = 3.

2.2 Definicion Un conjunto A Rp, se dice abierto si cada punto de A puede ser ro-deado de una bola, de radio suficientemente pequeno, contenida en A. De otra manera:

A es abierto : ~x A existe r > 0 tal que Br(~x) A

Sea ~a Rp. Cualquier conjunto U , que verifique:~a Br(~a) U, para algun r > 0

se dice que es un entorno del punto ~a. Es claro que si A es abierto, entonces A es unentorno de cada uno de sus puntos.

Un entorno abierto de un punto, sera pues cualquier conjunto abierto que lo con-tenga; en particular la propia bola Br(~a) es un entorno abierto de ~a.

2.3 Definicion Un conjunto A Rp es cerrado si su complementario RpA = {~x Rp : ~x / A} es abierto.

Esta propiedad se extiende, paraconjuntos abiertos, a una union in-finita; no as, para conjuntos cerra-dos.

La union finita de conjuntos abiertos (respec. cerrados) es un conjunto abierto(respect. cerrado).

2.4 Definicion Un conjunto A Rp es acotado si existe un K > 0 tal que:

~x A : ~x K

NOTA: La desigualdad anterior equivale a lo siguiente: Si A es acotado, existeuna bola BK(0) cerrada de radio K > 0, que contiene a A, i.e., BK(~0) A. Elcomplementario de esta bola cerrada (es decir, el conjunto de puntos que no estan enBK(~0)) es el conjunto:

{~x Rp : ~x > K}es un conjunto abierto y no acotado (es el exterior de la bola), que se puede considerarpara cualquier K > 0 un entorno del punto del infinito (smbolo ). Esta nocionampla el espacio Rp para facilitar algunas cuestiones sobre lmites que se veran masadelante.


I.3. Notas y complementos

1. Norma eucldea y distancia eucldea forman parte como un todo de la estructuraeucldea de Rp (espacio eucldeo), y provienen del producto escalar:

~x =~x ~x; ~x ~y =

ni=1

xiyi

Sin embargo otras normas son posibles distintas de la norma eucldea ((1.1)) quetienen las mismas propiedades basicas que la norma eucldea:

~x > 0, si ~x 6= ~0, ~0 = 0~x+ ~y ~x+ ~y~x = ||~x

Un ejemplo es la norma ~x = max{|xi|, (i = 1, , p)}. Para esta norma(norma infinito), se definen tambien conjuntos equivalentes a las bolas eucldeasdefinidas anteriormente pero con una geometra distinta (cuadrados en R2, cubos enR3, etc.). Lo importante a tener en cuenta es que la topologa que resulta (sistemade entornos abiertos de cada punto) resulta ser (como se puede demostrar) equivalentea la eucldea (los abiertos bajo una norma son abiertos bajo la otra y viceversa).

2. La distancia de un punto a un conjunto es un concepto interesante derivado de lametrica (eucldea), y que se define as:Infimo.

Supremod(~a,M) = nf{d(~a, ~x) : ~x M} (distancia del punto ~a al conjunto M)

+[

Los conceptos de nfimo y supremo son fundamentales en Calculo y deben serrepasados

Ejercicios3.1 Probar que el conjunto {~x = (x1, , xp) Rp : x1 + + xp = 0 es un conjunto

cerrado.3.2 Representar los siguientes conjuntos en R2:

(a) Xn = {(x, y) R2 : y = 1 nx2,1 < x < 1}, (n N)(b) X =

nNXn y el complementario R

2 X .(c) C = {(x, y) R2 : x2 y4 > 0} {(x, y) R2 : x4 y2 < 0}. Es C unconjunto abierto?

(d) C =nN Cn, donde Cn = {(x, y) R2 : (x 1)2 + y2 =

1

n2. Es C un

conjunto cerrado?

II. Funciones y lmites

II.1. Punto de acumulacin. Lmite de una funcin

Antes de proceder al estudio de lmite de funciones, conviene precisar algunas no-ciones basicas sobre las funciones mismas:

Seccion II. Funciones y lmites 5

1.1 Definicion Una aplicacion f : Rp R, donde p 2, se dice que es una funcionreal de varias variables, definida en Rp. A cada ~x = (x1, , xp) Rp la funcionhace corresponder un numero real:

~x = (x1, , xp) f(~x) f(x1, , xp) R

1. El caso de las funciones de una variable se tiene cuando p = 1.

2. A menudo una funcion tiene un dominio particular restringido a un subconjuntoA Rp que es donde esta o se considera definida; se escribe entonces,f : A Rp R.3. Es posible (y necesario) considerar tambien funciones con valores en Rq, q > 1(funciones vectoriales). La notacion para estas funciones es f : A Rp Rq , y sif(~x) = ~y = (y1, , yq), la funcion f puede descomponerse en q funcionescomponentes fj : Rp R, j = 1, , q:

f = (f1, , fq)

donde yj = fj(x1, , xp). Estas funciones se llaman tambien funcionescoordenadas.

1.2 Definicion Dado un conjunto A Rp, se dice que ~c (que puede o no pertenecer aA) es un punto de acumulacion de A si:

r > 0, Br (~c) A 6=

o dicho en palabras, si todo entorno (o bola) de ~c contiene algun punto ~a A : ~a 6= ~cdentro del entorno. Esto se puede escribir tambien:

r > 0, existe ~a A, ~a 6= ~c : ~a ~c < r

Si se ha asimilado bien el concepto de punto de acumulacion, no habra dificultaden comprender la definicion de lmite siguiente: (NOTA: LA DEFINICION SIGUIENTESE DA PARA FUNCIONES f(~x) CON VALORES EN R)

1.3 Definicion Sea dada una funcion f : A R donde A Rp y ~c es un punto deacumulacion de A. Se dice que el lmite de f(~x) cuando ~x tiende a ~c existe y vale L yse escribe:

lm~x~c

f(~x) = L

cuando se dan cualquiera de las dos condiciones siguientes (que son equivalentes):

> 0, > 0 : (0 < ~x ~c < ; ~x A) = |f(~x) L| < (1.4a)Si una sucesion (~xn), ~xn 6= ~c es tal que lm ~xn = ~c entonces lm f(~xn) = L

(1.4b)

La equivalencia de las dos condiciones anteriores ((1.4a),(1.4b)), requiere una de-mostracion:


(1.4a) = (1.4b): Escogemos un > arbitrariamente pequeno. Segun (1.4a) existe una bolareducida Br (~c), de manera que todos los ~x A en esta bola, verifican la desigualdad|f(~x) L| < . Si (~xn) ~c, todos los terminos de la sucesion (que son puntos de A)salvo un numero finito de ellos deben estar en esta bola, luego todos los valorescorrespondientes de f(~xn), salvo un numero finito de ellos verifican |f(~xn) L| < , dedonde se sigue lm f(~xn) = L.

(1.4b)= (1.4a). La prueba procede por reduccion al absurdo (esto quiere decir, la negacion de(1.4a) implica la negacion de (1.4b)) y omitimos los detalles de la misma (ver [Burgos])

II.2. Propiedades y clculo de lmites.

Las propiedades de los lmites de una funcion (unicidad del lmite, lmite de sumas y pro-ductos, etc.) en el caso de varias variables, son esencialmente las mismas que para funcionesde una variable. El calculo de lmites, sin embargo, presenta en este caso algunas dificultadesespeciales, y este apartado pretende ofrecer una gua sobre ello.

1. Para una funcion como f(x, y) = x3 + y3, no es difcil probar (a partir de ladefinicion) que:

lm(x,y)(a,b)

f(x, y) = a3 + b3

y el resultado es plausible. Esta simple regla de sustitucion no es, por supuesto,aplicable en todos los casos; requiere, como se estudiara en el captulo siguiente, lacontinuidad de la funcion en el punto correspondiente.

2. Es preciso hacer hincapie en que el punto ~c donde se calcula un lmite, es enmuchos casos de interes, un punto que no pertenece al dominio A de la funcion(aunque s debe ser punto de acumulacion del dominio). Por ejemplo, la funcion

f(x, y) =sen x+ sen y

x+ y

no esta definida en el origen (0, 0) y cabe preguntarse: existe el lmite de la funcionen este punto?Es claro que la simple sustitucion de x = 0, y = 0 en el numerador y denominadorconduce a una indeterminacion, del tipo 0/0. Otros tipos de indeterminacion similaresque plantean los lmites (, 0 ,/, 0 etc.,) precisan de un analisis masavanzado: las propiedades basicas de los lmites (relativas al lmite de sumas/restas,productos/cocientes y potencias de funciones) no son aplicables en este caso.

Lmite por caminos. El concepto de lmite se refiere al comportamiento de la fun-cion f(~x) para ~x acercandose a ~c, pero siendo ~x 6= ~c. Se presentan en la Fig. 1.1algunas configuraciones geometricas posibles para el caso de funciones de 2 variables(p = 2), definidas en dominios del plano R2. Un caso frecuente es aquel en que elpunto ~c se puede rodear de un disco centrado en ~c y contenido en A salvo el propiopunto ~c.


c

c

c c

Figura 1.1: Configuraciones para puntos de acumulacion de un dominio en el plano. Las rectasen rojo se consideran fuera del dominio.

2.1 Ejemplo Estudiar el lmite lm(x,y)(0,0)

xy

x2 + y2.

Comenzamos por analizar a que tiende f(x, y)cuando (x, y) (0, 0), por caminos o trayectoriasparticularesa. Notese que el dominio es R2 \ (0, 0),y podemos elegir cualquier rectab y = mx que pasepor el origen. En tal caso, el lmite se reduce a unoordinario:

lmx0

xmx

x2 +m2x2=

m

1 +m2

El lmite estudiado depende del camino de apro-ximacion a (0, 0); por la unicidad del lmite, con-clumos que el lmite original NO EXISTE.

a(x, y) (0, 0) no preescribe nada acerca de como (x, y)se aproxima a (0, 0)

bNotese que la recta x = 0 queda fuera de esta familia. Sinembargo, siempre es posible anadir las rectas x = py con p R,para cubrir todos los caminos rectilneos que conducen al origen.

Estos lmites por caminos rectilneos (o direccionales) solo permitiran descartarque un lmite existe, pero nunca en el caso de que estos lmites coincidieran asegurar la existencia del lmite y su valor. La razon es que hay infinitos caminos posi-bles de aproximacion no explorados.El metodo del lmite por caminos (rectilneos, parabolicos, o de cualquier otro tipo),solo autorizara en el mejor de los casos a conjeturar el valor del lmite: sera precisocompletar el analisis acudiendo a la definicion para probar que el lmite existe y la con-jetura es correcta. En resumen:

La existencia y coincidencia de los lmites (ordina-rios) por caminos (de cualquier tipo), es condicionNECESARIA de existencia del lmite de una funcionpero no es condicion SUFICIENTE

Clasificados de forma metodica se pueden distinguir los siguientes tipos de problemasde lmites: 1) Analizar un lmite (problema mas general). 2) Probar que un lmite exis-te, lm

~x~af(~x), calculando su valor. 3) Comprobar un lmite dado, lm

~x~af(~x) = L. 4)

Probar que un lmite no existe.


Proposicion II.2.1 (Propiedad de unicidad del lmite). Una funcion no puede tenerdos lmites distintos, o dicho de otro modo, si existe el lmite lm

~x~af(~x) = L, este es

unico.

PRUEBA Supongamos dos lmites distintos L1 y L2. Dado =1

4|L1 L2|, existe una

bola B = B (~a) tal que f(B) ]L1 , L1 + [ y f(B) ]L2 , L2 + [. Esto esimposible, porque los dos intervalos abiertos centrados en L1 y L2 (y del mismo radio) son disjuntos (tienen interseccion vaca) QED

2.2 Ejemplo Estudiar la existencia del lmite:

lm(x,y)(0,0)

|y|e|y|x2

x2

Ensayemos dos lmites por caminos:

Caminos rectilneos: y = mx. Se tiene

lmx0|m|e

|m||x|

|x| = 0

Caminos del tipos: y = Cx2 (parabolas)lmx0|C|x2e|C|

x2= |C|e|C|

Como resulta de estos calculos, este lmite noexiste.

Lmite infinito y lmite en el infinito. La definicion dada de lmite presupone quecuando tal lmite existe, i.e., lm

~x~c= L, es un lmite FINITO. Sin embargo, conviene

extender esta nocion para incorporar:

Funciones que crecen infinitamente (f(~x)) cuando ~x ~c:

lm~x~c

f(~x) =

Funciones que tienden a un lmite finito, cuando ~x se aleja hacia el infinito:lm~x

f(~x) = L

Por supuesto el manejo de estas extensiones requiere una definicion previa. En general,el resultado del analisis de un lmite puede ser:

Resultado del analisis de un lmite dado:

@ lm No existe el lmite (finito o infinito). lm y su valor es FINITO y 6= 0 lm = 0 lm = o


Indeterminaciones. Infinitesimos e infinitos Las indeterminaciones (ver el Apendi-ce surgen en el estudio de lmites en los que figuran funciones combinadas (por suma/resta, producto/cociente, etc.), y para los cuales las propiedades usuales de los lmi-

tes fallan. Los lmites que plantean indeterminaciones (0

0(muy frecuente), 0 , ,

0 etc.,) no siempre son faciles de resolver. Es preciso recordar los conceptos de in-finitesimo e infinito del Calculo de una variable, nociones que se extienden tambien afunciones de varias variables.

La definicion de lmite dada (ver 1.3), se ha reservado a funciones con valores enRq para q = 1. Para el caso generalfunciones f : A Rp Rq, el concepto delmite NO CAMBIA y solamente debe sustituirse:

L ~L, |f(~x) L| por f(~x) ~L

en la definicion 1.3: Los valores reales que toma la funcion si q = 1 (puntos en la rectareal), pasan a ser puntos en el espacio Rq . Se tiene ademas, la siguiente regla:

lm~x~a

f(~x) = lm~x~a

(f1(~x), , fq(~x)) = (L1, L2, , Lq)

donde (L1, , Lq) = ~L Rq es el lmite de f (si existe) y cada componente Lj sepuede calcular separadamente, para la correspondiente componente de f :

Lj = lm~x~a

fj(~x), (j = 1, , q)

Dicho de otro modo, es valida la regla formal:

lm~x~a

f(~x) = ( lm~x~a

f1(~x), , lm~x~a

fq(~x))

2.3 Ejemplo Discutir los lmites siguientes:

a) lm(x,y)(0,0)

P (x, y)

x2 + y2, b) lm

(x,y)(0,0)P (x, y)

x+ y

donde P (x, y) es un polinomio homogeneo, P (0, 0) = 0, de cualquier grado.

Ejercicios

2.4 Probar que si lm~x~c

f(~x) = 0 y g(~x) esta acotada (en un entorno de ~c), entonces lm~x~c

f(~x)g(~x) =

0

X 2.5 Sea f(x, y) = y4 x6

x4 + ay2donde a > 0 es una constante. Respecto del lm

(x,y)(0,0)f(x, y)

cual de las siguientes afirmaciones es correcta:

i) no existe el lmite para ningun valor de a ii) el lmite es 0 para todo valor de a > 0iii) el lmite es finito solo para algunos valores de a > 0 iv) El lmite existe y vale 0 para a 1

e infinito para otros


2.6 Sea el lmite lm(x,y)(0,0)

x4 + y4

3(x+ y)2. Probar que aunque los lmites por caminos rec-

tilneos son todos 0, el lmite dado no existe.

Seccion III. Topologa en Rp: Conjuntos abiertos, cerrados y compactos 11

III. Topologa en Rp: Conjuntos abiertos,cerrados y compactos

Recordemos la nocion de conjunto abierto (ver 2.2). Para establecer la topologaen Rp se puede proceder de una forma alternativa, proponiendo en primer lugar lanocion de conjunto cerrado. Para ello, se parte de nuevo del concepto de punto deacumulacion.

III.1. Conjuntos abiertos y cerrados. Adherenciade un conjunto.

1.1 Definicion Dado un conjunto A Rp, se dice que ~c (que puede o no pertenecer aA) es un punto de acumulacion de A si:

r > 0, Br (~c) A 6=

o dicho en palabras, si todo entorno (o bola) de ~c contiene algun punto ~a A : ~a 6= ~cdentro del entorno. Esto se puede escribir tambien:

r > 0, existe ~a A, ~a 6= ~c : ~a ~c < r

1.2 Nota suplementaria La expresion algun punto en la definicion se puede susti-tuir por infinitos puntos; la prueba es muy sencilla: si consideramos bolas abiertas,centradas en ~c y de radios decrecientes r = 1, 1/2, 1/4, ..., entonces dentro de cada unade ellas, debe haber algun punto ( 6= ~c) del conjunto A; por tanto, como la secuencia debolas es infinita y de radio decreciente, dentro de cada bola habra infinitos puntos deA. Por este procedimiento, podriamos tambien construir una sucesion (~an) de puntosde Atodos ellos distintos de ~c que converge a ~c.

Debe hacerse notar que un conjunto X puede no tener puntos de acumulacion (porej., si X es finito). Se tiene el siguiente resultado importante:

Proposicion III.1.1. Teorema de Bolzano-Weierstrass (para conjuntos): Todo conjuntoinfinito, acotado X RP tiene (al menos) un punto de acumulacionPRUEBA Sea (~xn), ~xn X Rp una sucesion de puntos distintos de X (existe, puesX es infinito). Esta sucesion esta acotada y por tanto verifica el teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones (ver IV.2.2): existe un punto lmite, ~a, de esta sucesion. Sitomamos un entorno V cualquiera de este punto, habra infinitos terminos de la sucesion(por tanto, infinitos puntos de X diferentes de ~a) contenidos en V . Por tanto, ~a es unpunto de acumulacion de X . QED

Este es el teorema de Bolzano-Weierstrass (para conjuntos).

1.3 Definicion Sea X un conjunto en Rp. Se dice que ~a es un punto de adherencia de


X si todo entorno V de ~a contiene algun punto ~x X:

V X 6=

Al conjunto de los puntos adherentes, se le llama adherencia, cierre o clausura deX y se denota por X . No es difcil probar que X = X X , donde X es el conjuntode puntos de acumulacion de X . Cabe ademas una clasificacion de los puntos de X endos clases: todo punto de ~a X es o bien un punto de acumulacion de X , o en casocontrario existe un entorno V de ~x tal que:

V X = {~a}i.e., que solo contiene en comun con X el propio punto ~a. Un punto de este tipo sellama punto aislado de X .

Proposicion III.1.2. Un punto ~x pertenece a la adherencia X de un conjunto X si ysolo si, existe una sucesion (~xn) en X que converge a ~x

PRUEBA Supongamos que {~xn} X , y ~xn ~x. Entonces, todo entorno (o bola) de~x, contiene todos los terminos ~xn salvo un numero finito de ellos, y por tanto su inter-seccion conX es no vaca. Por tanto ~x X . Recprocamente, si ~x X , entonces todabola B(~x; 1/n), n = 1, 2, interseca X , y escogiendo un ~xn en cada interseccionB(~x; 1/n) X , se obtiene una sucesion que converge a ~x QED

Un conjunto cerrado X , se puede caracterizar como aquel conjunto que contienetodos sus puntos de acumulacion, i.e., X X . Esto es equivalente a la condicion:

X = X

El siguiente teorema establece la equivalencia de esta propiedad, con la definicionprevia de conjunto cerrado:

Proposicion III.1.3. Sea X Rp. Las siguientes propiedades son equivalentes:i) X es cerrado, esto es, su complementario Rp X es abierto.ii) X = Xiii)Toda sucesion (~xn) X , convergente, tiene su lmite en X

PRUEBA iii) ii). Sea ~c un punto de acumulacion de X , i.e., ~c X . Consideremosuna secuencia de bolas abiertas centradas en ~c: B(~c; 1/n), n = 1, 2, y de radio 0. Elijamos en cada bola un punto ~xn X , con ~xn ~c < 1/n. Es claro quela sucesion (~xn) converge a ~c. Por tanto ~c X , y en consecuencia X X , lo cualindica que X = X .ii) iii): Sea (~xn) una sucesion convergente en X , y ~c = lm ~xn. El punto ~c debepertenecer aX .En efecto, en caso contrario en todo entorno de ~c, habra algun elementodeX (termino de la sucesion) 6= ~c, y por tanto ~c sera un punto de acumulacion, lo cuales contradictorio porque, por hipotesis (propiedad ii)), X X . QED

Ejercicios

X 1.4 Sea Xk R2 el conjunto definido porXk = {(x, senk x) : x [0, pi]}


donde k es un numero natural. Sea Y =k=1 Xk. Determinar el conjunto formado por los

puntos de acumulacion de Y .

1.5 Sea A Rp. Probar que todo punto ~a A, o bien es un punto de acumulacion de Ao en caso contrario es un punto aislado de A (un punto que puede rodearse de alguna bolaabierta de radio finito, que no contiene ningun punto de A, salvo el propio ~a.

X 1.6 Sea el conjunto T = {(x, y) R2 : 0 x 1, 0 y x} y el conjunto A =nN

An

donde

An ={

(x, y) R2 : x2 y2 = 1n2

} T (n = 1, 2, )

Sobre los conjuntos A y C = T A se pide:(a) Estudiar si A es abierto, cerrado o bien, ni abierto ni cerrado.(b) Determinar los conjuntos C (adherencia) y

o

C (interior).

III.2. Puntos interiores y puntos de frontera.Frontera de un conjunto.

2.1 Definicion

a) Un punto ~a se dice que es interior a X si existe una bola abierta B(~a; r), r > 0con B(~a; r) X

b) Un punto ~b se dice que es exterior a X si es interior del complementario, i.e.,existe una bola abierta B(~b; r), r > 0, ninguno de cuyos puntos pertenece a X .

c) Un punto ~c es un punto frontera de X si cualquier bola abierta B(~c; r), r > 0,contiene puntos de X y puntos / X

Conjuntos asociados topologicamente a un conjuntodado X:

X Conjunto de puntos de adherenciao

X Conjunto de puntos interioresFr(X) Conjunto de puntos frontera

Ejercicios

2.2 Es correcta la formula A =A (Fr(A) A)?

2.3 Determinar el dominio de la funcion f(x, y) =x

y. Si llamamos A a este dominio, es

A abierto o cerrado?

X 2.4 Sea el conjunto Y = I X , donde I =] 1, 1[ ]0, 1[ y X = nN, Xn, siendo:Xn = {(x, y) R2 : y = 1 nx2}


Determinar si las afirmaciones siguientes son correctas: a) El conjunto Y no es abierto ni

cerrado. b) Todos los puntos de Y son puntos interiores, esto es, Y =Y , y por tanto Y es

un conjunto abierto. c) Fr(Y ) = X

III.3. Conjuntos compactos

3.1 Definicion Un conjunto X Rp es compacto si es cerrado y acotado.

Los conjuntos compactos son muy importantes en la topologa del espacio Rp.Entre ellos tenemos:

i) Las bolas cerradas: B(~a; r)

ii) Los intervalos cerrados: En R2, por ejemplo, son los rectangulos cerrados:

[a, b] [c, d] = {(x, y) R2 : a x b, c y d}Se pueden definir tambien intervalos cerrados en Rp para p = 3 (cajas) y dedimension superior:

J = I1 I2 Ip, Ij = [aj , bj ] R (j = 1, , p)

iii) En la geometra eucldea ordinaria, son conjuntos compactos la circunferencia yla esfera unidad:

{(x, y) R2 : x2 + y2 = 1}; {(x, y, z) R3 : x2 + y2 + z2 = 1}

La siguiente propiedad caracteriza a los conjuntos compactos, y sera util para algu-nos aspectos en el estudio de funciones continuas

Proposicion III.3.1. Sea X compacto, y ~x1, ~x2, ... una sucesion de puntos de X . En-tonces la sucesion posee un punto lmite que yace en X .

PRUEBA Supongamos que X Rp es compacto, esto es es acotado y cerrado. Enton-ces la sucesion (~xn) : ~xn X es acotada tambien. Por tanto existe un punto ~x que espunto lmite de esta sucesion (teorema de Bolzano-Weierstrass). Veamos que ~x debepertenecer a X . En efecto: en todo entorno de ~x hay algun ~xn X , pero entonces~x X . Como X = X (X es cerrado), se sigue que ~x X . QED

NOTA: La proposicion recproca de la anterior es cierta tambien: Si toda sucesionde un subconjunto X Rp, verifica esa propiedad, entonces X es compacto.

Ejercicios

3.2 Representar los siguientes conjuntos en R2:

C1 ={

(1

n, t) : n Z 0,1 t 1

}C2 = {(t, 1) : 1 t < 0}C3 = {(t,1) : 0 < t 1}C4 = {(0, 0)}


Considerando el conjunto A = C1 C2 C3 C4, establecer para cada una de las afirma-ciones siguientes si son verdaderas o falsas:

(1) Fr(A) es conexo por arcos.

(2) (0, 0) es un punto interior del conjuntoA

(3) A contiene a todos sus puntos frontera.

(4) A Fr(A) = A

3.3 Representar los siguientes conjuntos en R2:

(a){( 1

n,

(1)nn+ 1

), n = 1, 2, . . .

}(b) Y = I X donde I = [1, 1] [1, 2] y

X =nN

Xn : Xn = {(x, y) R2/y = 1 + x2/n}

(c) C = A B donde:A = {(x, y) R2/x2 y4 0} y B = {(x, y) R2/x4 y2 < 0}

Suplemento

Sucesiones

IV.1. Lmite de una sucesin. Convergencia.

Sucesiones y funciones. Convergencia en Rp. El concepto central del Calculo es el delmite y su correlato, la nocion de convergencia. En este suplemento y se estudiaran las sucesio-nes, los lmite de sucesiones y algunas propiedades.

Definicion. Una sucesion en Rp es una aplicacion a : N Rp. Los terminos de lasucesion son las imagenes:

a(1) ~a1, a(2) ~a2, ...., a(n) ~ande manera que una sucesion se denotara (~an), n = 1, 2, . Notese que una sucesiontiene infinitos terminos, pero el conjunto formado por ellos, {~an Rp : n = 1, 2, }puede ser en ocasiones un conjunto finito (p.ej. en R1, (an) : an = (1)n).

La nocion mas importante, relativa a una sucesion, es la de convergencia:

Definicion. Una sucesion (~an), converge y tiene por lmite ~a, si:

> 0, n0 : n > n0 ~an ~a < (1.5)

En tal caso, se escribe:lmn

~an = ~a

NOTA: En el caso p = 1, tenemos una sucesion ordinaria de numeros reales, i.e.,(an), n = 1, 2, , y en la condicion (1.5) debe sustituirse la norma por el valor abso-luto.

Proposicion IV.1.1. Una sucesion (~an (an1, , anp)) es convergente si (y sola-mente si), las sucesiones ordinarias formadas por cada componente son convergentes:

lmn anj = aj , (j = 1, , p)

y se tiene entonces:

lm ~an = lm (an1, , anp) = (lm an1, lm an2, , lm anp)= (a1, , ap) Rp, (n)

Suplemento: Sucesiones 17

(NOTA: El calculo de lmites de sucesiones en Rp, se reduce pues, al calculo correspon-diente para sucesiones ordinarias en R.)

IV.2. Propiedades. Puntos lmite.

Proposicion IV.2.1. Las siguientes son propiedades de las sucesiones convergentes:

i) El limite de una sucesion convergente es unico.

ii) Si (~an) es convergente y converge al punto ~a, cualquier entornoU de ~a, contieneinfinitos terminos de la sucesion.

iii) Toda sucesion convergente es acotada, esto es, existe K > 0 tal que ~an K,para todo n.

PRUEBA Se invita al alumno a hacer las demostraciones de ii) y iii). Para la propiedadi), procedemos por reduccion al absurdo: si una sucesion (~an) tuviera dos lmites ~a 6= ~bdistintos, entonces se llega a una contradiccion. En efecto tomando dos bolas abiertasB1 y B2, centradas en ~a y ~b y de radio R = ~b ~a/2, tendramos dos bolas queno tienen ningun punto en comun; fuera de B1 solamente habra un numero finito determinos de la sucesion, y lo mismo pasa con B2. Esto es contradictorio con los doslmites supuestos. QED

Para una sucesion cualquiera (convergente o no) un punto lmite* es todo aquelpunto ~a, que satisface la propiedad ii), pero, notese que la existencia de un punto lmite,no garantiza la convergencia, como lo muestra la siguiente sucesion en R2:

(~an) = ((1)n, 1/n) R2

Los puntos (1, 0), (1, 0) son ambos puntos lmite de esta sucesion, pero la sucesionno converge.2.1 Ejemplo Estudiar los puntos lmite de la sucesion en R:

(an) : an = 1 +1

2[1 + (1)n]( 1

n 1)

=1

2

( 1n

+ 1)

+ (1)n 12

( 1n 1)

Solucion La sucesion es:

1, 1/2, 1, 1/4, 1, 1/6, ,Los puntos lmite son 1 y 0.

Se puede conjeturar que toda sucesion acotada en Rp, tiene (al menos) un puntolmite, y que toda sucesion acotada y convergente, con lm ~an = ~a, tiene al punto ~acomo unico punto lmite. Esto se confirma en las dos proposiciones que siguen. Teorema de Bolzano-WeierstrassProposicion IV.2.2 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion acotada en Rp, tiene al me-nos un punto lmite.

*Llamado tambien lmite de oscilacion (ver Matematicas II (J. de Burgos), p. 13)


PRUEBA Hacemos la demostracion para R1. Supongamos entonces que (an) es unasucesion acotada:

K an K, (K > 0)

Dividamos el intervalo I = [K,K] por el punto medio, en dos subintervalos ce-rrados [K, 0] y [0,K] de longitud K. En uno de ellos, al menos, debe haber infinitosterminos de la sucesion, sea este I1. Procedamos a repetir la division por el punto me-dio, para el intervalo I1, para obtener un nuevo subintervalo I2 I1, de longitud K/2,que contenga tambien infinitos terminos de la sucesion. Procediendo sucesivamente seforma as una cadena infinita de subintervalos cerrados*, I1 I2 , y el principiode los intervalos encajados**, nos dice que hay un punto ~p, comun a todos. Este puntose comprueba facilmente que es un punto lmite de la sucesion original. QED

2.2 Ejemplo Sea (~pn) la sucesion formada por los puntos ~pn(xn, yn) R2, cuyascoordenadas son (para n N):

xn = sen2 + n2pi

2n, yn =

1

1 | cos 2+n2pi2n |

Hallar los puntos lmite (lmites de oscilacion) de la sucesion (~pn).Solucion: Coordenadas de los puntos de la sucesion:

xn = sen2 + n2pi

2n= sen

[ 1n

+npi

2

], yn =

1

1 | cos[

1n +

npi2

]|

Se tiene xn 0 se aproxima sucesivamente a 1, 0,1 en el lmite n . yn seaproxima (en el mismo lmite) sucesivamente a 1 (cuando xn se aproxima a 1 o a 1)y a (cuando xn se aproxima a 0).

Los puntos lmite son pues, (1, 1), (1, 1) y el punto del infinito (de R2).

*cuyas longitudes tienden a 0**Consultese cualquier texto de Calculo infinitesimal

Suplemento

Infinitsimos e infinitos.

V.1. Infinitsimos. Notacin de Landau.

1.1 Definicion Una funcion f(~x) (definida en Rp y con valores reales ) que verifica:

lm~x~a

f(~x) = 0

se dice que es un infinitesimo en ~x = ~a

f(x) x

senx x x 0tg x x x 0

1 cosx x2/2 x 0ln(1 + x) x x 0ex 1 x x 0

arc senx x x 0arc tg x x x 0

Cuadro 1.1: Infinitesimos y equivalencias (una variable)

En el cuadro 1.1 se presentan dos columnas de infinitesimos equivalentes: Se dice

que f(x) y g(x) son infinitesimos equivalentes en a, sif(x)

g(x) 1, (cuando x

a). Esto es un caso particular de la siguiente nocion general (para funciones realesdefinidas en Rp):

1.2 Definicion Dos funciones f(~x) y g(~x) se dice que son equivalentes en ~a si:

lm~x~a

f(~x)

g(~x)= 1

NOTA: Las funciones potenciales x, > 1 son infinitesimos en x = 0 y se to-man como referencia para comparar con ellas otros infinitesimos: es interesante y


practico conocer para un infinitesimo dado , uno equivalente* de la forma Cx (C unaconstante). (ver cuadro 1.1).

Proposicion V.1.1. La suma/resta fg de infinitesimos en ~a es otro infinitesimo en ~a.El producto fg de infinitesimos en ~a es otro infinitesimo. En este ultimo caso, se tieneademas

Si f(~x) es una funcion acotada, y g(~x es un inifinitesmo en el punto ~a, el pro-ducto fg es un infinitesimo en el punto ~a.

PRUEBA Probaremos la ultima afirmacion: Supongamos |f(~x)| M, (M > 0)y lm~x~a

g(~x) = 0. Entonces en cualquier entorno U de ~a, se tiene:

|f(~x)g(~x)| M |g(~x)|

Por tanto dado > 0 arbitrario, /M > 0 y existe alguna bola reducida Br (~a)tal que |g(~x)| < /M , cualquiera que sea ~x Br (~a); para todos los puntos enesta bola, se tendra tambien:

|f(~x)g(~x)| M |g(~x)| < M/M =

i.e., lm~x~a

f(~x)g(~x) = 0 QED

Para el cociente de dos infinitesimos, la cuestion es mas compleja. El cociente f/gde dos infinitesimos, produce de manera inmediata una indeterminacion 0/0, cuandose pretende aplicar la propiedad usual del lmite de cocientes. Por supuesto se trata deresolver esa indeterminacion. Hay un caso que es preciso destacar (ademas del casode inifinitesimos equivalentes): aquel en que el cociente de infinitesimos tiende a 0:

1.3 Definicion Supongamos que f y g son dos infinitesimos en ~a, que verifican:

lm~x~a

f(~x)

f(~x)= 0

se dice entonces que f(~x) es despreciable frente a g(~x) cerca del punto ~a, y se escribe:

f(~x) = o(g(~x)

Podemos pensar tambien en dos infinitesimos f y g que satisfacen f(~x) = o(g(~x)),en el sentido de que f(~x) tiende a 0, con un orden de convergencia mayor que g(~x).

En el caso (p = 1) de infinitesimos de una variable, es claro que x = o(x), si > (cuando x 0). Tambien, p. ej.,

x(x+ 1)2 = o(1) (x 0)senx tg x = o(x), (x 0)

*aunque no toda funcion f , que sea un infinitesimo en x = 0 admite una equivalencia de este tipo!

Suplemento: Infinitesimos e infinitos. 21

Veamos como nos podemos servir de estas nociones para el analisis de lmites defunciones de varias variables.1.4 Ejemplo Estudiar el lmite:

lm(x,y)(0,0)

x4 + y4

3(x+ y)2

Notar los dos hechos siguientes:

1.) Se trata de una indeterminacion 0/0.

2.) Los lmites direccionales, por rectas y = mx,m 6= 1 y el eje x = 0, queconcurren en (0, 0) dan el valor 0 (comprobarlo!)

3.) Notese que la recta y = x esta descartada porque anula el denominador. Sinembargo, podemos elegir tambien caminos y = x+ (x), de manera que elinfinitesimo resultante en el denominador, (x x+ (x))2 = (x)2 sea equivalente ax4, cuando x 0. As, tomando y = x+ x2, resulta:

lmx0

x4 + (x+ x2)43x4

= 2/3

La conclusion es que el lmite original no existe (Si hubieramos tomado y = x+x3 enel denominador se tendra el infinitesimo 3x6 y el lmite resultante sera

2x4 + o(x4)

3x6

, y se confirma de nuevo que @ lm1.5 Ejemplo Discutir el lmite:

lm(x,y)(0,0)

x4 + y4

3x2 + 2xy + 3y2

para = 3, = 1.

El denominador lo transformamos, completando cuadrados:

lm(x,y)(0,0)

x4 + y4

3[(x+

3y)2 + (1

2

9)y2]

1.) Para = 3 el segundo termino del denominador se anula, y estamos en un casosemejante al anterior (@ lm).

2.) Para = 1 el denominador queda como una suma de cuadrados*:

3(x+1

3y)2 +

8

3y2. El caracter de esta expresion es la de un polinomio q(x, y) de

segundo grado, que toma valores positivos (salvo para x = 0, y = 0), y que tiene

*de forma mas precisa, una expresion definida positiva que equivale a una suma de cuadrados


lmite 0; es pues un infinitesimo. Usando coordenadas polares, el denominador queda(despues de simplificar):

DEN = r2 (2 cos () sen () + 3)

El factor trigonometrico esta acotado (1 < 2 cos () sen () + 3 < 5), y se puedeescribir entonces:

DEN = o(r) = o(x2 + y2)

En cuanto al numerador, x4 + y4, se puede acotar por el infinitesimo:

NUM = x4 + y4 x4 + 2x2y2 + y4 = (x2 + y2)2

Por tanto, se puede escribir (en polares):

NUM (r2)2 = r4 = o(r3) = o([

x2 + y2]3

)

Se sigue entonces

NUM o(DEN) lm(x,y)(0,0)

f(x, y) = lm(x,y)(0,0)

NUM

DEN= 0

1.6 Ejemplo Sea f(x, y) =(x)

x+ y, si x + y 6= 0 y f(x,x) = 0, definida en R2.

Se sabe que (x) = o(x) cuando x 0. Discutir si f(x, y) es un infinitesimo en (0, 0).

Sol. 1) Si tomamos una recta y = mx,m 6= 1, entonces lmx

(x)

(1 +m)x= 0, ya

que (x) = o(x). No podemos concluir nada, porque el lmite direccional por la rectay = x es tambien 0

2) Si ahora tomamos y = x + (x), con (x) = o(xm), (x 0), para algunm positivo, entonces:

(x)

x+ y=(x)

(x)

Escogiendo precisamente (x) = (x),x 6= 0, el cociente sera 1, lo cual muestraque @ lm

(x,y)(0,0)f(x, y), y por tanto f(x, y) NO es un infinitesimo en (0, 0).

es(x)

x+ (x)

Infinitos. Lmites en el infinito Para funciones reales definidas en Rp, la nocion deinfinitesimo se completa con la nocion de infinito. Una funcion que satisface:

lm~x~a

f(~x) = (o)

Suplemento: Infinitesimos e infinitos. 23

se dice que es un infinito cuando ~x ~a. Las nociones anteriores para infinitesimos(equivalencia, orden de un infinitesimo), se pueden extender a estas funciones: Si f(~x)es un infinitesimo en ~a, y f(~x) > 0 entonces:

1/f(~x)

en ~a, es decir es un infinito en este punto.

En el estudio de lmites, en particular, el punto ~a puede ser tambien el punto delinfinito en el espacio Rp, de manera que el lmite:

lm~x

f(~x) = L

recibe el nombre de lmite en el infinito. El propio L en este caso tambien puede co-rresponder a L = 0 (un infinitesimo en el punto del infinito) o L = .

Para funciones reales f(x) de una sola variable, las funciones x ( > 0) son, en su caso,

infinitesimos (cuando x 0), o infinitos (cuando x) y sirven tambien en este caso comoreferencia y comparacion (por cociente). Igualmente puede ser negativo, en cuyo caso x esun infinito en x = 0.

Captulo 2

Funciones continuas.

I. Funciones continuas. Primeras propie-dades.

La continuidad es nocion fundamental en el Calculo junto con la de lmite de una funcion,de la que es inseparable. En su significado local, la nocion es identica para funciones de una ovarias variables

I.1. Continuidad en un punto y en un conjunto

1.1 Definicion Sea A Rp y f : A Rq una funcion con dominio A. Se dice que fes continua en ~a A si:

lm~x~a

f(~x) = f(~a) (2.1)

La novedad de la definicion 2.1 es que ampla la nocion de continuidad (ya cono-cida para funciones reales de una variable) a la variedad completa de funciones quese consideran en este curso: funciones f(~x) con valores (vectoriales) en Rq . La con-tinuidad de f(~x) en ~a significa entonces que la distancia entre puntos f(~x) y f(~a),medida por la norma eucldea f(~x) f(~a), se puede hacer arbitrariamente pequenaescogiendo ~x suficientemente cerca de ~a, es decir, a distancia ~x~a suficientementepequena. La definicion (equivalente) de tipo es la siguiente:

1.2 Definicion Una funcion f : A Rp Rq es continua en ~a A, si:

Dado > 0, arbitrariamente pequeno existe > 0 (que depende de ) talque:

f(~x) f(~a) < para todos los puntos ~x de A que satisfacen ~x ~a <

26 Captulo 2. Funciones continuas.

Esta definicion local (continuidad en un punto) se extiende inmediatamente a unconjunto:

1.3 Definicion f es continua en D A si es continua en todo punto del conjunto D.

Segun lo estudiado sobre lmites, es posible el analisis de la continuidad estudiandola convergencia de sucesiones. Esto conduce al siguiente criterio:

Proposicion I.1.1. f : A Rp Rq es continua en ~a A cuando se verifica lacondicion siguiente:Toda sucesion (~xn), ~xn A que converge al punto ~a es tal que la sucesion de susimagenes (f(~xn)) converge a f(~a).

PRUEBA Si lm ~xn = ~a y f es continua en ~a entonces lm f(~xn) = lm~x~a

f(~x) = f(~a);

la condicion es pues necesaria. Se prueba asimismo que la condicion es suficiente. QED

NOTAS (sobre continuidad): La negacion de la continuidad es la discontinuidad.Una funcion sera discontinua en ~a: i) porque no esta definida en ~a. ii) porque @ lm

~x~af(~x)

( en el sentido de lmite FINITO); iii) porque lm~x~a

f(~x) 6= f(~a). La tercera posibilidadno tiene demasiado interes habida cuenta que bastapara restaurar la continuidadcon redefinir el valor f(~a) para que coincida con el lmite (discontinuidad evitable).

1.4 Ejemplo Sea f(x, y) =x2yx2 + y2

, f(0, 0) = 0. La funcion es continua en (0, 0).

En efecto, examinemos |f(x, y) f(0, 0)|: x2yx2 + y2

|x2 + y2||y|x2 + y2

x2 + y2|y|

x2 + y2

x2 + y2 = x2 + y2

Por tanto dado > 0 arbitrariamente pequeno, todos los puntos en la bola abiertaB((0, 0); ), con el radio =

verifican, segun lo anterior,

|f(x, y) f(0, 0)| < 2 = Se tiene por tanto, lm

(x,y)(0,0)f(x, y) = f(0, 0) = 0

-1 -0.5 0 0.5 1 -1-0.5

0 0.5

1-0.8-0.6-0.4-0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Grafica, gr(f), de la funcion f (super-ficie):

{(x, y, z) R3 : z = f(x, y)}

La continuidad en todos los puntos(a, b) 6= (0, 0) queda garantizadapor las propiedades de los lmites,teniendo en cuenta que numerador ydenominador son funciones continuas(en todo punto).

La continuidad de esta funcion se revela en su grafica (que no tiene rupturas en la pro-ximidad de (0, 0).)

Seccion I. Funciones continuas. Primeras propiedades. 27

Las funciones continuas mas elementales, se combinan por suma, producto, co-ciente, etc. para formar nuevas funciones tambien continuas*. As se forman familiasde funciones continuas, como las funciones polinomicas, racionales (i.e. f(x, y) =p(x, y)/q(x, y), cociente de polinomios en x e y). En virtud de las propiedades de los lmites,las funciones resultantes son continuas salvo en aquellos puntos donde no estan defi-nidas; es el caso de f(x, y) = g(x, y)/h(x, y) (con g y h continuas en R2), que no escontinua en los puntos (a, b) : h(a, b) = 0, que anulan el denominador.

Ejercicios

1.5 Para cada una de las siguientes funciones estudiar su continuidad en (0, 0).

(a) f(x, y) = x2 + y2

x+ y, ((x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0

(b) f(x, y) = (x2 + y2) ln(x2 + 2y2), ((x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0(c) f(x, y) = x

2 + y2

|x|+ |y|1/3 , ((x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0

X 1.6 Sea la funcion f : R2 R definida por:

f(x, y) =

{x2 + y si x < y2xy + 3x y si x y

Estudiar el dominio de continuidad de la funcion.

I.2. Operaciones con funciones continuas.Funciones continuas.[BU], p. 37

Suma, producto y cociente de funciones continuas.

En los puntos anteriores hemos tratado con funciones f : A Rp R. Tenganseen cuenta los dos tipos de funciones (reales** y vectoriales), y las operaciones basicasdisponibles (multiplicacion de una funcion por un escalar , suma/resta de funcionesetc.):

f : A Rp R REALES f, f g, f g, f/gf : A Rp Rq VECTORIALES f, f g

Observacion: LAS OPERACIONES BASICAS CON FUNCIO-NES VECTORIALES NO INCLUYEN LAS DE PRODUCTO(ORDINARIO) Y COCIENTE.

Composicion de funciones continuas

La operacion de composicion, permite ampliar aun mas la familia de funcionescontinuas. En el caso general, un esquema de composicion de funciones es el siguiente:

*en virtud de las propiedades de los lmites**o escalares


A RpB RqC = Rr

Los espacios inicial y final que inter-vienen en la composicion son en gene-ral de distinta dimension. La unica con-dicion obligada para la composicion def y g es que f(A) B. Entonces que-da definida la funcion compuesta:

h(~x) = (g f)(~x) = g(f(~x)), ~x A

A B

C

f

gh

x y=f(x)

z=g(y)=g(f(x))

f

gh

Proposicion I.2.1. Si f : A Rq es continua en ~a A, f(A) B y g : B Rr escontinua en ~b = f(~a), entonces g f : A Rr es continua en ~aPRUEBA Se invita al alumno a consultar la demostracion formal (de tipo ). Ensu lugar argumentamos la continuidad de la funcion compuesta, de esta manera. Sea~y = f(~x) continua en ~a, y ~z = g(~y), continua en ~b = f(~a):

lm~x~a

f(~x) = f( lm~x~a

~x) = f(~a) = ~b, por ser f continua en ~a

lm~x~a

g(f(~x)) = g( lm~x~a

f(~x)) = g(~b) = g(f(~a)), por ser g continua en ~b

El primer grupo de igualdades es cierto por la continuidad de f en ~a. El segundolo es por la continuidad de g en ~b. QED

I.3. Primeras propiedades de las funcionescontinuas

Proposicion I.3.1. Sea f : A Rp Rq continua en ~a. Entonces:

a) Las componentes* f1(~x), , fq(~x) de f(~x), son continuas en ~a.b) f(~x) esta acotada localmente en un entorno de ~a (cerca de ~a).

c) (Caso q = 1, funcion real): Si f(~a) 6= 0 (valor positivo o negativo), entoncesf(~x) tiene el mismo signo que f(~a) en un entorno de ~a.

PRUEBA a) Sea f = (f1, , fq), y tomemos una componente j-esima, cualquiera def , esto es fj(~x) entonces:

|fj(~x) fj(~a)| f(~x) f(~a), (j = 1, , q)*tambien llamadas funciones coordenadas

Seccion II. Propiedades globales de las funciones continuas. 29

Esta desigualdad expresa el valor de una componente de un vector (en valor absoluto)mayorada por la longitud del propio vector. Intentese a partir de esto, una demostraciontipo de la continuidad de fj(~x) en ~a.

NOTA:Recprocamente, si las componentes fj(~x), son continuas en ~a, entonces la propia fun-cion f(~x) es continua en ~a. Esto reduce el estudio de la continuidad de funciones vectoriales, alde la continuidad de sus funciones componentes.

b) Tomemos = 1, y una bola B(~a;R) tal que:

~x B(~a;R) f(~x) f(~a) < 1

Entonces, se tiene f(~x) = f(~a)+f(~x)f(~a) f(~a)+f(~x)f(~a) 0 (positivo). Entonces existe un entornode ~a (bola de un cierto radio R > 0 centrada en este punto):

~x B(~a;R) |f(~x) f(~a)| < = f(~a)/2

Se sigue que en este entorno, (escribiendo f(~a) = M ):

M/2 < f(~x)M < M/2M/2 < f(~x) < 3M/2

pero esto significa que f(~x) > 0 en este entorno. QED

Ejercicios

X 3.1 Sea f : R2 R una funcion definida por:f(x, y) =

x 2y2 + x 2 si x 6= 2 y

2; f(2 y2, y) = 0

Analizar la continuidad de f en los puntos de la parabola x = 2 y2.

II. Propiedades globales de las funcionescontinuas.

II.1. Continuidad en conjuntos compactos.

Para funciones continuas f : X Rp Rq , con q = 1, y definidas sobre conjuntoscompactos (cerrados y acotados), se siguen resultados importantes:


Proposicion II.1.1. Una funcion f : X Rp R, continua en X , siendo X com-pacto, es una funcion acotada.

PRUEBA Es facil probar que bajo las condiciones de la proposicion, f es localmenteacotada. Tomemos = 1 y un punto ~x0 X . Por la continuidad de f en este puntopodemos encontrar entonces un entorno V de este punto de manera que para todo~x V X:

| f(~x) f(~x0) |< 1y por tanto | f(~x) |< 1+ | f(~x0) |

Lo complicado es probar que existe una sola cota para |f(~x)| que funcione paratodos los puntos ~x en X . Supongamos entonces que f no sea globalmente acotada.Podemos encontrar una sucesion infinita de puntos ~x1, ~x2, ... en X de manera que:

|f(~x1)| > 1, |f(~x2)| > 2, , |f(~xn)| > n, Como X es compacto, existe un punto ~x X de acumulacion de esta sucesion*. Portanto, cualquier entorno U de ~x contiene infinitos puntos de la sucesion. Entoncesdado K > 0, arbitrariamente grande, podremos elegir un punto ~xj U para el cual|f(~xj)| > j > K. Esto significara que f no esta localmente acotada en el entorno de~x, y esto es contradictorio con la continuidad de f en este punto, segun hemos vistoantes. QED

Para hacer plausible esta proposicion, pensemos en que si debilitan las hipotesissobre X , la proposicion deja de ser cierta.

Por ejemplo, siX es acotado pero abierto, no se puede garantizar que f sea acotada,porque f puede tender hacia en la frontera del conjunto. Al mismo tiempo, si X escerrado, pero no acotado la funcion puede ser no acotada. Por ejemplo, la funcion:

f(x, y) =1

1 (x+ y) , (x, y) X

donde X es el rombo {(x, y) R2 : |x| + |y| < 1}, es continua en el conjunto X(abierto y acotado), pero tiende a en un lado de la frontera. Por otro lado, la funcion:f(x, y) = x, (x, y) X es continua en la banda (cerrada) (x, y) R2 : |y| 1,pero evidentemente no es una funcion acotada.

Proposicion II.1.2. (Teorema de Weierstrass.) Una funcion f : X Rp R, conti-nua en X , siendo X compacto, es una funcion que alcanza en puntos del conjunto X ,sus valores maximo y mnimo (extremos absolutos).

PRUEBA Por el teorema anterior, f esta acotada en X . Entonces, existen numeros b yB tales que:

b f(~x) B, ~x X

Los numeros b y B no son unicos: existiran, sin embargo, un numero m (la mayorde las cotas b inferiores), y un numero M (la menor de las cotas B superiores) talesque:

m f(~x) M, ~x X*Teorema de Bolzano-Weierstrass


El numero m debe ser alcanzado en algun punto de X: si no fuera as, la funcion1/(f(~x)m), sera en todo punto positiva y continua en X y por tanto acotada (yaque X es compacto). Se sigue entonces:

1

f(~x)m A, (A > 0) f(~x)m 1/A f(x) m+ 1/A

Ahora bien, esto es absurdo ya que m es la cota inferior maxima para los valores de f .En consecuencia existe ~x0 X tal que:

f(~x0) = m

esto es, f alcanza en X un valor minimo. Este mnimo se llama* mnimo absoluto. Lademostracion para el maximo absoluto es similar. QED

Proposicion II.1.3. Sea f : A Rp Rq continua. Si A es compacto, entoncesf(A) es compacto.

PRUEBA Hemos probado ya que f(A) es acotado. Probemos que tambien es f(A) ce-rrado. Supongamos (~yn) f(A) una sucesion en f(A). Entonces los ~xn que verificanf(~xn) = ~yn forman una sucesion en A. Al ser A acotado, esta sucesion posee algunpunto lmite, se ~x. Mas aun al ser A cerrado, este punto ~x es de adherencia de X y portanto ~x X . Consideremos entonces ~y = f(~x). No es difcil probar que ~y es tambienun punto lmite de la sucesion (~yn) (la prueba detallada de esto ultimo se deja para ellector). QED

Ejercicios

X 1.1 Sea B(0, 0) = {(x, y) R2 : x2 + y2 1} y sea la funcion f : B(0, 0) R definidapor:

f(x, y) = exp( y + y2x2 + y2

), si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 1

(a) Estudiar si f es continua en (0, 0). (b) Estudiar si f esta acotada inferior ysuperiormente en B(0, 0).

1.2 Sea u : R R una funcion continua, creciente y acotada, f(x, y) = u(ln(a+x2y2))y A el crculo cerrado de centro (0, 0) y radio 1. Estudiar si f esta definida y es continua enA y alcanza en A un valor maximo o mnimo absoluto, en los siguientes casos:

(a) a = 2.(b) a = 1.

II.2. Conjuntos conexos. Relacin con lacontinuidad.

En esta seccion se estudian los llamados conjuntos conexos. En su version mas ge-neral la propiedad de conexion distingue aquellos conjuntos de Rp para los cuales es

*notese que el valor mnimo absoluto es unico, pero pude ser alcanzado en mas de un punto de X .


imposible una descomposicion en subconjuntos separados. En una version mas restrin-gida se definiran los llamados conjuntos conexos por arcos. La relacion que todo ellotiene con la nocion de continuidad, sera esclarecida al final.

2.1 Definicion Un conjunto X Rp es conexo, si no puede ser descompuesto en dossubconjuntos disjuntos:

L M = X,L M = ninguno de los cuales contiene puntos de acumulacion del otro. Si consideramos* elcierre o clausura de un conjunto, la condicion anterior equivale a:

L M = L M =

Para ilustrar la definicion con-siderese en R2 el conjunto X con-sistente en dos crculos (discos) Ly M , abiertos, del mismo radio a.Si los centros estan a una distan-cia suficiente (distancia entre cen-tros > 2a), formaran claramenteun conjunto no conexo.

L M L M

C

Cuando la distancia entre centros es exactamente 2a, sigue siendo posible la des-composicion X = L M , con la propiedad de que ni L ni M contiene punto algunoque sea de acumulacion del otro**. Finalmente, los crculos a distancia< 2a, se solapany forman al unirse un conjunto C conexo: es imposible dividirlos en dos piezas dis-juntas, de manera que ninguna contenga algun punto de acumulacion de la otra. Noteseque la definicion de conjunto conexo es negativa: Un conjunto se dice no conexo sise puede establecer alguna separacion de X: particion de X en dos subconjuntos L yM , disjuntos, con la propiedad adicional:

L M = L M = La nocion de conjunto conexo se aplica a conjuntos cualesquiera no necesariamenteabiertos. En el plano, un crculo o rectangulo abierto es conexo, pero tambien lo es unarecta, que es un conjunto cerrado. El propio plano R2, es tambien es tambien conexo.

2.2 Definicion Un conjunto X Rp, se dice conexo por arcos (arco-conexo) si,dados dos puntos cualesquiera ~p ~q en X , es posible encontrar una funcion continua

*Recordar que el cierre o clausura de un conjunto A es la union AA, donde A consiste en los puntosde acumulacion de A

**notese que el punto de tangencia no pertenece a ninguno de los dos crculos


(t) : a t b, con valores en Rp tal que (a) = ~p, (b) = ~q y, ademas, la imagen(J = [a, b]) X . En otras palabras si es posible encontrar una curva continua(trayectoria o camino) que lleve de un punto al otro sin abandonar el conjunto X .

Esta definicion encierra un concepto mas intuitivo de conexion, pero no es equiva-lente a la anterior. Si un conjunto es arco-conexo entonces es tambien conexo, pero larecproca, en general, no es cierta*. Se dice tambien que la condicion de arco-conexoes mas fuerte que la de conexo, y la familia de conjuntos arco-conexos es, consecuen-temente, mas restringida que la mas amplia de conjuntos conexos.2.3 Ejemplo Si dos crculos cerrados son tangentes entre s, el conjunto formado porlos dos forman un conjunto que es arco-conexo, porque el punto de tangencia (comuna los dos crculos) permite la conexion entre dos puntos cualesquiera situados uno encada crculo.

En R1, los conjuntos arco-conexos son los intervalos (de cualquier tipo):

_

_

x1

x2

R

R2

f

_k

m

M

f(x )=1

f(x )=2

x0

f(x )=0

funciones continuas

en conjuntos conexosProposicion II.2.1. Sea J un intervalode la recta real R. Entonces J es arco-conexo.

PRUEBA Sean a y b (a < b) dos puntosde J . La aplicacion:(t) = (1 t)a+ tb, (0 t 1)es continua y define una trayectoria o ca-mino de a hasta b dentro del intervalo.QED

Si nos limitamos a conjuntos abier-tos, sin embargo, las dos nociones sonequivalentes:

Proposicion II.2.2. Un conjunto abiertoy conexo, es, necesariamente arco-conexo

La propiedad de conexion en la variante de conjunto arco-conexo, es una propiedadinvariante** respecto de las funciones continuas:

Proposicion II.2.3. Sea C Rp un conjunto arco-conexo y f : Rp Rq una funcioncontinua. Entonces f(C) es un conjunto arco-conexo en Rq

2.4 Definicion Una aplicacion (funcion) f : A Rp Rp se dice que es un homeo-morfismo, si:

(1) f es inyectiva, i.e., f transforma A en su imagen f(A) = B de forma biunvoca(biyectiva).

(2) f : A B es continua en A y tambien la aplicacion inversa f1 : B A.*o dicho de otro modo, la condicion de arco-conexo es condicion suficiente de conexion, pero no nece-

saria**esta propiedad se extiende tambien a conjuntos conexos cualquiera


2.5 Ejemplo La aplicacion x R f(x) = arc tg(x), es un homeomorfismo de Rsobre el intervalo abierto (pi/2, pi/2). La aplicacion inversa: f1 : (pi/2, pi/2) Res la funcion tangente, i.e., f1(y) = tg(y), y (pi/2, pi/2).

La nocion de conexion tiene un nexo importante con la continuidad de las fun-ciones. Las funciones reales continuas f : R R, de una variable real, transformanconjuntos conexos (intervalos) en imagenes conexas (intervalos), y como consecuenciasatisfacen la propiedad del valor intermedio*. Esta propiedad se extiende a funcionesreales continuas de varias variables: Una funcion f(~x) continua transforma un conjun-to conexoA (A en su dominio de definicion) en una imagen conexa (intervalo) en R.Por lo tanto se tiene la siguiente extension de la propiedad de los valores intermedios:

Proposicion II.2.4. (Propiedad de Darboux) Sea f : A Rp R una funcion defi-nida y continua en un conjunto conexoA. Si para dos puntos deA, sean ~x1 y ~x2, la fun-cion toma dos valores distintos, p. ej., f(~x1) < f(~x2), entonces para cualquier valor intermediok : f(~x1) < k < f(~x2), existe un punto x0 cuyo valor es k, i.e., f(~x0) = k.

PRUEBA Haremos la demostracion suponiendo A arco-conexo. En virtud del teoremaII.2.3 la imagen f(A) es un intervalo y, como f(~x1) < k < f(~x2), resulta que k [f(~x1), f(~x2)] f(A), de donde k f(C) y en consecuencia:

existe ~x0 C tal que : f(~x0) = k

QED

Ejercicios

2.6 Sea el conjunto C = A B donde:A = {(x, y) R2/x2 y4 0} y B = {(x, y) R2/x4 y2 < 0}

Determinar Fr(C) y C. Es C un conjunto compacto?. Es C un conjunto conexo porarcos?

X 2.7 Se consideran las funciones

f(x, y) =

x

y+ 1, g(x, y) = y x3

SeaC el dominio de definicion de f yD = {(x, y) R2 : 1 g(x, y) 2}. Se pide, parael conjunto A = C D, determinar si tiene las siguientes propiedades: a) conjunto cerrado.b) conjunto conexo por arcos.

X 2.8 Se considera una funcion f : C R, donde C R2 es el conjunto:C = {(x, y) R2/x2 y4 > 0} {(x, y) R2/x4 y2 < 0}

De las siguientes afirmaciones solamente una es correcta:

a) Si f(C) = [1, 0[ entonces f puedeser continua en C.

b) Si f(C) = [0, 1] entonces f es nece-sariamente continua en C.

c) Sif(C) = [1,[ entonces f no puedeser continua en C.

d) Si f(C) = [1, 0[ [1, 2] entonces fno puede ser continua en C

*Teorema del valor intermedio


2.9 Sea f : R2 R definida por:f(x, y) = ln

( x y2|x| |y|

)Determinar su campo (dominio) de definicion, y establecer si este conjunto es: a) abierto; b)cerrado; c) acotado; d) compacto; e) conexo (por arcos).

Suplemento

Curvas continuas y superficies.

Las curvas y superficies de la geometra elemental, pueden ser representadas pormedio de funciones vectoriales continuas de los tipos siguientes:

~x : J R Rqq=2,3

, ~x : D R2 R3

t

(cos t,sin t)

radio=1

x

y

Figura 2.1: Circunferencia unidad.

Para proceder metodicamente distin-guiremos los tres casos:

I: Curvas en el plano Una curva enel plano es primariamentecomo objetogeometrico un conjunto de puntos, queforman una variedad de dimension 1. Unarepresentacion analtica posible (aunque noes la unica) es la representacion parametri-ca: en ella, las coordenadas cartesianas (x(t), y(t)) de cada punto, son los valores defunciones continuas de un variable real (parametro), como por ejemplo, en la represen-tacion de la circunferencia unidad:

~x(t) = (cos t, sen t), t [0, 2pi]

Notese que el parametro t, vara en un cierto intervalo. En el ejemplo anterior, tse puede asimilar al angulo polar del punto correspondiente de la circunferencia. Esclaro que una representacion similar se puede obtener para muchos ejemplos de curvasplanas, y tambien para curvas en el espacio tridimensional; en este ultimo caso, las trescoordenadas cartesianas de los puntos de la curva, son las componentes de una funcionvectorial, ~x(t) = (x(t), y(t), z(t)). Hablamos entonces de una curva parametrica enR3, o de una trayectoria si se interpreta (como en la fsica) el parametro t como tiempo.

0.1 Definicion Una curva C es la imagen en Rp, (p = 2, 3) de una funcion continua:

t [a, b] ~x(t) Rp

Debe subrayarse la distincion entre la curva C, que es la imagen ~x([a, b]) Rp, yla funcion vectorial (o parametrizacion) ~x(t) como tal, que para una curva dada, no es

Suplemento: Curvas continuas y superficies. 37

unica. A menudo, el punto de partida para el estudio y representacion de una curva esuna ecuacion del tipo:

f(x, y) = 0 (2.2)

llamada ecuacion cartesiana implcita de la curva. En el ejemplo de la circunferenciaunidad, es obvio que se tiene x(t)2 + y(t)2 = cos2(t) + sen2(t) = 1 que muestra quesu ecuacion implcita es x2 + y2 1 = 0

En algunos casos, una curva representada por una ecuacion del tipo (2.2) es unconjunto compacto. El siguiente es el caso representativo en la familia de las conicas:0.2 Ejemplo Sea la forma cuadratica:

Q(x, y) = ax2 + bxy + cy2

y supongamos que sea definida positiva, i.e., Q(x, y) > 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).Entonces, como se sabe por el estudio de conicas, la ecuacion:

ax2 + bxy + cy2 = K, (K > 0)

representa una elipse en el plano cartesiano, que es, ciertamente, un conjunto cerradoy acotado y por lo tanto un conjunto compacto. La condicion definida positiva deQ(x, y) se puede explorar facilmente si escribimos (completando cuadrados):

Q(x, y) = ax2 + bxy + cy2 = a(x+

by

2a

)2+

4ac b24a

y2

As pues, Q sera definida positiva si a > 0 y 4ac b2 > 0.Dos aplicaciones interesantes de esto las encontramos en los siguientes ejercicios:

Ejercicios

3 Probar que si Q(x, y) = ax2 + bx+ cy2 es definida positiva, el lmite:

lm(x,y)(0,0)

px+ qy

ax2 + bx+ cy2= 0

4 Segun el Teorema de Weierstrass la funcion f(x, y) = x2 + xy + y2 es continua en el lacircunferencia:

C : x2 + y2 = 4

y por lo tanto alcanza en C sus extremos (maximo y mnimo) absolutos. Idear un metodopara hallarlos, utilizando coordenadas polares.

II: Superficies Las variedades de dimension 2 en el espacio eucldeo tridimensionalson las superficies. Una ecuacion de la forma:

F (x, y, z) = 0 (2.3)

donde F es una funcion de clase Ck(R3), determina bajo ciertas condiciones una va-riedad de dimension 2, y la ecuacion (2.3), se llama su ecuacion implcita.


0.3 Ejemplo Sea F (x, y, z) = q(x, y, z) + l(x, y, z) +F0, un polinomio en x, y, z degrado 2 (q(x, y, z) es la parte que contiene los terminos de grado 2, l(x, y, z) es unafuncion lineal homogenea y F0 = F (0, 0, 0)). Las superficies dadas por ecuaciones dela forma:

q(x, y, z) + l(x, y, z) + F0 = 0

se llaman cuadricas, p. ej. la esfera: x2 + y2 + z2 R2 = 0.

Suplemento: Curvas continuas y superficies. 39

Figura 2.2: CILINDRO: ax2 + by2 = 1, ax2 + by2 z = 0 :PARABOLOIDEE

Figura 2.3: CONO: ax2 + by2 cz2 = 0, ax2 + by2 cz2 = 1 :HIPERBOLOIDE-1H:

Figura 2.4: HIPERBOLOIDE-2H: ax2+by2cz2 = 1, ax2by2z = 0 :PARABOLOIDEH.

Figura 2.5: ELIPSOIDE: ax2+by2+cz2 = 1,CILINDRO H.: ax2by21 = 0, ax2+y =0 :CILINDRO P.

Suplemento

Continuidad uniforme

La continuidad uniforme de una funcion entra dentro de la categora de las pro-piedades globales, esto es, se refiere al comportamiento de la funcion en un conjuntodonde se supone definida.

Sea f una funcion (con valores en R), definida en el conjunto A Rp, y supon-gamos que f(~x) es continua en todo punto ~x A. Sea entonces un numero > 0arbitrariamente pequeno. Elegido un punto ~x A, se tiene, en virtud de la continuidadde f en este punto:

= (; ~x) : para todo ~y con ~x ~y < =| f(~x) f(~y) |<

Notese que depende, en general, tanto de como del punto ~x de partida. Si esposible elegir el mismo = (), valido para todos los puntos ~x A, decimos que fes uniformemente continua en A:

Definicion. Se dice que f(~x) es uniformemente continua en A si elegido > 0 arbi-trariamente pequeno, es posible encontrar un numero = () > 0 que depende de de modo que:

para todos los puntos ~x, ~y A : ~x ~y < = |f(~x) f(~y)| <

Si f es uniformente continua en A la desigualdad |f(~x) f(~y)| < tiene lugarbajo la condicion uniforme de que la distancia ~x ~y sea inferior a (), cualesquieraque sean los puntos ~x y ~y que satisfagan esta condicion.

La continuidad uniforme de una funcion en un conjunto implica la continuidad lo-cal en cada punto de A. Sin embargo, la propiedad recproca no tiene lugar, i.e., unafuncion puede ser continua en todos los puntos de A y sin embargo no es uniforme-mente continua en A.0.1 Ejemplo Examinemos, por ejemplo, la funcion f : (0, 1) R definida porf(x) = 1/x, que es continua en el intervalo abierto x : 0 < x < 1.

la continuidad uniforme enA es una condicion mas fuerte que la simple continuidaden cada punto de A.

Captulo 3

Derivadas parciales.Diferencial de unafuncin.

I. Derivadas parciales de una funcin realde varias variables

I.1. Derivadas segn vectores. Derivadasparciales.

Figura 3.1: Incremento de una fun-cion

a

a+ h

La nocion de derivada de una funcion real deuna variable real, debe reconsiderarse cuando setrata de funciones, f : A Rp Rq . Comen-zamos por el caso q = 1 (funciones reales de pvariables reales):

f(~x) = f(x1, , xp)La nocion de derivada esta asociada a la variacionlocal de f en el entorno de un punto de su domi-nio.

Sea ~a A. La variacion de la funcion al pasardel punto* ~a a un punto proximo ~x + ~h, vienedada primariamente por la diferencia: f(~a) = f(~a+ ~h) f(~a)

Debemos interpretar aqu ~h Rp como un vector de traslacion, cuya direccion esarbitraria en principio. Fijando un vector director ~u, podemos considerar el cocienteincremental,

f(~a+ s~u) f(~a)s

para s 6= 0.*Consideraremos aqu y en los sucesivo que A, el dominio de la funcion f , es un abierto, de modo que ~a

es un punto interior del dominio.

42 Captulo 3. Derivadas parciales. Diferencial de una funcion.

1.1 Definicion Se llama derivada de f en el punto ~a, segun el vector ~u, al lmite (siexiste):

D~uf(~a) f(~a)~u

= lms0

f(~a+ s~u) f(~a)s

(3.1)

Proposicion I.1.1. La derivada segun el vector ~u de la funcion f en el punto ~a es laderivada ordinaria de la funcion de una variable real: s (s) = f(~a + s~u) ens = 0, esto es:

D~uf(~a) = (0)

PRUEBA Notese que el lmite en la Ec.(3.1), se puede escribir en terminos de la nuevafuncion (s):

lms0

(s) (0)s

= (0)

QED

La interpretacion de esta proposicion es la siguiente: La derivada segun el vector ~u de lafuncion f(~x) en el punto ~a, considera la variacion de f a lo largo de la recta de puntos:

~x(s) = ~a+ s~u, s R

que pasa por ~a y dirigida segun el vector ~u. La variable s se llama a veces una coordenadaafn para la recta. La variacion de la funcion a lo largo de la recta desde el punto ~a es entoncesf(~x(s)) f(~x(0)) = (s) (0). Si el vector ~u es unitario, ~u = 1, entonces la longituddel vector de traslacion s~u es simplemente |s|. Admitiremos, sin embargo, que el vector director~u es arbitrario, unitario o no.

oOo

Se pueden considerar todas las derivadas posibles, D~uf(~a), para los infinitos vectores ~u 6=~0. En particular, si tomamos ~u = ~ej = (0, , 1, , 0) (jesimo vector de la base canonicade Rp), tenemos la correspondiente derivada parcial:

1.2 Definicion Sea f(x1, ..., xp) una funcion. La derivada parcial jesima en un punto ~a, sedefine como:

D~ejf(~a) = lmh0

f(~a+ h~ej) f(~a)h

(j = 1, , p) (3.2)

y se denota tambien indistintamente en las formas:

f

xj(~a) Djf(~a) f j(~a)

1.3 Definicion Para los puntos ~x Rp, para los cuales existen las derivadas parciales, se puedendefinir las funciones:

~x Djf(~x) fxj

(~x), j = 1, , p

Seccion I. Derivadas parciales de una funcion real de varias variables 43

La derivada definida en (3.2) equivale a

lmh0

f(a1, .., aj + h, .., ap) f(a1, .., aj , .., ap)h

, (j = 1, , p)

en donde todas las variables permanecen constantes salvo la variable jesima. La definicion de derivada parcial como lmite (ec. (3.2)) no se aplica en la practica usual de

calculo de derivadas parciales, y se reserva para cierto tipo de funciones y en puntos espe-ciales. Para calcular una derivada parcial basta con considerar la funcion de una variable:

xj f(a1, .., xj , .., an)

EN DONDE TODAS LA VARIABLES MENOS LA jESIMA SON CONSTANTES. La derivadaordinaria de esta funcion en xj = aj es la derivada parcial Djf(~a). La derivada parciales pues un tipo de calculo que, en principio, se puede resolver con las reglas ordinariasdel calculo de derivadas de funciones de una variable.

1.4 Ejemplo Para una funcion de dos variables (p = 2), se tiene por definicion, para las deriva-das parciales de f(x, y):

f

x(a, b) = lm

h0f(a+ h, b) f(a, b)

h,

f

y(a, b) = lm

k0f(a, b+ k) f(a, b)

k

En estos lmites, h x y k y designan incrementos (de signo positivo o negativo) delas variables independientes.

1.5 Ejemplo Sea f(x, y) = cosh(x2 y2), la derivada parcial fy

(1, 1) se calcula as:

(y) = f(x, y) = cosh(x2 y2) (TOMESE x COMO CONSTANTE)f

y(x, y) = (y) = (2y) senh(x2 y2)

f

y(1, 1) = 2 senh(1 1) = 2 senh(0) = 0

Las derivadas segun un vector se llaman tambien derivadas direccionales (particularmentecuando ~u = 1, caso de especial significacion); se tiene ademas (prueba inmediata apartir de la definicion):

D~uf(~a) = D~uf(~a) (para R)

en particular, se tiene D~uf(~a) = D~uf(~a).

Cuando consideramos la derivada direccional D~uf(~a) en su dependencia de ~u, nos en-contramos con lo siguiente:

a) No siempre existen ~u. En particular, eso mismo sucede con las derivadas parcia-les. Por ejemplo, para una funcion de dos variables f(x, y) definida en (a, b), pue-

de existir la derivadaf

x(a, b), y sin embargo, no existir la otra derivada parcial

f

y(a, b).

b) La mera existencia de todas las derivadas parciales (o incluso de todas las derivadasdireccionales) en un punto, no garantiza la continuidad.

c) Un resultado interesante, cuya prueba omitiremos, afirma en relacion con lo ante-rior, lo siguiente: Si una funcion f admite todas sus derivadas parciales en todoslos puntos de un conjunto abierto A, y estas derivadas parciales esta acotadas en A,entonces f es continua en A


1.6 Ejemplo Se considera la funcion f(x, y), representada en la figura de abajo. f(x, y) tomael valor 0 en el exterior de los crculos (salvo en los ejes), y el valor 1 en los crculos y sobre losejes.

f=1f=1

f=1 f=1

f=0f=0

f=0 f=0

f=1

f=1 Se comprueba inmediatamente que lafuncion f no es continua en el origen(0, 0): en un entorno arbitrariamente pe-queno del origen, hay puntos donde f =0 y otros donde f = 1.

f(x, y) tiene, sin embargo derivadas par-ciales en (0, 0): puesto que sobre los ejesf toma el valor constante = 1, se sigueque:

fx(0, 0) = fy(0, 0) = 0

Ejercicios

X 1.7 Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

NOTA: El calculo de las derivadas parcialesde una funcion en un punto, no exige, engeneral, acudir a la definicion calculando loslmites correspondientes.

En algunos casos, la funcion tiene deri-vadas parciales en todo punto del planoR2, y se pueden calcular con las reglasusuales de derivacion.

En el segundo caso, las derivadas par-ciales en (0, 0) de la funcion debenser calculadas directamente medianteel calculo de los lmites correspondien-tes.

(a) f(x, y) = cosh(x2 y2): fx

(0, 0)

(b) f(x, y) = xy/(x2 + y2), (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0: fx

(0, 0)

X 1.8 Calcular las derivadas parciales en (0, 0) de las siguientes funciones:(a) f(x, y) = exy

(b) f(x, y) = (x2 + y2) sen 1x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0); f(0, 0) = 0

X 1.9 Sea la funcion definida por:

f(x, y) =ex

23y2

3x2 + y, si y 6= 3x2; f(x,3x2) = 0

(a) Calcular: f x(1, 0) + f y(1, 0) (b) Calcular: f x(1,3) y f y(1,3)1.10 De una funcion f(x, y) se sabe que es continua en (0, 0). Se construye ahora la funcion(x, y) = (x + 2y)f(x, y). Hallar una expresion para la derivada de segun un vector~u = (u, v) en el punto (0, 0).

Seccion II. Funciones diferenciables. 45

X 1.11 Sea g : R2 R la funcion definida porg(x, y) = (x )f(x, y) ( R)

donde f(x, y) =x 2

y2 + x 2 , si x 6= 2 y2; f(2 y2, y) = 0 (ver tambien sub-

seccion I.3 Ejercicio 1, en el captulo anterior). El valor de la suma de derivadas parcialesS = gx(2, 0) + g

y(2, 0) esta bien definido solamente para cierto valor de . Hallar y S.

II. Funciones diferenciables.

II.1. La diferencial de una funcin

Consideremos una funcion real* f(~x) definida en un abierto A Rp, y ~a un punto de sudominio. La variacion de la funcion (incremento) dada por la diferencia f(~a;~h) = f(~a +~h) f(~a), es, en general, una funcion complicada de las componentes de ~h. Si para ~h sufi-cientemente pequeno (~a+~h en un entorno de ~a), el incremento f(~a;~h) se puede aproximarpor una funcion lineal de las componentes de ~h:

f(~a;h) D1h1 + +Dphp

para ciertos numeros D1, D2, , Dp, entonces decimos que f es diferenciable. El sentido enque decimos se puede aproximar es el siguiente: Si suponemos f continua en ~a, entonces:

f(~a;h) 0,pi=1

Dihi 0 (~h ~0)

es decir, ambos terminos son infinitesimos y tambien lo es la diferencia:

f(~a;~h)pi=1

Dihi (3.3)

Una buena aproximacion de f(~a;~h) por la mencionada funcion lineal exige que el co-ciente:

|f(~a;h)pi=1 Dihi|~h

0 (~h 0)

sea tambien un infinitesimo, es decir, la diferencia (3.3), debe, no solamente tender a 0 (cuando~h ~0), sino que debe hacerse infinitamente pequena en comparacion con el infinitesimo dereferencia:

~h =h21 + + h2p

Decimos entonces en el lenguaje de infinitesimos que la diferencia (3.3) es un infinitesimode grado superior a ~h.

*i.e. con valores en R


1.1 Definicion Si existen numeros D1, , Dp y una funcion lineal L(~h) = pi=1 Dihi talesque:

|f(~a;~h)pi=1 Dihi|~h

0 cuando (~h 0) (3.4)

decimos entonces que f es diferenciable en ~a, y se puede escribir:

f(~a+ ~h) = f(~a) +

pi=1

Dihi

DIFERENCIAL

+ (~h)~h

donde lm~h~0|(~h)| = 0

NOTAS:1. La diferenciabilidad implica derivabilidad, porque, si hacemos ~h = h (0, , 1, 0, , 0),con el 1 en la posicion iesima, resulta:

f(~a;h~ei)

h= Di +

(~h)|h|h

y pasando al lmite h 0, resulta entonces fxi

(~a) = Di , i = 1, , p.

2. La condicion de diferenciable es una condicion mas fuerte que la mera existencia de lasderivadas parciales. Esto es de suma importancia y distingue el calculo diferencial de funcionesde una variable del caso de funciones de dos o mas variables.

3. La funcion lineal (de los incrementos x1 = h1, ,xp = hp):

df(~a; ~x) =f

x1(~a)x1 + + f

xp(~a) xp

recibe el nombre de diferencial de f en ~a, y se escribe formalmente* (para todo punto donde fsea diferenciable):

df(~x; d~x) =f

x1(~x)dx1 + + f

xp(~x)dxp (3.5)

4. Para una funcion de dos variables f(x, y) diferenciable en el punto (a, b), la interpretaciongeometrica de la diferencial en este punto nos conduce** al plano tangente: si consideramos lagrafica de la funcion S {(x, y, z) R3 : z = f(x, y)}, entonces la ecuacion del planotangente a la superficie S en el punto (a, b, z0) : z0 = f(a, b), se escribe inmediatamente conayuda de la diferencial:

z z0 = df((a, b); (x,y)) = f x(a, b)(x a) + f y(a, b)(y b)

*Podemos identificar entonces las diferenciales dxi con los incrementos (arbitrarios) xi**de una manera similar a como se obtiene la recta tangente en un punto de la grafica de una funcion

diferenciable de una sola variable

Seccion II. Funciones diferenciables. 47

Ejercicios

1.2 Si una funcion f(x, y) es diferenciable en (a, b) se puede escribir:

f(a+ x, b+ y) f(a, b) = f (a, b)x+ f y(a, b)y +

(x)2 + (y)2 (3.6)

donde es una funcion de los incrementos que verifica, lm(x,y)(0,0)

(x,y) = 0.

Probar que la expresion

(x)2 + (y)2 en (3.6) es equivalente a 1x+2y, donde:

lm 1(x,y) = lm 2(x,y) = 0, ( (x,y) (0, 0) )X 1.3 De una funcion f : R2 R se sabe que es diferenciable en R2 y que el plano tangente

a la superficie z = f(x, y) en el punto (0, 0, z0), z0 = f(0, 0) es:

x 2y + 2z = 1Calcular al derivada de f en el punto (0, 0) segun el vector ~u = (2, 1).

II.2. Primeras propiedades de las funcionesdiferenciables.

En la proposicion siguiente presentamos las propiedades de las funciones diferenciables masinmediatas, ilustrando en la parte izquierda de la tabla el caso de p = 2 (funciones de dosvariables). En la parte derecha figuran las propiedades correspondientes para una funcion f :A Rp R diferenciable en ~a A.Proposicion II.2.1. Supongamos f(x, y) diferenciable en (a, b), i.e., existe la diferencial *:df(~a;~h) donde, ~a = (a, b), ~h = (h,

curso de matemáticas ii(apuntes)

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