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Universidad Nacional de Catamarca
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Física General y Teórica
CURSO DE INGRESO
Asignatura: FÍSICA
Carreras:
Profesorado en Física.
Licenciatura en Física.
Tecnicatura en Física Médica
Docentes.
Lic. Víctor Aramburu.
Lic. David Lucero
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“La mayoría de las ideas fundamentales de la Ciencia son esencialmente sencillas y, por regla
general, pueden ser expresadas en un lenguaje comprensible para todos.” (Albert Einstein)
A los alumnos ingresantes
Es esta breves líneas les damos la Bienvenida a la Vida Universitaria.
Inician en este año sus primeros pasos en el estudio de sus carreras universitarias y en
ellas la Física juega un rol importante sino el central.
El conocimiento de la Física resulta esencial para comprender nuestro mundo.
Ninguna otra ciencia ha intervenido en forma tan activa para revelarnos las causas y efectos
de los hechos naturales.
Este material didáctico esta destinado a los alumnos ingresantes a las carreras de
Profesorado en Física, Licenciatura en Física y Profesorado en Tecnología; ha sido elaborado
con el propósito de presentarles una breve introducción a la Física Clásica, y orientarlos, en
esta etapa de ingreso, en la adquisición del ritmo de estudio universitario.
Se ha desarrollado, a modo de soporte de las actividades áulicas, el material teórico,
ejemplos de aplicación y actividades propuestas para ejercitación.
Con el deseo de haber alcanzado cierto grado de claridad en la exposición de los
temas tratados, esperamos les sea útil.
¡Buena Suerte!!!
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Contenidos. Unidad I. La física: su objeto de estudio. Ramas de la Física. El método de la Física. El Proceso de Medición. Magnitudes Fundamentales y Magnitudes Derivadas. Múltiplos y Submúltiplos. Sistemas de Unidades. El SI y el SIMELA. Unidad II. Magnitudes escalares y Magnitudes vectoriales. Sistemas de Referencia Cartesianos. Representación de un vector. Clasificación de los vectores. Criterios de igualdad. Coordenadas Cartesianas. Componentes coordenadas de un vector. Álgebra Vectorial: Suma y resta de vectores libres. Métodos gráficos y analíticos. Unidad III. Introducción a la Cinemática: Posición, Trayectoria, Desplazamiento. Sistemas de referencia. Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales: Características. Movimiento. Tipos de Movimiento. Velocidad y Aceleración. Movimiento Rectilíneo Uniforme. Representación gráfica.
UNIDAD I.
Física
La palabra física procede del vocablo griego que significa naturaleza, pudiéndose
decir que la Física es una rama de la Filosofía Natural y estudia las propiedades básicas del
Universo y por tanto está regida por los inalterables principios que la naturaleza impone.
La Física, como todas las Ciencias Experimentales, es el producto de un largo proceso de
investigación efectuado con dedicación, paciencia y esfuerzo.
Los principios, leyes y teorías que conforman la Física son el resultado del trabajo metódico y
constante de muchos investigadores preocupados por interpretar los hechos y los
fenómenos que ocurren en el universo.
Los científicos, para lograr sus objetivos, no proceden desordenadamente ni respondiendo a
súbitas inspiraciones, sino que lo hacen siguiendo planes adecuadamente preparados.
Los investigadores, cuando se enfrentan a un problema cuya solución les es desconocida, se
sienten estimulados por la curiosidad y adoptan una actitud fuertemente inquisitiva. En sus
mentes surgen diversos interrogantes que tratan de responder efectuando una serie
organizada de acciones y procesos.
Estos procesos constituyen lo que se llama método experimental o científico.
El método científico o experimental.
La Física trata de dar contestación a los fenómenos de la Naturaleza, fenómenos de cada día,
de cada instante, comienza por dar al hombre que la trabaja un agudo espíritu de
observación, obligándole en todo momento a preguntarse los motivos (¿por qué?) de ciertos
cambios que su medio material experimenta. Al no contentarse con un mero «por que sí» se
obliga a recorrer todos los conocimientos que de éstas y otras disciplinas tiene, aunque es
probable que previo a este análisis memorístico, trate de clasificar el fenómeno. Su
imaginación juega, sus sentidos observan y analizan, su inteligencia determina, llegando en
un alto porcentaje de los casos a la conclusión de que la Física puede darle una respuesta
aclaratoria del fenómeno observado.
Esta inquietud del hombre condicionada a su razón, tratando de explicarse los fenómenos
que ocurren a su alrededor, hace que se organice sistemáticamente, estableciéndose un
método para encontrar respuestas a sus interrogantes: observación, razonamiento y
experimentación constituyen lo que llamamos el Método Científico; no necesariamente este
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proceso sigue el orden que hemos establecido, piénsese, por ejemplo, en los trabajos de
Dimitri I. Mendeléiev (1834-1907) ordenando los elementos en lo que hoy se denomina
sistema periódico, atreviéndose a dejar huecos prediciendo la existencia de elementos
desconocidos hasta entonces, adelantándose la razón a la observación. Muy
frecuentemente, trabajos realizados por los que han sido llamados físicos teóricos y que a
primera vista parecen puramente teóricos y abstractos, encuentran con el tiempo las más
diversas aplicaciones técnicas.
En el estudio de la Física en general, las Matemáticas constituyen la herramienta
fundamental en la descripción del comportamiento físico; sin embargo, la descripción
perfectamente pormenorizada no es posible debido al comportamiento anárquico de la
naturaleza en muchas de sus facetas. La aplicación de las Matemáticas a un fenómeno físico
implica un conocimiento exhaustivo del problema, su formulación matemática representa
un modelo o descripción límite ideal, que se aproxima, pero nunca alcanza por completo la
situación física real.
El estudiante debe tener un proceso dual en su mente, debe pensar en la situación física y
también de acuerdo con la descripción matemática correspondiente; al construir el modelo
matemático idealizado, para su aplicación a un problema real, debe conocer las limitaciones
y aproximaciones que se han realizado y por supuesto tener conocimiento de las
consecuencias que pueden tener, en muchos casos decimos que no influyen o que son
despreciables. Esta aproximación es totalmente válida en un conocimiento en que es
aplicada al problema técnico, siempre que los efectos de esta aproximación no vulneren el
funcionamiento del mecanismo, estructura, prototipo... que se ha aplicado.
Toda investigación comienza por la observación metódica y sistemática de los fenómenos y
hechos que suceden en el mundo que nos rodea. Como resultado de esa observación, se
generan diversos interrogantes y dudas que llevan al planteamiento de un problema.
Una vez definido dicho problema, el observador, con toda la información disponible, da una
respuesta probable al cuestionamiento planteado: formula hipótesis. Como ésta es una
suposición, debe ser corroborada por medio de la experimentación, para determinar su
validez.
De acuerdo con la hipótesis formulada, es posible prever consecuencias que habrán de
presentarse en los hechos o fenómenos que se investigan, es decir, establecer predicciones.
Luego se debe comprobar si dichas predicciones son correctas, para lo cual se realiza la
experimentación.
Las hipótesis científicas son fructíferas en la medida que permiten establecer predicciones, y
el experimento constituye la prueba de la validez de las predicciones efectuadas.
El trabajo experimental proporciona resultados e información que el investigador somete al
análisis y a la interpretación.
De ese modo, se llega a elaborar las conclusiones correspondientes a la investigación
realizada.
Entonces, los datos obtenidos experimentalmente constituyen el núcleo fundamental del
trabajo de investigación y su correcto análisis e interpretación resulta un aspecto
importantísimo para elaborar conclusiones confiables.
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En caso de que la conclusión no demuestre la corrección de la hipótesis formulada, es
necesario formular nuevas hipótesis y reanudar las acciones tendientes a comprobar su
validez.
Cuando la conclusión confirma la hipótesis y puede ser aplicada a todos los fenómenos
semejantes, se esta en presencia de una generalización, la cual a su vez, puede derivar de la
formulación de una ley o principio, con los cuáles se elaboran teorías.
Las conclusiones constituyen conocimientos o informaciones básicas que deben motivar
para realizar nuevas investigaciones por los interrogantes que dejan planteados.
Fenómeno científico. División de la Física
La Física estudia el Fenómeno Científico dando categoría de tal a toda manifestación de orden
material. Partiendo del fenómeno y mediante observación de otros similares, ocurridos en la
naturaleza o provocados artificialmente, se elabora la Ciencia. El principio de la ciencia, casi su
definición, es el siguiente: la comprobación de todo conocimiento es el experimento.
El Experimento es el único método de comprobación de la verdad científica.
La Física estudia estas manifestaciones de la naturaleza, haciéndolo de una manera puramente
Cualitativa (descripción del fenómeno), o Cuantitativa (medida de las magnitudes y relaciones de
variación entre ellas).
Hasta el signo XIX se convenía en distinguir dos tipos de fenómenos científicos: el Fenómeno Químico
en el que la materia experimenta cambios en su composición, en caso contrario el Fenómeno es
Físico. Son fenómenos físicos las caídas de los cuerpos, su calentamiento, iluminación, color, fusión,
vaporización, etc. La combustión de un cuerpo es un fenómeno químico.
Actualmente nos resulta muy difícil poner un límite definido entre la Física y otras Ciencias naturales;
la separación hecha entre Física y Química no es real, existen extensas regiones limítrofes entre
ambas; igual les ocurre a otras ramas de la Filosofía Natural a las que se les han aplicado los métodos
físicos, tales como la Biología, la Medicina, etc.
Pasa exactamente lo mismo al tratar de delimitar en partes a la Física, unas y otras se solapan;
digamos de todos modos, que la Física Clásica, atendiendo a la fenomenología que se estudia, se
divide en las siguientes partes: Mecánica, Termología, Electromagnetismo y Óptica que estudian
respectivamente los movimientos, el calor y la temperatura, los fenómenos producidos por los
cuerpos cargados y la luz.
A principios del presente siglo, en 1905, Einstein demostró la necesidad de hacer un estudio
diferente al que realiza la mecánica clásica o Newtoniana, para los objetos que se mueven a
velocidades comparables a la luz (c = 3 x 108 m/s), naciendo la parte de la Física que se denomina
Mecánica Relativista.
No se tardó mucho tiempo para que Planck, de Broglie, Shrödinger y otros, descubrieran que los
objetos de tamaño atómico a más pequeños, requería un tratamiento diferente al dado hasta
entonces, por lo que surge una nueva parte de la Física a la que llamamos Mecánica Cuántica. De
todas las maneras, todas las partes de la Física, incluyendo estas dos últimas, siguen solapándose; y
muchos de los trabajos de la vanguardia de la Física pertenecen a estas dos últimas mecánicas o a
ambas.
Principios
El Fenómeno Científico es ante todo un fenómeno de la Naturaleza y por tanto su estudio comenzar
á mediante la aplicación al mismo de una serie de Principios, los cuales pueden ser: axiomáticos,
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definitorios e hipotéticos. A partir de ellos, y mediante una exhaustiva comprobación a distintos
niveles cuantitativos y cualitativos, se llega a las Leyes y Teorías que nos dan cuenta del acontecer
fenoménico.
Entendemos por Principio la verdad primera, más evidente que las demás y cuyo conocimiento
adquirimos con la razón; no necesita la comprobación matemática alguna. Son todos ellos
universalmente admitidos. Como hemos dicho pueden ser de tres tipos:
a) Principio Axiomático o Axioma: Proposición evidente por sí misma. Ejemplo: “La distancia mínima
entre dos puntos de un plano es una línea recta”.
b) Principio definitorio o Definición: Nos expresa la construcción o generación de una magnitud.
Ejemplo: “Trabajo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento”.
c) Principio Hipotético, Postulado o Ley Empírica: Toda proposición que sin ser axioma (no es
evidente por sí misma) sirve de base explicativa del fenómeno físico. Como fácilmente puede
deducirse, la formulación de un postulado o hipótesis debe proceder de una minuciosa
comprobación experimental, cuya probabilidad de certidumbre aumenta en función directa del
mayor número de hechos verificables y comprobables con ella. Ejemplo: Principio «Ley» de
gravitación universal de Newton.
Del análisis razonado de todas estas “herramientas” primeras de trabajo y estudio, concluimos que
todas ellas vienen marcadas por una pauta lineal y continua: sea cual sea el punto de partida por el
que iniciamos el estudio de un fenómeno, éste viene determinado por “imposiciones” de la
naturaleza.
Es de notar, sin embargo, que, conforme el estudio científico avanza y profundiza más, tratando de
desentrañar la fenoménica del Universo, conforme el hombre ambicioso y aventurero amplía sus
horizontes de observación y análisis, los principios universales se restringen más y más. Y así los que
un día fueron considerados como principios, dejan hoy día de serlo, pasando a ser meras
consecuencias de principios más generales, es decir, pueden ser demostrados a partir de éstos. A
pesar de ellos, por razones de tipo histórico, se sigue empleando para aquellos la denominación
genérica con que inicialmente se les catalogaba. (Principio de Pascal, Principio de Arquímedes, etc.).
Dichos «principios» son actualmente simples teoremas y de esta manera debería denominárseles.
Leyes. Constantes físicas
De los principios y de sus aplicaciones a fenómenos determinados y concretos se extrae la Ley Física.
Ésta es pues, en general, un hecho, una verdad restringida por la aplicación de los principios a
circunstancias particulares de instrumentación y medio; concreta la medida de las magnitudes físicas
permitiendo, en fin, establecer relaciones de variación entre unas y otras. Expresada la ley mediante
una fórmula matemática significa una idea, debiendo ser por su reducido alcance lo más sencilla
posible.
Podríamos afirmar que una ley Física tiene una configuración conceptual y significación sencilla y
clara.
En su forma más general podríamos expresar matemáticamente una ley de la siguiente forma:
. Es decir, el valor de la magnitud a depende de los valores de las magnitudes b, c, d,
etc. Las Constantes Físicas que intervienen en las fórmulas que expresan las leyes, pueden ser
Universales o Circunstanciales, según que su valor sea siempre el mismo, cualesquiera que sean las
condiciones del lugar, tiempo, temperatura, etc., o bien dependa de las condiciones en que el
fenómeno se realiza. Ejemplos: la constante de gravitación G, la de los gases perfectos R, la carga de
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un electrón e son constantes universales. La velocidad inicial v0, la constante de la ley de Boyle-
Mariotte K, el coeficiente dieléctrico de un medio son constantes circunstanciales.
Teoría y teorema.
Un paso más adelante en el desarrollo estructural de la elaboración sistemática nos lleva a considerar
el término genérico de Teoría, entendiéndose como tal la deducción y planificación de los fenómenos
particulares que, a la luz de principios y leyes, pueden ser estudiados y comprendidos.
Como instrumento inseparable del desarrollo teórico acudimos en general a la lógica y en particular
al razonamiento matemático.
Llegamos finalmente a la cúspide de esta gran pirámide científica que constituye la Física mediante la
aceptación de las conclusiones lógico-matemáticas que la formulación de una Ley nos determina y
que denominamos con la palabra Teorema. Expresión sencilla del símbolo matemático a que
reducimos el fenómeno científico, que sintetiza la esencia del fenómeno mismo.
MAGNITUDES FÍSICAS. UNIDADES
Magnitud y Cantidad
Magnitud es todo aquello susceptible de medida. Ejemplo: La longitud, la masa, el tiempo, son
magnitudes, ya que pueden medirse.
Medir es comparar dos magnitudes de la misma especie, una de las cuales se toma como Unidad.
Ejemplo: Si A y B son magnitudes de la misma especie, y se toma A como unidad, el número de
unidades A que se necesitan para hacer una magnitud igual a B expresa la medida de B.
Cantidad de una Magnitud es el número de unidades a que es equivalente dicha magnitud. Ejemplo:
El tiempo es una magnitud; siete años es una cantidad.
Unidad: expresión de una medida
Unidad es una cantidad arbitraria que se adopta para comparar
con ella cantidades de su misma especie. En la elección de una
unidad influye la extensión de la cantidad a medir. Ejemplos:
Para la medida de la distancia de la Tierra a una estrella de las
llamadas lejanas escogeremos el año luz; para la distancia entre
dos ciudades el kilómetro; en la venta de un cable, el metro; en la
medida del espesor de una lámina el milímetro y para la medida
de la longitud de onda de la luz el angstrom (Å). No es necesario que sean éstas las unidades
empleadas; siempre que nos convenga podemos tomar como unidad cualquier cantidad arbitraria: si
llamamos A a una cantidad (superficie en la Fig. I-1), la cantidad B equivale a 4A; hemos medido B
adoptando A como unidad.
La expresión de una medida es un número concreto, es decir, un número (veces que la cantidad
contiene a la unidad) seguido del nombre o expresión de la unidad empleada en la medida (500
kilómetros; 26 metros; 2 milímetros).
Condiciones que debe reunir la unidad. Unidad natural
En toda unidad de medida se debe poder determinar la igualdad y la suma. Ejemplo: adoptada una
determinada longitud como unidad metro, ha de poder establecerse qué magnitud es igual a un
metro y qué magnitud contiene dos, tres, cuatro veces a nuestra unidad. De aquí nace el concepto de
múltiplo (km = 1 000 m) empleado, a su vez, como unidad en medidas adecuadas.
A A A
A A
B
Fig. I.1. La medida de B es 4A
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Este criterio de suma, que nos lleva a establecer múltiplos, nos da como consecuencia la posibilidad
de conseguir submúltiplos o divisores de la unidad, pues si el km se puede dividir en 1 000 partes
iguales (metro), el metro tiene necesariamente de la misma propiedad, obteniéndose fracciones de
la unidad que, a su vez, nos sirven como unidad cuando pueda interesarnos.
Con la intención de llegar a establecer unidades únicas adoptadas universalmente para lo que
llamaremos magnitudes fundamentales, y siempre con la idea de elegir conveniente el término
adecuado para la extensión de la cantidad a medir, los organismos de carácter internacional [La
Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), el Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM)
y la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada (UIFPA)] recomiendan para prefijos, símbolos y
valores correspondientes a las unidades simples del Sistema Internacional (SI), que posteriormente
definiremos, los indicados en la tabla adjunta.
Un proceder unánime en esta línea, nos proporcionaría un mejor entendimiento y una mayor fluidez
en el lenguaje científico, además de una mejor comprensión en el orden de la magnitud de la
cantidad a medir. Ejemplo: debemos tener en cuenta que para expresar una fuerza determinada, 1
kilogramo-fuerza por ejemplo, también se puede decir 10 newton (.) o 106 dinas; o que 1 caballo de
vapor es 75 kilográmetros por segundo o 735 joule por segundo; esta pluralidad de formas para
expresar lo mismo, es indudable que desconcierta al estudiante y le dificulta el “darse cuenta” de la
cantidad expresada.
Existen en la naturaleza cantidades de una magnitud sin posibilidad de poderse encontrar divisores
de ella, a tal cantidad la llamamos Unidad Natural de la magnitud; existen múltiplos enteros de ella
pero nunca una fracción. Decimos de tal magnitud que está “cuantificada” y a la unidad la llamamos
“quantum”. Así por ejemplo: la energía luminosa que emite un foco no varía de forma continua,
existe para cada frecuencia una cantidad mínima, llamada “fotón” y que es indivisible.
La unidad natural de energía electromagnética es la energía de un fotón.
Magnitudes fundamentales y suplementarias
Son magnitudes fundamentales aquellas cuyas unidades se eligen arbitrariamente tomándose como
base de los sistemas de unidades y no tienen una ecuación que las defina.
Como los fenómenos físicos se realizan en el espacio mientras transcurre el tiempo; la Naturaleza nos
impone, así, dos magnitudes fundamentales: Longitud (L) y Tiempo (T), sin definición precisa, cuya
existencia conocemos desde que se inicia nuestra razón.
En la parte de la Física llamada Mecánica, es necesaria una tercera magnitud fundamental definida
por nuestra propia intuición que, con las dos anteriores, permita definir de una manera coherente las
demás magnitudes que intervienen en los fenómenos mecánicos; tal magnitud se elige
arbitrariamente: en Física teórica se usa la Masa (M) y en la técnica la Fuerza (F).
Muchos fenómenos físicos varían según la homogeneidad del espacio, en particular en electricidad,
teniendo que introducir para su estudio, otra magnitud fundamental llamada Coeficiente Dieléctrico
o Permitividad (e) que nos mide la variabilidad del espacio, desde el vacío hasta el más complicado
medio heterogéneo; o bien, ésta quedará definida si se toma a la Intensidad de Corriente (A) como
magnitud fundamental, por lo que puede tomarse como tal a la una o a la otra.
Al variar el “equilibrio energético” dentro del “caos molecular” en los sistemas físicos, es necesario
para el estudio de la Termología introducir como magnitud fundamental. No pudiendo ser eludido,
que los fenómenos ópticos, deban ser observados por nuestros ojos, y que la retina tenga unas
propiedades que provocan gran variedad de sensaciones, cuya medida entra dentro de la Psicología
Experimental, se hace necesario introducir en el estudio de la Fotometría la magnitud fundamental
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Intensidad Luminosa (J) que de alguna manera nos mide la sensación de luminosidad en el ojo
humano.
Como se verá más adelante, es necesario distinguir entre la magnitud fundamental masa y la que
vamos a llamar Cantidad de Sustancia, (N); completándose, con esta última elección arbitraria, el
cuadro de magnitudes fundamentales (L, T, M, A, q, J y N) que actualmente se utilizan en Física.
Son Magnitudes Suplementarias, El Ángulo Plano, definido como la porción de plano limitada por dos
semirrectas que parten de un mismo punto; a este punto se le llama vértice y a las semirrectas lados
del ángulo; y el Ángulo Sólido definido como cada una de las porciones del espacio limitadas por una
superficie cónica. Ambas magnitudes son puramente geométricas y todavía no se ha decidido si son
fundamentales o derivadas.
Unidades patrones
Elegidas convencionalmente las magnitudes fundamentales (como se explicará más adelante), los
diferentes Congresos Científicos Internacionales fijaron las unidades llamadas PATRONES, cuyas
definiciones han ido variando con las exigencias de superior precisión en las técnicas metrológicas, y
que exponemos a continuación.
La unidad de LONGITUD es el METRO (m): distancia a cero grados celsius, entre dos trazos
paralelos hechos en una barra de platino con 10% de iridio, que se conserva en el Museo Nacional de
Pesas y medidas de Sevres, París, aproximadamente igual a la diezmillonésima parte del cuadrante
del meridiano terrestre. El 16 de octubre de 1960 la Conferencia General cambió la definición clásica
del metro, tomando como nuevo patrón (nuevo metro) a 1 650 763.73 longitudes de onda, en el
vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de
criptón 86. Debido a las constantes exigencias de superior precisión, en octubre de 1986 la
Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en esta fecha en París, define nuevamente el
metro como la longitud recorrida en el vacío por las ondas electromagnéticas durante un tiempo de
1/299 792 458 de segundo (lo que nos indica que la velocidad de estas ondas es 299 792 458 m/s).
(Obsérvese que la tendencia en la búsqueda de un patrón internacional es que su definición sea de
naturaleza universal, y no basada en ningún artilugio artificial susceptible de variaciones temporales).
La unidad de MASA es el KILOGRAMO (kg), es la masa del prototipo de platino iridiado sancionado
por la Conferencia General de Pesas y medidas en 1901 y depositado en el pabellón de Bretenil de
Sevres. Este prototipo tiene forma cilíndrica, contiene aproximadamente el 90% de platino y el 10%
de iridio, y su masa es muy aproximada a la de un litro de agua destilada a cuatro grados centígrados.
Actualmente se define en función de la masa de los átomos como se verá más adelante.
La unidad de TIEMPO es el SEGUNDO (s): 1/86 400 del día solar medio. (86 400 es el número de
segundos del día solar medio, que se obtiene multiplicando 24 horas del día, por 60 minutos de la
hora y por 60 segundos del minuto). DÍA SOLAR MEDIO es la duración media de los días solares del
año, determinadas por el tiempo que tarda el Sol, en su movimiento aparente en realizar un giro en
torno a la Tierra. La XI conferencia General de Pesas y medidas de 1960 definió el SEGUNDO como la
fracción igual a 1/31 556 925,974 7 del año trópico para enero de 1900, cero a doce horas del tiempo
efemérides.
Si bien, el patrón segundo astronómico es más exacto que el segundo solar medio, se necesitaba de
un patrón material comparable a los prototipos metro patrón y kilogramo patrón; por lo que la XIII
Conferencia General de 1967-68, adoptó para EL SEGUNDO el patrón atómico de frecuencia definido
como la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los
dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.
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La unidad de INTENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA es el AMPERIO (A) definido como la
intensidad de una corriente eléctrica constante que, mantenida entre dos conductores paralelos
rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados en el vacío a una
distancia de un metro uno de otro, produce entre estos dos conductores una fuerza igual a 2x10-7
newton por metro de longitud.
La unidad de TEMPERATURA es el KELVIN (K) definido como grado de la escala termodinámica de
las temperaturas absolutas, en la cual la temperatura del punto triple del agua es 273,16 K, por tanto
“es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua”.
La unidad óptica de INTENSIDAD LUMINOSA es la CANDELA (cd) definida como “la intensidad
luminosa en una dirección determinada de una abertura perpendicular a esta dirección, que tenga
una superficie de 1/600 000 metro cuadrado y radie como una radiador integral o cuerpo negro a la
temperatura de fusión del platino (2 043 K = 1 770 ºC), bajo la presión de 101 325 pascales”.
Sistemas de unidades
Llamamos SISTEMA DE UNIDADES al conjunto de éstas que resulta de escoger determinadas unidades
simples.
La elección del sistema de unidades no se hace, en general, atendiendo a las magnitudes
fundamentales; puesto que se eligen unidades simples que tienen con las fundamentales una
dependencia funcional. Así, por ejemplo, elegimos en el sistema técnico como unidad por su
dependencia con la masa, la magnitud fuerza. Esta unidad es el kilopondio o KILOGRAMO-FUERZA;
fuerza con que el kilogramo patrón es atraído hacia la Tierra, al nivel del mar y 45º de latitud. En este
sistema la unidad de masa es una unidad derivada y se llama UNIDAD TÉCNICA DE MASA.
Ya hemos indicado la conveniencia de tomar universalmente un único sistema de unidades; hoy por
hoy es una cuestión de adaptación y tránsito por lo que el lenguaje científico no está sujeto a las
normas dadas por las CGPM, teniendo el lector que adquirir cierta flexibilidad en el empleo de
sistemas de unidades, lo cual le facilitará la comunicación entre personas cuyos intereses particulares
están situadas en diversos campos; por lo que entramos a definir los distintos sistemas que hoy
suelen utilizarse, pero siempre, dándole la máxima importancia al que llamaremos sistema
internacional.
En mecánica emplearemos los siguientes sistemas: SISTEMA CEGESIMAL (CGS); sus unidades simples
son el centímetro de longitud, el gramo de masa y el segundo de tiempo. SISTEMA GIORGI (G), o
MKS; sus unidades simples son el metro de longitud, el kilogramo de masa y el segundo de tiempo.
SISTEMA TÉCNICO; sus unidades simples son: el metro, el kilogramo fuerza y el segundo.
En electricidad emplearemos: SISTEMA DE UNIDADES ELECTROSTÁTICAS; sus unidades simples son el
centímetro de longitud, el gramo de masa, el segundo de tiempo y el coeficiente dieléctrico para el
vacío
SISTEMA GIORGI ELÉCTRICO; sus unidades simples son el metro de longitud, el
kilogramo de masa, el segundo de tiempo y el amperio de intensidad.
SISTEMA INTERNACIONAL (SI): sus unidades simples son el metro de longitud, el kilogramo de masa,
el segundo de tiempo, el amperio de intensidad, el kelvin de temperatura, la candela de intensidad
luminosa y el mol de cantidad de sustancia. Como vemos es el sistema GIORGI AMPLIADO, cuya
extensión debe hacerse a todo tipo de aplicación Científica o Técnica, es el más frecuentemente
utilizado. En este sistema se distingue entre MASA, “como coeficiente característico de cada partícula
o cuerpo, que determina su comportamiento cuando interactúa con otras partículas”, y la magnitud
CANTIDAD DE SUSTANCIA que nos define “la cantidad de elementos o composiciones químicas que
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llevan los cuerpos”; esta magnitud es diferente de la masa y evidencia que la antigua definición de
masa como cantidad de materia es errónea.
Se define el MOL como: “la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades
elementales (átomos, moléculas, iones...) como átomos de carbono hay en 0.012 kilogramos de
Carbono 12». Su símbolo es «mol”; el valor de 1 u (UNIDAD UNIFICADA DE MASA ATÓMICA), será,
teniendo en cuenta que 1 u es “la doceava parte de la masa de un átomo del isótopo 12 del Carbono”
y que “0,012 kg de Carbono 12 contiene 6,022x1023 átomos/mol (NÚMERO DE AVOGADRO):
Así por ejemplo sabemos que un mol de hidrógeno contiene dos gramos de hidrógeno, uno de
oxígeno contiene 32 gramos de oxígeno, uno de agua 18 gramos de agua... Luego iguales cantidades
de sustancia (un mol) contienen generalmente diferentes masas; diferencia evidente entre masa y
sustancia.
En una reacción química pueden variar el número de moles sin cambiar la masa.
También es importante la medición del sistema ABSOLUTO INGLÉS, utilizado en los países de habla
inglesa, en los que se eligen como unidades simples: el pie de longitud, la libra de masa, el segundo
de tiempo, y el amperio de intensidad de corriente.
Presentamos a continuación, algunas unidades distintas a las ya definidas, que son normalmente
utilizadas en los distintos medios de trabajo; dando su equivalencia en el SI:
Masa Longitud
1 gramo (g)
1 tonelada métrica (t)
1 libra-masa (lbm)
1 slug
1 ton, long (2 240 lb)
1 ton, short (2 000 lb)
1 unidad de masa atómica (u)
1 unidad técnica de masa (utm)
= 10-3 kg
= 10-3 kg
= 0,453 6 kg
= 14,59 kg
= 1 016 kg
= 907,2 kg
= 1,661x10-27 kg
= 9,806 kg
1 micra (m)
1 milimicra (mm)
1 angström (Å)
1 fermi (fm)
1 año luz
1 parsec (pc)
1 milla* (mile)
1 pie (ft)
1 pulgada (in)
1 yarda (yd)**
= 10-6 m
= 10-9 m
= 10-10 m
= 10-15 m
= 9,65x1015 m
= 3,07x1016 m
= 1 609 m
= 0,304 8 m
= 2,54x10-2 m
= 0,914 4 m
Tiempo Intensidad de Corriente Eléctrica
1 año (a)
1 día (d)
1 hora (h)
1 minuto (min)
= 3,156 x10 7 s
= 86 400 s
= 3 600 s
= 60 s
1 UEEI
= 3,336x10-10 A
** Esta es la milla terrestre. La milla marina equivale a 1 852 m.
** Definida como unidad básica de longitud para todos los países anglosajones en 1854, como la
distancia existente entre dos líneas trazadas sobre dos botones de oro fijos sobre una barra de
platino que se conserva en Londres (1 yd = 3 ft).
Magnitudes derivadas. Medidas indirectas
Una Magnitud es Derivada cuando se define empleando magnitudes simples. Ejemplo: al decir que un
automóvil lleva una velocidad de 60 kilómetros por hora, nombramos una cantidad que corresponde
a una magnitud derivada o compuesta, ya que en su determinación necesitamos la medida de una
longitud (por medio de carteles que nos señalan distancias en la carretera, por ejemplo) y de un
tiempo (por medio de un reloj o un cronómetro), la velocidad es una magnitud derivada.
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Las magnitudes fundamentales o simples, son elegidas convencionalmente, las demás tendrán que
depender de ellas; por tanto, el que una magnitud sea simple o derivada será arbitrario. Ya hemos
indicado que en el CGS y SI la masa es fundamental, y derivada en el sistema TÉCNICO.
Realizamos una medida indirecta cuando medimos una cantidad en función de otras que se
relacionan con aquella por medio de una fórmula matemática.
La determinación de una magnitud derivada requiere: a) Su definición correcta, clara y concisa. b)
Establecer una fórmula matemática en la que se compendien todas las ideas expresadas en la
definición. c) Fijar unidades de medida.
Una vez comprendida y aprendida la definición de una magnitud física, hay que expresarla por medio
de una fórmula. La Fórmula, en Física, la expresión de una idea. Por ejemplo, cuando se define
velocidad media como “el desplazamiento recorrido en la unidad de tiempo” y si llamamos ΔX al
desplazamiento o camino recorrido y Δt al intervalo de tiempo empleado en recorrerlo,
formularemos sin duda:
Unidades derivadas y suplementarias
Para fijar unidades derivadas, basta considerar la fórmula de la magnitud, expresando las unidades
simples en el sistema que se desee adoptar.
De acuerdo con las XII y XIV Conferencia General de Pesas y Medidas, adoptamos como unidades
suplementarias y derivadas las que se definen en el siguiente cuadro:
UNIDADES SUPLEMENTARIAS Y DERIVADAS
Magnitud Unidad Símbolo Expresión en otras unidades
SI
UNIDADES SUPLEMENTARIAS
Ángulo plano Ángulo sólido
radián estereorradián
rad sr
UNIDADES DERIVADAS
Superficie Volumen Frecuencia Densidad Velocidad Velocidad angular Aceleración Aceleración angular Fuerza Presión (tensión mecánica) Viscosidad cinemática Viscosidad dinámica Trabajo, energía, cantidad de calor Potencia Cantidad de electricidad Tensión eléctrica, diferencia de potencial, fuerza electromotriz Intensidad de campo eléctrico Resistencia eléctrica Conductancia eléctrica
metro cuadrado metro cúbico hertz kilogramo por metro cúbico metro por segundo radián por segundo metro por segundo cuadrado radián por segundo cuadrado newton pascal metro cuadrado por segundo pascal por segundo joule watt coulomb volt volt por metro ohm siemens
m2 m3 Hz kg/m3 m/s rad/s m/s2 rad/s2 N Pa m2/s Pa s J W C V V/m
S
1/s kg · m/s2 N/m2 N s/m2 N · m J/s A s W/A V/A
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Capacidad eléctrica Flujo de inducción magnética Inducción electromagnética, Inductancia Inducción magnética, Densidad de flujo magnético Intensidad de campo magnético Fuerza magnetomotriz Flujo luminoso Luminosidad Iluminación Número de ondas Entropía Calor específico Conductividad térmica Intensidad energética Actividad (de una fuente radiactiva)
farad weber henry tesla ampere por metro ampere lumen candela por metro cuadrado lux una onda por metro joule por kelvin joule por kilogramo kelvin watt por metro kelvin watt por estereorradián una desintegración por segundo
F Wb H T A/m A lm cd/m2 lx 1/m J/ K J/(kg K) W/(m K) W/sr Bq
A / V C / V V s Wb/A Wb/m2
cd sr lm/m2 1/s
La unidad de magnitud suplementaria Ángulo Plano es el Radián (rad) definido como: ángulo plano
que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo,
un arco de longitud igual al radio.
La unidad de la magnitud suplementaria Ángulo Sólido () es el Estereorradián (sr) definido como: el
ángulo sólido que teniendo su vértice en el centro de una esfera, abarca sobre la superficie de ésta un
área equivalente al cuadrado del radio. Según esta definición, dividiendo el área (A) de la porción de
la esfera que se limita, por el cuadrado del radio de ésta, (R2), tendremos medido el ángulo sólido en
estereorradianes, es decir: = A/ R2. Así por ejemplo, a la superficie total de la esfera (A = 4R2), le
corresponderán = 4sr.
El Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA)
Durante muchos años existió una verdadera anarquía en las unidades usadas para las diferentes
magnitudes. Cada país o región tenía las suyas y a veces existían diferencias dentro de un mismo
país. Así, por ejemplo, en el caso de la longitud, se fue evolucionando desde formas poco precisas,
como el palmo, el paso, el codo, hasta llegar al metro, utilizado en la actualidad, y pasando por otras
unidades, tales como el pie, la pulgada, la vara y otras que aun se siguen utilizando en algunos países
y lugares, así como también en algunas actividades que se desarrollan en nuestro país (por ejemplo,
en la medición de maderas).
Finalmente, tras un largo proceso de homogeneización que ha abarcado muchos siglos se llegó a
establecer, en 1960 por la CGPM el denominado SI. Éste fue adoptado por nuestro país en 1972 por
Ley Nacional N° 19511 con la denominación de Sistema Métrico Legal Argentino.
Este sistema esta elaborado sobre la base del Sistema Internacional de Unidades (SI) con el agregado
de unas pocas unidades no pertenecientes al SI pero admitidas, tales como: el litro, la hora, el
minuto, etc.
El SIMELA consta de unidades de base, unidades suplementarias y unidades derivadas.
Unidades de base.
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo
Longitud metro m
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Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Temperatura termodinámica kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol
Unidades suplementarias
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo
Ángulo plano radián rad
Ángulo sólido estereorradián sr
Unidades derivadas. Son muchas, pues abarcan todo el demonio de la ciencia. Algunas se designan
de acuerdo con el nombre de las unidades de base y otras tienen nombres especiales.
Unidades derivadas sin nombres especiales.
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo
Superficie metro cuadrado m2
Volumen metro cúbico m3
Velocidad metro por segundo m/s
Aceleración metro por segundo al cuadrado m/s2
Densidad (de masa) kilogramo por metro cúbico kg/m3
Unidades derivadas con nombres especiales.
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo Otra forma de expresión
Fuerza newton N kg m/s2
Energía joule J N m
Presión pascal Pa N/m2
Frecuencia hertz Hz 1/s
Potencia watt W J/s
Unidades agregadas. Las unidades más importantes agregadas al SI por Ley Nacional 19511 son:
Unidades SIMELA no SI
Magnitud Unidad
Nombre Símbolo Equivalencia
Tiempo minuto min 1 min = 60 s
hora h 1 h = 3600 s
día d 1 día = 86.400 s
Ángulo plano grado (sexagesimal) ° 1° = (π/180) rad
minuto ´ 1´ = (π/10.800) rad
segundo ´´ 1´´ = (π/648.000) rad
Volumen litro l ó L 1 L = 1x10-3
m3
Para la escritura de los nombres y símbolos de las unidades se han establecido normas concretas,
tales como:
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Los símbolos deben escribirse con letras romanas rectas y nunca deben pluralizarse. Ej: kg y no
kgs; m y no mts; h y no hs.
No deben colocarse los símbolos con punto final salvo cuando finaliza la oración. Ej: kg y no kg.;
m y no m.; h y no h.; etc.
Los símbolos de las unidades se deben escribir con letras minúsculas, excepto cuando el nombre
de la unidad deriva de un nombre propio. Ej: m; kg; A; J.
Aunque la unidad de volumen es el metro cúbico, se admite el uso del litro, pudiendo utilizarse
como símbolo la “ele” minúscula o mayúscula, según se prefiera.
En temperatura puede usarse la unidad derivada del grado Celsius, aclarando que no es
centígrado y que su símbolo es °C. Ej: 37 °C y no 37° C (los símbolos ° y C son inseparables).
Cuando se escribe el nombre de la unidad siempre debe hacerse con minúscula. Ej: metro;
segundo; pascal.
No se deben castellanizar los nombres de las unidades. Ej: joule y no julio; volt y no voltio.
Cuando se multiplican dos unidades se coloca un punto entre ellas. Ej: N.m; N.s .
En el caso de una multiplicación conviene eliminar la palabra “por”. Ej: newton segundo y no
newton por segundo. En cambio, cuando se trata de un cociente sí se utiliza la palabra “por”. Ej:
m/s= metro por segundo; kg/m3 = kilogramo por metro cúbico.
Cuando se trata de una unidad formada a partir de otras dos pos división, puede utilizarse una
barra, una línea horizontal o potencia negativa. Ej: m/s,
ó m.s-1.
Múltiplos y submúltiplos de la unidades
Cuando el valor de una cantidad es un número muy grande, o por el contrario, muy pequeño, se
suelen emplear los múltiplos y submúltiplos de la unidad.
Por ejemplo: Unidad de longitud: el metro
Múltiplos Submúltiplos
Nombre Símbolo Longitud (m) Nombre Símbolo Longitud (m)
Decámetro dam 10 (1x101) Decímetro dm 0,1 (1x10-1)
Hectómetro hm 100 (1x102) Centímetro cm 0,01 (1x10-2)
Kilómetro km 1.000 (1x103) Milímetro mm 0,001 (1x10-3)
Megámetro Mm 1.000.000 (1x106) Micrómetro µm 0,000 001 (1x10-6)
Nanómetro nm 0,000 000 001 (1x10-9)
Si observamos con atención vemos que los nombres de cada múltiplo y submúltiplo se forman
colocándole un determinado prefijo a la unidad metro. Precisamente, el Sistema Internacional de
unidades, establece cuáles son los prefijos que pueden usarse para las distintas unidades:
Prefijos para obtener múltiplos Prefijos para obtener submúltiplos
Nombre Símbolo Factor Nombre Símbolo Factor
exa E 1018 deci d 10-1
peta P 1015 centi c 10-2
tera T 1012 mili m 10-3
giga G 109 micro µ 10-6
mega M 106 nano n 10-9
kilo k 103 pico p 10-12
hecto h 102 femto f 10-15
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deca da 101 atto a 10-18
También se indica que se debe aplicar un solo prefijo por cada unidad. Ej: 0,000 000 001 es igual a 1
nm (nanómetro) y no 1mµm (milimicrómetro)
Análisis Dimensional.
Toda magnitud derivada se puede expresar por medio de un producto, ECUACIÓN DE DIMENSIONES,
de las unidades simples y expresan la manera de intervenir en su formación.
Consistencia y conversiones de unidades
Usamos ecuaciones para expresar las relaciones entre cantidades físicas representadas por símbolos
algebraicos. Cada símbolo denota siempre un número y una unidad. Por ejemplo, d podría
representar una distancia de 10 m, t un tiempo de 5 s y v una rapidez de 2 m/s.
Toda ecuación debe ser dimensionalmente consistente. No podemos sumar manzanas y
automóviles; s´lo podemos sumar o igualar dos términos si tienen las mismas unidades. Por ejemplo,
si un cuerpo que viaja con rapidez constante v recorre una distancia d en un tiempo t, estas
cantidades están relacionadas por la ecuación:
si d se mide en metros, el producto v t también debe expresarse en metros. Con los números
anteriores, escribimos:
(
)
como la unidad 1/s del miembro derecho de la ecuación cancela a s, el producto v t esta en metros,
como debe ser. En los cálculos, las unidades se tratan igual que los símbolos algebraicos en cuanto a
la multiplicación y la división.
Cuando un problema requiere de cálculos con números y unidades, siempre escriba los números con
las unidades correctas en todo el cálculo. Esto es muy útil, pues ayuda a verificar los cálculos. Si en
algún momento una ecuación o expresión tiene unidades inconsistentes , es que hay un error.
Una estrategia en la resolución de problemas es identificar los conceptos pertinentes. La conversión
de unidades es importante, pero también lo es saber cuándo se requiere. En general, lo mejor es usar
las unidades SI fundamentales (longitudes en metros, masas en kilogramos y tiempo en segundos)
dentro de un problema. Si la respuesta en otras unidades (kilometros, gramos u horas, por ejemplo),
espere hasta el final para efectuar la conversión.
Incertidumbre y cifras significativas.
Las mediciones siempre tienen incertidumbre. Si medimos el espesor de la portada de un libro con
una regla común, la medición sólo será confiable al milímetro más cercano, y el resultado será 3 mm,
por ejemplo. Sería erróneo dar este resultado como 3,00 mm; dadas las limitaciones del instrumento
de medición, no puede saberse si el espesor real es de 3,00 mm, 2,85 mm ó 3,11 mm. Pero si se usa
un micrómetro, que mide distancias de forma confiable al 0,01 mm más cercano, el resultado será de
2,91 mm. La distinción entre dos mediciones radica en su incertidumbre. La medida con micrómetro
tiene menor incertidumbre; es más exacta. La incertidumbre también se llama error, porque indica la
máxima diferencia probable entre el valor medido y el valor real. La incertidumbre o error de un
valor medido depende de la técnica empleada.
A menudo indicamos la exactitud de un valor medido – es decir qué tanto creemos que se acerca al
valor real- escribiendo el número, el símbolo y un segundo número que indica la incertidumbre. Si
el diámetro de una varilla se da como 56,47 0,02 mm, esto implica que es poco probable que el
valor real sea menor que 56,45 o mayor que 56,59 mm.
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También podemos expresar la exactitud en términos de error porcentual o porcentaje de error
máximo probable (también llamado incertidumbre fraccionaria o porcentaje de incertidumbre) Un
resistor rotulado como “47 ohms 10%” probablemente tiene una resistencia real que difiere de 47
ohms en menos del 10% de 47 ohms, o sea unos 5 ohms. En el caso del diámetro de la varilla antes
citada, el error fraccionario es de (0,02mm)/(56,47 mm), que es aproximadamente 0,0004; el
porcentaje de error es de (0,0004) (100%) ó 0,04%. Incluso porcentajes de error muy pequeños
pueden ser muy significativos.
En muchos casos, no se da explícitamente la incertidumbre de un número, sino que se indica con el
número de dígitos informativos, o cifras significativas, en el valor medido. Indicamos el espesor de la
portada de un libro como 2,91 mm, que tiene tres cifras significativas. Con estos queremos decir que,
hasta donde sabemos, los dos primeros dígitos son correctos, pero el tercero es incierto. El último
digito esta en la posición de las centésimas, así que la incertidumbre es de 0,01 mm. Dos valores con
el mismo número de cifras significativas pueden tener diferente incertidumbre; una distancia dad
como 137 km también tiene tres cifras significativas, pero la incertidumbre en de 1 km.
Si usamos números con incertidumbre para calcular otros números, el resultado también es incierto.
Es muy importante entender esto al comparar un número que se obtuvo de mediciones con un valor
que se obtuvo de una predicción teórica. Suponga que quiere verificar el valor de π, la razón entre la
longitud de la circunferencia y correspondiente diámetro. El valor verdadero hasta 10 dígitos es
3,141592654. Para calcularlo, dibuje un círculo grande, mida el diámetro y la circunferencia. Suponga
que obtiene los valores 135 mm y 424 m; los cuales al dividirlos se obtiene 3,1407740741 ¿concuerda
esto con el valor real?
En primer lugar, los últimos 7 dígitos de la respuesta no significan nada; implican una incertidumbre
menor que la de las mediciones. Cuando se multiplica o dividen número, el resultado no puede tener
más cifras significativas que el factor con menos cifras significativas. Por ejemplo, 3,1416 x 2,34 x
0,58= 4,3.
Las dos mediciones que usted efectuó tienen tres cifras significativas, así que el valor medido de π,
igual a (424 mm)/(135 mm), sólo puede tener 3 cifras significativas, y debe darse simplemente como
3,14: Dentro del límite de 3 cifras significativas, este valor coincide con el verdadero.
Al sumar o restar números, lo que importa es la posición del punto decimal, no el número de cifras
significativas. Por ejemplo, 123,6 + 8,9. Aunque 123,62 tiene una incertidumbre de 0,01, la de 8,9 es
de 0,1, así que la suma debe tener esta misma incertidumbre y escribirse como 132,5 y no 132,52.
En el mundo real muchos números tienen una exactitud aun menor: un velocímetro de un automóvil
sólo suele indicar dos cifras significativas. Podemos hacer cuentas con la calculadora que exhibe 10
dígitos, pero dar una respuesta de 10 dígitos no sólo es innecesario, es erróneo, porque falsea la
exactitud del resultado. Cabe señalar que al reducir una respuesta al número apropiado de cifras
significativas, debemos redondear, no truncar: la calculadora indica que 525 m/311 m es
1,688102894, con tres cifras significativas esto es 1,69, no 1,68.
Al calcular con números muy grandes o muy pequeños, es mucho más fácil indicar las cifras
significativas usando notación científica, también llamada notación de potencias de 10. La distancia
de la Tierra a la Luna es de cerca de 384.000.000 m, pero esta forma del número no da idea de
cuantas cifras significativas tiene. En vez de ello, movemos la coma decimal ocho lugares a la
izquierda ( que equivale a dividir entre 108) y multiplicamos por 108. Es decir:
En esta forma, es obvio que tenemos tres cifras significativas. El número 4,00x10-7 también tiene tres
cifras significativas, aunque dos de ellas sean cero. En notación científica acostumbra a expresar la
cantidad como un número entre 1 y 10 multiplicado por la potencia de 10 apropiada.
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Cuando aparece un número entero o una fracción en una ecuación general, tratamos ese número
como si no tuviera incertidumbre. Por ejemplo, en la ecuación
, el
coeficiente 2 es exactamente 2; podemos pensar que tiene un número infinito de cifras significativas
(2,0000000…). Lo mismo ocurre con los exponentes 2.
Por último, cabe señalar que precisión no es lo mismo que exactitud. Un reloj digital que nos informa
la hora 10:35:17 AM, es muy preciso (la hora se da con segundos), pero si el reloj está atrasado varios
minutos no será muy exacto. Por otro lado, un reloj de pared con agujas puede ser muy exacto (da la
hora correcta) pero si no tiene segundero, no será muy preciso. Una medición de alta calidad, como
las que definen estándares, es precisa y exacta.
Cifras Significativas.
A través del proceso de medición obtenemos el valor numérico de una magnitud expresado en cierta
unidad, es decir la cantidad. Pero existe evidentemente un límite para el número de cifras con que
realmente conocemos una magnitud. Es claro que si determinamos por ejemplo una longitud con
una regla graduada en milímetros y aún suponiendo que no existe ninguna causa de error en la
lectura, podremos determinar la longitud hasta los milímetros, quizás aproximar las décimas de
milímetros pero con seguridad no sabremos nada, sobre los centésimos, milésimos, etc. De hecho,
solo expresamos en nuestros resultados las cifras que medimos. Llamamos a estas cifras, que son
resultados de una medición, Cifras Significativas. Dicho de otro modo, del proceso de medición se
obtiene un número con una cierta cantidad de dígitos que corresponden a los sucesivos órdenes de
magnitud1 medidos, a los cuales llamaremos cifras significativas, es decir cifras que provienen
realmente de una medición.
Toda medición va afectada de un cierto error. Supongamos que un estudiante al medir la longitud de
una varilla, encontró los siguientes valores 18,5 cm; 18, 8 cm y 18,2 cm. Otros estudiantes midieron
respectivamente 18,9 cm y 18 cm. Nótese que todos ellos coinciden en las dos primeras cifras, pero
la tercera es una cifra dudosa.
Los dígitos que se conocen exactamente y la primera cifra dudosa son, en este ejemplo, las cifras
significativas.
Al informar sobre la longitud de la varilla de acero, el mejor valor que se podría dar sería el promedio
o media aritmética de las mediciones.
Apliquemos la fórmula para calcular el promedio:
cm 18,5m48,185
cm 92,4
5
)cm0,188,182,188,18(18,5x_
c
El resultado del cálculo tiene cuatro cifras, pero solo tres son significativas. ¿Tiene algún sentido
informar sobre cuatro cifras cuando solo estamos seguros de las dos primeras? NO, por lo tanto la
respuesta debe ser “La longitud de la varilla de acero es de, aproximadamente, 18,5 cm”.
Cómo limitamos el número de cifras significativas en el resultado de una medición?
Como la primera cifra suprimida es 8, convenimos en incrementar en una unidad la última cifra
conservada.
En general:
1 Entendemos por orden de magnitud, al orden de la potencia de 10 más próxima al valor de la magnitud, así
375 m es del orden de 102 m, 850 es del orden de 103 m.
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a) Si la primera cifra significativa eliminada es inferior a 5, la última cifra conservada queda
invariable.
b) Si la primera cifra significativa eliminada es superior a 5, se incrementa en 1 la última cifra
conservada.
c) Si la primera cifra significativa eliminada es 5, la última cifra conservada aumenta en 1 si ella es
impar; mientras que si es par conserva su valor.
Cuando usamos datos en los cálculos no debemos introducir en el resultado más dígitos de los que
permitan los datos originales.
Otro error frecuente consiste en la alteración del número de cifras significativas cuando se efectúa
una transformación de unidades. Es obvio que la información sobre la medida de una magnitud dada
no puede modificarse por el solo hecho de cambiar la unidad en que se mide. Por ejemplo:
cmm 37505,37 .
El segundo término indica que al medir el orden de magnitud de los centímetros obtuve como
resultado cero, en tanto que 37,5 m índica que no se midió el orden de los centímetros.
Otra fuente de confusiones que surge a raíz de las unidades usadas se presenta con los ceros a la
derecha. En efecto: m 0,0035y 5,3 mm tienen el mismo número de cifras significativas.
Para evitar estos problemas es conveniente usar la notación científica, haciendo las transformaciones
en términos de potencias de 10: Kmxcmxm 32 105,37105,375,37
“El número de cifras significativas no siempre es evidente. Ellas dependen del error de medición”
Estimaciones y órdenes de magnitud.
Si bien es muy importante conocer la exactitud de los números que representan cantidades físicas, es
también útil hacer una estimación burda de una cantidad para obtener alguna información. A veces
sabemos cómo calcular cierta cantidad pero debemos estimar los datos necesarios para ese cálculo.
O bien, el cálculo podría ser demasiado complicado para efectuarse con exactitud, así que lo
aproximamos. En ambos casos el resultado es una estimación, pero puede servirnos incluso si tiene
un factor de incertidumbre de 2, 10 0 más. Tales cálculos se denominan estimaciones de orden de
magnitud.
Las mediciones en Física
Definiciones Operacionales.
En toda medición y a los fines de analizar el proceso de medición se pueden diferenciar los siguientes
elementos:
a) lo que va a medirse.; b) la unidad.; c) el instrumento con el que se mide.; d) la “receta” que indica
como se mide.
En un ejemplo veamos cada uno de ellos: “se mide la longitud de un lápiz con una regla”.
a) la longitud de un lápiz. b) el centímetro. c) regla.
d) se compara la longitud de una regla con la del centímetro que se tomo de unidad (calibración) y
luego se compara la longitud de la regla con la longitud del lápiz. El resultado de estas dos
comparaciones dará el número de veces que la longitud unidad está contenida en la longitud que se
mide.
Cada proceso de medición define lo que se llama una magnitud física.
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Una magnitud queda unívocamente determinada por el proceso de medición correspondiente, pero
hay más de un proceso posible para medir una magnitud. Los resultados serán equivalentes:
En síntesis el proceso de medición define dos conceptos:
1- la magnitud física que se mide.
2- el valor de dicha magnitud expresado en cierta unidad: la cantidad.
No preocupa a los físicos lo que una magnitud es realmente sino sólo cómo se mide (esto es lo que
llamamos una definición operacional), “Una definición útil debe enseñarnos cómo medir una fuerza;
esto nos basta, no es absolutamente necesario que nos diga lo que la fuerza es en sí, ni si es una
causa o un efecto del movimiento” (Poincare).
Unidad de Medida.
Si bien, a los fines de cada proceso particular, la elección de la unidad es completamente arbitraria,
puesto que los resultados de la Ciencia deben ser comunicados y controlados por grupos numerosos
se hace necesario convenir unidades más o menos universales. Es decir, una unidad es arbitraria y
convencional.
La unidad elegida convencionalmente se llama “patrón” y se selecciona de acuerdo a los siguientes
criterios:
a) debe ser reproducible, es decir debe fijarse de acuerdo a fenómenos u operaciones que
pueden repetirse en las mismas condiciones.
b) debe ser objetiva, es decir exterior al sujeto que efectúa la determinación.
c) debe poder establecerse con el máximo posible de exactitud.
d) debe ser accesible a fin de que pueda reproducirse y hacer calibraciones de los
instrumentos que se usarán para medir.
Errores Experimentales.
Definiremos como error de medición de una magnitud cuyo valor verdadero (si existe) es X y cuyo
valor medido es xi , a la diferencia iixX x
En general el valor verdadero X no es conocido y lo reemplazamos por el mejor valor o valor más
probable x , el cual es un promedio de las mediciones realizadas.
Evidentemente existe un límite para el número de cifras significativas con que se expresa una
medición. En efecto, todo proceso de medición es una interacción entre el objeto que se mide y el
instrumento con que se mide. Esta interacción es a veces evidente, como en el caso de la medición
del espesor de un cuerpo deformable usando un calibre, pero a veces parecería que no existe como
por ejemplo en el caso en que medimos una longitud usando un microscopio. Sin embargo, aun aquí
la interacción existe ya que para que el objeto que se mide sea visible, debe estar iluminado y por lo
tanto el rayo luminoso está actuando sobre él. Si el objeto que se observa es suficientemente
pequeño la interacción podrá ser considerable.
A causa de esta interacción tenemos en toda medición tres tipos de limitaciones:
- La que proviene del objeto que se mide: La magnitud en cuestión no esta siempre definida hasta
ordenes de magnitud tan pequeños como se quiera, por ejemplo no tiene sentido tratar de medir la
longitud de una mesa de madera consignando las 1/1000 de mm porque las rugosidades y asperezas
que presentan los bordes son mayores que ese orden decimal. La longitud de onda de un rayo
luminoso, en cambio, tiene buena definición hasta órdenes de magnitud tan pequeños como 10-10
cm.
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- La que proviene del instrumento o más generalmente del método con que se efectúa las
mediciones.
- La que proviene del error de interacción, que en muchos casos no puede despreciarse.
Clasificación de Errores.
En cada medición es muy importante poder estimar el error cometido. Para ello es necesario
clasificar los errores en las siguientes categorías: errores sistemáticos, errores de apreciación y
errores accidentales.
Errores Sistemáticos: son producidos por defectos del instrumento, del método o fallas del
observador. Se caracterizan porque son errores regulares, que se producen siempre en el mismo
sentido, con el mismo signo y en general con el mismo valor.
Son, por esta causa, muy difíciles de detectar pues, aún cuando repitamos las mediciones, todos los
valores vendrán afectados por la misma diferencia y no habrá divergencia entre ellos por esta causa.
A ellos no se le aplica la teoría de errores que se desarrollará más adelante.
La única forma de detectarlos y corregirlos es hacer en cada caso un análisis muy cuidadoso de todas
las posibles causas que puedan generarlos o bien controlar los resultados de las mediciones usando
métodos diferentes.
“Los errores sistemáticos de una medición pueden ser eliminados; previo estudio de los mismos.”
Un ejemplo muy frecuente de error sistemático debido al observador y que es imposible de corregir,
es el que se comete cuando se mide un tiempo con un cronómetro. En efecto, desde que el cerebro
da la orden de apretar el cronómetro hasta el instante en que los músculos lo ejecutan transcurre un
cierto lapso de 0,2 segundos que se conoce como tiempo de reacción.
Error de Apreciación: depende del instrumento de medida. Apreciación es la menor división que
puede leer el observador con dicho instrumento. Por ejemplo si leemos con una regla milimetrada, la
apreciación es del orden del milímetro y el error de apreciación puede ser de ese orden, pero un
observador más experimentado puede apreciar “entre líneas” fracciones de milímetro y disminuir el
error. En general se toma:
Errores accidentales: dependen exclusivamente de las fluctuaciones inevitables e imprevisibles de
los parámetros físicos que determinan la cantidad que se mide. Son producidos por causas fortuitas,
varían al azar y por ello pueden producirse tanto en un sentido como en el otro y no siempre con el
mismo valor absoluto. Se producen, por ejemplo, por fluctuaciones de la temperatura, por diferencia
de atención del observador, por falta de coincidencias entre los índices y las escalas, etc.
Gracias a que se pueden suponer distribuidos al azar, aceptan un tratamiento estadístico y pueden
corregirse repitiendo las mediciones.
“Los errores accidentales no pueden ser eliminados. Por obedecer a leyes de carácter estadístico, se
les aplica la Teoría errores”.
Error de una magnitud que se mide una sola vez:
El error o cota para una magnitud medida una sola vez, vendrá dada por el error de apreciación del
instrumento utilizado, el error de definición del objeto ó el error que proviene de la interacción entre
el objeto y el sistema medidor, tomándose siempre el de mayor valor absoluto. Si el más significativo
es el error de apreciación, el resultado de la medición debe expresarse como:
Apixx
donde xi es el valor de la medida y Ap es el error de apreciación.
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Error Absoluto y Relativo:
Se define como error absoluto de una cierta medida xi de una magnitud cuyo valor verdadero es x a
la diferencia x = x - xi
Si se mide una distancia con un determinado error absoluto, nada se puede afirmar respecto a la
precisión de la medición mientras no se conozca por lo menos de que orden es la medida xi de la
longitud medida o sea el error por unidad de longitud. Se define por ello el error relativo como el
cociente entre el error absoluto y la magnitud medida. Cuanto menor sea el error relativo, mayor es
la precisión de la medición. El error relativo se expresa como:
i
rx
x
donde r es el error relativo de la medición xi y Δx es el error absoluto relativo de la medición.
“Los errores absolutos conservan la dimensión de los valores medidos”.
“El error relativo es una cantidad adimensional”.
Por ejemplo, si se mide la longitud de un péndulo con una regla graduada en milímetros y se emplea
este mismo instrumento para medir el diámetro de un lápiz, en ambos casos el error absoluto será
del mismo orden, es decir del orden de apreciación del instrumento. Si los valores obtenidos son 98,9
cm y 0,8 cm, respectivamente, el error de apreciación es de 1mm y es el mismo para ambas medidas.
Sin embargo, aparece en forma evidente que la calidad en ambas mediciones no es la misma: la
medición de la longitud del péndulo parece mucho mejor que la del diámetro de la tiza. Ello es
debido a que el error por unidad de longitud es mucho menor en el primer caso. Para visualizarlo
mejor, calculemos el error relativo en cada caso:
Para la longitud del péndulo: 0,0011000mm
1mm
98,9cm
1mm1r
Para el diámetro de la moneda: 1,0 10
1
8mm
1mm2r
mm
mm
Vemos que r2 es 100 veces mayor que r1.
Es costumbre expresar el error porcentual, que resulta más cómodo y más expresivo. Éste se calcula
multiplicando el error relativo por cien.
Precisión y Exactitud.
Se simplifica el estudio de las posibles causas de incertezas si se considera que:
a) Una parte de la incerteza proviene directamente del hecho de que al repetir la misma medición
con idéntico instrumento puede no registrarse exactamente la misma lectura. A este hecho se
refiere el concepto de precisión (o si se prefiere de falta de precisión).
b) Aunque el instrumento repita bien su lectura, puede indicar un valor que esté alejado del
“correcto” ( o sea, del valor que indicaría un instrumento mejor). Esto se describe como falta de
exactitud.
Es decir:
Precisión: ¿Cuándo una medición es precisa?
Generalmente se piensa que si la incerteza x es pequeña, la medición correspondiente es precisa,
pero esta afirmación puede no ser verdadera. Si se mide una distancia con una incerteza igual a 0,1
- 22 -
mm, nada podemos afirmar respecto a la precisión de la medición mientras no conozcamos por lo
menos de que orden es la medida l de la longitud medida.
Si por ejemplo es l= 100.000 mm 0,1 mm la precisión es muy buena pues l es muy pequeña con
respecto a l, ya que 610 000.100
1,01
mm
mm
l
lEr
En cambio si l= 0,2 mm 0,1 mm, con la misma incerteza, la precisión es muy pobre pues el intervalo
de incerteza es del mismo orden que la medida obtenida y
5,02,0
1,02
mm
mm
l
lEr
De modo que para conocer la precisión de una medición es necesario determinar la incerteza o error
relativo.
La incerteza o error relativo porcentual, indica la incerteza por cada 100 unidades medidas. Así
Er1%=10-4 y Er2%= 50.
El error relativo en el segundo caso (50 %) es muy grande y admite que cada 100 unidades existe la
posibilidad de cometer una incerteza de hasta 50 unidades. Por lo tanto:
“Cuando menor es la incerteza relativa, mayor es la Precisión de la medición”.
Exactitud: El concepto de exactitud del resultado de una medición presupone que al objeto medido
se le puede atribuir un valor “verdadero” (o “exacto”).
Supongamos dos mediciones de un mismo objeto (a cuyo hipotético valor verdadero llamaremos A),
que arrojarán dos resultados , respectivamente.
Decimos que el primer resultado es más exacto que el segundo si esta más próximo al valor
verdadero.
Perímetros, Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos regulares.
hexaedroo cubo
área Volúmen
6 x arista al cuadrado arista al cubo
cono
Area lateral= rgg h
r
r2h
3
cilindro recto
Area total= r (g + r)
Area lateral= 2rg
Area total= r [g + r]
r2
hg h
r
Esfera
4r2 4r3
3
Perímetro
Triángulo
área
suma de 3 lados base x altura
Triángulo
equilátero
lado x 3
h
b2
lado x altura2
cuadrado
suma de sus cuatro lados
lado al cuadradol
hl
rectángulo
suma de sus cuatro lados base x altura
circulo
2r r2
A1 y A2
- 23 -
Guía de Ejercitación N° 1.
Actividades de Comprensión.
Lea atentamente el material de lectura y responda las siguientes preguntas.
1. ¿Qué estudia la física?
2. ¿En qué consiste el método científico o experimental? ¿Cuáles son sus etapas?
3. ¿Cuál es el rol en la Ciencia de los datos obtenidos experimentalmente?
4. ¿De qué manera se divide la física? ¿Qué utilidad tiene hacer divisiones en las ramas de la Física?
5. Dé una definición de: Principio, Ley, Teoría y Teorema.
6. Para una dada magnitud, dé ejemplos de diferentes cantidades.
7. ¿Qué es una unidad de medida?
8. ¿Cuáles son las condiciones que debe reunir una unidad de medida?
9. Mencione algunos organismos internacionales que legislan sobre unidades de medida.
10. Defina magnitudes fundamentales y magnitudes derivadas y dé ejemplos de cada uno de ellos.
12. ¿Qué es un sistema de unidades? Ejemplifique.
13. ¿Qué es el SIMELA? Explique.
14. ¿Qué entiende por incertidumbre?
15. Defina cifras significativas. Dé ejemplos.
16. ¿Qué es el orden de magnitud de una cantidad?
17. ¿Cuáles son los elementos del proceso de medición?
18. ¿Qué es una definición operacional de una magnitud?
19. ¿Qué es un error experimental? Clasifíquelos y defina cada uno de ellos.
20. Defina error absoluto, error relativo y error porcentual.
21. Explique cuando una medida es más precisa y cuándo es más exacta.
Actividades de Aplicación.
1) Escríbalos en forma ordenada siguientes pasos del método científico: observación, análisis de los
datos, conclusiones, problema, hipótesis, experimentación, predicción.
2) Marque la respuesta correcta.
- Frente al planteo de un problema, la hipótesis resulta ser una:
a) sugerencia b) respuesta c) propuesta d) pregunta
- Las predicciones se establecen a partir de la:
a) observación b) conclusión c) experimentación d) hipótesis
- El análisis de los datos es un proceso:
a) innecesario b) prescindible c) fundamental d) intrascendente
- Las conclusiones que se obtienen de un experimento son:
a) conocimientos b) predicciones c) observaciones d) hipótesis
- El método científico es:
a) objetivo b) transmisible c) sistemático d) todas las anteriores
3) Suponga que dos cantidades A y B tienen diferentes dimensiones. Determine cuál de las siguientes
operaciones aritméticas podría tener sentido físico:
a) A + B b) A/B c) B – A d) AxB
4) ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas no es una de las unidades fundamentales del SI
a) longitud b) masa c) fuerza d) tiempo e) todas son magnitudes fundamentales
5) Al hacer un cálculo el resultado final tiene m/s en el numerador y m/s2, en el denominador.
¿Cuáles son las unidades finales?
a) m2/s2 b) 1/s c) s3/m2 d) s e) m/s
6) Exprese en notación científica.
- 24 -
a) 2000000 cm b) 0,000007 Km c) 234, 09 seg d) 0,011 dm
7) Exprese en forma decimal.
a) 9x10-3 mm b) 2,036 x104 Km c) 16,309 x102 seg d) 128x10-6 mm
8) Escribir las siguientes expresiones utilizando los prefijos dados y las abreviaturas
correspondientes: por ejemplo, 10 000 metros = 10 km.
a) 1 000 000 watt b) 0,002 gramos c) 3x10-6 m d) 30 000 segundos
e) 298 000 metros f) 7600 Volts g) 0,000067 amperes h) 0,045 newton
i) 43 000 000 gramos j) 0,00000065 farad k) 0,000055 coulomb l) 54 000 metros cuadrados
9) El National Institute of Science and Technology (NIST) de EE.UU. mantiene varias copias exactas
del kilogramo estándar internacional. Pese a una cuidadosa limpieza, estos estándares nacionales
aumentan de peso a razón de 1 µg/año, en promedio, en comparación con el estándar internacional (
se comparan cada 10 años aproximadamente). ¿Es importante este cambio aparente? Explique.
10) Escribir las siguientes expresiones sin utilizar prefijos.
a) 40 b) 4 ns c) 3 MW d) 25 km
e) 0,5 mm f) 24 kJ g) 0,08 hPa h) 2 cm
11) Exprese las siguientes cantidades utilizando los prefijos dados.
a) 3x10-4 m; b) 5x10-5 s; c) 72x102 g, d) 5x10-8 m; e) 5x107 s; f) 3x10-4 m
12) Calcule su edad en segundos.
13) La velocidad del sonido en el aire es 340 m/s; ¿cuál será la velocidad de un avión supersónico que
se mueve con una velocidad doble a la del sonido? Exprese su respuesta en km/h y en millas/hora.
14) un jugador de basquetbol tiene una altura de 6 pies y 10,5 pulgadas ¿cuál es su altura en cm?
15) Un cilindro circular recto tiene un diámetro de 6,8 pulgadas y una altura de 2 pies. ¿Cuál es el
volumen del cilindro en: a) pies cúbicos, b) metros cúbicos, y c) litros?
16) Un piso rectangular tiene una longitud de 15,7 m y un ancho de 440 cm.
a) utilice esta medidas para calcular el área del piso.
b) determine el número de cerámicos para piso de 30x30 cm, que se debe comprar para cubrirlo
totalmente.
c) si cada caja de cerámico contiene 1,57 m2, ¿cuántas cajas debe comprar?
17) Una habitación mide 4 m x 4 m y la altura del techo es de 25dm.
a) ¿Es posible tapizar por completo las paredes de esta habitación utilizando una resma de papel A4?
b) ¿Cuántas hojas le faltan o le sobran?
18) El radio promedio de la Tierra es 6,37x106 m y el de la Luna es de 1,74x108 cm. Con estos datos
calcule:
a) la proporción entre el área superficial de la Tierra y la de la Luna.
b) La proporción de volúmenes entre la Tierra y la Luna.
19) Un millonario ofrece 1000 millones de dólares en billetes de un dólar con la condición de
contarlos uno por uno. ¿Aceptaría su oferta? Suponga que cuenta un billete cada segundo, y
considere que necesita aproximadamente 8 horas diarias para dormir y comer, y que en la actualidad
probablemente tiene usted 18 años.
20) Una llave gotea agua a un recipiente a razón de 2 gotas cada 3 segundos. Un centímetro cúbico
contiene 20 gotas. ¿Cuál será el volumen de agua recogida, en decímetros cúbicos, al cabo de una
hora?
21) El record oficial de rapidez terrestre es de 1228,0 km/h, establecido por Andy Green el 15 de
octubre de 1997 en el auto de reacción Thrust SSC. Exprese esta rapidez en m/s; cm/s; km/min
22) Calcule su edad en segundos, en minutos y en horas.
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23) El diamante tallado más grande del mundo es la Primera Estrella de África (montada en el cetro
real británico y guardado en la Torre de Londres). Su volumen es de 1,84 pulgadas cúbicas. Exprese
su volumen en centímetros cúbicos y en metros cúbicos.
24) La densidad de un material es igual al cociente entre su masa dividida y su volumen. ¿Qué
densidad tiene una roca de masa 1,80 kg y volumen 6,0x10-4 m3? Compruebe que la respuesta tenga
el número correcto de cifras significativas.
25) La energía en reposo E de un objeto con masa en reposo m está dada por la ecuación de Einstein
, donde c es la rapidez de la luz en el vacio cuyo valor exacto es 299.792.458 m/s=
2,99792459x108 m/s. Calcule E para un objeto con m=9,11x10-31 kg (la masa del electrón, con tres
cifras significativas). La unidad SI para E es el Joule (J); 1 J= 1 kg m2/s2.
26) Suponga que esta escribiendo una novela en la que el héroe huye a otro país con mil millones de
dólares en oro en una maleta. ¿Es posible esto? ¿Cabría tanto oro en una maleta? ¿Sería demasiado
pesado? Realice estimaciones de órdenes de magnitud. (Densidad del oro 19,3x103 kg/m3)
27) Considere un cubo de aluminio de 250 mm de arista.
a) Determine el área del cubo. Exprese el resultado en mm2, cm2 y m2.
b) Calcule en volumen del cubo. Exprese el resultado en mm3, cm3 y m3.
28) Considere un tanque cilíndrico que tiene 5 m de altura y 135 mm de radio. Determine cuantos
litros de agua pueden colocarse en él.
29) Una esfera maciza de 0,15 dam de radio debe cubrirse con un trozo de tela. Determine la
cantidad de tela necesaria para ello.
30) según la etiqueta de un frasco de mermelada, el volumen contenido es de 0,473 litros (L). Use
sólo las conversiones 1L = 1000 cm3 y 1 pulg = 2,53 cm para expresar dicho volumen el pulgadas
cúbicas.
31) ¿cuántos nanosegundos tarda la luz en viajar 1,00 km en el vacio? (c=3000000km/s)
32) La densidad del plomo es 11,3 g/cm3 ¿cuánto es esto en kilogramos por metro cúbico?
33) El motor más potente que había para el automóvil clásico Crevrolet Corvete Sting Ray modelo
1963 desarrollaba 360 caballos de fuerza y tenía un desplazamiento de 327 pulgadas cúbicas.
Exprese este desplazamiento en litros (L) (utilce las conversiones 1 L= 1000 cm3 y 1 pulg = 2,54 cm)
34) Resolver según se indica
a) 9603 m = ____ km ____ m, b) 661 cm = ____ m ____ cm, c) 529 cm = ____ m ____ cm
d) 9 km 448 m = ______ m, e) 0 km 911 m = ______ m, f) 10 cm 9 mm = ______ mm,
g) 6 m 45 cm = ______ cm, h) 2856 m = ____ km ____ m, i) 32 cm 8 mm = ______ mm,
j) 7 km 232 m = ______ m, k) 2630 m = ____ km ____ m, l) 165 mm = ____ cm ____ mm,
ll) 2 cm 9 mm = ______ mm, m) 687 mm = ____ cm ____ mm, n) 4 km 139 m = ______ m,
o) 22 cm 4 mm = ______ mm, p) 2 m 68 cm = ______ cm, q) 12 cm 8 mm = ______ mm,
r) 497 mm = ____ cm ____ mm, s) 576 cm = ____ m ____ cm, t) 66275 m = ____ km ____ m,
u) 156 cm 0 mm = ______ mm, v) 71779 m = ____ km ____ m, w) 507 cm = ____ m ____ cm
x) 26 cm 1 mm = ______ mm, y) 763 cm = ____ m ____ cm, z) 1722 mm = ____ cm ____ mm,
ab) 114 cm 9 mm = ______ mm, ac) 83 cm 9 mm = ______ mm, ad) 511 cm = ____ m ____ cm,
af) 21 km 314 m = ______ m, ag) 439 mm = ____ cm ____ mm ah) 1266 cm = ____ m ____ cm,
ai) 86 cm 4 mm = ______ mm, aj) 15413 m = ____ km ____ m, ak) 22 m 79 cm = ______ cm,
al) 1739 cm = ____ m ____ cm, am) 86478 m = ____ km ____ m, an) 22 m 68 cm = ______ cm,
ao) 16 m 37 cm = ______ cm, at) 840 mm = _____ cm, au) 399 mm = _____ nm,
av) 9.57 m3 = ______ cm3, aw) 5805 m = _____ km, ax) 18,8 cm2 = ______ mm2,
ay) 196 cm = _____ µm, az) 43 cm3 = ______ km3, ba) 850 cm = _____ m, bb) 931 cm = _____ dam,
bc) 240 mm2 = _____ nm2, bd) 4,06 m2 = ______ cm2, be) 9277 m2 = _____ km2,
- 26 -
bf) 870 hm = _____ cm, bg) 41,6 cm2 = ______ dam2, bh) 86,2 cm = ______ mm, bi) 4,86 m =___cm,
bj) 6857 Mm = _____ km, bk) 68 cm = _____ m, bl) 37.1 cm3 = ______ mm3, bll) 0,52 km2 =____m2,
35) El tiempo transcurrido desde que los primeros animales habitaron el mundo, sobre tierra seca, es
de unos 12.000.000.000.000.000 segundos. Expresar esta cantidad en notación científica, ¿cuál es el
orden de magnitud?
36) La velocidad de propagación de la luz en el vacío es igual para todos los cuerpos y colores: c =
(2,99774 ± 0,00001)x105 km/s. ¿cuál es el orden de magnitud?
37) Un rayo de luz tarda en atravesar el vidrio de una ventana, aproximadamente
1/100.000.000.000 segundos. ¿Qué tiempo tarda en atravesar un vidrio del doble que el anterior?,
comparar los ordenes de magnitud de ambos tiempos, ¿cuántos vidrios como el primero, deberá
atravesar, para que el orden de magnitud cambie?
38) Efectúe las siguientes conversiones: a) 24 mg → kg b) 8,6 cg → g c) 2.600 dm ³ → l
d) 92 cm ³ → m ³ e) 3 kg → g f) 3 kg → ng ; g) 9 cm → m h) 5 h → s i) 0,05 km → cm ..j) 135 s → h
39) ¿Cuántas cifras significativas tiene cada una de las siguientes cantidades?
a) 9 m, b) 90 km, c) 9000,0 cm, d) 0,009 s, e) 0,090 mm, f) 909 h, g) 0,00881 g, h) 0,04900 m,
i) 0,0224 min, j) 74,24 cm2
40) Exprese en forma decimal:
a) 3,59x10 ² m, b) 4,32x10-³ s, c) 3,05x10-5 nm, d) 5,29x105 µm,
e) 6,94x10¹ km, f) 0,05x10 ² cm; g) 1x108 m, h) 3,2x10-³ mm, i) 7,56x104 h, j) 0,00011x105 hm,
k) 3,58.10- ² m, l) 4,33x10³ nm, ll) 3,15x105 ml, m) 5,303x10-5 nm, n) 6,94x10-2 s, o) 0,003x10 ² km,
p) 6,02x1023 cm, q) 4,2x10³ h, r) 7,66x10-4 min, s) 235x10-5 mm2
41) Efectúe las siguientes operaciones:
a) 1,29x105 + 7,56x104; b) 4,59x10-5 - 6,02x10-6; c) 5,4x10 ²x 3,2x10-³
42) Exprese en notación científica:
a) 45,9 m, b) 0,0359 mm, c) 45.967.800,1 d) 0,0005976 mm2,
e) 345.690.000.000 s, f) 0,00011x105 cm, g) 4,59 m, h) 0,0035 mm, i) 45.900.800 h,
j) 0,0000597 cm, k) 345.700.000 h, l) 0,03x105 mm
43) Efectúe las siguientes conversiones:
a) 8 h → s, b) 0,0200 Mm → dm, c) 2.600 dm ³ → l, d) 1 dl → μl, e) 8 nm → mm, f) 5 kg → ng
g) 9 m ³ → l, h) 5 h → s, i) 0,05 km → m, j) 2 h 5 m 15 s → s
44) Considere una esfera hueca que tiene un pequeño orificio de 7 mm en la parte
superior como muestra la figura. Determine la cantidad de agua que cabe en ella.
Considere que el radio interior de la esfera es de 95 cm, el espesor de la misma es de 15 mm.
45) Dada la siguiente expresión: : donde v y v0 son velocidades y se expresan
en m/s; a es la aceleración y se expresa en m/s2; x y x0 son posiciones y se expresa en m.
Despeje cada una de las magnitudes (v0, a, x y x0) que intervienen en la expresión y realice el análisis
dimensional.
46) Dada la siguiente expresión:
: donde y e y0 son posiciones y se expresan
en m; v y v0 son velocidades y se expresan en m/s; g es la aceleración y se expresa en m/s2; t es
tiempo y se expresa en s.
- 27 -
Despeje cada una de las magnitudes (y0 , v0,, t y g) que intervienen en la expresión y realice el análisis
dimensional.
- 28 -
UNIDAD II.
Magnitudes escalares y Magnitudes vectoriales. Sistemas de Referencia Cartesianos
En este parágrafo estudiamos los entes matemáticos denominados vectores, para cuyo manejo
existe un álgebra vectorial. Para entender esta álgebra, conviene abstraerse de todo paralelismo con
respecto a las operaciones que estamos acostumbrados a realizar con números (escalares) y
considerar al vector como una entidad matemática diferente.
La razón fundamental del empleo del cálculo vectorial en el lenguaje físico, es que los fenómenos
físicos generalmente ocurren en el espacio tridimensional y, de no existir este cálculo, tendríamos
que escribir tres ecuaciones (una por cada dimensión) cada vez que manejáramos una magnitud
vectorial; el empleo del cálculo vectorial nos reduce estas tres ecuaciones a una sola, dando a
nuestro lenguaje más fluidez y simplicidad.
Es decir: cada vez que escribamos una ecuación vectorial, tendremos siempre presente que nos
representa tres ecuaciones.
Magnitudes escalares y vectoriales
“Una magnitud física es ESCALAR cuando queda determinada por un número real que expresa su
medida”. Su álgebra operacional es la de los números. Son ejemplo de estas magnitudes: el tiempo,
la masa, la temperatura, la presión, la energía, ...
“Una magnitud es VECTORIAL cuando en su determinación necesitamos, además de su medida
(módulo), una dirección y un sentido”. Son ejemplo de magnitudes vectoriales: el desplazamiento, la
velocidad, la fuerza, aceleración, cantidad de movimiento, momento de una fuerza, entre otras.
Aclaremos el significado de estos dos últimos conceptos: convenimos en que un haz de rectas
paralelas definen una misma dirección, aún podemos sobre una de ellas movernos en dos sentidos
distintos; asociando a ellos un signo, positivo o negativo; decimos entonces que la recta está
orientada, indicando con una flecha el sentido que acordemos sea positivo (los ejes de coordenadas
cartesianas son rectas orientadas).
En resumen: una recta orientada nos define una
dirección y dos sentidos.
Como ejemplo de una magnitud vectorial, supongamos
que un punto se mueve desde la posición O a la
Osiguiendo uno cualquiera de los caminos que
indicamos en la Fig. II.1.
Prescindiendo de la distancia escalar S que nos mide la
distancia de O a por cada trayectoria particular, la
variación de la posición del punto desde O a O´ es una
magnitud vectorial, llamada desplazamiento, que se representa mediante el vector , que no es más
que el segmento OO´ orientado de O hacia O´.
Obsérvese que la distancia recorrida por el punto varía según el camino recorrido, sin embargo, en
todos los casos su desplazamiento es el mismo.
Existe otro tipo de magnitudes para las que el carácter escalar o vectorial es insuficiente, y hay que
definirlas con un mayor número de condiciones (nueve en un espacio tridimensional). A éstas se les
O
O´
Figura II.1 Representación de un Vector
- 29 -
llama “Magnitudes Tensoriales”. Su nombre proviene de su primera aplicación que apareció en el
estudio de las “tensiones” producidas por fuerzas en medios continuos.
Por ejemplo: en un medio elástico e isótropo (sus características no dependen de la dirección), la
relación entre la fuerza aplicada, F, y la deformación producida, x, es lineal, F = Kx donde K es un
escalar; lo que significa que F y x son dos vectores paralelos. Sin embargo si el medio es anisótropo F
y x serán de distinta dirección, y para relacionarlos ya no basta con una K escalar, sino que ahora
debe ser un tensor que cambie el módulo y la dirección de x. El álgebra de los tensores escapa al
alcance de este curso de ingreso.
Representación de un vector
Los vectores se representan gráficamente por segmentos acabados en una punta de flecha. Queda
determinado su módulo por la longitud del segmento, su dirección por la de la recta a que pertenece
y su sentido por la punta de la flecha. Al origen del vector se le llama Punto de Aplicación.
La Unión Internacional de Física Pura y Aplicada (U.I.F.P.A.) emplea como notación para un vector, la
siguiente: representa las magnitudes vectoriales por letras negritas d, y la representación de su
módulo por la correspondiente letra cursiva d o bien por |d|.
Cuando se define un vector por su origen (O) y extremo (O´) se conviene en representarlo así: OO´o
también mediante la diferencia simbólica . Otra opción es representarlos como normalmente
se hace en un manuscrito o en la pizarra del aula, es decir, con la flecha indicativa de vector sobre la
letra que representa a la magnitud vectorial correspondiente.
Clasificación de los vectores. Criterios de igualdad
Los vectores pueden ser:
Libres cuando se pueden trasladar paralelamente a sí mismos a un punto origen arbitrario.
(Ejemplo: el momento de un par de fuerzas).
Deslizantes, cuando se pueden trasladar a lo largo de su dirección, es decir, que además de su
módulo, dirección y sentido, se fija su recta de posición, y se puede tomar cualquier punto de ella
como origen del vector. (Ejemplo: una fuerza);
Ligados, cuando su punto de aplicación, su dirección, y su sentido son fijos e invariables.
(Ejemplo: la intensidad del campo gravitatorio, eléctrico o magnético en un punto del espacio).
Dos vectores son Equipolentes cuando sus direcciones son paralelas y son iguales en módulo y
sentido.
También los vectores pueden clasificarse en Axiales y Polares.
Los vectores Polares tienen sentido propio inherente a su definición. Por ejemplo, la velocidad de un
móvil, la fuerza aplicada a un cuerpo, su
aceleración, etc. Los vectores Axiales (o
pseudovectores), no tienen sentido propio sino
que necesitan de un convenio para precisarlo. Es
el caso de la velocidad angular, del momento de
una fuerza respecto de un punto, de la inducción
magnética, etc. En el caso de la velocidad angular
de rotación el convenio que se establece para la
representación de tal vector es que su longitud
represente el módulo o medida de la magnitud
(en nuestro caso, número de radianes por segundo, por ejemplo) que su dirección sea perpendicular
Figura II.2. Representación de un Vector Axial
- 30 -
al plano en que se verifica el giro (Figura II.2) y cuyo sentido sea el de avance de un tornillo que girase
en el mismo sentido de la rotación considerada.
Teniendo en cuenta la primera clasificación que hemos hecho, establecemos el siguiente Criterio de
Igualdad de vectores:
Dos vectores libres son iguales si tienen los
mismos módulos, dirección y sentido (es decir
cuando son equipolentes, Figura II.3a); para que
sean iguales dos vectores deslizantes han de
pertenecer además a la misma recta soporte
(Figura II.3b); y en el caso de vectores ligados
deben estar también aplicados en el mismo
punto (Figura II.3c), es decir, un vector ligado
sólo puede ser igual a sí mismo.
Coordenadas cartesianas.
Para el estudio de cualquier fenómeno físico
necesitamos un sistema de referencia, la forma más
simple empleada es el de coordenadas cartesianas
ortogonales. Para establecer éste, la idea esencial
inventada por René Descartes (1596-1650), es la
identificación del conjunto de los puntos que componen
una línea recta, que llamaremos X, con la totalidad de
los números reales; definiendo sobre ella un “origen” O
que divide a la recta en dos semirrectas a las que daremos el signo positivo y negativo (Figura II.4).
Si convenimos en llamar “unidad” a la longitud del segmento OA y consideramos al segmento OP,
también sobre la semirrecta positiva, entonces al punto P le asociamos el número real: x = OP/OA;
decimos entonces que “x es la coordenada del punto P”. La coordenada de un punto Q situado en la
semirrecta negativa, le corresponde el número real: x = OQ/OA.
Esta asociación del conjunto de los puntos X con el conjunto de los números reales constituye un
Sistema Coordenado del Espacio Unidimensional formado por los puntos de X.
Observe que a cada punto de la recta X le corresponde uno y sólo uno de los números reales, y
recíprocamente.
Un paso más adelante es establecer una relación
entre los puntos del plano y el conjunto de los
números reales, para lo cual se toman dos rectas X e
Y que se cortan ortogonalmente en un punto O, y
cuyos sentidos positivos indicamos en la Figura II.5.
Un par de tales rectas con unidades de longitud OA y
OB forman los que llamamos Ejes Cartesianos
Ortogonales (si no se cortan ortogonalmente el
sistema se llama Cartesiano Oblicuo).
A cada punto P del plano le asociamos una pareja
ordenada de números reales (x, y); x corresponde al
número real asociado al punto M tal y como dijimos
anteriormente; el punto M se obtiene trazando la
recta paralela al eje Y por P, y es el punto de corte
a) b) c)
Figura II.3 Criterios de igualdad de vectores
- +
X O A P
x
Figura II.4 Correspondencia entre los puntos de una recta y los números reales.
Q
N
M O
B
A X
Y
+
P (x,y)
Figura II.5 Localización de un punto en un sistema cartesiano bidimensional. Convenio de sentido positivo en la rotación.
- 31 -
entre ésta y el eje X. La recta paralela al eje X trazada por P corta en N al eje Y, a N le corresponde el
número real y.
El par ordenado de números (x, y) son las coordenadas de P en el plano y la correspondencia
biunívoca de parejas ordenadas de números con el conjunto de puntos del plano XY es el Sistema
Coordenado Ortogonal Bidimensional constituido por los puntos del plano.
Si consideramos a una partícula moviéndose en el plano XY en trayectoria circular, como se indica en
la Figura II.5, observamos que son dos los posibles sentidos de rotación, convenimos en admitir como
positivo el correspondiente al movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj, de acuerdo con
lo que normalmente se hace en los textos de Física; pero no es necesario que éste sea siempre el
convenio elegido y por ello las definiciones de operaciones vectoriales y las fórmulas para su cálculo
se establecen independientemente del sentido de rotación elegido.
La extensión a la representación de puntos en el espacio tridimensional es inmediata: escogemos
primero un origen O, por él pasamos tres
planos perpendiculares entre sí, las rectas de
intersección de estos planos son también
ortogonales entre sí y se les llama Ejes de
Coordenadas X, Y, Z. Para asociar al punto P
tres números hacemos pasar por P tres
planos ortogonales entre sí que sean a su vez
normales a los planos de referencia,
interceptarán a los ejes X, Y, Z en los puntos
M, N y R a los que corresponden tres
números reales x, y, z.
La terna ordenada de números (x, y, z) son
las coordenadas de P en el espacio, y la correspondencia biunívoca de ternas ordenadas de números
con el conjunto de puntos del espacio XYZ es el Sistema de Coordenadas del Espacio Tridimensional
constituido por los puntos del espacio.
Al triedro que aparece en la Figura II.6 se le llama Triedro Trirrectángulo Positivo o Dextrógiro; se
conviene en que un triedro cualquiera será positivo cuando podamos llevarlo a coincidir con el de la
figura mediante movimientos rígidos. Otro convenio más general para caracterizar los triedros
positivos es: si hacemos girar a la parte positiva del eje X en el plano XY, alrededor del eje Z, hasta
hacerlo coincidir con la parte positiva del eje Y a través del menor ángulo entre X e Y, ese
movimiento produce al eje Z una rotación tal que un sacacorchos colocado en él, avance en la
dirección positiva del eje Z; tales sistemas positivos son los que por convenio se consideran; pero ya
sabemos que no es necesario que sea siempre ésta la forma de proceder.
La razón por la que tenemos que abandonar el convenio de las agujas del reloj establecido en el
plano es que al observar un giro en un plano desde el espacio, el observador puede encontrarse en
dos semiespacios diferentes, determinados
por el plano en que gire la partícula, y
observadores en los semiespacios A y B no
podrán ponerse de acuerdo sobre cual es el
sentido positivo o negativo con el criterio
del reloj y si se pondrán de acuerdo con los
sentidos de giro establecidos en el párrafo
anterior (Figura II.7).
X
Z
Y O
R
M
N
P (x,y,z)
Figura II.6 Localización de un punto en un sistema cartesiano tridimensional positivo. Triedro positivo.
B
+
Figura II.7. Semiespacios determinados por un plano
A
- +
-
- 32 -
Componentes coordenadas de un vector
En el espacio tridimensional hemos definido un punto
por tres coordenadas (x, y, z). Definimos lo mismo
mediante un vector r =r(x, y, z) llamado Vector de
Posición, a la terna ordenada de números (x, y, z) los
llamamos Componentes Coordenadas del vector y le
asociamos un único símbolo matemático r (Figura II.8).
Si utilizamos un sistema de coordenadas diferente, los
tres números cambian a (x´, y´, z´), sin embargo, el
vector r es el mismo en ambos sistemas. Lo que
queremos decir es que la definición de vector
permanece invariante o independiente del sistema de
coordenadas elegido.
Tomando el sistema X, Y, Z, y dándole carácter
vectorial a x, y, z (proyecciones ortogonales de r sobre
los ejes), indicaremos r de la forma:
El sentido físico de esta igualdad es: suponiendo que r fuera un efecto (una fuerza por ejemplo), no
se afirma que r es la suma numérica de sus componentes, sino que el efecto físico que produce r es
el mismo que el efecto de x, y, y z actuando simultáneamente. Las componentes tienen por valor:
, , (1)
son los ángulos que forma r con cada uno de los ejes. A sus cosenos se les llama Cosenos
Directores. El módulo de r (diagonal del paralelepípedo construido con x, y, z como lados) es:
√
Si elevamos al cuadrado las
igualdades (1) y sumamos, obtendremos:
Si el vector viene dado por las coordenadas de su origen A(x, y, z) y de su extremo B(x´, y´, z´),
entonces las componentes coordenadas del vector AB (Figura II.9) serán: (x´-x, y´-y, z´-z).
Álgebra Vectorial
X
Z
Y O
P (x,y,z)
Figura II.8 Componentes coordenadas de un vector
X
Z
Y O
A(x,y,z)
B(x´,y´,z´)
Figura II.9 Componentes coordenadas de un vector
- 33 -
Una vez establecido el criterio de igualdad de vectores, vamos a estudiar algunas operaciones
vectoriales referidas a vectores libres. Las conclusiones que se obtendrán son también aplicables a
vectores deslizantes cuyas rectas soporte se cortan y a vectores ligados con el mismo punto de
aplicación.
Suma de vectores libres
Físicamente, sumar vectores, representantes de una misma magnitud, es hallar un tercer vector de la
misma naturaleza que produzca los mismos
efectos que producirían los vectores sumandos
actuando simultáneamente.
La suma de dos vectores libres se define
mediante la siguiente construcción gráfica: Sean
los vectores v1=AB y v2= CD (Figura II.10), si
desde el extremo del primero, B, trazamos el
vector BE equivalente al segundo, definimos el
vector suma como el que tiene por origen el
primero, A, y por extremo el del segundo, E.
Componentes rectangulares
Analíticamente la suma de vectores se realiza en
función de sus componentes. Estudiamos el caso
sencillo de dos vectores en dos dimensiones.
Si s = v1 +v2 , siendo v1= x1 + y1 y v2 = x2 + y2 ,
entonces s = x + y +z, donde:
;
lo cual se observa en la Figura II.11.
El resultado es generalizable a tres dimensiones:
si ,
siendo v1= x1 + y1 +z1 y v2 = x2 + y2 +z2, entonces
, donde (Figura II.12):
“Las componentes cartesianas del vector suma se
obtienen sumando algebraicamente las
correspondientes componentes de los
sumandos”.
El módulo del vector suma será:
√
y sus cosenos directores:
D
C
A
E
B
Figura II.10 Definición de suma de vectores libres.
Y
X
O
Figura II.11 Suma de dos vectores coplanares en función de sus componentes.
Z
Y
X
Función II.12 Suma de dos vectores en función de sus componentes en tres dimensiones.
- 34 -
Es importante resaltar la diferencia existente entre las expresiones s = v1 +v2 y s=v1 + v2. La primera
expresa que el efecto físico que produce s es el mismo que el de v1 y v2 actuando a la vez.
La segunda, referida a los módulos, sólo es cierta si ambos vectores sumandos son paralelos y del
mismo sentido.
Para expresar, en general, la relación existente entre el
módulo del vector suma y los módulos de los vectores
sumandos, consideremos los vectores v1 y v2 de la Figura
II.13, que forman entre sí el ángulo ; de ella se obtiene
las siguientes relaciones:
Esta expresión se conoce como Teorema del Coseno.
De donde:
√
Casos Particulares:
1. En el caso de que los vectores tengan la misma dirección y sentido (Figura II.14a) el ángulo es cero
y su coseno la unidad; por tanto:
√
√
y el módulo de s es la suma de los módulos. Único caso en que la suma vectorial coincide con la suma
de los módulos.
2. En el caso de que los vectores tengan la misma dirección y sentido
contrario (Figura II.14b) el ángulo j es 180º y su coseno es .1:
y el módulo de s es la diferencia de los módulos.
3. Si los vectores son perpendiculares, = 90º, entonces:
o bien,
Para obtener la dirección de s, bastará con determinar el valor de en la
Figura II.13, en la que se obtiene:
A O
D
B
C
Figura II.13 Para calcular el módulo del vector suma en función de los módulos de los sumandos
Figura II.14 Casos particulares de suma de vectores
√
√
√
- 35 -
Esta última relación se conoce como Teorema del seno
Diferencia de vectores. El vector Diferencia entre y , se obtiene sumando a el negativo de Resumen.
Métodos para sumar vectores
Métodos Gráficos
Los métodos gráficos requieren trazar los vectores a escala y utilizar regla y transportador para
indicar dirección y módulo. El método del Paralelogramo se emplea para sumar sólo dos vectores y el
método del polígono (o poligonal) para sumar dos o más vectores.
Método del Paralelogramo
Consiste en colocar los vectores de forma que coincidan los puntos de aplicación de los dos vectores
y formar un paralelogramo con la proyección de estos vectores en los lados opuestos. El vector suma
(Resultante R) se obtendrá de la diagonal del paralelogramo que se ha formado.
Método del Polígono.
Consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro y así sucesivamente hasta que todos los
vectores estén presentes.
El vector suma
(Resultante) se obtiene
trazando el vector que
va del origen del
primero al extremo del
último vector.
Métodos Analíticos
Los métodos analíticos son el método de componentes para 2 o más vectores y el método del
triángulo (una variación del método poligonal donde se requiere emplear métodos trigonométricos
para resolver las incógnitas) para dos vectores.
Método del Triángulo
Como se observa en la figura Los vectores A y B se colocan de forma que coinciden sus puntos de aplicación.
Clasificación de los métodos
para sumar vectores
Métodos Gráficos
Métodos Analíticos
Método del Paralelogramo
Método del Polígono
Método de Componentes Rectangulares
Método del Triángulo
O
B
A R
A B
C
D
A
B C
D
R= A + B + C+ D
A
B
A
B
R= A + B
- 36 -
Se aplica el método del polígono (un vector a continuación del otro) y luego se trabaja con el
triángulo que se forma al trazar la resultante.
Si el triángulo es rectángulo:
Se pueden aplicar las
funciones trigonométricas
y el teorema de Pitágoras
para determinar la
resultante y el ángulo que
nos indica su dirección.
Si el triángulo es oblicuo:
Un triángulo oblicuo es cualquier triángulo que no sea recto. Para poder obtener la Resultante y
su dirección debe
obtenerse por
medio de la ley de
cosenos y la ley de
los senos,
enunciados a
continuación.
Teorema del Coseno:
Permite encontrar cualquier lado de un triángulo, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado
que quieres determinar.
Teorema del Seno: En cualquier triángulo se verifica que las
longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos. Expresado en función del triángulo de la figura
Método de las Componentes
Cualquier Vector se puede descomponer en dos o más componentes, esto es, si fuese un vector
fuerza, puede ser reemplazada por dos
o más fuerzas que originen el mismo
efecto sobre la partícula.
Se dice que la fuerza se ha
descompuesto en dos componentes
rectangulares si sus componentes Fx y
Fy son perpendiculares entre sí y están
dirigidos a los largo de los ejes coordenados
Pasos para Aplicar el Método de las Componentes
1. Dibuje todos los vectores a partir del origen en un sistema coordenado
2. Descomponga todos los vectores en sus componentes "X" y "Y". (Nota: Recuerde tomar en
cuenta la dirección negativa o positiva de los componentes)
3. Encuentre la componente "X" de la resultante sumando los componentes "X" de todos los
vectores. Rx= Ax+Bx+Cx ,
A
C
B
b
a
c
F
x
y
Fy
Fx
A
B
C
a
b
c
- 37 -
La resultante en la dirección X (horizontal) es la sumatoria de todas las fuerzas en la
dirección x.
4. Encuentre la componente "Y" de la resultante sumando los componentes "Y" de los vectores.
Ry= Ay+By+Cy
La resultante en la dirección y (vertical) es la sumatoria de todas las Fuerzas en la dirección y.
5. Obtenga la magnitud y dirección de la resultante a partir de dos vectores perpendiculares,
aplicando el teorema de Pitágoras y la función
trigonométrica tangente.
En símbolos:
Haciendo:
,
se calcula el ángulo alfa que forma la resultante con el eje X,
(
) ,
Guía de Ejercitación N° 2.
1) Un empleado postal conduce su camión por la ruta
que se muestra en la figura.
a) Determine la magnitud y dirección del
desplazamiento resultante en un diagrama a escala.
b) Utilice el método de componentes rectangulares
para determinar la magnitud y dirección del
desplazamiento resultante.
c) Muestre que ambos resultados coinciden
cualitativamente.
2) Con los vectores A y B de la figura, utilice un diagrama a escala
para obtener la magnitud y dirección de a) la resultante ;
b) la diferencia .
Con base en sus respuestas de a) y b), deduzca de c) ; d)
Repita los apartados anteriores utilizando el método de
componentes rectangulares.
3) Escriba los vectores de la figura en términos de los vectores unitarios i y j
Rx = Σ Fx ← Sumatoria en X;
Ry = Σ Fy ← Sumatoria en Y
R2
= Rx2 + Ry
2 Pitágoras
A
B
C
x
y
- 38 -
4) Dados los vectores y , a) calcule las magnitudes de cada
vector; b) escriba una expresión para usando vectores unitarios; c) obtenga la magnitud y
dirección de ; d) en un diagrama vectorial represente , y .
5) Dados los vectores a, b, c, d, e, y f, demostrar analíticamente cuales de las siguientes afirmaciones
son verdaderas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
6) Un explorador camina 4 km hacia el Este y después camina 8 km hacia el Norte. a) Encuentre su
posición final, gráfica y analíticamente. (R. 8,94 km, 63,4° NE)
7) Un agrimensor inicia su tarea en la esquina sudeste de un terreno y registra los siguientes
desplazamientos: A= 600 m al Norte, B= 400 m al Oeste, C= 200 m al Sur y D= 100 m al Este. ¿Cuál es
el desplazamiento neto desde su punto de partida? (R. 500 m, 126,9°)
8) Una embarcación navega una distancia de 200 m al Oeste, después avanza hacia Norte 400 m y
finalmente 100 m a 30° SE. ¿Cuál es su desplazamiento neto?
9) Un trineo es arrastrado con una fuerza de 540 N y su dirección forma un ángulo de 40° con
respecto a la horizontal. ¿Cuáles son sus componentes horizontal y vertical?
10) Un río fluye hacia el Sur a una velocidad de 20 km/h. Una embarcación desarrolla una rapidez
máxima de 50 km/h en aguas tranquilas. En el río descripto, la embarcación avanza a su máxima
velocidad posible hacia el Oeste. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección resultantes de la
embarcación? (R. 53,8 Km/h; 21,8° SO)
11) Encuentre la resultante de las siguientes fuerzas perpendiculares: F1= 400 B, 0°; F2= 820 N, 270°;
F3= 500 N, 90°. (R. 512 N, 321,3°)
12) Calcule la resultante de las siguientes fuerzas aplicando el método de componentes para efectuar
suma de vectores: A= (200 N, 30°), B= (300 N, 330°) y C= (400 N, 250°).
13) Un muelle de pescadores se extiende de Norte a Sur. ¿Cuál deberá ser la velocidad de una
embarcación que avanza a un ángulo de 40° EN para que su componente de velocidad a lo largo del
muelle sea de 30 km/h.
14) Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60° y tiene de módulo 4 unidades. Calcular:
a) Sus componentes coordenadas. b) Ángulo que forma con el eje Z.
15) Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos son: F1= 5 y F2= 7 , que
forman respectivamente los siguientes ángulos con el eje OX: 60° y -30°. Calcular: a) La fuerza
resultante. b) Su módulo. c) Ángulo que forma con el eje OX.
16) Dados los vectores a (2, 4, 6) y b (1, .2, 3). Calcular: a) El vector suma a + b, su módulo y cosenos
directores. b) El vector diferencia a - b.
- 39 -
UNIDAD III
Introducción a la Cinemática
Se denomina Cinemática a la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos sin tener en
cuenta las causas que lo producen. El caso más simple es el movimiento de una partícula a lo largo de
una línea recta.
Una partícula es un objeto cuya posición puede describirse por un sólo punto. Un objeto adquiere la
categoría de partícula cuando sus dimensiones pueden ser despreciadas con respecto a las de los
otros objetos que intervienen en el fenómeno en estudio. Por ejemplo, la Tierra dentro del Universo
es una partícula.
Movimiento. Un cuerpo se encuentra en movimiento cuando su posición con respecto a otro cuerpo,
elegido arbitrariamente como referencia, cambia al transcurrir el tiempo.
La descripción de un movimiento es relativa a la elección de los cuerpos de referencia. Así, para
poder hablar del movimiento de un cuerpo es necesario ante todo, decir con respecto a que se
mueve o sea fijar un sistema de referencia.
El modo más sencillo de especificar la posición de una partícula móvil sobre una línea recta consiste
en:
a) elegir un punto cualquiera de la recta como
origen del sistema de referencia,
b) indicar los semiejes, (+) y (-), y
c) determinar la abscisa x, midiendo el segmento
, teniendo en cuenta la unidad y asignando
signo (+) ó (-), según que pertenezca al semieje (+) ó (-).
De acuerdo a la Figura III.1 la abscisa x, que también se llama coordenada x de la posición de P, es
igual a + 2 Km.
Trayectoria. Una vez fijado el sistema de referencia, se determina la trayectoria de una partícula,
entendiéndose por tal al conjunto de los sucesivos e infinitos puntos del espacio que va ocupando la
partícula móvil en el transcurso del movimiento. Según la forma de la trayectoria el movimiento será
rectilíneo, circular, parabólico, etc.
Intervalo de tiempo. Se define como intervalo de tiempo t a la diferencia (siempre positiva):
Así, es el tiempo transcurrido entre los instantes t1 y t2. Por lo general es conveniente
elegir t1 igual a cero, que el momento en que comienza a realizarse el estudio de un fenómeno
coincida con el momento en que se pone en marcha el cronómetro utilizado para medir el tiempo.
Desplazamiento. Si una partícula se mueve en un intervalo , desde la posición x1 a la
posición x2, se define el desplazamiento como la
correspondiente variación de la coordenada
posición en ese intervalo.
O sea:
El desplazamiento es positivo si x2 es mayor que
x1 y es negativo si x2 es menor que x1.
Por ejemplo:
-1 1 0 2 x (km)
O P
Figura III.1
-1 1 0 2 x (km)
Figura III.2
-2
O O´ P´ P
- 40 -
Los desplazamientos OP y O´P´, en la Figura III.2, son positivos y exactamente equivalentes.
Los desplazamientos OP y O´P´, en la Figura III.3,
son negativos y exactamente equivalentes.
El desplazamiento, además, no es necesariamente
la medida del camino recorrido por el móvil: el camino recorrido es la suma de las distancias
parciales en un desplazamiento dado, mientras que el desplazamiento sólo relaciona la posición final
e inicial.
Velocidad Media. El objetivo de la Cinemática es obtener la ecuación que relaciona a la posición con
el tiempo, es decir encontrar la función x= f(t), en el caso unidimensional, denominada ecuación
horaria del movimiento y que permite conocer la posición del móvil en cualquier instante.
Si las posiciones del móvil en los instantes t1 y t2 son x1 y x2, se
define como velocidad media al cociente entre la variación de la
posición, es decir el desplazamiento x, y el intervalo de tiempo
t en que se produjo esa variación:
12
12
tt
xx
t
xvm
En el gráfico x= f(t) de la Figura III.4, considere la pendiente de la
recta que une los puntos P1 y P2 del gráfico (recta secante). Dicha
pendiente representa la velocidad media en el intervalo t.
Entonces:
mvtt
xx
t
xpendiente
12
12
La unidad de la velocidad media se obtiene como el cociente entre una unidad de longitud y una
unidad de tiempo.
El signo de la velocidad media coincide con el signo del
desplazamiento, el que decimos esta asociado al sentido del
movimiento. Un valor positivo de la velocidad media indica que el
movimiento de la partícula es en sentido de la coordenada
creciente y un valor negativo indica un retroceso de la partícula.
A menos que la velocidad sea constante, la velocidad media
dependerá del intervalo de tiempo escogido. Si tomamos un
intervalo menor de tiempo, escogiendo t2 más próximo a t1, la
velocidad media será menor, según indica la menor pendiente de
la recta que une los puntos P1 y P´2. Figura III.5
La velocidad media definida a partir del desplazamiento no guarda relación con la realidad, en la
medida en que el desplazamiento no coincide con la trayectoria. Por este motivo es conveniente
introducir una nueva magnitud que se adecue a las necesidades prácticas.
Velocidad Instantánea
-1 1 0 2 x (km)
O P
Figura III.3
-2
O´ P´
x
t
Figura III.4 Velocidad media
x
t
Figura III.5 Velocidad media
- 41 -
Supongamos que una partícula se esta moviendo de modo tal que la velocidad media medida en
diferentes intervalos de tiempo no sea constante. Decimos, que se mueve con velocidad variable.
Ahora bien, ¿cómo varía la velocidad punto a punto o dicho de otro modo, en cada instante de
tiempo?
Cuando menor sea la distancia x que dos posiciones,
menor será el tiempo empleado en recorrerla, t . La
condición ideal para obtener el valor exacto de la velocidad
instantánea sería que t2 y t1 fuesen tan próximos que
prácticamente coincidiesen con t.
En tal caso decimos que el intervalo tiende a cero
y no se apreciaría diferencia entre el valor del
cociente obtenido para dicho intervalo y el obtenido parea
un intervalo menor.
A partir del razonamiento anterior, se define a la velocidad
como el valor hacia el que se aproxima el cociente
cuando
Al hacer este cálculo, el cociente tiende a un valor finito. Decimos que es el valor límite de la
expresión
:
esta expresión se lee “límite cuando delta de t tiende a cero de delta de x sobre delta de t”, o bien:
Si analizamos gráficamente lo que sucede a medida que el intervalo de tiempo disminuye, notaremos
que la velocidad instantánea esta representada por la pendiente de la recta tangente a la gráfica x(t),
en un punto (x,t), Figura III.6.
Aceleración.
Cuando la velocidad de una partícula cambia con el tiempo, se dice que la partícula esta acelerada .
Por ejemplo, le velocidad de un automóvil aumentará cuando usted “le pise el acelerador” y
disminuirá cuando aplique los frenos. Sin embargo, es necesaria una definición más precisa de
aceleración:
Supóngase que una partícula que se mueve a lo largo del eje x a una velocidad v1 al tiempo t1 , y a
una velocidad v2 al tiempo t2.
Entonces la aceleración (media o promedio) esta dada por la siguiente expresión: 12
12
tt
vv
t
va
La aceleración tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo al cuadrado, o [ ]
[ ] . Algunas de las
unidades comunes de la aceleración son m/s2 ; km/h2, cm/s2.
De la misma forma que con la velocidad se pueden emplear los signos positivo y negativo para
indicar el sentido de la aceleración cuando el movimiento que se analiza es unidimensional.
Movimiento Rectilíneo con Velocidad Constante, Movimiento
Rectilíneo Uniforme, (M.R.U.)
Es el tipo más sencillo de movimiento, la trayectoria es una recta y la
velocidad, constante. Es decir que en un M.R.U. una partícula realiza
desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales, por lo tanto
los desplazamientos x son proporcionales al intervalo de tiempo t.
O sea:
x
t
Recta secante
Recta tangente
Figura III.6 Velocidad media y velocidad instantánea
x
t
Figura III.7 Posición en función del tiempo en el MRU
- 42 -
Considerando el intervalo de tiempo [ ], donde t es un instante cualquiera, podemos escribir:
Si es la posición en el instante , entonces:
Esta igualdad se llama ecuación horaria del M.R.U.
En consecuencia las constantes del movimiento son la posición inicial, x0, y la velocidad, v.
Si el móvil pasa por el origen del sistema de referencia cuando se empieza a cronometrar el tiempo,
es decir para t= 0, , la ecuación anterior resulta:
y la gráfica x= f(t) correspondiente pasa por el origen O. Como se muestra en la Figura III.7
Como en este movimiento la velocidad es constante, para cualquier valor de tiempo la velocidad es la
misma. En consecuencia si graficamos la v= f(t), obtenemos la gráfica de la Figura II.8; es decir una
recta paralela al eje de los tiempos.
Obtención del Desplazamiento a partir del gráfico v(t).
Analizando el gráfico de la Figura III.8, vemos que desde el punto de vista geométrico el producto v
t equivale al “área” del rectángulo comprendido entre el gráfico y
el eje de los tiempos. "Área", entre comillas porque si la base del
rectángulo esta dada en horas y la altura en Km/h, entonces el área
tiene unidades de: *
+ [ ]
De esta manera podemos obtener el desplazamiento o variación de
la posición x en un intervalo t como el área bajo la curva v(t).
Al calcular el área comprendida entre la curva v= f(t) y el eje t
debemos tener en cuenta que cuando la velocidad es negativa v t
también es negativo, por tanto en las porciones de una curva v(t) que se encuentran debajo del eje t,
el área es negativa. Para hallar el desplazamiento total debe sumarse cada parte con el signo
adecuado.
Guía de Ejercitación N° 3.
1) Una partícula se desplaza siguiendo una trayectoria rectilinea y pasa sucesivamente por los puntos
fijos: A, B, C, D y E. A B C D E
a) Elija un sistema de referencia (si lo considera necesario) y gradúelo correspondientemente. Dibuje
los vectores posición de cada punto y obtenga (mida, calcule, etc.) el módulo, las componentes,
dirección y sentido de cada uno de ellos. ¿Debe obtener necesariamente los mismos valores que sus
compañeros SI/ NO. ¿Por qué?.
b) Cuando la partícula se desplaza de B a D. ¿Cuánto se desplaza?. Indique como hace el cálculo.
c) ¿Clasificaría a los desplazamientos dentro de las magnitudes vectoriales?. ¿Por qué?.
d) La partícula que se estudia, se desplaza rápidamente o lentamente?. ¿Puede contestar?. SI/NO.
¿Por qué?
e) Clasificaría el tiempo como una magnitud vectorial?. ¿Por qué?.
2) En una experiencia de laboratorio se obtuvieron los siguientes valores para la posición y el tiempo
de un móvil:
v
t
Figura III.8 Velocidad en función del tiempo en el MRU
- 43 -
0 m 1 m 2 m 3 m 3.5m 4 m 5 m 6 m
0 s 2 s 3 s 4 s 6 s 8 s
posición
tiempo
a) Represente gráficamente x= f(t).
b) Exprese en m/s y en cm/s la velocidad del móvil. ¿Qué tipo de movimiento lo anima?.
c) Escriba la ecuación horaria, x= f(t), para este movimiento, reemplazando los parámetros por sus
valores correspondientes.
3) Calcule la pendiente de las siguientes rectas y expréselas en las unidades correspondientes
0.25 0.50 1.00
10
20
30
40
0
x (m)
t( min) 1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
x (Km)
0t (s)
2 4 8
2
4
0
x (km)
t( h)
-2
-4
6
2 4 6 8 100
3
6
9
12
x (m)
t (s)
2 4 6 8 10
0
3
6
9
12
x (cm)
3
6
9
t (s) x10-1
-45
-30
-15
x (mm)
2 4 60 t (s) x10-3
a) ¿Qué representa la pendiente de cada una de las gráficas?
b) ¿De estos gráficos, puede obtener información sobre cual de los movimientos es más veloz?
Indique cuál de ellos lo es.
c) Especifique el sentido de cada uno de los movimientos indicando, además, la posición inicial del
móvil, es decir X para t= 0s?.
d) Escriba la ecuación horaria de cada uno de los movimientos
e). Obtenga la gráfica v= f(t).
4) Un cuerpo recorre una trayectoria rectilínea con velocidad constante. En los instantes t1= 0.5s y
t2= 4s sus posiciones x1= 3.5 cm y x2= 21 cm. a) Determinar la velocidad del móvil, el sentido del
movimiento y su posición en t= 0s. b) Escriba la ecuación horaria correspondiente a este movimiento.
c) Determine la posición del cuerpo en el instante t3= 2.5s. d) Represente gráficamente la posición
del móvil y su velocidad en función del tiempo.
5) Sabiendo que la estrella -Centauro (la más próxima a nosotros después del Sol) se encuentra de
la Tierra a 4,04x1013 km, calcular el tiempo que tarda la luz de a-Centauro en llegar a la Tierra.
Exprese el resultado en horas, en minutos y en segundos.
6) La distancia mínima a que debe estar un muro para que se produzca eco al emitir enfrente de él
una sílaba, es de 17 m; el mínimo tiempo para que se perciban dos sílabas distintamente es 0,1 s
(poder separador del oído medio). Calcular con estos datos la velocidad de propagación del sonido
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en el aire, teniendo en cuenta que el sonido va y vuelve en el trayecto de 17 m. ¿Cuál es el valor de
una velocidad «supersónica» en km/h?
7) A las 8 hs pasa por la localidad A un automóvil con movimiento uniforme a 80 km/h. Dos horas
después pasa otro en su persecución a 120 km/h. Calcule a qué hora y a qué distancia de la localidad
A, el segundo automóvil alcanza al primer.
8) A las 8 hs pasa por la localidad A un automóvil (M) a 80 km/h que se dirige a otra localidad B
distante 710 km en línea recta. Dos horas después pasa por B otro vehículo (N) a 120 km/h en
dirección a la localidad A. Calcule a qué hora se encuentran y a qué distancia de la localidad A.
9) Dos móviles marchan en sentidos contrarios, dirigiéndose el uno al encuentro del otro con las
velocidades de 4 y 5 cm/s respectivamente. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 1,52 m, de la
posición de partida del primero, determinar la distancia entre los móviles al comenzar el movimiento
y el tiempo transcurrido hasta que se encontraron.
10) El gráfico de la figura nos representa el movimiento realizado por un móvil en trayectoria recta.
a) Interpretar y clasificar su movimiento. b) Determinar el desplazamiento en cada intervalo de
tiempo. c) Calcule la distancia total recorrida.
11) Dos móviles pasan simultáneamente, con movimiento rectilíneo y uniforme, por dos posiciones A
y B distantes entre si 3 Km, con
velocidad 64 Km/h y 26 Km/h
respectivamente, paralelas al
segmento AB y del mismo sentido.
Hallar analítica y gráficamente la
posición del encuentro.
12) Dos móviles pasan
simultáneamente con
movimiento rectilíneo uniforme,
por dos posiciones A y B distantes
entre si 60 Km, con velocidades
de 36 Km/h y 72 Km/h respectivamente, paralelas al segmento AB y de sentidos opuestos. Hallar
analítica y gráficamente la posición y el instante del encuentro.
Bibliografía
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A B
3 km
A B
60 km