curso de fisica iii - clases

7/21/2019 Curso de Fisica III - Clases

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CURSO DEFISICA III

DOCENTE: ING. DARLIN GARCIA G.

UNIDAD 1:ELECTROMAGNETISMO



Conceptos Básicos:

Las interacciones del electromagnetismo implican partículas que tienenuna propiedad llamada carga eléctrica, es decir, un atributo que es tanfundamental como la masa.

De la misma forma que los objetos con masa son acelerados por lasfuerzas gravitatorias, los objetos cargados eléctricamente también se venacelerados por las fuerzas eléctricas.

La descarga eléctrica inesperada que usted siente cuando se frota suszapatos contra una alfombra, y luego toca una perilla metálica, se debea partículas cargadas que saltan de su dedo a la perilla.

Las corrientes eléctricas como las de un relámpago o una televisión tansólo son flujos de partículas cargadas, que corren por cables por el aire,en respuesta a las fuerzas eléctricas.

Incluso las fuerzas que mantienen unidos a los átomos y que forman lamateria sólida, evitando que los átomos de objetos sólidos se atraviesenentre sí, se deben en lo fundamental a interacciones eléctricas entre laspartículas cargadas en el interior de los átomos.

ELECTROMAGNETISMO



El Átomo Definimos átomo como la partícula más pequeña en

que un elemento puede ser dividido sin perder suspropiedades químicas. Aunque el origen de lapalabra átomo proviene del griego, que significaindivisible, los átomos están formados por partículas

aún más pequeñas, las cuales son tres: los electrones,los protones y los neutrones. Lo que diferencia a unátomo de otro es la relación que se establecen entreellas.

Los electrones tienen una carga negativa y son las

partículas subatómicas más livianas que tienen losátomos. La carga de los protones es positiva y pesanunas 1.836 veces más que los electrones. Los únicosque no tienen carga eléctrica son los neutrones quepesan aproximadamente lo mismo que los protones.

ELECTROMAGNETISMO

http://energia-nuclear.net/definiciones/electron.html

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todas las sustancias están formadas por átomos y

moléculas. Cada átomo tiene una parte centralcargada positivamente a la que se le llamanúcleo, que está rodeado de una nube deelectrones cargados negativamente.

El núcleo consta de cierto número de protones,

cada uno de ellos con una sola unidad de cargapositiva y (excepto para el hidrógeno) uno o másneutrones. Como su nombre lo sugiere, un neutrónes una partícula eléctricamente neutra.Normalmente, un átomo de materia se encuentraen un estado neutro o sin carga debido a que

contiene el mismo número de protones en sunúcleo que de electrones alrededor de éste.

ELECTROMAGNETISMO



Un diagrama esquemático del átomo de neón se muestraen la figura anterior. Si, por alguna razón, un átomo neutropierde uno o más de sus electrones exteriores, el átomotiene una carga neta positiva y se le conoce como un ionpositivo. Un ion negativo es un átomo que ha ganado unao más cargas adicionales.

Un objeto que tiene un exceso de electrones está cargadonegativamente, y un objeto que tiene una deficiencia deelectrones está cargado positivamente.

ELECTROMAGNETISMO



Carga Eléctrica. En una época tan remota como 600 A.C., los griegos de la

antigüedad descubrieron que cuando frotaban ámbar contra lana, el ámbar atraía otros objetos. En la actualidaddecimos que con ese frotamiento el ámbar adquiere unacarga eléctrica neta o que se carga. La palabra

“eléctrico” se deriva del vocablo griego elektron, quesignifica ámbar.

Cuando al caminar una persona frota sus zapatos sobreuna alfombra de nailon, se carga eléctricamente; tambiéncarga un peine si lo pasa por su cabello seco. Las varillasde plástico y un trozo de piel (verdadera o falsa) son

especialmente buenos para demostrar la electrostática, esdecir, la interacción entre cargas eléctricas en reposo (ocasi en reposo).

ELECTROMAGNETISMO



Estos experimentos y muchos otros parecidos

han demostrado que hay exactamente dostipos de carga eléctrica: la del plásticocuando se frota con piel y la del vidrio alfrotarse con seda. Benjamín Franklin (1706-1790) sugirió llamar a esas dos clases decarga negativa y positiva, respectivamente, ytales nombres aún se utilizan.

En conclusión dos cargas positivas se repelenentre sí, al igual que dos cargas negativas.Una carga positiva y una negativa se atraen.

ELECTROMAGNETISMO



Experimentos de electrostática.

a) Los objetos cargados negativamente se repelen entre sí.

ELECTROMAGNETISMO



b) Los objetos cargados positivamente se repelen entre sí.

ELECTROMAGNETISMO



c) Los objetos con carga positiva se atraen con los objetosque tienen carga negativa.

ELECTROMAGNETISMO



Preguntas?

Por que los materiales se cargan positivao negativamente. (investigar por queciertos átomos pierden o gananelectrones)

ELECTROMAGNETISMO



Conductores, aislantes

y cargas inducidas Ciertos materiales permiten que las cargas eléctricas se

muevan con facilidad de una región del material a laotra, mientras que otros no lo hacen. Por ejemplo, en lafigura 1.1 se ilustra un alambre de cobre sostenido por

una cuerda de nailon.

Suponga que usted toca un extremo del alambre conuna varilla de plástico cargado, y su otro extremo loune con una esfera metálica que, al principio, está sincarga; después, quita la varilla cargada y el alambre.

Como resultado se transfirió carga eléctrica entre laesfera y la superficie de la varilla de plástico, a travésdel alambre de cobre.

ELECTROMAGNETISMO(14/10/14)



ELECTROMAGNETISMO



Fig. 1.1

a) El alambre de cobre conduce cargas entre la esferametálica y la varilla de plástico cargada y así carganegativamente la esfera.


ELECTROMAGNETISMO




b) La esfera de metal es repelida por una varilla de plástico concarga negativa,

ELECTROMAGNETISMO



c) atraída a una varilla de vidrio con carga positiva.


ELECTROMAGNETISMO



La mayor parte de metales son buenos conductores.

Los no metales son aislantes en su mayoría.

Dentro de un sólido metálico, como el cobre, uno o másde los electrones externos de cada átomo se liberan ymueven con libertad a través del material, en formaparecida a como las moléculas de un gas se desplazan

por los espacios entre los granos de un recipiente dearena.

El movimiento de esos electrones con carga negativalleva la carga a través del metal. Los demás electronespermanecen unidos a los núcleos con carga positiva,

que a la vez están unidos en posiciones casi fijas en elmaterial.

En un material aislante no hay electrones libres, o haymuy pocos, y la carga eléctrica no se mueve confacilidad a través del material.


ELECTROMAGNETISMO



Algunos materiales se denominan semiconductores porque

tienen propiedades intermedias entre las de buenosconductores y buenos aislantes.

Consulta:

Materiales Semiconductores Concepto Tipos de semiconductores. Elementos Semiconductores

Usos y aplicaciones dentro de la industria.


ELECTROMAGNETISMO



Carga por inducción

Una esfera de metal se puede cargar usando un alambre de cobrey una varilla de plástico eléctricamente cargada, como se indica enla figura 1.1. En este proceso, algunos de los electrones excedentesen la varilla se transfieren hacia la esfera, lo cual deja a la varilla conuna carga negativa más pequeña. Hay otra técnica diferente conla que la varilla de plástico da a otro cuerpo una carga de signo

contrario, sin que pierda una parte de su propia carga. Este procesose llama carga por inducción. En la figura 1.2 se muestra un ejemplo de carga por inducción.


ELECTROMAGNETISMO



Carga de una esfera metálica por inducción.


ELECTROMAGNETISMO



Una esfera metálica sin carga se sostiene usando un soporteaislante (figura 1.2a). Cuando se le acerca una varilla con carga

negativa, sin que llegue a tocarla (figura 1.2b), los electroneslibres en la esfera metálica son repelidos por los electronesexcedentes en la varilla, y se desplazan hacia la derecha, lejos dela varilla. No pueden escapar de la esfera porque tanto el soportecomo el aire circundante son aislantes. Por lo tanto, existe unexceso de carga negativa en la superficie derecha de la esfera y

una deficiencia de carga negativa (es decir, hay una cargapositiva neta) en su superficie izquierda. Estas cargas excedentesse llaman cargas inducidas.


ELECTROMAGNETISMO




No todos los electrones libres se mueven a la superficie derecha dela esfera. Tan pronto como se desarrolla cualquier carga inducida,ejerce fuerzas hacia la izquierda sobre los demás electrones libres.Estos electrones son repelidos por la carga negativa inducida a laderecha y atraídos hacia la carga positiva inducida a la izquierda.El sistema alcanza el equilibrio donde la fuerza hacia la derechasobre un electrón, debida a la varilla cargada, queda equilibradapor la fuerza hacia la izquierda debida a la carga inducida. Si se

retira la varilla cargada, los electrones libres regresan a la izquierday se restablece la condición de neutralidad original.

Á



Ley de Coulomb En 1784 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806)estudió con mucho detalle las fuerzas de atracción departículas cargadas. Para cargas puntuales, cuerposcargados muy pequeños en comparación con ladistancia r que los separa, Coulomb descubrió que la

fuerza eléctrica es proporcional a 1/ r 2. Es decir, cuandose duplica la distancia r , la fuerza disminuye a de suvalor inicial; cuando la distancia disminuye a la mitad,la fuerza incrementa cuatro veces su valor inicial.

ELECTROESTÁTICA (20/10/14)

Á



Ley de Coulomb

La magnitud de la fuerza eléctrica entredos cargas puntuales es directamente

proporcional al producto de las cargas, einversamente proporcional al cuadradode la distancia que las separa.


Á



Las fuerzas eléctricas entre cargas puntuales

obedecen la tercer ley de Newton:


Á




En términos matemáticos, la magnitud F de lafuerza que cada una de las dos cargas puntuales,q1 y q2, separadas una distancia r, ejercida sobre laotra se expresa como:

Donde:

F = Fuerza actuante entre dos cargas en reposo (Newton)

K= es una constante de proporcionalidad cuyo valor numéricodepende del sistema de unidades que se emplee.

q1yq2 = Cargas (C)

r= Distancia de separación (m)

Á




Comparación de un coulomb con la carga de un electrón.

1 C = 6.25 X 1018

electronesDe los cual se desprende que:

e- = 1.6 X 10- 19 C

donde e- es el símbolo para el electrón y el signo menosdenota la naturaleza de la carga.

K; Puesto que las unidades de fuerza, carga y distancia del SIno dependen de la ley de Coulomb, la constante deproporcionalidad k debe determinarse experimentalmente.

Un gran número de experimentos han mostrado que cuandola fuerza está en newtons, la distancia en metros y la cargaen coulombs, la constante de proporcionalidad es, en formaaproximada,

k = 9 X 109 N . m2/C2

Á




La magnitud de la fuerza F se obtiene a partir de laley de Coulomb al sustituir los valores absolutos

para q, q' y r. Las unidades de las cargas deben ser coulombs y las de la distancia deben ser metros si las fuerzas se van a medir en newtons.

EJEMPLO: Obtenga la fuerza resultante entre dos cargas

cargadas eléctricamente, con los siguientes datos:

q1= 6 C

q2 = -4C r = 4 m.

F= ?



Dos cargas puntuales, q1 = + 25 nC y q2 = - 75 nC, y estánseparadas por una distancia de 3.0 cm (figura 21.12a).

Calcule la magnitud y la dirección de a) la fuerza eléctrica que q1ejerce sobre q2; y b) la fuerza eléctrica que q2 ejerce sobre q1.

a) Después de convertir la carga a coulombs y la distancia ametros, la magnitud de la fuerza que q1 ejerce sobre q2 es:



¿Qué fuerza q1 ejerce sobre q2? ¿Y qué fuerza q2ejerce sobre q1? Las fuerzas gravitatorias son

despreciables.



El campo eléctrico y las fuerzas eléctricas

Objetivos1. Definirá el campo eléctrico y explicará qué factores determinan sumagnitud y su dirección.

2. Escribirá y aplicará una expresión que relacione la intensidad del

campo eléctrico en un punto con la(s) distancia(s) de la(s) carga(s)conocida(s).3. Explicará e ilustrará el concepto de líneas del campo eléctrico yanalizará las dos reglas que deben seguirse para construirlas.

4. Explicará el concepto de permisividad de un medio y cómo afectala intensidad del campo y la construcción de líneas del campo.

5. Escribirá y aplicará la ley de Gauss a los campos eléctricos que seforman alrededor de las superficies cuya densidad de carga esconocida.



Si en realidad deseamos comprender nuestro universo debemosdesarrollar leyes para predecir la magnitud y la dirección de las

fuerzas que no se transmiten por contacto. Ya hemos estudiado dosde esas leyes:1. Ley de Newton de la gravitación universal:

2. Ley de Coulomb para fuerzas electrostáticas:

La ley de Newton predice la fuerza que existe entre dos masasseparadas por una distancia r; la ley de Coulomb se refiere a la fuerzaelectrostática. Al aplicar ambas leyes conviene comprender ciertaspropiedades del espacio que rodea las masas o las cargas.



Concepto de campo

Tanto el campo eléctrico como la fuerza gravitacional son ejemplosde fuerzas de acción a distancia , las cuales resultan extremadamente

difíciles de visualizar.

Se puede afirmar que la sola presencia de una masa altera el espacioque la rodea, y de ese modo produce una fuerza gravitacional sobreotra masa cercana. Esta alteración en el espacio se describemediante la introducción del concepto de un campo gravitacional

que rodea a todas las masas.Se puede decir que ese tipo de campo existe en cualquier región delespacio donde una masa de prueba experimentará una fuerzagravitacional. Por ejemplo, en cada punto en la proximidad de laTierra, el campo gravitacional podría representarse cuantitativamentecon

donde g = aceleración debida a la fuerza de gravedadF = fuerza gravitacionalm = masa de prueba (véase la figura 24.1)



Es posible aplicar, así mismo, el concepto de campo a los objetoscargados eléctricamente. El espacio que rodea a un objeto cargado

se altera en presencia de la carga. Podemos postular la existencia deun campo eléctrico en este espacio.

Se dice que existe un campo eléctrico en una región de espacio en laque una carga eléctrica experimenta una fuerza eléctrica.

La fuerza por unidad de masa constituye una definición cuantitativa deun campo gravitacional, y la intensidad de un campo eléctrico puederepresentarse mediante el concepto de fuerza por unidad de carga. Laintensidad del campo eléctrico E en un punto se suele definir entérminos de la fuerza F que experimenta una carga positiva pequeña+q cuando está colocada precisamente en ese punto. La magnitud de

la intensidad del campo eléctrico está dada por

(definición de campo eléctrico comofuerza eléctrica por unidad de carga)



Figura 24.1 El campo gravitacional en cualquier punto sobre la Tierrapuede representarse mediante la aceleración g que una pequeñamasa m experimentaría si nos colocáramos en ese punto.



La dirección de la intensidad del campo eléctrico en un punto es lamisma que la dirección en que una carga positiva +q se moveríacuando fuera colocada en ese punto. Su magnitud es la fuerza por unidad de carga



Una carga puntual q produce un campo eléctrico en todos los puntosdel espacio. La intensidad del campo disminuye conforme la distancia

aumenta.Cabe recordar que la intensidad del campo eléctrico es unapropiedad asignada al espacio que rodea a un cuerpo cargado.Alrededor de la Tierra existe un campo gravitacional, haya o no unamasa colocada sobre ella. De forma similar, alrededor de un cuerpocargado existe un campo eléctrico, haya o no una segunda carga

localizada en el campo. Si una carga se coloca en el campo,experimentará una fuerza F dada por

F = q E

donde E = intensidad del campoq = magnitud de la carga colocada en el

campoSi q es positiva, E y F tendrán la misma dirección; si q es negativa, lafuerza F estará en dirección opuesta al campo E.



La intensidad del campo eléctrico entre dos placas en la figura 24.4 esconstante y está dirigida hacia abajo. La magnitud de la intensidad

del campo eléctrico es 6 X 104 N/C. ¿ Cuáles son la magnitud y ladirección de la fuerza eléctrica ejercida sobre un electrón proyectadohorizontalmente entre las dos placas?

EJEMPLO:



Plan: La dirección de la intensidad del campo E se define entérminos de la fuerza sobre una carga de prueba positiva. La carga

sobre un electrón es negativa (qe = -1.6 X 10-19

C), lo que implica quela fuerza sobre el electrón es hacia arriba (opuesta a la direccióndel campo). La intensidad del campo es la fuerza por unidad decarga, de modo que la magnitud de la fuerza será el producto qe E.

Solución:

F = qeE = (-1,6 X 10- 19) (6 X 104 N/C) = 9.6 X 10- 15 N (hacia arriba)



Puesto que la masa de un electrón es igual a 9.1 X 10- 31 kg,

demuestre que la fuerza gravitacional sobre el electrón del ejemploanterior, puede ser despreciada.

EJEMPLO:

Plan: La fuerza gravitacional es hacia abajo y se debe al peso (W =mg) del electrón. Para determinar el efecto que esto tendrá en elmovimiento del electrón debemos mirar si el peso es significante encomparación con la magnitud de la fuerza del campo eléctrico.

Solución:

El peso equivale al producto de la masa del electrón por la

gravedad:

W = mg = (9.1 X 10- 31 kg)(9.8 m/s2) = 8.92 X 10- 30 N

La fuerza eléctrica es mayor que la fuerza gravitacional por un factorde 1.08 X 1015 y sin duda puede despreciarse en este caso.



Cálculo de la intensidad del campo eléctrico

Hemos analizado un método para medir la magnitud de la intensidaddel campo eléctrico en un punto en el espacio. Se coloca una cargaconocida en ese punto y se mide la fuerza resultante. De este modo,la fuerza por unidad de carga es una medida de la intensidad delcampo eléctrico en ese punto.

La desventaja de este método es que no parece tener una relaciónclara con la carga Q que crea el campo. Mediante laexperimentación se demuestra rápidamente que la magnitud delcampo eléctrico que rodea a un cuerpo cargado es directamenteproporcional a la cantidad de carga del cuerpo.

También se puede demostrar que en los puntos que se alejan cada

vez más de la carga Q, una carga de prueba q experimentaráfuerzas cada vez menores. La relación exacta se deduce de la ley deCoulomb.



Suponga que deseamos calcular la intensidad del campo E a unadistancia r de una sola carga Q, como se muestra en la figura 24.5.La fuerza F que ejerce Q sobre la carga de prueba q en ese puntoes, a partir de la ley de Coulomb,

Sustituyendo este valor de F

donde k es igual a 9 X 109 N . m 2/C 2• La dirección del campo sealeja de Q si Q es positiva y, viceversa, es hacia Q si Q es negativa.Ahora tenemos una relación que nos permite calcular la intensidaddel campo en un punto sin necesidad de colocar una segundacarga en ese punto.



Cuál es la intensidad del campo eléctrico a una distancia de 2 m de unacarga de -12 uC?



Cuando más de una carga contribuye al campo, como en la figura24.6, el campo resultante es la suma vectorial de las contribucionesde cada carga consideradas independientemente.



La dirección de cada campo se determina considerando la fuerzaque experimentaría una carga de prueba positiva en el punto de

que se trata; por su parte, la magnitud del campo se halla con laecuación:

La intensidad eléctrica resultante se calcula entonces mediante elmétodo de componentes de la suma de vectores.

Dos cargas puntuales, q1 = - 6 nC y q2 = + 8 nC , están separadas por una distancia de 2 cm, como se muestra en lafigura 24.7. A partir de los datos indicados en esta figura,determine el campo eléctrico (a) en el punto A y (b) en el punto B.

EJEMPLO:



Plan: La intensidad del campo eléctrico es una propiedad delespacio. En este ejemplo no hay carga en el punto A ni en el B. Paradeterminar la dirección del campo en cualquiera de esos puntos

debemos imaginar que una pequeña carga positiva de prueba escolocada en el punto y luego convenir que el campo tiene la mismadirección que la fuerza sobre esa carga de prueba. Con base en lafigura, se advierte que el campo El en el punto A debido a la cargade -6nC se dirige a la izquierda y que el campo E2 debido a la cargade +8 nC tiene también tal dirección.

En ambos casos, ésta es la forma en que se movería una carga deprueba positiva si se colocase en el punto A. La magnitud de cadacampo se obtiene al aplicar la ecuación (E=kQ/r 2), y la sumavectorial producirá la intensidad del campo resultante en A. Unrazonamiento similar dará el campo en el punto B. Sin embargo, los

cálculos son más complejos debido al ángulo de 37° para el vector E2



CALCULO DE CAMPO ELÉCTRICO.

La ecuación

Sin embargo, en la mayoría de situaciones reales que

implican campos y fuerzas eléctricas, se encuentra que

la carga está distribuida en el espacio.

(campo eléctrico de una carga puntual),



En este punto vamos a calcular los campos eléctricoscausados por varias distribuciones de carga eléctrica. Los

cálculos de esta clase tienen una importancia enorme para

las aplicaciones tecnológicas de las fuerzas eléctricas. Para

determinar las trayectorias de los electrones en un

cinescopio, de los núcleos atómicos en un acelerador para

radioterapia contra el cáncer, o de las partículas cargadas en

un dispositivo electrónico semiconductor, se tiene que

conocer la naturaleza detallada del campo eléctrico que

actúa sobre las cargas.



Principio de superposición de fuerzas

Cuando dos cargas ejercen fuerzas de manera simultánea

sobre una tercera carga, la fuerza total que actúa sobre esacarga es la suma vectorial de las fuerzas que las dos cargas

ejercerían individualmente.

Superposición de campos eléctricos.Para encontrar el campo originado por una distribución de

carga, imaginamos que está constituida por muchas cargas

puntuales q1, q2, q3, . . .

=



En cualquier punto P dado, cada carga puntual

produce su propio campo eléctrico = 1 + 2 +3 . . ., por lo que una carga de prueba q0

colocada en un punto P experimenta una fuerzaigual a: 1 = 1 de la carga q1, una fuerza 2 =

2 de la carga q

2 y así sucesivamente. Del

principio de superposición de fuerzas, descritoanteriormente, se denota que:

la fuerza total que la distribución de carga

ejerce sobre q0 es la suma vectorial de estasfuerzas individuales:

0 = 1 + 2 + 3 + ..... = 1 + 2 + 3



Combinado de todas las cargas en la distribución

queda descrito por el campo eléctrico total en elpunto P. De la definición de campo eléctrico, seobtiene que:El campo eléctrico total en P es la suma vectorial delos campos en P debidos a cada carga puntual en

la distribución de carga (figura 21.22). Éste es elprincipio de superposición de campos eléctricos.



Cuando la carga está distribuida a lo largo de unalínea, sobre una superficie o en un volumen, son

muy útiles algunos términos adicionales. Para unadistribución de carga en línea, usamos λ pararepresentar la densidad lineal de carga. (cargapor unidad de longitud, medida en C/m).

Cuando la carga está distribuida sobre unasuperficie se usa σ, para representar la densidadsuperficial de carga (carga por unidad de área,

se mide en C/m2). Y cuando la carga sedistribuye en un volumen, se usa ρ (ro) pararepresentar la densidad volumétrica de carga(carga por unidad de volumen, C/m3).



Ejemplo:

Campo de un dipolo eléctricoDos cargas puntuales q1 y q2 de 12 nC y 12 nC,respectivamente, están separadas por unadistancia de 0.10 m (figura 21.23). Esta

combinación de dos cargas de igual magnitud ysignos opuestos se denomina dipolo eléctrico.(Tales combinaciones ocurren con frecuencia enla naturaleza. Por ejemplo, en la molécula deagua.

Calcule el campo eléctrico causado por q1, elcampo causado por q2, y el campo total: a) en el punto a; b) en el punto b; y c) en el punto c.



Líneas del campo eléctrico

El concepto de campo eléctrico es un tanto elusivo debido a que

ningún campo eléctrico puede verse directamente. Para visualizarlos,las líneas de campo eléctrico son de gran ayuda y los hace parecer más reales. Una línea de campo eléctrico es una recta o curvaimaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo quees tangente en cualquier punto que esté en la dirección del vector del campo eléctrico en dicho punto. La figura 21.28 ilustra la ideabásica.



En sus primeras investigaciones sobre el electromagnetismo, MichaelFaraday (1791-1867) desarrolló un ingenioso sistema para observar loscampos eléctricos, el cual consiste en representar tanto la intensidadcomo la dirección de un campo mediante líneas imaginariasdenominadas líneas del campo eléctrico.

Las líneas del campo eléctrico son líneas imaginarias trazadas de talmanera que su dirección en cualquier punto es la misma que la

dirección del campo eléctrico en ese punto.Por ejemplo, las líneas trazadas radialmente hacia fuera de lacarga positiva, representan la dirección del campo en cualquier punto sobre la línea. Las líneas eléctricas próximas a una carganegativa tendrían una forma radial hacia dentro y estarían dirigidas

hacia la carga. Después veremos que la densidad de estas líneasen cualquier región del espacio es una medida de la magnitud dela intensidad del campo en esa región.



Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección de E en cadapunto, y su espaciamiento da una idea general de la magnitud de E

en cada punto. Donde E es fuerte, las líneas se dibujan muy cercauna de la otra, y donde E es más débil se trazan separadas. Encualquier punto específico, el campo eléctrico tiene dirección única,por lo que sólo una línea de campo puede pasar por cada puntodel campo. En otras palabras, las líneas de campo nunca se cruzan.

En la figura 21.29 se ilustran algunas líneas de campo eléctrico enun plano que contiene a) una sola carga positiva; b) dos cargasde igual magnitud, una positiva y otra negativa (un dipolo); y c)dos cargas positivas iguales. A veces estos diagramas reciben elnombre de mapas de campo; son secciones transversales de los

patrones reales en tres dimensiones. La dirección del campoeléctrico total en cada punto de cada diagrama está a lo largode la tangente a la línea de campo eléctrico que pasa por elpunto.



Las flechas indican la dirección del vector del campo E a lo largode cada línea de campo. Los vectores de campo reales se

dibujaron en varios puntos de cada patrón. Observe que, engeneral, la magnitud del campo eléctrico es diferente en distintospuntos de una línea de campo dada; ¡una línea de campo no esuna curva de magnitud de campo eléctrico constante!



La figura 21.31a muestra una molécula de agua (H2O), que enmuchos sentidos se comporta como un dipolo eléctrico. La moléculade agua en su totalidad es eléctricamente neutra; no obstante, losenlaces químicos dentro de la molécula ocasionan undesplazamiento de la carga.

Dipolos eléctricos

Un dipolo eléctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud ysignos opuestos (una carga positiva q y una carga negativa 2q)separadas por una distancia d. En el ejemplo 21.9 se presentaron losdipolos eléctricos; el concepto es digno de estudiarse con másdetenimiento porque muchos sistemas físicos, desde moléculas hastaantenas de televisión, se pueden describir como dipolos eléctricos.

El resultado es una carga neta negativa en el extremo del oxígeno dela molécula, y una carga neta positiva en el extremo del hidrógeno,formando así un dipolo.



21.31 a) Una molécula de agua es un ejemplo de dipolo eléctrico



. b) Cada tubo de ensayo contiene una solución de diferentessustancias en agua. El momento dipolar eléctrico grande del agua

la convierte en un magnífico solvente.



El efecto es equivalente al desplazamiento de un electrón alrededor de sólo 4 x 10-11 m (aproximadamente el radio de un átomo dehidrógeno); sin embargo, las consecuencias de tal desplazamientoson profundas. El agua es un magnífico solvente para las sustanciasiónicas como la sal de mesa (cloruro de sodio, NaCl) precisamenteporque la molécula de agua es un dipolo eléctrico (figura 21.31b).



Fuerza y par de torsión en un dipolo eléctrico

Coloquemos un dipolo eléctrico en un campo eléctrico

externo uniforme E como se indica en la figura. Lasfuerzas F+ y F- en las dos cargas tienen una magnitud deqE , pero sus direcciones son opuestas y su suma es igual acero. La fuerza neta sobre un dipolo eléctrico en uncampo eléctrico externo uniforme es cero.



Sin embargo, las dos fuerzas no actúan a lo largo dela misma línea, por lo que sus pares de torsión no

suman cero.Los pares se calculan con respecto al centro deldipolo. Sea Φ el ángulo entre el campo eléctrico Ey el eje del dipolo; entonces, el brazo de palanca

tanto para F+ como para F- es (d/2) sen Φ .

El par de torsión de F+ y el par de torsión de F-tienen ambos la misma magnitud de (qE) (d/2) sen

Φ, y los dos pares de torsión tienden a hacer girar eldipolo en el sentido horario



Entonces, la magnitud del par de torsión neto es eldoble de la magnitud de cualquier par de torsión

individual:

donde d sen Φ es la distancia perpendicular entrelas líneas de acción de las dos fuerzas. El productode la carga q y la separación d es la magnitud deuna cantidad llamada momento dipolar eléctrico,

que se denota con p:

p = qd (magnitud del momento dipolar eléctrico)



Las unidades de p son de carga por distancia (C * m).Por ejemplo, la magnitud del momento dipolar

eléctrico de una molécula de agua es p = 6.13 x 10-30

C * m.

Además, el momento dipolar eléctrico se definecomo una cantidad vectorial p y su magnitud deestá dada por la ecuación anterior, y su direcciónocurre a lo largo del eje dipolar, de la carganegativa a la carga positiva, como se muestra en lafigura.



En términos de p , la ecuación (21.13) para lamagnitud del par de torsión ejercido por el campo

se convierte en:

(magnitud del par de torsión sobre un dipolo eléctrico)

Como en la figura anterior Φ es el ángulo entre lasdirecciones de los vectores p y E y esto nosrecuerda la expresión de la magnitud del productovectorial.

A x B = AB sen Ø



Entonces, es posible escribir el par de torsión sobre eldipolo en forma vectorial como:

(par de torsión sobre un dipolo eléctrico, en forma vectorial)



Energía potencial de un dipolo eléctrico

Cuando un dipolo cambia de dirección en uncampo eléctrico, el par de torsión del campoeléctrico realiza trabajo sobre él, con el cambiocorrespondiente en su energía potencial.

El trabajo dW realizado por un par de torsióndurante un desplazamiento infinitesimal dΦ estádado por la ecuación:



Como el par de torsión está en la dirección en queΦ disminuye, debemos escribir el par de torsión

como:De donde

En un desplazamiento finito de Φ1 a Φ2, el trabajototal realizado sobre el dipolo es



El trabajo es el negativo del cambio de energíapotencial, W = U1 - U2. Por lo tanto, se observa que

una definición adecuada de la energía potencial Upara este sistema es

En esta expresión se reconoce el producto escalar

por lo que también se puede escribir

(energía potencial para un dipolo en el campo eléctrico)



La figura 21.33 muestra un dipolo eléctrico en uncampo eléctrico uniforme con magnitud de 5 x 105 N/Cdirigido en forma paralela al plano de la figura. Lascargas son +/- 1.6 x 10-19 C; ambas se encuentran en elplano y están separadas por una distancia de 0.125nm. (Tanto la magnitud de la carga como la distancia

son cantidades moleculares representativas.)Encuentre:a) La fuerza neta ejercida por el campo sobre el

dipolo;b) La magnitud y la dirección del momento dipolar

eléctrico;c) La magnitud y la dirección del par de torsión;d) La energía potencial del sistema en la posición que

se muestra.



a) Cero.

c)

b)

d)



Carga puntual dentro de una superficieesférica

En cada punto de la superficie, es perpendicular a ésta, y sumagnitud es la misma en todos los puntos, como se ilustra en elejemplo a continuación. El flujo eléctrico total es el producto de lamagnitud del campo E por el área total A = 4πR2 de la esfera:

El flujo es independiente del radio R de la esfera; sólo depende de la

carga q encerrada por la esfera.



Flujo eléctrico a través de una esfera

Una carga puntual positiva q = 3.0 µC está rodeada por una esferacentrada en la carga y cuyo radio mide 0.20 m (figura). Determineel flujo eléctrico a través de la esfera debido a esta carga.



22.3. Se mide un campo eléctrico de 1.25 x 106 N/C a unadistancia de 0.150 m de una carga puntual. a) ¿Cuál es el flujoeléctrico a través de una esfera a esas distancia de la carga?b) ¿Cuál es la magnitud de la carga?



22.8. Las tres esferas pequeñas que se muestran en la figura22.33 tienen cargas q1 = 4.00 nC, q2 = - 7.80 nC y q3 = 2.40 nC.Calcule el flujo eléctrico neto a través de cada una de lassiguientes superficies cerradas que se ilustran en seccióntransversal en la figura: a) S1; b) S2; c) S3; d) S4; e) S5. f ) Lasrespuestas para los incisos a) a e), ¿dependen de la maneraen que está distribuida la carga en cada esfera pequeña?¿Por qué?



POTENCIAL ELÉCTRICO

Cuando una partícula con carga se mueve en un campo eléctrico,el campo ejerce una fuerza que efectúa trabajo sobre la partícula.

Este trabajo siempre se puede expresar en términos de la energíapotencial eléctrica.

Así como la energía potencial gravitatoria depende de la altura deuna masa sobre la superficie terrestre, la energía potencial eléctricadepende de la posición que ocupa la partícula con carga en el

campo eléctrico.Describiremos la energía potencial eléctrica utilizando un conceptonuevo, llamado potencial eléctrico o simplemente potencial. Esfrecuente que en el estudio de los circuitos, una diferencia depotencial entre un punto y otro reciba el nombre de voltaje.

Este capítulo trata de la energía que se asocia con las interacciones

eléctricas. Cada vez que se enciende una luz, un reproductor de CD oun aparato eléctrico, se utiliza energía eléctrica, un elementoindispensable de nuestra sociedad tecnológica.



Energía potencial eléctrica.-

Cuando una fuerza actúa sobre una partícula que se muevede un punto a, a un punto b, el trabajo efectuado por lafuerza está dado por la siguiente integral de línea:

(Trabajo realizado por una fuerza)

Donde es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de latrayectoria de la partícula, y φ es el ángulo entre y encada punto de la trayectoria.

si la fuerza F es conservativa, el trabajo realizado por F

siempre se puede expresar en términos de una energíapotencial U.



Cuando la partícula se mueve de un punto donde la energíapotencial es Ua a otro donde es Ub, el cambio en la energía

potencial es ΔU = Ub - Ua, y el trabajo Wa→b que realiza lafuerza es:

Wa→b = Ua – Ub = -(Ub - Ua) = - ΔU

(trabajo efectuado por una fuerza conservativa)

Cuando Wa→b es positivo, Ua es mayor que Ub, ΔU es negativoy la energía potencial disminuye.

Ejemplo:Cuando una pelota cae de un punto elevado (a) a otro más bajo(b) en presencia de la gravedad terrestre; la fuerza de la gravedadefectúa un trabajo positivo, y la energía potencial gravitacionaldisminuye. Cuando se lanza una pelota hacia arriba, la fuerzagravitatoria hace un trabajo negativo durante el ascenso, y laenergía potencial aumenta.



El teorema del trabajo y la energía establece que el cambioen la energía cinética ΔK = Kb - Ka durante cualquier

desplazamiento es igual al trabajo total realizado sobre lapartícula. Si el único trabajo efectuado sobre la partícula lorealizan fuerzas conservativas, entonces la ecuación da eltrabajo total, y Kb - Ka = - (Ub - Ua). Por lo general esto seescribe así:

Ka + Ua = Kb + Ub

Es decir, en estas circunstancias, la energía mecánica total(cinética más potencial) se conserva.



Energía potencial eléctrica en un campo uniforme

En la figura siguiente un par de placas metálicas paralelas

con carga generan un campo eléctrico uniformedescendente y con magnitud E. El campo ejerce una fuerzahacia abajo con magnitud F = q0E sobre una carga deprueba positiva q0.

Trabajo realizado sobre una carga puntual que se mueve en uncampo eléctrico uniforme. Compare esta ilustración con la figuraanterior.



A medida que la carga se mueve hacia abajo una distanciad del punto a al punto b, la fuerza sobre la carga de pruebaes constante e independiente de su localización. Por lotanto, el trabajo realizado por el campo eléctrico es elproducto de la magnitud de la fuerza por la componente dedesplazamiento en la dirección (descendente) de la fuerza.

Wa→b= Fd = q0E d

Este trabajo es positivo, toda vez que la fuerza está en la mismadirección que el desplazamiento neto de la carga de prueba.



U = q0Ey

Cuando la carga de prueba se mueve de la altura y a la



Cuando la carga de prueba se mueve de la altura ya a laaltura yb, el trabajo realizado sobre la carga por el campoestá dado por



Energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales

En primer lugar se considerará un desplazamiento a lo largo de unalínea radial, como se ilustra en la figura siguiente, del punto a alpunto b. La fuerza sobre q0 está dada por la ley de Coulomb, y sucomponente radial es

Si q y q0 tienen el mismo signo (+ o - ), la fuerza es de repulsióny Fr es positiva; si las dos cargas tienen signos opuestos, lafuerza es de atracción y Fr es negativa. La fuerza no esconstante durante el desplazamiento, y se tiene que integrar para obtener el trabajo W a→b que realiza esta fuerza sobre q0

a medida que q0 se mueve de a → b. Resulta lo siguiente:



La carga de prueba q0 se desplaza a lo largo de una línea recta quese extiende en forma radial desde la carga q. Conforme se desplaza

de a →b, la distancia varía de ra → rb.

El trabajo es el mismo para todas las trayectorias posibles entre a y b



El trabajo es el mismo para todas las trayectorias posibles entre a y b.Para demostrar esto, se considera un desplazamiento más general(figura 23.6) en el que a y b no están en la misma línea radial. el

trabajo efectuado sobre q0 durante este desplazamiento está dadopor:

Pero la figura muestra que cos Φ dl = dr. Es decir, el trabajo realizadodurante un desplazamiento dl pequeño depende sólo del cambio dr

en la distancia r entre las cargas, el cual es la componente radial deldesplazamiento.



qq /4πε rPor lo tanto si se define como la energía potencial U



qq0 /4πε0 r aPor lo tanto si se define como la energía potencial Ua

cuando q0 está en el punto a, a una distancia r a de q, y se definecomo la energía potencial Ub cuando q0 está en el

punto b, a una distancia r b de q. De esta forma, la energía potencialU cuando la carga de prueba q0 está a cualquier distancia r de lacarga q es

qq0 /4πε0 r b

EJEMPLO:



IDENTIFICAR L f lé t i t l it ó l tí l lf



IDENTIFICAR: La fuerza eléctrica entre el positrón y la partícula alfa esconservativa, por lo que la energía mecánica (cinética máspotencial) se conserva.



Los valores de las energías en el lado derecho de esta expresión son



Por lo tanto, la energía cinética final es



y la rapidez final del positrón es

La fuerza es de repulsión, por lo que el positrón acelera conforme se

aleja de la partícula alfa estacionaria.b) Cuando las posiciones finales del positrón y la partícula alfa estánmuy lejos una de otra, la separación r b tiende al infinito y la energíapotencial final Ub tiende a cero. Así, la energía cinética final delpositrón es:



Cuando q0 está en un punto b diferente, la energía potencial estádada por la misma expresión, pero r 1, r 2, . . . son las distancias desdeq1, q2, . . . al punto b. El trabajo efectuado sobre la carga q0 cuando

se desplaza de a a b a lo largo de cualquier trayectoria es igual a ladiferencia Ua - Ub entre las energías potenciales cuando q0 está en ay en b.



Potencial eléctrico



Potencial eléctricoEl potencial es la energía potencial por unidad de carga. Se defineel potencial V en cualquier punto en el campo eléctrico como la

energía potencial U por unidad de carga asociada con una cargade prueba q0 en ese punto:

Tanto la energía potencial como la carga son escalares, por lo queel potencial es una cantidad escalar. Sus unidades se encuentran apartir de la ecuación (23.12), dividiendo las unidades de energíaentre las de carga. La unidad del SI para el potencial se llama volt (1V) en honor del científico italiano y experimentador eléctrico Alejandro Volta (1745-1827), y es igual a 1 joule por coulomb:



Cálculo del potencial eléctrico



Cálculo del potencial eléctrico

En esta expresión, r i es la distancia de la i-ésima carga, qi , al punto en que se evalúa V.

Cuando se tiene una distribución continua de carga a lo largo de una



línea, sobre una superficie o a través de un volumen, se divide la cargaen elementos dq y la suma en la ecuación (23.15) se convierte en

integral:

donde r es la distancia que hay entre el elemento con carga dq y elpunto del campo donde se desea obtener V.

Obtención del potencial eléctrico



Obtención del potencial eléctricoa partir del campo eléctrico



Electrón volts



Electrón voltsLa magnitud e de la carga del electrón se usa para definir una unidad

de energía que es útil en muchos cálculos con los sistemas atómico ynuclear. Cuando una partícula con carga q se desplaza de un puntoen el que el potencial es V b a otro en que es V a , el cambio en laenergía potencial U es



Superficies equipotenciales



p q p

Las líneas de campo (véase la sección 21.6) nos ayudan a

visualizar los campos eléctricos. En forma similar, el potencialen varios puntos de un campo eléctrico puede representarsegráficamente por medio de superficies equipotenciales. Éstasutilizan la misma idea fundamental que los mapastopográficos que emplean los excursionistas y alpinistas (figura

23.23). En un mapa topográfico las curvas de nivel unenpuntos que se encuentran a la misma elevación. Se puededibujar cualquier número de ellas, pero lo común es tener sóloalgunas curvas de nivel a intervalos iguales de elevación. Siuna masa m se moviera sobre el terreno a lo largo de una

curva de nivel, la energía potencial gravitacional mgy nocambiaría porque la elevación y sería constante.



Así, las curvas de nivel en un mapa topográfico en realidad soncurvas de energía potencial gravitacional constante.

Por analogía con las curvas de nivel en un mapa topográfico, unasuperficie equipotencial es una superficie tridimensional sobre la queel potencial eléctrico V es el mismo en todos los puntos. Si una cargade prueba q0 se desplaza de un punto a otro sobre tal superficie, laenergía potencial eléctrica q0V permanece constante. En una región

en la que existe un campo eléctrico, es posible construir unasuperficie equipotencial a través de cualquier punto. Los diagramaspor lo general muestran sólo algunas superficies equipotencialesrepresentativas, a menudo con iguales diferencias de potencial entresuperficies adyacentes. Ningún punto puede estar en dos potencialesdiferentes, por lo que las superficies equipotenciales para distintospotenciales nunca se tocan o intersecan.

23.23 Las curvas de nivel en un mapa topográfico son curvas deelevación constante es decir de energía potencial gravitacional



elevación constante, es decir, de energía potencial gravitacionalconstante

Superficies equipotenciales y líneas de campo



La figura 23.24 muestra tres configuraciones de cargas. Las líneas decampo en el plano de las cargas están representadas por líneas rojas,

y las intersecciones de las superficies equipotenciales con este plano(es decir, las secciones transversales de estas superficies) se indicancon líneas azules. Las superficies equipotenciales reales sontridimensionales. En cada cruce de una línea equipotencial y unalínea de campo, las dos son perpendiculares.



CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS



Un capacitor es un dispositivo que almacena energía potencial

eléctrica y carga eléctrica.Los capacitores tienen un gran número de aplicaciones prácticas endispositivos tales como unidades de flash electrónicas parafotografía, láseres de pulso, sensores de bolsas de aire paraautomóviles y receptores de radio y televisión.

Capacitores y capacitanciaDos conductores separados por un aislante (o vacío) constituyen uncapacitor (figura 24.1). En la mayoría de las aplicaciones prácticas,cada conductor tiene inicialmente una carga neta cero, y loselectrones son transferidos de un conductor al otro; a esta acción se

le denomina cargar el capacitor.



Entonces, los dos conductores tienen cargas de igual magnitud ysigno contrario y la carga neta en el capacitor en su conjunto



signo contrario, y la carga neta en el capacitor en su conjuntopermanece igual a cero.

Cuando se dice que un capacitor tiene carga Q, o que una carga Qestá almacenada en el capacitor, significa que el conductor con elpotencial más elevado tiene carga +Q y el conductor con elpotencial más bajo tiene carga -Q (si se supone que Q es positiva).

Hay que tener presente esto en el análisis y los ejemplos que siguen.En los diagramas de circuito, un capacitor se representa concualquiera de estos símbolos:

En cada uno de estos símbolos, las líneas verticales (rectas o curvas)representan los conductores, y las líneas horizontales representan losalambres conectados a uno y otro conductor.

Una manera común de cargar un capacitor es conectar estos dosalambres a las terminales opuestas de una batería. Una vez



alambres a las terminales opuestas de una batería. Una vezestablecidas las cargas Q y -Q en los conductores, se desconecta labatería. Esto da una diferencia de potencial fija V

ab entre los

conductores (es decir, el potencial del conductor con carga positivaa con respecto al potencial del conductor con carga negativa b),que es exactamente igual al voltaje de la batería.

El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre losconductores es proporcional a la magnitud Q de carga en cada

conductor. Por lo tanto, la diferencia de potencial V ab entre losconductores también es proporcional a Q. Si se duplica la magnitudde la carga en cada conductor, también se duplican la densidadde carga en cada conductor y el campo eléctrico en cada punto,al igual que la diferencia de potencial entre los conductores; sinembargo, la razón entre la carga y la diferencia de potencial nocambia. Esta razón se llama capacitancia C del capacitor:

La unidad del SI para la capacitancia es el farad (1 F), en honor delfísico inglés del siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo con la



físico inglés del siglo XIX, Michael Faraday. De acuerdo con laecuación (24.1), un farad es igual a un coulomb por volt (1 C/V):

1 F =1 farad = 1 C/V = 1 coulomb/volt

Cálculo de la capacitancia: Capacitores con vacío

Es posible calcular la capacitancia C de un capacitor dadoencontrando la diferencia de potencial V ab entre los conductorespara una magnitud de carga dada Q y aplicando la ecuación (24.1).Por ahora sólo se considerarán capacitores con vacío; es decir, sesupondrá que los conductores que constituyen el capacitor estánseparados por un espacio vacío.

La forma más sencilla de un capacitor consiste en dos placasconductoras paralelas, cada una con área A, separadas por una



conductoras paralelas, cada una con área A, separadas por unadistancia d que es pequeña en comparación con sus dimensiones(figura 24.2a). Cuando las placas tienen carga, el campo eléctricoestá localizado casi por completo en la región entre las placas (figura24.2b). Como se dijo en el ejemplo 22.8 (sección 22.4), el campoentre esas placas es esencialmente uniforme, y las cargas en lasplacas se distribuyen de manera uniforme en sus superficies opuestas.Este arreglo recibe el nombre de capacitor de placas paralelas.

En ejemplos anteriores se vio que:

es la magnitud (valor absoluto) de la densidad superficial de cargaen cada placa. Esto es igual a la magnitud de la carga total Q encada placa dividida entre el área A de la placa, o bien,



La magnitud del campo E se expresa como:



El campo es uniforme y la distancia entre las placas es d, por lo que ladiferencia de potencial (voltaje) entre las dos placas es

A partir de esto se observa que la capacitancia C de un capacitor deplacas paralelas con vacío es



PLANTEAR: Se dan los valores de C y d para un capacitor de placas

paralelas, por lo que se emplea la ecuación (24.2) y se despeja lavariable buscada A.



Capacitores en serie y en paralelo

Los capacitores se fabrican con ciertas capacitancias y voltajes de



p p y jtrabajo estándares (figura 24.7). Sin embargo, estos valores estándar

podrían no ser los que se necesiten en una aplicación específica. Sepueden obtener los valores requeridos combinando capacitores; sonposibles muchas combinaciones, pero las más sencillas son laconexión en serie y la conexión en paralelo.

Capacitores en serie

La figura 24.8a es un diagrama de una conexión en serie. Se conectanen serie dos capacitores (uno en seguida del otro) mediante alambres



p ( g )conductores entre los puntos a y b.



En relación con la figura 24.8a, las diferencias de potencial entre lospuntos a y c, c y b, y a y b, pueden representarse como



por lo que

La capacitancia equivalente C eq de la combinación en serie se

define como la capacitancia de un solo capacitor para el que la



p p p q

carga Q es la misma que para la combinación, cuando la

diferencia de potencial es la misma. En otras palabras, la

combinación se puede sustituir por un capacitor equivalente

de capacitancia C eq. Para un capacitor de este tipo, como el

que se ilustra en la figura 24.8b,

Al combinar las ecuaciones (24.3) y (24.4) se encuentra que

Este análisis se puede extender a cualquier número de capacitoresconectados en serie. Se obtiene el siguiente resultado para el



recíproco de la capacitancia equivalente:

Capacitores en paralelo

El arreglo que se muestra en la figura 24 9a se llama conexión en



El arreglo que se muestra en la figura 24.9a se llama conexión enparalelo. Dos capacitores están conectados en paralelo entre los

puntos a y b. En este caso, las placas superiores de los doscapacitores están conectadas mediante alambres conductorespara formar una superficie equipotencial, y las placas inferioresforman otra. Entonces, en una conexión en paralelo, la diferencia depotencial para todos los capacitores individuales es la misma, y esigual a Vab = V. Sin embargo, las cargas Q1 y Q2 no sonnecesariamente iguales, puesto que pueden llegar cargas a cadacapacitor de manera independiente desde la fuente (como unabatería) de voltaje Vab. Las cargas son

La carga total Q de la combinación, y por consiguiente la cargatotal en el capacitor equivalente, es



por lo que



24.9 Conexión en paralelo de dos capacitores.

curso de fisica iii - clases

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