curso de estadística básica - uteq.edu.mx curso mars/sesiones/pdf... · cuando los datos...

Estadística Básica

Curso de Estadística Básica

MCC. Manuel Uribe Saldaña

MCC. José Gonzalo Lugo Pérez

SESION 6

ANÁLISIS DESCRIPTIVO Y REPRESENTACIÓN DE DATOS

DE DOS VARIABLES


Objetivo

Representar datos de dos variables de forma

tabular y gráfica. Comprender la distinción entre los

propósitos básicos del análisis de correlación y

regresión lineal. (Sesión 6 y 7)


Agenda Sesión 6

• Datos de dos variables

• Correlación lineal (Sesión 6)

• Regresión lineal (Sesión 7)

• Evaluación (Sesión 7)


Casos

• A medida que una persona crece, por lo general

aumenta de peso. Alguien podría preguntar,

“¿existe alguna relación entre la estatura y el

peso?”

• Médicos dedicados a la investigación, prueban

fármacos nuevos y obsoletos prescribiendo dosis

diferentes en pacientes y observando sus

respuestas. Una de las preguntas podría ser, “¿la

dosis del medicamento prescrito determina la

cantidad de tiempo de recuperación que necesita el

paciente?”


Datos de dos variables

Estos datos constan de los valores de dos variables respuesta

diferentes que se obtienen del mismo elemento de la población.

Cada una puede ser cualitativa o cuantitativa. Como resultado, los

datos bivariados pueden formarse mediante tres combinaciones de

variable:

1. Ambas variables son cualitativas (de atributo)

2. Una variable es cualitativa y otra cuantitativa (numérica)

3. Ambas variables son cuantitativas


Dos variables cualitativas

Cuando los datos bivariados resultan de dos variables cualitativas, los

datos se disponen en una tabla cruzada o de contingencia.

Filosofía y LetrasAdministración de

EmpresasTecnología Totales por renglón

Masculino 5 6 7 18

Femenino 5 5 2 12

Totales por

columna 10 11 9 30

Especialización

Género


Ejemplo

Treinta estudiantes de una Universidad fueron

identificados y clasificados aleatoriamente

según dos variables:

• Género (M/F)

• Especialización (Filosofía y Letras,

Administración de Empresas, Tecnología)

A continuación se muestran los datos en la tabla:


Nombre Género Especialización Nombre Género Especialización

Adams M FyL Kee M AE

Argento F AE Kleeberg M FyL

Baker M FyL Light M FyL

Bennet F FyL Linton F FyL

Brock M AE Lopez M T

Brand M T McGowan M AE

Chun F FyL Mowers F AE

Crain M T Ornt M T

Cross F FyL Palmer F AE

Ellis F FyL Pullen M T

Feeney M T Rattan M AE

Flanigau M AE Sherman F AE

Hodge F AE Small F T

Holmes M T Tate M AE

Jopson F T Yamamoto M FyL


Tabla cruzada

Estos datos pueden resumirse en una tabla

cruzada o de contingencia de 2 x 3 donde se

presenta la frecuencia para cada categoría

cruzada de las dos variables junto con los

totales por renglón y por columna

denominados totales marginales (o

marginales). El total de los totales marginales

es el gran total y es igual a n, el tamaño de la

muestra.




Masculino 5 6 7 18

Femenino 5 5 2 12

Totales por

columna 10 11 9 30

Especialización

Género

Tabla cruzada


Frecuencias relativas

Las tablas de contingencia a menudo presentan

porcentajes (frecuencias relativas). Estos

porcentajes pueden estar basados en toda la

muestra o en las clasificaciones de la

submuestra (renglones o columnas).


Porcentajes basados en el

gran total (toda la muestra)

La tabla de contingencia puede convertirse

fácilmente en porcentajes del gran total, al dividir

cada frecuencia entre el gran total y multiplicar por

100 el resultado.



Masculino 17% 20% 23% 60%

Femenino 17% 17% 7% 40%

Totales por

columna 33% 37% 30% 100%

Especialización

Género


Porcentajes basados en el gran total

Con la tabla de contingencia expresada en

porcentajes puede verse fácilmente que el 60% de

la muestra son hombres, 40% mujeres, 30% están

especializándose en tecnología, etc.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

Filosofía y Letras Administración de Empresas

Tecnología

Porcentajes basados en el gran total

Masculino

Femenino


Porcentajes basados en

los totales por renglón

Los elementos de la misma tabla de contingencia

pueden expresarse como porcentajes de los totales

por renglón (o género), al dividir cada elemento del

renglón entre el total de éste y multiplicar por 100 el

resultado.



Masculino 28% 33% 39% 100%

Femenino 42% 42% 17% 100%

Totales por

columna 33% 37% 30% 100%

Especialización

Género



los totales por renglón

En la tabla anterior se observa que el 28% de los

hombres están especializándose en Filosofía y

Letras, mientras que el 42% de las mujeres están

especializándose en la misma área.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

Masculino Femenino

Porcentajes basados en el género

Filosofía y Letras

Administración de Empresas

Tecnología



los totales por columna

Los elementos de la tabla de contingencia también

pueden expresarse como porcentajes de los totales

por columna (o especialización), al dividir cada

elemento de la columna entre el total de ésta y

multiplicar por 100 el resultado.



Masculino 50% 55% 78% 60%

Femenino 50% 45% 22% 40%

Totales por

columna 100% 100% 100% 100%

Especialización

Género



los totales por columna

Con base en la tabla anterior, se observa que de

todos los estudiantes de Filosofía y Letras, la mitad

son hombres y la otra mitad son mujeres.

0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%

Filosofía y Letras Administración de Empresas

Tecnología

Porcentajes basados en la especialización

Masculino

Femenino


Una variable cualitativa y

otra cuantitativa

Cuando los datos bivariados se obtienen de una

variable cuantitativa y otra cualitativa, los valores

cuantitativos se consideran como muestras ajenas,

cada una identificada por niveles de la variable

cualitativa. Se aplica la estadística descriptiva vista

en sesiones anteriores como, la media, varianza,

desviación estándar, Q1, mediana, Q3, etc., y los

resultados se presentan uno junto al otro para

efectos de comparación.


Ejemplo

Para comparar la capacidad de frenado de tres

diseños de bandas de rodamiento, se midió la

distancia necesaria para detener un automóvil de

3000 libras que se desplazaba sobre pavimento

húmedo. Los neumáticos de cada diseño fueron

probados en el mismo vehículo que circulaba sobre

un pavimento húmedo controlado.

37 36 33 35 40 39

34 40 34 42 41 41

38 32 38 34 40 43

Diseño A Diseño B Diseño C

n=6 n=6 n=6


Nota

El diseño de la banda de rodamiento es una

variable cualitativa con tres niveles de respuesta y

la distancia de frenado es una variable cuantitativa.

La distribución de las distancias de frenado del

diseño A, de la banda de rodamiento, debe

compararse con las distribuciones de las distancias

de frenado de cada uno de los diseños de la banda.

Esta comparación puede efectuarse aplicando

técnicas numéricas y gráficas.


Resumen de cinco puntos

para cada diseño

Diseño A Diseño B Diseño C

Máximo 40 42 43

Q3 37.8 37.3 41

Mediana 36.5 34.5 40.5

Q1 34.5 34 40

Mínimo 32 33 39

Media 36.2 36.0 40.7

Desviación estándar 2.9 3.4 1.4


Dos variables cuantitativas

Cuando los datos bivariados son resultado de dos

variables cuantitativas, los datos matemáticos

suelen expresarse como pares ordenados (x, y),

donde x es la variable de entrada (variable

independiente) y y es la variable de salida

(variable dependiente).

En los problemas en que intervienen dos variables

cuantitativas, los datos de la muestra se presentan

gráficamente en un diagrama de dispersión


Diagrama de dispersión

Es la gráfica de todos los pares ordenados de datos

de dos variables que están en un sistema de ejes

coordenados . La variable de entrada, x, se grafica

en el eje horizontal y la variable de salida, y, se

grafica en el eje vertical.


Ejemplo

En la clase de educación física del señor Torres, se

tomaron varios puntajes de condición física. La

muestra siguiente es el número de “lagartijas” y

“sentadillas” realizadas por 10 estudiantes elegidos

aleatoriamente:

En la siguiente tabla se presentan estos datos

muestrales y un diagrama de dispersión de los

datos

(27,30) (22,26) (15,25) (35,42) (30,38)

(52,40) (35,32) (55,54) (40,50) (40,43)


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lagartijas (x) 27 22 15 35 30 52 35 55 40 40

Sentadillas (y) 30 26 25 42 38 40 32 54 50 43

Estudiante

25

35

45

55

15 25 35 45 55

Sen

tad

illas

Lagartijas

Clase de educación física del señor Torres


Correlación Lineal

El objetivo primordial del análisis de correlación lineal es medir la

intensidad de una relación lineal entre dos variables. Se aplica en

datos cuantitativos que muestran diferentes relaciones entre

variables independientes o de entrada, x, y variables dependientes

o de salida, y. Si a medida que crece x no hay un cambio definido

en los valores de y, se dice que no hay correlación o relación entre

x y y. Si a medida que crece x, hay un cambio en los valores de y,

existe una correlación. La correlación es positiva cuando y tiende a

crecer, y es negativa cuando y tiende a decrecer. Si los pares

ordenados (x, y) tienden a seguir un patrón de línea recta, se tiene

una correlación lineal. La precisión del cambio en y cuando crece x,

determina la intensidad de la correlación lineal.


Coeficiente de correlación lineal

El coeficiente de correlación lineal r, es la medida

numérica de la intensidad de la relación lineal entre

dos variables. El coeficiente refleja la consistencia

del efecto que el cambio en una variable tiene sobre

la otra. Este valor ayuda a responder a la pregunta

¿Existe una correlación lineal entre las dos

variables en consideración? El coeficiente de

correlación lineal, r, siempre tiene un valor entre -1

y +1. Un valor de +1 significa una correlación

positiva perfecta, y un valor de -1 indica una

correlación negativa perfecta.


Cálculo de r

El valor de r está definido por la fórmula producto momento de

Pearson:

yxssn

yyxxr

)1(

))((

yx ss ,

Donde:

Son las desviaciones estándar de las variables x y y


Cálculo de r

El valor de r se puede calcular con una fórmula alternativa

equivalente al momento de Pearson como:

)_____)(_____(

_____

ydecuadradoslosdesumaxdecuadradoslosdesuma

xydecuadradoslosdesumar

)()(

)(

ySCxSC

xySCr

n

xxxSC

2

2)(

n

yyySC

2

2)(

n

yxxyxySC )(

Donde:


Ejemplo

Encuentre el coeficiente de correlación lineal para

los datos de “lagartijas” y “sentadillas” mostrados

anteriormente.

Solución:

Primero, es necesario, elaborar una tabla de

extensiones enumerando todos los pares de valores

(x, y) para poder encontrar las extensiones x2, xy y

y2, así como los totales en cada una de las cinco

columnas.


Tabla de extensiones

Estudiante Lagartijas (x) x2 Sentadillas (y) y2 xy

1 27 729 30 900 810

2 22 484 26 676 572

3 15 225 25 625 375

4 35 1225 42 1764 1470

5 30 900 38 1444 1140

6 52 2704 40 1600 2080

7 35 1225 32 1024 1120

8 55 3025 54 2916 2970

9 40 1600 50 2500 2000

10 40 1600 43 1849 1720

Sumatoria 351 13717 380 15298 14257


Cálculos

A continuación se realizan los preliminares,

sustituyendo las cinco sumatorias de la tabla de

extensiones en sus correspondientes fórmulas:

9.1396

10

)351(13717

2)(

22

n

xxxSC

0.858

10

)380(15298

2)(

22

n

yyySC

0.91910

)380)(351(14257)(

n

yxxyxySC


Cálculo de r

Finalmente se sustituyen las tres sumas de

cuadrados en el cálculo de r y se obtiene el valor

del coeficiente de correlación.

84.08394.0)0.858)(9.1396(

0.919

)()(

)(

ySCxSC

xySCr

Nota: El valor de r suele redondearse a la centésima más próxima


Conclusión

El valor del coeficiente de correlación lineal calculado ayuda a

responder a la pregunta: “¿existe una correlación lineal entre las

dos variables en consideración?”. Cuando el valor calculado de r

está próximo a cero, se concluye que hay poca correlación lineal o

que no hay correlación lineal. A medida que el valor calculado de r

cambia de 0 a +1 ó -1, indica una correlación lineal cada vez más

fuerte entre las dos variables.

Desde el punto de vista gráfico, al calcular r, se mide qué tan bien

una recta describe el diagrama de dispersión de los pares

ordenados. Cuando el valor de r cambia de 0 a +1 ó -1, los puntos

de datos que crean un patrón se acercan más a una recta.


Estimación visual del coeficiente de

correlación lineal

El siguiente método para estimar r es rápido y en

general produce un estimado razonable cuando la

“ventana de datos” es aproximadamente cuadrada.

Procedimiento

1. Coloque dos lápices sobre su diagrama de dispersión.

Manténgalos paralelos y muévalos de modo que estén lo más

cerca posible, de modo que todos los puntos del diagrama de

dispersión están entre ellos.

2. Visualice una región rectangular acotada por los dos lápices y

que termina de manera justa en los puntos extremos del

diagrama de dispersión.


Ventana de datos



correlación lineal

3. Estime cuántas veces más largo que ancho es el

rectángulo. Una forma fácil de hacerlo es marcar

mentalmente cuadrados en el rectángulo. Denomine

k a este número de múltiplos.

k=2.5



correlación lineal

4. El valor de r puede estimarse como:

5. El signo de r se determina por la posición general

del largo de la región rectangular. Si el largo está en

posición creciente, r es positivo; si está en posición

decreciente, r es negativo. Si el rectángulo está en

posición horizontal o vertical, entonces r es cero, sin

importar la razón del largo al ancho.

k

11


Estimación de r para la relación entre el

número de lagartijas y sentadillas

25

35

45

55

15 25 35 45 55

Sen

tad

illas

Lagartijas

Clase de educación física del señor Torres

k=4


Cálculo de r

75.0)4

11( r


Coeficientes de correlación lineal


Problema

Suponga que la compañía Trigos Excelentes, S.A. le haya

pedido a varios de sus representantes regionales trabajar

tiempo extra para incrementar las ventas. Usted no está

convencido de que el tiempo extra sea necesario, ni que las

horas extras estén correlacionadas con el incremento de

ventas. La siguiente tabla de datos muestra el número de horas

mensuales que los representantes trabajaban anteriormente

junto con el promedio de ventas. La tabla de datos también

muestra el incremento de horas y las nuevas ventas. Compare

el incremento de horas con el incremento de ventas para

determinar si están correlacionados.


Problema

curso de estadística básica - uteq.edu.mx curso mars/sesiones/pdf... · cuando los datos...

Documents