curso de cristalografía estructural.pdf

8/10/2019 Curso de cristalografa estructural.pdf

1/42

CURSO DE CRISTALOGRAFAESTRUCTURAL

1. El estado cristalino1.1 Introduccin1.2 Redes cristalinas

-Filas reticulares-Plano reticular- ndices de Miller-Celda unidad-Redes planas-Redes de Bravais

1. Si!etr"a-Elementos de simetra-Combinacin de elementos-Las 32 clases de simetra-Simetra redes de Bravais! Sistemas cristalinas!

1.# Si!etr"a con traslacin-Elementos de simetra con traslacin-Los "# $rupos planos-%rupos espaciales

2. $or%olo&"a de los cristales2.1 Introduccin2.2 Clases de si!etr"a2. For!as cristalinas2.# 'ro(eccin estereo&r)%ica2.* Atlas de %or!as cristalinas con sus +ro(ecciones estereo&r)%icas

. Di%raccin de ra(os ,.1 Introduccin.2 Ecuaciones de Laue

. Le( de -ra&&.# 'osiciones at!icas.* $todos de di%raccin de ra(os ,

#. Estructuras cristalinas#.1 Introduccin#.2 Coordinacin de iones#. Ti+os de estructuras cristalinas


2/42

EL ESTADO CRISTALINO

1.1- INTRODUCCINSe describen como materiales cristalinos aquellos materiales slidos cuyos elementosconstitutivos se repiten de manera ordenada y paralela y cuya distribucin en el espaciomuestra ciertas relaciones de simetra. As, la propiedad caracterstica y definidora del mediocristalino es ser peridico, es decir, que a lo largo de cualquier direccin, y dependiendo de ladireccin elegida, la materia que lo forma se halla a distancias especficas y paralelamenteorientada. Adems de sta, otras propiedades caractersticas son la homogeneidad y laanisotropa.

Por tanto, el cristal est formado por la repeticin montona de agrupaciones atmicasparalelas entre s y a distancias repetitivas especficas traslacin!. "a red cristalinaes unaabstraccin del contenido material de este medio cristalino, y el tratarlo #nicamente en funcin

de las traslaciones presentes constituye la esencia de la teora de las redes cristalinas.

$n la red cristalina todos los puntos, nudos, tienen e%actamente los mismos alrededores y sonidnticos en posicin con relacin al patrn o motivo que se repite. $ste motivo es unaconstante del cristal ya que constituye el contenido material, es decir, su naturale&a atmica, demanera que red % motivo ' cristal.

$n esta red espacial e%iste una porcin del espacio cristalino, denominado celda unidad, elcual repetido por traslacin y adosado desde un punto reticular a otro engendra todo el retculo.(e esta manera, conociendo la disposicin e%acta de los tomos dentro de la celdilla unidad,conocemos la disposicin atmica de todo el cristal.


3/42

/ 'eriodicidad$l medio cristalino es un medio peridico ya que a lo largo de cualquier direccin la materia quelo forma se halla a distancias especficas y paralelamente orientada, de forma que laorientacin y distancias a que se encuentran dependen de la direccin elegida. "a distancia

seg#n la cual las unidades estructurales se repiten paralela e idnticamente a lo largo de unadireccin dada se denomina traslacin. )stas definen la denominada red cristalina, constituidapor una serie de puntos nudos! separados entre s por las citadas traslaciones.

/ 0o!o&eneidad$n una red cristalina la distribucin de nudos alrededor de uno de ellos es la misma,independientemente del nudo que tomemos como referencia. As una red es un con*unto denudos homogneos o bien, un con*unto homogneo de nudos.

/ Anisotro+"a"a red de nudos constituyente del estado cristalino es anistropa en cuanto a las distanciasentre nudos, es decir, sta depende de la direccin seg#n la cual se mide.


4/42

1.2- REDES CRISTALINASPara una apropiada asimilacin de lo que significa el orden interno cristalino, se ha decomen&ar por la visuali&acin y definicin, a travs de vectores traslacin, del orden internomonodimensional , constituido por las diferentes direcciones de la red que definen, por superiodicidad, filas reticulares donde los nudos estn alineados y equidistantes entre s.

/ Fila reticularSe trata de una fila de nudos obtenida por aplicacin sucesiva de una traslacin definida.

$l smbolo de las filas reticulares se denomina como los ndices +uv- que son loscomponentes del vector traslacin que une dos nudos adyacentes de la fila consideradae%presados en funcin de un par primitivo cuyo origen se sit#a sobre uno de estos dos nudos.

Por e*emplo, para las filas fundamentales

Para otras filas reticulares


5/42

/ Plano reticular


6/42

/n plano reticular queda definido por dos filas reticulares con*ugadas. 0odo plano reticularpuede definirse por sus intersecciones 1a, 2b, "c! con los tres e*es fundamentales del cristal."as dimensiones de estas intersecciones 12"!, medidas desde un nudo tomado como origenson los parmetros del plano reticular correspondiente. Sin embargo, la denominacin habitualde un plano reticular son los ndices de 3iller.

/ ndices de $illerSe obtienen calculando las intersecciones 1, 2, "!, o n#mero de traslaciones, con los tres e*esfundamentales del cristal. Posteriormente se invierten y se eliminan denominadores, o bien, secalculan los cocientes entre el producto de las tres intersecciones dividido entre cada una delas intersecciones 1424"' 5, 561' h, 562'k, 56"'l!

7ntersecciones 1'8, 2'8, "'9,

7nvertimos 968':, 968':, 969'9, no e%isten denominadores

;ndices de 3iller ::9!

1.(educir las intersecciones de cada plano con los e*es cristalogrficos a, b y c. $s decir,contar el n#mero de traslaciones t9, t< y t= que ocupa el plano sobre los e*es a, b y c.


7/42

$l plano A-Docupa

2t1en el e*e a, 2t2en el e*e , y #ten el e*e c

$l plano E-Docupa

#t1en el e*e a, 2t2en el e*e , y #ten el e*e c

2. Para calcular los ndices de 3iller de cada plano, a partir de estas intersecciones, seinvierten los valores y, si es necesario, se reducen las fracciones

$l plano A-Dcorta a los e*es en .

Su inversin es 96. Sin denominadores queda .

Su inversin es 96>, 96.

?educimos fracciones, quitando denominadores 96>, , 96>. sin denominadores queda 9


8/42

Se denomina celda primitiva aquella que no tiene nudos en su interior y celda m#ltiple a la quesi los tiene y est definida por vectores m#ltiples que son m#ltiplos enteros del vector traslacinunitario de igual direccin. Se llama multiplicidad al n#mero de nudos que hay por celdaelemental todas las celdas primitivas de una red tienen multiplicidad 9 , @ 4 > ' 9!

- Redes planas

$l orden bidimensional es el resultado de traslaciones regulares en dos direcciones distintasque resultan en la definicin de los cinco tipos de redes +lanas. "a asimilacin de este ordenbidimensional es bsica para comprender la regularidad correspondiente a ob*etostridimensionales tales como la materia cristalina. Se definen cinco tipos de redes planas con lassiguientes caractersticas

Red oblicua(ab 90)


9/42

Red rectangular(ab =90)

$%isten tambin redes centradas, que son el resultado de aadir nuevos nudos en el centro de

cada paralelogramo generador de la red plana. Slo puede reali&arse esta operacin decentrado si la red resultante es morfolgicamente diferente de la originalB por ello slo puedencentrarse las redes rectangulares obtenindose una red rmbica! o las redes rmbicas dandolugar a una red rectangular!.


10/42

Red rmbica(a=b 90, 60, 120)

Red hexagonal(a=b =60, 120)


11/42

Red cuadrada(a=b =90)

"as redes planas forman, por apilamiento homogneo, los distintos tipos de redes espaciales,es decir, las distintas familias de planos cristalinos que integran el cristal. "a manera comoestos planos se apilan determina los ngulos entre las traslaciones fundamentales en las tres

dimensiones que es lo que define, a su ve&, la forma y dimensiones del paraleleppedo o celdaunidad que caracteri&a la red cristalina.

- Redes de Bravais

(e la superposicin de planos se generan catorce celdas morfolgicamente distintas que seconocen como las ?edes de Cravais, en honor de su descubridor.

$n trminos de redes cristalinas tridimensionales, los paraleleppedos fundamentales,morfolgicamente distintos son el resultado de combinar las tres traslaciones fundamentales devalores dados con sus inclinaciones respectivas, es decir, con los tres ngulos , D, y .

Su construccin se reali&a apilando paralelamente una sucesin infinita de modelos planosidnticos, de manera que la distancia entre ellos sea siempre igual familia de planos!. 3ientrasque en el plano se deducan cinco tipos de redes, en el espacio tridimensional se reconocenhasta catorce distribuciones peridicas

Red triclnica(a#b#c ###9!"


12/42

(ebido a los valores distintos entre s de las traslaciones y de los ngulos fundamentales, elparaleleppedo tiene forma cualquiera, triplemente inclinado por ello se denomina triclnico!. Setrata de una red primitiva.

Redes monoclnicas(a#b#c 9!# "

"a celda es un paraleleppedo no recto de base rectangular formados por redes planasrectangulares!.

/ Red !onocl"nica +ri!iti:a; '

/ Red !onocl"nica de ase centrada

"a operacin de centrado de redes permite la generacin de este otro tipo de red. Si se centra

la red plana rectangular 9::!, su smbolo es A, y si se centra la ::9! es E. 3orfolgicamenteestas redes slo se diferencian en su orientacin, por tanto, las redes monoclnicas de basecentrada A y E son equivalentes.

Redes rmbicas(a#b#c 9!"

/ Red r!ica +ri!iti:a; '


13/42

$l paraleleppedo fundamental es un prisma recto de base rectangular. "os tres planosfundamentales, 9::!, :9:! y ::9!, ms los planos diagonales del prisma, son redes planasrectangulares.

-Redes r!icas centradas

"a operacin de centrado de redes permite la generacin de estos otros tipos de red. Si secentran las redes planas rectangulares 9::!, :9:! y ::9! sus smbolos son respectivamenteA, C y E.

3orfolgicamente estas redes son iguales y se denominan red rmbica de base centrada,simboli&ada por E. Euando la operacin de centrado es sobre las tres caras a la ve&, la red sedenomina red rmbica de caras centradas y se simboli&a por F. Si el centrado se produce enlos planos diagonales del prisma, la red resultante se denomina red rmbica centrada en elinterior, de smbolo 7.

Redes tetragonales(ab#c 9!"

/ Red tetra&onal ; '

"a celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada. "a familia de planos ::9! son dered plana cuadrada, mientras que 9::! y :9:! son rectangulares e idnticos entre s.


14/42

/ Red tetra&onal centrada; I

Al ser iguales por simetra, los planos 9::! y :9:! no pueden centrarse independientemente,y, a su ve&, no pueden hacerlo simultneamente porque ello destruye la homogeneidad de los

planos de la misma familia.

Sin embargo, los planos diagonales, que son tambin redes rectangulares, pueden centrarsedando origen a la red tetra&onal centrada en el interior; I.

Red hexagonal$ P(ab#c 9!, %&!$ '!"


15/42


16/42

"as redes c#bicas no slo son casos especiales de redes rombodricas, sino que tambin loson de redes tetragonales!.


17/42

"!3& S'ME(R)"a porcin mnima del espacio cristalino que contiene en s misma toda la simetra de la redcristalina es la celda unidad. $l medio cristalino, por ser peridico, es un medio simtrico, ytodas sus propiedades derivan de este hecho.

$ntendiendo por simetra aquella transformacin que al aplicarse a un ob*eto hace que steconserve todas sus dimensiones, y lo de*e en una posicin indistinguible de su posicinoriginal, la operacin de simetra ms sencilla que e%iste, por definicin, en el medio cristalino,es la simpletraslacin entre un motivo y otro.

/ Ele!entos de si!etr"a

$l lugar geomtrico que ayuda a la visuali&acin de la simetra de una distribucin ordenadarecibe el nombre de elemento de simetra. "os elementos de simetra puntual la operacin desimetra de*a un punto particular del diagrama inmvil!, sin traslacin, son elplano de simetra,ele*e de rotacin y el centro de simetra o centro de inversin.

$l plano de simetra, m, o de refle%in, refle*a partes, o todos, idnticos del ob*eto a travs deun plano.

$l e*e de rotacin origina una rotacin al ob*eto de =G:H6n alrededor del e*e de derecha ai&quierda!.

e=e !onario n>1()'!*%)'!"

e=e inario (perpendicular al plano) (paralelo al plano)

n>2()'!*&%+!"

e=e ternario n>()'!*)%&!"

e=e cuaternario n>#()'!*,9!"

e=e senario n>?()'!*''!"
http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_redes.htm#Celdahttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_intr.htm#traslacionhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_elemsimet.htm#plano%20de%20simetr%C3%ADa,%20m%23plano%20de%20simetr%C3%ADa,%20mhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_elemsimet.htm#eje%20de%20rotaci%C3%B3n%23eje%20de%20rotaci%C3%B3nhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_elemsimet.htm#centro%20de%20simetr%C3%ADa,%20i%23centro%20de%20simetr%C3%ADa,%20ihttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_redes.htm#Celdahttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_intr.htm#traslacionhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_elemsimet.htm#plano%20de%20simetr%C3%ADa,%20m%23plano%20de%20simetr%C3%ADa,%20mhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_elemsimet.htm#eje%20de%20rotaci%C3%B3n%23eje%20de%20rotaci%C3%B3nhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_elemsimet.htm#centro%20de%20simetr%C3%ADa,%20i%23centro%20de%20simetr%C3%ADa,%20i


18/42

(La restriccin cristalogr!icalimita los $iros permisibles a estos cinco para *ue su orden seacompatible con la e+istencia de redes!,

"as combinaciones de ambos elementos de simetra originan los e=es de rotacin i!+ro+ios

M e=e de rotorre%le@in, rotacin de =G:H6n seguida por refle%in en un plano perpendicular ale*e.

M e=e de rotoin:ersin, rotacin de =G:H6n seguida por inversin a travs de un punto en el e*e.

orden 1 orden 3 orden 4 orden 6

" Nota# Los e-es de rotoinversin se representan por el orden del e-e .2/ 3/ 0 o 1, con el smbolo ne$ativoencima de ellos! En esta eb/ ese smbolo se identiica tambi4n por el si$no ne$ativo bien delante oinerior al n5mero de orden del e-e!

(el esquema superior representa una rotoreflexin de orden 4, y el inferior unarotoinversin del mismo orden)


19/42

Por su parte el centro de simetra, i, o centro de inversin, es un elemento de simetra puntualque invierte el ob*eto a travs de una lnea recta.

- Combinacin de elementos de simetra

"a combinacin de elementos de simetra no se produce al a&ar, est regida por una serie denormas y limitaciones que son

M "os elementos que se combinan guardan unas relaciones angulares caractersticas.

M "a combinacin de algunos elementos de simetra genera directamente la presencia de otros

E=e de orden +ar centro de si!etr"a /////// +lano de si!etr"a +er+endicular al e=e

E=e de orden n contenido en un +lano de si!etr"a //////// n/1 +lanos de si!etr"a Bueintersectan en el e=e

Dos e=es Bue se cortan ///////// un tercer e=e Bue +asa +or el +unto de corte

(entre $ro$ios e i%$ro$ios slo es $osi&le# 'n $ro$io )os i%$ro$ios*

E=e de orden n e=e inario +er+endicular //////// n/1 e=es inarios ta!in nor!ales a l

E=e de in:ersin de orden n4i!+ar5 e=e inario +er+endicular //////// n e=es inarios (

+lanos de si!etr"a

E=e de in:ersin de orden n4+ar5 e=e inario +er+endicular //////// n2 e=es inarios ( +lanosde si!etr"a

Mos e.es de inversin reali/an una operacin de simetra e0uivalente a la de dos elementos desimetra (excepto el de orden ,"

> i


20/42

E=e de rotoin:ersin de orden i!+ar > e=e +ro+io del !is!o orden centro de si!etr"a

4? > !5

E=e de rotoin:ersin de orden +ar > e=e +ro+io de !itad de orden un +lano de si!etr"a+er+endicular a l

- as )& clases de simetra

$s fcil prever que en el medio cristalino los elementos de simetra se combinan entre s hastaengendrar los modelos cristalinos regulares, que se combinan de treinta y dos manerasdistintas y dan lugar a las treinta y dos posibles clases cristalinas o grupos puntuales laoperacin de simetra de*a un punto particular del diagrama inmvil! e%istentes.

$stas treinta y dos clases cristalinas se han obtenido mediante las siguientes combinaciones de

elementos de simetra

S"!oloCo!inacin de

si!etr"aEle!entos de si!etr"a

1

Clases con un sloele!ento de si!etr"a

E=e !onario 4&iro de ?5

2 E=e inario 4&iro de 15 E=e ternario 4&iro de 125# E=e cuaternario 4&iro de 5? E=e senario 4&iro de ?5

1 E=e !onario de in:ersin 4&iro de ?in:ersin5 >

centro de in:ersin 42>i52 E=e inario de in:ersin 4&iro de 1in:ersin5 >+lano de si!etr"a 42>!5 E=e ternario de in:ersin 4&iro de 12in:ersin5# E=e cuaternario de in:ersin 4&iro de in:ersin5

?E=e senario de in:ersin 4&iro de ?in:ersin5 >

e=e ternario +lano de si!etr"a +er+endicular 4?>!5

222

Clases conco!inacin de e=es

Tres e=es inarios en +lanos +er+endiculares entres"

2

Un e=e ternario tres e=es inarios en +lanos

+er+endiculares

#22 Un e=e cuaternario dos e=es inarios en +lanos+er+endiculares

?22 Un e=e senario tres e=es inarios a 12 4+lano+er+endicular al senario52 Cuatro e=es ternarios Tres e=es inarios

#2 Tres e=es cuaternarios cuatro e=es ternarios seise=es inarios

2! Clases con un e=e deorden +ar un centro

de si!etr"a

4E=e de orden +ar centro

E=e inario +lano de si!etr"a +er+endicular a l

#! E=e cuaternario +lano de si!etr"a +er+endicular a

l?! E=e senario +lano de si!etr"a +er+endicular a l
http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_elemsimet.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_elemsimet.htm


21/42

de si!etr"a>+lano de

2!!

Clases con un e=e un+lano de si!etr"a Bue

conten&a al e=e

E=e inario dos +lanos de si!etr"a Bue se cortanen l

! E=e ternario tres +lanos de si!etr"a Bue se cortanen l

#!! E=e cuaternario cuatro +lanos de si!etr"a Bue secortan en l

?!! E=e senario seis +lanos de si!etr"a Bue se cortanen l

#2!

Clases con un e=e dos e=es i!+ro+ios

E=e cuaternario de in:ersin dos e=es inarios dos +lanos de si!etr"a

#! Tres e=es cuaternarios de in:ersin cuatro e=esternarios seis +lanos de si!etr"a

?2!E=e senario de in:ersin 4>e=e ternario +lano de

si!etr"a +er+endicular5 tres e=es inarios tres+lanos de si!etr"a

2!2!2!

4!!!5

Clases con tres e=es un centro de si!etr"a

Tres e=es inarios tres +lanos de si!etr"a+er+endiculares

2!

4!5

Un e=e ternario tres e=es inarios tres +lanos desi!etr"a +er+endiculares un centro de si!etr"a

#!2!2!

4#!!!5

Un e=e cuaternario un +lano de si!etr"a+er+endicular cuatro e=es inarios cuatro +lanos

de si!etr"a +er+endiculares centro de si!etr"a?!2!2!

4?!!!5

Un e=e senario un +lano de si!etr"a+er+endicular seis e=es inarios seis +lanos desi!etr"a +er+endiculares un centro de si!etr"a

2!

4!5

Cuatro e=es ternarios tres e=es inarios tres+lanos de si!etr"a +er+endiculares un centro de

si!etr"a

#!2!

4!!5

Tres e=es cuaternarios tres +lanos de si!etr"a+er+endiculares cuatro e=es ternarios seis e=es

inarios seis +lanos de si!etr"a +er+endiculares un centro de si!etr"a

"a distribucin siste!a cristalino/Redes de -ra:ais/Gru+os +untuales, o clases de simetra, esla siguiente

Red de -ra:ais Siste!aGru+o

+untualRed Triclnica primitiva, P Triclnico 1 1Red monoclnica primitiva, P 2 m 2/m
http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Red%20tricl%C3%ADnicahttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20tricl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20%23%C3%9F%23g%2390%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20monocl%C3%ADnicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Red%20tricl%C3%ADnicahttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20tricl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20%23%C3%9F%23g%2390%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20monocl%C3%ADnicas


22/42


23/42

- 1imetra 2 redes de Bravais

"a presencia de elementos de simetra en la red cristalina condiciona, a su ve&, la e%istencia deciertas relaciones mtricas entre los elementos de la celda elemental, las relaciones angulares

entre los e*es del cristal, o e*es cristalogrficos, y las intersecciones sobre estos e*es de la carafundamental 999!. "as dimensiones de estas intersecciones son proporcionales a lastraslaciones en las tres dimensiones de la red.

Por esta ra&n se han agrupado las redes de Cravais en siete grandes grupos redes triclnicas,redes monoclnicas, redes rmbicas, redes tetragonales, redes he%agonales, redesrombodricas y redes c#bicas. Eada uno de estos grupos de redes corresponde a un sistemacuyo nombre es idntico al de las redes correspondientes y posee unas constantes reticularesfi*as y una mnima simetra caracterstica.

Red de -ra:ais Siste!aRed Triclnica primitiva, P Triclnico

Red monoclnica primitiva, PMonoclnico

Red monoclnica centrada en las caras, C

Red rmbica primitiva, P

RmbicoRed rmbica centrada en las bases, C

Red rmbica centrada en el interior, I

Red rmbica centrada en las caras, F

Red tetragonal primitiva, PTetragonal

Red tetragonal centrada en el interior, C

Red e!agonal primitiva, P "e!agonalRed rombo$drica primitiva, P Rombo$drico o Trigonal

Red c&bica primitiva, P

C&bico o Isom$tricoRed c&bica centrada en el interior, I

Red c&bica centrada en las caras, F

"as constantes reticulares y la mnima simetra que caracteri&a a cada grupo de redes osistema cristalino es la siguiente

/ Siste!a tricl"nico(a#b#c ###9!"

5o posee ninguna simetra mnima.

- Siste!a !onocl"nicoaIbIc ''J:HIDNJ:H!

Presenta como simetra mnima un e*e de rotacin binario o un e*e de inversin binario'plano de simetra!

/ Siste!a r!ico(a#b#c 9!"
http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Red%20tricl%C3%ADnicahttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20tricl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20%23%C3%9F%23g%2390%C2%BA)%23Sistema%20tricl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20%23%C3%9F%23g%2390%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20monocl%C3%ADnicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20monocl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=g=90%C2%BA%23%C3%9F%3E90%C2%BA)%23Sistema%20monocl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=g=90%C2%BA%23%C3%9F%3E90%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20monocl%C3%ADnicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20r%C3%B3mbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20r%C3%B3mbico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)%23Sistema%20r%C3%B3mbico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20r%C3%B3mbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20r%C3%B3mbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20r%C3%B3mbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20tetragonaleshttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20tetragonal%20(a=b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)%23Sistema%20tetragonal%20(a=b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20tetragonaleshttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Red%20hexagonalhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20hexagonal%20(a=b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=90%C2%BA,%20g=120%C2%BA)%23Sistema%20hexagonal%20(a=b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=90%C2%BA,%20g=120%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#red%20rombo%C3%A9dricahttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20rombo%C3%A9drico%20o%20trigonal%20(a=b=c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g%2390%C2%BA)%23Sistema%20rombo%C3%A9drico%20o%20trigonal%20(a=b=c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g%2390%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20c%C3%BAbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20c%C3%BAbico%20(a=b=c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)%23Sistema%20c%C3%BAbico%20(a=b=c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20c%C3%BAbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20c%C3%BAbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Red%20tricl%C3%ADnicahttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20tricl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20%23%C3%9F%23g%2390%C2%BA)%23Sistema%20tricl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20%23%C3%9F%23g%2390%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20monocl%C3%ADnicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20monocl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=g=90%C2%BA%23%C3%9F%3E90%C2%BA)%23Sistema%20monocl%C3%ADnico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=g=90%C2%BA%23%C3%9F%3E90%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20monocl%C3%ADnicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20r%C3%B3mbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20r%C3%B3mbico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)%23Sistema%20r%C3%B3mbico%20(a%23b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20r%C3%B3mbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20r%C3%B3mbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20r%C3%B3mbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20tetragonaleshttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20tetragonal%20(a=b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)%23Sistema%20tetragonal%20(a=b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20tetragonaleshttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Red%20hexagonalhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20hexagonal%20(a=b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=90%C2%BA,%20g=120%C2%BA)%23Sistema%20hexagonal%20(a=b%23c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=90%C2%BA,%20g=120%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#red%20rombo%C3%A9dricahttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20rombo%C3%A9drico%20o%20trigonal%20(a=b=c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g%2390%C2%BA)%23Sistema%20rombo%C3%A9drico%20o%20trigonal%20(a=b=c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g%2390%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20c%C3%BAbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simetsist.htm#Sistema%20c%C3%BAbico%20(a=b=c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)%23Sistema%20c%C3%BAbico%20(a=b=c%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%C2%A0%20=%C3%9F=g=90%C2%BA)http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20c%C3%BAbicashttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htm#Redes%20c%C3%BAbicas


24/42

Eomo mnimo posee tres e*es binarios perpendiculares entre s.

/ Siste!a tetra&onal(ab#c 9!" Posee como caracterstica fundamental un e*e de rotacin cuaternario o un e*e deinversin cuaternario

/ Siste!a 6e@a&onal(ab#c 9!, %&!" Su caracterstica fundamental es la presencia de un e*e de rotacin senario o un e*e deinversin senario e*e ternario O plano de simetra perpendicular!

Para mayor precisin, generalmente se introduce un cuarto e*e i, coplanario con ay, queforma un ngulo de 9


25/42

/ Siste!a c


26/42

1.- SI/ETR0A CON TRASLACIN

/ Ele!entos de si!etr"a con traslacin

"a red cristalinaslo tiene sentido como indicadora de la periodicidad que se presenta en elcristal, como consecuencia de la repeticin del motivo. (ebido a ello, la simetra que revela pors la red no tiene que ser necesariamente la que posea el cristal aunque en general lo sea.

E=e!+lo3 "a coesita variedad de la slice de alta presin! tiene una red cuya mtrica esrmbica, mientras que la estructura es monoclnica, ya que el motivo carece de ciertoselementos de simetra que la mtrica de la red indicaban.

$s fcil comprender que debido a que la red es solamente la consecuencia de unas fuer&ascohesivas entre los tomos que forman el cristal, fuer&as que obligan a una repeticinmontona de las agrupaciones atmicas, la simetra de la red debe estar ntimamente

relacionada con la del cristal, entendido como agrupacin repetitiva de tomos.

"a red nos proporciona, por tanto, la simetra m%ima que el cristal puede tener, pero dichasimetra depende de la simetra propia del !oti:o. "a comple*idad que el !oti:o cristalino;)to!os; iones ( !olculas, aporta a la red cristalina hace que los elementos de simetra delmedio cristalino se amplen. Aparece la traslacin, que tiene dimensiones submicroscpicas noaccesibles a la morfologa macroscpica.

"os operadores de simetra que completan la tarea de rellenar el espacio cristalino seconsideran, cada uno de ellos, como una sola y nueva operacin de simetra. $stos son los+lanos de deslia!iento;que implican la refle%in asociada a una traslacin y los e=es6elicoidalesque implican, a su ve&, giro y traslacin.

/ 'lano de deslia!iento

$l plano de desli&amiento reali&a simultneamente dos operaciones refle*a la imagen otraslada la imagen a intervalos de media traslacin.

Euando la semitraslacin asociada al plano de desli&amiento corresponde a alguna de lasdirecciones fundamentales del cristal, el plano se denomina a, b, c, respectivamente.


27/42

Euando la semitraslacin corresponde a la diagonal del plano reflector, es decir, el plano dedesli&amiento se sit#a paralelo a la diagonal entre las filas definidas por a, b y c, el plano sesimboli&a por ny las componentes de su traslacin son

a2 2$ &,2 c,2 c,2 a,2 a,2 &,2 c,2

"os planos daparece en la estructura del diamante! se tratan tambin de planosdiagonales. Presentan como componentes de traslacin cuartos de la fundamental, es decir

a# H #$ &, Hc, c, Ha, a, H&, Hc,


28/42

$l siguiente cuadro sinteti&a la notacin y simetra de los planos en los grupos espaciales

S3%&olo S3%&olo gr!icoOrientacin

Traslacin

!

+er+endicular al+a+el

+aralelo al+a+el

415 o 415; nin&unatraslacin

415; nin&una traslacin

a


+aralelo al+a+el

415; traslacin a2

415; traslacin a2


+aralelo al +a+el

415; traslacin 2

415; traslacin 2

c ................ +er+endicular al

+a+el

415 415; traslacin c

2

n

...... +er+endicular al+a+el

+aralelo al +a+el

traslacin 4c52 en415J traslacin 4ca52en 415

traslacin 4a52 en415J traslacin 4ac52 en 4115 en siste!astetra&onal o c


29/42

/n e*e helicoidal implica, similarmente, una operacin doble

/n giro, el permisible para su orden

/na traslacin constante a lo largo del e*e

Eomo sabemos, el orden del e=ees el n#mero de repeticiones que se necesitan para lograr laidentidad, implicando una serie de giros sucesivos hasta haber completado su operacin desimetra total.

$n un e*e helicoidal, cada uno de estos giros parciales debe asociarse a una parte alcuota dela traslacin total, t, paralela a la direccin del e*e. "a identidad se logra en la operacin girocuando se ha aplicado tantas veces el giro permisible como indica el orden del e*e.


30/42

0aciendo el +eriodo de identidad; t; coincidente con el &iro co!+leto del e=e; se otienen lossi&uientes e=es 6elicoidales3

S"!oloS"!olo&r)%ico

Deno!inacin Giro Traslacin

21 Eje binario helicoidal 180 t/2

31Eje ternario helicoidal

derecho

120

dextrgirot/3

32Eje ternario helicoidal

izquierdo120 levgiro t/3

41Eje cuaternario helicoidal

derecho0 dextrgiro t/4

43Eje cuaternario helicoidal


61

Eje !enario helicoidal

derecho 60dextrgiro t/6

6"Eje !enario helicoidal


Ta!in se +ueden deducir los e=es 6elicoidales 6aciendo Bue la identidad se alcance +araKn &iros; siendo K el orden del e=e ( n un di:isor entero de K.

K4orden

del e=e5

n4di:isor

enterode K5

Kn

4&iros5

S"!olo S"!olo

&r)%ico

Deno!inacin Giro Traslacin

4 2 2 42Eje cuaternario#

binario helicoidal0 t/2

6 3 2 63Eje !enario#

ternario helicoidal60 t/2

6 2 3 62

Eje !enario#

binario helicoidal

derecho

60

dextrgirot/3

6 2 3 64

Eje !enario#

binario helicoidal

izquierdo

60

levgirot/3

/ Los 1 &ru+os +lanos
http://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes2.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes2.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes2.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes2.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes2.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes2.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes2.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes3.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes4.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/16ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gifhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/imagenes/17ejes6.gif


31/42

$n la deduccin de los grupos planos hay que tener en cuenta que es el motivo,contenido dela celda definida por unas traslaciones dadas, el que muestra la e%istencia de los elementos desimetra. $s decir, que las partes del motivo estn relacionadas entre s por dichos elementosde simetra que puede sersimetra con traslacin!B que la suma de estas partes constituye laceldaB y que las celdas implican una mtrica dada, es decir, tiene una forma y unasdimensiones que condicionan una simetra m%ima.

$n los grupos planos los haces de elementos de simetra son perpendiculares al plano que seasocia a un tipo de red plana. $l n#mero de estos grupos planos es de 9Q.

/ Gru+os +lanos con red olicua

"a simetra m%ima que permite una red obcua es un ha& de e*es binarios. $%istirn, por tanto,dos posibilidades

Gru+o +lano +13 p como indicativo de primitivo y 9 como indicativo de no simetra. $ldominio comple*o coincide con el motivo y, por tanto, su multiplicidad es 9.
http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simettras.htm#motivohttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simettras.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simettras.htm#motivohttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simettras.htm


32/42

Gru+o +lano +23p como indicativo de primitivo y < como indicativo de e*e binario desimetra. "a multiplicidad del dominio comple*o es < ya que la simetra genera duplicidad delmotivo.

/ Gru+os +lanos con red rectan&ular

"a simetra m%ima que permite una red rectangular es dos haces de planos de simetra y un

ha& de e*es binarios. $%istirn, por tanto, diferentes combinaciones

Gru+o +lano +!3 +como indicativo de primitivo y !como indicativo del plano de simetra."a multiplicidad del dominio comple*o es < ya que la simetra genera duplicidad del motivo.


33/42

Gru+o +lano +&3 +como indicativo de primitivo y &como indicativo del plano dedesli&amiento. "a multiplicidad del dominio comple*o es < ya que la simetra genera duplicidaddel motivo.

Rrupo plano pmm p.


34/42


35/42

/ Gru+os +lanos con red r!ica o rectan&ular centrada

Gru+o +lano c!3 ccomo indicativo de la operacin de centrado y !como indicativo delplano de simetra. "a operacin de centrado lleva implcita la e%istencia de un plano dedesli&amiento. "a multiplicidad del dominio comple*o es >.

Gru+o +lano c!! 4c2!!53 ccomo indicativo de centrado y dos !como indicativo deplanos de simetra mutuamente perpendiculares. "a operacin de centrado lleva implcita lae%istencia de planos de desli&amiento. "a multiplicidad del dominio comple*o es >. "os planosde simetra, ordinarios y de desli&amiento, llevan implcitos la aparcicin de e*es binarios en las

intersecciones del mismo tipo de planos, no de distintos. "a multiplicidad del dominio comple*oes K.

/ Gru+os +lanos con red cuadrada


36/42

"a simetra m%ima que permite una red cuadrada es un ha& de e*es cuaternarios y sus planosde simetra contenidos en ellos. $n todos los casos se toma un e*e cuaternario como origen dela celda apareciendo otro e*e cuaternario en el centro de la celda. $%istirn, por tanto,diferentes combinaciones

Gru+o +lano +#3+como indicativo de primitivo y #como indicativo de e*e cuaternario de

simetra. "os e*es cuaternarios generan la aparcicin de e*es binarios intercalados entre loscuaternarios. "a multiplicidad del dominio comple*o es >.

Gru+o +lano +#!!3+como indicativo de primitivo, #como indicativo de e*e cuaternariode simetra y !como los planos de simetra que contienen a dichos e*es. "os e*es cuaternariosgeneran la aparcicin de e*es binarios intercalados entre los cuaternarios, y toda la simetragenera planos de desli&amiento paralelos a las diagonales de la celda. "a multiplicidad deldominio comple*o es K.


37/42


38/42

Gru+o +lano +!13+como indicativo de primitivo, como indicativo de e*e ternario desimetra y !como plano de simetra en la diagonal mayor del rombo. Se genera alternancia deplanos de desli&amiento. "a multiplicidad del dominio comple*o es G.

Gru+o +lano +1!3+como indicativo de primitivo, como indicativo de e*e ternario desimetra y !como plano de simetra en la diagonal menor del rombo. Se genera alternancia deplanos de desli&amiento. "a multiplicidad del dominio comple*o es G.

Gru+o +lano +?3+como indicativo de primitivo y ?como indicativo de e*e senario desimetra. Se generan e*es ternarios en los centros de los tringulos equilteros conformadores ye*es binarios en los centros de los lados de dichos tringulos. "a multiplicidad del dominiocomple*o es de G.


39/42

Gru+o +lano +?!!3+como indicativo de primitivo, ?como indicativo de e*e senario desimetra y !de los planos de simetra que los contienen. Se generan e*es ternarios en loscentros de los tringulos equilteros conformadores, e*es binarios en los centros de los ladosde dichos tringulos y planos de desli&amiento alternantes. "a multiplicidad del dominiocomple*o es de 9


40/42

"os grupos espaciales representan las diversas formas en que los motivospueden distribuirseen el espacio en una estructurahomognea.

"os grupos espaciales surgen de la combinacin de los 9> tipos posibles de redes espacialesredes de Cravais! con la simetra propia de las =< clases cristalinas, o grupos puntuales, mslasimetra con traslacin.

as caractersticas de la red se expresan con las letras '; A; -; C; F; I; R;de las redes deBravais $0ue designan el tipo de red general3 4 continuacin se describen en el smbolo loselementos de simetra3

5.emplos6

'#!2!2! +#!!!

#!2!2! #!!!3 7rupo de simetra ,mmm

'3Red tetragonal sencilla

'#2n2n2! '#2nn!

#2nn!3 7rupo isogonal con el ,mmm$ donde los e.es de rotacin cuaternaria del grupopuntual aparecen como e.es de rotoinversin cuaternaria 2 helicoidal cuaternario$ paralelos 2alternativos3 5xisten planos de desli/amiento n 2 de simetra$ m$ as como e.es de rotacinbinaria con helicoidales binarios intercalados3

'3Red tetragonal sencilla

l i$ual #ue ocurra en los $rupos planos, en los $rupos espaciales con redes no

primitias, la operacin de centrado introduce la simetra con traslacin, %, sin embar$o,

estos nueos elementos no se aprecian en los smbolos' -or ejemplo.

C2!
http://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simettras.htm#motivohttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_intr.htm#Homogeneidadhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_clasessimet.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simettras.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_grupospl.htm#Grupo%20plano%20cmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simettras.htm#motivohttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_intr.htm#Homogeneidadhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_red_brav.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_clasessimet.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_simettras.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/crist_grupospl.htm#Grupo%20plano%20cm


41/42

2!67rupo de simetra &*m3 1in embargo aparecen$ debido al centrado$ e.es helicoidalesbinarios intercalados con los binarios$ 2 planos de desli/amiento intercalados con los planosde simetra3

C6 Red rmbica centrada de tipo C

"os


42/42

EL ESTADO CRISTALINO

2. IKTRODUCCIMK A LACRISTALOGRAFA

$ORFOLMGICA"os primeros estudios de la Eristalografa trataban, obviamente, sobre el aspecto e%terno delos cristales. "a naturale&a del estado cristalino u orden interno de una sustancia no es unhecho tan evidente como la visin de las perfectas caras o formas cristalinas de un mineral. "aprimera cone%in entre forma e%terna o caras de un cristal hbito! y su orden interno no sereali& hasta el siglo T77. 3s adelante se vio que el orden interno podra e%istir aunque nohubiera evidencia e%terna de ello, y slo en tiempos relativamente recientes, y como resultado

de t8cnicas de ra2os y de difraccin de electrones, se incluyen como cristalinos materialesbiolgicos.

"a simetra a la que pertenecen los cristales puede ser identificada mediante la observacin desu morfologa e%terna. A veces, esto es un procedimiento muy simple ya que, por e*emplo,cristales que crecen con forma de cubos pertenecen obviamente al sistema c#bico la simetrae%terna del cristal y el orden interno subyacente celda unidad! son idnticos. Sin embargo,puede ser que un cristal perteneciente al sistema c#bico no cre&ca ba*o la forma e%terna de uncuboB la celda unidad puede apilarse para formar un octaedro, un tetraedro, etc. "a e%perienciaha demostrado que slo muy ocasionalmente los cristales crecen con la misma forma que sucelda unidad, las diferentes:ormasoh;bitosque adoptan los cristales dependern dedeterminados factores qumicos y fsicos.

Pero, Ucmo reconocer a qu sistema cristalino pertenece un cristal aunque su hbito seadiferente, y a veces incluso llegue a encubrir, la forma de la celda unidadV

Si el cristal, ba*o circunstancias favorables de crecimiento, ha desarrollado superficies e%ternasplanas y uniformes, WcarasW, de acuerdo a su orden interno, la solucin est en situarlo en unade las clases cristalinas definidas. "os cristales de la misma clase cristalina no tienen la mismaforma cristalina pero s tienen una determinada simetra en com#n. Para conocer estasclasescristalinases necesario comprender la simetra que afecta al orden interno de los cristales, ypor ende, a la simetra de los cristales.
http://www.uned.es/cristamine/cristal/drx_mrc.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/drx_mrc.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_formas.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_formas.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_formas.htmhttp://www.uned.es/cristamine/mineral/prop_fis/morfologia.htmhttp://www.uned.es/cristamine/mineral/prop_fis/morfologia.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_clases.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_clases.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_clases.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/drx_mrc.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_formas.htmhttp://www.uned.es/cristamine/mineral/prop_fis/morfologia.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_clases.htmhttp://www.uned.es/cristamine/cristal/morfo_clases.htm

curso de cristalografía estructural.pdf

Documents