Curso Caracas, Marzo 2006

Modelación 3DModelación 3D

H.-J. Götze IfG, Christian-Albrechts-Universität Kiel

• Formulas para una modelación 3DFormulas para una modelación 3D

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3D Modeling

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3D Modeling

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Modelado tridimensional (3D)

Al igual que en el caso bidimensional, en los últimos años han aparecido una serie de métodos para el modelado gravimétrico tridimensional, con mayores o menores posibilidades de aplicación. En esta sección nos concentraremos en el método desarrollado por Götze (1978, 1984) y Götze & Lahmeyer (1988), y que es la base del programa IGAS. Debido a que el desarrollo matemático es altamente complejo, no se realizara un análisis detallado de las fórmulas. Para más detalles consultar las citas recién nombradas.

En general, el cálculo de la atracción gravitatoria de un poliedro homogéneo en el punto P se basa en el cálculo de la siguiente integral de volumen

dondeU(P) = Potencial en el punto PR = ; distancia del punto P al elemento de masa dmdm = D dv = D dx dy dzf = constante de gravitación universal

(5.23)

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Modelado tridimensional (3D)

Derivando el potencial respecto de la componente z, pues nos interesa la componente z de la gravedad, que es lo que medimos con el gravímetro - obtenemos la atracción gravitatoria o aceleración de la gravedad, g(P):

Luego, considerando los teoremas de análisis vectorial, en este caso, el teorema de Gauß (ver p.ej. Bronstein & Semendjajew, 1979) obtenemos

donde la integral de superficie se calcula sobre toda la superficie del poliedro, y el término cos(n,z) representa la dirección del elemento de superficie dS respecto al sistema de coordenadas cartesianas.

Dado que para cada superficie Sj (j = 1,2...m = nE de superficies) del poliedro vale que cos(nj ,z) = const, puede expresarse la atracción gravitatoria del poliedro a través de la superposición de los efectos gravitatorios de las diferentes superficies que lo componen

(5.24)

(5.25)

(5.26)

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3D superficie del cuerpo

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Modelado tridimensional (3D)

Para obtener expresiones aritméticas relativamente simples de la resolución de la integral (5.25), es necesario hacer una transformación de coordenadas, en la cual, las nuevas coordenadas x',y',z' estarán orientadas según las superficies:- El eje x' será paralelo a .- El eje z' será paralelo a las respectivas normales a las superficies, j .- El eje y' es ortogonal a los ejes x' y z'.

La transformación de coordenadas para cada superficie Sj , se calcula de la siguiente forma:

(5.27)

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Modelado tridimensional (3D)

Los cosenos directores de la matriz de transformación en (5.27) se determinan a partir del determinante que representa la ecuación del plano que pasa por los puntos V1 , V2 , V3 :

y de las relaciones que presentan las nuevas coordenadas en relación a las superficies Sj del poliedro. El ingreso de los punto Vi que forman las diversas superficies se realiza en sentido matemático positivo. De ahora en adelante todos los cálculos se realizarán en el nuevo sistema de coordenadas.

(5.28)

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Modelado tridimensional (3D)

El próximo paso consiste en transformar las integrales de superficie en (5.26) en integrales de línea a lo largo del respectivo polígono Pj que limita a la superficie Sj , para lo cual utilizaremos el teorema de Gauß en el plano (Bronstein & Semendjajew, 1979):

La resolución de la integral (5.29) (Götze, 1984) no será presentada en su totalidad. Resolviendo la integral (5.29), obtenemos - según la nomenclatura de la fig. 5.10 - la siguiente fórmula para la atracción gravitatoria de un poliedro:

con Kj = Número de lados del polígono Pjaj, i ,bj, i = Límite inferior y superior de

integraciónsj, i = Variable de integración

(5.29)

(5.30)

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Modelado tridimensional (3D)

La fórmula para la atracción gravitatoria de un poliedro consta fundamentalmente (según (5.30)) de una doble suma sobre todas las superficies del poliedro y de la suma sobre todas las caras de los polígonos Pj , con lo que se obtuvo una fórmula muy simple, fácilmente programable, para la atracción gravitatoria de un poliedro.

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Teoréma de Poisson