curso basico manual teoria nx cae

Conceptos bsicos de

elementos finitos

ndice de la presentacin

1. Introduccin al MEF

2. Definicin y tipos de anlisis

3. Anlisis Estticos Lineales

4. Anlisis no lineales

5. Anlisis Dinmicos

6. Descripcin del MEF

7. Matriz de rigidez X

8. Evaluacin de resultados

9. Estrategia de mallado

10. Calidad de los elementos

11. MPCs

1. Introduccin

al MEF

Introduccin

SIMULACIN EN INGENIERA: poder predecir

comportamientos reales a travs de mtodos

matemticos Interpretacin modelizacin juicio de resultados

Objetivo: optimizacin del proceso productivo INVERTIR PARA AHORRAR

Mtodo ensayo-error: sucesin de mejoras iterativas

en prototipos fsicos

Elevado coste econmico y tiempo desarrollo

Prototipo 1

Ensayo 1

Prototipo 2

Ensayo 2

Prototipos fsicos

()

Ensayo n

Prototipo n

PRODUCTO

Introduccin

MEF: mtodo aproximado complementario a los ensayos

Disminuye n de prototipos fsicos necesarios

Prototipo 1

Prototipo 2

Prototipo n

()

Prototipos virtuales

MEF

Ensayo

Prototipo n

PRODUCTO

Prototipos fsicos

Introduccin

Ensayos prototipo fsico: Volkswagen Beetle 1973

Introduccin

Ensayos prototipo virtual: Volkswagen Golf 2010

Introduccin

Introduccin

Una primera idea: Qu es?

Simulacin Mtodo de los Elementos Finitos

-El modelo real se divide en nmero finito de unidades interrelacionadas (elementos)

-El mtodo numrico permite resolver ecuaciones asociadas a una geometra

Realidad: sistema continuo GDL

Simulacin: nmero finito de GDL

Ejemplo: tren de aterrizaje delantero Airbus 320

Realidad: sistema continuo GDL

Simulacin: nmero finito de GDL

Introduccin

Origen NECESIDAD por conocer el comportamiento dinmico de los sistemas

mecnicos estructurales (ingeniera civil y aeronutica)

Antiguamente: bacos, mtodos grficos, diferencias finitas

Pioneros: Alexander Hrennikoff (1941) y Richard Courant (1942) concepto

malla/sistema discreto

1947: Olgierd Zienkiewicz (Imperial College) trmino Elementos Finitos

1950: John Argyris (Un. Stuttgart), Ray W. Clough (Berkeley) desarrollo mtodo

Resea histrica

Resea histrica

1956: BOING, tras testar el Mtodo de los Elementos Finitos para problemas

aeronuticos estructurales presentacin oficial MEF como herramienta

1965: Gobierno EEUU financia creacin herramienta MEF NASA crea NASTRAN

(NASA Structural Analyzer)

1970-1990: avances computacionales nacen las grandes firmas MEF (MSC, ESI, ESP

[Siemens PLM software], Altair)

1990-hoy: simulacin es una realidad en grandes empresas y PYMES todo tipo de

herramientas para todo tipo de aplicaciones y para todo tipo de bolsillos

Es un mtodo de anlisis muy til como herramienta, bien en un

proceso de diseo o desarrollo de productos.

Permite obtener deformaciones / temperaturas de una estructura

a partir de unas solicitaciones dadas.

Obtenemos los resultados posibles

ms precisos hoy da durante

la fase de diseo terico.

Resea histrica

OJO!!:

La aplicacin del M.E.F. conlleva un grado de subjetividad en la

modelizacin.

La modelizacin realizada tiene una influencia TOTAL sobre la

precisin de los resultados obtenidos, y el coste del anlisis.

NOTA: Es imprescindible que el usuario tenga un conocimiento

pleno del fenmeno fsico a resolver.

Resea histrica

Extraordinariamente amplio:

Mecnica de slidos: Clculos estructurales estticos,

dinmicos....

Mecnica de fluidos: Simulacin de procesos de fabricacin

(forja, fundicin...)

Transmisin de calor: Anlisis acoplados

(estructurales/trmicos.)

Simulacin de campos: Elctricos, magnticos..

Campo de aplicacin

Organizacin de un programa FEM

CONCEPCIN DEL

SISTEMA A DISEAR.

ESTIMACIN DE

APOYOS

Y SOLICITACIONES.

INTERPRETACIN

DE LOS RESULTADOS

CONSTRUCCIN Y

RESOLUCIN DE

LAS ECUACIONES.

ok?

NO Modelo ok?

SI

Solicitaciones

ok? NO

SI

PROTOTIPOS

GENERACIN DEL

MODELO F.E.M.

Concepcin del sistema a disear

Diseo del componente en el departamento correspondiente en base a: 1. Experiencia del diseador.

2. Resultados de un modelo FEM anterior.

3. Resultados de un prototipo ya ensayado.

Podemos importar la geometra a nuestro sistema C.A.E. Desde diferentes

paquetes de diseo.

Estimacin de apoyos y solicitaciones.

1. Cuaderno de cargas suministrado por nuestro cliente.

2. Normas estndar ( Eurocdigo,...)

3. Nuestra propia experiencia en base a diseos similares.

4. Mediante la simulacin en software especializado en cinemtica y

dinmica de mecanismos.


Construccin y resolucin de las ecuaciones. El analista no sabe lo que ocurre. Es necesario realizar la interpretacin de los errores (si los

hubiera).

Interpretacin de los resultados..

Es lgico el mapa de tensiones.?,..... REAL ? Herramientas del post-procesador.

Animaciones de la deformada. Reacciones en los apoyos. Visualizacin de errores en malla. ...........................


2.Definiciones y tipos

de anlisis

Simulacin simplificar el sistema real para obtener resultados

(incgnitas) de veracidad y precisin suficientes

En cualquier sistema se puede distinguir entre:

-Dominio: espacio geomtrico donde se va a analizar el sistema

-Condiciones de contorno: variables conocidas que condicionan el cambio

del sistema

-Incgnitas: variables del sistema que se desean calcular despus de que

las condiciones de contorno han actuado sobre el sistema

Definiciones

A qu nos referimos con dominio?

-Se puede denominar dominio a cualquier espacio geomtrico cuyo

comportamiento fsico sea representable mediante ecuaciones matemticas (un

cuerpo slido, el entorno de un fluido)

Cules son las condiciones de contorno?

-Sern variables fsicas (fuerzas, presiones, temperaturas, velocidades,

aceleraciones) conocidas de manera previa a la simulacin y necesarias para la

identificacin del problema o caso a simular (solicitaciones)

Qu resultados podemos obtener?

-En funcin del software de trabajo, del tipo de problema a tratar y de las

necesidades de clculo se podrn obtener todo tipo de resultados (desplazamientos,

stress, presiones, temperaturas, etc)

Definiciones

Ejemplo: anlisis de tensin sobre pieza cargada

1. Dominio: pieza

soporte y perno

atornillado

2. Dominio

discretizado:

sistema dividido en

elementos

3. Condiciones de

contorno:

aplicacin de la

carga conocida

4. Resultados:

obtencin de

resultados (tensin

Von Mises Stress)

Definiciones

Elemento Sub-regin de un sistema complejo el cual se discretiza en un dominio regular

en el que se pueden resolver las ecuaciones fsicas.

Vrtice

Esquina de un elemento

Nudo Donde se juntan elementos formando una malla, se denomina nudo a los

vrtices cosidos.

Las solicitaciones en un componente, generalmente se aplican en los nudos,

Los desplazamientos se calculan en los nudos.

Grados de Libertad. DOF (Degree of Freedom)

Desplazamientos y giros de los nudos.

Definiciones

Condiciones de contorno, restraint

Desplazamientos forzados en los nudos del modelo FEM.

Condiciones de contorno, constraint

Ecuaciones de acoplamiento en los nudos del modelo FEM.

Punto Gaussiano, Punto de Integracin El punto dentro de un elemento donde se calculan las tensiones y

deformaciones, previa extrapolacin a los nudos.

El nico punto fiable de tensiones y deformaciones dentro de un elemento.

Funcin de Forma La funcin utilizada para extrapolar los resultados de las tensiones y

deformaciones en los puntos Gaussianos a los nudos.

Definiciones

Matriz de Rigidez de un elemento La matriz que recoge el desplazamiento de los vrtices de un

elemento debido a las solicitaciones

Malla Discretizacin de un modelo en elementos regulares, para los cuales

las ecuaciones de la fsica son conocidas y fcilmente calculables.

Matriz de Rigidez Global Las Matrices de Rigidez de los distintos elementos que conforman el

modelo se ensamblan juntas de modo que los desplazamientos en

cualquiera de los nudos son resultado de las fuerzas aplicadas en el

modelo.

Definiciones

Orden de Elemento Nivel de precisin de un elemento, en cuanto al nmero de nodos

que lo conforman. Cuanto mayor sea el orden, mayor ser el tiempo

de clculo.

Elementos n, elementos hn-type, h-type (sinnimos)

Incremento de la precisin de una malla mediante el aumento del

nmero de elementos.

Elementos p Incremento de la precisin de una malla mediante el aumento del

orden del elemento.

Definiciones

Estticos Lineal

No lineal

No linealidad de material

No linealidad geomtrica

Grandes desplazamientos

Problemas de contacto

Dinmicos Modos propios

Dinmica rpida

Dinmicos transitorios

Trmicos Rgimen Permanente

Tensin / expansin Trmica

Transitorio

Tensin Transitoria Trmica

Anlisis de Creep

Fluidos Aerodinmicos

Hidrostticos

Transferencia de calor

Tipos de Anlisis en Ingeniera Mecnica

3.Anlisis Estticos

Lineales

Se requiere: Geometra

Solicitaciones / condiciones de contorno

Fuerzas

Presiones

Velocidades angulares

Aceleraciones angulares

Aceleraciones (gravedad)

Desplazamientos forzados

Propiedades de Material

Modulo de Elasticidad (como mnimo: E y )

Obtenemos: Tensiones, Deformaciones, Desplazamientos, Energa de deformacin,

...

Anlisis Esttico Lineal

Esttica: Ejemplo

Malla

Condiciones de

contorno

Fuerzas

Anlisis Esttico Lineal

4.Anlisis Estticos

No Lineales

No linealidad de material

No linealidad geomtrica

Grandes desplazamientos

Problemas de contacto

Tipos de Anlisis no-lineal

Los anlisis estndares de FE, asumen que las deformaciones son pequeas

Grandes deformaciones implican Plasticidad

La formulacin del Elemento requiere pequeas strains

Con grandes deformaciones de modelo, las cargas pierden la direccin inicial

En este caso se

debe emplear

una solucin

iterativa

Fuerza normal a la

superficie del elemento

Fuerza no normal a la

superficie del elemento

Anlisis No Lineal

Igual que el anlisis esttico lineal, pero requiere: Ms datos de material

Una solucin iterativa

Se utiliza para tener en cuenta: Plasticidad

Creep

Generacin de contactos

Se pueden modelizar los efectos debido a deformaciones permanentes Uniones atornilladas

Procesos de fabricacin

Impactos (Crash Simulation)

....

Anlisis No Lineal: No Linealidad de Material

5. Anlisis Dinmicos

Tipos de Anlisis Dinmico

Modos Propios

Anlisis Permanentes

Anlisis Transitorios

Dinmica: Anlisis de Modos Propios

Para calcular las frecuencias naturales y modos

propios

se necesita el modelo geomtrico

Conocimiento de los anclajes

Propiedades de material: , , Densidad

Obtenemos:

eigenvalues (frecuencias)

eigenvectors (modos)

Dinmica: Anlisis de Modos Propios

39

Primer Modo

1f

Segundo Modo

2f Tercer Modo

3f

Modos simples 2D:

La estructura est sujeta a solicitaciones senoidales permanentes.

Anlisis de modos propios antes de los esttico lineales, teniendo en

cuenta los coeficientes de amortiguamiento.

Obtencin de la respuesta

en frecuencia nodal

como funcin de los

inputs senoidales

Dinmica: dinmica permanente

Iteracin fluido - estructura (aerodinmica)

Flow Anlisis - procesos de fundicin

CFD - Flujo de gases

Anlisis trmicos - Creep

Anlisis magnticos

Otros clculos

6.Descripcin del MEF

y utilizacin en el

diseo mecnico

Proceso de Modelizacin

Es un grfico muy simplificado!

sin embargo, se muestran los pasos

principales para obtener una solucin...

Veamos cada uno paso a paso.

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)

Resolucin Post-proceso

Materiales y

propiedades

Este paso consiste en importar la geometra

desde otro sistema C.A.D.

Podemos integrar nuestro programa

con diferentes software de diseo.

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)


Materiales y

propiedades


La mayora de los pre-procesadores tienen

algunas herramientas C.A.D.

Creacin / modificacin de:

Puntos.

Lneas.

Superficies.

Slidos.

Operaciones con entidades slidas.

Operaciones booleanas.

Bases de datos con figuras primitivas.

Tratamiento de la geometra original.

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)


Materiales y

propiedades


Mallar es ms complejo que pinchar el botn

MESH.

Pueden realizarse simplificaciones del modelo

que aceleren el clculo.

Simetra?

Qu geometra podemos ignorar?

Es un clculo GLOBAL / LOCAL?

Qu informacin necesitamos?

Qu informacin podemos obtener?

Qu elementos debemos utilizar?

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)


Materiales y

propiedades


Elegir el tipo de elemento que se va a emplear

en la modelizacin.

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)


Materiales y

propiedades


Debemos definir las caractersticas mecnicas del

material. Segn el tipo de anlisis necesitaremos

unos datos u otros.

Esttico Lineal: Mdulo de Young,

Poisson.

Esttico no lineal: Curva tensin /

deformacin, endurecimiento mecnico

Dinmico: Es necesario aadir valores de

densidad.

Definiremos tambin las propiedades fsicas de

los elementos.

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)


Materiales y

propiedades


Aplicaremos las condiciones de contorno

necesarias para la realizacin del anlisis.

Podemos generar diferentes Load Cases que

recogen estados de carga diferentes

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)


Materiales y

propiedades


Generamos un fichero ascii con los datos del

modelo F.E.M necesarios para la realizacin del

anlisis.

An Analysis Deck

Este fichero de texto contiene datos de:

Malla ( nudos y elementos ).

Materiales y propiedades.

Load Cases y LBCs.

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)


Materiales y

propiedades


Ficheros relacionados con el procesado:

Fichero de entrada al solver (*.dat )

Ficheros temporales (*.DBALL, *.MASTER )

Ficheros *.log ( tiempo de CPU)

Fichero *.f06

Fichero de resultados.( *.op2; *.xdb )

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)


Materiales y

propiedades


Lectura de resultados obtenidos:

1. Visualizacin de tensiones ( OJO !! )

2. Visualizacin de deformaciones (animaciones)

3. Reacciones en apoyos

Fuerzas aplicadas = Reacciones en apoyos

4. Interpretacin de resultados.

Tensiones admisibles ?

Contraste continuo con la realidad.

Obtener la

geometra de

diseo

Mallado

Simplificar la

geometra

Condiciones de

(LOAD SET)


Materiales y

propiedades


Mallado (Simplificaciones)

Podemos aplicar planos de simetra ?

Podemos realizar la siguiente

Modelizacin:

Podemos simplificar la malla con una representacin en 2D / 1D ?

Podemos modelizarlo

con elementos BEAM

Podemos eliminar entidades geomtricas puntuales ?

F F+mass

Elementos h versus Elementos p

Para incrementar la precisin de nuestros resultados: Incrementar el orden de nuestros elementos (funcin de forma).

Utilizar ms elementos.

Realizar cualquiera de las operaciones anteriores,

supone aumentar los g.d.l. de las matrices. Aumenta el tamao de los ficheros.

Aumenta el tiempo de solucin.

Aumentan los requerimientos de Hardware.


La mayora de los solvers de elementos finitos admiten elementos de 1er, 2do

y 3er orden.

Normalmente, en mallados slidos automticos, se exigen elementos de

segundo orden (Tet10).

NOTA: Diferencias importantsimas de tensin entre elementos de diferente orden.

(Tet4 Hex8 Tet10)

TET4 vs TET10

Element N Nodes Displacement

(mm)

Von Mises Stress

(MPa)

CTETRA (4) 11660 9.45e-3 16.3

CTETRA (10) 82095 1.13e-2 31.8


Chequeo de Resultados

El analista debera realizar diferentes anlisis aumentando la precisin de la malla CONVERGENCIA DE RESULTADOS

Al hacer un refinamiento de malla obtenemos tensiones cada vez ms altas ( en la mayora de los casos ).

Convergencia de resultados diferencias en tensiones para resultados sucesivos inferiores al 5%

Este procedimiento de clculo es muy costoso.

(Teora es muy diferente a la realidad)

Chequeo de Resultados

Cada anlisis FEA debera ir acompaado de un clculo posterior habiendo refinado la densidad de la malla en la zona crtica.

!! ESTO CASI NUNCA SE HACE !!

Los analistas tienden a realizar un clculo con la malla fina ..... RESULTADOS CREIBLES

Los anlisis suelen hacerse en tiempo record.

Tipos de Elementos

-Mltiples elementos en 0D, 1D, 2D y 3D

Tipos de Elementos

Debemos elegir el tipo y orden del elemento

ELEMENT ORDER No. Nodes PHYSICAL PROPERTIES

REQUIRED

RESULTS

AVAILABLE

Lumped Mass N/A 1 Mass None

Grounded Spring N/A 1 Stiffness None

Grounded Damper N/A 1 Damping None

ELEMENT ORDER No. Nodes PHYSICAL PROPERTIES

REQUIRED

RESULTS

AVAILABLE

Spring N/A 2 Stiffness Displacement

Damper N/A 2 Damping Force

Gap N/A 2 Initial Fit,

Direction,

Friction

Contact Yes / No

Contact Force

Rod Linear 2 Material,

Area

Tension

Beam Linear 2 Cross Section,

Material

Tension &

Bending

Beam Parabolic 3 Cross Section,

Material

Tension &

Bending

Beam Cubic 3 Cross Section,

Material

Tension &

Bending

Debemos elegir el tipo y orden del elemento

Tipos de Elementos

Dependencia de la precisin con el nmero de nudos

Element Shape Order

Number of

Nodes

Number of Gauss Points

(Depends on Element Formulation)

Quadrilateral Linear 4 1

Quadrilateral Parabolic 8 4

Quadrilateral Cubic 12 8

Triangular Linear 3 1

Triangular Parabolic 6 3

Triangular Cubic 9 6

Tipos de Elementos

Los resultados calculados dependen de la formulacin.

ELEMENT PHYSICAL

PROPERTIES

REQUIRED

RESULTS

AVAILABLE

COMMENTS

Thin Shell Thickness Displacements,

Stresses & Strains

General Element

Very Useful

Membrane Thickness Displacements,

Stresses & Strains

Can only model in-plane tension

(surface forces of a bubble)

Shear Panel Thickness Displacements,

Stresses & Strains

Models in plane tension

& shear

Axi-symmetric None Displacements,

Stresses & Strains

Out-of-plane

displacements are zero

Used for components with rotational

symmetry -

Turbine Discs /

Shafts, etc.

Plane Strain None Displacements,

Stresses & Strains

Used when out of plane strain is zero

Plane Stress Thickness Displacements,

Stresses & Strains

Used when out of plane stress is zero

Bending Panel Thickness Displacements,

Stresses & Strains

Models Bending of Panels

Tipos de Elementos

Dan mejores resultados. Simplifican el trabajo del analista

Aumenta el tiempo de CPU !!

ELEMENT ORDER No. Nodes Number of Gauss Points

(Depends on Element

Formulation)

PHYSICAL

PROPERTIES

REQUIRED

RESULTS

AVAILABLE

Tetrahedral Linear 4 1 None All, but poor quality

Tetrahedral Parabolic 10 4 None All, OK quality

Tetrahedral Cubic 16 10 None All

Wedge Linear 6 1 None All, but poor quality

Wedge Parabolic 15 6 None All, OK quality

Wedge Cubic 24 15 None All

Hexahedral

(Brick)

Linear 8 1 None All, but poor quality

Hexahedral

(Brick)

Parabolic 20 8 None All, Good quality

Hexahedral

(Brick)

Cubic 32 20 None All, v. Good

Tipos de Elementos

Cmo Procede la Solucin?

Supongamos un viga en voladizo cargada en un nudo

Aplicamos la ecuacin matemtica que relaciona los

desplazamientos en los nudos debido a las fuerzas aplicadas.

Fuerza = [ Rigidez ] x Deformacin

Internamente:

1. Se realiza la conversin de coordenadas globales a

Coordenadas naturales.

2. Planteamos las ecuaciones correspondientes en cada uno

de los elementos.

3. Generamos la matriz de rigidez global a partir del las

matrices de rigidez locales para cada elemento.

-1 x +1

-1 y +1 -1 z +1

4. Resolvemos las ecuaciones : n ecuaciones / n incgnitas


Resolviendo las ecuaciones se obtienen los desplazamientos de cada

uno de los nudos del modelo FEM.

Estos valores se utilizan para encontrar las deformaciones y

tensiones en los puntos de Gauss a travs de las FUNCIONES DE

INTERPOLACION.

Los resultados de y son extrapolados a los nudos utilizando la

funcin de forma del elemento.

El nivel de precisin en los resultados es:

> >

El siguiente paso es calcular el valor numrico asociado a un nudo a

partir de los resultados obtenidos debido a los elementos

colindantes.

Ojo!! Hay que tener mucho cuidado con elementos

de diferentes materiales y propiedades.


Conclusin

Un buen analista puede realizar un modelo FEM que aun

siendo ms sencillo y simplificado, proporcione mejores

resultados.

La eleccin del tipo de elementos a utilizar es crtica.

Debera estudiarse la convergencia de resultados.

Los resultados de desplazamientos son ms exactos que los de tensiones.

7.Matriz de rigidez

Matriz de rigidez para casos generales

Para cualquier numero de muelles (ahora llamados elementos)

Con elementos conectados de forma arbitraria

Con un orden arbitrario de los nodos

Con mltiples cargas

Con elementos capaces de resolver mas que solamente

tensiones

En 2 y 3 dimensiones

A continuacin se va a estudiar el caso de una dimensin:

Consideremos 4 elementos conectados

Considerando las siguientes

rigideces:

KA = 1

KB = 2

KC = 3

KD = 4

1 2 3

KA KB

F1, r1 F2, r2 F3, r3 F4, r4 F5, r5

4 5

Supongamos 4 elementos y

5 nodos.

KC KD

Aplicamos una carga de 6N

en el nodo 5

Clasificacin de las fuerzas

1 2 3

KA KB

F1, r1 F2, r2 F3, r3 F4, r4 F5, r5

4 5

Se denominaran las fuerzas internas en cada muelle como: F1A

Esta es la fuerza interna que acta en el muelle A debido a la fuerza

aplicada en el nodo 1.

Por lo tanto se puede escribir:

KA (r1 - r2) = F1A

KA (r2 - r1) = F2A

:

KC KD

-

- =

2

1

2

1

r

r

k k

k k

F

F

A A

A A

A

A

2

Matriz de Rigidez de Elemento

-

- =

2

1

2

1

r

r

k k

k k

F

F

A A

A A

A

A Esta es la matriz de rigidez para

el muelle A

Y para el muelle B:

-

- =

3

2

3

2

r

r

k k

k k

F

F

B B

B B

B

B


-

- =

2

1

2

1

r

r

k k

k k

F

F

A A

A A

A

A

Se trata de un set de ecuaciones lineales que pueden ser sumadas

con las ecuaciones de otros elementos.

Si se suman las matrices de rigidez de cada elemento para el

sistemas de 4 muelles, se obtiene:

-

- + -

- + -

- + -

-

=

+

+

+

5

4

3

2

1

5

3 4

3 3

2 2

1

0 0 0

) ( 0 0

0 ) ( 0

0 0 ) (

0 0 0

r

r

r

r

r

k k

k k k k

k k k k

k k k k

k k

F

F F

F F

F F

F

D D

D D C C

C C B B

B B A A

A A

D

D C

C B

B A

A

Matriz de Rigidez Global

La suma de las fuerzas internas en cada elemento tiene que ser igual

a la fuerza externa actuando en el nodo, por lo tanto:

Esta es la matriz de rigidez global del sistema

-

- + -

- + -

- + -

-

=

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

0 0 0

) ( 0 0

0 ) ( 0

0 0 ) (

0 0 0

r

r

r

r

r

k k

k k k k

k k k k

k k k k

k k

F

F

F

F

F

D D

D D C C

C C B B

B B A A

A A


-

- + -

- + -

- + -

-

=

0 0 0

) ( 0 0

0 ) ( 0

0 0 ) (

0 0 0

k k

k k k k

k k k k

k k k k

k k

D D

D D C C

C C B B

B B A A

A A

La matriz de rigidez tiene las siguientes propiedades:

Es la suma de las matrices de rigidez de cada elemento

Es singular (La suma de todas las filas es cero)

Requiere que se le apliquen cond. de contorno

Es simtrica

Tiene muchos ceros (Matriz dispersa)

5

4

3

2

1

F

F

F

F

F

5

4

3

2

1

r

r

r

r

r

Resolucin de los 4 Elementos

Se obtiene una solucin de la siguiente forma:

Fuerza = rigidez x desplazamiento

-

- + -

- + -

- + -

-

=

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

0 0 0

) ( 0 0

0 ) ( 0

0 0 ) (

0 0 0

r

r

r

r

r

k k

k k k k

k k k k

k k k k

k k

F

F

F

F

F

D D

D D C C

C C B B

B B A A

A A

Previamente a su resolucin se deben aplicar cond. de contorno

Supongamos que esta fijado el nodo 1,

nodo 1 esta fijado r1 = 0

-

- + -

- + -

- + -

-

=

5

4

3

2

5

4

3

2

1 0

0 0 0

) ( 0 0

0 ) ( 0

0 0 ) (

0 0 0

r

r

r

r

k k

k k k k

k k k k

k k k k

k k

F

F

F

F

F

D D

D D C C

C C B B

B B A A

A A

Resolucin de los 4 Elementos

Al estar el nodo 1 fijado en el espacio, no tiene sentido hablar de fuerza aplicada

en dicho nodo, por tanto:

Ahora el sistema esta listo para resolverse.

-

- + -

- + -

- +

=

5

4

3

2

5

4

3

2

0

0 0 0

) ( 0 0

0 ) ( 0

0 0 ) ( 0

0 0 0 0 0 0

r

r

r

r

k k

k k k k

k k k k

k k k

F

F

F

F

D D

D D C C

C C B B

B B A

Como se resuelve un problema de elementos finitos?

Mtodos de Clculo

Eliminacin Gausiana

Es un mtodo simple

Lento

Fcil de entender

(Vase ejemplo)

Invirtiendo la matriz de rigidez

Descomposicin en dos matrices (L, U)

Se aprovecha la naturaleza simtrica de la matriz de rigidez

Se divide la matriz de rigidez en una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior

Se resuelve solamente la mitad en cada caso

Se copian los resultados a lo largo de la lnea de simetra

Otros

- +

- +

- +

D

D D C

C C B

B B A

k

k k k

k k k

k k k

0 0 0 0

) ( 0 0 0

0 ) ( 0 0

0 0 ) ( 0

0 0 0 0 0

Eliminacin Gausiana

Previamente a resolver el sistema se deben eliminar las filas y columnas

correspondientes a los nodos fijados.

Esto permite resolver el sistema con los mtodos de inversin de la matriz de

rigidez.

-

- + -

- + -

- +

=

5

4

3

2

5

4

3

2

0

0 0 0

) ( 0 0

0 ) ( 0

0 0 ) ( 0

0 0 0 0 0 0

r

r

r

r

k k

k k k k

k k k k

k k k

F

F

F

F

D D

D D C C

C C B B

B B A

-

- + -

- + -

- +

=

5

4

3

2

5

4

3

2

0 0

) ( 0

0 ) (

0 0 ) (

r

r

r

r

k k

k k k k

k k k k

k k k

F

F

F

F

D D

D D C C

C C B B

B B A

Eliminacin Gausiana

Se sabe que :

KA = 1 Nmm-1

KB = 2 Nmm-1

KC = 3 Nmm-1

KD = 4 Nmm-1

F5= 6N

-

- + -

- + -

- +

=

5

4

3

2

5

4

3

2

0 0

) ( 0

0 ) (

0 0 ) (

r

r

r

r

k k

k k k k

k k k k

k k k

F

F

F

F

D D

D D C C

C C B B

B B A

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6

0

0

0

r

r

r

r

Resolviendo el sistema con los mtodos de eliminacin Gausiana

Eliminacin Gausiana

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6

0

0

0

r

r

r

r

Paso 1: Dividir fila 1 por fila 3

-

- -

-

-

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 3 / 11 0

0 0 3 / 2 1

6

0

0

0

Paso 2: Sumar (2 x fila 1) a la fila 2

-

- -

- -

-

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 3

2 1

6

0

0

0

El objetivo es crear una

matriz triangular superior

Eliminacin Gausiana

Paso 3: dividir fila 2 por 11/3

Continuacin del paso 2:

Paso 4: Sumar (3 x fila 2) a la fila 3

-

- -

-

-

4 4 0 0

4 7 3 0

0 11

9 1 0

0 0 3 / 2 1

6

0

0

0

-

-

-

-

4 4 0 0

4 11

50 0 0

0 11

9 1 0

0 0 3 / 2 1

6

0

0

0

-

- -

-

-

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 3 / 11 0

0 0 3 / 2 1

6

0

0

0

Eliminacin Gausiana

Paso 5: dividir la fila 3 por 50/11

Continuacin paso 4:

Paso 6: sumar (4 x fila 3) a la fila 4

-

-

-

-

4 4 0 0

4 11

50 0 0

0 11

9 1 0

0 0 3 / 2 1

6

0

0

0

-

-

-

-

4 4 0 0

50 / 44 1 0 0

0 11

9 1 0

0 0 3 / 2 1

6

0

0

0

-

-

-

50 / 24 0 0 0

50 / 44 1 0 0

0 11

9 1 0

0 0 3 / 2 1

6

0

0

0

Eliminacin Gausiana

Obtenemos la matriz de

rigidez reducida:

Resolviendo el sistema:

-

-

-

=

5

4

3

2

50 / 24 0 0 0

50 / 44 1 0 0

0 11 / 9 1 0

0 0 3 / 2 1

6

0

0

0

r

r

r

r

mm 2

1 5 r

24 150

50 44 r

) r 50

44 ( - r 0

4

4

5 4

=

=

=

mm

mm

4 1 6 r

24

150 r

/50 24r 6

5

5

5

=

=

=

mm 2

1 4 r

2 1 5

11 9 r

) r 11

9 ( - r 0

3

3

4 3

=

=

=

mm 3 r

2 1 4

3 2 r

) r 3

2 ( - r 0

2

2

3 2

=

=

=

mm 0 r 1 =

Se sabe

que:

Resumen

Las matrices de rigidez de cada elemento son expendidas y

sumadas para formar la matriz de rigidez global del sistema

Las condiciones de contorno deben ser aplicadas para poder

resolver el sistema

El sistema de ecuaciones se puede resolver por eliminacin

Gausiana

Pero..

Que pasa si la numeracin de los nodos no es contigua ?

Que pasa a la matriz de rigidez global del sistema ?

Nueva numeracin de nodos

1 3 5

KA KB

F1, r1 F2, r2 F3, r3 F4, r4 F5, r5

4 2

Para el muelle 1 se tiene que:

KA (r1 - r3) = F1A

KA (r3 - r1) = F3A

KC KD

Efecto en la matriz de rigidez global

En este caso, en vez de

obtener la matriz a)

obtenida anteriormente,

se obtiene la matriz b):

-

-

=

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . .

. . .

r

r

r

r

r

k k

k k

F

F

F

F

F

A A

A A

-

-

=

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

. . . . .

. . . . .

. . .

. . . . .

. . .

r

r

r

r

r

k k

k k

F

F

F

F

F

A A

A A

Para la matriz de

rigidez global se

obtiene:

- - - -

- - - -

- + -

- -

-

=

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

r

r

r

r

r

k k k k

k k k k

k k k k

k k

k k

F

F

F

F

F

C B C B

C D C D

B B A A

D D

A A

a)

b)

Efecto en la matriz de rigidez global

Esta matriz se puede

reducir por eliminacin

Gausiana como se ha

hecho anteriormente

- - - -

- - - -

- + -

- -

-

=

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

r

r

r

r

r

k k k k

k k k k

k k k k

k k

k k

F

F

F

F

F

C B C B

C D C D

B B A A

D D

A A

En este caso :

Se necesitan mas pasos para realizar la eliminacin

Gausiana

Los resultados son los mismos

Los desplazamientos y la clasificacin de las fuerzas se

refieren a la nueva numeracin.

Aqu aparece el concepto de ancho de banda que definimos a

continuacin:

Ancho de banda

-

- -

- -

- -

-

5 5 0 0 0

5 2 3 0 0

0 3 9 6 0

0 0 6 8 2

0 0 0 2 1

El ancho de banda se define como: la mayor distancia medida desde

la diagonal hasta el ultimo termino distinto de cero en una fila.

Matriz con ancho de banda de 2:

- -

- -

-

- -

-

5 3 2 0 0

3 7 0 4 0

2 0 3 0 0

0 4 0 6 2

0 0 0 2 2

Matriz con ancho de banda de 3:

El efecto del ancho de banda

El ancho de banda depende de la numeracin de sistema:

El tiempo de solucin se incrementa con el ancho de banda,

aproximadamente como:

( ) ( ) Ecuaciones de N Ancho de banda Solucin Tiempo de 2

La mayora de los programas comerciales poseen un algoritmo para

reducir el ancho de banda y reducir as el tiempo de calculo.

Ejemplo genrico

Para cualquier numero de elementos

Con una distribucin de nodos arbitraria

Con un algoritmo para reducir el tiempo de calculo

Se va a repetir el ejemplo anterior pero con:

Mltiples cargas

Mltiples conexiones entre elementos

Mltiples cargas

1 2 3

KA KB

F1, r1 F2, r2 F3, r3 F4, r4 F5, r5

4 5

KC KD

Si se aplica una carga de 6N en el nodo 5 y una carga de 10N en el

nodo 3.

En este caso el proceso de solucin es idntico al anterior pero en

lugar de un vector de fuerzas, tendremos una matriz de fuerzas.

2

Eliminacin Gausiana - Mltiples cargas

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 0 0

0 0 0 0

0 0 10 0

0 0 0 0

r

r

r

r

Paso 1: dividir la fila 1 por la 3

Inicialmente:

Paso 2: Sumar (2 x fila 1) a fila 2

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 0 0

0 0 0 0

0 0 10 0

0 0 0 0

r

r

r

r

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 0 0

0 0 0 0

0 0 10 0

0 0 0 0

r

r

r

r


Paso 3: dividir la fila

2 por 11/3

Continuacin:

Paso 4: Sumar (3 x fila 2)

a la fila 3

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 0 0

0 0 0 0

0 0 10 0

0 0 0 0

r

r

r

r

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 0 0

0 0 0 0

0 0 11

30 0

0 0 0 0

r

r

r

r

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 0 0

0 0 11

90 0

0 0 11

30 0

0 0 0 0

r

r

r

r


Paso 5: dividir la fila 3

por 50/11

Continuacin:

Paso 6: Sumar (4 x fila 3)

la fila 4

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 0 0

0 0 11

90 0

0 0 11

30 0

0 0 0 0

r

r

r

r

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 0 0

0 0 50

90 0

0 0 11

30 0

0 0 0 0

r

r

r

r

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 5

36 0

0 0 50

90 0

0 0 11

30 0

0 0 0 0

r

r

r

r


Se obtiene la siguiente

matriz de rigidez y

de fuerzas

-

- -

- -

-

=

5

4

3

2

4 4 0 0

4 7 3 0

0 3 5 2

0 0 2 3

6 0 5

36 0

0 0 50

90 0

0 0 11

30 0

0 0 0 0

r

r

r

r

La mayora del tiempo de clculo se gasta en la eliminacin

Gausiana

Los resultados de los casos individuales de carga pueden

sumarse (principio de superposicin)

Esto solo es valido para problemas esttico lineales

8. Evaluacin de

resultados

Post Procesado

Requiere 2 (o ms) pasos:

Interpolacin de resultados calculados en los nudos de los elementos

Evaluacin de Resultados

Post Procesado

Con los resultados calculados de las ecuaciones de la matriz Fuerzas /

Desplazamientos tenemos los valores de interpolacin de los puntos

Gausianos a los nudos de los distintos elementos.

Tensores Tensin /

Deformacin en los

Puntos Gausianos

La funcin de forma se utiliza para interpolar de los puntos

Gausianos a los nudos.

Cambio de coordenadas

Los resultados estn en el sistema de coordenadas local de cada elemento.

Antes de realizar las medias, se precisa cambiar los resultados a un sistema

de coordenadas Global.

Transformar todos los

resultados al sistema

Global

Coord Global

Clculo de resultados

Los valores del Tensor de Nudo en el sistema de coordenadas Global en cada

elemento proceden de realizar la media de elementos contiguos. Valores media en

nudos

Existen casos en que esto no es vlido:

En uniones de distintos materiales

Cuando existen shells conectadas con distintos espesores

Reduccin del Tensor

Se reduce el Tensor a un nico valor:

Valores de Componente (Global x, Global y, Global z)

Tensin de Von Mises / Tresca

Principales: Mxima / Mnima / Absoluta

ij, ij Von Mises, Von Mises

Visualizacin de los resultados

El contour plot en FE requiere valores en nudos o elementos.

Si se utilizan valores en elementos, se visualizan los valores medios de todos los nudos conectados

Valores Medios

Post Procesado

Listado de Resultados

Tpicamente Tensor de Tensiones / Deformaciones en Nudos

Listado de valores en Nudo por cada Time Step

Plots de colores

Animacin

Contour Plots:

x = 300MPa

Anlisis posteriores

Optimizacin o Rediseo

Anlisis de Fatiga

Conclusin: Post procesado de resultados

Los Elementos Finitos facilitan resultados en nudos procedentes de

la interpolacin de los Puntos Gausianos.

Estos resultados se transforman al sistema de coordenadas Global

del sistema.

A continuacin, se realiza la media con los nudos contiguos.

Se reduce el tensor a una tensin equivalente.

Conclusin: Cada mtodo ofrece un resultado

Los mejores resultados son los nodales.

Hay que tener cuidado con las medias cuando se disponga

de varios materiales.

9.Estrategias de

Mallado

Tipos de elementos

Bar Tri

Tet Hex Wedge

Quad

Los elementos finitos tienen distintas formas.

Los elementos finitos pueden ser lineales o parablicos.

Requerimientos del modelo de mallado :

Crear un modelo geomtrico apropiado

Paramtrico o no-paramtrico

Extraer caractersticas innecesarias: e.g. pequeas esquinas

Especificar la topologa y tamao del elemento

Especificar el tipo de mallado (isomesh, paver)

Especificar un control sobre el mallador (mesh seed)

Existen distintos algoritmos de mallado:

IsoMesh (mapped mesher)

Paver (free mesher)

TetMesh

Sweep mesh

Mallado

IsoMesh Mesh Sweep Mesh

Paver Mesh TetMesh Mesh

Mallado

El mallado isomesh se emplea para mallar:

Todas las curvas (paramtricas)

Superficies simples (paramtricas)

Slidos simples (paramtricos)

La geometra debe ser paramtrica

Los nodos se crean en la interseccin de curvas y superficies de valor paramtrico constante

Si la geometra no es paramtrica, Isomesh no puede colocar los nodos del mallado

Mallado isomesh

Para todo tipo de superficies, simples y complejas.

Paver malla primero el permetro de la superficie y contina mallando hacia el interior en espiral.

Paver no sigue las direcciones paramtricas

Antes del mallado Durante el mallado Paver Despus de mallar

Mallado paver

El nmero de elementos por borde se establece en funcin de las siguientes prioridades:

Regiones de mallado congruentes

Semilla de mallado (Mesh Seed)

Longitud global del borde

Antes Despus Durante

Mallado paver

El mallado slido TetMesh genera elementos tetradricos de un slido definido por un n arbitrario de caras

Comienza mallando las caras del slido, generando los tetraedros hacia el interior, en el siguiente orden:

Malla los vrtices, bordes, caras y slidos

Despus genera los

elementos slidos

hacia el interior

Primero malla

las caras

MalladoTET

Extiende un nodo o elemento de orden inferior sobre un espacio para generar un elemento de mayor orden (e.g. extruir un QUAD para generar un HEX)

Existen distintas tcnicas de barrido

1D bar

elements

Glide 1D to create 2D

Glide curve

Mallado sweep (barrido)

Cosido de la malla: EQUIVALENCE

Reemplaza nodos para conectar elementos

El algoritmo de Equivalence es controlado por un parmetro de tolerancia

Los cambios se propagan por todo el MEF seleccionado

1

2

1

2

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

25 26 27 28

29 30 31 32

Despus Durante Antes

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15

16 17 18

1

2

1

2

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

25 26 27 28

29 30 31 32

1

2

1

2

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

25 26 27 28

Cosido de la malla: EQUIVALENCE

Verificaciones

Chequeos generales ms usuales

Boundary: contorno de la malla

Elementos Duplicados

Normales

Calidad de los elementos

Ejemplo malla HEX:

Hex mesh Bordes libres antes

del cosido

(equivalence)

Bordes libres despus

del cosido

Tet mesh Bordes libres antes

del cosido


del cosido

Ejemplo malla TET:

rea en

blanco indica

ms de un

TET

Lineas indican un

solo TET

Verificaciones: boundary

Ejemplo malla HEX:

Hex mesh Bordes libres antes

del cosido

(equivalence)


del cosido

Verificaciones: boundary

10.Calidad de

Elementos

Evaluacin de calidad de los elementos

TRIA

Aspect Ratio:

Skew:


QUAD (1)

Aspect Ratio:

Skew:


QUAD (2)

Warp:

Taper:


TET

Aspect Ratio:

Edge Angle:


TET

Face Skew:

Collapse:


WEDGE

Aspect:

Edge Angle:


WEDGE

Face Skew:

Face Warp:


WEDGE

Twist:

Face Taper:


HEX

Aspect:

Edge Angle:


HEX

Face Skew:

Face Warp:


HEX

Twist:

Face Taper:


www.analisisysimulacion.com 138

11.RBEs y MPCs

www.analisisysimulacion.com

Basados en geometra

RBAR

RBE2

Basados en geometra e inputs del usuario

RBE3 - interpolation

Basado en inputs del usuario

MPC

Tpicos Elementos Rgidos en Nastran

} Realmente-rgidos Elementos rgidos

139


Elementos Rgidos Comunes Basados en Geometra

RBAR

Barra rgida con 6 GDL en cada extremo.

RBE2

Cuerpo rgido con GDL independientes en un nodo, y GDL dependientes en un nmero arbitrario de

nodos.

140


RBAR

El RBAR es una unin rgida entre dos nodos.

141


RBAR

Los GDL independientes deben ser capaces de describir el movimiento de cuerpo rgido

de un elemento

123456 123456 1 2 RBAR 535

CMA CMB CNA CNB GA GB RBAR EID

Lo ms comn es tener todos los GDL dependientes en un nodo, y todos los GDL independientes en el otro

B

A

142


Ejemplo RBAR: Remache

Se emplea RBAR para soldar dos partes del modelo juntas:

123456 123456 1 2 RBAR 535


B

A

143


Ejemplo RBAR: Pin-Joint

Se emplea RBAR para formar una unin pin-jointed

123 123456 1 2 RBAR 535


B

A

144


RBE2

Un NODO independiente (los 6 GDL)

Mltiplos NODOS/GDL dependientes

145


Ejemplo RBE2

Soldadura rgida entre mltiples NODOS a otro NODO:

Nota: No movimiento relativo entre los NODOS 1-4 !

No deformacin del elemento(s) entre esos NODOS

3 2 RBE2 4 1 101 99 123456

GM5 GM3 GM2 RBE2 GM4 GM1 GN EID CM

1 3

2

101

4

146


Usos Comunes RBE2/RBAR

RBE2 o RBAR entre 2 NODOS

Soldar 2 partes diferentes juntas

Acoplamiento 6GDL

Tornillo 2 partes diferentes juntas

Acoplamiento 3DOF

RBE2

Acoplamientos Spider o wagon wheel

Acoplamiento Large mass/base-drive

147


Elementos RBE3

NO es un elemento rgido

Es un elemento de interpolacin

No aade rigidez a la estructura (si se emplea correctamente)

El movimiento en un NODO dependiente es la media ponderada del movimiento en un conjunto de NODOS

master (independientes)

148


La RBE3 No Es Rgida!

RBE3 vs. RBE2

RBE3 permite deformaciones (warping) y efectos 3D

En este ejemplo, la RBE2 cumple la teora sobre vigas

(las secciones planas permanecen planas)

RBE3 RBE2

149


RBE2 vs RBE3

RBE2

RBE3


RBE2 vs RBE3

Mapa de desplazamientos Fuerzas en las MPCs


Ejemplo: RBE3

152


Ejemplo 1: Carga a Travs del CG

Carga a travs del CG con factores uniformes de peso resulta en una distribucin uniforme de carga

153


Ejemplo 2: Carga no a travs del CG

Cmo distribuye las cargas la RBE3 cuando la carga en el nodo de referencia no

pasa a travs del CG de los nodos master?

154


Ejemplo 2: Carga no a travs del CG

La distribucin de fuerza resultante no es obvia intuitivamente

Notar fuerzas en la direccin opuesta en el lado izquierdo de la viga.

Cargas ascendentes en el

lado izquierdo de la viga

resultan del momento

originado por el

movimiento de las cargas

aplicadas en el CG de lo

nodos master.

155


Ejemplo 3: Carga Transversal en una Viga

Se emplean factores prima para generar distribucin de carga realista: 100 LB. carga

transversal en una viga 3D.

156



Si se emplean factores uniformes, la

carga se distribuye uniformemente a

todos los nodos.

157



Displacement Contour

La distribucin de carga uniforme resulta en ms carga transversal en las pestaas

haciendo que se doblen.

158



Suponiendo una distribucin cuadrtica de carga

Suponiendo que las pestaas finas implican carga transversal

cero

GDL Master 1235. GDL 5 aadido para hacer RY un determinado

movimiento de cuerpo rgido.

159



RBE2 Displacement contour

Max Y disp=.00685

160


Definicin MPC

Elementos Rgidos

Definicin: El movimiento de un GDL depende del movimiento de otro GDL (al

menos uno)

Relacin lineal

Un (1) GDL dependiente

n GDL independientes (n >= 1)

ajXi = a1X1 + a2X2 + a3X3++ anXn

161


Por qu puedo querer usar una MPC?

Vincular NODOS juntos (RBEi)

Determinar movimiento relativo entre NODOS

Mantener separacin entre NODOS

Determinar movimiento promedio entre NODOS

Modelizar sistemas de control o de manivela

162

curso basico manual teoria nx cae

Documents