currículo de matemática no ensino básico: a importância do ... · 1 professora do curso de...

Relime Vol. 10, Núm. 1, marzo, 2007, pp. 97-116

Currículo de matemática no ensino básico:a importância do desenvolvimento

dos pensamentos de alto nível

Claudia Lisete Oliveira Groenwald1

Giovanni da Silva Nunes2

RESUMEN

Este artículo reflexiona sobre el currículum de Matemáticas, desarrollado en las escuelasde Enseñanza Media. Objetiviza un análisis crítico de la enseñanza de las Matemáticasen el desarrollo de los contenidos: conceptos y hechos, procedimientos y actitudes,permitiendo así el desarrollo en los alumnos de pensamientos de alto nivel.

PALABRAS CLAVE: Educación Matemática, currículum de matemáticas, pensamiento de alto nivel.

ABSTRACT

The aim of this article is to show some thoughts about the Mathematics’ Curriculumdeveloped by the High Schools. The goal is to make a critical analysis of the Mathematics’teaching to develop some contents like: concepts and facts, procedures and attitudes;also allowing the students’ development of high level thoughts.

KEY WORDS: Mathematics Education, Mathematics’ Curriculum, High level thought.

RESUMO

Este artigo pretende oportunizar reflexões relacionadas ao currículo de Matemáticadesenvolvido nas escolas de Ensino Médio. Objetiva uma análise crítica de um ensi-no da Matemática para o desenvolvimento dos conteúdos: conceitos e fatos, procedi-

Fecha de recepción: 2 agosto de 2006/ Fecha de aceptación: 9 de enero de 20071 Professora do Curso de Matemática e do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da UniversidadeLuterana do Brasil.2 Professor do Curso de Matemática da Universidade Luterana do Brasil.

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INTRODUÇÃO

O conhecimento matemático pode serentendido como uma forma do pen-samento a ser desenvolvido nos indi-víduos. Constitui-se em um sistema deexpressão através do qual podemosorganizar, interpretar e dar significado acertos aspectos da realidade que nosrodeia.

A sociedade complexa em que vivemosexige, cada vez mais, tomada de de-cisões e opções feitas responsavelmen-te. Por isso a Matemática, no mundo dascalculadoras sofisticadas, da automação,da informatização, passa a exercerfunções mais importantes do que simplestécnica de efetuar operações e medidas.É necessário organizar o pensamento,estruturar dados e informações, fazer pre-visões para decidir, avaliar riscos quanti-

tativamente, relacionar os conhecimentose aplicá-los em situações novas.

Segundo D’Ambrósio (1990), a matemá-tica se justifica, nas escolas, por ser útilcomo instrumentador para a vida, para otrabalho, parte integrante de nossas raí-zes culturais, porque ajuda a pensar comclareza e a raciocinar melhor. Também porsua universalidade, sua beleza intrínsecacomo construção lógica, formal, etc. Afir-ma, ainda, D’Ambrósio (1985), que ‘‘a Edu-cação Matemática tem como fundamen-tal objetivo desenvolver estratégiasintelectuais que permitam a construçãode uma Matemática como corpo de con-hecimentos, de técnicas e procedimen-tos úteis para satisfazer as necessidadessociais’’ (D’Ambrosio citado en Azcára-te, 1997, p. 80).

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mentos e atitudes, permitindo, assim, o desenvolvimento, nos alunos, de pensamen-tos de alto nível.

PALAVRAS CHAVE: Matemática Educativa, Currículo de Matemática, Pensamento de alto nível.

RÉSUMÉ

Dans cet article nous faisons une réflexion sur le programme des mathématiques,développé des institutions de niveau collège. Nous avons fait objectivement une analy-se critique de l’enseignement des mathématiques dans le développement des conte-nus : concepts et faits, processus et attitudes, en permettant de cette manière ledéveloppement, chez les élèves, d’une pensée de haut niveau.

MOTS CLÉS : Didactique des mathématiques, programme des mathématiques, pensée de haut niveau.

Currículo de matemática no ensino básico: a importância do desenvolvimento de pensamentos de alto nível 99

Assim, torna-se evidente a utilidade so-cial da Matemática para fornecer instru-mentos para o homem/mulher atuaremno mundo de modo mais eficaz, for-mando gerações constituídas de homense mulheres preparados. SegundoD’Ambrósio (1990, p. 16) ‘‘Isso significadesenvolver a capacidade do aluno paramanejar situações reais, que se apre-sentam a cada momento, de maneiradistinta’’.

De acordo com Bertoni (1994), a Mate-mática se justifica para formar uma baseconceitual a partir da qual outras idéiasmatemáticas serão organizadas, desen-volvendo o raciocínio próprio, gerandoautoconfiança, espírito crítico e criativo,capacidade de selecionar e aplicar oaprendido a situações novas, atitudes ecrenças positivas perante a matemática,a percepção de seu valor, o reconheci-mento das relações entre a Matemáticae situações da realidade.

A Matemática, as Ciências e a tecnolo-gia são ingredientes fundamentais dacultura, que existem e se desenvolvemem um meio social historicamentedeterminado, segundo Cantoral et al.(2000). Para os autores essas áreas doconhecimento constituem formas de in-terpretar o mundo e suas relações, for-necendo meios para transformá-lo. Nes-se sentido a Matemática contribui paraque se forme na população um pensa-mento científico e tecnológico.

É evidente que a vida moderna exige, cadavez mais, o desenvolvimento de habilida-des como: lógica de raciocínio; sabertransferir conhecimentos de uma áreapara outra; saber comunicar-se e enten-der o que lhe é comunicado; trabalhar emequipe; interpretar a realidade; buscar,analisar, tratar e organizar a informação;adotar uma postura crítica, sendo cons-

ciente de que o conhecimento não é algoterminado e deve ser construído cons-tantemente; tomar decisões, ganhandoem autonomia e criatividade. Logo, apren-der Matemática é mais do que aprendertécnicas de utilização imediata; é inter-pretar, construir ferramentas concei-tuais, criar significados, perceber proble-mas, preparar-se para equacioná-los ouresolvê-los, desenvolver o raciocínio lógi-co, a capacidade de compreender, ima-ginar e extrapolar (Groenwald, 1999).

Baseados nesses princípios, a escola eos professores devem refletir sobre a ne-cessidade de um planejamento curri-cular em Matemática que esteja em sin-tonia com o progresso científico etecnológico da sociedade atual.

Logo, há necessidade de estruturar o cu-rrículo de Matemática onde o eixo cen-tral não seja a repetição de exercícios,mas ‘‘aprender a interpretar problemas,desenvolver sistemas de ações, compa-rar idéias, métodos e soluções, sabercomunicar idéias através da Matemáticae concluir processos de forma clara, ri-gorosa e precisa, entre outras estraté-gias’’ (Azcárate, 1997, p. 82).

Este artigo apresenta as reflexões dosautores sobre a necessidade de mu-danças na forma de desenvolver o pro-cesso de ensino e aprendizagem da Ma-temática nas escolas do Ensino Básico,apontando as competências matemáti-cas exigidas no mundo moderno, no qualo conhecimento de regras e algoritmosnão é suficiente para a resolução das si-tuações problemas que se apresentam.Apresenta, também, os resultados daaplicação de um experimento com duasatividades, uma de decodificação de umaexpressão algébrica em uma expressãoaritmética (criptografia básica) e a outrade resolução de um problema, com alu-

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nos de um curso de Licenciatura em Ma-temática, objetivando evidenciar que ocurrículo desenvolvido em nossas es-colas do Ensino Básico ainda estáprivilegiando somente a transmissão deconteúdos, sem preocupar-se em desen-volver procedimentos e atitudes (Coll,1996), não possibilitando o desenvolvi-mento do pensamento matemático, ne-cessário na sociedade atual.

CURRÍCULO DE MATEMÁTICA:NECESSIDADES E PERSPECTIVAS

A palavra currículo se origina do latim cu-rriculum e significa o curso, a rota, o ca-minho da vida ou das atividades de umapessoa ou grupo de pessoas. O currículoeducacional representa a síntese dosconhecimentos e valores que caracteri-zam um processo social, expresso pelotrabalho pedagógico, desenvolvido nasescolas.

Coll (1996) afirma que o currículo é aexplicação do projeto educacional ne-cessário para o crescimento pessoal,como ajuda específica quando essecrescimento não é satisfatório somentecom a participação, imitação ou obser-vação dos adultos dentro da cultura deum grupo, servindo, assim, como ummanual para aqueles que irão desenvol-ver esse projeto; levando-se em conside-ração a situação real de onde ele seráaplicado. Em outras palavras:

[...] entendemos o currículo comosendo o projeto que preside as ativi-dades educativas escolares, definesuas intenções e proporciona guiasde ação adequadas e úteis para osprofessores, que são diretamente

responsáveis pela sua execução.Para isso, o currículo proporcionainformações concretas sobre que en-sinar, quando ensinar, como ensinare que, como e quando avaliar (Coll,1996, p. 45).

Forquin descreve currículo como sendo‘‘[...] o conjunto daquilo que se ensina edaquilo que se aprende, de acordo comuma ordem de progressão determinada,no quadro de um dado ciclo de estudos’’(Forquin, 1995, p. 188). Para o autor, éum programa de estudos ou um progra-ma de formação, mas considerado emsua globalidade, coerência didática e con-tinuidade temporal, isto é, de acordo coma organização seqüencial das situaçõese das atividades de aprendizagem àsquais dá lugar.

O currículo escolar é toda ação pedagó-gica refletida, que se realiza na escola ea partir dela, para que se concretize aaprendizagem. São as atividades dentroou fora da sala de aula que contri-buem para o desenvolvimento dos alu-nos. Portanto, é mais que uma simplesgrade de matérias ou uma lista de con-teúdos. Contempla um conjunto de con-hecimentos relacionados e interdependen-tes, com diversos níveis de complexidadee ampliação de conceitos. Através docurrículo escolar, realiza-se a difusão doconhecimento científico, adquirido pelasociedade. Em seu funcionamento deveestar presente a realidade sócio-histó-rico-cultural da comunidade a que se des-tina, atribuindo, dessa forma, significadoaos conhecimentos e saberes trabalha-dos na escola. Nas discussões cotidia-nas, quando refletimos sobre currículo, écomum pensarmos apenas em conheci-mento neutro, escrito para ser seguidoteoricamente, esquecendo-nos de que oconhecimento que o constitui está dire-

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3 Resolução do Conselho Nacional de Educação do ano de 1998.

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tamente ligado à formação do indivíduoque será construído dentro da escola. Por-tanto o currículo escolar tem uma impor-tância fundamental na construção da es-cola que queremos ter.

Direcionando o estudo para área de Ma-temática, os Parâmetros CurricularesNacionais (PCNs) visam [...] à cons-trução de um referencial que oriente aprática escolar de forma a contribuir paraque toda a criança e jovem brasileirotenham acesso a um conhecimento ma-temático que lhes possibilite, de fato, suainserção, como cidadãos, no mundo dotrabalho, das relações sociais e da cul-tura (Brasil, PCNs, 1998, p. 15).

Encontramos-nos PCNs a discussãodas metodologias para resolução de pro-blemas, história da Matemática, jogos euso das tecnologias de comunicação,como forma de melhorar o ensino daMatemática, incluindo, também, temastransversais como: ética, pluralidade cul-tural, orientação sexual, meio ambiente,saúde, trabalho e consumo. Esses te-mas são necessários para que o alunoassuma uma posição crítica e consigaproteger-se, através do conhecimento,quando se deparar com certas situaçõesdurante a vida.

Finalmente, incluem discussões sobre amelhor forma de trabalhar os conteúdosque desenvolvem a estrutura cognitiva doaluno: [...] o estudo dos números e dasoperações (no campo da aritmética e daálgebra), o estudo do espaço e das for-mas (no campo da geometria) e o estu-do das grandezas e das medidas (quepermite interligações entre os campos daaritmética, da álgebra, da geometria e de

outros campos do conhecimento) (Bra-sil, PCNs, 1998, p.49). O objetivo é tra-balhar esses conteúdos de uma formaque permita ao aluno, posteriormente,usar esse conhecimento para entender aMatemática que o rodeia, compreenden-do a utilização de gráficos, dados esta-tísticos, probabilidade, etc.

A Matemática, segundo os PCNs do En-sino Médio (Brasil, 1999), permite o des-envolvimento de competências essen-ciais, envolvendo habilidades de carátergráfico, geométrico, algébrico, estatísti-co e probabilístico, o que é claramenteexpresso nos objetivos educacionais daResolução do CNE3/98.

A idéia básica do enfoque construtivistade ensino é a de que aprender e ensinaré mais do que um mero processo de re-petição e acumulação de conhecimentos;implica transformar a mente de quemaprende, que deve reconstruir, em nívelpessoal, os processos e produtos cultu-rais com o fim de apropriar-se deles (Pozo& Crespo, 1998).

Atualmente, no Brasil, a escola possui,muito arraigada em seus pressupostos,a transmissão de conhecimentos, comaulas teóricas e exercícios repetitivos,como forma de aprender a fazer, não pri-vilegiando a compreensão e o desenvol-vimento do pensamento abstrato.

Logo, um novo currículo se faz necessá-rio nas escolas, a fim de mudar essaconcepção dominante de educação e con-siderar a formação de atitudes, valores ecompetências, permitindo ao aluno aaplicação dos conhecimentos aprendi-

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4 Uma concepção dinâmica de currículo é construída quando se pensam, conjuntamente, currículo e sociedade.

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dos em situações novas. Esse currículodeve privilegiar o agir do aluno e o profes-sor como mediador do processo de ensi-no e aprendizagem.

Porém, os conteúdos matemáticos de-vem possuir um valor importante na cons-trução do saber. As metodologias aplica-das em sala de aula também sãofundamentais para um ensino significati-vo, no qual os alunos possam construirsignificados e atribuir sentido àquilo queaprendem. Para Coll et al. (1998), somen-te na medida em que produzimos esseprocesso de construção de significadose de atribuição de sentido, conseguimosque a aprendizagem de conteúdos espe-cíficos cumpra a função que lhe é deter-minada e que justifica a sua importân-cia: contribuir para o crescimento pessoaldos alunos, favorecendo e promovendo oseu desenvolvimento e socialização.

É necessário salientar que não preten-demos que os conteúdos (fatos e con-ceitos) tenham um peso excessivo, masque sejam desenvolvidos, na escola, to-dos os tipos de conteúdos, que são: osfatos e conceitos; os procedimentos eas atitudes. Coll et al. (1998) sugerem oplanejamento e o desenvolvimento de ati-vidades que permitam trabalhar, de for-ma interrelacionada, os três tipos de con-teúdos.

Um currículo dinâmico4 torna-se eviden-te quando entendemos educação para to-dos ou educação de massa, como formade desenvolver uma nação. O grande ob-jetivo da educação brasileira, nesse mo-mento, é fazer com aqueles que estãona escola permaneçam nela e consigamaplicar os conhecimentos adquiridos emsituações da sua vida futura.

Portanto, a Matemática escolar não podelimitar-se a ensinar os conceitos que es-tão nos programas dessa disciplina. Devepossibilitar o desenvolvimento dos pen-samentos colocados em funcionamento,como abstração, demonstração, raciocí-nio através de hipóteses, resolução e ela-boração de problemas.

A aprendizagem matemática, segundoD’Amore (2005), não se constitui apenasda construção de conceitos, mas en-volve três tipologias de aprendizagensdistintas, possuindo alguma intersecção:aprendizagem conceitual, aprendizagemde estratégias (resolver, demonstrar, ...),aprendizagem algorítmica (calcular, ope-rar, ...). Considera, ainda, que a operacio-nalização (o saber fazer) engloba tanto ouso dos conceitos quanto das estratégias(o saber demonstrar, saber resolver), bemcomo as atividades algorítmicas (saber cal-cular, saber operar).

Cantoral et al. (2000) também entendemque a Matemática escolar não se limita àparte do currículo que trata dos conteú-dos e temas de estudo, mas trata,também, dos processos do pensamentoque os alunos põem em funcionamento,como a abstração, demonstração, racio-cínios através de hipótesis resolução eplanejamento de problemas.

Segundo os PCNs do Ensino Médio (Bra-sil, 1999) a Matemática, com seus pro-cessos de construção e validação de con-ceitos, argumentações, procedimentos degeneralizar, relacionar e concluir, que lhesão característicos, permite estabelecerrelações e interpretar fenômenos e infor-mações, possibilitando ir além da des-crição da realidade e da elaboração demodelos.


Conforme Cantoral et al. (2000), o pen-samento matemático inclui, por um lado,reflexão sobre tópicos matemáticos e,por outro, processos avançados do pen-samento, como abstração, justificação,visualização, estimação e raciocíniosatravés da formulação de hipóteses. Deveoperar sobre uma rede complexa de con-ceitos, uns avançados e outros mais ele-mentares.

Logo, torna-se evidente que o currículode Matemática trabalhado, nas escolas,necessita além do desenvolvimento deconteúdos, que sejam desenvolvidos pro-cedimentos adequados, proporcionandoaos alunos a construção de raciocíniosde alto nível.

A IMPORTÂNCIA DODESENVOLVIMENTO DE

PENSAMENTOS MATEMÁTICOS DE ALTO NÍVEL

A matemática, como ciência, é um exem-plo de abstração, uma vez que, comoregra, não estuda o mundo real, e simmodelos, que são abstrações do mundoreal. Logo, entendemos que, ao tra-balhar com os conteúdos matemáticos,devemos ter em mente a criação de ativi-dades que permitam o desenvolvimentodo pensamento abstrato, possibilitandoraciocínios de alto nível.

Raciocínio de alto nível, segundo Resnickcitado por Lins & Gimenez (1997), é aque-le que estabelece relações. Não é ime-diato, e faz com que o sujeito estabe-leça processos não-algorítmicos. Exigeum nível de abstração mais elevado, oqual permite relações entre os conheci-

mentos já adquiridos, exigindo mais quea aplicação de algoritmos e regras. Nor-malmente, a resolução de problemas, emMatemática, exige do resolvente raciocí-nios de alto nível, ou seja, é necessáriorelacionar os conhecimentos prévios eaplicá-los em uma situação nova.

Para melhor entender o pensamento abs-trato, é importante conceituar ‘‘pensamen-to’’ e ‘‘abstrato’’. Pensamento, segundoo Dicionário Aurélio, ‘‘é um processomental que se concentra nas idéias’’ e‘‘o poder de formular conceitos’’. Confor-me Oxford Desk Dictionary and Thesau-rus, ‘‘é a faculdade da razão’’.

Para Oliveira & Amaral (2001), ‘‘pensa-mento é a capacidade que tem o ser de,através de três operações mentais dis-tintas: a formação de idéias, o juízo so-bre as relações de conveniência entreessas idéias e o raciocínio, que estabe-lece relações entre os juízos, compreen-der o significado das coisas concretas edas abstrações, bem como das relaçõesque elas guardam entre si’’.

No Dicionário Aurélio, ‘‘abstrato é o queexpressa uma qualidade ou característi-ca separada do objeto a que pertence oua que está ligada’’. No Oxford Desk Dic-tionary and Thesaurus ‘‘abstrato é o queexiste no pensamento ou na teoria e nãona matéria ou na prática’’.

Ainda, citando Oliveira & Amaral (2001),a abstração é um conceito no qual nãolevamos em conta um valor específico de-terminado e sim qualquer entre todos osvalores possíveis daquilo com que esta-mos lidando ou ao que estamos nos re-ferindo. Por exemplo, em álgebra, quan-do dizemos que x é uma variável,desconsideramos o seu valor atual, mas

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5 Os nervos são estruturas especializadas em conduzir impulsos para o sistema nervoso central e para o sistemanervoso periférico. São formados por células altamente especializadas, os neurônios, possuindo um corpo celularcom projeções denominadas dendritos e um prolongamento principal, o axônio. O impulso nervoso propaga-se nosentido dendrito-axônio.

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consideramos todos os possíveis valoresde x como sendo números, os quais nãosão objetos físicos e sim objetos lingüís-ticos, formados pela abstração durante oato de contar.

Os pensamentos abstratos representamidéias ou sentimentos, não dimensio-náveis, desprovidos de forma, tamanhoou cor, como amor, paixão, ódio ou tris-teza (abstrações límbicas), ou algo as-sim como sentido ético e moral, músicaou matemática (abstrações neocorticais).Também consistem na habilidade que tema mente de selecionar novas rotas ounovos meios para alcançar um determi-nado objetivo, algo que, certamente,tem a ver com o pensamento abstrato(Oliveira & Amaral, 2001).

Para os mesmos autores, o pensamentoabstrato proporciona algo mais: quandoenvolvido num processo de criatividade,adquire tal magnitude, que acaba por seconstituir em forte estímulo, capaz de pro-mover a proliferação dendrito-axonial5,criando novas sinapses, tornando-se umpoderoso estimulador do aprendizado, doconhecimento e da potencialidade dememorização.

Quando nos referimos às operações depensamento, falamos na busca de supo-sições, classificação, codificação, com-paração, planejamento de projetos (traçarum lação de hipóteses, imaginação, in-terpreplano de ação para solucionar umasituação conflitiva), formulação de críti-cas, formulação de hipóteses, imagi-nação, interpretação, resumo, reunião eorganização de dados, tomada de de-cisões.

O que nos preocupa é que a escola nãoestá desenvolvendo esse tipo de pensa-mento nos alunos, fato o qual nos leva aquestionar a necessidade de um ensinodentro da nossa realidade, com situaçõesproblemas que desencadeiem raciocínioslógicos matemáticos, que os motivem einteressem.

UMA EXPERIÊNCIA COM FUTUROSPROFESSORES DE MATEMÁTICA

Com o objetivo de encontrar evidênciassobre as questões discutidas no referen-cial teórico sobre a necessidade de umcurrículo de Matemática que busque odesenvolvimento do pensamento matemá-tico dos alunos e não privilegie o simplesdesenvolvimento de conteúdos matemáti-cos, foi realizado um experimento com alu-nos que estão cursando Matemática, fu-turos professores dessa disciplina noEnsino Básico.

O experimento objetivou investigar se alu-nos que já concluíram o Ensino Básico eestão cursando uma Licenciatura emMatemática possuem a capacidade dedesenvolver atividades que exijam racio-cínios de alto nível. Foi aplicado um ex-perimento que previa a realização de duasatividades didáticas com alunos do cursode Licenciatura em Matemática da Uni-versidade Luterana do Brasil, ULBRA, nomunicípio do Canoas, no estado do RioGrande do Sul, Brasil.

O experimento foi aplicado em 63 alunos,que estão no quarto semestre do curso

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3. Prevendo resultados:i) se A = 1, então O = 3 ou O = 4

ou O = 5;

ii) se A = 2, então O = 6 ou O = 7 ouO = 8;

iii) se A = 3, então O = 9.

4. Verificação das hipóteses (en-frentamento das questões).

O raciocínio lógico leva a testar ‘‘iii’’primeiramente, porque dado A = 3 sóhá uma possibilidade para O, a saber,O = 9.

Verificamos que essa possibilidade é fal-sa: se A = 3, então 3R = 9 ou 3R = 19.

3R = 9 ⇒ R = 3: é falso, porqueR deve ser um valor diferente de A;

3R = 19 é falso, porque R é umvalor inteiro.

Além disso, é importante que o aluno sedê conta de que 3R > 27 não ocorre;logo, não é possível 29, 39, etc.

Todas as hipóteses devem ser verifi-cadas com esse tipo de raciocínio.Por exemplo, a hipótese de que A = 1e O = 3 é facilmente descartada, porqueleva a concluir que 3R = 3 implicandoR = 1, o que é impossível, porque A nãoé igual a R.

Passemos, então, para a verificação dahipótese verdadeira: se A = 2 e O = 8,então 3R = 18, pois é o único múltiplode 3 entre 0 e 27 que termina em 8;logo, R = 6. Sabemos que 3O = 24,

então I = 5 e M = 7 e D = 3. Logo, aconta esperada é: 3

×

2786 = 8358.

2. Um programa de computador foidesenvolvido para listar os núme-ros inteiros na tela, em quatro co-lunas, de forma que, em cada co-luna, apareça a soma do númerocom seu sucessor, consecutiva-mente:

1 1+2 2+3 3+4:4+5 5+6 ...

Sabendo que o algoritmo estáprogramado para parar no pri-meiro primo maior que 625, per-guntamos:

a) Qual será o último númeroque aparecerá na lista?

b) Qual coluna receberá o últi-mo valor programado?

c) Qual a soma dos númerosrecebidos pela coluna onde estáo último número?

d) Em qual coluna aparecerãoos números que são quadradosperfeitos?

e) Se no programa for inseri-do um acumulador, que arma-zena a soma de todos os nú-meros que já apareceram natela, que resultado estaria arma-zenado após n iterações?

A resolução dessa atividade exige queos alunos apliquem os conhecimentos doEnsino Básico que possuem e os rela-cionem a uma situação nova.

A resolução desse problema está presen-tada a seguir:

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Conclusão: P(1) é verdadeira.

Hipótese de Indução

Suponhamos que P(k) é verdadeirapara k ≥ 1, ou seja,

1 + 3 + 5 +7 +9 + ... + (2k – 1) = k2

Tese de Indução

Queremos mostrar que P(k + 1) éverdadeira, ou seja,

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...+ (2k-1)+

+ (2k+1) = (k+1)2

Demonstração:

Sabemos que:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...+ (2k – 1) = k2

Queremos mostrar que:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...+ (2k – 1)+

+ (2k + 1) = (k + 1)2

Temos:

k2 + (2k + 1) = k2 + 2k + 1 =

= (k + 1)(k +1) = (k + 1)2.

O desenvolvimento dessas atividade exi-gem operações de pensamento. Paraformulá-las necessitamos da capacida-de de abstração matemática, indo alémdo conhecimento de conteúdos matemá-ticos, ou seja, o resolvente tem que apli-car seus conhecimentos aritméticos emuma situação desconhe-cida. Na ativida-de um, solicitamos a decodificação deuma expressão literal para uma situaçãonumérica e, na atividade dois, são exigi-dos pensamentos elaborados para a cons-trução e resolução do problema. ParaCantoral et al. (2000), o pensamento ma-temático, que deve ser desenvolvido nos

estudantes, inclui conhecimento de tópi-cos matemáticos e processos avançadosde pensamento,como justificação, formu-lação de hipóteses e conclusão.

O que esperamos de um estudante quetenha concluído o Ensino Básico é quetenha desenvolvido estratégias de pensa-mento que permitam a resolução dessasatividades, sem o uso de tentativas alea-tórias, mas usando os conhecimentosadquiridos em aritmética e raciocínio ló-gico, ou seja, elaborando raciocínios dealto nível.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Na primeira etapa de aplicação da ativi-dade, quando os alunos agruparam-se em5 grupos e resolveram a atividade nos gru-pos, foi delimitado o tempo de duas ho-ras aulas para a realização da atividade.

Apenas um grupo chegou à resposta co-rreta, porém, o resultado foi obtido por ten-tativa e erro, como é possível observar nadescrição da resposta pelo grupo ‘‘soma-dos os três R do amor, o resultado deveser grande o bastante, pois o resultado éa letra O, que inicia e termina a palavraÓDIO e o valor de O também está noAMOR. A letra O é a única em comumentre as duas palavras. A partir daí, to asas outras letras somadas teriam que tervalores diferentes, formando um jogo al-gébrico de tentativa e erro, baseado nofato de que os valores das letras diferen-tes seriam diferentes também’’.

O grupo formado por dois alunos formu-lou duas hipóteses. Primeiro, A = 1

⇒

O = 3 ⇒ I = 9, mas R + R + R = 3⇒ R = A; logo, essa proposição é falsa.


Na segunda hipótese, partiram de R=7.Então, concluíram que A=0, o que oslevou a uma conclusão errada. As hipó-teses elaboradas são pensamentos mui-to pouco elaborados, o que nos eviden-cia que a Matemática que conhecem doEnsino Básico não foi aplicada emuma situação nova. Afirmaram os alu-nos desse grupo: ‘‘Não sabemos comoconseguir números diferentes com letrasdiferentes, pois sempre chegamos a le-tras com valores iguais.’’

Os outros três grupos não chegaram anenhuma resposta e também não con-seguiram formular nenhuma hipóteselógica. Por exemplo, um dos gruposescreveu ‘‘chegamos à conclusão que de-vemos achar um número de 4 algarismosdistintos que, ao serem multiplicados por3, resultarão em outro número de 4 alga-rismos’’.

A segunda etapa, na qual a atividade foidesenvolvida individualmente, também noperíodo de duas horas aulas, foi aplicadaem 36 alunos, dentre os quais 21 nãoformularam nenhuma hipótese e não con-seguiram escrever nenhuma resposta, 10consideraram o A = 0, por isso não en-contraram a resposta correta e 5 escre-veram a resposta correta.

Dos alunos que encontraram a respostacorreta, todos afirmaram que utilizaramo raciocínio por tentativa e erro. Apenasum aluno apresentou um pensamentomais elaborado, apesar de representarum pensamento elementar: ‘‘Concluí queo algarismo da dezena teria que ser igualàs unidades e igual à unidade de milhar’’.

Dos que concluíram que o A valia zero,nenhum levou em consideração que apalavra AMOR deveria representar um nú-mero de quatro algarismos. Dois alunos

atribuíram valores para as letras doalfabeto, considerando o A = 0, B = 1, eassim sucessivamente. Consideramosesse tipo de raciocínio muito elementar,pois os alunos não consideraram que umcódigo não pode ser criado aleatoria-mente.

Dos 21 alunos que erraram a resposta,cinco não apresentaram nenhum tipo deraciocínio; oito alunos não levaram emconsideração a hipótese de que cada le-tra representava um algarismo distinto,apresentando soluções do tipo:

1031 + 1031 + 1031 = 3093,logo M = 0 e D = 0.

Seis alunos fizeram relações do tipo:3*AMOR = ÓDIO, porém, não levaramem consideração os valores relativos dosalgarismos que cada letra representava echegaram a conclusões erradas.

Outro tipo de pensamento equivocadofoi apresentado por dois alunos: A =3, M = 2, O = 1 e R = 0.

Então A + M + O + R = 6, ou seja,AMOR+AMOR+AMOR = 6 + 6 + 6 = 18;logo, a palavra ódio vale 18, como O = 1,D + I = 16. Então, D = 16 – I, concluin-do que, se I = 9, então D = 7.

Esse raciocínio é equivocado, por não es-tabelecer nenhum tipo de relação comseus conhecimentos prévios, ou seja, es-ses alunos não conseguiram relacionar eaplicar seus conhecimentos de aritméti-ca a uma situação nova.

Ao serem questionados sobre a maneiraque resolveram a atividade, os alunos afir-maram que foi por tentativa e erro; nen-hum aluno propôs um plano de ação, nem

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Tabela 1: Resolução individual do primeiro item do problema.

Estratégia utilizada na resolução nº de participantes individual do item a do problema

Encontrou o número 631, por tentativa. 3



na situação de trabalho em grupo nemindividualmente. Também o levantamen-to das hipóteses foi dos mais elementa-res. Nenhum aluno propôs hipóteses efez o enfrentamento dessas hipóteses.

Na terceira etapa do experimento, o pro-blema aborda vários conteúdos do Ensi-no Básico: números primos, quadradosperfeitos, divisibilidade, seqüências e pro-gressão aritmética. Os participantes ti-

O item ‘‘a’’ é bastante simples, porém,cinco participantes afirmaram que o pri-meiro número primo maior que 625 é onúmero 629, sem considerar que essenúmero é divisível por 17 e um participan-te encontrou o número 627, sem perce-

Tabela 2: Resolução dos grupos relativos ao primeiro item do problema.

Estratégia utilizada na resolução nº de gruposdo item a do problema, em grupos



veram dificuldade para reconhecer essesconceitos ao longo da resolução do pro-blema. A seguir apresentamos os resul-tados desses alunos.

Na resposta ao primeiro item, onde é per-guntado qual será o último número queaparecerá na lista, as respostas indivi-duais dos alunos estão categorizados,na Tabela 1, e as respostas realizadasem grupo, na Tabela 2.

ber que esse número é divisível por 3. Asrespostas categorizadas nas Tabelas 3e 4 mostram a resolução do item b, quepergunta qual coluna receberá o últimovalor programado.

Tabela 3: Resolução Individual do item b do problema

Estratégia utilizada na resolução nº de participantesindividual do item b do problema

A quarta coluna, por tentativa. 2

A terceira coluna, por tentativa. 3

A Segunda coluna, por tentativa. 1

Não resolveu o problema. 3


Estratégia utilizada na resolução do n.º de grupositem b do problema

A quarta coluna, por tentativa. 2

A terceira coluna, por tentativa. 1

Tabela 4: Resolução dos grupos do item b do problema

Apenas dois participantes acertaramessa questão, mas ambos tiveramdificuldades para justificar a sua res-posta. Os resultados das Tabelas 5 e

6 mostram a resolução do item c,que pergunta qual a soma dos núme-ros recebidos pela coluna onde estáo último número.

Tabela 5: Resolução Individual do item c do problema

Estratégia utilizada na resolução individual nº de participantesdo item c do problema

Utilizou a fórmula da soma dos termos de umaP.A.,mas cometeu um pequeno erro nos cál- 1culo não encontrando o valor correto.Não registrou a estratégia utilizada e não 4encontrou o resultado correto.


Estratégia utilizada em grupos na resolução nº de gruposdo item c do problema

Utilizou a fórmula da soma dos termos de 1 uma P.A.

Somou, apenas, os dois últimos números da 1seqüência.


Tabela 6: Resolução dos grupos do item c do problema.

Os restantes somaram os quatro núme-ros da última linha e não identificaram aexistência de uma progressão aritmética.As respostas do item d, que pergunta emqual coluna aparecerão os números quesão quadrados perfeitos, estão apresen-tadas nas Tabelas 7 e 8.

Quanto ao item ‘‘c’’, apenas 1 aluno uti-lizou a fórmula da soma dos termos deuma progressão aritmética, porém co-meteu um erro no cálculo. Logo, nãoencontrou a resposta correta. Dois par-ticipantes somaram os dois últimos nú-meros da coluna.


Estratégia utilizada, pelos grupos, na resolu- nº de gruposção do item e do problema

Utilizou fórmulas relacionadas a P.A e encon- 1

trou 2

211 nrrnnaaS n

−++=

Não registrou a estratégia utilizada e encon- 1trou ‘‘n + 1’’


Tabela 10: Resolução dos grupos do item e do problema

Assim, os alunos que participaram do ex-perimento, demonstraram que não foi rea-lizado nenhum raciocínio de alto nível.Eles simplesmente se utilizaram de pen-samentos elementares (tentativae erro),elementares (tentativa e erro), o que evi-dencia que o currículo de Matemática doEnsino Básico necessita de mudançase de uma reflexão profunda em relaçãoao que é ensinado e como é ensinado.Ou seja, há necessidade de um currícu-lo que desenvolva mais competênciasmatemáticas, como as já referidas no re-ferencial teórico desse artigo.

Os conteúdos desenvolvidos em umavisão tradicional de ensino não está per-mitindo que os estudantes utilizem aMatemática ensinada na escola em si-tuações novas.

CONCLUSÃO

As respostas apresentadas pelos alunos,nas atividades propostas, são raciocí-nios matemáticos elementares. O maispreocupante é que eles não conseguem

relacionar seus conhecimentos préviosem uma situação nova.

Observamos, na resolução da atividadeum, que existe uma total ausência de con-jeturas, raros levantamentos de hipóte-ses e enfrentamento dessas hipóteses.Mesmo o aluno que levantou uma hipóte-se não conseguiu deduzir se era verda-deira ou falsa sua suposição; logo, exis-te, nesses alunos, uma dificuldade grandena competência de organizar o pensa-mento matemático na busca da soluçãode uma atividade desconhecida.

Também percebemos que os alunos nãorealizaram um plano de ação; foram sim-plesmente escrevendo as idéias que sur-giam aleatoriamente, o que os levou apensamentos improdutivos.

Lins & Gimenez (1997) afirmam que a arit-mética do século XX oferece respostas aproblemas teóricos muito recentes, comoa criptografia, os problemas de minimi-zação e maximização, a análise numéri-ca, os problemas de interação, entreoutros, não podendo ser reduzida a re-gras escolares. Para os autores, a arit-mética a ser desenvolvida nas escolas

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Ainda citando Lins & Gimenez (1997),devemos observar a aritmética em suacapacidade de desenvolvimento comuni-cativo, utilizando códigos, promovendosituações do tipo discreto, deixando depôr toda a ênfase na função de contar ereconhecer as funções de ordenar e me-dir dos sistemas numéricos. O que ficaevidenciado, na atividade desenvolvida,que não é esse tipo de pensamento queestá sendo desenvolvido nas escolas doEnsino Básico. Os alunos não conse-guem utilizar o pensamento aritmético emuma situação que exige abstração e apli-cação de pensamentos elaborados (pen-samentos de alto nível).

O trabalho matemático desenvolvido nasescolas deve ser útil para a vida e o currí-culo é fundamental para um ensino signi-ficativo, capaz de formar competênciasque permitam atuar na sociedade. Assim,uma conclusão lógica e importante é queo currículo de Matemática desenvolvidonas escolas do Ensino Básico necessitade uma reformulação urgente, que permi-ta desenvolvero pensamento matemático,não se limitando, apenas, a repassar con-teúdos matemáticos.

Ensinar Matemática pode e deve sercompatível com formar pessoas. Os pro-fessores devem ser capazes de selecio-nar e organizar atividades adequadas, afim de contribuir para o desenvolvimentodos alunos e de um currículo de Matemá-tica acessível a todos.

Os cursos para formação de professoresde Licenciatura em Matemática necessi-tam, urgentemente, apresentar propostasque possibilitem formar profissionais ca-pazes de realizar a transposição didáticaadequada, no Ensino Básico, do desen-volvido na Universidade, e desenvolver ocurrículo de Matemática de acordo comas necessidades atuais.


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Claudia Lisete Oliveira Groenwald Universidade Luterana do Brasil Brasil

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Giovanni da Silva Nunes Universidade Luterana do Brasil Brasil

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