cuerpo de profesores de enseñanza secundaria · tomo 1, barcelona (españa), editorial reverté....
TRANSCRIPT
-
Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria
Física y Química
Cinemática. Elementos para la descripción del movimiento.
Movimientos de especial interés.
Métodos para el estudio experimental del movimiento
4
Queda expresamente prohibida la difusión o transmisión de los materiales puestos a disposición del opositor/a
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
1
TEMA 4
CINEMÁTICA. ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIÓN DEL
MOVIMIENTO. MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERÉS.
MÉTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MOVI-
MIENTO
Índice
0. Introducción ................................................................................................................................... 3
1. Cinemática ..................................................................................................................................... 3
2. Elementos para la descripción del movimiento ................................................................................. 4
2.1. Sistemas de referencia....................................................................................................... 4
2.2. Vector de posición de un móvil ......................................................................................... 5
2.3. Vector velocidad .............................................................................................................. 6
2.4. Vector aceleración ............................................................................................................ 8
2.5. Componentes intrínsecas de la aceleración ......................................................................... 9
2.6. Concepto de radio de curvatura ...................................................................................... 12
3. Movimientos de especial interés .................................................................................................... 12
3.1. Movimiento uniforme..................................................................................................... 12
3.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado .............................................................. 13
3.3. Movimiento circular uniforme ........................................................................................ 15
3.4. Movimiento circular uniformemente acelerado ................................................................ 15
3.5. Movimiento armónico simple .......................................................................................... 16
3.6. Composición de movimientos rectilíneos ......................................................................... 17
4. Métodos para el estudio experimental de los movimientos .............................................................. 23
4.1. Métodos tradicionales de laboratorio de mecánica ............................................................ 24
4.3. Utilización de puertas fotoeléctricas ................................................................................ 25
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
2
4.4. Aplicaciones para móvil (apps) ....................................................................................... 26
4.5. Simulaciones informáticas interactivas para física y química. ............................................ 27
5. Conclusión ................................................................................................................................... 28
Bibliografía
• Tipler, P. y Mosca, G., (2003), Física para la Ciencia y Tecnología, volumen 1A: Mecánica
(5º edición), Barcelona (España), Editorial Reverté.
• Tovar J. y Hernández J., (2012), Fundamentos de Física: Mecánica (3º edición revisada y
aumentada)., Jaén (España), editorial Universidad de Jaén, colección Ingeniería y
Tecnología, serie Techné.
• Serway A. y Jewett J. Jr., (2008), Física para ciencias e ingeniería, México, Editorial
Cengage Learning Latinoamérica.
• Alonso, M. y Finn, E. J., (1970), Física Vol. 1 Mecánica, México, Addison-Wesley
Iberoamericana.
• Ortega Girón, M. R., (1989), Lecciones de Física, Mecánica 1, Córdoba (España),
Departamento de Física Aplicada, Universidad de Córdoba.
• Eisberg, R. M. y Lerner L. S., (1981), Física: Fundamentos y Aplicaciones, Madrid (Es-
paña), McGraw-Hill.
• Guerra, M., Correa, J., Núñez, I. y Scaron, J. M., (1984), Física. Elementos Fundamenta-
les. Mecánica y Termodinámica Clásica. Tomo 1, Barcelona (España), Editorial Reverté.
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
3
0. Introducción
En el presente tema vamos a estudiar la parte de la física que describe el movimiento de
un cuerpo. Para ello, debemos comenzar introduciendo las magnitudes físicas necesarias,
como posición, velocidad y aceleración, definidas como vectores, lo cual significa que
tienen tanto magnitud como dirección y sentido. Desarrollaremos ecuaciones sencillas
para la descripción de distintos tipos de movimientos, y posteriormente estudiaremos su
aplicación en casos concretos, como el tiro parabólico o movimiento de proyectiles. Por
último, veremos diferentes métodos para el estudio experimental del movimiento, desde
los métodos tradicionales hasta métodos más actuales.
1. Cinemática
La mecánica es la parte de la física que estudia las relaciones entre fuerza, materia y
movimiento, y se divide en cinemática y dinámica. La cinemática describe el movimiento
de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, que son las fuerzas, mien-
tras que la dinámica incluye las fuerzas.
El movimiento es el fenómeno físico más familiar, y el más frecuente y general de la Na-
turaleza. Todos los fenómenos básicos que estudia la Física están originados en su natura-
leza íntima por movimientos de determinadas entidades, así por ejemplo:
- La electricidad constituye el movimiento de cargas en conductores.
- El Magnetismo está originado por el movimiento de cargas.
- El Calor tiene su origen en el movimiento molecular.
- La Luz, como toda onda electromagnética, tiene su origen en el movimiento vibra-
torio de partículas cargadas.
- El Sonido, como toda onda mecánica, se origina por el movimiento oscilatorio de
partículas en un medio material.
El estudio del movimiento tanto desde el punto de vista cinemático como del dinámico,
constituye la base fundamental de la Mecánica y por consiguiente de toda la Física.
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
4
2. Elementos para la descripción del movimiento
2.1. Sistemas de referencia
Para un estudio correcto del movimiento hemos de elegir en primer lugar un sistema de
referencia (generalmente establecido por un sistema de coordenadas) al cual referir la
posición de un punto material mediante unas coordenadas numéricas. El punto estará en
reposo cuando las coordenadas respecto al sistema de referencia no varíen con el tiempo, y
estará en movimiento cuando al menos una coordenada varíe con el tiempo.
Generalizando la definición a un cuerpo formado por muchos puntos materiales,
diremos que está en movimiento cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus
puntos varía con el tiempo. En esta definición de movimiento quedan englobados todos
los tipos de movimiento que un cuerpo pueda tener: traslación, rotación, vibración, de-
formación, etc.
Consideraremos en cinemática el movimiento del cuerpo más sencillo, el punto
material o partícula material cuyas dimensiones pueden despreciarse al estudiar el
movimiento. La aplicación del concepto del Punto Material a los sistemas reales de la
naturaleza depende de las condiciones específicas del problema; así por ejemplo, los
planetas pueden considerarse puntos materiales cuando se estudian sus movimientos
alrededor del Sol referido a un sistema de referencia fijo en éste, pero no pueden
considerarse puntos materiales si se estudian los movimientos de rotación alrededor de
sus propios ejes.
El movimiento es un concepto relativo pues debe referirse a un sistema particular de
referencia elegido arbitrariamente y considerado fijo. Las observaciones hechas en la
Tierra están referidas a un sistema referencial situado en ella y por ende, en movimiento
con la propia Tierra. Los astrónomos prefieren referir el movimiento estelar a un sistema
de “estrellas fijas” aunque el sistema adolece del mismo defecto pues estos puntos con-
siderados fijos, aunque poco, varían sus posiciones con el tiempo.
El sistema de referencia fijo absoluto no existe, por imposibilidad de fijar dicho sistema
en el espacio, ya que implicaría a su vez otra referencia fija por si misma de manera
absoluta.
Normalmente debe elegirse el sistema de referencia que permita que las observaciones,
medidas y análisis de los datos del sistema físico estudiado, sean lo más sencillos posible.
El movimiento tiene el mismo carácter, tanto si está referido a un hipotético sistema fijo
absoluto como si está referido a unos sistemas animados con movimiento uniforme (v=cte)
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
5
respecto de los primeros. Por ello, para referir un movimiento, bastará considerar como
sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslación uniforme,
que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos.
El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales, o sea, con movimiento de
traslación no uniforme (con aceleración) o con movimiento de rotación, es un tema de
considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con
el movimiento de gran alcance como el de satélites artificiales, cohetes intercontinentales,
cápsulas espaciales, masas de aire, corrientes marinas, etc. Pero no se tratará en este tema.
2.2. Vector de posición de un móvil
La posición de un punto móvil en el espacio queda fijada por el vector de posición, r
trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posición del móvil P. Las componentes
del vector r
(x, y, z) serán las coordenadas del punto móvil en ese instante. El móvil, en su
movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P.
El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres
coordenadas del vector como funciones del tiempo:
)(txx = )(tyy = )(tzz =
llamadas ecuaciones paramétricas del movimiento. En cada instante t, los valores de x, y, z
corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el móvil en dicho instante.
Físicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en
tres movimientos rectilíneos sobre los tres ejes coordenados.
De las ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), z = z(t) se deduce la ecuación de la
trayectoria del punto móvil con sólo eliminar entre ellas la variable independiente t.
El vector de posición vendrá dado por la expresión vectorial:
ktzjtyitxtrr
)·()·()·()( ++==
expresión que determina r
para cualquier instante t y se puede escribir de modo genérico
como: )(trr
= que es la ecuación vectorial del movimiento.
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
6
La distancia recorrida por el móvil es la suma de todas las longitudes recorridas en los
sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t). Esta
distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella, el problema
cinemático consiste en determinar el camino recorrido en función del tiempo, es decir:
s = s(t)
Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemáticos. El primero de
ellos y más general, partiendo del vector de posición )(trr
= del que se derivarán todas las
ecuaciones vectoriales del movimiento, válidas cualquiera que sea la trayectoria e
independiente del sistema de referencia. Un segundo aspecto, más limitado, determina
únicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresión s=s(t), de la que
se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria, para lo cual es
necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria: s=0 para referir a él las
distancias recorridas y demás variables cinemáticas.
2.3. Vector velocidad
Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posición del móvil en cada
instante, que vendrá dada por el vector de posición y la variación de esta posición con el
tiempo, que vendrá dada por el vector velocidad.
Si un móvil se encuentra en un instante dado en la posición P (dada por el vector de
posición r
) y un intervalo t después se encuentra en Q (dada por el vector de posición r
+ r
) el móvil ha sufrido un desplazamiento vectorial r
y ha recorrido un intervalo de
trayectoria s y son, por definición, diferentes y no coincidentes. Sólo en el caso límite de
que el intervalo de tiempo sea infinitesimal, ambos conceptos serán coincidentes en el
gráfico y el módulo de r
coincidirá con s.
Se define el vector velocidad media mv
como el
cociente:
t
rvm
=
que es un vector de dirección y sentido idéntico al vector
desplazamiento r
, pues el escalar t será siempre
positivo. La dirección del vector desplazamiento y por ello
la del vector velocidad media, es la dirección de la cuerda
del arco PQ.
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
7
Análogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al
cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado:
t
svm
=
Ambas velocidades medias, una vectorial y otra escalar, no son generalmente, de igual
módulo pues sr
, como puede apreciarse en la Fig.2.
Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequeños que tiendan a cero,
el vector velocidad quedará referido a un intervalo infinitamente pequeño, y se llamará
vector velocidad instantánea o simplemente vector velocidad:
dt
rd
t
rlimvt
=
=
→ 0 (a)
Análogamente se definirá la velocidad instantánea sobre la trayectoria como:
dt
ds
t
slimvt
=
=
→ 0 (b)
Ambas expresiones están relacionadas entre sí como demostraremos a continuación. Si
consideramos el vector velocidad instantánea:
t
slim
s
rlim
s
s
t
rlimv
tst
=
=
→→→ 000..
El 1er límite es un vector de módulo 1 ya que r
y s tienden a ser iguales cuando
s→0, pues el arco (s) y la cuerda ( r
) se confunden cuando se hacen infinitamente
pequeños y tiene dirección tangente a la trayectoria. La dirección de r
(inicialmente
secante a la curva) tiende hacia una dirección tangente cuando s se hace infinitamente
pequeño. Por tanto, el primer límite representa un vector unitario tangente a la trayectoria
en el punto:
t
su
ds
rd
s
rlim
==
→ 0 (vector unitario tangente) pues 1=
→ PQ
PQlim
QP
El 2º límite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria, calculada
en un intervalo reducido que tiende a cero:
vt
slimt
=
→ 0 (velocidad instantánea sobre la trayectoria)
Finalmente resultará: tuvv
·= (c)
el vector velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por
módulo la velocidad instantánea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
8
simplemente celeridad. (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto
de su módulo por un vector unitario en la dirección del vector).
Teniendo en cuenta la expresión de:
ktzjtyitxr
)·()·()·( ++=
el vector velocidad también puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-
vada del vector de posición:
kdt
tdzj
dt
tdyi
dt
tdx
dt
rdv
)()()(++==
y la celeridad, o módulo de la velocidad, será:
2/1222
+
+
==
dt
dz
dt
dy
dt
dxvv
que será una función del tiempo, como lo son las componentes dx/dt, dy/dt y dz/dt.
2.4. Vector aceleración
El movimiento de un punto material, en su forma más general, tiene en cada punto de
la trayectoria un vector de posición y un vector velocidad diferentes, lo que significa una
variación de la velocidad tanto en módulo como en dirección y sentido.
En el instante t la velocidad del punto móvil
situado en P es v
y después de transcurrido un
intervalo de tiempo t, es decir en el instante t+t,
la velocidad del móvil, situado en Q es v
+ v
.
Definimos el vector aceleración media al cociente
entre la variación del vector velocidad y el
intervalo de tiempo transcurrido. Es un vector que
tiene la misma dirección y sentido que v
:
t
vam
=
Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, que tienda a cero,
podemos definir el vector aceleración instantánea o simplemente el vector aceleración
como el valor en el límite, de la relación V/t cuando t tiende a cero, es decir:
2
2
0 dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
vd
t
vlimat
=
==
=
→
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
9
El vector aceleración tendrá por componentes:
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xdk
dt
dvj
dt
dvi
dt
dva z
yx
2
2
2
2
2
2
++=++=
y su módulo será:
2
2
22
2
22
2
2
+
+
==
dt
zd
dt
yd
dt
xdaa
2.5. Componentes intrínsecas de la aceleración
De la propia definición del vector aceleración a
se deduce que, en general, no es ni
tangente a la trayectoria (pues implicaría una dirección constante en V
) ni perpendicular a
ella (pues implicaría un módulo constante en V
), y por ello puede ser descompuesto en
dos componentes, una tangente y otra perpendicular a la trayectoria, que se llamarán
componentes intrínsecas de la aceleración. Dichas componentes están situadas en un
sistema de coordenadas intrínseco al móvil, con ejes tangente y normal a la trayectoria e
independiente de cualquier sistema de referencia.
Aplicando la definición de a
a la expresión del vector velocidad, resultará:
( )dt
udvu
dt
dvuv
dt
d
dt
vda ttt
··· +=== (d)
como vemos, a
tiene dos componentes vectoriales, una de ellas es tangente a la
trayectoria, de módulo dv/dt, que llamaremos aceleración tangencial.
El último término de la expresión (d): dut/dt se transforma en:
vds
ud
dt
ds
ds
ud
dt
ud ttt ..
== (V=celeridad o módulo de la velocidad) (e)
y el factor dsud t /
es un vector que representa la deri-
vada del vector unitario tangente (de módulo cons-
tante) con respecto al arco. Se demuestra así: como tu
es un vector unitario, su derivada dsud t /
respecto a
un escalar es perpendicular a tu
. Estos vectores están
en el llamado plano osculador, determinado por dos
tangentes consecutivas a un punto, y el vector dsud t /
tiene la dirección de la normal principal, (perpendi-
cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)
FIG.4
ut ut
ut utut
s
r
+
rr
r
+
C
QR
C
S
P
O
s=r.
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
10
y su sentido es el de la concavidad, por consiguiente:
ntt u
ds
ud
ds
ud
·= (f)
Calculemos ahora el módulo de dsud t /
. Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig. 4,
y sean tu
y tu
+ tu
los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q,
respectivamente. (Por Q se traza el equipolente a tu
. En el plano osculador se trazan las
perpendiculares a la curva en P y Q. Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el
arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede
escribir ∆s=r·∆ϕ).
En el triángulo QRS, que es isósceles por ser tt uuu
+= se cumple:
2·sen2
2·sen·2
=
= tt uu
pues 1=tu
dividiendo por ∆s resultará:
ssss
u t
=
=
=
·
2
2sen
·2·sen2
2·sen2
y pasando al límite para ∆s→0, resultará:
slim
s
ulim
s
t
s
=
→→
00
pues 1
2
2sen
0=
→
lim
y por ello: ds
d
ds
ud t = y considerando que ∆s=r·∆ϕ → ds=r·dϕ
resultando: rds
ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura.
Por tanto, sustituyendo en (f): nt u
rds
ud
·1
= y luego sustituyendo en (e):
nt u
r
v
dt
ud ·= y ésta finalmente en (c) resulta: nt u
r
vu
dt
dva
2+=
lo que demuestra que el vector aceleración a
no tiene ni dirección
normal ni dirección tangente a la trayectoria pues presenta dos
componentes en estas direcciones. Únicamente se puede asegurar
que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la
concavidad de la trayectoria. Las componentes son: FIG 5
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
11
Aceleración tangencial: tt u
dt
dva
= y su módulo
dt
dv
Aceleración normal (centrípeta): nn ur
va
·
2
= y su módulo r
v2
La aceleración tangencial ta
puede ser positiva si está dirigida en la dirección de v
y
negativa si está dirigida en sentido contrario a v
, y la aceleración normal na
es siempre
positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva. El módulo de la aceleración en función
de sus componentes será:
222
22
+
=+==
r
v
dt
dvaaaa nt
y el ángulo que forma la aceleración con la tangente a la trayectoria vendrá dado por:
t
n
t
n
A
A
A
Aarctgtg ==
Las componentes intrínsecas de la aceleración son de gran importancia en cinemática
pues nos da, cada una de ellas, un aspecto de la variación de la velocidad con el tiempo. La
aceleración tangencial nos da la variación del módulo de la velocidad con el tiempo y la
aceleración normal nos da la variación de la dirección de la velocidad con el tiempo. La
clasificación de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de
ellas se deducen sus ecuaciones.
El cálculo de las componentes intrínsecas también se puede realizar mediante el si-
guiente mecanismo vectorial:
Aceleración tangencial. De la derivada del vector de posición se obtiene el vector
velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleración, y a partir de
ambas se realiza su producto escalar:
v
vaayavvava tt
•
===• .cos..
y la dirección del vector unitario tangente será: v
vu
= luego: ( )
2v
vvauaa ttt
•
==
Aceleración normal. A partir de los mismos vectores a
y v
, realizamos su producto
vectorial:
navvava .sen.. ==
y v
vaan
=
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
12
y la dirección del vector unitario normal será: )(
)(
vav
vavun
=
como puede demostrarse fácilmente en la figura 3.
2.6. Concepto de radio de curvatura
Si tomamos tres puntos muy próximos sobre
una curva, P, P' y P", de las circunferencias tan-
gentes a la curva en P, la que tiene en dicho punto
un contacto tal que P' y P" pertenezcan a ella
cuando éstos tienden a confundirse con P, la
llamamos circunferencia o círculo osculador. E1
radio de este círculo lo llamamos radio de
curvatura y al centro, centro de curvatura. El
círculo osculador pertenece al plano determi-
nado por dos tangentes sucesivas a la curva, en P
y P', por ejemplo cuando ambos puntos tienden a
confundirse uno sobre otro. A este plano se le
denomina plano osculador.
FIG.6
3. Movimientos de especial interés
3.1. Movimiento uniforme
El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intrínsecas de la acele-
ración son ambas nulas, es decir: 0=na
y 0=ta
De la primera se deduce:
2van = y por ser v 0 → =
y el movimiento es de radio de curvatura infinito, o sea, movimiento rectilíneo.
De la segunda se deduce: dt
dvat = = 0 o sea: v = cte
y el movimiento tiene módulo de velocidad constante, es decir, es uniforme.
De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v
es constante en módulo,
dirección y sentido ( ctev =
) y como está definido por:
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
13
dt
rdv
= luego dtvrd .
=
que integrando: = dtvrd .
→ 00 rtvr
+=
donde 0r
es la constante de integración (vectorial) y
representa el vector de posición inicial, para el instante
inicial, t = 0. (Fig.7). FIG 7
Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C
del movimiento, todoslos vectores implicados en la ecuación, 0r
, r
y 0v
tendrán la misma
dirección y se podrá escribir: tvss o+= 0 , donde 0s , s y 0v serán los módulos de los
vectores correspondientes.
3.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intrínsecas de la aceleración
toman los valores: an = 0 y at = cte ≠ 0
De la primera se deduce como en el caso anterior, que el radio es infinito: r = y por
consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectilínea.
De la segunda se obtiene: dv/dt=at (constante) siendo ésta además la aceleración total
(por ser la única) pues:
ttnt aaaaa ==+=222
y como la aceleración tangencial tiene dirección tangente a la trayectoria igual que la
velocidad, se podrá escribir:
aadtvd t
==/ o bien: dtavd .
= e integrando: = dtavd .
resulta:
0. vtav
+=
siendo 0v
la constante de integración que corresponde con la velocidad inicial o velocidad
para t = 0.
Si sustituimos esta expresión en la ecuación de definición de v
resulta:
tavdt
rdv .0
+== o bien: dttadtvrd ...0
+=
e integrando: += dttadtvrd ...0
→ 200 .
2
1. tatvrr
++=
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
14
donde 0r
es la constante de integración que representa el vector de posición en el instante
inicial t = 0.
Si elegimos como origen de coordenadas un
punto situado en la propia trayectoria recta C del
movimiento, resultarán r
, 0r
, 0v
, a
, vectores
todos ellos de la misma dirección y podrán
escribirse las ecuaciones anteriores sólo con sus
módulos, es decir: FIG 8
2
00 .2
1. tatvss ++= y tavv .0 +=
Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuación de la
velocidad en función del espacio y la aceleración v=f(s,a):
despejando t de la segunda ecuación: a
vvt o
−=
y sustituyendo en la ecuación del espacio resulta:
...2
.2.
2
1 02
0
22
00
0
2
00
00 =−+
+−
+=
−+
−+=
a
vvvv
a
vvvs
a
vva
a
vvvss
a
vvs
a
vvvvvvvs
22
.22.2...
2
0
2
0
0
2
0
22
00
0
−+=
−++−+=
de donde: a
vvss
2
2
0
2
0
−=− resultando )(2 0
2
0
2 ssavv −+=
En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esté fuera de la trayectoria,
la expresión vectorial anterior:
2
002
1tatvrr
++= puede ponerse: 2002
1tatvrr
+=−
resultando que los vectores 0rr
− , 0v
y a
tienen todos la misma dirección como puede
apreciarse en la figura 8, y pueden escribirse por sus módulos llamando 0rrs
−=
resultando: 20
2
1attvs +=
Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado), la aceleración será
negativa y si el movimiento se debe a la acción gravitatoria en recorridos cortos muy
próximos a la superficie de la Tierra, la aceleración se puede considerar constante e igual a
a = g = 9’8 m/s2 = 980 cm/s2 y se denomina movimiento de caída libre.
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
15
3.3. Movimiento circular uniforme
Para este movimiento las componentes intrínsecas de la aceleración toman los si-
guientes valores: an = cte ≠ 0 y at= 0
De la segunda condición at=dv/dt=0 se deduce que v=cte y como la primera condición
implica: an=v2/=cte, de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de
radio . La aceleración total del movimiento será:
nnt aaaa
=+=
y la velocidad será constante en módulo pero no en dirección. En consecuencia, la
ecuación que nos dará el espacio recorrido por el móvil a lo largo de su trayectoria circular
es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectilíneo, midiendo los
espacios sobre la circunferencia: tvss .0 +=
En este tipo de movimiento interesa conocer el ángulo girado por el radio-vector que
une el centro con el móvil. Recordando que: Arco(m)=Radio(m).Angulo(rad)
resulta: S = ·ϕ y derivando respecto al tiempo, resultará:
dt
d
dt
ds ·= es decir
dt
dv
.=
Esta última derivada representa la variación del ángulo girado por el vector de posición
en la unidad de tiempo, a lo que se le llama velocidad angular y se representa por :
=d/dt, resultando: v=. ( → rad/s)
Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de
la circunferencia (plano de r
y v
) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos
(regla de Maxwell) y de módulo proporcional a su valor, por ello puede escribirse:
=v
expresión que también puede escribirse así:
=−= AOv
es decir, la velocidad tangencial v
es el momento del
vector velocidad angular
con respecto al punto A.
3.4. Movimiento circular uniformemente acelerado
En él, las componentes intrínsecas de la aceleración toman los siguientes valores:
an=v2/ cte t2 y at=dv/dt=cte
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
16
tendrá como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendrá
descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado:
2
002
1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0
2
0
2 ssavv t −+=
Como la velocidad no es constante, tampoco lo será la velocidad angular relacionada
con aquella mediante el radio : v=. y por ello derivando con respecto al tiempo,
resultará:
( )
..dt
d
dt
d
dt
dv== o sea a = ·
donde =d/dt es la aceleración angular o variación de la velocidad angular con respecto
al tiempo. Se mide en rad/s2 en el sistema Internacional (S.I.).
Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en función de las magnitudes angula-res a
partir de: = d/dt y = d/dt e integrando:
= 0 + t 2 = 02 + 2
3.5. Movimiento armónico simple
Llamamos movimiento periódico a cualquier movimiento que se repite a intervalos
iguales de tiempo. Por ejemplo, el movimiento de una masa sujeta a un muelle, el movi-
miento de un péndulo, las vibraciones de los átomos de una molécula, etc. Cuando una
partícula que realiza un movimiento periódico se mueve alternativamente en un sentido y
otro sobre una misma trayectoria, recibe el nombre de movimiento oscilatorio.
El movimiento oscilatorio más importante es el movimiento armónico simple (M.A.S.),
por ser el más fácil de describir matemáticamente, y constituye un modelo exacto o
aproximado para muchos sistemas físicos.
Decimos que una partícula que se mueve a lo largo del eje X realiza un M.A.S. centrado
en el origen O de dicho sistema coordenado, cuando su desplazamiento X con respecto al
origen viene expresado en función del tiempo en la forma:
( ) += tAx sen.
donde A, y son constantes propias del movimiento armónico.
La distancia X que separa la partícula del origen O recibe el nombre de elongación. El
valor absoluto de la elongación máxima A se denomina amplitud. La cantidad t+
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
17
(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase
inicial para t=0.
Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2, la partícula completa una oscilación,
luego el periodo es T=2/. La frecuencia del movimiento es el número de oscilaciones
que se completan en la unidad de tiempo [=1/T (ciclos/s=herzios (Hz))].
La constante es la frecuencia angular o pulsación (=2=s-1).
La velocidad de la partícula que realiza un Movimiento Armónico Simple viene dada
por la derivada de la elongación respecto del tiempo:
( )
++=+==
2sen..cos..
tAtA
dt
dxv
La aceleración de la partícula se determina haciendo la derivada de la velocidad
respecto del tiempo:
( ) XtAdt
dva .sen.. 22 −=+−==
Considerando a=F/m la fuerza que deberá actuar sobre una partícula para que realice un
Movimiento Armónico Simple debe ser también proporcional a la elongación de la
partícula y de signo contrario a ésta:
F = m·a = -m·2x = -k.x
donde k = m·2 llamada constante armónica.
3.6. Composición de movimientos rectilíneos
Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultáneos independientes, realiza
un movimiento compuesto que resulta de la combinación de aquellos. La composición de
dos o más movimientos se realiza calculando el vector de posición del movimiento
resultante como suma de los vectores de posición de los movimientos componentes.
Esto se apoya en el “Principio de Galileo” o de independencia de los movimientos: “Si
un punto está dotado, por dos causas diferentes, de dos movimientos simultáneos, su cambio de
posición es independiente de que los dos movimientos actúen sucesiva o simultáneamente”.
De lo anterior se deduce que el vector de posición r
es la suma de los vectores de
posición de los movimientos individuales:
...4321 ++++= rrrrr
y derivando: ...4321 ++++= vvvvv
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
18
es decir, la velocidad de un movimiento compuesto es, en todo momento, la suma
vectorial de las velocidades de los movimientos componentes.
3.6.1. Descripción de casos elementales
A) Un nadador que avanza en la dirección y sentido de la corriente (dos movimientos
rectilíneos y uniformes en la misma dirección y sentido):
v = v1 + v2 a = 0
s = s1 + s2 = (v1 + v2)·t
B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectilíneos y
uniformes de la misma dirección y de sentidos contrarios):
v = v1 - v2 a = 0
s = s1 - s2 = (v1 - v2)·t (v1>v2)
C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos
rec-tilíneos y uniformes de direcciones perpendiculares):
2
2
2
121
2
2
2
1 º90·cos2 vvvsivvvvv +==++=
el espacio recorrido será:
tvvssss ·22212221 +=→+=
y el ángulo de dirección resultante:
1
2
1
2tgs
s
v
v==
D) Dos movimientos rectilíneos uniformemente acelerados en la misma dirección:
++=
++=
2
202022
2
101011
2
1·
2
1·
tatvss
tatvss sumando:
2
21201020121 )(2
1).()( taatvvsssss o +++++=+=
taavvdt
dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa
dt
dva +==
E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma
dirección, dados por:
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
19
:·
2
1·
·
2
02022
01011
sumandoattvss
tvss
++=
+=
2
02010201212
1).()( attvvsssss ++++=+=
adt
dvaatvv
dt
dsv ==++== )( 0201
la aceleración es la misma del movimiento acelerado.
3.6.2. Movimiento parabólico de caída
Cuando se lanza una bomba desde un avión que se mueve con una velocidad constante
vx, dicha bomba describe un movimiento rectilíneo uniforme con velocidad vx (la del
avión), y un movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior,
con velocidad variable vy=gt. En el instante inicial, t=0, lógicamente vy=0 y el móvil sólo
posee vx=cte. En cualquier instante de su trayectoria, las velocidades componentes son:
22222 tgvvvvgtv
ctevxyx
y
x+=+=
−=
=
El ángulo de v con la horizontal será:
x
y
v
varctg=
El vector velocidad es:
jgtivv x
−=
e integrando y teniendo en cuenta que para
t=0 el móvil está en el origen 00 =r
resulta:
jgtitvr x
.2
1. 2−=
por lo tanto, los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendrán
dados por las ecuaciones paramétricas del movimiento:
2
2
1gty
tvx x
=
=
Eliminando el tiempo en ambas expresiones, se obtiene la ecuación y=f(x) de la
trayectoria:
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
20
)(.2
··2
1 222
2
parábolaxkxv
g
v
xgy
xx
=
=
=
3.6.3. Movimiento de proyectiles
A continuación vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cañón
con un ángulo de inclinación con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida.
Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY serán:
v0x=v0·cos v0y =v0·sen
El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante:
vx = v0x = cte
y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleración –g y la velocidad para
cualquier instante t será:
vy =v0y–g·t (v0y = velocidad inicial vertical)
y por ello las componentes del vector velocidad serán:
vx=v0·cos y vy=v0·sen −g.t
y el vector velocidad se escribirá:
( ) ( ) jtgvivv
.sen.cos. 00 −+=
Integrando, considerando que para t=0 es 00 == rr
, resultará el vector de posición del
movimiento parabólico del proyectil:
( ) jtgtvitvr
−+= 200 ..
2
1sen..cos..
de donde, los desplazamientos horizontal y vertical vendrán dados por las ecuaciones:
−=
=
2
0
0
2
1sen
cos
gttvy
tvx
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
21
que son las ecuaciones paramétricas del vector de posición, jyixr
+=
La altura máxima se alcanzará en el instante t1 en el que la componente vertical de la
velocidad se hace nula vy=0 o sea:
v0y=gt1 de donde g
v
g
vt
y 2
00
1
sen== y sustituyendo en y resulta:
g
v
g
v
g
vg
g
vvyh
22022
0
2
22
00
0
sen.
2
1sensen
2
1sen
sen−=
−
==
o sea: g
vh
2
sen. 220 =
El desplazamiento horizontal o alcance se producirá en el instante t2 en que el móvil
vuelve a su altura inicial, es decir, cuando y=0 lo que dará como resultado una ecuación de
segundo grado:
2
2202
1sen gttv =
con dos soluciones: t2 = 0 y g
vt
sen2 02 =
La primera solución corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0, y la
segunda solución corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-
zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura máxima, o
sea: t2=2·t1.
La expresión del alcance A se obtendrá sustituyendo en la ecuación x=v0tcos el valor de
t2, resultando:
g
v
g
vvxa
cossen2·cos
sen2 2000 =
== →
g
va
2sen20=
El alcance horizontal será máximo cuando la función sinusoidal de A sea máxima, es
decir, cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚, o sea, cuando =45˚. Por otra parte,
como los ángulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos ángulos
2 suplementarios, que den el mismo alcance, los cuales se obtendrán a partir de dos
ángulos complementarios. Por ejemplo, para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance,
en el primer caso se tendría un tiro rasante y en el segundo se tendría un tiro por
elevación.
La velocidad total del proyectil en un instante dado vendrá dada por:
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
22
=−+=+= 2022
0
22 )·sen(cos tgvvvvv yx ...)2.(2)cos(2
0
222
0 =−−+ tgsentvgsenv
gyv 2... 20 −=
y el ángulo que forma con la horizontal será: x
y
v
v=tg
Sólo nos resta determinar la ecuación de la trayectoria descrita por el proyectil, es decir,
la ecuación y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones paramétricas:
resultasegundalaendosustituyeny
cos
2
1
cos
02
0
0
v
xt
gttsenvy
tvx=→
−=
=
( ) 222
0
22
0
2
0
0 ·cos2
·tgcos2
1sen
cosx
v
gx
v
xg
v
xvy
−=
−
=
ecuación de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son:
−=
220 cos2v
ga b=tg y c=0
por consiguiente la ecuación de la trayectoria corresponde a una parábola con la conca-
vidad hacia abajo por ser a negativo, y que pasa por el origen por ser c=0.
3.6.4. Composición de movimientos armónicos simples
El caso más sencillo es la composición de movimientos armónicos simples de la misma
dirección y de la misma frecuencia.
Sean las ecuaciones de dichos movimientos, las siguientes:
+=
+=
)·sen(
)·sen(
222
111
tAs
tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales.
como los desplazamientos tienen lugar en la misma dirección, por suma de las anteriores
ecuaciones, resulta:
( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss
Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas que nos dan el seno de una suma de
ángulos y reordenando términos, resulta:
( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= (#)
Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma dirección y la misma
frecuencia que las componentes, su ecuación será del tipo:
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
23
( ) += tAs sen. que desarrollando: sen.coscos.sen. tAtSs +=
e igualando a la anterior (#), las dos ecuaciones que resultan son:
2211 coscoscos. AAA += (##)
2211 sensensen. AAA +=
Dividiendo ambas ecuaciones, tendremos:
2211
2211
coscos
sensentg
AA
AA
+
+=
que nos da la fase inicial del movimiento armónico resultante.
Por otra parte, si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones (##) y las sumamos
miembro a miembro, obtenemos:
)·sensen·cos(cos2 2121212
2
2
1
2 +++= AAAAA
es decir: )·cos(··2 21212
2
2
1
2 −++= AAAAA
que nos da el valor de la amplitud del movimiento armónico resultante.
Casos Particulares
a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un múltiplo par de , es decir:
1-2 = 2k, resulta entonces:
cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2
b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un múltiplo impar de , es de-
cir: 1-2 = (2k+1) resulta entonces:
cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2
4. Métodos para el estudio experimental de los movimientos
Todos los métodos están basados en la determinación de la velocidad de un móvil en
puntos singulares de su movimiento, con objeto de determinar la aceleración.
Mediante múltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y
se trasladan a gráficos diversos, mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones
de los movimientos. Aunque existen múltiples métodos de estudiar el movimiento,
podemos reagruparlos en tres bloques:
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
24
4.1. Métodos tradicionales de laboratorio de mecánica
En el primer grupo podemos incluir los métodos más utilizados en el laboratorio, y
tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo, entre los que se
destacan los experimentos de caída de los cuerpos a través de planos inclinados, en las que
se pueden utilizar varias configuraciones según el nivel al que se imparta.
La más simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede
rodar un cuerpo esférico. En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la
misma distancia unas de otras (Fig. 14). Dejando rodar la bola desde el mismo sitio, se
toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas. Para ello, las
mediciones las realizan varios alumnos simultáneamente. Realizando una representación
gráfica de espacio respecto a tiempo, se puede comprobar la relación cuadrática entre
ambas variables, propia de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
En el esquema de laboratorio representado en la Fig.15 se presenta otra configuración
para niveles más avanzados, como por ejemplo 1º de Bachillerato.
Consiste en un plano inclinado con un
ángulo con la horizontal. En esta confi-
guración se necesita determinar la veloci-
dad en el punto final del plano v (punto 2).
Con ella y las magnitudes geométricas del
plano (longitud del plano, ángulo de incli-
nación), puede determinarse la aceleración
mediante la expresión cinemática:
asvv 2202 =−
FIG. 14
FIG. 15
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
25
donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto
1).
Mediante el ángulo de inclinación del plano , se puede relacionar la aceleración del
movimiento con la aceleración de la gravedad, resultando:
a = g·sen
y aumentando o disminuyendo la longitud del plano y/o la inclinación del plano, pueden
obtenerse distintos valores de la aceleración y a partir de ellos, obtener el valor de la ace-
leración de la gravedad.
El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano
inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias: horizontal (x) y vertical (y) de
caída del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caída
parabólica:
x = v·t·cos
y = v·t·sen + g·t
se determinan tanto v como t (tiempo en la caída parabólica).
El experimento, una vez montado y realizado, permite medir las magnitudes lineales s,
x e y, y a partir de ellas, se medirán v y t, y de ellas se medirá a.
Núm. de ensayo s x y v t s
v
s
vva
22
22
0
2
=−
=
1
2
Deben trasladarse los datos numéricos a gráficas adecuadas y hacerse un estudio de los
errores cometidos.
4.3. Utilización de puertas fotoeléctricas
Las puertas electrónicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de
datos de manera muy rápida y precisa, pudiendo ser exportados a una hoja de cálculo
para su tratamiento.
Dichos equipos están al alcance de los centros de enseñanza secundaria. Se precisa:
- Puertas fotoelectricas.
- Materiales específicos (carritos, bolas o carriles, entre otros)
- Un ordenador personal
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
26
- Una hoja de cálculo.
Las puertas fotoeléctricas son aparatos en forma de U invertida, en las que mediante un
rayo de luz y una célula fotoeléctrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las
franquee. El aparato mide con gran precisión los intervalos de tiempo entre las puertas.
Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera
puerta hasta que atraviesa la segunda.
Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de señales y conectarse a un
ordenador, pudiendo exportar los datos a una hoja de cálculo en la cual pueden ser
procesados dichos, utilizando ecuaciones, tabulándolos o representándolos gráficamente.
Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y sólo dependen de la
imaginación del experimentador.
Por ejemplo, en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a
tener lugar el movimiento de estudio. Tal y como están dispuestas las puertas, permite
obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho más precisa que con un cronómetro.
FIG.16
Otro montaje se puede observar en la figura 17, para el estudio de un movimiento
circular. En este caso, una varilla se hace girar a velocidad
constante gracias a un motor. Se coloca una puerta de tal
manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar
una vuelta completa (el periodo). La medición se realizará a
diferentes distancias del centro de giro para comprobar que
el periodo no varía. Con este periodo pueden determinar
magnitudes como la velocidad lineal, angular o aceleración
normal.
4.4. Aplicaciones para móvil (apps)
Desde la aparición de los smartphones o teléfonos inteligentes existen numerosas
aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los móviles en
FIG. 17
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
27
aparatos de medición y toma de datos muy sofisticados. Algunas de estas aplicaciones son
Physics Tools o Lab4Physics.
Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del móvil para utilizarlos como
acelerómetros, magnetómetros, medidores de ángulo, sonómetros o barómetros, entre
otros. Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy
rápidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de
cálculo.
Este método cuentan con la ventaja de que la gran mayoría de los alumnos cuentan con
móviles, que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente.
La configuración más sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el móvil a
un carrito, el cual se podrá hacer deslizar a
través de un plano inclinado o un plano
horizontal (figura 18), y medir la aceleración
con el acelerómetro. Dichos datos pueden ser
constrastados con el valor teórico esperado.
4.5. Simulaciones informáticas interactivas para física y química.
Las simulaciones informáticas interactivas son programas informáticos que simulan
procesos en base a leyes de la naturaleza. Estas simulaciones pueden utilizarse on line o
descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre, no requerir
equipos especialmente potentes y son fáciles e intuitivas de manejar. Su uso permite
involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego, en
donde aprenden explorando y descubriendo. Se trataría de prácticas a realizar en el aula
de informática.
Existen numerosas instituciones y programadores partículres
que ponen a disposición de todos los usuarios dichos programas.
Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en
internet, las posibilidades son múltiples. Algunas de estas
páginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja, Phet
Universidad de Colorado, Educaplus o labovirtual.blogspot.com.
La manera más eficiente de plantear este tipo de prácticas es
realizar un cuestionario, bien en papel, bien digital con aplicaciones como google
formularios, en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para
rellenar resultados.
FIG. 18
FIG. 19
-
www.eponline.es Física y Química. Tema 4
28
5. Conclusión
En definitiva, hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos.
Hemos visto todo el tratamiento matemático necesario para su análisis, así como los
diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar. Esta parte de la mecánica,
llamada cinemética, tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caída
libre de un cuerpo, movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera,
movimiento de giro de un disco de vinilo,…
* * *