Cuatro ejemplos mas:

1. Bollos de papel?2. Como caracterizar la estructura dendritica de las

neuronas3. Como fluctua el número de celulas sanguineas en el

tiempo.4. dolor

Cual es el tamaño del bollo mas grandeCual es el tamaño del bollo mas grande1 cm, 10, 100?1 cm, 10, 100?

Bollos de papel son objetos libres de escala (sin la moneda no sabemos el

tamaño)

11 1/21/2 1/41/4 1/81/8

                                                                

Estos datos implican una relacion de potencia de la forma masa = k diametro 2.5

Abollar introduce spacios en un rango grande de tamaños. Produce una jerarquia continua de espacios, unos pocos muy grandes, muchos muy pequeños con una gama continua entre medio. Consequentemente, un bollo de papel es fractal de dimension ~ 2.5.

Graficando Log(masa) versus Log(diámetro), vemos que los puntos caen en una linea recta con pendiente 2.5.

Como medir la dimension fractal y que significa

El ruido tambien es una ley de potencia. Kramer and Lobkovsky. 1996. Universal power law in the noise from a crumpled elastic sheet. Physical Review E 53(Feb.):1465.

Repetir el experimento

•Cual seria la dimension si usasemos papeles de Cual seria la dimension si usasemos papeles de densidad creciente, (servilletas de papel hasta densidad creciente, (servilletas de papel hasta carton).carton).11

•Y si usasemos papel de aluminio?Y si usasemos papel de aluminio?•Alguien puede predecir la dimension para el Alguien puede predecir la dimension para el caso de hacerlo con tapas de empanada?caso de hacerlo con tapas de empanada?

11 Ayuda siempre pensar en los extremos... algo que no se dobla, Ayuda siempre pensar en los extremos... algo que no se dobla, que dimension tendrá? que dimension tendrá?

Celulas Sanguineas. Fluctuaciones dentro de fluctuaciones

Número de células sanguineas por mm3 medidas diariamente durante 1000 dias en dos ovejas.

Perazzo et al, Fractals, 8, No. 3 (2000) 279-283

Rojos

Blancos

Plaquetas

Como describir fluctuaciones mas allá de medias y desvios

Si calculo aquí la media es 18 y el desvio 3

Pero aquí la media es 4 y el desvio 8

La media es aprox. igual en ambos casos

La nocion de desvio implicitamente asume la existencia de un valor medio (todo lo demas se ¨desvia¨)

Como medir

1. Dividir todos los datos en ventanas de tamaño L

2. Calcular alguna medida M sensible de la dispersion

3. Recalcular M como funcion de L

4. Cuantificar como M cambia con L

La elección de la medida M no es crucial, puede ser el Desvio estándar, el Rango o cualquier otra que exprese cual es la amplitud de las fluctuaciones.

Incrementando el tiempo de observacion en un factor k la amplitud de las fluctuaciones sera, en promedio, un factor k mas grande.

Si =1 entonces decimos que existe auto-similaridad si es diferente de 1 hablamos de auto-afinidad

Autosimilaridad y Autoafinidad de una serie temporal

El algoritmo de DFA tiene los siguientes pasos:

• llamamos Cj al dato jth

• Producimos una nueva serie temporal integrada yi donde Cp es el promedio de todos los Cj

• La nueva serie yi es dividida en ventanas de longitud n y fiteamos una recta sobre los n puntos

• Se calcula F(n) como la raiz cuadrada de la media de los cuadrados de los residuos en todas las ventanas de longitud n.

Algoritmo para Detrended Fluctuacion Analysis (DFA)

i

jpji CCy

1

)(

2

1

])()([1

)(

N

kn kyky

NnF trendtrend

Volvamos a la sangre

http://www.physionet.org/physiotools/dfa/http://www.physionet.org/physiotools/dfa/

Datos RealesDatos Reales

S1 y S2 surrogadosS1 y S2 surrogados

El ritmo cardiaco fluctua del mismo modo

http://www.physionet.org/http://www.physionet.org/physiotools/dfa/physiotools/dfa/

Complejidad de las dendritas

Purkinje neurons

rr

Tecnica de box counting

La pendiente es la dimension fractalLa pendiente es la dimension fractal

Incr

em

tam

os

la r

eso

luci

on y

conta

mos

box o

cupad

os

Incr

em

tam

os

la r

eso

luci

on y

conta

mos

box o

cupad

os

Resultados

Purkinje del hombre es la “mas compleja...”.Purkinje del hombre es la “mas compleja...”.

17

Como nos movemosComo nos movemos??

y a quien le interesay a quien le interesa??

Chialvo et al, Chialvo et al, 2007.2007.

18

diadia

nochenoche

Histograma Histograma de cambios de cambios en la en la actividadactividad

No-GausianoNo-Gausiano

Dr. Pedro Montoya, Dr. Pedro Montoya, Psicologia, UIB.Psicologia, UIB.

El movimiento espontaneo es complejoEl movimiento espontaneo es complejo

19

El movimiento espontaneo es complejoEl movimiento espontaneo es complejo

20

El movimiento espontaneo es complejoEl movimiento espontaneo es complejo

21

El dolor crónico

Dynamics of pain: Fractal dimension of temporal variability of spontaneous pain differentiates between Dynamics of pain: Fractal dimension of temporal variability of spontaneous pain differentiates between pain statespain states

  

Jennifer M. Foss, A. Vania Apkarian*, and Dante R. ChialvoJennifer M. Foss, A. Vania Apkarian*, and Dante R. Chialvo

  

Department of Physiology, Northwestern University Feinberg School of Medicine, Chicago IL, Department of Physiology, Northwestern University Feinberg School of Medicine, Chicago IL, 60611. USA60611. USA

22

Distintos dolores distintas fluctuaciones

23

log10(frequency)-3 -2 -1

-3 -2 -1 -3 -2 -1

-3 -2 -1

5 log units

log 1

0(P

ower

)

1.40

1.45

1.40

1.28

1.67

1.55

1.01

1.39

1.31

1.37

1.31

1.16

1.14

1.39

1.39

1.34

1.38

1.43

1.36

1.38

A Back Pain B PHN

D Thermal PainC Imagined Pain

log 1

0(P

ower

)

log10(frequency)

1 2 3 1 2 3

log10()

1 2 3 1 2 3

one logunit

log

10

(R/S

)

1.56

1.50

1.48

1.57

1.61

1.34

1.421.47

1.33

1.39

1.22

1.23

1.24

1.26

1.38

1.34

1.38

1.43

1.36

1.38

A Back Pain B PHN

C Imagined Pain D Thermal Pain

log10()

log

10

(R/S

)

EspectralEspectral Rescaled RangeRescaled Range

24

Consequencias

1.1. Mediciones aisladas son muy poco Mediciones aisladas son muy poco informativas.informativas.

2.2. Pruebas estadisticas destinadas a evaluar Pruebas estadisticas destinadas a evaluar analgesicos basadas en la comun asumpcion analgesicos basadas en la comun asumpcion de normalidad son invalidas.de normalidad son invalidas.

Sistemas

xx f(x)f(x)

yy f(y)f(y)

yy

xx

SSiistemstemaa LineaLineall

xx

yySSiistemstemaa No-LineaNo-Lineall

xx f(x)f(x)

yy ff(y)(y)

Sumar antes o despues da lo Sumar antes o despues da lo mismomismo

f(xf(x+y+y)) = f(x) + f(y) = f(x) + f(y) f(f(2+32+3)) = f(2) + f(3) = f(2) + f(3)

9=99=9

f(xf(x+y+y)) = f(x) + f(y) = f(x) + f(y) f(f(2+32+3)) = f(2) + f(3) = f(2) + f(3)

25=1325=13

Sumar antes o despues Sumar antes o despues NONO da lo mismo da lo mismo

LinealesLineales NNo-linealeaso-linealeas

+2+222 44

+2+233 55

9922

33

22 xx22 44

33 99yy22

22

33

2525

131399