CUANTIFICADORES DIFUSOS

Uno de los aspectos más importantes de la Lógica Difusa es la extensión del concepto de cuantificación, la cual permite el uso de cuantificadores lingüísticos, interpretados por medio de conjuntos difusos. Este concepto también fue introducido por Zadeh [60].

Las sentencias cuantificadas difusas han sido objeto de estudio por parte de varios investigadores, dando lugar a varias interpretaciones [27][43][44][58][59][60]. Liétard [38] ha hecho un estudio importante de la cuantificación difusa en el marco de las consultas sobre bases de datos.

La lógica Booleana tiene únicamente dos cuantificadores: el existencial y el universal. Sin embargo, se pueden describir cantidades que están entre el existencial y el universal. Además, algunas veces resulta útil expresar cantidades imprecisas de elementos que satisfacen una condición lógica. Esto justifica la existencia de cuantificadores lingüísticos como .la mayoría de., .pocos de., .aproximadamente la mitad de., .aproximadamente cinco., .al menos cien.

Éstos permiten flexibilizar la expresión de cantidades en sentencias lógicas. Los cuantificadores lingüísticos del lenguaje natural pueden ser usando conjuntos difusos. Estos cuantificadores, así definidos, son llamados frecuentemente cuantificadores difusos. El conjunto difuso que está asociado con el cuantificador difuso es el conjunto de las cantidades que son compatibles con la definición del cuantificador. La interpretación de los cuantificadores lingüísticos es dependiente del usuario.

La interpretación de cualquier cuantificador lingüístico está acotada por su semántica intuitiva en el lenguaje natural. Por lo tanto, un cuantificador lingüístico y su interpretación son vistos, usualmente, como lo mismo. Esto conduce a una clasificación importante de los cuantificadores difusos de acuerdo a su interpretación (dada). Según la naturaleza, estos se clasifican en: cuantificadores absolutos y cuantificadores proporcionales. Por otra parte, de acuerdo con su comportamiento, se puede distinguir entre cuantificadores crecientes, decrecientes y unimodales. Estas dos clasificaciones son ortogonales y cualquier combinación, es permitida. Cualquier cuantificación lingüística debe ser representada por un conjunto difuso con al menos un elemento totalmente incluido y otro completamente excluido.

Un cuantificador difuso es un símbolo lingüístico Q al cual es asociado un conjunto difuso tal que

0 Q

y 1 Q

y Q es o bien Absoluto o Proporcional y Q es o bien Creciente o Decreciente o Unimodal

Tipos de Cuantificadores

Los cuantificadores absolutos representan cantidades que son absolutas por naturaleza tales como:

Aproximadamente 5., .al menos 2.

Éstos se interpretan por medio de conjuntos difusos de reales no negativos. Para cualquier real no negativo, su grado de membresía al conjunto difuso indica el grado con el cual está cantidad es compatible con el cuantificador.

Los cuantificadores proporcionales representan proporciones respecto del conjunto completo. Cuantificadores como.

Al menos la mitad., .La mayoría.

Éstos son representados por subconjuntos difusos del intervalo unidad [0,1]. Para cualquier proporción su grado de membresía al conjunto difuso indica el grado al cual esta proporción es compatible con el significado del cuantificador. Se puede ver a los cuantificadores difusos proporcionales como predicados difusos sobre el intervalo real [0,1].

Los cuantificadores crecientes son aquellos que se interpretan por medio de un conjunto difuso con una función de membresía creciente. Por ejemplo, en la Figura siguiente:

Al menos 4. Es un cuantificador

Absoluto creciente. La mayoría de. Es un cuantificador proporcional creciente.

Absoluto creciente. La mayoría de. Es un cuantificador proporcional creciente.

Los cuantificadores decrecientes son cuantificadores lingüísticos representados por conjuntos difusos con monotonía decreciente. Por ejemplo, en la Figura 5, el cuantificador.

A lo sumo 4. Es un cuantificador absoluto decreciente,

La minoría de. Es un cuantificador proporcional decreciente.

Los cuantificadores unimodales son aquellos que tienen una función de membresía que es, primero creciente y luego decreciente. Por ejemplo, en la Figura 6:

Aproximadamente 4. Es un cuantificador absoluto unimodal. Aproximadamente la mitad de. Es un cuantificador proporcional unimodal.

En la lógica clásica hay sólo dos cuantificadores: el existencial () y el universal (). Se les puede ver como casos particulares de la clase más general de cuantificadores difusos, como se muestra en la Figura 7.

El Existencial. Existe. Es un cuantificador absoluto creciente con una interpretación dada. Por otra parte, el cuantificador. Para todo. Es un cuantificador proporcional creciente.

IMPLICACIÓNES

Una combinación muy útil de los operadores matemáticos es la implicación. Se escribe

p to q

O

p Rightarrow q

como abreviatura de

neg p or q

La declaración "p implica q" es falsa siempre que p sea verdad pero no necesariamente q.

Si

p Rightarrow q

y

q Rightarrow p

se escribe

p Leftrightarrow q

Que se lee "p implica y es implicada por q", o bien "p si y sólo si q".Uno de los usos más comunes de los operadores lógicos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana, por ejemplo:

Si salgo tarde de mi casa y no tengo vehículo, entonces llegaré tarde al trabajo.Conjunción | Salgo tarde

andno tengo vehículo

Rightarrowllegaré tarde al trabajo.

Si decimos Aquí no hay nadie y aplicamos literalmente la doble negación expresada en nuestro hablar cotidiano entonces podríamos asegurar que Aquí hay alguien.

Negación |

neghay nadie

RightarrowAquí hay alguien

Viajo en bus o viajo en mi auto, no las dos cosas a la vez.Disyunción| viajo en bus

orviajo en mi auto

Rightarrowo lo uno o lo otro

Si mi empresa no produce nada quiere decir que mi empresa 'produce algo'.Negación|

negproduce nada

RightarrowProduce algo