cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿hacia que punto, o valor...
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LÍMITES
Cuando hablamos de límites, en verdad nos planteamos una pregunta: ¿Hacia que punto, o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma?Tenemos entonces que desplazarnos a través de la gráfica por valores que se aproximen al punto en mención, tanto por valores que vienen desde la izquierda de él, como de valores que vienen desde la derecha hacia él.
Introducción a los límites
Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Es ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir el cálculo como un estudio de los límites.
Noción intuitivaConsidere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-
1).
Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:
x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1
y +1 0.75 1 7 f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/- 3/2=+0.75
f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = Indeterminado
Graficando lo tabulado:
¿Qué pasa de 0 a 2?
Tabulemos mas dentro de ese intervalo, sin tocar el uno.
x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7
y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59
La grafica tiene una rompimiento en el punto (1,3); no existe ahí. Pero, tratando de analizar la gráfica, podemos pensar que cuando x=1, su imagen (y)=3.
Podemos concluir que el límite de f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;
Pero, en ésta forma es erroneo. Necesitamos aplicar el límite, en el punto donde la función no existe.
Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1)x -> 1 x -> 1
=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1) x -> 1
=lim (x2+x+1) = 12+1+1 x -> 1
= 3
Significado intuitivo de límite
Def.: Decir que lim f(x)=L significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.
=> Decir que lim f(x)=3, significa que cuando x está cerca de uno, pero no es uno, f(x) está cerca de 3, pero no es 3.
0
1
2
3
4
5
6
7
-2.0
000
-1.0
000
-0.5
000
0.00
00
0.50
00
0.70
00
0.90
00
0.99
90
0.99
99
1.00
00
1.00
10
1.50
00
1.70
00
1.90
00
Ejemplos:
Encuentre:Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7 x3
Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3) x3 =[(9-9)]/(3-3) = 0 / 0 = Como nos dió infinito el resultado, no se debe resolver así. Debemos factorizar el numerador.
Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim (x+2)(x-3)/(x-3) x3 x3
= lim (x+2) = 3+2 = 5 x3
Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5.Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1)) x1
= 0/0 = 0/0 = Para resolver esta función, necesitamos conocer las propiedades de la raíz.
Propiedades de la raíz.(a*b) = a * b a/b =
a / b (a+b) a + b a-b a
- b a* a = (a*a) = a2 = a
Lim (x-1)/((x-1))= x1
Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-1))=
x1
Lim ((x-1)) = (1-1) = 0 = 0
x1
El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores menores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la izquierda se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la izquierda» y se denota por:
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=2, por la izquierda?
El valor que encontramos al recorrer la gráfica de la función a través de valores mayores que el punto del dominio dado, es decir, que vienen desde la derecha se denomina «límite lateral de f(x) cuando x tiende al valor a por la derecha» y se denota por:
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=2, por la derecha?
Definición de límite
El valor numérico único hallado, cuando «x» tiende hacia el valor numérico «a» del dominio, tanto por la izquierda como por la derecha, se denomina: limite de la función f(x) cuando «x» tiende al valor «a»
Se denota por:
Existencia del límite
El límite de una función f(x) cuando «x» tiende al valor numérico «a» del dominio, existe, y es un único valor numérico, si y solo si, se cumple:
En el caso de las figuras anteriores en f(x)=x2, luego de ver los límites laterales por la
izquierda y por la derecha, ¿qué concluye?
Como: =
Límites de funcionesAnalicemos la función:
112
xx
xf
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
1
1
11
1
12
x
x
xx
x
xxf x 1
x
y
1
1
–1
0
1
12
x
xxfy
2
x
y
1
1
–1
0
y = x + 1
2
Valores de x menores y mayores 1ue 1
0.91.10.991.010.9991.0010.9999991.000001
1.92.11.992.011.9992.0011.9999992.000001
11
12
x
x
xxf x 1
Decimos que f(x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
211
lim2lim2
11
xx
oxfxx
Definición informal de límiteSea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe
Lxfx
10
lim
x
y
1
1
–1
0
1
1)
2
x
xxfa
2
x
y
1
1
–1
0
1) xxhc
2
x
y
1
1
–1
0
1,1
1,11
)
2
x
xxx
xgb
2
Funciones sin límite en un punto
0,1
0,0)
x
xyb
La función salta
-3 -2 -1 0 1 2 3-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
0,0
0,1
)x
xxyb
Crece demasiado
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0,1
sen
0,0)
xx
xyc
Oscila demasiado
Ejercicio
1
1
2 3
y = g(x)
y
x
xgx 1lim
Encontrar
xgx 2lim
xgx 3lim
Límites de PolinomiosTeorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
Eliminación de denominador ceroSi en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.
xxxx
x
2
2
1
2lim
hh
h
22lim
0
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
y
x
1 5
3
2
2f(x)lim1x
2f(x)lim-x
1
2f(x)limx
1
x1 5
2
1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
existenof(x)lim1x
1f(x)lim-x
1
2f(x)limx
1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
y
x
1 5
3
2
1
2f(x)lim1x
El límite existe, sin embargo, al ser f(1) ≠ 2, la función es discontinua en
x=1
2f(x)limx
1
2f(x)lim-x
1
1f(1)
Dado el gráfico de f(x) :
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x
Propiedades de los límites g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim
axaxax
g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)limaxaxax
g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)limaxaxax
g(x)limKK.g(x)limaxax
n
ax
n
axf(x)limf(x)lim
1
2
3
4
5
Pasos para calcular límites
Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada.
Intentar desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica, etc.
Indeterminaciones: 0/0 , / , 0· , 1, 00, 0 , -
Evaluar los siguientes límites
x 0
x 4 2
xlim
x 4 2 x 4 2
x x 4 2
x 4 4
x x 4 2
x 4 4
x x 4 2
x
x x 4 2 1
x 4 2
x 0 x 0
x 4 2 1
x x 4 2lim lim
1
0 4 2 2
1
2 x 0
1
x 4 2lim4
1
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
x 0
1 x 1 x
xlim
1 x 1 x 1 x 1 x
x 1 x 1 x
1 x 1 x
x 1 x 1 x
1 x 1
x
x 1 x 1 x
2 x
x 1 x 1 x
2
1 x 1 x
x 0 x 0
1 x 1 x 2
x 1 x 1 xlim lim
x 0
2
1 x 1 xlim
2
1 0 1 0 1
2
1 2
21
Ejemplo 3:
2
3 2x 1
1/3x x 2
x 4x 3xlim
2
3
1/3x x 1
x x x 1
2 x x 1
3 x x x 1
1/3
2
3
1/3x
x x
2
3
2
3 2x 1 x 1
1/31/3x x 2 x
x 4x 3x x xlim lim
2
3
x 1
1/3x
x xlim 2
3
1/31
1 13
2
1/33
3
2
Ejemplo 4:
2x 2
x 2lim
4 x
x 2
2 x 2 x 2
x 24 x
2 x2 x 2 x
2 x
2 x 2 x 1
2 x
1
x 2 x 2lim lim2
x 24 x 2 x
1
x 2
lim 2 x 1
2 2
1
4
Ejemplo 5:
2 2x a
x b a blim , a > b
x a
x b a b x b a bx a x a x b a b
x b a +b
x a x a x b a b
x a
x a x a x b a b
1
x a x b a b
1
x a x alim lim2 2
x b a bx a x a x b a b
1
x alim
x a x b a b 1
a a a b a b
1
a a b1
a ba a b a b
a ba a b
Ejemplo 6:
2
x 4
4x xlim
2 x
24x x2 x
x 4 x 2 x2 x 2 x
x 4 x
2 x
4 x x 2 x
x 4 x 4lim lim
24x x x 2 x
2 x
x 4lim x 2 x 4 2 4 16
Ejemplo 7:
2
3x
x + x + 2lim
x + x +11 2
1 1
22
32 3
x 1 + +x x
x 1 + +x x
2x1 2
2
3
1 + +x x
x1 1
2 31 + +
x x
1 2
1 1
2
2 3
1 + +x x
x 1 + +x x
1 2
1 1
x xlim lim
2 2
3
2 3
1 + +x + x + 2 x x x + x +1 x 1 + +
x x
1 2
1 1
xlim
2
2 3
1 + +x x
x 1 + +x x
1 2
1 1
2
2 3
1 + +
1 + +
0 0
0 0
1 + +1 + +
1
0
Ejemplo 8:
4 2
4 2x
2x 3x + 6lim
3x 5x + 3
3 6
5 3
42 4
42 4
x 2 + +x x
x 3 +x x
3 6
5 3
4 2 2 4
4 2
2 4
2 + +2x 3x + 6 x x 3x 5x + 3 3 +
x xx xlim lim
0 0
0 0
2 + +3 +
2
3
4x3 6
2 4
4
2 + +x x
x5 3
2 43 +x x
3 6
5 3
2 4
2 4
2 + +x x
3 +x x
3 6
5 3
2 4
2 4
2 + +x x
3 +x x
xlim
3 6
5 3
2 4
2 4
2 + +
3 +xlim
Ejemplo 9:
5 3
2x
4x 3x +1lim
x x +1
3 1
1 1
52 5
22
x 4 + +x x
x 1 +x x
3 1
1 1
35 3 2 5
2
2
x 4 + +4x 3x +1 x x
x x +1 1 +x x
x xlim lim
5x3 1
2 5
2
4 + +x x
x1 1
21 +x x
3 1
1 1
32 5
2
x 4 + +x x
1 +x x
3 1
1 1
32 5
2
x 4 + +x x
1 +x x
xlim
3 1
1 1
32 5
2
4 + +=
1 +
0 0
0 0
3 4 + +=
1 +3= =
Ejemplo 10:
3
2
x
2x +1lim
x 5
3 3
22
12 +
x2x +1
5x 5x
x xlim lim
3
2
12 +
= 5
3
22
1x 2 +
xx 5 3
2
1x 2 +
xx 5
3
2
x 12 +
x xx 5x x
xx
3
2
12 +
xx
x 5
x
3
2
12 +
x5x
3
2
12 +
x
5x
xlim 0
3 0
2 +=
2
3=
Conclusión:
x
f(x)lim =
g(x)Dado:
Si [f(x)]º < [g(x)]º, entonces:
x
f(x)lim = 0
g(x)
Si [f(x)]º > [g(x)]º, entonces:
x
f(x)lim =
g(x)
Si [f(x)]º = [g(x)]º, entonces:
x
f(x) Coeficiente del término de mayor grado de f(x)lim =
g(x) Coeficiente del término de mayor grado de g(x)
Límite de una sucesión
ex1limlim )( x1
ax
n
xn
11
Ejemplo 11: n
n+311+lim n
n
n 31 11+ 1+lim n n
n n
n 31 11+ 1+lim limn n
n
311+e lim 31+0e e
n
n+311+lim n
e
Ejemplo 12: n
2n11+lim n
2
n
n11+lim n n
2n11+lim n
2
n
n1lim 1+n 2e
Ejemplo 13:
n
n 111+lim n+2
2
n
n+2 111+lim n+23
n
n+211+lim n+23
n
n+21 11+ 1+lim n+2 n+2
3
n
n+211+n+2lim11+n+2
3
n
n
n+21lim 1+n+211+lim n+2
3
e11+ +2
3
e11+ 30
e
1+
e
Límites trigonométricos
1x
xSenlim
0x
1x Sen
xlim
0x
1x
xTglim
0x
1xTg
xlim
0x
0xSenlim0x
1xCos lim0x
1x
xCos1lim
-0x
1x
1xCoslim
-0x
5
6
7
8
1
2
3
4
x 0
Sen 3xlim
2x
Ejemplo 14:
x 0
Sen 3xlim
2x
x 0
Sen 3l m
3 x3
i2x
3
2
x 0
Sen 3xlim
3x3
2 x 0
Sen 3xlim
3x
31
2
3
2
1
Ejemplo 15:
x 0
Sen x 1 Cos xlim
x Sen 2x
x 0
Sen x 1 Cos xlim
x Sen 2x 2
x 0
Sen x 1 Cos x 1 Cos xlim
x Sen x Cos x 1 Cos x
2
2
x 0
Sen x 1 xCoslimx Sen x Cos x 1 Cos x
x 0
Sen x Sen xlim
2x Sen x Cos x 1 Cos x 2 x 0
Sen xlim
x Cos x 1 Cos x
1 1
2 x 0
Sen xlim
x Cos x 1 Cos x
1 1
2 x 0 x 0
Sen xlim lim
x Cos x 1 Cos x
1 Cos 0º=1
1
2
22 2
24
Ejemplo 16:
x 0
Tg x Sen xlim
1 Cos x
Tg x Sen x1 Cos x
Sen xSen x
Cos x1 Cos x
1
Sen x Sen x Cos xCos x
1 Cos x
1
1
Sen x Cos xCos x
1 Cos x
1
Sen x Cos xCos x 1 Cos x
1Sen x Cos x
Cos x 1 Cos x
Sen xCos x
x 0 x 0
Tg x Sen x Sen xlim lim
1 Cos x Cos x
x 0
x 0
limSen x
limCos xx 0
Sen xlim
Cos x
0
1 0
Ejemplo 17:
π
x4
Tg x 1lim
πx
4
Tg x 1π
x4
πTg x Tg
4π
x4
πSenSenx 4
πCos x Cos4
πx
4
π πSenx Cos Sen Cos x
4 4π
Cos x Cos4
πx
4
π πSenx Cos Sen Cos x
4 4π π
x Cos x Cos4 4
πSen x
4π π
x Cos x Cos4 4
1
πSen x
4ππ Cos x Cosx44
Ejemplo 17:
1
π πx x
4 4
πSen x
Tg x 1 4lim limπ ππx Cos x Cosx4 44
1
πx
4
πSen x
4limππ Cos x Cosx44
1
π πx x
4 4
πSen x
4lim limππ Cos x Cosx44
11
π πCos Cos
4 4
11
2 2
2 2
2
Importante:
π
x h4
; π
Si x h4
π
Si x4
h 0
1
π h 0x4
πSen x
Sen h4lim limπ hx4
Por cambio de variable, tenemos:
49
A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple:
)(lim xfax
Ejemplo 18:
3xsi,1x1/
3 xsi2,xf(x)
2
30,5
11
Ejemplo 18:
3xsi,1x1/
3 xsi2,xf(x)dondef(x);
2
3xlim
3
lim ( ) 9x
f x
3
lim ( ) 0,5x
f x
(3) 11f
limite no existe y además es discontinua
-4
-1
1
2
0x1,x
0x4,2xf(x)f(x);lim
0x
0
lim ( ) 1x
f x
0
lim ( ) 4x
f x
(0) 4f
limite no existe y además es discontinua
Ejemplo 19:
53
( ) 0AN
Y N NB N
Ejemplo 20:
donde A y B son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?
Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es N, entonces el volumen de la cosecha Y puede modelarse con la función de Michaelis – Menten:
El efecto de reducción del dolor de una droga puede medirse empleando la función:
2
2
x100P(x) =+0,5x+0,03x
donde p(x) es el porcentaje de alivio del dolor que se espera, cuando seutilicen x unidades de droga.¿Qué le sucede a p(x) cuando x∞?
Ejemplo 21:
Si f(x)= x3,calcular:
h 0
f(x +h) f(x)lim
h
3 3
h 0
(x +h) xlimh
. ..3 2 2 3 3
h 0
+ + -3 3xx x h h +h xlimh
3
h 0
xlim. ..2 2 3 3+ + -3 3xx h h +h x
h
.
h 0
hlim
. . .2 2+3 3xx h+hh
. . .2 2
h 0 h 0
f(x +h) f(x)lim lim +3 3xx h+h
h
. . .2 2
h 0lim +3 3xx h+h .. . 22 + (0)3 3x +0x . 23x