CUADRO COMPARATIVO DE FUNCIONES

Función: AnalíticasDefinición: Definición 1: Sea f :Ω⟶₵ una función definida en un abierto en el plano y z0∈Ω. Se dice que

f(z) es derivable en z0 (u holomorfa o analítica) si existe el límite:

f ' ( z0 )= limz⟶ z0

f ( z )−f (z0)z−z0

Definición 2. La definición de función analítica es idéntica para los casos real y complejo: Una función real (compleja) f es analítica en un punto x0 de su dominio si existe una serie de potencias centrada en x0:

que converge en un entorno U ⊆ R (U ⊆ C) de x0 y que coincide con la función en dicho entorno:

Propiedades: Una función analítica es suave: tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica.

Si f’(z)=0 en todos los puntos de un dominio D, entonces f(z) es constante sobre D. Una función compleja f : D ⊆ C → C derivable en un abierto U, es analítica en U. Una función compleja f : D ⊆ Cn → C diferenciable en un abierto U es analítica enU. Si dos funciones son analíticas en un domino D, su suma y su producto son analíticos ambos

en D.

Diana Isela Ramírez CárdenasMatricula: 241732Grupo 6FMVariable ComplejaTarea 7.Fecha: 19 de Septiembre del 2012

Ecuación: U xx+U yy=0Ejemplo: f ( z )=z . f es holomorfa en ₵y f ' ( z )=1Función: ArmónicasDefinición: Decimos que una función Φ (x , y ) es armonica en un dominio, si para dicho dominio se satisface

la ecuación de Laplace. Una función Analítica es una función Armónica. Propiedades: Si una función es analítica en cierto dominio, su parte real y su parte imaginaria son funciones

armónicas en dicho dominio. Dada una función real Φ (x , y ) armónica en un dominio simplemente conexo D, existe una

función analítica en D cuya parte real es igual a Φ (x , y ). De manera similar existe una función analítica en D cuya parte imaginaria es igual a Φ (x , y ).

Ecuación: ∂2Φ∂x2

+ ∂2Φ∂ y2

=0

Ejemplo: Ya que las funciones: f ( z )=z2=(x+iy)2=x2− y2+i2 xy y g ( z )=ex (cosy+iseny)Son enteras, también lo es su producto por la primer propiedad que se explico anteriormente, la función ℜ¿ es armónica en todo el plano.

Derivada: Se utilizan derivadas parciales.

Función: ExponencialDefinición: Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en

el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:

para valores imaginarios puros se cumple la identidad

,en el que un caso particular es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo.Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y números reales, se obtiene una definición equivalente a la primera,

Propiedades: ez es una función analítica en ₵. ¿ )’=ez

e0=1, e2πin=1∀n∈Z ez+w=ez ew ez≠0 ,∀ z∈₵ |eiy|=1 ,¿ez∨¿ ex

Ecuación: ez=ex+ iy=exe iy=ex (cosy+iseny )Derivada: ¿ )’=ez

Función: TrigonométricasDefinición: Grupo de funciones que relacionan un ángulo agudo en un triángulo rectángulo con las

relaciones de los lados. Son el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.Propiedades: ( Senz )'=cos z

¿ Senz=0↔z=nπ

Cosz=0↔z=(2n+1 ) π2, n∈Z

cos (z+w )=CoszCosw−SenzSenw ,Sen ( z+w )=SenzCosw+SenwCosz (cos¿¿2 z+Sen2 z)=1¿

tan z=Sen zcos z

,cot z= cos zSen z

,Csc z= 1Sen z

Ecuación:Senz= eiz−e−iz

2 icos z= eiz+e−iz

2Ejemplo: Probar que:

2Sen z1 cos z2=Se n ( z1+z2 )+Sen(z1−z2)Utilizando la propiedad de la función exponencial:

2Sen z1 cos z2=2( eiz1−e−iz2

2 i )( ei z2+e−i z2

2 )El producto reduce el miembro de la derecha a:

¿O sea:

Sen ( z1+z2 )+Sen(z1−z2)

Derivada: Se utilizan las mismas formulas de derivación que utilizamos para derivar números reales.

Función: HiperbólicasDefinición: Las funciones hiperbólicas se definen de forma similar a las funciones hiperbólicas de una

variable real.Propiedades: cos h (−z )=cosh ( z ) , Senh (−z )=−Senh(z )

cosh2 ( z )−Senh2 ( z )=1 Senh (z+w )=Senh ( z ) ∙cosh (w )+Senh(w)∙cosh (z ) cosh ( z+w )=cosh (z ) ∙cosh ( w )+Senh (z) ∙ Senh(w) Senh (z )=Senh ( x ) ∙cos ( y )+iCosh (x )∙ Sen ( y) cosh ( z )=cosh ( x ) ∙cos ( y )+iSenh(x) ∙ Sen( y)

tanh (z )=Senh(z )cosh (z )

Ecuación:Senhz= ez−e− z

2cos z= e z+e−z

2Derivada: Se utilizan las mismas formulas de derivación que utilizamos para derivar números reales.

ddz

Senhz=Coshz ,ddz

Coshz=Senhz .

Función: LogaritmoDefinición: Definición 1: El logaritmo complejo se introduce como la función inversa de la función

exponencial. La primera dificultad está en el hecho de que la función exponencial no es una función inyectiva, y por tanto la función inversa asociada no va a ser una correspondencia unívoca, como sucede en la definición usual de función, sino que va a ser una función multívoca, tal que a cada número complejo distinto de cero le va a asociar infinitos valores complejos.

Definición 2: Dado z=x+iy∈₵ ,z ≠0 , se define como:logz=ln|z|+i ( argz+2kπ ) , k∈ z

Propiedades: log ( z ∙w )=logz+logw

log zw

=logz−logw

log ( z ∙w )=logz+logw ±2kπi

Ecuación:Senz= eiz−e−iz

2 icos z= eiz+e−iz

2Ejemplo:

l ogi=ln|i|+i( π2 +2kπ ) , k∈ z

log (−1 )=i ( π+2kπ ) , k∈ z log 1=2nπi

Derivada: ddz

Logz=1z

Función: Exponentes complejos.Definición: Cuando z≠0 y el exponente c es cualquier numero complejo, la función zc se define mediante la

ecuación zc=exp (clogz)

Donde logzdenota la función logaritmo multivaluada. La ecuación anterior proporciona una definición consistente de zc en el sentido de que la ecuación ya se sabe que es válida para c=n(n=0 , ±1 , ±2 , ±3 ,…)La definición de zc viene, de hecho, sugerida por esas elecciones particulares de c.

Ecuación: zc=exp (clogz)

Ejemplo: Las potencias de z son, por lo general, multivaluadas, como se ve al escribir

i−2 i=exp (−2 ilogi )=exp [−2i(2n+ 12πi )]=exp [(4n+1 )]

Donde (n=0 , ±1 , ±2, ±3 ,…) notese que, como la exponencial cumple 1

ez=e− z

, los dos conjuntos

de números 1

zc y z−c coinciden. Así que podemos escribir:

1

zc = z−c

Derivada: ddz

Logz=1z

Función: Trigonométricas e hiperbólicas inversasDefinición: Las inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas pueden describirse en términos de

logaritmos.Para definir Sen−1 z, la función inversa del seno, escribimos w=Sen−1 z donde z=Senw . Es decir, w=Sen−1 z cuando

z= e iw−e−iw

2 iPongamos esta ecuación en la forma:

(e¿¿ iw)2−2iz (e iw )−1=0¿Que es cuadrática en (e¿¿ iw)¿. Despejando e iw, encontramos que:

e iw=iz+(1−z2)1 /2

Donde (1−z2)1/2 es, naturalmente, una función bivaluada de z. Tomando logaritmos en cada lado de la ecuación y recordando que w=Sen−1 z, llegamos a la expresión:

Sen−1 z=−ilog[ iz+(1−z2 )12 ]

Propiedades:Ecuación:

Sen−1 z=−ilog[ iz+(1−z2 )12 ]

Ejemplo: La expresión Sen−1 z=−ilog[ iz+(1−z2 )12 ] nos dice que:

Sen−1 (−i )=−ilog(1±√2)Ahora bien log ¿ , y, log (1−√2 )=ln (√2−1 )+(2n+1 ) πi(n=0 ,±1 ,±2 , ±3 ,…) Ya que:

ln (√2−1 )=ln 1

1+√2=− ln (1+√2)

Entonces los números(−1)n ln (1+√2 )+nπi(n=0 ,±1 ,±2 , ±3 ,…)

Constituye el conjunto de valores de log (1±√2). LuegoSen−1 (−1 )=nπ+i ¿

Y que tan−1 z= i

2log

1+z1−z

Derivada: dd z

Sen−1 z= 1

(1−z2)1/2dd zcos−1 z= −1

(1−z2)1 /2dd ztan−1 z= 1

1+z2

Bibliografia: http://netlizama.usach.cl/Libro%20de%20Variable%20Compleja.pdfhttp://dcb.fi-c.unam.mx/users/ericklr/matavan.pdfhttp://www2.caminos.upm.es/departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C02_Funciones_complejas.pdfVariable Compleja y Aplicaciones, Ruel V. Churchill / James Ward Brown, Quinta edición, Ed. McGraw-Hill