cuaderno matemática 5º año cs

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Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación Deposito Legal lf 03220035101806X

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Matemática de 5º Año de Ciencias

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Page 1: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación

Deposito Legal

lf 03220035101806X

Page 2: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

1

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 2do Año de Media General,

refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa de

Matemática.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un

instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de

aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Septiembre del 2003

Page 3: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

2

Agradecimientos:

Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo:

Msc. Miguel Carmona, especialista de matemática

Msc. Milagros Coromoto Camacho, asesora metodológica

Marcos Salas, profesor de computación.

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”

Liceo San Pedro de Los Altos

U. E. C. “Andrés Bello”

Page 4: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

3

CONTENIDO

.- Polinomios, tipos de polinomios................5

.- Grado de un polinomio, completar, ordenar polinomios.............6,7

.- Adición de polinomios, propiedades............8,9,10,11,12

.- Sustracción de polinomios..............11,12

.- Multiplicación de polinomios, propiedades................12,13,14,15,16

.- División de polinomios..........16

.- Regla de Ruffini............17,18,19

.- Teorema del Resto...........19,20

.- Teorema de Descartes.............20,21

.- Factorización de polinomios..............22,23,24,25

.- Inecuaciones lineales en R.................26,27,28,29,30,31

.- Variación ordinaria................32,33,34

.- Combinación ordinaria...................35,36

.- Números combinatorios..........37,38

.- Triángulo de Tartaglia................39,40

.- Binomio de Newton.............41,42

.- Sistema de coordenadas en el espacio................41,42

.- Puntos en el plano...............43,44

.- Vectores..............44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54

.- Distancias entre dos puntos en R3............54,55,56

.- Ecuación de la recta en el espacio.............56,57,58

.- Ecuación del plano..............59,60

.- Matrices...............60,61,62,63,64.

.- Regla de Sarrus..................65,66,67.

.- Teorema Rouche-Frobenius...............68

.- Teorema de Crammer................69

.- Lugar geométrico, secciones cónicas.............70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81, 82,83,84,85,86

.- Estadística...........87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104, 105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119, 120,121,122,123,124,125,126,127,128,129,130,131,132,133,134, 135,136,137,138..- Probabilidad estadística..............139,140,141,142,143,144,145,146,147,148,149, 150,151.- Páginas de resolución de ejercicios.................152,153,154,155,156,157,158,159, 160,161,162.- Bibliografía............163

Page 5: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

4

Polinomios:

Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene

combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.

P(x) = A0 + A1x + A2x² A3x³......An

A0 = término independiente.

x = variable.

A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio

Tipos de Polinomios:

Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos.

Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término

independiente.

Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de

ellos.

Binomio: polinomio que consta de dos términos.

Trinomio: polinomio que consta de tres términos.

Conozcamosalgunospolinomios

Page 6: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

5

Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente

de la variable.

a.- p(x) = 2 + 3x + 5x² segundo grado

b.- q(x) = 3x³ - 4x + 9 tercer grado

Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la

variable se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el

término independiente.

Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad

en unidad.

Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor.

Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a

mayor.

Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye

en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.

Se pueden ordenarlos polinomioscreciente ydecrecientemente

Page 7: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

6

Ejemplo: Dado P(x)= 2x² + 3 dónde x = 3

P(3) = 2(3)² + 3 = p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21

1.- p(x) = 2x –4 dónde x = 3

2.- q(x) = 4x + x² dónde x = 2

3.- t(x) = x³ -2 dónde x = 4

4.- p(x) = 3x² + 2x dónde x = 3

5.- q(x) = x³ + 4x – 2 dónde x = 3

6.- p(x) = 4x –x + 5 dónde x = 2

Adición de Polinomios:

Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir

los polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+).

Page 8: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

7

Regla para sumar polinomios:

1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se

completa con ceros.

2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.

Ejemplo: En forma entera:

P(x) = 5x³ + 4x² - 6x + 8

Q(x) = 3x² - 4x + 3

5x ³ +7x²-10x +11

Ejemplo: En forma racional:

P(x) = 2/2x² - 3/5x + 4/3 operaciones:

Q(x) = 3/2x + 5/4 -3 + 3 = -6+15 = 9 2/2x2+9/10x+31/12 5 2 10 10

4 + 5 = 16+15 = 31 3 4 12 12

Page 9: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

8

Ejercicios: Dados los polinomios: p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x3 – 2x2 + 4x

t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ;

h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4

Hallar la suma de los polinomios:

1.- p(x) + q(x) 2.- p(x) + t(x) 3.- q(x) + t(x)

4.- r(x) + s(x) 5.- r(x) + h(x) 6.- s(x) + h(x)

Propiedades de la Adición de Polinomios:

a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una

ley de composición interna.

b.- La adición de polinomios es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo.

e.- El polinomio simétrico de p(x) es –p(x).

f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.

Page 10: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

9

Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5

b.- p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7

c.- p(x) = 6x2 + 6x – 10 ; q(x) = 5x2 + 4x – 6

d.- p(x) = 12x2 – 4x – 8 ; q(x) = 6x2 + 7x – 6

Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) = p(x) + q(x) + h(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ; h(x) = 2x –6

b.- p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6

c.- p(x) = 7x2 + 6x – 4 ; q(x) = 9x2 + 8x – 6 ; h(x) = 4x –9

d.- p(x) = 11x – 7 ; q(x) = 4x2 + 3x – 6 ; h(x) = 4x – 10

Page 11: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

10

Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)

Ejercicios:

a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 c.- p(x) = 8x2 – 3x + 2

b.- q(x) = 4x2 – 6x + 5 d.- q(x) = 7x2 + 6x – 12

Elemento Simétrico: p(x) + -p(x)

a.- p(x) = 5x2 – 3x + 8 c.- p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2

b.- q(x) = 2x2 - 7x + 9 d.- q(x) = -3x3 – 4x2 + 8x + 9

Sustracción de Polinomios:

Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico,es

decir –q(x). P(x) – q(x) = p(x) + -q(x) p(x) = minuendo q(x) = minuendo

Page 12: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

11

Ejercicios:

a.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4 c.- p(x) = 3x2 –5x + 8 ; q(x) = 6x + 8

b.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8 d.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x +6

Multiplicación de Polinomios:

El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por la

suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por

todos los de la otra.

Ejemplo: En forma Entera:

Dado p(x) = 2x2 – 5x + 6 ; q(x) = x2 – 3x + 5 . Hallar: p(x) . q(x)

q(x) = x2 - 3x + 5

p(x) =2x2 – 5x + 6

2x4 – 6x3 + 10x2

- 5x3 + 15x2 – 25x

6x2 – 18x + 30

2x4 – 11x3 + 31x2 – 43x + 30

Page 13: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

12

Ejemplo: En forma Racional:

p(x) = 2/3x2 + 4/6x –3/2

q(x) = 2/5x +4/3 operaciones:

4 x3 + 8 x2 – 6 x 8 + 8 = 312 15 30 10 30 9 270

8 x2 + 16 x – 12 - 6 + 16 = 52 9 18 6 10 18 180

4 x3 + 312 x2 + 52 x -12 15 270 180 6

Ejercicios: Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios:

1.- p(x) = 3x2 + 5x –5 ; q(x) = 4x – 8

2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6 ; q(x) = 2x + 2

3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7

4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4 ; q(x) = 3x + 7

5.- p(x) = 4x3 + 6x2 – 9x + 9 ; q(x) = 3x – 6

6.- p(x) = 3/4x2 + 6/3x – 5/2 ; q(x) = 4/4x – 6/2

7.- p(x) = 4/6x2 + 7/3x + 2/5; q(x) = 3/6x – 7/2

8.- p(x) = 5/3x2 + 1/2x + 3/2 ; q(x) = 2/4x + 8/2

Page 14: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

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Propiedades de la Multiplicación de Polinomios:

a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo

tanto; es una ley de composición interna.

b.- Es conmutativa.

c.- Es asociativa.

d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación.

e.- El elemento absorbente es el elemento nulo.

f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares.

g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios.

h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los

polinomios factores.

Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x)

a.- p(x) = 2x + 4 ; q(x) = 3x – 2

b.- p(x) =4x – 6 ; q(x) = 5x + 6

c.- p(x) = 4x2 – 6x + 8 ; q(x) = 3x – 7

d.- p(x) = 6x2 – 7x + 6 ; q(x) = 6x – 2

Page 15: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

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2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x) = p(x) . q(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3

b.- p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1

c.- p(x) = 4x2 + 6x – 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x – 1

d.- p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2 – 7x + 2 ; h(x) = 3x – 4

3.- Distributiva: p(x) . q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)

a.- p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2

b.- p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12

c.- p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x – 1 ; h(x) = 6x + 1

d.- p(x) = 6x – 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x – 2

Page 16: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

15

4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x)

a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 c.- p(x) = 4x2 – 6x + 5

b.- q(x) = 6x – 8 d.- h(x) = 4x3 – 5x2 + 7x – 2

División de Polinomios:

D(x) = d(x) . c(x) + r(x) D(x) = dividendo

d(x) = divisor

c(x) = cociente

r(x) = residuo

Una operaciónde división estácompuesta por:

Page 17: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

16

Ejercicios:

a.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) e.- Dividir (20x + 10x – 5) : (5x + 5)

b.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3) f.- Dividir (10x + 13x – 2) : (5x – 1)

c.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2) g.- Dividir (4x – 2x – x + 1) : (2x –3)

d.- Dividir (x4 – x2 – 2x – 1) : (x – x – 1) h.- Dividir (5/2x2 + 2/2x – 1/3):(1/2x+3)

Regla de Ruffini:

a) Se descompone el término independiente de la ecuación en sus divisores.

b) Tanteamos con dichos divisores hasta que el residuo de cero.

c) El número de raíces de un polinomio, es igual al mayor exponente de la

incógnita.

Ruffini, Paolo (1765-1822),

físico y matemático italiano.

Nació en Valentano, entonces

perteneciente a los Estados

Pontificios, estudió en la

Universidad de Módena, donde

fue profesor de matemáticas y,

en 1814, rector.

Page 18: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

17

Ejemplo: Resolver x3 + 2x2 – x – 2 = 0

divisores de 2 = (1 , 2) 1 2 -1 -21 1 3 2

1 3 2 0-1 -1 -2

1 2 0 x1=1-2 -2 x2=-1

1 0 x3=-2

Ejercicios:

a) Resolver x4-11x2-18x-8=0

b) Resolver x3-3x2-4x+12=0

c) Resolver x3+ 4x2+ 5x+2=0

d) Resolver x3+ x2-5x+3=0

e) Resolver x3-3x+2=0

f) Resolver 6x4+ x3+ 5x+ x-1=0

Page 19: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

18

División de un polinomio p(x) entre un binomio (x a) :

Ejemplo: Hallar el cociente y residuo por Ruffini de (x4+ 2x3+ x) : (x +1)

1 cambia a –1

1 2 0 1 0 cociente: x3+ x2- x + 2

-1 -1 -1 1 -2 residuo: -2

1 1 -1 2 -2

Ejercicios:

a) (2x3+ 3x2-4x+3) : (x + 2) b) (x2+ 4x-8) : (x-6)

c) (3x3+ 2x2-6x+2) : (x-7) d) (3x2+ 5x-9) : (x + 3)

e) (6x4-6x2-8) : (x + 4) f) (2x3-8x2+ 5x-7) : (x + 2)

Teorema del Resto:

El residuo de una división entre un polinomio ordenado en x, y un binomio de la

forma de x a, es igual al valor numérico del polinomio para x a.

Page 20: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

19

Ejemplo: Calcular el resto de la división ( 4x2+ 5x-3) : (x + 1)

calculamos el valor numérico para x = -1

p(x) = 4x2+5x-3 p(-1) = 4(-1)2+5.1-3

p(-1) = 4-5-3 resto = -4

Ejercicios:

a) (3x2+ 4x-6) : (x + 3) b) (4x3-2x2-6x+1) : (x-6)

c) (2x3-5x2-4x+9) : (2x-3) d) (6x2-7x+2) : (x-4)

Teorema de Descartes:

La condición necesaria y suficiente para que un polinomio entero en x, p(x) sea

divisible por x a es que se anule para x = a.

Ejemplo: Averiguar sin hacer la división, si el polinomio p(x) = 2x2+ 6x-20 es

divisible por x – 2 .

p(x) = 2x2+6x-20 p(2) = 2 . 22+ 6 . 2 – 20 p(2) = 8 + 12 – 20 p(2) = 0 si es divisible

Descartes, René (1596-1650),filósofo, científico y matemáticofrancés, a veces considerado elfundador de la filosofía moderna.

Page 21: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

20

Ejercicios:

a) (5x2+ 2x-6) : ( x-2) b) (4x2-6x+5) : (x-3)

c) (3x2+ 5x+6) : (x-3) d) (5x2-7x+2) : (x-4)

e) (2x3-5x2+ 4x+5) : (x-1) f) (4x3-6x2+ 6x-8) : (x-5)

Cálculo de raíces enteras mediante Ruffini:

Regla:

Se descompone el término independiente en todos sus divisores y después

tanteamos con esos divisores positivos y negativos aplicando Ruffini. Cada vez que

el residuo valga cero es una raíz cuadrada.

Este método se debe aplicar para ecuaciones de grado superior al segundo.

Page 22: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

21

Ejemplo: Resolver la ecuación x3+ 6x2+ 11x+6 = 0

divisores de 6 = (1,2,3,6)

1 6 11 6

-1 -1 -5 -6 raíces: x1 = -1

1 5 6 0 x2 = -2

-2 -2 -6 x3 = -3

1 3 0

-3 - 3

1 0

Ejercicios:

a) Resolver x3 – 7x – 6 = 0 b) Resolver x4 –5x2 + 4 = 0

c) Resolver 10x4 – 20x2 + 10 = 0 d) Resolver x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0

Page 23: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

22

Factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini:

Regla:

a) Aplicamos Ruffini hasta que se pueda.

b) El polinomio dado es igual al último cociente que da como residuo cero por

cada uno de los binomios de la forma x, menos cada una de las raíces

obtenidas.

Ejemplo: Factorizar el polinomio x4 4x3 + 3x2 – 4x – 4 = 0

divisores de 4 = (1,2,4)

1 4 3 -4 -4

-1 -1 -3 0 4

1 3 0 -4 0

1 1 4 4 x1 = -1

1 4 4 0 x2 = 1

-2 -2 -4 x3 = -2

1 2 0 x4 = -2

-2 -2

1 0 al factorizar cambiamos de signos las x, y el último

cociente va de primero.

(1). (x +1).(x-1).(x +2).(x + 2)

Page 24: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

23

a) Factorizar -x4 + 8x2 – 16 b) Factorizar x3 + x2 – x – 1 = 0

c) Factorizar x3 – 8x2 + 17x – 10 = 0 d) Factorizar x4-4x3+ 3x2+ 4x-4 = 0

e) Factorizar x3+ 4x2+ 5x+2 = 0 f) Factorizar x3 +x2-5x+3 = 0

Raíces fraccionarias aplicando Ruffini:

Ejemplo: Calcular x3 – 3x – 2

x3+ 4x2+ 5x+2

factorizamos numerador: 1 0 -3 -2

-1 -1 1 2

1 -1 -2 0

-1 -1 2

1 -2 0

2 2

1 0

raíces: x1 = -1 (x + 1).(x + 1).(x-2)

x2 = -1

x3 = 2

Page 25: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

24

factorizamos denominador: 1 4 5 2

-1 -1 -3 -2

1 3 2 0

-1 -1 -2

1 2 0

-2 -2

1 0

raíces: x1 = -1 (x +1).(x + 1).(x + 2)

x2 = -1

x3 = -2 simplificamos: (x +1).(x +1).(x-2) = (x – 2)

(x +1).(x +1).(x +2) (x + 2)

Ejercicios:

a) x3+ x2-5x+3 b) x5-21x3+16x2+108x-144

x3-3x+2 x3+x2-x-1

c) x4+5x3+8x2+7x+3 d) -x4 + 8x2 - 16

x3+2x2-x-2 x3-3x2-4x+12

Page 26: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

25

Inecuaciones Lineales en R:

Propiedades de las desigualdades:

1) a 0 ; mínimo. Raíces reales distintas.

2) a 0 ; mínimo. Raíces dobles.

Page 27: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

26

3) a 0; mínimo. Raíces imaginarias conjugadas.

4) a 0. máximo. Raíces reales y distintas.

5) a 0; máximo. Raíces dobles.

Page 28: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

27

6) a 0; máximo. Raíces imaginarias

Inecuaciones en una Variable:

Es una desigualdad literal que solamente se cumple para determinar valores de

las variables.

Ejemplo: Resolver 3x + 2 2 3

3.(3x + 2) 2 9x + 6 2 x 2 - 6 9

x -4 9

Page 29: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

28

-1 0 1

-4 9

Ejercicios:

a) 5x – 4 3 – 2 c) 2x + 3x – 5 4 – x 4

b) 4 – 6x – x 4x + 6 d) 3x – 5 – 2 2x - 4 3 2 5

Inecuaciones de segundo grado en una variable:

Ejemplo: Representar gráficamente el trinomio y = x2 – 6x – 7

a = 1 aplica la ecuación de segundo gradob = -6c = -7

x = -b b2 – 4 . a . c2 . a

x = 6 (-6)2 – 4 .(1).(-7) x = 6 36 + 28 2 . 1 2

Page 30: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

29

x = 6 + 64 x1 = 6 + 8 x1= 7 2 2

x2 = 6 – 8 x2 = -1 2

factorizamos y = (x-7).(x +1) se calcula el mínimo: y = 4.a.c – b2

4.a

y = 4 . 1.(-7) – (-6)2 y = -28-36 y = -164.1 4

x = - b x = - 6 x = -32.a 2

raíces x1 = 7 vértices x = 3

x2 = -1 y = - 16

Page 31: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

30

Representación gráfica: y

x

-1 0 -3 -7

-7

-16

Ejercicios:

a) Representar y = x2 – 6x + 9 b) Representar y = x2 +3x + 2

c) Representar y = x2 – 4x + 3 d) Representar y = x2 + 5x + 4

e) Representar y = x2 +6x + 5 f) Representar y = x2 – 8x + 7

Page 32: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

31

Variación Ordinaria:

Las variaciones son agrupaciones ordenadas de objetos de un conjunto.

Fórmula: Vm,n = m . (m – 1) . (m – 2) . (m – 3) .......... (m – n + 1) donde n!

representa el producto de todos los enteros positivos de 1 a n, siendo 0! = 1 por

definición.

Ejemplo: Calcular V10,3 m = 10

n = 3

V 10,3 = 10 . (10-1). 10(10-2) V10,3 = 10 . 9 . 8

V10,3 = 720

Ejercicios:

a) Calcular V7,2 b) Calcular V8,5

c) Calcular V12,4 d) Calcular V11,4

e) Calcular V9,6 f) Calcular V8,2

Page 33: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

32

Ecuaciones de Variaciones:

Ejemplo: Resolver la ecuación 5Vx,2 = 30

5x(x – 1) = 30 5x2 – 5x = 30 5x2 - 5x – 30 = 0

Ecuación de 2do grado x = 5 52 – 4 . 5 . (-30)

2 . 5

x = 5 25 + 600 x = 5 + 625

10 10

x = 5 + 25 x = 30 x1= 3

10 10

x2 = 5 – 25 x2 = -20 x2 = - 2 no es solución

10 10

Ejercicios:

a) Resolver 4Vx , 3 = 25 b) Resolver 6Vx , 4 = 12

c) Resolver 8V x , 2 = 10 d) Resolver 10V x , 6 = 20

e) Resolver 3V x , 3 + 2V x , 2 = 8x f) Resolver 4Vx , 2 +3V x , 3-10Vx,1= 42x

Page 34: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

33

Permutaciones Ordinarias:

Una permutación es una variación, cuando m = n, o sea una permutación es una

biyección del conjunto α en el conjunto A.

Fórmula : Pm = Vm , n = m . (m – 1) . (m – 2)..........(m – m + 1)

Ejemplo: Resolver P3,3

m = 3 P3,3 = 3.(3-1).(3-2)

n = 3 P3,3 = 3.2.1

P3,3 = 6

Ejercicios:

a) Resolver P4,2 b) Resolver P6,2 c) Resolver P8,5

d) Resolver P12,4 e) Resolver P9,3 f) Resolver P24,6

Page 35: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

34

Combinación Ordinaria:

Dado un conjunto A = { a1 , a2 ......am } se denomina combinación ordinaria de”

n” elementos de A, con n ≤ m, a cualquier subconjunto de A con “n” elementos. Dos

combinaciones se consideran igual si y solo si, están formados por los mismos

elementos.

Fórmula: Cm,n = Vm,n

Pn

Ejemplo: Hallar C8,3

C8,3 = V8,3 = C8,3 = 8.(8-1).(8-2) = C8,3 = 8.7.6

P3 3.(3-1).(3-2) 3.2.1

C8,3 = 336 = C8,3 = 56

6

Ejemplo: Hallar Cx,3 = 2x

Cx,3 = x.(x-1).(x-2) = 2x = Cx,3 = x2 – 2x – x + 2 = 2

3.(3-1).(3-2) 6

Cx,3 = x2 – 3x + 2 = 12 = Cx,3 = x2 – 3x – 10 = 0

Page 36: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

35

a = 1 x = 3 ± 32 – 4 . 1 .(-10) = x = 3 ± 9 + 40

b = -3 2 . 1 2

c = -10

x1 = 3 + 7 = x1 = 10 = x1 = 5

2 2

x2 = 3 – 7 = x2 = -4 = x2 = -2

2 2

Ejercicios:

a) C3,2 b) C8,3 c) C12,5 d) C7,3

e) Cx+ 1,2 = 2x f) Cx,4 = 3x g) Cx+ 2,4 = 6 h) Cx-2,6 = 9

Número Combinatorio:

a) Dados dos números naturales m ( ≠ 0) y n, tales que m ≥ n ≥ 0, se denomina

número combinatorio de m base n y se denota por m

n

Estudiemos losNúmerosCombinatorios

Page 37: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

36

b) Son los números de la forma m , también se les llama coeficientes binómicos

n

“m” es el numerador o base “n” es el orden.

Propiedades de los Números Combinatorios:

a) Todo número combinatorio cuyo orden es el número cero es igual a la unidad.

m = 1 ; m = m ; m = 1

0 1 m

b) Se dice que dos números combinatorios son complementarios cuando tienen el

mismo numerador y los ordenes son tales, que sumados dan el numerador común.

m = m

n m – n

c) La suma de dos números combinatorios del mismo numerador y órdenes

consecutivos, es otro número combinatorio cuyo numerador es una unidad

mayor y el orden es igual al del sumando que lo tiene mayor.

m + m = m + 1

n n + 1 n + 1

m! + m! = m! + m!

n!(m-n)! (n + 1)! (m-(n + 1)! n!(m-n)! (n + 1)! (m-n-1)!

Page 38: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

37

Ejemplo: Resolver 20 = 20

3y+3 9y-7

(3y + 3) + (9y – 7) = 20

3y + 9y = 20 – 3 + 7 12y = 24

y = 24 = y = 2

12

Ejercicios:

a) Resolver 12 = 12 b) Resolver 7 = 7

x2 - 1 x2 + 5 4y + 2 2y – 1

c) Resolver 16 = 16 d) Resolver 20 = 20

5y – 1 2y + 3 -2y + 6 5y – 1

Page 39: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

38

Triángulo de Tártaglia:

1 1

0 1

2 2 2

0 1 2

3 3 3 3

0 1 2 3

4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5

Tartaglia, sobrenombrede Niccolò Fontana(c. 1500-1557),matemático italianonacido en Brescia, unode los descubridores dela solución de laecuación de tercergrado.

Page 40: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

39

Ejemplo: Construir un triángulo con los lados, con números iguales a la unidad.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Binomio de Newton:

(a + b) = n a0 b0 n an-1 b n an-2 b2 + ………………

0 1 2

De la formula se deduce lo siguiente:

a) Los coeficientes de los diferentes términos corresponden a los elementos de las

filas del triángulo de Pascal. Así, por ejemplo, los coeficientes de los términos de

(x + y)4 son los elementos de la cuarta fila del triángulo de Pascal.

b) El número de términos es una unidad mayor que el exponente del binomio.

c) Cuando nos movemos de un término al otro de izquierda a derecha, el exponente

de x disminuye en 1, mientras que el de y se incrementa en 1.

Page 41: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

40

Ejemplo: Desarrollar el siguiente binomio (x + 1)5:

(x + 1)5 = 5 x510 + 5 x4 11 + 5 x3 12 + 5 x2 13 + 5 x1 14+ 5 x0 15

0 1 2 3 4 5

= 5! x5 + 5! x4 + 5! x3 + 5! x2 + 5! x + 5! x0

0!(5-0)! 1!(5-1)! 2!(5-2)! 3!(5-3)! 4!(5-4)! 5!(5-5)!

Ejercicios:

a) (x – y)3 b) (3x + y)4 c) (1 – x2)5

d) (2 + 2y)4 e) (4x – 2y)5 f) (2 + 3x)3

Sistema de Coordenadas en el espacio:

Sea E el espacio ordinario y sea R3 = {(a, b, c) / a ,b c;ε R/} donde R es el

conjunto de los números reales.

: E R3 / p (a, b, c)

Donde se va a representar a R3, con tres rectas llamadas r, s, t, donde junto con la

función , lo llamaremos sistema de coordenadas en el espacio, y a las rectas se

Page 42: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

41

llamarán ejes de coordenadas. Si las tres rectas son perpendiculares entre sí,

diremos que constituyen un sistema rectangular de coordenadas.

Eje r = eje de las x

Eje s = eje de las y

Eje t = eje de la z

Z

(t)

(s) y

( r ) a

x

Page 43: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

42

Puntos en el Espacio:

Ejemplo: Dadas las rectas paralelas A1 y A2 . (A1 // A2) y las paralelas

horizontales B1 y B2 . (B1 // B2) secantes con las primeras. Donde a, b, c, d son

puntos de corte. Representarlo gráficamente.

A1 A2

a b B1

c d B2

ab = paralelo cd y ac paralelo bd

Page 44: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

43

Ejercicios:

1) Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a

y b son puntos de corte.

2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras,

donde a y b son puntos de corte.

3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c,

d, e, f son puntos de corte.

Vector Ligado:

Llamamos vector ligado ab al segmento de la recta de4 origen a y extremo

b.

segmento

a b

Page 45: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

44

Un vector ligado está determinado por:

a) Dirección ; b) Sentido ; c) Origen ; d) Módulo.

Cuando el módulo es igual a 1 se llama vector unitario y cuando es igual a cero,

vector nulo.

Componentes de un vector ligado:

El componente de un vector es el punto que tiene como abscisa la diferencia de

las abscisas y como ordenada las diferencias de las ordenadas de los puntos que

forman el extremo y el origen.

Ejemplo: Calcular a = ( –4,7) ; b = (3,8)

ab = ( a2 – a1 , b2 – b1 ) ab = ( 3 – (-4) , 8 – 7)

ab = ( 7 , 1 )

Ejercicios:

1) a = ( 4,-7) ; b = (-5,-7) 2) a = ( 5,8) ; b = (-6,9)

3) a = ( -4,-7) ; b = (-5,9) 4) a = ( 12,8) ; b = (-6,-9)

Page 46: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

45

Vector Libre:

Se define el vector ab al conjunto formado por todos los vectores equipolentes

ab forman la clase de dicho vector.

Vector Equipolente:

Son los que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo.

Geométricamente son iguales.

Vector Posición:

Llamamos vector posición ab al vector de origen a, ligado al mismo origen

Adición de Vectores:

Se define como la adición de a con b y se anota a + b el vector libre S de

componente igual a la suma de los componentes.

S = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ) ; S = a + b = x1 + x2 , y1 + y2

Page 47: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

46

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,9) ; c = (-4,6) ; d = (-4,8)

e = (-5,-7).

1) a + b 2) a + b + c 3) a + b + d

4) b + c + e 5) a + c + e 6) b + d + e

7) a + d + c 8) b + e 9) b + e + d

Sustracción de Vectores:

Se define la diferencia como la suma de a con el opuesto de b.

Se anota : a - b = a + (-b)

Page 48: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

47

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,9) ; b = (8,5) ; c = (-6,11) ; d = (6,4)

1) a - b 2) a – c 3) a – d 4) b – c

5) b – d 6) c - d 7) c – a 8) d – b

Producto de un vector por un número real:

Dado un vector a = (x , y) un número real K, llamamos producto del número real

por el vector a, a otro vector cuyas componentes del vector por el mismo número

real K . a = (K . x , K . y).

Ejemplo: Dado el vector a = (3,-1). Hallar 3 . a ; -2 . a

3 . a = {3 . 3 , 3 . (-1)} = (9,-3)

-2 . a = {-2 . 3 , -2 . (-1)} = (-6,2)

Page 49: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

48

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,8) ; c = ( 3/2 , 6/5 ) ;

d = (-4/2,-3). Hallar .

1) 3 . a 2) -5 . b 3) 3/6 . c 4) 8 . d

5) –4/5 . b 6) 2 . c 7) –4 . d 8) 7 . a

Combinación Lineal:

Un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b si existen

números reales p y q tales que: u = p . a + q . b

Un vector puede ser combinación lineal de más de dos vectores.

Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) y b = (-1,3). Hallar los componentes del

vector 3 . a + 2 . b

3 . a = (3 . 3, 3 . 2) = (9,6)

2 . b = ( 2 . (-1), 2 . 3 ) = (-2,6)

3 . a + 2 . b = {9+(-2),6+6} = U = (7,12)

Page 50: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

49

Ejercicios:

1) Dados a = (-4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a – 4 . b

2) Dados p = ( -4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q

3) Dados x = (5,4) ; y = (-5,2). Hallar: 3 . x + y

4) Dados a = (3,9) ; b = (-2,-8). Hallar: 6 . a – 4 . b

Vectores Colineales:

Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son

proporcionales es decir: uno es combinación lineal del otro.

Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y c = (-3,5)

expresar a como una combinación lineal de b y c.

Page 51: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

50

a = p . b + q . c (3,4) = p(-1,0) + q(-3,5)

(3,4) = (-p-3q,0 +5q) = 3 = -p - 3q despejamos q: 4 = 5q

4 = 0 + 5q q = 4/5

despejamos p: 3 = -p-3q--------- 3 = -p-3(4/5)

3 = -p –12 -------- p = -12 – 3 = p = -27

5 5 5

empleamos una combinación: a = - 27 b + 4 c

5 5

Ejercicios:

1) Expresar a = (3,5) como combinación lineal de b = (4,3) y c = (-2,1)

2) Expresar c = (-3,2) como combinación lineal de z = (2,1) y t = (3,5)

3) Expresar h = (-4,3) como combinación lineal de a = (2,3) y b = (-3,-1)

4) Expresar a = (3,7) como combinación lineal de b = (5,4) y c = (-3,5)

Page 52: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

51

Vectores Linealmente Dependientes:

Son vectores linealmente dependientes, ya que existe una relación directa entre

dos vectores dados inicialmente, con dos escalares no nulos ambos, por lo tanto, si

en algún caso existe un escalar no nulo, son linealmente dependientes.

Ejemplo: Demostrar que x + y – 3 z , x + 3 y – z , y + z son

dependientes.

Son dependientes si existen escalares 1 , 2 , 3 no todos nulos.

1 (x + y -3 z ) + 2 ( x + 3 y - z ) + 3 ( y + z )

1 x + 1 y - 31 z + 2 x + 32 y - 2 z + 3 y + 3 z = 0

Se asocian los vectores x , y , z , luego se eliminan los vectores x, y, z

1 + 2 = 0

1 + 32 + 3 = 0

-31 - 2 + 3 = 0

Se verifica si son dependientes sustituyendo por varios valores en las ecuaciones

dadas.

1 = - 2 3 = - 1 - 32 2 = 31 - 33

Page 53: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

52

Vectores Linealmente Independientes:

Son vectores linealmente independientes, ya que en un sistema de dos ecuaciones

y tres incógnitas, por ejemplo, es determinado, es decir, admite únicamente una

solución y formar una base de R3.

Ejercicios: Demostrar los vectores linealmente dependientes e independientes:

1) x + y +2 z , 4 x – 3 z , 2 x + 7 y

2) 2 x + 3 y – z , 3 y – 4 z , x + y - z

3) 4 x – 2 y + 3 z , 5 x + 4 y - z

4) x - y - z , 2 x + 3 y + 2 z , x + z

Dimensión y base de un espacio vectorial:

Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación

linealmente independiente, en caso contrario no forman una base de R3.

Page 54: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

53

Vectores Ortogonales:

Se dice que dos vectores no nulos x e y son ortogonales si x . y = 0.

Vectores Unitarios:

Un vector x se dice que es unitario si / x / = 1.

Producto escalar o interior de vectores:

Sean x = ( x1, x2, x3) e y = (y1, y2,y3) vectores de R3. Definimos como producto

escalar de dos vectores x e y , y lo denotamos por x . y al numero

x . y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .

Distancia entre dos puntos en R3:

Sean p y q dos puntos de R3 si p, tiene coordenadas (x1, y1, z1) y q tiene

coordenadas (x2, y2, z2 ) entonces pq = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) y se define la

distancia entre p y q por:

d(p, q) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2 + (z2 – z1)2

Page 55: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

54

Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de:

y

2 P1(3,2)

1

P3(3,0) x

0 1 2 3

-1 P2(1,-1)

d(P1,P2) = (1-3)2 + (-1-2)2 = (-2)2 + (-3)2 = 13

d(P2,P3) = (3-1)2 + (0+1)2 = 22+ 12 = 5

d(P3,P1) = (3-3)2 + (2-0)2 = 02+ 22 = 2

Page 56: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

55

Ejercicios:

1) P1(2,4) P2(2,5) P3(2,5) 2) P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)

3) P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6) 4) P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)

5) P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7) 6) P1(5,6) P2(3,5) P3(-1,4)

Ecuación de la recta en el espacio:

Se llama recta que pasa por el punto P0(x0 , y0, z0) y de dirección

a = (a1, a2, a3) y se denota por L a (P0) al conjunto.

L a (P0) = { P R3 / OP = OP + a , con R }

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas 3x – 2y = 0 y 4x + 3y + 17 = 0 y por el punto (3,4)

3x – 2y = 0 3 3x – 2y = 0 9x – 6y = 0

4x + 3y = -17 2 4x + 3y = -17 8x + 6y = -34

17x = -34

Page 57: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

56

x = -34/17

x = -2

3x – 2y = 0 3(-2) – 2y = 0 -6 – 2y = 0

y = 6/-3 y = -3

Cálculo de la ecuación: y – y1 = y2 – y1 (x – x1)

x – x1

x1 = -2

x2 = - 3 y – (-3) = 4 – (-3) (x – (-2))

y1 = -3 3 – (-2)

y2 = 4 y + 3 = 4 + 3 (x + 2) y + 3 = 7 (x + 2)

3 + 2 5

5y + 15 = 7x +14

5y – 7x = 14 – 15

5y – 7x – 1 = 0

Page 58: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

57

Ejercicios:

a) 2x + y = 4 b) 2x + y = 4

3x + 2y = 1 3x + 2y = -1

c) 2x + 4y = 2 d) 3x – y = 5

x + 2y = 4 2x + y = 10

2) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y pasa por la

intersección de las rectas 2x + y + 2 = 0 y x + 3y + 11 = 0.

2x + y = -2 2x + y = -2

-2 x + 3y = -11 -2x – 6y = 22

-5y = 20

y = 20 = y = -4

-5

2x + y = -2 2x + (-4) = -2 x = -2 + 4

2

x = 2 x = 1 punto: (1 , -4)

2

Page 59: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

58

m = 3 y – y1 = m(x – x1) y – (-4) = 3(x – 1)

x1 = 1 y + 4 = 3x - 3

x2 = - 4 3x – y – 7 = 0

Ecuación del plano en el espacio:

El plano que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0) y tiene vector normal n = (a, b, c)

Se denota por π n (P0) y es el conjunto π n (P0) = { P ε R3 : P0P . n = 0 }

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – zo) = 0

ecuación general: ax + by + cz = d

d = ax0 + by0 + cz0

Ejemplo: Reducir la ecuación 3x + 4y – 6 = 0 a forma normal.

Ax + Bx + C

± A2 + B2 ± A2 + B2 ± A2 + B2

32 + 42 = 25 = 5

entonces: 3x + 4y - 6 = 0

5 5 5

Page 60: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

59

Ejemplo: Hallar la distancia desde el origen a la recta 3x – 4y + 6 = 0

p = - C p = - 6

± A2 + B2 32 + 42

p = - 6 p = 6/5

25

Adición y Producto de Matrices:

Llamamos matriz rectangular, a un cuadro de números puestos en filas y

columnas.

Menor de un Matriz:

Son las matrices cuadradas que podemos formar con los elementos de la matriz

rectangular desde el orden 1 hasta el máximo orden que permita la matriz.

Las determinantes formadas por un menor más otra fila y otra columna se llaman

determinantes “orlados”.

Característica de una Matriz o Rango:

Es el número que representa el orden máximo del menor no nulo.

Page 61: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

60

Cálculo:

1) Se eliminan todas las líneas que sean combinación lineal de otras.

2) Se toma la 1ra fila como referencia y se estudia la segunda formada

determinantes de segundo orden. Si aparece uno de ellos diferentes de cero se

pasa a estudiar la 3ra fila, pero si todos los determinantes que se puedan

formar con los elementos de la segunda fila son nulos, esta segunda fila es

combinación lineal y se tacha.

3) Se desarrollan determinantes de 3er orden “orlando” el 2do no nulo. Si alguno

de los de 3er orden resulta diferente de cero se pasa a estudiar la 4ta fila, pero

si todos los de 3er orden son nulos, esta fila es combinación lineal y se tacha.

4) La característica será el número que representa el orden máximo del menor

no nulo.

Matriz Fila: es una matriz de orden 1 x n . O sea de la forma M = (a11,a12...an)

Matriz Columna: es una matriz de orden m x 1 . O sea de la forma:

a11

M = a12

an

Page 62: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

61

Matriz Cuadrada: son las que tienen el mismo número de filas y columnas. Son

del orden m x n / m = n,0.

Matriz Diagonal: es una matriz cuadrada, donde aij = 0 para i ≠ j.

1 0 0

M = 0 4 0 matriz diagonal de orden 3.

0 0 -2

Matriz Identidad: es una matriz cuadrada tal que aij = 1 si i = j ; aij = 0

Para i ≠ j.

1 0 0 ....0

0 1 0.....0

I = 0 0 1..... 0

0 0 0 1

Adición de Matrices:

Sean las matrices M, N ε Mmxn tales que:

a1 a2 .....an1 b1 b2…..bn1

M = a2 a4.....an2 N = b2 b4…..bn2

am1 am2 amn bm1 bm2 bmn

Page 63: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

62

Se define la suma de cada uno de los números de ambas matrices, respetando

estrictamente el orden de colocación, fila y columna de ambas matrices.

a1 + b1 a2 + b2 ......an1 + bn1

M + N = a2 + b2 a4 + b4.......an2 + bn2

am1 + bm1 am2+bm2 amn + bmn

Ejemplo: Hallar la suma de las matrices.

2 2 2 2 1 2

M = 3 2 1 N = 1 3 2

4 1 3 1 1 2

2+2 2+1 2+2 4 3 4

M + N = 3+1 2+3 1+2 M + N = 4 5 3

4+1 1+1 3+2 5 2 5

Page 64: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

63

Ejercicios: Dadas las siguientes matrices:

3 5 -2 -3 6 5 -3 5 7

A = 2 4 0 B = 0 2 9 C = -2 -2 9

2 7 -1 1 3 9 6 3 0

-4 3 8 0 7 4 -8 5 3

D = 7 5 1 E = -1 3 -5 F = 9 0 6

5 4 0 9 0 1 1 2 3

Hallar:

1) A + B 2) A + C 3) A + D 4) A + E

5) A + F 6) B + C 7) B + E 8) B + F

9) C + D 10) C + E 11) C + F 12) D + F

Page 65: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

64

Regla de Sarrus:

Regla: se escriben ordenadamente la primera y segunda fila o columna al lado del

determinante dado.

El resultado es igual a la suma algebraica del producto de los elementos de las

diagonales principales menos la suma algebraica del producto de las diagonales

secundarias.

Ejemplo: Calcular el valor de la determinante.

3 5 1

2 6 2

1 3 2

3 5 1 3 5

2 6 2 2 6 = 3 . 6 . 2 + 5 . 2 . 1 + 1 . 2 . 3 – { 1 . 6 . 1 + 2 . 3 . 3 +

1 3 2 1 3 5 . 2 . 2}

= 36 + 10 + 6 – (6 + 18 +20) = 52 – 44 = 8

Page 66: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

65

Ejercicios. Calcular el valor de las siguientes determinantes:

1) 2 4 -3 2) -1 2 8 3) -4 5 8

2 1 0 9 4 2 0 3 -3

4 9 1 7 1 4 4 2 1

4) -1 2 7 5) 4 9 0 6) -2 -6 7

2 4 7 2 0 1 9 4 7

6 8 2 2 1 6 6 8 2

Característica de una Matriz:

1 1 -1 2 referencia primera fila: (1 1 -1 2) 1er orden

2 3 1 -1 estudiamos 2da fila. 1 1 = 3 – 2 = 1 ≠ 0

3 1 0 3 2 3

2do orden diferente de cero, pasamos a la 3ra fila.

Page 67: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

66

1 1 -1 se aplica Sarrus: 1 1 -1 1 1

2 3 1 2 3 1 2 3 =

3 1 0 3 1 0 3 1

(1 . 3 . 0 + 1 . 1 . 3 – 1 . 2 . 1) – (-1 . 3 . 3 + 1 . 1 .1 + 1 . 2 .0)=

0 + 3 – 2 – (- 9 + 1 + 0) = 1 + 9 – 1 + 0 = 9 ≠ 0

Como no se puede formar de 4to orden la característica es 3.

Ejercicios: Hallar la características de las Matrices:

1) 6 0 3 2) 5 -1 8 3) 0 6 3

-3 1 2 8 2 4 -5 2 6

2 5 7 -5 8 2 0 7 1

4) 1 2 7 5) 7 1 -5 6) 9 1 0

2 -4 5 0 2 7 2 5 1

2 6 -1 9 -2 2 0 6 1

Page 68: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

67

Teorema Rouche-Frobenius:

La condición necesaria y suficiente para que un sistema formado por “n”

ecuaciones lineales (de primer grado) con “m” incógnitas sea compatible es que la

matriz formada por los coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada con los

términos independientes tengan la misma característica.

.- Cuando las características de las matrices son iguales el sistema es compatible.

.- Si las características son iguales y coinciden con el número de incógnitas es

determinado.

.- Si las características son iguales pero menores que el número de incógnitas es

indeterminado.

.- Si las características ampliada es mayor que la de los coeficientes es incompatible.

Teorema de Cramer:

Un determinante es igual a la suma algebraica de los productos de cada uno de

los elementos de una de sus líneas por sus adjuntos respectivos. El adjunto de un

elemento es el menor complementario de dicho elemento afectado del signo más o

menos según la suma de los números que indican la fila y la columna sean par o

impar.

Page 69: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

68

Ejemplo: Desarrollar el siguiente determinante por los adjuntos de la primera

columna.

3 1 3 1 2 -1 2 1 3 1

-1 2 -1 2 (3) -1 2 3 + (- 1) - -1 2 3

2 -1 2 3 4 5 2 4 5 2

3 4 5 2 1 3 1 1 3 1

+ (2) 2 -1 2 + (3) - 2 -1 2 =

4 5 2 -1 2 3

3{-3 + 4 –6 – (1 + 18 + 4)} = 3(-62) + (18) + 2(14) – 3(-28) =

-186 +18 + 28 + 84 = - 56

1) 4 2 4 1 2) 1 2 6 0 3) 2 4 8 0

-1 2 6 7 0 -4 6 4 -3 7 1 5

3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1

1 6 -2 8 1 6 -2 8 1 6 -2 8

4) 2 -1 6 7 5) 0 5 1 9 6) -3 9 0 5

0 3 1 4 0 3 1 4 0 3 1 4

1 3 5 3 8 1 2 8 1 9 0 1

-7 2 7 1 -7 2 7 1 -7 2 7 1

Page 70: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

69

Lugar Geométrico: Sea f(x , y) una función de dos variables definida en un sistema

de coordenadas XY. Se ha de comprobar que al resolver la ecuación f(x, y) = 0 se

obtiene un conjunto de puntos del plano que definen una curva en el mismo.

El conjunto de los puntos del plano que satisfacen la ecuación f(x, y) = 0, recibe

el nombre de lugar geométrico y a la ecuación f(x, y) = 0 se le denomina ecuación

del lugar geométrico.

Secciones Cónicas: Se llama sección cónica al conjunto de puntos que forman la

intersección de un plano como un cono de revolución de dos mantos.

L

α

Page 71: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

70

a.- Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección es un punto o una

circunferencia según el plano pase o no pase por el vértice del cono.

L

Circunferencia

b.- Si el plano no es perpendicular al eje, pero corta a todas las generatrices, la

intersección es una elipse. L

Elipse

Page 72: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

71

c.- Si el plano es paralelo a una generatriz y corta a todas las demás generatrices, la

intersección es una parábola.

L

Parábola

d.- Si el plano corta a los dos mantos del cono y no pasa por el vértice, la

intersección es una hipérbola. L

Hipérbola

Page 73: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

72

La Circunferencia: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del

plano que están a una distancia “r” de otro punto dado C . r es el radio de la

circunferencia y el punto C es el centro de la misma.

y

P(x , y)

r

C(h ,k)

X

dcp = (x – h)2 + (y – k)2 Esta distancia es igual a r:

r = (x – h)2 + (y – k)2 Elevando al cuadrado obtenemos:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Page 74: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

73

Ejercicios: Dibuja la gráfica de la ecuación.

a.- (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9

y

r = 3

2 * (3,2)

1

3 x

Las coordenadas del centro son (3,2) y el radio es r = 9 = 3

Page 75: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

74

b.- x2 + (y + 1)2 – 7 = 0 y

r = 7

(0,-1) x

Page 76: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

75

La Elipse

La Elipse, en geometría, se define como una curva cerrada formada por un

plano que corta a todos y cada uno de los elementos de un cono circular; es una de

las cónicas. Una circunferencia, formada cuando el plano es perpendicular al eje

del cono, es un caso particular de elipse.

Una elipse se puede también definir como el lugar geométrico de todos los

puntos P, para los que la suma de sus distancias d1 y d2 a dos puntos fijos es

constante.

Los dos puntos fijos que definen la elipse se conocen como focos y aparecen

como F y F’ en la figura 1. Esta propiedad de la elipse se puede utilizar para

dibujarla. Si se colocan dos alfileres en la superficie del dibujo en la posición de

los dos focos, y se ata un hilo a ambos, la punta que mantenga al hilo tenso dibuja

la elipse al moverla.

La elipse es simétrica con respecto a su eje mayor, la línea recta que pasa por

los dos focos y que corta a la curva en los extremos. La elipse es también simétrica

con respecto al eje menor, la recta perpendicular al eje mayor que equidista de los

focos. En la circunferencia, los dos focos son un mismo punto, y los ejes mayor y

menor son iguales.

Page 77: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

76

La excentricidad de una elipse, esto es, la relación entre la distancia focal —la

distancia entre los focos— y la longitud del eje mayor, es siempre menor que 1. La

excentricidad de la circunferencia es 0.

La elipse es una de las curvas más importantes de la física. En astronomía, las

órbitas de la Tierra y de los otros planetas alrededor del Sol son elípticas. Se

utiliza bastante en ingeniería, como en el arco de ciertos puentes y en el diseño de

engranajes para determinadas máquinas, como las perforadoras.

a.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 , determina sus vértices, sus focos, la 9 4longitud de sus ejes y la excentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.

A2 = 9 a = ± 3 b2 = 4 b = ± 2

Los vértices son A(3,0) ; A’ (-3,0) ; B(0,b) y B’(0,-b)

a2 – c2 = b2 donde c2 = a2 – b2 o sea c2 = 9 – 4 c = ± 5

los focos son F( 5 , 0) y F´ ( - 5 , 0)

La excentricidad es e = c = 5a 3

Page 78: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

77

y

B(0,2)

A(-3,0) F’ F A(3,0) x

B(0,-2)

Page 79: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

78

b.- La ecuación de una elipse es: 9y2 + 25x2 = 225

y2 + x2 = 1 A(0,5) A´ (0,-5) B(3,0) B´(-3,0)9 25

y

A(0,5)

B´(-3,0) B(3,0) x

A´(0,-5)

Page 80: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

79

La Hipérbola :

La Hipérbola, es una curva plana, una de las cónicas, formada por un plano

que corta las dos hojas de un cono circular recto pero que no pasa por el vértice

del cono. La hipérbola está formada por dos ramas en forma de U que no se

cortan; ambas tienen idéntica forma, con las aberturas en sentidos opuestos. Los

dos lados de cada rama se separan al alejarse.

La hipérbola se define también como el lugar geométrico de todos los puntos

para los que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es

constante. Cada rama contiene uno de los focos en su interior; la línea recta que

une los focos corta a cada una de las ramas en un punto denominado vértice. La

recta que pasa por los dos vértices y los focos se denomina eje mayor. La recta

perpendicular al eje mayor y equidistante de los vértices es el eje menor. Los ejes

se cortan en el centro de la hipérbola. La hipérbola es simétrica con respecto a

ambos ejes y al centro.

Page 81: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

80

La hipérbola tiene dos asíntotas que pasan por su centro; una asíntota a una curva

es una línea recta con la propiedad de que la distancia entre ella y la curva tiende

hacia cero cuando la curva se aleja hacia infinito. Una hipérbola es rectangular o

equilátera si las asíntotas son perpendiculares entre sí.

La hipérbola tiene varias propiedades útiles e importantes. En especial, el ángulo

formado en un punto de la hipérbola por las rectas que unen el punto con los focos

es bisecado por la tangente a la hipérbola en dicho punto. En astronomía, algunas

órbitas tienen forma hiperbólica. Por ejemplo, ciertos cometas con suficiente masa

y velocidad para no ser atrapados por el campo gravitatorio solar, se mueven en

órbitas hiperbólicas. Un moderno aparato de ayuda a la navegación llamado loran

utiliza también hipérbolas.

Determina la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ± 2 y sus vértices son

V(0,4) y V´(0,-4). La ecuación de la hipérbola es de la forma:

y2 – x2 = 1 b = a b = 4/2 b = 2 a2 b2 2

y2 – x2 = 1 donde: c2 = 16+4 = 20 c = ± 20 c = ± 2 516 4

Page 82: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

81

Focos: F(0, 2 5 ) F´(0, -2 5)

y

Y = 2x

V

a = 4

b = 2 x

y = -2x

Page 83: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

82

La Parábola:

La Parábola , es una curva plana, una de las cónicas, formada por la

intersección de un cono con un plano paralelo a una recta de la superficie de éste.

Cada uno de los puntos de la curva equidista de un punto fijo, llamado foco, y de

una recta, conocida como directriz. La parábola es simétrica con respecto a la

recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. La ecuación

matemática de una parábola simétrica con respecto al eje de abscisas y con su

vértice en el origen de coordenadas cartesianas es y2 = 2 px, en donde p es la

distancia del foco a la directriz.

La parábola es la curva que describe la trayectoria de un proyectil, como una bala

o pelota, en ausencia de fricción con el aire. Debido a la fricción, la curva descrita

por un proyectil sólo se aproxima a una verdadera parábola. Los espejos

parabólicos son reflectores que tienen la forma de una parábola rotada alrededor

de su eje de simetría. Los espejos parabólicos reflejan los rayos luminosos de una

fuente de luz situada en el foco como rayos paralelos entre sí. Estos reflectores se

usan en los faros de los coches y en cualquier otro tipo de proyectores. Los espejos

parabólicos también concentran rayos paralelos de luz en el foco sin producir

aberración esférica. Este tipo de reflector es por tanto de gran utilidad en

telescopios astronómicos. Se utilizan también como antenas en radioastronomía,

radar y televisión por satélite.

Page 84: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

83

Ejercicio: Determina la ecuación de la parábola que cumple con las condiciones

dadas.

a) Vértice en el origen y foco en F(3,0)

b) Vértice en el origen y directriz y – 1 = 0

a) y2 = 4 . 3x y2 = 12x la ecuación de la directriz es y = -3

x 1 2 3

y ± 2 √ 3 ± 2 √6 ± 6

Page 85: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

84

y

8

7

6 y2 = 12x

5

4

3

2

1

F(3,0)

y =3

Page 86: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

85

b.- Calculo de la directriz: y = 1

p = - 1 F(0,-1) x2 = 4py x2 = -4y

y -1 -2 -3 -4

x ±2 ± 2 √ 2 ± 2 √ 3 ± 4

y y = 1

x

-1 F(0,-1)

-2

-3

x2 = -4y

Page 87: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

86

Estadística: rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y

analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de

experimentos y la toma de decisiones.

Historia :

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de

estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en

pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de

personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban

ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción

agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios

analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir

las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas

incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos

de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas

tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al

año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba

hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de

datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control.

Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en

Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer

estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762

respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey

Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este

censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de

nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en

1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado

Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de

defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad

Page 88: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

87

de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés

Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX,

con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de

las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de

reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las

descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para

describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales,

psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y

analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en

reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa

información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance

de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden

aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones

probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos

estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias

estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un

determinado estudio estadístico.

Métodos estadísticos :

La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos

al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial

cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.

El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información

y cuánta se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en

obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera

que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las

moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los

objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por

ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral.

Page 89: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

88

El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias del

total de la población no es tarea fácil.

Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar

con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo,

en los primeros estudios sobre crecimiento de la población los cambios en el

número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de

nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en

estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del

número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por

tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el

número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se

dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban

resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que

limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles

nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado

que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante

que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos

vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando

este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin

descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es

útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo

del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la

tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada

1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en

el futuro.

Tabulación y presentación de los datos :

Los datos recogidos deben ser organizados, tabulados y presentados para que

su análisis e interpretación sean rápidos y útiles. Por ejemplo, para estudiar e

Page 90: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

89

interpretar la distribución de las notas o calificaciones de un examen en una clase

con 30 alumnos, primero se ordenan las notas en orden creciente: 3,0; 3,5; 4,3;

5,2; 6,1; 6,5; 6,5; 6,5; 6,8; 7,0; 7,2; 7,2; 7,3; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,8; 8,0; 8,3;

8,5; 8,8; 8,8; 9,0; 9,1; 9,6; 9,7; 10 y 10. Esta secuencia muestra, a primera vista,

que la máxima nota es un 10, y la mínima es un 3; el rango, diferencia entre la

máxima y la mínima es 7.

En un diagrama de frecuencia acumulada, como el de la figura 1, las notas

aparecen en el eje horizontal y el número de alumnos en el eje vertical izquierdo,

con el correspondiente porcentaje a la derecha. Cada punto representa el número

total de estudiantes que han obtenido una calificación menor o igual que el valor

dado. Por ejemplo, el punto A corresponde a 7,2, y según el eje vertical, hay 12

alumnos, o un 40%, con calificaciones menores o iguales que 7,2.

Para analizar las calificaciones obtenidas por 10 clases de 30 alumnos cada

una en cuatro exámenes distintos (un total de 1.200 calificaciones), hay que tener

en cuenta que la cantidad de datos es demasiado grande para representarlos como

en la figura 1. El estadístico tiene que separar los datos en grupos elegidos

previamente denominados intervalos. Por ejemplo, se pueden utilizar 10 intervalos

Page 91: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

90

para tabular las 1.200 calificaciones, que se muestran en la columna (a) de la tabla

de distribución de datos adjunta; el número de calificaciones por cada intervalo,

llamado frecuencia del intervalo, se muestra en la columna (c). Los números que

definen el rango de un intervalo se denominan límites. Es conveniente elegir los

límites de manera que los rangos de todos los intervalos sean iguales y que los

puntos medios sean números sencillos. Una calificación de 8,7 se cuenta en el

intervalo entre 8 y 9; una calificación igual a un límite de intervalo, como 9, se

puede asignar a cualquiera de los dos intervalos, aunque se debe hacer de la

misma manera a lo largo de toda la muestra. La frecuencia relativa, columna (d),

es la proporción entre la frecuencia de un intervalo y el número total de datos. La

frecuencia acumulada, columna (e), es el número de estudiantes con calificaciones

iguales o menores que el rango de cada intervalo sucesivo. Así, el número de

estudiantes con calificaciones menores o iguales a 3 se calcula sumando las

frecuencias de la columna (c) de los tres primeros intervalos, dando 53. La

frecuencia acumulada relativa, columna (f), es el cociente entre la frecuencia

acumulada y el número total de notas.

Los datos de una tabla de distribución de frecuencias se pueden representar

gráficamente utilizando un histograma o diagrama de barras (como en la figura 2),

o como un polígono de frecuencias acumuladas (como en la figura 3). El

Page 92: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

91

histograma es una serie de rectángulos con bases iguales al rango de los intervalos

y con área proporcional a sus frecuencias. El polígono de la figura 3 se obtiene

conectando los puntos medios de cada intervalo de un histograma de frecuencias

acumuladas con segmentos rectilíneos.

En los periódicos y otros medios de comunicación los datos se representan

gráficamente utilizando símbolos de diferente longitud o tamaño que representan

las distintas frecuencias.

Valores de la tendencia central :

Una vez que los datos han sido reunidos y tabulados, comienza el análisis con el

objeto de calcular un número único, que represente o resuma todos los datos. Dado

que por lo general la frecuencia de los intervalos centrales es mayor que el resto,

este número se suele denominar valor o medida de la tendencia central.

Sean x1, x2, …, xn los datos de un estudio estadístico. El valor utilizado más a

menudo es la media aritmética o promedio aritmético que se escribe x, y que es

igual a la suma de todos los valores dividida por n:

Page 93: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

92

El símbolo S, o sumatorio, denota la suma de todos los datos. Si las x se

agrupan en k intervalos, con puntos medios m1, m2, …, mk y frecuencias f1, f2, …,

fk, la media aritmética viene dada por

donde i = 1, 2, …, k.

La mediana y la moda son otros dos valores de la tendencia central. Si las x se

ordenan según sus valores numéricos, si n es impar la mediana es la x que ocupa la

posición central y si n es par la mediana es la media o promedio de las dos x

centrales. La moda es la x que aparece con mayor frecuencia. Si dos o más x

aparecen con igual máxima frecuencia, se dice que el conjunto de las x no tiene

moda, o es bimodal, siendo la moda las dos x que aparecen con más frecuencia, o

es trimodal, con modas las tres x más frecuentes.

Medidas de la dispersión:

Normalmente la estadística también se ocupa de la dispersión de la distribución,

es decir, si los datos aparecen sobre todo alrededor de la media o si están

distribuidos por todo el rango. Una medida de la dispersión es la diferencia entre

dos percentiles, por lo general entre el 25 y el 75. El percentil p es un número tal

que un p por ciento de los datos son menores o iguales que p. En particular, los

percentiles 25 y 75 se denominan cuartiles inferior y superior respectivamente. La

desviación típica es otra medida de la dispersión, pero más útil que los percentiles,

pues está definida en términos aritméticos como se explica a continuación. La

desviación de un elemento del conjunto es su diferencia con respecto a la media;

por ejemplo, en la sucesión x1, x2, …, xn la desviación de x1 es x1 - x, y el

cuadrado de la desviación es (x1 - x)2. La varianza es la media del cuadrado de las

desviaciones. Por último, la desviación típica, representada por la letra griega

sigma (s), es la raíz cuadrada de la varianza, y se calcula de la siguiente manera:

Page 94: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

93

Si la desviación típica es pequeña, los datos están agrupados cerca de la media;

si es grande, están muy dispersos.

Correlación :

Cuando dos fenómenos sociales, físicos o biológicos crecen o decrecen de forma

simultánea y proporcional debido a factores externos, se dice que los dos

fenómenos están positivamente correlados. Si uno crece en la misma proporción

que el otro decrece, los dos fenómenos están negativamente correlados. El grado

de correlación se calcula aplicando un coeficiente de correlación a los datos de

ambos fenómenos. El coeficiente de correlación más utilizado es

donde x es la desviación de una variable con respecto a su media, e y es la

desviación de la otra variable con su media; N es el número total de casos en las

series. Una correlación positiva perfecta tiene un coeficiente +1, y para una

correlación negativa perfecta es -1. La ausencia de correlación da como

coeficiente 0. Por ejemplo, el coeficiente 0,89 indica una correlación positiva

grande, -0,76 es una correlación negativa grande y 0,13 es una correlación

positiva pequeña.

Modelos matemáticos :

Un modelo matemático es una representación ideal (en la forma de un sistema,

proposición, fórmula o ecuación) de un fenómeno físico, biológico o social. Así, un

dado teórico perfectamente equilibrado, que se puede lanzar de forma aleatoria, es

un modelo matemático de un dado real. La probabilidad de que en n lanzamientos

de un dado matemático se obtenga k veces un 6 es

Page 95: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

94

donde (‚) es la representación de un número combinatorio

El estadístico que utiliza un dado real debe diseñar un experimento, como

lanzar el dado un gran número de veces, para determinar, a partir de los

resultados obtenidos, la posibilidad de que el dado esté perfectamente equilibrado

y de que el lanzamiento sea aleatorio.

Muchos conjuntos de medidas experimentales presentan el mismo tipo de

distribución de frecuencias que se pueden representar con un modelo matemático

único. Por ejemplo, el número de veces que sale un 6 al lanzar un dado n veces, el

peso de N garbanzos tomados al azar de una bolsa o las presiones atmosféricas

medidas por distintos estudiantes sucesivamente en el mismo barómetro. En todos

los casos los valores presentan patrones de frecuencia muy similares. Los

estadísticos adoptan un modelo que es un prototipo o idealización matemática de

todos esos patrones o distribuciones. Una forma de modelo matemático puede ser

una ecuación de la distribución de frecuencias, en la que el número de medidas o

valores se considera infinito:

donde e es la base de los logaritmos neperianos, e y representa la frecuencia del

valor x. La gráfica de esta fórmula (figura 4) es una curva en forma de campana

llamada curva de probabilidad normal o gaussiana:

Page 96: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

95

Distribución de Frecuencias Simples:

Cuando se dispone de gran número de datos, es útil el distribuirlos en clases o

categorías y determinar el número de individuos pertenecientes a cada clase, que es

la frecuencia de clase. Una ordenación tabular de los datos en clases, reunidas la

clases y con las frecuencias correspondientes a cada una, se conoce como una

distribución de frecuencias o tabla de frecuencias.

Pesos Frecuencias X f

46 1

47 4

48 5

49 3

50 2

51 3

52 2

∑ n = 20

Page 97: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

96

Frecuencias Acumuladas:

Pesos Frecuencias Frecuencias AcumuladasX f fa

46 1 1

47 4 5

48 5 10

49 3 13

50 2 15

51 3 18

52 2 20

∑ n = 20

Frecuencia Relativa:

fr = f fr = frecuencia relativa

n f = frecuencia

n = total de datos de la muestra.

Ejemplo: la proporción de alumnos con 50 kg de peso es: fr = 3 = 0,15 20

frecuencia Porcentual:

fp = 2 . 100 = 0,1 . 100 = 10% 20

Page 98: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

97

Pesos Frecuencias X f fa fr fp

46 1 1 0,05 5

47 4 5 0,20 20

48 5 10 0,25 25

49 3 13 0,15 15

50 2 15 0,10 10

51 3 18 0,15 15

52 2 20 0,10 10

∑ n = 20 1 100%

Distribución de Frecuencias para datos agrupados en intervalos:

Regla:

1.- Determinar el mayor y el menor entre los datos registrados y así encintrar el

rango (diferencia entre el mayor y el menor de los datos).

2.- Dividir el rango en un número conveniente de intervalos de clase del mismo

tamaño. Los intervalos de clase se eligen también de forma que las marcas de clase

o puntos medios coincidan con datos realmente observados. Esto tiende a aminorar

el llamado error de agrupamiento, en los análisis matemáticos posteriores. Sin embargo,

los límites reales de clase no coincidirán con los datos observados.

3.- Determinar el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo de

clase, es decir, encontrar las frecuencias de clase.

Ejemplo:

5 8 11 12 14 17

6 9 1 13 15 17

6 10 11 13 15 18

7 10 12 14 16 18

8 10 12 14 16 19

Page 99: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

98

Rango: es la diferencia entre el valor máximo de la serie y el valor mínimo.,

R = VM – Vm

Entonces: R = 19 – 5 = 14 , nuestro rango es R = 14

Intervalos: se toma atendiendo la postura del investigador, en nuestro caso

tomaremos arbitrariamente m = 5.

Amplitud de Intervalos: C = R C = 14 = 2,8 M 5

Aproximamos para que sea un número entero: C = 3

Vm + (C-1) = 5 + (3-1) = 5+2 = 7 , entonces el primer intervalo es 5 – 7

Calificaciones

X

5 - 7

8 - 10

11 - 13

14 - 16

17- 19

Ahora la tabla nos quedará:

Calificaciones N° de Alumnos fa

X

5 - 7 4 4

8 - 10 6 10

11 - 13 8 18

14 - 16 7 25

17 - 19 5 30

∑ n = 30

Page 100: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

99

Marcas de Clase o Puntos Medios de los Intervalos:

Mc = Li + Ls 2

Mc = 5 + 7 = 6 Mc = 11 + 13 = 12 Mc = 17 + 19 = 182 2 2

Calificaciones N° de Alumnos fa Mc

X

5 - 7 4 4 6

8 - 10 6 10 9

11 - 13 8 18 12

14 - 16 7 25 15

18 - 19 5 30 18

∑ n = 30

Limites Reales o Verdaderos: vienen dados por la suma del límite superior de un

intervalo más el límite inferior del intervalo siguiente dividido por dos:

7 + 8 = 7,5 ; 10 + 11 = 10,5 ; 13 + 14 = 13,5 ; 16 + 17 = 16,5 2 2 2 2

Calificaciones N° de Alumnos fa Mc Limites Reales

X

5 - 7 4 4 6 4,5 - 7,5

8 - 10 6 10 9 7,5 - 10,5

11 - 13 8 18 12 10,5 - 13,5

14 - 16 7 25 15 13,5 - 16,5

17- 19 5 30 18 16,5 - 19,5

∑ n = 30

Page 101: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

100

Representación Gráfica de Datos:

Existen tres métodos comunes de representar gráficamente una distribución de

frecuencias: el histograma de frecuencias, el polígono de frecuencias y el polígono

de frecuencias acumuladas.

Histograma de Frecuencias:

Son una serie de rectángulos paralelos y pegados, cuya base representa un

intervalo y su altura la magnitud de la frecuencia respectiva.

Pasos para la elaboración de un histograma:

1.- se trazan dos ejes de coordenadas rectangulares: eje de las abscisas (eje X) y el

eje de las ordenadas (eje Y).

2.- Se colocan en el eje X los límites reales de los intervalos y en el eje Y las

magnitudes de cada frecuencia.

3.- Se levantan perpendiculares por los límites reales de cada intervalo, siendo la

altura de estas perpendiculares igual a la frecuencia del intervalo respectivo.

4.- Se unen las dos perpendiculares.

Histograma de frecuencias

0

2

4

6

8

10

5- 7

8- 10

11- 13

14- 16

17- 19

Calificaciones

N° A

lum

nos

N° de Alumnos

Page 102: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

101

Polígono de Frecuencias:

El polígono de frecuencias es un conjunto de puntos unidos mediante segmentos

de recta .

Pasos para la elaboración del polígono:

1.- Se trazan dos ejes de coordenadas rectangulares.

2.- Se colocan sobre el eje de las abscisas las marcas de clase y en el eje de las

ordenadas sus respectivas frecuencias.

3.- Para cada marca de clase corresponderá un valor de la frecuencia, señalado en

el sistema de coordenadas rectangulares por un punto.

4.- se unen los puntos mediante segmentos de recta.

5.- Cuando de elabora el polígono de frecuencias se deben dejar en blanco dos

marcas de clase, una por la izquierda y otra por la derecha, con frecuencia cero

para cerrar el polígono.

Polígono de Frecuencias

0

5

10

5 - 7 8 -10

11 -13

14 -16

17 -19

Calificaciones

Alu

mno

s

Page 103: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

102

Polígono de Frecuencias Acumuladas u Ojiva:

La ojiva indica las frecuencias acumuladas que corresponden a cada uno de los

intervalos.

Pasos para elaborar la ojiva:

1.- Se trazan dos ejes de coordenadas.

2.- Se colocan sobre las abscisas los límites reales de los intervalos y sobre las

ordenadas las frecuencias acumuladas.

3.- Se ubican los puntos en el plano cartesiano.

4.- Se unen los puntos, partiendo del límite real inferior del primer intervalo.

Ojiva

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15

Ca lifica cione s

Alu

mno

s

Page 104: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

103

Otros tipos de Graficas:

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Alum

nos

C a l i fi c a c io n e s

C o lu m n a s

Page 105: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

104

C i r c u l a r

0

2

4

6

8

1 - 3 4 - 6 7 - 9 1 0 -1 2

1 3 -1 5

C 1

C a l i f i c a c i o n e s

A l um n o

s

A r e a s

Page 106: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

105

A n illo s

13

5

7

8 1 - 3

4 - 6

7 - 9

10 - 12

13 - 15

1 -3

4 -6

7 -9

1 0 -1 2

1 3 -1 5

C 1

1

3

5

78

012345678

C a l i f i c a c i o n e s

A l u m n o s

C ilin d r o s

Page 107: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

106

1 -3

4 -6

7 -9

1 0 -1 2

1 3 -1 5

C 1

1

3

5

78

012345678

C a l i f i c a c i o n e s

A l u m n o s

P ir a m id a l

Page 108: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

107

GUIA DE EJERCICIOS:

Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades

eran las siguientes: 32, 28, 32, 28, 40, 32, 21, 30, 32 y 25 años. Elabore una

distribución de frecuencias simple.

Las edades de un grupo de niños son: 8, 3,5, 4, 6, 8, 3, 4, 7, 7, 5, 6, 3, 4 , 6 ,6,7

y 5 años. Elabore una distribución de frecuencia simple.

Se aplicó una prueba a 12 alumnos y las calificaciones fueron: 12, 10, 14, 17,

12, 9, 10, 16, 17,11, 13 y 15 puntos. Elabore una distribución de frecuencias

simple.

Las contribuciones, en Bs. de 30 alumnos para una campaña de limpieza en la

escuela, fueron las siguientes:

85 90 75 65 90 115 75 100 80 55

110 75 60 80 90 100 100 80 45 90

120 80 60 5 120 110 75 65 85 60

Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 6 intervalos

y luego grafica: histograma, polígono y la ojiva.

Page 109: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

108

Los resultados de una evaluación de geografía, aplicada a 30 alumnos fueron:

10 16 8 18 5 17 1 12 16 17

6 5 14 13 19 18 15 11 8 6

10 13 14 12 9 7 15 14 10 17

Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 5 intervalos y

luego grafica: histograma, polígono y ojiva.

El peso en kg de un grupo de 40 estudiantes resultó ser:

52 57 55 57 61 59 55 53

56 58 61 63 54 57 52 64

54 50 58 54 51 60 59 54

52 62 64 50 64 60 62 60

55 60 55 60 58 53 55 62

Elabore una distribución de frecuencias para datos agrupados en 5 intervalos y

luego grafique: barras, polígono y ojiva.

La matricula de una escuela durante el período 1997-1998-1999-2000-2001-

2002 fue:

Años 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Alumnos inscritos 250 340 400 450 580 700

Elabore una gráfica de líneas y una gráfica de barras

Page 110: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

109

Dada la siguiente tabla:

Sexo

Rendimiento Masculino Femenino

Excelente 20 10

Bueno 60 50

Regular 40 25

Deficiente 15 12

Elabore una gráfica de barras dobles.

Se realizó una encuesta a 7500 alumnos para conocer la preferencia hacia

ciertos sabores de un determinado refresco del mercado. Los resultados

fueron:

Sabor N° de Alumnos

Uva 1875

Manzana 1125

Pera 3000

Durazno 1500

Elabore una grafica circular o de sectores.

Page 111: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

110

Medidas de Tendencia Central:

Las medidas de tendencia central son los números alrededor de los cuales se

encuentra la mayoría de las observaciones de una serie.

La Media Aritmética:

Es el punto de balance de una distribución. Se le denomina simplemente media X .

Media Aritmética Simple:

Se calcula sumando todos los datos y dividiendo por el número de ellos. La media de

un conjunto de números: X1, X2, X3,..........Xn se obtiene mediante la ecuación:

X = X1 + X2 + X3..........+ X = ∑ Xn n

Ejemplo: Calcule la media de las siguientes calificaciones: 18, 16, 18, 16,20, 18, 14,

16, 18, 14

X = 18 + 16 + 18 + 20 + 18 + 14 + 16 + 18 + 14 = 168 = 16,8 10 10

Media Aritmética para una Distribución de Frecuencia Simple:

Cuando el número de datos de la muestra es elevado, el calculo de la media se

simplifica si agrupamos los datos en una distribución de frecuencias simple.

Pasos para calcularla:

1.- Se multiplica cada dato por su respectiva frecuencia.

2.- Se suman estos productos.

3.- Se divide la suma anterior por el numero total de datos de la muestra, es decir:

X = ∑ f . X n

Page 112: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

111

Ejemplo:

Los siguientes datos corresponden al numero de hijos de un grupo de personas:

2 0 2 4 4 6 6 4 6 7

4 4 7 4 2 0 4 6 7 7

Calcular la media de hijos del grupo, usando una distribución de frecuencias

simple:

N° de Hijos N° de Personas f . X

X f

0 2 0

2 3 6

4 7 28

6 4 24

7 4 28

∑ 20 86

X = ∑ f . X = 86 = 4,3n 20

Media Aritmética para datos agrupados en Intervalos:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, el cálculo de la media se hace de

la siguiente manera:

1.- Calculamos las marsas de clase correspondientes a cada intervalo.

2.- Multiplicamos cada marca de clase por su respectiva frecuencia.

3.- Sumamos los resultados obtenidos y lo dividimos por el número total de datos de

la muestra:

X = ∑ f . Mc n

Page 113: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

112

Ejemplo:

La siguiente distribución representa las calificaciones de 30 alumnos en una

evaluación:

Calificaciones N° de alumnos Mc f . Mc

X f

5 - 7 4 6 24

8 - 10 6 9 54

11 - 13 8 12 96

14 - 16 7 15 105

17 - 19 5 18 90

∑ n=30 369

La calificación promedio o media del grupo es:

X = ∑ f . Mc = 369 = 12,3 puntos n 30

Media Aritmética Ponderada:

Pasos para calcularla:

1.- Multiplicar cada valor por su respectiva ponderación.

2.- Sumar todos los productos y dividirlos por el número total de ponderaciones.

X = w1 . X1 + w2 . X2 +…….………. + wn . Xh = ∑ w . X W1 + w2 + w3 +…………….wk ∑ w

Page 114: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

113

Ejemplo:

La siguiente tabla representa las asignaturas cursadas por un alumno de

Administración de Recursos Humanos en un semestre:

Asignatura Calificación Unidad Crédito

Nómina 7 3

A .R .H 8 2

Registro y Control 5 3

Evaluación y Eficiencia 9 4

Calcular su rendimiento promedio en el semestre.

X = 7 .3 + 8 . 2 + 5 . 3 + 9 . 4 = 21 + 16 + 15 + 36 = 88 = 7,33 12 12 12

El promedio del alumno en el semestre es de 7,33 puntos en una escala del 1 al 9.

La Media Aritmética de Varias Medias:

Cuando tenemos varias medias correspondientes a dos o más muestras y se desea

hallar la media de todas las medias como si se tratara de un solo grupo, se puede

hacer usando la media ponderada.

Ejemplo:

Se aplicó un test a tres grupos de alumnos y los resultados fueron:

X1 = 60 ; X2=50 ; X3=40 ; n1=10 ; n2=60 ; n3=30

Calcular la media aritmética de los grupos combinados.

X = n1 . X1 + n2 . X2 + n3 . X3 = 10 . 60 + 60 . 50 + 30 . 40 =

n1 + n2 + n3 10 + 60 + 30

Page 115: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

114

X = 600 + 3000 + 1200 = 4800 = 48 puntos

100 100

La Mediana:

Se define como el valor de la variable que supera la mitad de los datos y a su vez

es superado por la otra mitad de los datos. Por esta razón se le considera como el

valor central, ya que estará situado en el centro de la distribución.

Mediana para Datos no Agrupados:

a.- Cuando el número de datos es impar: ordenando previamente los datos, la

mediana coincide con el término central. 12, 13, 14,15, 17, 18, 19

El término central es Md= 15 puntos.

b.- Cuando el número de datos en par: ordenando previamente los datos, la mediana

será la media aritmética de los términos centrales. 14, 15, 15, 16, 17, 18

La mediana es: Md = 15 + 16 = 15,5 puntos 2

Mediana para Datos Agrupados en Frecuencias Simples:

Pasos:

1.- Se calculan las frecuencias acumuladas.

2.- Se halla la mitad de los datos de la muestra, es decir. n/2.

3.- La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia acumulada sea n/2 o la

inmediata superior.

Page 116: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

115

Ejemplo:

La siguiente distribución representa las calificaciones de un grupo de alumnos:

Calificaciones Alumnos fa X f 13 1 1

14 4 5 15 8 13 16 10 23 17 6 29

18 2 31 19 3 34 20 2 36

∑ n=36

La mediana anterior se calcula:

1.- Calculamos n/2 = 36/2 = 18

2.- Ubicamos la mitad de los datos, es decir 18, en la referencia acumulada igual a

18 o en la inmediata superior, el valor de la variable correspondiente es 16; luego

Md=16 puntos.

El resultado indica que la mitad de los alumnos tiene calificaciones mayores que

16 puntos y la otra mitad menores que 16 puntos.

Page 117: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

116

Mediana para Datos Agrupados en Intervalos:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, la mediana se calcula a través

de los siguientes pasos:

1.- Se determina la posición de la mediana, es decir n/2.

2.- Se determina el intervalo medianal (intervalo que contiene a la mediana). Que es

aquel cuya frecuencia acumulada sea igual a n/2 o la inmediata superior.

3.- Se efectúa la diferencia entre el orden de la mediana y la frecuencia acumulada

anterior a la que contiene.

4.- Se calcula la mediana mediante la ecuación:

Md = Lri + n - fa (anterior) . C 2

f

Md = Mediana

Lri= Límite real inferior del intervalo medianal.

n/2 = Posición de la mediana.

f = frecuencia medianal.

C = Amplitud del intervalo medianal.

Lri = 10 + 11 = 10,5 2

Page 118: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

117

Ejemplo:

Calcular la mediana del siguiente grupo de calificaciones:

Calificaciones N° de Alumnos fa

X f

5 - 7 4 4

8 - 10 6 10

11 - 13 8 18

14 - 16 7 25

19 - 19 5 30

∑ n = 30

Solución:

Calculamos n/2 = 30/2 = 15

El intervalo que contiene a la mediana es aquel cuya frecuencia acumulada sea

igual a 15 o la inmediata superior, en nuestro caso la inmediata superior a 15, es

decir fa=18; luego la mediana está en el intervalo 11 – 13

De donde: Lri = 10,5 ; n/2 = 15 ; fa(anterior)= 10 ; f = 8 ; C = 3

Aplicando la ecuación: Md = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625) . 3 8

10,5 + 1,875 = 12,375

Este resultado significa que 15 alumnos tiene más de 12,375 puntos y los otros 15,

menos de 12,375 puntos.

Calculo de la Mediana en forma Gráfica:

Pasos:

1.- Se grafica un polígono de frecuencias acumuladas u ojiva.

2.- Se determina el orden de la mediana.

3.- Se localiza este punto en el eje vertical, el de las frecuencias acumuladas.

Page 119: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

118

4.- Por este punto se traza una paralela al eje de las abscisas hasta tocar la curva de

la ( fa).

5.- se traza una perpendicular al eje horizontal por el punto de corte con la curva.

6.- El corte de la perpendicular con el eje de las abscisas es la mediana.

Ojiva

(fa)

A 30

l 25

u 20

m 15

n 10

o 5

s 0

4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5

Calificaciones

Md = 12,375

La Moda:

Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia. La moda se simboliza :

Mo.

Moda para Datos Agrupados:

Ejemplo 1: La moda en la serie de calificaciones : 17, 15, 18, 17, 14, 19 es:

Mo = 17, ya que tiene mayor frecuencia (se repite dos veces).

Ejemplo 2: La moda en la serie de calificaciones: 14,17, 11, 10, 19, 12, 15 es:

Mo= no tiene, ya que ninguna calificación se repite.

Ejemplo 3: La moda de las siguientes calificaciones: 20, 15, 20, 15, 18, 17, 15, 20,

18 es: Mo= 20 y 15, ya que ambas presentan mayor frecuencia.

Page 120: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

119

Moda para datos Agrupados en Frecuencias Simples:

Pesos Frecuencias

X f

46 1

47 4

48 5

49 3

50 2

51 3

52 2

∑ n=20

La moda de esta distribución es Mo= 48 kg, ya que es el peso con mayor

frecuencia.

Moda para Datos Agrupados en Intervalos:

Cuando los datos están agrupados en intervalos, la moda es la marca de clase con

mayor frecuencia

Calificaciones N° de alumnos Mc

X f

5 - 7 4 6

8 - 10 6 9

11 - 13 8 12

14 - 16 7 15

17 - 19 5 18

∑ n=30

Es Mo= 12 puntos, ya que es la marca de clase con mayor frecuencia.

Page 121: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

120

Relación entre las Medidas de Tendencia Central:

Se cumple la relación empírica de Pearson:

Media – Moda = 3.(Media – Mediana).

Moda = 3 Mediana – 2 Media.

Esta relación permite calcular, cualquiera de ellas, conociendo las otras dos.

Cuando tenemos una distribución abierta, la relación anterior nos permite calcular

la media a partir de la mediana y la moda.

Asimetría:

Una distribución es simétrica cuando X = Md = Mo

Ejemplo:

Si un docente aplica una prueba y en los resultados las calificaciones altas es casi

igual a las calificaciones bajas, la distribución está balanceada uniformemente

alrededor del centro de la distribución.

Distribución Simétrica

A

L

U

M

N

O

S

X – Md – Mo

Calificaciones

Page 122: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

121

Distribución Asimétrica Positiva

A

L

U

M

N

O

S +

Mo Md X

Calificaciones

Distribución Asimétrica Negativa

A

L

U

M

N

O

S

X Md Mo

Calificaciones

Page 123: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

122

Medidas de Posición:

Son valores que permiten dividir un conjunto de datos en partes iguales.

Percentiles:

Se llaman percentiles a los valores que corresponden a determinados porcentajes

de la frecuencia acumulada. Por ejemplo, el percentil veinte P20 es el valor que

corresponde al 20% de las frecuencias acumuladas.

Cuartíles:

Los tres percentíles que dividen el total de los datos en cuatro partes iguales P25,

P50, P75 reciben el nombre de cuartiles y se representan por Q1, Q2, y Q3 .

Deciles:

Los percentiles múltiplos de diez P10, P20, P30, .......,P90 reciben el nombre de

deciles y se representan por D1, D2, D3,..........D9.

De lo anterior podemos deducir:

P25 P50 P75

Q1 D5= Q2 = Md Q3

Page 124: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

123

Calculo de las Medidas de Posición para Datos no Agrupados:

Para calcularlas utilizaremos el mismo procedimiento que se usa en el calculo de

la mediana para datos no agrupados, tanto para datos pares como datos impares.

1.- Cuando n es par:

Dx = x . n Qx = x . n Px = x . n 10 4 100

Ejemplo:

Los siguientes datos corresponden a las calificaciones obtenidas por ocho

alumnos en una evaluación de Matemática: 18, 16, 19, 18, 13, 20, 10, 17 puntos.

Calcular: D4, Q3 y P25

Ordenamos los datos: 10, 13, 16, 17, 18, 18, 19, 20

D4 = 4 . 8 = 3,2 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P25 = 25 . 8 = 2 10 4 100

2.- Cuando n es impar:

Dx= x . (n + 1) ; Qx= x . (n + 1) ; Px= x . (n + 1) 10 4 100

Ejemplo:

Los siguientes datos representan las edades de un grupo de alumnos: 20, 18, 19,

22, 19 y 23 años.

Calcular: D7, Q3 y P50

Ordenamos los datos: 18, 19, 19, 20, 21, 22, 23

D7 = 7 . 8 = 5,6 ; Q3 = 3 . 8 = 6 ; P50= 50 . 8 = 4 10 4 100

Page 125: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

124

Calculo de las Medidas de Posición para Datos Agrupados en Intervalos:

Se utiliza el mismo procedimiento para el calculo de la mediana.

P = Lri + P - fa (anterior) . C

fP = Valor que representa la posición de la medida.

Lri= Límite real inferior del intervalo que contiene la medida buscada.

fa = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida.

C = Amplitud del intervalo que contiene la medida de posición.

Ejemplo:

En la siguiente distribución, calcular: Q1, D5 y P60

Calificaciones N° de Alumnos fa

X f

5 - 7 4 4

8 - 10 6 10

11 - 13 8 18

14 - 16 7 25

20 - 19 5 30

∑ n = 30

Calculamos Q1: Hallamos la posición de la media: P = 1 . n = 1 . 30 = 7,5

4 4

Q1 está ubicado en el intervalo 8 – 10

De donde: Lri = 7,5 ; P = 7,5 ; fa(anterior)= 4 ; f = 6 ; C = 3

Aplicando la ecuación: Q1 = 7,5 + 7,5 – 4 . 3 = 7,5 + 1,74 = 9,24 puntos 6

Page 126: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

125

Este resultado significa que el 25% de los alumnos, tienen calificaciones menores

que 9,24 puntos.

Calculamos el D5

Primero hallamos la posición de la medida: P = 5 . n = 5 . 30 = 15 10 10

El D5 está en el intervalo 11 – 13

De donde: Lri = 10,5 ; P = 15 ; fa(anterior) = 10 , f =8 , C =3

D5 = 10,5 + 15 – 10 . 3 = 10,5 + (0,625 . 3) = 10,5 + 1,875 = 12,375 8

Calculamos el P75 = 75 . n = 75 . 30 = 22,5100 100

El P75 está en el intervalo 14 – 16

De donde: Lri = 13,5 ; P = 22,5 ; fa(anterior) = 18 ; f = 7 , C = 3

P75 = 13,5 + 22,5 – 18 . 3 = 13,5 + (0,642 . 3) = 13,5 + 1,926 = 15,426 7

Medidas de Dispersión:

Las medidas de tendencia central no son suficientes para caracterizar una

distribución. Dos distribuciones pueden tener la misma media y ser muy diferentes.

Para poder caracterizar una distribución se necesita otra medida que indique la

dispersión o variabilidad de los datos.

Ejemplo:

Dos alumnos A y B han obtenido las siguientes calificaciones en un lapso en la

asignatura Matemática:

Alumno A: 12, 18, 16, 4 , 2 , 20, 6, 18. Su media es 12 puntos.

Alumno B: 12, 12, 14, 12, 12, 10, 12, 12. Su media es 12 puntos.

Page 127: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

126

La media de los dos alumnos es igual. Sin embargo las calificaciones que han

obtenido son muy distintas, las del alumno B se concentran alrededor de la media y

las del alumno A se separan mucho de la media.

En conclusión, las medidas de dispersión se emplean para determinar el grado de

homogeneidad o heterogeneidad de un conjunto de datos con respecto a una medida

de tendencia central.

Medidas de Variabilidad o Dispersión:

El Rango o Amplitud Total:

Se define como la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de una

distribución. Su ecuación es: R = VM – Vm.

Es la medida de variabilidad más fácil de calcular y la menos estable, ya que los

cambios en unos cuantos valores de la serie de datos pueden afectar

considerablemente su valor.

La utilidad del rango se presenta cuando:

1.- Se quiere una comparación rápida entre dos distribuciones.

2.- Los datos son muy escasos o demasiado dispersos.

Ejemplo:

En dos grupos A y B con las siguientes calificaciones:

Grupo A: 14, 12, 18, 11, 15

Grupo B: 14, 15, 13, 13, 15

La media de ambos grupos es 14 puntos.

El rango del grupo A es RA = 18 – 11 = 7 puntos.

El rango del grupo B es RB = 15 – 13 = 2 puntos.

Como el rango del primer grupo es mayor que el rango del segundo grupo, se

puede decir que el primer grupo de calificaciones es más viable, es decir, más

heterogéneo.

Page 128: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

127

Desviación Semi-intercuartilar:

Se simboliza con Q y se define como la mitad de la distancia entre el Q1 y el Q3, o

sea entre el P25 y el P75. Se calcula con la ecuación: Q = Q3 – Q1

2 Entre el Q3 y Q1 existe siempre el 50% de las observaciones.

Si los datos se concentran en el centro de la distribución los Q1 y Q3 estarán cerca

y el valor de Q será pequeño; cuando los datos están dispersos, Q será grande.

25% Q1 25% Q2 25% Q3 25%

25% 50% 75%

Si Q3 – Q2 = Q2 – Q1 la distribución es simétrica.

Si Q3 – Q2 > Q2 – Q1 la distribución es asimétrica positiva.

Si Q3 – Q2 < Q2 – Q1 la distribución es asimétrica negativa.

La utilidad de la desviación semi-intercuartilar se presenta cuando:

1.- La medida de tendencia central es la mediana.

2.- Los datos de distribución están muy dispersos.

Ejemplo:

En la siguiente distribución:

Calificaciones N° de Alumnos fa

x f

5 - 7 4 4

8 - 10 6 10

11 - 13 8 18

14 - 16 7 25

21 - 19 5 30

∑ n = 30

Page 129: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

128

Calcule la desviación semi – intercuartil y el tipo de asimetría

Calculamos Q1 y Q3, ya conocemos estos valores anteriormente.

Q = 22,5 – 9,24 = 6,63 2 Q3 – Q2 = 22,5 – 12,375 = 10,125

Q2 – Q1 = 12,375 – 9,24 = 3,135

Como Q3 – Q2 > Q2 – Q1 la distribución es asimétrica positiva.

La Desviación Típica o Estándar:

Es la medida de dispersión más usada y la mas estable, ya que depende de todos

los datos de la distribución.

Mide la desviación promedio de cada dato respecto a la media aritmética.

Permite la comparación de dos o más distribuciones, cuando están dadas las

mismas unidades de medidas, para determinar cual de ellas presenta mayor o menor

grado de variabilidad absoluta.

La desviación típica representa la dispersión de los datos, de una curva de

frecuencias asimétrica centrada sobre la media, llamada Curva Normal.

Desviación Típica para Datos no Agrupados:

S = ∑ x2 - x2

n

Page 130: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

129

Ejemplo:

Calcular la desviación típica para el siguiente grupo de calificaciones: 10, 12, 14,

11, 13

Calificaciones X2

X 10 100 12 144 14 196

11 121 13 169

60 730

Primero calculamos la media: X = 60 = 125

S = ∑ x2 - x2 S = 730 - 122 S = 146 – 144

n 5

S = √2 = 1,41

Este resultado significa que en promedio cada calificación se desvía de la media

en 1,41 puntos .

Desviación Típica para Datos Agrupados en una Distribución de Frecuencias

Simple:

S = ∑ f . X2 - X2

n

Page 131: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

130

Ejemplo:

Calcular la desviación típica para la siguiente distribución de calificaciones:

Calificaciones Alumnos X2 f . X 2

X f

12 2 144 28814 3 196 588

16 4 256 102 18 1 324 324

∑ n =10 2224

Primero calculamos la media de la distribución:

X = 148 = 14,8 10

S = 2224 - (14,8)2 S = 222,4 – 219,04 S = 3,36 = 1,8310

Este resultado significa que , en promedio cada calificación se desvía de la media

en 1,83 puntos.

Desviación Típica para Datos Agrupados en Intervalos:

S = ∑ f . Mc2 - X2

n

Page 132: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

131

Ejemplo:

Calcular la desviación típica de la distribución de calificaciones:

Calificaciones N° de Alumnos X f Mc Mc2 f . Mc2

5 - 7 4 6 36 144

8 - 10 6 9 81 486

11 - 13 8 12 144 1152

14 - 16 7 15 225 1575

22 - 19 5 18 324 1620

∑ n = 30 4977

Primero calculamos la media:

X = 369 = 12,3 30

S = 4977 – (12,3)2 S = 165,9 – 151,29 = 14,61 = 3,82230

Este resultado significa que, en promedio cada calificación se desvía de la media

en 3,822 puntos.

La Varianza:

La varianza se define como el cuadrado de la desviación típica. Se simboliza con

S 2.

Ejemplo I:

Media de una distribución:

X = 148 = 14,8 10

S = 2224 - (14,8)2 S = 222,4 – 219,04 S = 3,36 = 1,8310

La varianza será S = ( 1,83)2 = S 2 =3,35 puntos.

Page 133: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

132

Ejemplo :

Una universidad A paga en promedio Bs. 6.300 por hora de clase dictada con

una desviación típica de Bs. 260 y la universidad B paga en promedio Bs. 7.200 con

una desviación típica de Bs. 280.¿ En cual de las universidades el pago de las horas

de clase presenta mayor variabilidad absoluta?

SA2= 260 2 = 67.600 y SB

2= 280 2 = 78.400

La varianza de B es mayor que la de A, por lo tanto en la universidad B hay una

mayor variabilidad en el pago de las horas clase.

Coeficiente de Variación:

Se expresa en porcentaje y es el cociente entre la desviación típica y la media

aritmética de los datos.

Ecuación: C . V = S . 100 X

Se emplea cuando se desea comparar dos o más distribuciones, con el fin de

determinar cual de ellas tiene menor o mayor variabilidad relativa.

Ejemplo:

La estatura media de los varones en Inglaterra es 75 pulgadas con desviación

típica de 2 pulgadas y la media de la estatura en Venezuela es 160 cm y su

desviación típica 10 cm. ¿ Cual país presenta menor variabilidad en las estaturas ?.

Como las medidas son distintas, unas en pulgadas y las otras en centímetros, no

se pueden comparar las varianzas, ni las desviaciones típicas. Por tanto, se aplicará

el coeficiente de variación.

C.V = 2 . 100 = 2,6 % Inglaterra 75

C.V = 10 . 100 = 6,2 % Venezuela 160

Page 134: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

133

GUIA DE EJERCICIOS

Un alumno realizó una encuesta a sus profesores y encontró que sus edades

eran: 32, 28, 32, 31, 30, 32, 25 y 41 años. Determine: Media de las edades,

mediana, moda, rango, desviación típica y varianza.

Antonio obtuvo las calificaciones:19, 18, 15, 15, 16 y 17 puntos. Determine:

Media de las calificaciones, mediana, moda, rango, desviación típica y

Varianza.

Halle la media aritmética : mediana, moda, rango, desviación típica y

varianza de los siguientes datos: 5, 8, 4, 3, 7, 8, 4, 2, 9, 5, 6, 7.

Calcule: Q3, D9, P50 y P84 de los datos: 200, 140, 230, 155, 180, 205, 140, 165

140, 190, 180, 225, 240, 140, 140, 155, 165, 140, 140, 140

El número de hijos por familia de un grupo de docentes es: 2, 1, 2, 4, 4, 6, 6,

4, 6, 7, 4, 4,7, 4, 2, 1, 4, 6, 7, 7. Elabore una distribución de frecuencias

simple y luego determine : Media de hijos por familia, mediana, moda,

desviación típica y varianza.

Las edades de un grupo de alumnos son: 13, 15, 14, 16, 18, 13, 14, 17, 15, 16,

13, 15, 14, 16, 16, 17 y 15 años. Elabore una distribución de frecuencias simple

y luego determine: la media de las edades, mediana, moda, desviación típica y

varianza.

Page 135: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

134

Calcule : Q1, D5, P70, y P50 en la distribución:

X f

36 237 138 339 440 541 442 243 344 1

Tres secciones A, B y C de una escuela presentaron los siguientes resultados

en una evaluación de matemática:

XA = 11,9 puntos con nA = 24 alumnos.

XA = 14,2 puntos con nB = 30 alumnos

XA = 10,8 puntos con nB= 28 alumnos.

Calcule la media aritmética de los grupos combinados

Calcule la media de las medias en:___ ___ ___

X1 = 60 X2 = 40 X3 = 50

__ __ __ X4 = 12 X5 = 30 X6 = 60

Un carro a una velocidad de 60 km/h en la primera hora de recorrido, 70km/h en la segunda hora y 80 km/h en la tercera hora. Halle la velocidad promedio del carro.

Page 136: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

135

___

Si una distribución tiene X = 18, Md = 14 y Mo = 12 entonces es ¿simétrica?, ¿asimétrica positiva? o ¿asimétrica negativa?

Dada la distribución de frecuencias:

Peso Alumnos(Kg.) f

50-52 6 53-55 11

56-58 7 59-61 9 62-64 7

∑ n=40

Calcule: la media de los pesos, Md, Mo, D3, Q1, P60, Q, S, S 2

Dada la distribución:

Bs f

201-230 8231-260 10261-290 16291-320 14321-350 10351-380 7

∑ n=65

Calcule: la media aritmética, Md, Mo, D4, P80, Q3, S, S

Page 137: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

136

Dada la distribución:

Puntajes Alumnos f

7-11 2 12-16 7

17-21 1222-26 727-31 2

∑ n=30

Calcule: la media de las calificaciones, Md, Mo, Q1, P60, Q, S, S 2

La antigüedad en el trabajo de un grupo de docentes, se muestra en la distri- bución:

Antigüedad Docentes (años) f

1- 5 126-10 22

11-15 35 16-20 46

21-25 46 26-30 29

31-35 10

∑ n=200

Calcule: la antigüedad promedio del grupo de docentes, Md, Mo, D8, Q1,P60, Q, S, S 2

Page 138: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

137

Los pesos y estaturas de los alumnos de una clase presentan las siguientes medidas:

___

X = 68 Kg. con S = 8 kg___

X = 1,7 m con S = 0,61 m ¿ En cual de los dos variables es más homogénea la clase?

En una prueba final de matemática, la puntuación de un grupo de 150 Estudiantes fue de 78 con desviación típica de 8. En física la media del grupo fue 73 con desviación de 7,6.¿ En que asignatura hubo mayor dispersión absoluta?. ¿ En que asignatura hubo mayor dispersión relativa?

Page 139: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

138

Probabilidad Estadística:

La Probabilidad, también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama

de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la

posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La

probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento

necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo

XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores,

como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes

contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un

intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por

ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la

probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1,

ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la

probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos

estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o

acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual

probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos

se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por

ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la

probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian

Page 140: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

139

acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de

ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par

de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.

Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles

resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada

aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.

Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad

y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un

3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una

persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso

hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la

persona esté a menos de 10 pasos del origen.

En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente

excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos

sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es

igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son

excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son

independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el

otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los

casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de

que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.

Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se

sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.

Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no

ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y

la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente

excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y

no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los

Page 141: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

140

sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2,

…, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un

valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 +

p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si

saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6. El resultado

esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es

lo mismo, un pastel.

El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis

estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo

que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin

hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos

darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la

probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si

la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años

sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de

que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas

y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan

dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia

problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante

relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del

cálculo.

Page 142: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

141

1.- Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20

azules y 15 naranjas. Halle la probabilidad de que sea:

a.- Naranja: p(N) = 15 p(N)= 0,20 p(N)= 20% 75

b.- No sea roja o azul: p ( R ) ó p(A)

p R = 10 75

p(A)= 20 p R ó p(A) = 10 + 20 = 30 = 40% 75 75 75

c.- No Azul: p(A) = 20 = 0,26 = 26.6%

75

d.- Blanca : p(B) = 30 = p(B) = 40% 75

e.- Roja, blanca o azul : p ( R ) ó p (B) ó p(A) = 60

75

Page 143: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

142

Distribución Binomial:

2.- ¿ Cuál es la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10

preguntas de un examen verdadero o falso?

x ≥ 6 p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)

P(contestar) = 6 ---------60% p= 0,60 n = 10 n – x = 4P( no contestar) = 4 ---- 40% q= 0,40

P(x=6) = (10/6) . (0,60)6 . (0,40)4

C10,6 = 10! C 10,6 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! =

6! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

C10,6 = 210 p (x=6) = 210 . (0,046656). (0,0256)

p(x=6) = 0,2508226

p(x=7) = C10,7 . (0,70)7 . (0,30)3

p = 7----0,70 C10,7 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! = 120q= 3-----0,30 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=7) = 120. (0,70)7 .(0,30)3

Page 144: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

143

P(x=7) = 120 . (0,0823543).(0,027)

P(x=7)= 0,2668279

P(x= 8) = C10,8 . (0,80)8 . (0,20)2

p=8----0,80 C10,8 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! = 45q=2----0,20 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=8) = 45 . (0,167772)8 . (0,04)2

P(x=8) =0,3019896

P(x=9)= C10,9 .(0,90)9 . (0,10)1

p=9---0,90 C10,9 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! = 10q=1---0,10

9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=9) = 10 . (0,387420) . (0,10)

P(x=9) = 0,387420

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144

P(x=10)= C10,10 . (1)10 . (1)0

C10,10 = V10,10

= 1 p(x=10) = 1 . 1 .1 p10

p(x=10) = 1

p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+p(x=10)= 0,2508226+0,2668279+

0,3019896+0,387420 = p(x ≥ 6) = 2,207

3.- Halle la probabilidad de: a.- 2 ó más caras; b.- menos de 4 caras en un

lanzamiento de 6 monedas.

a.- 2 ó más caras: p(x ≥ 2)

p(x=2)= C12,2 . (0,16)2 . (0,84)10

p=2--- 0,16 C 12,2 = 12! 11! = 66q=10---0,84

2! 1!

P(x=2)= 66 . (0,0256). (071490)

P(x=2)= 0,29551

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P(x=3) = C12,3 . (0,25)3 . (0,75)9 C 12,3 = 12! 11! 10! = 220

3! 2! 1!p(x=3) = 0,25808

P(x=4)= C12,4 . (0,33)4 . (0,67)8

p=4---0,33q=8---0,67 C12,4 = 12! 11! 10! 9! = 495 4! 3! 2! 1!

P(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060)

P(x=4) = 0,23833

P(x=5)= C12,5 . (0,42)5 . (0,58)7 p=5---0,42 q=7---0,58p(x=5)= 792 . (0,01306) . (0,02207)

p(x=5)= 0,22828

p(x=6)= C12,6 . (0,50)5 . (0,50)7 p=6---0,50 q=6---0,50

Page 147: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

146

p(x=6)= 924 . (0,015625) . (0.015625)

p(x=6)= 0,22558

p(x=7)= C 12,7 . (0,58)7 .(0,42)5

p(x=7)= 792 . (0,02207) . (0,01306) p=7---0,58q=5---0,42

p(x=7)= 0,22828

p(x=8)= C12,8 . (0,66)8 . (0,34)4

p(x=8)= 495 . (0,03600) . (0,01336)

p(x=8)= 0,23813

P(x=9)= C 12,9 . (0,75)9 . (0,25)3

p(x=9)= 220 . (0,07508) . (0,015625)

p(x=9)= 0,25808

P(x=10)= C12,10 . ( 0,83)10 . (0,17)2

p(x=10)= 66 . (0,15516) . (0,0289)

p(x=10)= 0,29595p(x=11)= C12,11 . (0,92)11 . (0,08)1

p(x=11)= 12 . (0,39963) . (0,08)

p(x=11)= 0,38364

Page 148: Cuaderno Matemática 5º Año Cs

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P(x=12)= C12,0 . ( 1)12 . (0)0

p(x=12)= 1 . 1 .0

p(x=12)= 0

p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+

p(x=10)+p(x=11)+p(x=12)

p(x ≥ 12) = 2,649

b.- Menos de 4 caras: p(x < 4)

p(x=4)= C12,4 . (0,33)4 . (0,67)8

p(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060)

p(x=4)= 0,23833

p(x=3)= C 12,3 . (0,25)3 . ( 0,75)9

p(x=3)= 220 . (0,015625) . (0,07508)

p(x=3)= 0,25808

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p(x=2)= C12,2 . (0,16)2 . (0,84)10

p(x=2)= 66 . (0,0256) . (0,17490)

p(x=2)= 0,29551

p(x=1)= C12,1 . (0,08)1 . (0,92)11

p(x=1)= 12 . (0.08) . (0,39963)

p(x=1) = 0,38365

p(x=4)+p(x=3)+p(x=2)+p(x=1) = 0,23833+0,25808+0,29551+0,38365 = 1,17

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4.- El 30% de piezas producidas por una máquina presentan defectos.

Halle la probabilidad de que 5 piezas elegidas al azar:

a.- 1 p(x=1)= C5,1 . (0,30)1 . (0,70)4

n =5p(defectuosos)= 30%---p C = 5! = 5 5,1!p(no defectuosos)=70%--q

P(x =1)= 5 . (0,30) . (0,2401)

P(x =1)= 0,3601

b.- Ninguna: p(x=0)= 1 . (0)0 . (1)5

p =0 p(x =0)= 1.0.1 p(defectuosas)=0---0%q=5n =5 p(x =0)= 0 p(no defectuosas)=5---1%

c.- A lo sumo 2 piezas defectuosas:

p(x=2)+p(x=1)+p(x=0)

p(x=2)= C . (0,40)2 . (0,60)3

5,2

C = 5! 4! = 10 5,2 2! 1!

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P(x=2)= 10 . (0,16) .(0,216)

P(x=2)= 0,3456

P(x=0)= 1 . (0)0 . (1)5

P(x=0)= 0

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BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E………………………………….900 Problemas Resueltos para 5to Año

Distribuidora Zacarías. Caracas.

Venezuela. 1980.

FIGUERA YIBIRIN, Júpiter.........................Matemática 2do Diversificado.

Ediciones CO-BO. Caracas.

Venezuela. 1996

Enciclopedia Microsoft Encarta 99

MICROSSOF ENCARTA 99