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2Cuaderno de trabajo

SEMANA 3

3.1 Perímetro, área y volumen3.2 Desarrollo plano de un cuerpo geométricoActividad integradora

Contenido


Semana 3

DÍA 1

Me activo y me concentro

Lectura de colores

Haz la dinámica con tu tutor e intercambien sus experiencias.

1. Colocarse frente a la imagen y comprobar si las personas participantes perciben los mismos colores, porque es posible que se confundan algunos tonos.

2. De forma ordenada, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, mencionar el color (no la palabra), por ejem-plo, “azul, verde, negro, rojo…”.

3. Repetir la dinámica 3 o 4 veces para activar la mente.

TEMA 3.1 Perímetro, área y volumen

Lo que sé sobre el tema

Relaciona ambas columnas —de forma continua, hasta donde sea posible— con líneas horizontales o diagonales, no verticales.


Aprendo más

Perímetro, área y volumen

Generalidades

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras en un plano o espacio. La de-finición de los términos geométricos se basa en los términos indefinidos, como el punto, la línea y el plano.

• Punto. Indica una ubicación en el espacio. Sólo tiene po-sición, no dimensión.

• Línea. Es una sucesión continua de puntos que se ex-tiende indefinidamente. Tiene longitud, pero no grosor.

• Plano. Es una superficie plana que puede contener en su totalidad una línea recta que conecta dos puntos cuales-quiera.

Las líneas se clasifican:

• Por su forma, en rectas y curvas.

Recta Curva

• Por su posición, en horizontales, verticales y diagonales.

Horizontal Vertical Diagonal

• Por su disposición, en oblicuas, quebradas, paralelas y perpen diculares, entre otras.

Oblicuas Quebradas Paralelas Perpendiculares

La geometría no sólo ayuda a explicar y dar sentido a lo que nos rodea. También ha inspirado a muchas personas para


crear arte. Por ejemplo, llevó al profesor chileno de Matemáti-cas Danny J. Perich a escribir algunos poemas sobre figuras geométricas, como el que dedicó al círculo.

El círculo

Con un simple compás he construidoun círculo de bellas armoníases la curva ideal, ya lo sabíala más hermosa que en el mundo ha sido.Longitud entre radio he divididoy eso me dio un valor de fantasía, número irracional de gran valíael misterioso pi tan conocido.

La vida es trayectoria circularpartimos desde un punto en el caminoal que siempre volvemos a llegar.

Por eso se pasea muy orondoun círculo en mis viejos pergaminos el mundo es circular. Todo es redondo.

A. Perímetro

El perímetro es la línea que “rodea” una superficie. Puede ser una línea continua —como en el círculo— o de por lo menos tres rectas que se unen por sus extremos.

Perímetro

El perímetro se mide en unidades lineales porque depende del tamaño de la línea que rodea a la superficie en cuestión. La unidad de longitud del sistema internacional de unidades es el metro (m).

Para determinar el perímetro de una superficie, se suman los valores de cada uno de sus lados, por ejemplo:

El perímetro del círculo se llama circunferencia y se deter-mina al multiplicar el valor de su diámetro por el valor de π = 3.1416.

Diámetro


El número pi (π) representa la cantidad de veces que el diá-metro “rodea” al círculo para formar la circunferencia. Esto quiere decir que el perímetro del círculo mide tres diámetros más una fracción de otro.

Diámetro

Practico para comprender mejor

A. Observa la siguiente imagen e identifica las diferentes lí-neas según su clasificación.

B. Observa las siguientes figuras y, en tu libreta, realiza las operaciones necesarias para calcular el perímetro de cada una. Considera que cada cuadrado del plano mide 1 cm por lado.

Sigo aprendiendo

B. Área

Cuando se unen tres o más líneas en un mismo plano, se forman las figuras geométricas en dos dimensiones (alto y ancho). Al unirse, delimitan el área o la superficie de un cuerpo. El área se mide en unidades cuadradas porque ambas dimensiones se multiplican. Si tomamos el metro como medida, el resultado estará en m2.


Las figuras geométricas se clasifican como:

• Polígonos regulares. Son aquellos que están formados por líneas del mismo tamaño, como el triángulo, el cuadra-do, el pentágono, etc.

Lados iguales

• Polígonos irregulares. Son aquellos que están formados por líneas de diferente tamaño, como el triángulo escaleno, el rombo, el rectángulo, etc.

Lados diferentes

La fórmula para determinar el área de una superficie varía según la figura, como se puede ver a continuación.

Fórmulas de áreas

Durante el cálculo de áreas, es importante recordar lo si-guiente:

• La altura de las figuras se simboliza con la letra h (minús-cula). Este símbolo viene del inglés height y se utiliza para evitar la confusión con la A de área.

• La apotema es la distancia más corta entre el centro de un polígono regular y uno de sus lados.

• El radio de un círculo es la mitad del valor del diámetro y se simboliza con la letra r (minúscula).

• π = 3.1416• B (mayúscula) es la base mayor del trapecio.• b (minúscula) es la base menor del trapecio.• D (mayúscula) es la diagonal mayor del rombo.• d (minúscula) es la diagonal menor del rombo.


• Las magnitudes (mm, cm, m, km, etc.) son cuadráticas o “al cuadrado” (mm2, cm2, m2, km2, etc.).

En todos los casos, para calcular el área se deben identifi-car los valores correspondientes y sustituirlos en la fórmula, por ejemplo:


Observa las siguientes figuras y, en tu libreta, realiza las ope-raciones necesarias para calcular el área de cada una. Con-sidera que cada cuadrado del plano mide 1 cm por lado.


DÍA 2


Tu tutor te dará las indicaciones para que realicen juntos esta actividad.

Repaso con mi tutor

Comenta con tu tutor la importancia de conocer la diferencia entre perímetro y área.

C. Volumen

Todos los objetos que nos rodean tienen tres dimensiones: alto, ancho y largo. En este sentido, el volumen se puede definir como el espacio que ocupa un cuerpo. En geome-tría, los cuerpos tridimensionales se conocen como cuer-pos geométricos o poliedros, porque están formados por

dos o más figuras planas. Cada figura plana se denomina cara o lado.

Algunos ejemplos de cuerpos geométricos son el cono, el cilindro, el cubo, el tetraedro y el prisma.

Cono Cilindro Cubo Tetraedro Prisma

La esfera es un caso especial en el cual la superficie está de-limitada por puntos que están a igual distancia de un punto interior llamado centro.

CentroEsfera


El volumen se mide en unidades cúbicas (m3) porque se multiplican las tres dimensiones.

Fórmulas de volúmenes

Prisma

NOMBRE FORMA VOLUMEN

Pirámide

Cilindro

Cono

Esfera

Durante el cálculo de volúmenes, es importante recordar lo siguiente:

• La altura de las figuras se simboliza con la letra h (mi-núscula).

• El radio de un círculo se simboliza con la letra r (mi-núscula).

• π = 3.1416• Las magnitudes (mm, cm, m, km, etc.) son cúbicas o “al

cubo” (mm3, cm3, m3, km3, etc.).


Observa las siguientes figuras y, en tu libreta, realiza las ope-raciones necesarias para calcular el volumen de cada una. Considera que cada cuadrado del plano mide 1 cm por lado.


Repaso con mi tutor

Comenta con tu tutor lo que aprendiste acerca de los volú-menes.

Vean el video “Perímetro, área y volumen”.

Me autoevalúo

Lee detenidamente los ejercicios que a continuación se pre-sentan y elige el inciso que contenga la respuesta correcta.

1. Los carriles de una pista de 100 metros planos son un ejemplo de rectas:

a) Perpendiculares b) Oblicuas c) Quebradas d) Paralelas

2. Laura construirá un megacometa simbólico para conme-morar el día del niño. ¿Cuántos metros cuadrados de tela necesita para construirlo?

a) 245 m2 b) 196 m2 c) 147 m2 d) 86 m2


3. ¿En cuál de las siguientes situaciones se requiere calcular el perímetro?

a) Para saber cuántos libros caben en un librero.b) Para saber cuántos árboles se pueden plantar en un

bosque.c) Para saber cuánto tiempo se tarda un carro en llegar

de un punto a otro.d) Para saber cuántos metros de luces se necesitan para

adornar el contorno de la ventana.

4. Laura desea saber cuánto mide la superficie de su mesa para ponerle un tapete. ¿Qué dato debe conocer antes de comprar el tapete?

a) El perímetro de la mesa b) El volumen de la mesa c) El tamaño de la mesa d) El área de la mesa

5. Jorge compró un terrario como el que se muestra en la imagen, pero no conoce su capacidad. ¿Qué cantidad de tierra llenará el recipiente?

75 mm

25 mm2

a) 1,595 m2 b) 1,595 m3 c) 1,875 m2 d) 1,875 m3

6. Observa la siguiente imagen. ¿En cuál de las figuras que forman la casa NO hay rectas paralelas?

a) b) c) d)

7. ¿Cuánto mide el área de la cancha que se muestra en la imagen?

a) 420 m2

b) 210 m2

c) 102 m2

d) 86 m2

8. ¿Cuál es el volumen de una pecera que mide 45 cm x 12 cm x 25 cm?

a) 135 cm3 b) 1,350 cm3 c) 13,500 cm3 d) 135,000 cm3

9. ¿Cuál de las siguientes letras se forma por rectas que-bradas?

a) E b) Z c) A d) L


10. En un parque acuático van a poner un sistema de des-agüe alrededor de una de las islas para evitar encharca-mientos. Si la zona tiene la forma que muestra la ima-gen, ¿cuánto medirá el sistema de desagüe?

a) 140 metros b) 148 metros c) 156 metros d) 164 metros

11. ¿Cuál es el área total del octágono?

a) 18 cm2

b) 30 cm2

c) 48 cm2

d) 96 cm2

DÍA 3


Tripas de gato

Copia la tripa de gato en tu libreta. Identifica los números y únelos por parejas con una línea. Las líneas no deben salir del cuadro; tampoco deben tocarse entre sí ni tocar los números que no correspondan a la pareja.

TEMA 3.2 Desarrollo plano de un cuerpo geométrico

Lo que sé sobre el tema

Responde las siguientes preguntas.

1. ¿Qué es un cuerpo geométrico? (Puedes mencionar ejem-plos).

2. ¿Cuáles son las dimensiones de un cuerpo geométrico?


3. ¿Cómo se construye un cuerpo geométrico? 4. ¿Cuál es la utilidad de un cuerpo geométrico?

Aprendo más

Desarrollo plano de un cuerpo geométrico

Generalidades

Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple alfiler hasta la máquina, planta industrial u obra civil más compleja, se forman primero en la mente. Antes de fabricar-los hay que describirlos con precisión y determinar con exactitud su forma, tamaño y funcionalidad. Sólo así es po-sible evitar problemas al construirlos y utilizarlos.

Para definir gráficamente cualquier objeto, se requiere domi-nar conceptos como punto, línea, superficie, figura y cuerpo, entre otros. Empezamos a analizar estos conceptos desde el principio de la semana, pero, para aprender cómo se hace el desarrollo plano de un cuerpo geométrico, hay que profundi-zar un poco más en el tema.

En primer lugar, hay que tener clara la diferencia entre las fi-guras y los cuerpos geométricos.

• Las figuras geométricas se miden por las dos dimensio-nes que las integran: alto y ancho. A este grupo pertene-

cen los po lígonos, los planos y las superficies que carecen de profundidad. Con excepción del círculo, el triángulo y el cuadrado, los polígonos se nombran según el número de lados que los conforman: pentágono, hexágono, heptá-gono, etc.

• Los cuerpos geométricos se miden por las tres dimensio-nes que los conforman: alto, ancho y largo o profundidad. A este grupo pertenecen los poliedros. Un poliedro está formado por al menos cuatro figuras geométricas planas, que pueden ser iguales o diferentes. Su nombre depende del número de caras y la forma final que tomen. Algunos cuerpos geométricos —tanto poliedros como cuer pos re-dondos— son los siguientes:

Cono Cubo Esfera

Cilindro Prismarectangular

Pirámidecuadrangular

Prismatriangular


Clasificación de figuras y cuerpos geométricos Las partes de un poliedro son:

• Vértice. Es el punto de unión de las líneas. La parte más alta del cono también se llama vértice.

• Arista. Son las líneas de unión de las caras del cuerpo.• Cara. Cada uno de los polígonos (superficies) que deli-

mitan al poliedro.• Base. El o los polígonos que forman las caras superior

e inferior de un poliedro regular “alargado”.• Radio basal. Es el radio de la base de un cuerpo cuya

cara es circular.

Desarrollo plano

Un desarrollo plano es la representación de las superficies que limitan un cuerpo geométrico de tal manera que, al “do-blar” las secciones, éstas formen dicho cuerpo geométrico.

Se puede construir un desarrollo plano siguiendo estos sen-cillos pasos:

1. Identifica la(s) forma(s) geométrica(s) de las caras de la figura.

2. Cuenta el número de caras o lados.

• La figura es un icosaedro truncado integrado por 12 pen-tágonos y 30 hexágonos.


3. Observa cómo están unidas las caras entre sí.

• 5 hexágonos están alrededor de 1 pentágono (o 1 hexá-gono tiene unidos 3 pentágonos y 3 hexágonos de ma-nera alternada).

4. Imagina y dibuja cómo se vería la figura si todas sus ca-ras quedaran en un solo plano.

• En ambas opciones hay 12 pentágonos y 30 hexágonos.• Las figuras están unidas solamente por líneas rectas.


A. Escribe debajo de cada objeto el nombre del cuerpo geométrico que lo forma.


B. Elabora el desarrollo plano del siguiente cuerpo y expli-ca los pasos que seguiste.

C. Selecciona la respuesta correcta.

1. ¿Cuál de las opciones permite formar el siguiente cilindro?

a)

b)

c)

2. ¿Cuál de las opciones permite formar el siguiente tron-co de cono?

a) b)

c)

Repaso con mi tutor

Junto con tu tutor, observa las cosas que hay en la casa e intercambien sus conocimientos.

Vean el video “Desarrollo plano de un cuerpo geométrico”.


Me autoevalúo

Elige la opción que indique la respuesta correcta.

1. ¿Con cuál desarrollo plano se forma el siguiente cuerpo geo métrico?

a) b) c) d)


a) b) c) d)


a) b) c) d)


a) b) c) d)



a) b) c) d)

DÍA 4


Tómala por la cola

Tu tutor te indicará cómo realizar esta actividad.

La última y nos vamos

Sigue las indicaciones para realizar las actividades.

A. Marca los perímetros de las siguientes figuras, asígnales valores y determina cuánto miden.


B. Calcula el área de las siguientes figuras geométricas y anota por lo menos tres ejemplos de objetos en los cua-les sea posible encontrarlas.

Figura Operaciones y resultado Ejemplos

C. En tu libreta dibuja el desarrollo plano de:

1. Pirámide triangular2. Prisma triangular3. Cono4. Pirámide pentagonal5. Dodecaedro


DÍA 5


En sus marcas, ¿listos?, ¡fuera!

• Con tu tutor, vean quién da una vuelta a la pista más rápido.• Para avanzar, tiren un dado por turnos y avancen el nú-

mero de casillas correspondiente. En tu libreta puedes ir registrando tu avance.

Actividad integraadora

Mi casa en 3D

Recursos

• Libreta de apuntes• Hojas blancas o cuadriculadas tamaño carta• Lápices de colores (opcional) • Reglas, flexómetro o cinta de medir• Un ayudante

Procedimiento

1. En una hoja dibuja la forma de tu casa, la puerta princi-pal, una ventana y el cable de un aparato electrónico. Luego, realiza lo siguiente:

• Anota las medidas aproximadas de largo, ancho y alto

de la casa y calcula su volumen.• Anota las medidas de la puerta principal y de una ven-

tana y calcula el área.• Anota la medida del cable y calcula el perímetro.• Analiza la actividad y concluye con ayuda de tu tutor.

2. Ubica en tu casa los siguientes objetos:

• Vaso o lata en forma de cilindro • Plato o tapadera de olla • Escoba • Caja


• Tendedero • Pelota u objeto semejante

3. En una hoja, dibuja los objetos y anota las siguientes pre-guntas con sus respectivas respuestas:

a) ¿Cuáles son las figuras que constituyen cada objeto?b) ¿Cuáles objetos te permiten medir el volumen, cuáles

el área y cuáles el perímetro? Explica por qué.c) Anota las medidas de los objetos y calcula su períme-

tro, área y volumen.

4. En una hoja, construye el desarrollo plano de al menos dos objetos.

5. Dibuja las principales líneas que forman a los objetos y escribe sus nombres según la clasificación.

6. Comenta con tu tutor lo que aprendiste.

¡Felicidades, lo lograste!

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