Prof. Luis . E . Camacho . S .

1

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos de 4ro Año de Media General,refleja en

forma sencilla y práctica los objetivos básicos del programa de Matemática .

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un

instrumento de guía que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de

aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Septiembre del 2003

2

Agradecimientos:

Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo:

Msc. Miguel Carmona, especialista de matemática

Msc. Milagros Coromoto Camacho, asesora aetodológica

Marcos Salas, profesor de computación

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”

Liceo San Pedro de Los Altos

U. E. C. “Andrés Bello”

3

Contenido

.- Vector en el plano...........................5

.- Multiplicación de un N° real por un vector..............5

.- Componentes del vector...............6

.- Rotaciones, sistema sexagesimal.................7,8,9

.- Ejercicios...........10

.- Funciones trigonométricas en el círculo trigonométrico..............11,12

.- Funciones trigonométrica circulares para ángulos..............13,14

.- Triángulos rectángulos, ángulos notables................15,16,17

.- Razones trigonométricas..............17,18

.- Ejercicios....................19,20,21,22

.- Identidades trigonométricas................23,24

.- Ejercicios..............25

.- Vector nulo, opuesto, suma de vectores, norma de un vector............29,30

.- Concepto de base................31

.- Vectores colineales...........31,32

.- Suma y diferencia de dos ángulos..............33,34,35

.- Ángulos dobles............36,37

.- Ángulos medios.................37,38,39

.- Simplificar expresiones trigonométricas...........39,40

.- Ley del seno y Ley del Coseno.................41,42,43,44,45

.- Funciones directas e inversas..........46,47

.- Sistema de coordenadas, función real...........48,49,50,51

.- Funciones continuas y discontinuas...............52,53

.- Ejercicios............54

.- Función exponencial y logarítmica..............55,56,57,58,59,60

.- Logaritmo decimal o Briggs.............60,61

.- Logaritmo Neperiano.............61

.- Propiedades de los logaritmos.............61,62,63.

.- Antilogaritmo, característica y mantisa de los logaritmos..............63,63,65

.- Cologaritmo de un logaritmo................66,67

.- Ecuaciones exponenciales................68,69,70

.- Números complejos..........71,72,73,74,75,76,77,78

.- Sucesión en R..............79,80,81,82,83,84,85,86,87

.- Páginas de resolución de ejercicios........88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98

.- Bibliografía..............99

4

Definir Vector en el plano:

Denominamos transformaciones en el plano π , a toda aplicación de un

subconjunto de puntos de π subconjunto de puntos π.

Cuando las transformaciones conservan las distancias, se denominan

Transformaciones métricas isométricas o movimientos rígidos en el plano.

Multiplicación de un N° real por un vector:

Dado un vector a = (x, y) y un número real K, llamamos producto del número

real por el vector a, a otro vector cuyas componentes se obtienen multiplicando las

Componentes del vector por el número real.

K . a = (k . x , k . y)

El vector resultante tiene la misma dirección que a, el mismo sentido cuando K

es positivo, y sentido contrario cuando K es negativo.

Ejemplo: Dado el vector a = (3, -1). Hallar 3 a ; -2 a ; 2/5 a

3 a = { 3 . 3 , 3 . (-1) } = (9,-3)

-2 a = { -2 . 3 , -2 . (-1)} = (-6,2)

2/5 a ={ 2/5 . 3 , 2/5 . (-1)} = (6/5 , -2/5)

5

Componentes de un vector:

Se llaman componentes de un vector al punto que tiene como abscisa la diferencia

de las mismas, y como ordenadas la diferencia de las mismas de los puntos que

forman el extremo y el origen.

a (xa , ya) y b (xb , yb) componentes ab = ( xb – xa , yb – ya)

Definir ángulo, partiendo de la rotación de un vector en el plano.

Se llama ángulo de dos semirrectas r y r’ de origen 0, a la rotación que

transforma a una de las semirrectas dada, en la otra, por ejemplo r en r´.

r’

α

0 r

El punto 0 se llama vértice y las rectas r’ y r lados.

6

Rotación o giro: es una transformación geométrica en virtud de la cual a todo

punto se le hace corresponder otro punto primo, de tal manera que sus distancias a

un punto fijo 0 (cero) llamado centro de rotación, son iguales y las semirrectas 0A y

0A’ forman un ángulo constante y determinado en amplitud y sentido llamado

ángulos de rotación.

A’

0 A

Propiedades de las rotaciones:

a.- Toda rotación deja fijo al centro de rotación.

b.- Toda rotación transforma una recta en otra recta.

c.- En toda rotación los segmentos que unen los puntos homólogos son iguales.

7

Establecer los sistemas de medidas para ángulos:

Un ángulo es positivo cuando se gira en sentido contrario a las agujas del reloj, y

negativo en caso contrario.

Radián: es el ángulo central cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual

al radio.

a.- La longitud de un arco es igual al producto de sus ángulos en radianes por el

radio.

b.- La longitud de un arco medido en radios, viene expresado por el mismo número

que su ángulo central correspondiente medido en radianes.

De aquí se deduce que la medida de un ángulo es una aplicación de longitud de

arco a ángulos.

Sistema Sexagesimal:

La circunferencia se divide en 360 partes y a cada parte se llama grado.

Cada grado se divide en 60 partes y a cada parte se le llama minuto.

Cada minuto se divide en 60 partes y a cada parte se le llama segundo.

Ejemplo: 25° 36’ 48’’ ( se lee 25 grados, 36 minutos, 48 segundos)

8

Reducción de ángulos del sistema sexagesimal al circular y viceversa:

Ejemplos:

1.- Transformar a radianes 26°

180°______________π =3,1416

26°_______________ x x = 26° . 3,1416 x =0,4537 radianes 180°

2.- Transformar 1,4839 radianes a grados

π =3,1416__________180°

1,4839__________ x x = 1,4839 . 180° x = 85° aprox. 3,1416

9

Dados los vectores siguientes, hallar el producto del N° real por el vector:

1) a = (3,-2) . Hallar 5 . a 2) b = (-4,-5) . Hallar -4 . b

3) x = (2/5,3/2). Hallar 2/4 . x 4) y = (-4,6/2) . Hallar –4 . y

5) p = (√5,√4) . Hallar 3 . p 6) a = (√9,4/3) . Hallar –6 . a

Dados los siguientes vectores, hallar su componente:

1) a = (3,6) ; b = (4,-3) 2) a = (-4,9) ; b = (-4,-7)

3) x = (-1,-8) ; y = (2,11) 4) p = (-7,6) ; q = (-2,5)

5) a = (5/3,6) ; b = (3/2,5/4) 6) s = (2/5,-4) ; t = (5,4)

Transformar:

a) 36° a radianes b) 57° a radianes c) 87° a radianes

d) 45,234π a grados e) 2,4563π a grados f) 1,2453π

10

Establecer las funciones trigonométricas en el Círculo Trigonométrico:

Con centro en el origen de coordenadas y radio igual a la unidad se traza una

circunferencia (círculo trigonométrico o circunferencia unitaria)

y

p(x , y)

1

y α A

mx 0 (1,0) x

Si un punto p parte del punto A y se desplaza α unidades alrededor de la

circunferencia, conociendo el sentido del desplazamiento se puede situar

exactamente la posición de p para cualquier valor de α = arc. Ap.

Si α es mayor de 2π, el punto p dará mas de una vuelta.

Como el mismo número que mide la longitud del arco en radios, mide el ángulo

central en radianes, podemos asegurar que a cada ángulo central le corresponde un

punto en la circunferencia. De aquí se definen 3 funciones:

11

Sen α____________ y y = ordenada de p

Cos α____________x x = abscisa de p

Tg α_____________y/x x ≠ 0

Identificar el Dominio y el Rango de las funciones Seno, Coseno y Tangente:

Sean: Sen : R R

Cos : R R

Tg : R R

El dominio de estas tres funciones es R, el rango del seno y del coseno es el

intervalo {-1,1}, porque en el triángulo rectángulo y x e y son

x

los catetos y ninguno de ellos puede ser mayor que la hipotenusa que vale 1. El

rango de la tangente es R, menos para los valores de x igual a cero.

12

Signos de las funciones trigonométricas circulares, en cada uno de los

cuadrantes:

Primer cuadrante: 0° < α < 90° ó 0 < α < π/2

Sen = + ; Cos = + ; Tg = +

Segundo Cuadrante: 90° < α < 180° ó π/2 < α < π

Sen = + ; Cos = - ; Tg = -

Tercer Cuadrante: 180° < α < 270° ó π < α < 3 π/2

Sen = - ; Cos = - ; Tg = +

Cuarto Cuadrante: 270° < α < 360° ó 3π/2 < α < 2π

Sen = - ; Cos = + ; Tg = -

13

Reducción al 1er cuadrante, y cálculo del valor numérico de una expresión

trigonométrica dada.

Hallar las funciones trigonométricas de 150°

90°

180° 0°

360°

270°

Ubicado en el 2do cuadrante A = 180° - 150° A = 30°

Sen (180°-150°) = Sen 30° = ½ = 0,5

Cos (180°-150°) =- Cos 30° = -0,866 = -√3/2

Tg (180°-150°) = - Tg 30° = -0,5773= -√3/3

14

Aplicar las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos:

Y

P

α

0 M X

Sea 0PM un triángulo rectángulo en M . 0M y MP son los catetos y 0P es la

hipotenusa.

Suponiendo que está situado en el primer cuadrante según la figura anterior, se

puede definir las funciones trigonométricas siguientes:

Sen α = ordenada = PM = cateto opuesto al ángulo α radio 0P hipotenusa

Cos α = abscisa = 0M = cateto adyacente al ángulo α radio 0P hipotenusa

Tg α = ordenada = PM = cateto opuesto al ángulo α abscisa 0M cateto adyacente al ángulo α

Estas formulas sonpara la resolución detriángulosrectángulos.

15

Ctg α = abscisa = 0M = cateto adyacente al ángulo α ordenada PM cateto opuesto al ángulo α

Sec α = radio = 0P = hipotenusa abscisa 0M cateto adyacente al ángulo α

Csc α = radio = 0P = hipotenusa ordenada PM cateto opuesto al ángulo α

Resolver problemas aplicando las funciones trigonométricas en triángulos

rectángulos:

Resolver un triángulo rectángulo, significa calcular el valor de sus tres lados, sus

tres ángulos, área, etc.

En la práctica solo se calcula alguno de sus elementos.

Para calcular los lados aplicamos las definiciones de seno, coseno y tangente del

ángulo conocido.

Ejemplos: En el triángulo rectángulo de la figura, calcular los lados AC y BC

B 50 cm

40° 20´ A C

16

Cálculo de BC Sen 40° 20’ = CO BC = AB . Sen 40° 20’ H

Sen 40° 20’ = 0,6472 AB = 50 cm BC = 50 cm . 0,6472

BC = 32,36 cm

Cálculo de AC Cos 40° 20’ = CA AC = AB . Cos 40° 20’ H

AC = 50 cm . 0,7623 AC = 38,11

Razones Trigonométricas:

Sen β = y Cos β = x Tg β = y x z x

Sec β = z Cotg β = x Csc β = z x y y

Fórmulas pararesolver razonestrigonométricas

17

Ejemplo: Hallar las razones trigonométricas del ángulo β en el triángulo pqr. Donde

x = 6 ; y = 8

r x p

β y z

q

Aplicamos Pitágoras: z = x2 + y2 z = 62 + 82 = 100 = z = 10

Sen β = y/z = 8/10 = 4/5 Cos β = x/z = 6/10 = 3/5

Tg β = y/x = 8/6 = 4/3 Sec β = z/x = 10/6 = 5/3

Cotg β = x/y = 6/8 = ¾ Csc β = z/y = 10/8 = 5/4

18

Hallar las funciones trigonométricas de:

1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 120°

5) 135° 6) 210° 7) 225° 8) 300°

Resuelve los siguientes triángulos:

a) B Hallar: BC y AC

36 cm

30° 15’ C A

b) B

40 cm Hallar: BC y AC

38° 2’ C A

19

c) B Hallar: AB y AC

30 cm Aplica : Cotg y Csc

40° 26’ A C

d) B Hallar: BC y AB

Aplica : Tg y Sec

24° 12’ A C 16 cm

20

En los siguientes triángulos hallar los valores de las seis razones

trigonométricas de los ángulos indicados en ellos:

a)

Z4

α

5

b)

Z β √3

√5

21

c) 1

α

y√7

x d)

α

10 12

22

Identidades Trigonométricas:

Son igualdades que contienen funciones trigonométricas y que son valederas para

todos los valores de los ángulos para los cuáles están definidas estas funciones.

Procedimiento:

a.- Cuando contienen ángulos múltiples o fraccionarios se recomienda expresar

dichas funciones en función de ángulos sencillos.

b.- Cuando contienen sumas o diferencias de ángulos, se sustituyen por sus fórmulas

respectivas.

c.- Sí después de haber hecho esto, no aparece ningún método factible, es ventajoso

cambiar todas las funciones a senos y cósenos.

Primer Método:

Consiste en operar en un solo miembro haciendo las transformaciones

correspondientes hasta que el miembro en que se opera sea igual al otro.

Segundo Método:

Se opera en cada uno de los miembros de la igualdad, pero en forma

independiente hasta que los miembros sean iguales.

23

Identidad fundamental: Sen x + Cos x = 1

Transformaciones de miembros:

1) 1 – Senx = Cos2x 2) Cos2x + Sen2x = 1

3) (Cos2x – Sen2x) = 2Cosx 4) Tgx = Senx Cosx

5) Secx = 1 6) Cscx = 1 Cosx Senx

7) Cotgx = Cosx 8) Cosx = Senx Senx Cotgx

Ejemplo: Demostrar que Cos2 = (1 + Sen x) . (1 – Sen x) es una identidad.

(1 + Senx) . (1 – Senx) = 1 – Sen2 x

Cos2x = 1 – Sen2x

Cos2x = Cos2x

Estas fórmulasson básicaspara resolveridentidades.

24

Realiza las siguientes demostraciones:

a) Demostrar que Cos4x – Sen4x = Cos2A

b) Demostrar que Cosx . Tgx = Sen

c) Demostrar que Senx + Cosx = 1 Cscx Secx

c) Demostrar que Tgx = Secx Senx

d) Demostrar que Tgx . Cosx . Cscx = 1

e) Demostrar que Senx . Secx = Tgx

f) Demostrar que Cscx = Cosx Tgx + Ctgx

g) Demostrar que Senx + Cotgx = Senx . Cotgx Tgx + Cscx

h) Demostrar que Tgx + Cotgx = 1 Senx . Cosx

25

Definir el producto escalar de vectores:

Definimos el producto escalar de los vectores a y b, como el producto del

módulo de uno de ellos por el módulo de la proyección del otro sobre él.

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el

coseno del ángulo que forman.

Ejemplo: El producto escalar de dos vectores a y b es igual a 20, sabemos que

/ a / = 5 y / b / = 8. Calcular el valor del ángulo que forman los vectores.

a . b = 20

/ a / = 5 Cos α = a . b Cos α = 20 → 0,5 → 1/2

/ b / = 8 / a / . / b / 40

α = x

26

Ejemplo: Dados los puntos a(2,3) ; b(5,8) y c(-6,2) representar los vectores ab, cb

y ac, hallar sus componentes y módulos.

Componentes: ab = (5-2,8-3) = (3,5) cb = {5-(-6),8-2} = (11,6)

ac = (-6-2,2-3) = (-8,-1)

Módulos: /ab/ = 32 + 52 = 34

/cb/ = 112+62 = 157

/ac/ = (-8)2+(-1)2 = 65

Representación Gráfica: y

8

7

6

5

4

3

2

1

x

-6 0 2 5

27

Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las fórmulas de vec-

tores:

1) a . b = 32 2) a . b = 54

/ a / = 6 / a / = 8

/ b / = 7 / b / = 10

α = x α = x

3) a . b = x 4) a . b = x

/ a / = 4 / a / = 9

/ b / = 7 / b / = 3

α = 45° α = 30°

Con los siguientes puntos, hallar los componentes, módulos y

representación gráfica:

1) a(4,3) , b(-3,6) , c(2,-5)

2) a(3-6) , b(-4,-2) , c(4,2)

3) a(-4,2) , b(5,7) , c(3,-7)

4) a(-1,4) , b(6,5) , c(-2,-4)

5) a(-1,-2) , b(4,7) , c(-3,5)

6) a(6,4) , b(-3,-5) , c(2,6)

28

Vector Nulo: el vector nulo es el vector que tiene como componentes (0,0); es

decir: 0 = (0,0).

Vector Opuesto: se llama vector opuesto del vector a = (ax,ay), al vector cuyas

componentes son (-ax,ay). El vector opuesto de a se denota por -a.

Suma de Vectores:

Ejemplo: Dados los vectores a = (-4,7) ; b = (5,8). Hallar 2 a + 3 b

2 a = {2 .( –4),2 . 7} = (-8,14) 3 b = (3 . 5,3 . 8) = (15,24)

a + 3 b = (-8+15,14+24) = (7,38)

Longitud o Norma de un vector: Se llama longitud o norma de un vector

a = (ax,ay) ε V2, y se denota // a //, a la raíz cuadrada no negativa del producto

escalar de a por sí mismo. Es decir: // a // = ax2 + ay

2

29

Ejemplo: Hallar la norma del vector a = (√6 , √30)

// a // = (√6)2 + (√30)2 = 6+30 = 36 = // a // = 6

Hallar la suma de los siguientes vectores: 2 a + 3 b

1) a = (3,5) , b = (-3,-6) 2) a = (9,0) , b = (-1,-2)

3) a = (6,5) , b = (-4,8) 4) a = (-5,-8) , b =(-4,-3)

5) a = (-5,-3) , b =(1,5) 6) a = (6,-9) , b =(3,7)

Hallar el modulo de los vectores siguientes:

1) a = ( 3/√13,2/√13) 2) a = (3,9)

3) a = (5,0) 4) a = (√15,1)

5) a = (0,7) 6) a = (10,√144)

7) a = (4/2,6/3) 8) a = (√4,5)

30

Establecer el concepto de base:

Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación

lineal de otros vectores no colineales, decimos que un par de vectores no colineales

constituyen una base del conjunto de los vectores de dicho plano.

Establecer el concepto de dimensión:

Puede haber muchas bases, pero todas ellas están formadas por dos vectores, por

lo cual se dice que el plano tiene dimensión dos.

Determinar si un vector es combinación lineal de otros vectores:

En forma general, un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores

a y b, si existen números reales p y q, tales que u = p . a + q . b.

Vectores colineales:

Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son

proporcionales , es decir, uno es combinación lineal del otro.

Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y

C = (-3,5) expresar a como una combinación lineal de b y c.

a = p . b + q . c

31

(3,4) = p(-1,0) + q(-3,5) (3,4) =( -p,0) + (-3q,5q)

(3,4) = (-p-3q,0+5q) 3 = -p - 3q

4 = 0 + 5q

Despejamos q: 4 = 5q q = 4/5

Despejamos p: 3 = -p-3q 3 = -p-3( 4/5 )

3 = -p-12/5

p = -3-12/5

p = -12-15 = p =-27/5

5

a = -27/5 b + 4/5 c

Expresar el vector a como combinación lineal de los otros vectores:

1) a = (2,4) combinación lineal de b = (1,2) , c = (-1,3)

2) a = (1,5) combinación lineal de b = (2,4) ; c = (-2,-4)

3) a = (1,-1) combinación lineal de b = (-2,4) ; c = (5,-2)

4) a = (-2,0) combinación lineal de b = (1,0) ; c = (3,6)

5) a = (3,2) combinación lineal de b = (-3,-2) ; c = (3,4)

32

Suma y diferencia de Ángulos:

Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando suman 90°.

Ángulos Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a

Π = 180°.

Fórmulas: Sen(A+B) = SenA . CosB + CosA . SenB

Sen(A+B) = SenA . CosB – CosB . SenB

Cos(A+B) = CosA . CosB – SenA . SenB

Cos(A-B) = Cosa . CosB + SenA . SenB

Tg(A+B) = TgA + TgB

1 – TgA . TgB

Tg(A-B) = TgA + TgB

1 + TgA . TgB

33

Formulas auxiliares: Cos A = 1 – Sen2 A

Sen B = 1 – Cos2 B Sen A = Tg A

1+ Tg2A

CosA = 1 TgA = 1 – Cos2A

1 + Tg2A CosA

Ejemplo: Dado SenA = 3/5 (A en el II cuadrante), calcular Sen(30°+A)

CosA = 1 – Sen2A CosA = 1 – (3/5)2

CosA = 25-9 = CosA = 16 = CosA = -4/5

25 25

Sen 30° = 1/2

Cos 30° = √3/3 Sen(30°+ A) = 1/2 . (-4/5) + √3/2 . 3/5

34

Sen(30° + A) = -4 + 3√3

10

1) Dado SenA = 3/5 y CosB = 5/6 ; Calcular Cos(A-B), sabiendo que A

y B son agudos .

2) Dado TgA = ¾ . Hallar Sen(A+B).

3) Dado CosA = 1/2 (A en el I cuadrante) . Hallar : Tg(A-60°)

4) Dado SenA = 2/3 y CosB = ¾ ; Calcular Cos(A + B), sabiendo que A

y B son agudos.

35

Deducir las funciones trigonométricas de ángulos dobles:

Fórmulas: Sen2A = 2SenA . CosA Cos2A = Cos2A – Sen2A

Tg2A = 2 tg A SenA = 1 – Cos2A

1 – Tg2a 2

CosA = 1 + Cos2A TgA = 1 – Cos2A

2 1 + Cos2A

Ejemplo: Dado SenA = 1/3, calcular Cos2A.

Cos2A = 2 . Sen2A = 1 – Cos2A Cos2A = 1 – 2Sen2A

Cos2A = 1 – 2(1/3)2 = Cos2A = 1 – 2(1/9) = Cos2A = 1 – 2

9

Cos2A = 9 – 2 = Cos2A = 7/9

9

36

Dadas las siguientes funciones, hallar sus ángulos dobles:

1) Dado SenA = 4/5. Calcular Tg 2A.

2) Dado SenA = 3/5 y CosA = ½. Hallar Sen2A.

3) Dado CosA = 2/3 y SenA = 2/4. Hallar Cos2A.

4) Dado TgA = 3/5. Hallar Tg2A.

5) Dado Cos2A = 4/6 y SenA = ¼. Hallar Cos2A.

6) Dado CosA = 4/7 y SenA =6/8 . Hallar Sen2A.

Deducir las funciones trigonométricas de ángulos medios:

Fórmulas: CosA/2 = 1 – Sen2A/2 TgA/2 = SenA/2

CosA/2

TgA/2 = 1 – CosA Tg2A = 1

1 + CosA Ctg2A

Sen2A = Tg2A Cos2A = 1

1 + Tg22A 1 + Tg22A

37

Cos2A = 1 – Sen22A SenA = 1 – Cos2A

2

CosA = 1 + Cos2A SenA/2 = 1 - CosA

2 2

Resuelve los siguientes ejercicios:

1) Dado SenA/2 = 1/3 . Calcular Cos A/2 y TgA/2

Resp. CosA/2 = 2√2 ; TgA/2 = √2

3 4

2) Dado TgA/2 = √3 . Calcular SenA, CosA y TgA.

Resp. CosA = -1/2 , SenA = √3/2 ; TgA = - √3

3) Dado Sen2A = ½ . Calcular SenA.

Resp. Cos2/A = √3/2 ; SenA = 2 - √3

4

38

4) Dado SenA/2 = 2/5. Hallar Cos A/2.

5) Dado Sen A/2 = 6 y Cos A/2 = 5. Hallar Tg A/2

6) Dado Cos A = 6/7. Hallar Tg A/2.

7) Dado Ctg 2A = 4/6 . Hallar Tg 2A.

8) Dado Tg 2A = 2/3. Hallar Sen 2A.

9) Dado Sen 2A = 1/3. Hallar Cos 2A.

10) Dado Cos A = 2/4. Hallar Sen A/2.

Simplificar las expresiones trigonométricas:

1) Simplificar la expresión Sen arc sen √3

2

α = arc sen √3/2 Entonces : sen α = √3/2

Sen arc sen √3 = Sen α = √3/2

2

Expresiones de ayuda:

Cos2α = 1 – Sen2α Ctgα = Cosα

Sen α

39

Simplificar las expresiones siguientes:

1) Simplificar la expresión Cos arc sen 7/8

2) Simplificar la expresión Ctg arc cos 1/2

3) Simplificar la expresión Sen arc cos √3/2

4) Simplificar la expresión Cos arc sen √3/2

Deducir la Ley del Seno a partir del producto escalar de vectores:

Ley del Seno: los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos.

Fórmula General: a = b = c

SenA SenB SenC

40

b = a . SenB SenC = c . SenA SenA = a . SenB

SenA a b

SenB = b . SenA c = a . SenC a = b . SenA

SenB SenA SenB

c = b . SenC a = c . SenA b = c . SenB

SenB SenC SenC

SenA = a . SenC

c

Ejemplo: En el triángulo se cumple:

a = 10m

b = 5 √2 m a C b

α B = 30°

Hallar: α A B A

c

SenA = a . SenB SenA = 10m . Sen30° = SenA = 10m . 1/2

B 5√2m 5√2m

SenA = 10 m SenA = 1 = 0,7071067 equivale a 45°

2 √2

5√2m

41

Resuelve aplicando la ley del Seno:

1) a = 20 m 2) αA = 80° 30’

b = 50 m αB = 40° 40’

α = 68° 20’ a = 250 m

Calcular αB y αC Hallar b

3) a = 34 m 4) c = 34 m

b = 25 m αA = 23° 12’

αB = 23°56’ αC = 34° 45’

Hallar SenA Hallar: a

Resuelveéstosejercicios

42

Deducir la Ley del Coseno a partir del producto escalar de vectores:

Fórmulas: a . b = / a / . / b / . Cos α Cos α = a . b

/ a / . / b /

b = a2 + c2 – 2ac . Cos β Cos A = b2 + c2 – a2

2 . b . c

Cos B = a2 + c2 – b2

2 . a . c

Ejemplo: Calcular a . b = 30°, sabiendo que c . d = 120°; / a / = 3; / b / = 4

/ d / = 2; / c / = 5

a . b = / a / . / b / . Cos α / a / . / b / . 30° = 3 . 4 . √3/2

= 12 . √3/2 = 6 √3

c . d = / c / . / d / . Cos 180° - 120° Cos 60° = 1/2

c . d = -5 . 2 . 1/2 = c . d = -5 ( por sentido contrario)

43

Resuelve los siguientes ejercicios:

1) Hallar el producto a . b, dónde : / a / = 4 ; / b / = 5 , dirección

inclinada 60° con la horizontal y sentido ascendente hacia la derecha.

2) Dado a . b = 20, dónde / a / = 5 y / b / = 8. Calcular el ángulo que

forman los vectores.

3) Calcular a . b = 45°, sabiendo que c . d = 90° ; / a / = 5

/ b / = 6 ; / d / = 4 ; / c / = 5

4) En el triángulo se conocen:

α B = 82° 30’

c = 40 m c A b

a = 80 m B C

Hallar . b a

44

5) En el triangulo conocemos que : a = 10 m ; b = 40 m y c = 70 m.

Calcular el ángulo de A.

b

c A

B C

a

6) En el triángulo conocemos:

a = 64 m

b = 48 m a

c = 80 m b C

Calcular: α A y α B A B

c

Funciones Directas: las funciones trigonométricas directas son uniformes ( tienen

un solo valor).

45

Funciones Inversas: las funciones trigonométricas inversas son multiformes

(tienen varios valores).

Ejemplos:

1) Tg x = √3 inversa = x = arc, tg √3 ó x = Tg-1√3

2) Cos x = √2/2 inversa = x = arc, Cos √2/2 ó x = Cos-1√2/2

Resolver las ecuaciones trigonométricas inversas:

1) Resolver Cos x = 1/2 ; 0 < x < 90°

x1 = arc, Cos 1/2 = x1 = Cos 1/2 = Inv.Cos-1 = x1 = 60°

46

2) Resolver Sen x = 1/2

x1 = arc,Sen1/2 = x1 = Sen 0,5 = inv. Sen-1 = x1= 30°

x2 = 150°

150° 30°

Resolver las siguientes ecuaciones aplicando inversa:

1) Resolver Cos x = √2/2 0° < x < 90°

2) Resolver Sen x = √3/2 0° < x < 90°

3) Resolver Tg x = 1 0° < x < 360°

4) Resolver 2 Sen x + 1 = 0 0° < x < 360°

5) Resolver √2 Cos x – 1 = 0 0° < x < 360°

47

Sistema de Coordenadas:

y

x

Cuando las rectas secantes en el plano son perpendiculares, el sistema cartesiano

se llama rectangular u ortogonal.

Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos

puntos de dos rectas.

L´

L

0

48

Trazamos por un punto (p) cualquiera recta paralela dada, cuyos puntos de corte

son (a y b).

b L’ p

L

0 a

Se observa que el par (a, b) representan rectas reales del mismo origen, entonces

(a, b) ε R x R

.

Representar puntos en el plano:

1) Situar los puntos. a(3,2) ; b(2,-1) ; c(1,-2)

y

3

2 a

1

-1 0 1 2 3 x

-1 b

-2 c

49

Función real de variable real:

Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de

R(x R).

Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos

de un conjunto de números. A este conjunto de números se le llama dominio de la

variable.

En la aplicación f : x R , como x es un subconjunto de R, llamamos x a

cualquiera de los números del conjunto x, es decir, x es la variable independiente

porque se le da valores arbitrarios.

Graficar funciones reales:

Pasos:

a) Se calculan las imágenes de los elementos del dominio según la función dada.

b) Se calcula los pares y con ellos se elabora una tabla de valores en forma

vertical u horizontal, según el número de puntos.

c) Se dibuja en un sistema cartesiano ortogonal los pares.

50

Tipos de funciones reales:

a) Funciones algebraicas.

b) Funciones trascendentes.

c) Funciones directas.

d) Funciones inversas.

Representa los puntos en el plano:

1) a(3,6) ; b(-3,()) ; c(-5,-.3)

2) a(2,-4) ; b(4,3) ; c(-2,-5)

3) a(2,1) , b(5,-8) ; c(-2,-4)

4) a(3,9) ; b(5,-3) ; c(-6,4)

Representa las siguientes funciones reales:

1) f(x) = 3x –1 donde x = {-2,-1,0,1,2}

2) f(x) = x2+ 3 donde x = {-2,-1,0,1,2}

3) f(x) = -x –5 donde x = {-2,-1,0,1,2}

2

Recuerda queexisten cuatrofunciones reales

51

4) f(x) = x donde x = {2,4,9,16}

El Dominio en funciones continuas y discontinuas:

Cuando las funciones tienen como denominador la variable o una función de ella,

es necesario determinar para que valores de x dicho denominador se anula; pues

como no está definida la división por cero, estos valores hay que eliminarlos, por lo

tanto, para determinar el dominio de dichas funciones se procede así:

a) Se iguala a cero el denominador.

b) Se resuelve la ecuación resultante.

c) Se excluyen las raíces de la ecuación anterior.

Ejemplo: Determinar el dominio f(x) = 2

x + 1

x + 1 = 0 donde x = -1

R – {-1} dominio es todo el campo real menos (- 1)

52

Calculo del Dominio en una raíz:

Cuando las funciones tienen bajo el signo de raíz de índice par a la variable

independiente x, es necesario que dicha parte radical sea cero o positiva, para que la

función esté definida, por lo tanto, para determinar el dominio de este tipo de

funciones, se procede así:

1) Se forma una inecuación con la parte sub-radical mayor o igual a cero.

2) Se resuelve dicha inecuación.

3) La respuesta de dicha inecuación es el dominio.

Ejemplo: Determinar el dominio f(x) = x + 3

x + 3 0 x -3

-3 -2 -1 0 1

-3,

53

Determina el dominio de las funciones:

1) f(x) = 3x 2) f(x) = 4x - 2

x2-4 3x – 6

3) f(x) = 3x + 1 4) f(x) = x

x2+5x+6 x2 – 9

Determina el dominio de las raíces:

1) f(x) = 2x-4 2) f(x) = x – 1

3) f(x) = x2- 4x + 3 4) f(x) = 6x + 12

54

Definir la función exponencial con exponente real:

R f(x) = ax R*+

Significa que dado un número R, obtendremos una imagen R*+, a través

de la expresión f(x) = ax , siendo a 0 y a 1.

Como al hacer operaciones con números irracionales los sustituimos por su

expresión decimal aproximada, al potenciar con exponentes irracionales, sustituimos

el exponente irracional por su expresión decimal aproximada.

Ejemplos: 1) a2 = a1,41 2) a = a3,1416

55

Propiedades de la función exponencial mediante su crecimiento o decrecimiento:

a) Crecimiento: cuando la función es creciente, o sea que los valores muy

grandes, se obtienen valores también grandes de f(x). Se dice que la función

es sobreyectiva porque el rango y el conjunto de valores coinciden, es decir,

todos los elementos de R*+ tienen contraimagen.

Es inyectiva porque a elementos diferentes de R, corresponden elementos

diferentes de R*+.

Como es sobreyectiva e inyectiva, es biyectiva.

y = f(x)

x

b) Decrecimiento: la función es decreciente, porque para valores positivos muy

grandes de x, se obtienen valores muy pequeños de f(x), y para valores

negativos muy grandes de x se obtienen valores muy grandes de f(x).

56

y = f(x)

x

Resuelve y grafica las funciones exponenciales:

1) f(x) = 2x donde x =1,2,3,4 2) f(x) = (1/2)x donde x = 2,1,0,1

3) f(x) = 3x+1 donde x = 0,1,2,3 4) f(x) = 5 – 1x donde x = 0,1,2,3

5) f(x) = x + 2x donde x =0,1,2,3 6) f(x) = 3x – 3x donde x = 1,2,3,4

57

Función Logaritmo:

R*+ g(x)= lgax R

.

g() = lga = g() =

Significa que dado un número R*+ se obtendrá una imagen R a través de

la expresión g(x)= lgax .

Cuando se dan los valores a y para hallar estamos en la función

logarítmica que se anota:

= a donde : = número

a = base

= exponente

lga = donde: a = base

58

= número

= exponente

a) 25 = 52 = lg525 = 2

b) 1000 = 103 = lg101000 = 3

c) 27 = 33 = lg327 = 3

Se deduce que el logaritmo de un número respecto a cierta base, es igual al

exponente a que debe elevarse dicha base para encontrar el número.

Transformar los siguientes números:

a) 36 b) 49 c) 100

d) 121 e) 144 f) 196

g) 256 h) 400 i) 625

Determinar las características de la función logarítmica a través de su

representación gráfica:

59

y

x

1) Los números negativos no tienen logaritmo.

2) Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo.

3) Los números mayores que 1, tienen logaritmo positivo.

4) La función logaritmo es creciente.

Logaritmo Decimal o Briggs:

En el caso particular que la base sea 10 los logaritmos se llaman decimales,

vulgares o de Briggs, en honor al matemático H. Briggs (1561-1630).

Como los logaritmos decimales son los que mas se usan, no se anota la base, por

lo tanto, lg10x se anota lgx .

60

Logaritmo Neperiano:

Es el de base en particular sea el número е = 2,718281 , los logaritmos se llaman

naturales o neperianos, en honor al matemático J. Neper (1550-1617).

Se anota : lnx ó Lx

Propiedades de la Función Logaritmo:

1) Cuando a0 = 1 lga1 = 0

El logaritmo de 1 en cualquier base es cero.

2) Cuando a1 = a lgaa = 1

El logaritmo de la base siempre es uno.

3) lga(m.n) lgan + lgam

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

4) lga(m/n) lgam - lgan

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el

logaritmo del divisor.

5) lga(mn) n . lgam

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de

dicha potencia.

6) lgan√m lga

m

n

61

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la parte sub-radical dividido por

el índice de la raíz.

Ejemplo: Hallar lgax en x = ab2

c3

El quebrado se forma en resta: lga(ab2) – lga c3

Lgaa + 2lgab – 3 lgac

Ejemplo: Hallar lgax en x = (m2+b). 4 mb3

Lgax = lga(m2+b) + lgam + 3lgab

4

62

Aplica logaritmos en:

1) lgax en x = n3. m2. p5 2) lgax en = x2 . y4 + √m3

m2 m

3) lgax en x =√p . (r3 . p4)2 4) lgax en x = (m2 . n4) + p2. n3

5) lgax en x = a3.p4.t5 - p3.b2 6) lgax en x = {r3.p7+(s2.r6)2}

a2.b3

Definir el Antilogaritmo:

Se define antilogaritmo al número que corresponde un logaritmo dado.

Lgax = lgaA – lgaB su antilogaritmo es x = A

B

63

Regla para aplicar antilogaritmos:

1) Todo número, letra o expresión que esté afectada por lga , se transforma en el

número, letra o expresión.

lga4 se transforma en 4

lgaA “ “ “ A

lga (2√b) “ “ “ 2√b

2) Los signos operatorios se transforman de manera inversa que al aplicar

logaritmos.

La suma se transforma en producto.

La resta se transforma en división.

El producto se transforma en potencia.

La división se transforma en Raíz.

3) Todo número, letra o expresión que no esté afectado de lga, se transforma a

elevado a dicho número, letra o expresión.

lga3 se transforma en a3

lgaA se transforma en aA

lgab se transforma en ab

4) Al aplicar antilogaritmo los términos positivos de la expresión logarítmica

pertenecen al numerador y los términos negativos al denominador de la

expresión final.

Calcular logaritmos decimales exactos:

Cuando se dispone de una calculadora, que permita obtener los cálculos en forma

rápida y precisa, no hace falta la tabla de valores logarítmicas de los números.

64

1) Hallar el logaritmo decimal de 48,7

1,6875 característica = 1 mantisa = 6875

2) Hallar el logaritmo decimal de 0,04

-1,3979 característica = -1 mantisa = 3979

Definir la Característica:

Es la parte entera del logaritmo de todo número que no sea una potencia de

10.

Valor de la Característica:

1) La característica del logaritmo de un N° mayor que 10 es positiva y su valor

absoluto es 1 menos el número de cifras enteras del número.

2) La característica del logaritmo de un N° comprendido en 1 y 10 es cero.

3) La característica de un N° menor que 1 es negativo y su valor absoluto es 1

más el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra

significativa decimal.

65

Definir la Mantisa:

Es la parte decimal del logaritmo. La mantisa siempre es positiva y se calcula

con la ayuda de las tablas de logaritmos.

Cologaritmo de un Logaritmo:

1) Se calcula el logaritmo del número.

2) A la característica del número se le suma una unidad positiva y al resultado

obtenido se le cambia de signo.

3) A cada una de las cifras de la mantisa se le resta 9 empezando por la izquier-

da, menos la última cifra significativa que se resta de 10.

4) Para comprobar los cálculos sumamos el logaritmo con su cologaritmo y el

resultado tiene que dar cero.

66

1) Calcular el cologaritmo del logaritmo 4,252

Característica: 4 + 1 = 5

Mantisa: 252 9-2 = 7

9-5 = 4

10-2 = 8

cologaritmo = 5 , 748 comprobación: 4,252

5,748

0

Calcular los cologaritmos de los siguientes logaritmos:

1) 3,263 2) 2,8603 3) 0.087

4) 1,460 5) 16,253 6) 14,073

7) 4,001 8) 0,005 9) 3,7564

67

Ecuaciones Exponenciales aplicando logaritmos:

Son las ecuaciones que tienen la incógnita en forma de exponente. Se resuelven

aplicando logaritmos o por artificio de cálculo.

Resolver 5x+3 = 7x-1

aplicamos logaritmos (x + 3) lg5 = (x-1) lg7

igualamos a un solo miembro x + 3 = lg7

x – 1 lg5

calculamos logaritmos y sustituimos valores lg7 = 0,8451 ; lg5 = 0,6990

x + 3 = 0,8451 = x + 3 = 1,20 = x + 3 = 1,20(x – 1)

x – 1 0,6990 x – 1

x + 3 = 1,20x – 1,20

x – 1,20x = - 1,20 –3

-0,2x = - 4,40

x = - 4,20 x = 21

- 0,20

68

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 3x-2 = 52x+1 2) 2x+1.33x+2= 44x+3 3) 2x-5 = 0,003

4) 0,005x-3 = 0,04 5) 62x+9 = 7x-6 6) 0,45x+5 = 84x+2

Ecuaciones Exponenciales:

Se llaman ecuaciones binomias a las que solamente tienen dos términos y para

resolverlos se procede así:

1) Se hacen las transformaciones algebraicas necesarias hasta que las bases

sean iguales.

2) Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante.

69

Ejemplo: Resolver la ecuación 2x = 32

32 = 52 donde 2x = 25 igualamos exponentes x = 5

Ejemplo: Resolver la ecuación 3x-5 = 27

27 = 33 donde 3x-5 = 33 igualamos exponentes x – 5 = 3

x =5 + 3

x = 8

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 5x = 125 2) 6x = 36 3) 5x= 25

4) 0,32x-8 = 0,0081 5) (1/2)x-3 = 1/32 6) 25x-10 = 1

70

Definir el conjunto de los N° Complejos:

Un número complejo es un par ordenado (a , b) de números reales. Este par de

números pertenece al producto cartesiano:

R x R = R2 (a , b) R2

Representar Números Complejos:

Ejemplo: Representar los N° complejos Z1 =(4,3) ; Z2= (-2,4) ; Z3 = (3,-2)

y

4

3 Z1

2

1

-2 -1 0 1 2 3 4 x

-1

-2 Z2

Z3

71

Suma de Números Complejos:

Ejemplo: Dados Z1 = (3,4) ; Z2 = (-4,1)

Z1 + Z2 = (3+4) + (-4,1) = 3 + (-4), 4 + 1 = (-1,5)

Resta de Números Complejos:

Ejemplo: Dados Z1 = (4,0) ; Z2 = (-1,3)

Z1 – Z2 = (4,0) – (-1,3) = { 4 – (- 1) , 0 – 3 } = (5,-3)

Producto de Números Complejos:

Dados Z1 = (a1,b1) ; Z2 = (a2,b2)

Fórmula: Z1 . Z2 = (a1 . a2 – b1 . b2 , a1 . b2 + b1 . a2 )

Hallar el producto de los N° complejos Z1 = (4,2) ; Z2 = (-3,1)

72

Z1 . Z2 = (4,2) . (-3,1) = { 4 . (-3) – 2 . 1 , 4 .1 + 2 . (-3)}

= (-12 –2 , 4 – 6) = (-14,-2)

División de Números Complejos:

Ejemplo. Dados Z1 = (2,4) ; Z2 = (1,0) . Hallar Z1 : Z2

Z1 = (a1 , b1) = a1 . a2 – b1 . b2 , b1 . a2 –a1 . b2

Z2 (a2 , b2) a22 + b2

2 a22 + b2

2

Z1 = (2,4) = 2 . 1 + (-3) . 4 , -3 . 2 – (-1) . 4 = (-10,-2)

Z2 (1,0) 12 + 02 12 + 02

Efectúa las siguientes sumas:

1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,5) 2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,8)

3) Z1 = (-4,8) ; Z2 = (-4,7) 4) Z1 = (4,7) ; Z2 = (7,-3)

5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,1) 6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)

73

Efectúa las siguientes sustracciones:

1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,-5) 2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,4)

3) Z1 = (-4,2) ; Z2 = (-4-,7) 4) Z1 = (4,-7) ; Z2 = (7,-3)

5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,-5) 6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)

Efectúa los siguientes productos:

1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8) 2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)

3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2) 4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)

Efectúa las siguientes divisiones:

1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8) 2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)

3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2) 4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)

74

Números Complejos en forma binómica:

Efectuar (2+ 3i) + (3 - 2i) – (-4+ i)

2 + 3i + 3 – 2i + 4 – i = 9

Ejemplo: Efectuar (3 + 4i) . (2 – 3i)

6 – 9i + 8i – 12i2 = 6 – i + 12 = 18 – i sabemos que i = i

i2 = 1

Efectuar 3 + 2i

4 – 3i

3 + 2i . 3 + 2i = 12 + 9i + 8i + 6i2 = 12 + 17i – 6 = 6 + 17i

4 – 3i 4 – 3i (4)2 – (3i)2 16 – 9 7 7

75

Efectúa las siguientes operaciones:

1) (3 + 4i) – (8 +6i) – (5 + 4i) 2) (7 – 6i) + (3 – 6i) + (2 – 7i)

3) (4 + 3i) . (6 – 2i) 4) (7 – 2i) . (9 – 5i)

5) 3i 6) 4 + 5i

1 - i 2i

7) 2i 8) 4i + 2

3 – 2i i

Transformación de un N° complejo a forma polar o trigonométrica:

Dado el N° complejo Z = 3 + 3i

r = 32 + 32 = r = 9 + 3 r = 12 = 2 3

76

= arc. tg 3 = 30° Z = a + bi = r(Cos + I Sen ) = r Cis

3

Z = 3 + 3i = 23 (Cos 30° + I Sen 30°) = 23 Cis 30°

Transformar a forma trigonométrica:

1) Z = 4 + 2i 2) Z = 5 + 3i

3) Z = 7 + 7i 4) Z = 2 + 6i

5) Z = 5 ( Resp. 5Cis0°) 6) Z = 2i (Resp. 2Cis 90°)

77

Transformación de un número complejo en forma trigonométrica a forma

binómica:

Transformar Z = 2 Cis 60°

Z = 2 Cis 60° = 2(Cos 60° + i Sen 60°) = 2 (1/2 + 3i/2) = 1 + 3i

Transformar a forma binómica:

1) Z = 1/3 Cis 150° 2) Z = 2 Cis 300°

3) Z = 5 Cis 45° 4) Z = 6 Cis 30°

5) Z = 7 Cis 60° 6) Z = 8 Cis 90°

78

Sucesión en R:

Se llama sucesión de números reales a toda aplicación de N en R..

( f : N R )

Determinar los elementos de una Sucesión:

f1, f2, f3............fn f1 = primer término

f2 = segundo término

f3 = tercer término

fn = término general

Término general de una Sucesión:

Para calcular cada uno de los términos de la sucesión, se sustituye en la

expresión el término general “n” por 0, 1, 2, etc; y así se obtiene el primero,

segundo, etc, términos de la sucesión.

Progresión Aritmética:

Una progresión aritmética es una sucesión de N° reales, tales que cada término se

forma, sumando algebraicamente una cantidad constante al término anterior.

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Elementos de una progresión aritmética:

Cantidad constante = r razón

Términos = a1, a2, a3,.......an

a1 = primer término n = N° de términos an = último término

Progresión Geométrica como una función sucesión:

Una progresión geométrica es una sucesión de N° reales, tales que cada término

se forma multiplicando por una cantidad constante al término anterior.

Elementos de una Progresión Geométrica:

Fórmula: an = a1 . rn-1 an = ultimo término

a1 = primer término

r = razón

n = N° de términos

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Ejemplo de Sucesiones: Calcular la Sucesión fn = 2n

n+1

f0 = 2 . 0 f0 = 0 f1 = 2 . 1 f1 = 1

0 + 1 1+1

f2 = 2 . 2 f2 = 4/3 fn = 0, 1, 4/3, ……. 2n

2+1 n+1

Formulas y despejes:

Término enésimo:

1) an = a1 + (n-1) . r 2) n = an – a1 + 1

r

3) r = an – a1 4) an = a1 . rn-1

n-1

5) a1 = an 6) r = n-1 an

rn-1 a1

7) n = lgan – lga1 + 1

lgr

Repasa estasfórmulas desucesiones

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.- Calcular el quinto término de una P. A de razón 2 que empieza en 3.

an = x an = 3 + (5-1) . 2 an = a1 + (n-1) . r

a1 = 3 an = 3 +( 4 . 2)

n = 5 an = 3 + 8

r = 2 an = 11

.- Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 5, termina en 83 y la

razón es 3.

n = x n = an – a1 + 1

a1 = 5 r

an = 83 n = 83 – 5 + 1 = n = 78 + 1 = n = 26+1

r = 3 3 3

n = 27

.- Calcular la razón de una P. A que empieza en 8, termina en 40 y tiene 17

términos.

r = x r = an – a1 = r = 40 – 8 = r = 32 = r = 2

a1 = 8 n-1 17-1 16

an = 40

n = 17

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.- Calcular el cuarto termino de una P. G de razón 1/2 que empieza en 8.

n = 4 an = a1 . rn-1 an = 8 . (1/2)4-1 an = 8 . (1/2)3

an = x

r = 1/2 an = 8 . 1/8 an = 1

a1 = 8

.- Calcular la razón de una P. G de cuatro términos que empieza en 3 y termine

En 81.

r = x r = n-1 an r = 4-1 81

n = 4 an 3

a1 = 3

an = 81 r = 3 27 r = 3

.- Calcular el ultimo término de una P. G de 5 términos, que empieza en 1/16 y la

razón es 2.

an = x an = a1 . rn-1 an = 1/16 . 25-1 an = 1/16 . 24

r = 2

n = 5 an = 1/16 . 16 an = 1

a1 = 1/16

d) Interpolar 4 medios aritméticos entre los números 5 y 20.

a1 = 5 r = an – a1 r = 20 – 5 r = 15 r = 3

an = 20 r-1 6 – 1 5

n = 4+2 = 6

r = x

83

a1 = 5

a2 = a1 + r = 5 + 3 = 8

a3 = a2 + r = 8 + 3 = 11

a4 = a3 + r = 11 + 3 = 14

a5 = a4 + r = 14 + 3 = 17

a6 = a5 + r = 17 + 3 = 20

e) Interpolar 4 medios geométricos entre 2 y 64

a1 = 2 r = n-1 an r = 6-1 64

an = 64 a1 2

n = 4+2 = 6

r = x r = 5 32 r = 2

a1 = 2

a2 = r . a1 = 2 . 2 = 4

a3 = 2 . 4 = 8

a4 = 2 . 8 = 16

a5 = 2 . 16 = 32

a6 = 2 .32 = 64

f) Calcular la suma de los términos de una P .G de razón ½ que empieza en 2/5

y termina en 50.

S = x S = an . r – a1 S = 50 . (1/2) – (2/5)

r = ½ r –1 (1/2) - 1

a1 = 2/5

an = 50 S =50/2 – 2/5 S = 123/5 S = - 246/5

1 –2 -1/2

2

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g) Calcular el término central de una P. G que empieza en √2 y termina en

200√2.

a1 = √2 ac = a1 . an ac = √2 . 200√2

an = 200√2

ac = x ac = 400 ac = 20

Calcular las siguientes sucesiones:

1) fn = 3n – 1 2) fn = n + 4

3) fn = 3n + 2 4) fn = 3n –0

n

5) fn = 5 + 3n 6) fn = n2 + 2

2

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1) Calcular el tercer término de una P. A de razón 5 que empieza en 4.

2) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 7, termina en

23 y la razón es 2.

3) Calcular la razón de una P. A que empieza en 10, termina en 25 y tie-

ne 16 términos.

1) Calcular el quinto término de una P .G de razón 6 que empieza en 3.

2) Calcular la razón de una P .G de seis términos que empieza en 5 tér-

mina en 56.

3) Calcular el último termino de una P .G de 3 términos, que empieza en

6 y la razón es 5.

1) Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 4 y 25.

2) Interpolar 3 medios diferenciales entre 1/3 y -2/5.

3) Interpolar 6 medios aritméticos entre los números 6 y 30.

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1) Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 54.

2) Interpolar 7 medios proporcionales entre 2 y 18.

3) Interpolar 4 medios geométricos entre 8 y 40.

1) Calcular el término central de una P .G que empieza en 4 y termina

en 12.

2) Calcular la suma de los 10 primeros términos de una P . A que em-

pieza en ½ y termina en 2/5.

3) Calcular el N° de términos de una P. A que empieza en 4 , termina

en 100 y la suma vale 520.

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BIBLIOGRAFÍA

NAVARRO, E..................................................Matemática para Cuarto Año. Libro

de Práctica. Distribuidora Zacarías.

Caracas. Venezuela.

GONZALEZ, Reinaldo....................................Matemática. Primer Año. Educación

Media Diversificada y Profesional .

Editorial Obelisco. Caracas. Venezuela

1991.