cuadernilo de calculo diferencial e integral

5/14/2018 Cuadernilo de Calculo Diferencial e Integral - slidepdf.com

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Vicerrectoría AcadémicaCuaderno de Apuntes – 2010

Cuadernos de Apuntes de uso exclusivo estudiantes del Instituto Profesional AIEP: Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP.1

CUADERNO DE APUNTESDE

CALCULO DIFERENCIAL

E

INTEGRAL2010





I. PROGRAMA DEL MÓDULO

I: IDENTIFICACIÓN

NOMBRE DEL MÓDULO: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UNIDAD DE COMPETENCIA: Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de:Operar con métodos y técnicas de resolución cuantitativa de problemas,demostrando manejo conceptual y operativo de teoría de funciones, derivadas eintegrales, habilidad para utilizar calculadora electrónica y capacidad parainterpretar los resultados en el contexto de los casos.

DURACIÓN: 72 horas pedagógicas

II: DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITOÁrea de formación: general diferenciadaUbicación en la malla: 5º semestrePrerrequisito: no tiene

III: UNIDADES DE APRENDIZAJE1º UNIDAD: Funciones Reales, límite y continuidad DURACIÓN: 24 horas pedagógicas

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS RELEVANTES

- Identifican y caracterizan la función lineal en forma analítica y gráfica,

relacionando su estudio con la especialidad. - Resuelven problemas contextualizados en la especialidad,

demostrando capacidad para operar con la función lineal. - Identifican y caracterizan la función cuadrática en forma analítica y

gráfica, relacionando su estudio con la especialidad. - Resuelven problemas contextualizados en la especialidad,

demostrando capacidad para operar con la función cuadrática. - Identifican y caracterizan la función exponencial y la función

logarítmica en forma analítica y gráfica. - Analizan fenómenos de crecimiento exponencial y logarítmico en

forma analítica y gráfica, relacionando su estudio con la especialidad.

- Resuelven problemas contextualizados en la especialidad, aplicandomodelos exponencial y logarítmico.

Función lineal: - Características - Ecuación representativa - Gráfico - AplicacionesFunción cuadrática: - Características - Ecuación general y particular - Gráfico - AplicacionesFunciones logarítmicas y exponenciales:

- Características - Ecuación representativa - Gráfico - Aplicaciones

- Calculan límite de una función real. - Aplican propiedades de las operaciones con límites, en forma gráfica

y analítica.

Concepto de límite de una función real: - Teoremas de límites - Continuidad. - Límites por la derecha y por la izquierda.





- Relacionan la continuidad de una función real con el concepto de límite. - Calculan límites laterales. - Calculan límites de funciones racionales, polinómicas, compuestas y

trigonométricas. - Examinan si una función es continua o discontinua.

- Identifican límite infinito. - Determinan asíntotas posibles de una función.

- Discontinuidad evitable e inevitable - Límite infinito - Asíntota vertical y horizontal

2º UNIDAD: La Derivada y sus aplicacionesDURACIÓN: 24 horas pedagógicas

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

- Expresan el concepto de derivada de una función.

- Aplican el concepto de derivada al cálculo de tasas e incrementos. - Derivan funciones reales de una variable, aplicando las propiedades

de las operaciones: - De la función constante

- De la función potencia - De la suma y resta de funciones - Del producto de una constante por una función. - Del producto de funciones - De un cuociente de funciones

-

Regla de la cadena - De la función exponencial - De la función logarítmica

- Calculan función derivada a funciones polinómicas, exponenciales,logarítmicas, seno y coseno.

- Valoran funciones derivadas en un punto.

- Evalúan la existencia y calculan puntos críticos de una función.

- Calculan máximos y mínimos relativos de una función. - Calculan intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. - Resuelven problemas sencillos de máximos y mínimos.

-Derivada de una función real: Definició

Notación. Interpretación geométrica. -Incrementos y tasas -Propiedades de la función derivada con unvariable:

- De la función constante

- De la función potencia - De la suma y resta de funciones - Del producto de una constante por

una función. - Del producto de funciones

-

De un cuociente de funciones

- Regla de la cadena - De la función exponencial - De la función logarítmica

-Derivada a funciones polinómicaexponenciales, logarítmicas, seno y cosen

-Valoración de funciones derivadas en upunto.

-Determinación de puntos críticos con primera derivada:

-Intervalos de crecimiento y decrecimiento

-Máximos y mínimos locales -Máximos y Mínimos. Criterio de la segundderivada.





3º UNIDAD: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONESDURACIÓN: 24 horas pedagógicas

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

- Identifican la integral como antiderivada o función primitiva. - Calculan integrales indefinidas de la función potencia, polinómica,

exponencial y logarítmica. - Calculan valor numérico de integrales definidas de la función potencia,

polinómica, exponencial y logarítmica. - Aplican la integral definida al cálculo de áreas planas bajo la curva. - Demuestran comprensión de la utilidad de la matemática para la

resolución de problemas en distintos ámbitos humanos.

-Concepto de integral -Integral indefinida. Concepto y fórmulas dcálculo para funciones potencia, polinómicexponencial y logarítmica.

-Integral definida. Concepto y cálculo de svalor numérico.

-Aplicación de la integral definida a resolución de problemas.

-Utilidad de la matemática para la resolucióde problemas.

IV: BIBLIOGRAFÍAEdwards, Bruce H.; Hostetler, Robert P.; Larson, Roland E.; Cálculo I. Edición N° 8. Mc Graw Hill, 2005.ISBN: 9701052749.

Barrios, Javier - Carrillo Marianela - Gil, María. Análisis de Funciones en Economía y Empresa. Un EnfoqueInterdisciplina. Díaz de Santos, 2004.





II. DESARROLLO

PRIMERA UNIDAD: FUNCIONES REALES, LIMITE Y CONTINUIDAD

CLASE 1

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican y caracterizan la función lineal en forma

analítica y gráfica, relacionando su estudio con laespecialidad.

- Resuelven problemas contextualizados en laespecialidad, demostrando capacidad para operar con la función lineal.

Función lineal: - Características - Ecuación representativa - Gráfico - Aplicaciones

a) Concepto de recta

La recta, representa gráficamente, a una función lineal (o de primer grado).

La representaremos de dos formas:

Donde:

a, A, B y C: parámetros constantes

x: es la variable independiente ( ) y representa el Dominio de la función

y: es la variable dependiente ( y representa el Recorrido o imagen de la función

m: pendiente de la recta

Si , entonces diremos que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo:

El punto (10,8), satisface la ecuación y = x - 2, ya que al reemplazar queda 8 = 10 – 2, lo que es verdadero.

Al representar, gráficamente, el punto , entonces la variable será:





Al representar, gráficamente, el punto , entonces la variable será:

b) Propiedades de la función lineal

Si , entonces es una función creciente ( ver gráfico 1)

Si , entonces es una función decreciente ( ver gráfico 2)

Si ( ver gráfico 3)

Lo anterior, significa que para cualquier valor de x, el valor de y, será el mismo ( ver gráfico 3). En otraspalabras, el recorrido de la función, será un valor constante.

Gráfico 1: recta de pendiente m > 0





Gráfico 2: recta de pendiente m < 0

Gráfico 3: recta de pendiente m = 0

El ángulo , representa la inclinación de la pendiente respecto al eje x. (ver gráfico 4)





Gráfico 4: ángulo de la pendiente m

El valor de la pendiente se puede obtener, determinando la tangente del ángulo de inclinación . Estoes:

Por ejemplo, si = 40º, entonces.

El valor del ángulo de inclinación , se puede obtener, a partir de la función arcotangente

Por ejemplo, si m = 0,45, entonces.

Denominaremos , coeficiente de posición, el que nos indicará el punto donde la recta cortará al ejevertical.

Si , entonces la recta pasará, obligadamente, por el punto (0,0). (Ver gráfico 5)





Gráfico 5: recta cuyo coeficiente de posición es cero

c) Pendiente de una recta

Cuando se tienen dos puntos ), entonces podemos calcular el valor de la pendientea través de la siguiente fórmula:

Ejemplo:

Sean el par de puntos

d) Ecuación de la recta en función de dos puntos dados

Sea:

Si reemplazamos m, en la función anterior, tenemos:





Por ejemplo:

En la ecuación general de la recta, la pendiente y el coeficiente de posición quedan determinados por:

Si despejamos la variable y, de la ecuación general de la recta, obtendremos la ecuación principal.Además, obtendremos los valores para m y a.

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 10x +2y -7 = 0?

e) Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos.

Sean:

:

:

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1.

:





:

III. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

A)

Sean los siguientes pares ordenados . Determine:

a) La pendiente de la función linealb) La ecuación de la función linealc) El valor de

Respuesta:

a) La pendiente de la función lineal queda::

b) La ecuación de la función lineal queda:





c) Los valores que se obtienen para , son los siguientes:

B) Sea . Determine:

a) La ecuación de la función linealb) ¿Para qué valor de x, y es igual a cero?c) Si se le pide a usted explicar, ¿Qué significa en terreno, el valor de esta pendiente? y ¿Qué ángulo de

inclinación representa en terreno?

a)

b)

c) La explicación, es la siguiente, sobre el valor de la pendiente:





Que cada 100 m que se avance en terreno horizontal, se descenderá 3 m en vertical.

Respecto al ángulo de inclinación, se determina de la siguiente manera:

C) Si la curva de la demanda está dada por la ecuación y la curva de la oferta está dada por . (Observación: Qd: cantidad demandada, Qo: cantidad ofrecida y p: precio).

Responda las siguientes preguntas:

a) ¿Por qué la curva de la demanda tiene pendiente negativa?

Porque los demandantes (nosotros mismos), consumirán una mayor cantidad de un determinado bien oservicio, a medida que el precio del bien o servicio, baje.





b) ¿Por qué la curva de la oferta tiene pendiente positiva?

Porque los oferentes (los productores del bien o servicio), venderán una mayor cantidad de un bien oservicio, a medida que el precio suba.

c) ¿Cuál será el precio máximo que soporta la demanda? Explique por qué no se puede superar ese precio.

Por ejemplo, si reemplazamos en la función de la demanda, un precio de US$ 90, la cantidaddemandada se hará negativa y eso en la práctica no es posible, porque no podemos, por ejemplo, estar comprando -50 kilos de tomate. Se entendió?

Q





d) Halle la cantidad de equilibrio y precio de equilibrio, donde los demandantes y oferentes se ponen deacuerdo en un determinado mercado.

En este caso, debemos igualar ambas ecuaciones, es decir:

Una vez obtenido este precio, lo podemos sustituir en cualquiera de las funciones anteriores, esto es:

Lo haremos en ambas funciones, para que vea que el resultado es el mismo (recuerde que el precio de

equilibrio p=48, se obtuvo de igualar ambas ecuaciones)

e) Construya la gráfica que muestra el equilibrio.

(160,48)

p

Q





D) Una empresa vende un sólo tipo de bien, y para ello incurre en un costo fijo mensual de $$30.000.000 y un costo variable por unidad de $ 2.560, Al respecto, se le pide lo siguiente:

a) Encontrar la función de costo total para una cantidad x

b) Encontrar la función de ingreso total, si el precio de venta por unidad es de $3.840

c) Encontrar la función de utilidad bruta en función de x

d) Determinar la cantidad donde la empresa no tendrá pérdidas ni ganancias

e) Determinar la utilidad bruta que genera el vender 25.000 unidades





E) 1) Un nieto muy regalón, tiene un dinero que le regaló su abuelita, y cuya cantidad es de $2.300.000. El quiere saber la tasa de interés simple mensual que le genere los siguientes valores futuros:

. El periodo que quiere mantener eldinero es de 48 meses.

Para el interés simple, tenemos la siguiente fórmula:

a) Caso a:

b) Caso b:

c) Caso c:





2) Señale cuál es la pendiente de la función anterior

En este caso, el valor que acompaña a la variable , y que es de

3) Explique qué sucede con el valor futuro si la tasa de interés es cero

Lo anterior, significa que el nieto regalón, no tiene idea del valor del dinero en el tiempo, y piensaque dejándolo bajo la cama, éste se incrementará.

4) Grafique los cuatro valores futuros en función de su correspondiente tasa de interés

VF

i





F) La tabla adjunta, muestra los datos de venta anuales de andamios para la construcción (cantidad) de unaFábrica Chilena.

Se pide:

a) Completar la tabla

b) Graficar los datos

c) Encontrar la función que represente las ventas (y) en función de los años (x)

d) Determinar las ventas pronosticadas para los años 11 y 14

Año

( x )

Ventas anuales

( y )

1 2.000

2 2.010

3 2.008

4 2.013

5 2.017

6 2.021

7 2.025

8 2.029

9 2.034

10 2.039





a)

b) Gráfico





c) Usaremos las siguientes fórmulas previas para encontrar los parámetros de la función lineal:

1)

Al reemplazar los datos en las fórmulas, tenemos lo siguiente:

1)

2)

En este caso, vamos a eliminar el parámetro a, multiplicando la primera fila por -55 y, la segunda fila,por 10:

Luego, al sumar ambas filas:

Reemplazaremos este valor de b, en la ecuación 1) (También, lo puede hacer en la ecuación 2)





Finalmente:

d) Determinamos, ahora, los pronósticos de ventas de andamios para el año 11 y 14

El valor de no es entero (recuerde que el número de andamios siempre es un númeroentero, en lo que respecta a ventas), por eso lo dejamos en

El valor de no es entero (recuerde que el número de andamios siempre es un númeroentero, en lo que respecta a ventas), por eso lo dejamos en

IV. EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Determine el valor de m y la ecuación de la recta, si:

¿Qué puede decir sobre el resultado?

¿Qué puede decir sobre el resultado?

2) Encuentre la ecuación de la recta si:





Recuerde que:

3) Suponga que usted está en un sector cordillerano donde el GPS, le indica sus coordenadas deposición. Estas son: y el ángulo de inclinación del terreno es de .

Se le pide:

a) Determinar la pendiente del terreno ( interprete el resultado )b) Si consideramos casi una recta el terreno, determine la ecuación que podría representarla.

4) Suponga que usted es un flamante Ingeniero titulado en AIEP, y que recién ha sido contratado paratrabajar en el área de bodega como Jefe de Inventarios, en una empresa eléctrica, que despacha aregiones, motores trifásicos.

El Gerente de Operaciones, sabiendo que usted reúne las competencias necesarias en formulismosmatemáticos, lo llama para decirle lo siguiente: “Juan Pablo, tenemos un desorden en bodega y quieroque usted me solucione la causa del problema, para ello le daré los siguientes datos:

- Total de motores trifásicos en la bodega de despacho: 2.156- Ventas diarias de motores trifásicos: 54

Quiero que usted me determine lo siguiente:

a) Una función donde relacione el número de motores en la bodega y su venta diaria. y,b) Cada cuántos días se debe hacer un pedido al proveedor, para mantener un inventario de

seguridad de 175 motores trifásicos.

5) Si la curva de la demanda está dada por: y la curva de la oferta está dada por :





. (El precio está dado en dólares norteamericanos).

a) Grafique la curva de la demanda y la ofertab) Determine el punto y cantidad de equilibrioc) Grafique la curva de la demanda v/s curva de ofertad) ¿En qué parte del gráfico del punto c) se produce un exceso de oferta?

6) La tabla adjunta, muestra los datos de ventas mensuales de computadores de una tienda,

Se pide:

a) Completar la tabla

b) Graficar los datos

c) Encontrar la función que represente las ventas (y) en función de los meses (x)

d) Determinar las ventas pronosticadas para los meses 13 y 17

e) Si usted observa la tabla, en el mes 9 y 10, las ventas han decaído bruscamente, ¿Qué solución

usted propone para elevar las ventas nuevamente?

Mes

( x )

Ventas mensuales

( y )

1 25

2 22

3 27

4 30

5 30 6 27

7 32

8 35

9 20

10 20





V. RECURSOS COMPLEMENTARIOS

Allendoerfer, Carl B. – Cletus O, Oakley. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Mc Graw Hill, 1995

Budnick, Frank.Matemáticas aplicadas a los negocios, economía y ciencias sociales. 1º edición. 2008.McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.U. ISBN: 9701056981 ISBN-13: 9789701056981

Franco Y., Edwin. Universidad de Los lagos. Apuntes de Administración de la Producción. 2006

www.elrincondelvago.com. Presupuesto de ventas

www.elprisma.com. Administración de Empresas y Negocios. Pronósticos

PRIMERA UNIDAD: FUNCIONES REALES, LÍMITE Y CONTINUIDAD

CLASE 2

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican y caracterizan la función cuadrática en

forma analítica y gráfica, relacionando su estudiocon la especialidad.

- Resuelven problemas contextualizados en laespecialidad, demostrando capacidad para operar con la función cuadrática.

Función cuadrática: - Características - Ecuación general y particular - Gráfico - Aplicaciones

II. DESARROLLO

1) Características de la función cuadrática:

a) Su dominio, es el conjunto de los números realesb) Es continua en todo su dominioc) Si a > 0, es cóncava, es decir, es abierta hacia arriba ( Gráfico 1)d) Si a > 0, es creciente para valores de x a la derecha del vértice y decreciente para valores a la

izquierda del vérticee) Si a < 0, es convexa, es decir, es abierta hacia abajo ( Gráfico 2)f) Si a < 0, es creciente para valores de x a la izquierda del vértice y decreciente para valores a la

derecha del vértice

2) Ecuación general y particular de la función cuadrática

a) La ecuación general, de la función cuadrática, la representaremos como:

donde:

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a, b y c, son valores constantes ( no variables ) y con la salvedad de que

En este caso:

1) La constante a, se llama término cuadrático

2) La constante b, se llama término lineal3) La constante c, se llama término independiente

Debemos señalar que, la función cuadrática, está representada por la PARABOLA

NOTA:

1) Si x = 0, siempre corta al eje y, en el punto (0, c)

Al reemplazar, en la función cuadrática:

2) Cuando la parábola corta al eje x, entonces y = 0, es decir:

Por lo tanto, podemos determinar dos soluciones (llamadas raíces) de x, a través de la siguiente fórmula:

.

En esta fórmula, es importante saber qué pasa con la raíz, para ello, realizamos el siguiente análisis:

a) Sib) Sic) Si . .

3) Para determinar el vértice de la parábola, usaremos la siguiente fórmula:

Donde:





b) La función cuadrática particular, la denotaremos así:

3) Gráficos, vértices y puntos donde corta la parábola al eje x

3.1.a) Gráfico 1: función cuadrática con a > 0

Ejemplo:

x -4 -2 -1 0 1 2 4 f(x) 17 -1 -4 -3 2 11 41

x2=-2,186 x1=0,686





3.1.b) Determinación del vértice

a = 2, b = 3 y c = -3

3.1.c) Valores de x, donde la parábola corta al eje x

3.2.a) Gráfico 2: función cuadrática con a < 0

Ejemplo:

x -4 -2 -1 0 1 2 4 5 f(x) -41 -11 -2 3 4 1 -17 -32

V(3/4,33/8)





3.2.b) Determinación del vértice

a = -2, b = 3 y c = 3

3.2.c) Valores de x, donde la parábola corta al eje x

4) Aplicaciones

1) Determine el vértice y los valores de x donde corta la parábola, para las siguientes funcionescuadráticas. Grafique.

a)

b)

c)

d)

Solución ejercicio 1.a):

a = 3, b =-4 y c =1





Donde:

Luego:

Hemos comprobado que x se puede obtener por ambas fórmulas

Solución ejercicio 1.b):

a = -2, b =10 y c =-6

Donde:





Luego:

Solución ejercicio 1.c):

a = -0,25, b =-1 y c =0

Donde:

Luego:

Solución ejercicio 1.d):

a = -4, b = 0 y c = 0





Donde:

Luego:

Por lo tanto,

2) Encuentre los valores de a, b y c y forme la ecuación general (o particular), si:

a)





3) Una empresa produce un artículo especial, para seguridad en altura de edificios. Para ello, eldepartamento de finanzas, ha determinado que la ecuación de demanda viene en función del precio(p) y cantidad producida (x), esto es:

Se pide:

a) Determinar la cantidad de artículos que debe vender la empresa para obtener ingresos por un monto de$ 8.500.000 mensuales

b) Determinar el precio del artículo, para obtener ingresos de un 90% del punto a)

Solución a)

Sabemos que:

En este caso, las cantidades deben ser enteras, ya que son artículos (distinto es cuando se vendelitros de aceite, toneladas de mineral, kilos de arroz. Estos admiten decimales)

Si reemplazamos los valores de y , obtendremos el mismo valor de ingreso.

Lo comprobaremos:

.





Solución b)

Sabemos que: donde pvu = p (precio de venta unitario)

a) Obtenemos el nuevo ingreso: 8.500.000*0,9= 7.650.000 (90%=0,9)

b) Despejamos x en función del precio p,

Por lo tanto, los dos valores obtenidos de precios, darán el mismo ingreso de $ 7.650.000

4) Una amiga, llamada Jacinta Lagomarino Entretenevic, vende revistas de modas, en su sector dondevive, y me ha pedido que la asesore en su negocio. Sin embargo, le he dicho que tengo un excelentealumno de AIEP, que la puede asesorar (así se gana unos pesitos para sus estudios).

Ella plantea lo siguiente:

Si vende las revistas a un precio unitario de $ 5.550, en promedio, vende 600 revistas al mes.Ha intentado vender sus revistas a un precio de $ 6.000, pero sólo vende 540 revistas al mes.





Por lo tanto, ella quiere saber lo siguiente:

a) ¿Cuántas revistas tiene que vender y a qué precio, mensualmente, para que sus ingresos sean de$3.330.000?

Ahora, para mantener los ingresos, pero vendiendo menos cantidad de revistas, debemos realizar elsiguiente planteamiento:

Debemos explicarle a mi amiga que la constante k, indica la cantidad en que se aumenta el precio y lo quedisminuye el número de revistas de moda que ella vende mensualmente.

Luego:

Note que si reemplazamos = 0, en la igualdad 1), tenemos:





Es decir, se mantienen las condiciones iniciales

Veamos ahora qué pasa para el valor de

En consecuencia:a) Cantidad de revistas que debe vender:

b) Precio de venta por cada revista:


1) Grafique las siguientes funciones cuadráticas:

a) ¿Cuánto vale c?

b) ¿Cuánto vale c?

c) ¿Para qué valores de x, la parábola corta el eje x?

d) Determine Vértice y eje de simetría

2) Determine la ecuación cuadrática si:

a) Tiene por vértice (4, -4) y pasa por (3, 1)

b) Tiene por vértice (0,10) y pasa por )

3) Un productor de La Serena, tiene en su parcela 4.500 kgs de papas y las vende a $ 100 el kilo. Sinembargo, por cada semana que espera para venderlas, el precio subirá $ 10 por kilo.

Por otra parte, cada semana que pasa, pierde 90 kilos de papas por efecto de descomposición.¿En cuánto deberá vender las papas para maximizar el ingreso

4) Una empresa productora de tubos de oxígeno para hospitales, usa la siguiente función de costos totales

y su función ingreso es

Al respecto, se pide determinar:

a) La función demanda de esta empresa

b) La función utilidad bruta





c) La utilidad bruta para una cantidad a vender de 8.000 tubos de oxígeno

d) Si usted quiere maximizar la utilidad bruta ¿Cuántos tubos de oxígeno debe vender?

e) Si usted quiere empezar a tener pérdidas ¿Cuánto debe vender, como mínimo?

e) ¿Cuánto vale el costo variable total para 1.000 tubos de oxígeno?

f) ¿Para qué cantidad (o cantidades), la empresa no tiene ni pérdidas ni ganancias?

(Esto se conoce como punto de equilibrio)




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CLASE 3

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican y caracterizan la función exponencial y

la función logarítmica en forma analítica y gráfica. - Analizan fenómenos de crecimiento exponencial y

logarítmico en forma analítica y gráfica,relacionando su estudio con la especialidad. - Resuelven problemas contextualizados en la

especialidad, aplicando modelos exponencial ylogarítmico.

Funciones logarítmicas y exponenciales: - Características - Ecuación representativa

- Gráfico - Aplicaciones

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II. DESARROLLO

3) La función exponencial la denotaremos como:

donde:

Diremos que:

a) El dominio de la función exponencial, es el conjunto de los números realesb) El rango o imagen, es el conjunto de los números reales positivos.

Diremos, también que:

a) (Gráfico 1)

Por ejemplo:

Nótese que a = 4

x -6 -4 -2 0 1 2 f(x) 0,00024 0,0039 0,0625 1 4 16

Gráfico 1: función exponencial creciente y = 4x





b) ( Gráfico 2)

Por ejemplo:

Nótese que a = 1/2

x -5 -3 -1 0 0,5 1 2 f(x) 32 8 2 1 0,707 0,5 0,25





Gráfico 2: función exponencial decreciente y = (1/2)x

c) (Gráfico 3 y 4)

c.1) Sea la siguiente función exponencial de base e:

x -5 -3 -1 0 0,5 1 2 f(x) 0,0067 0,0498 0,368 1 1,6486 2,718 7,3875

NOTA: estamos en presencia de una función exponencial de base e, creciente





Gráfico 3: función exponencial de base e creciente y = ex

c.2) Sea la siguiente función exponencial de base e:

x -3 -2 -1 0 0,5 1 2 f(x) 20,079 7,3875 2,718 1 0,6066 0,3679 0,1353

NOTA: estamos en presencia de una función exponencial de base e, decreciente





Gráfico 4: función exponencial de base e decreciente y = e-x

4) La función logarítmica, la denotaremos como:

Diremos que:

a) El dominio es:b) El rango o imagen es:c) La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a.d) Las bases a, que más se usan son: base 10 y la de basee) Si

(Gráfico 5)

Ejemplo:Nótese que a = 10

x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 f(x) -0,3010 0 0,1761 0,3010 0,3979 0,4771 0,5440

NOTA: estamos en presencia de una función logarítmica de base a, creciente (a > 1)





Gráfico 5: función logarítmica de base 10 creciente y = log10x

f) Si(Gráfico 6)

Ejemplo:Nótese que a = 0,5

x 4 2 1 0,707 0,5 0,25 0,0625f(x) -2 -1 0 0,5 1 2 4

NOTA: estamos en presencia de una función logarítmica de base a, decreciente ( 0 < a < 1 )





Gráfico 6: función logarítmica de base 0,5 decreciente y = log0,5x

5) La función logaritmo natural o neperiano, la denotaremos como:

Diremos que:

a) El dominio es:b) El rango o imagen es:

Ejemplo:

x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

f(x) -0,6931 0 0,4054 0,6931 0,9163 1,0986 1,2528

NOTA: estamos en presencia de una función logaritmo natural , creciente





Gráfico 7: función logaritmo natural creciente y = lnx

Ejemplo:

x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 f(x) 0,6931 1 -0,4054 -0,6931 -0,9163 -1,0986 -1,2528

NOTA: estamos en presencia de una función logaritmo natural , decreciente





Gráfico 8: función logaritmo natural decreciente y = ln(1/x)


A)

¿Cuál es el dominio de las siguientes funciones logarítmicas?1) 2) 3)

RECORDEMOS: El argumento del logaritmo, siempre deber ser mayor a cero, siendo éste xo un valor que incluya a x, como los ejemplos dados anteriormente.

Solución ejercicio 1):



-2 0 2 x





Por lo tanto:

a) Grafique cada función

Gráfico ejercicio 1:

x 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 f(x) 0 0,3010 0,4771 0,6020 0,6990 0,7781 0,8451






x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 f(x) -0,1003 0 0,0587 0,1003 0,1326 0,1590 0,1813






x 2,5 3 3,5 4 4,5 5 6 f(x) 1,0511 1,3979 1,6154 1,7781 1,9098 2,0211 2,2041

B) Determine el dominio y rango de las siguientes funciones y señale si es función creciente o decreciente

1)

2)

3) 4)

Solución ejercicio 1:

x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5f(x) -2.,0794 0 1,2164 2,0794 2,7488 3,2958 3,7582

a) función creciente






Usted debe notar que, aparece una raíz cuadrada en la función, y que ésta, no acepta valor , ya que pasaríalo siguiente:

a) Si x < 0, el valor de la raíz se hace imaginariab) Si x = 0, la fracción se indetermina

Por lo tanto: x > 0

x 0,5 2 6 12 16 25 36f(x) 1,7328 1,0397 0,4904 0,1438 0 -0,2231 -0,405

b) función decreciente


x -2 -1 0 1 2 3 4f(x) 0,1111 0,3333 1 3 9 27 81

c) función creciente


x -2 -1 0 1 2 3 4f(x) 0,3679 2,718 20,079 148,336 1.095,83 8.095,526 59.805,892

d) función creciente





C) Aplicación a los negocios

C.1) Monto acumulado para n periodos:

Donde:

C = Capital inicial o principal

I = Tasa de interés por periodo de capitalización

n = Número de capitalizaciones en el tiempo de uso de dinero

m= Frecuencia de capitalización o número de periodos de capitalización en el tiempo que indica la tasade interés.

j = Tasa de interés nominal (generalmente anual)

n*= Número de periodos ( que indica la tasa de interés nominal ), en el tiempo de uso del dinero

1) Una persona quiere saber qué tasa de interés compuesta, le generará un mayor monto dentro de 3 años, para uncapital inicial de $ 4.000.000. Para ello, el ejecutivo de cuentas, le ofrece las tres siguientes alternativas:

a) Tasa de interés compuesta del 6% semestral con capitalización trimestralb) Tasa de interés compuesta del 6% cuatrimestral con capitalización bimestralc) Tasa de interés compuesta del 6% trimestral con capitalización mensual





Respuesta:

a) en este caso: es 2 * 6 = 12

(Recuerde que hay 2 trimestres por semestre, por lo tanto, si en tres años hay 6 semestres, el

resultado es multiplicar ambos valores para que de como resultado 12)

b) en este caso: es 2 * 9 = 18(Recuerde que hay 2 bimestres por cuatrimestre, por lo tanto, si en tres años hay 9 cuatrimestres,el resultado es multiplicar ambos valores para que de como resultado 18)

c) en este caso: es 3 * 12 = 36(Recuerde que hay 3 meses por trimestre, por lo tanto, si en tres años hay 12 trimestres, elresultado es multiplicar ambos valores para que de como resultado 36 )

ES EVIDENTE QUE LA PERSONA ELEGIRA LA ALTERNATIVA c)

C.2) Una empresa compra una máquina para cortar cerámicos y la fórmula que usará para depreciar el activo fijobruto (la máquina), será la siguiente:

Donde t, es el tiempo de depreciación en años





Determine lo siguiente:

1) El valor del activo fijo bruto en el año 0

Respuesta:

2) El valor del activo fijo bruto en el año 6

3) El tiempo, en que la máquina vale un 65%, del valor del año 0

C.3) Suponga que un hospital tiene la siguiente función para determinar el número de personas que tienen un tipode enfermedad:

a) ¿Cuántas personas tenían la enfermedad al inicio?





b) ¿Cuántas personas estaban enfermas en la quinta semana?

c) Si consideramos un tiempo muy, pero muy lejano, cuántas personas estarían enfermas ?


Responda lo siguiente:

1) ¿ Qué sucede con el valor de logax, si:

a) a >1 ,y, x aumenta ?.b) 0 < a <1 ,y, x aumenta ?.

c) a >1 ,y, x >1 ¿ el valor es positivo o negativo ?. Demuéstrelo gráficamente.

d) a >1,y, 0 < x < 1 ¿ el valor es positivo o negativo ?. Demuéstrelo gráficamente.

2) Si usted observa cualquier gráfico y=logax, ¿para qué valor corta siempre en x?3) Es posible, que la función logaritmo, también se pueda graficar en los demás cuadrantes?

4) ¿Qué valor debe tomar x, si

5) ¿Cuál es el dominio y el rango de las siguientes funciones?

a)

b)

c)

d)e)

6) Suponga que una empresa aplica la siguiente función de depreciación en t años:





a) ¿Cuánto fue el valor de adquisición del activo fijo bruto? b) ¿Cuánto vale el activo al 8vo. año?c) ¿Cuánto es la depreciación acumulada entre el año 1 y el año 9?

7) Determine el periodo que se debe mantener un capital inicial, a una tasa de interés compuesta mensual de

1,75%, para que se genere un monto superior en un 35% del capital inicial

8) Un estudio realizado en un centro de estadísticas de mercado, determinó que la cantidad de frigoríficosindustriales, fabricados por una empresa de Santiago, y que se encuentran aún en uso después de t años, seajusta a la función exponencial siguiente:

Al respecto, se le pide a usted, lo siguiente:

a) Determinar el número de refrigeradores que estarían funcionando al cabo de cinco años

b) Determinar el número de refrigeradores que estarían en malas condiciones durante cinco años de usoc) Determinar el número de refrigeradores que estarían en malas condiciones antes del primer año de uso


Aching Guzmán, César. Aplicaciones Financieras de Excel con Matemáticas Financieras Edición 2006



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CLASE 4

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Calculan límite de una función real. - Aplican propiedades de las operaciones con

límites, en forma gráfica y analítica.

Concepto de límite de una función real: -Teoremas de límites

II. DESARROLLO

1) Concepto de límite de una función real

El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo diferencial e integral, que

veremos más adelante.

Podemos decir, en palabras simples, que:

Límite es el valor al cual tiende una función cuando la variable independiente x, tiende a un númerodeterminado o al infinito, es decir, .

Haremos el siguiente ejemplo, para aclarar más esta definición:

Sea

Supongamos que los valores de x están tendiendo o aproximándose a 3, tanto por la izquierda como por laderecha (valores de x que son menores o mayores a 3).

x f(x) 2,9 13,82

2,99 14,8802 2,999 14,988002

2,9999 14,9988

2,99999 14,99988 3,000001 15,000012

3,00001 15,00012 3,0001 15,0012

3,001 15,012002 3,01 15,1202

Vemos en esta tabla que cuando x se aproxima a 3 (por la izquierda y derecha) la función se aproxima ( otiende ), cada vez más al valor 15.





Por otra parte, podemos decir que, en valor absoluto, la diferencia entre el valor 15 y , se hace cada vezmás pequeña, al igual entre el valor 3 y x. Ver la tabla siguiente:

|x-3| |f(x)-15| |2,9-3| 0,1 |13,82-15| 1,18 |2,99-3| 0,01 |14,8802-15| 0,1198 |2,999-3| 0,001 |14,988002-15| 0,011998 |2,9999-3| 0,0001 |14,9988-15| 0,0012 |2,99999-3| 0,00001 |14,99988-15| 0,00012 |3,000001-3| 0,000001 |15,000012-15| 0,000012 |3,00001-3| 0,00001 |15,00012-15| 0,00012 |3,0001-3| 0,0001 |15,0012-15| 0,0012

|3,001-3| 0,001 |15,012002-15| 0,12002 |3,01-3| 0,01 |15,1202-15| 0,1202

Definición clásica:

Y cómo vemos este tema de los límites en la vida cotidiana?

Usted algún día conocerá una bomba centrífuga, y el fabricante le dirá que tiene un rendimiento máximo debombeo, es decir, nunca podrá sacarle el máximo teórico. Estamos, entonces, ante el concepto de límite.

Otro ejemplo, podríamos aplicarlo a la metalurgia, donde la ley mineralógica de un mineral es su máximo quese puede obtener de un elemento dentro de éste, pero jamás se obtendrá esta ley en el concentrado obtenido(por ejemplo: proceso de flotación de minerales de cobre).

La producción máxima teórica de una máquina industrial, es un “ límite”, es decir, el rendimiento ideal o límiteque en la práctica nunca se logrará alcanzar, pero que es posible aproximarse arbitrariamente.

2) Teoremas sobre límites

a) Primer Teorema (unicidad del l ímite)

Sea una función definida en el intervalo





b) Segundo Teorema

Ejemplo 1:

También debemos señalar que, como consecuencia de este teorema, tendremos:

Ejemplos:

c) Tercer Teorema

Ejemplo:

d) Cuarto Teorema





Ejemplo:

e) Quinto Teorema

(siempre que no aparezca la indeterminación ).

Ejemplo:

f) Sexto Teorema

(siempre y cuando no aparezca la indeterminación )

Ejemplo:

Corolario:

Ejemplo:





En particular, el límite de la enésima potencia de es igual a la enésima potencia del límitede , esto es:

Ejemplo:

g) Séptimo Teorema

(siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .)

Ejemplo:

Un tema interesante veremos más adelante, sobre la continuidad, sobretodo, cuando M = 0.

h) Octavo Teorema

Ejemplo:





i) Noveno Teorema

Ejemplos:

j) Décimo Teorema

Pero deberán cumplirse las siguientes condiciones:

Ejemplos:





k) Undécimo Teorema

(siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos conindeterminaciones de los tipos , ). NOTA: este teorema será aplicado en otra claseposterior.


1) Encuentre el valor de los siguientes límites de funciones reales:

2) Límites desarrollados en forma gráfica

a) Encuentre el límite en el siguiente gráfico





Por lo tanto, se puede afirmar que el límite de la función cuando x tiende a -3, por la derecha,es igual a cero (0).

NOTA: la flecha azul, indica el sentido en que se avanza en x, para llegar a concretar lo anterior.

Observación: usted debe notar el signo al que está elevado el -3, y en este caso es positivo (+), eso le indica que

debe avanzar desde la derecha hacia la izquierda.

b) Encuentre el límite en el siguiente gráfico

(-3,0)





Por lo tanto, se puede afirmar que el límite de la función cuando x tiende a 7, por la

izquierda, es igual a cero (0).

NOTA: la flecha azul, indica el sentido en que se avanza en x, para llegar a concretar lo anterior.

Observación: usted debe notar el signo al que está elevado el 7, y en este caso, es negativo (-), eso le indica quedebe avanzar desde la izquierda hacia la derecha.

c) Grafiquemos el siguiente límite:

(7,0)





0

5

10

15

20

25

30

35

40

‐

2‐

1 0 1 2 3 4 5 6

d) Grafiquemos el siguiente límite:

(5,30)






a) Evaluar los siguientes límites en forma analítica

(4,0.7647)





b) Identifique a qué valor tiende la siguiente función, y cuál es el valor de y,

c) Grafique los siguientes límites



Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum. ISBN: 84-7615-560-3

Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores. ISBN:9788493750909.

VV.AA. Problemas resueltos de cálculo para ingenieros. 1º edición 2009. Delta 2009. ISBN: 9788492453795





PRIMERA UNIDAD: FUNCIONES REALES, LÍMITE Y CONTINUIDAD

CLASE 5

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Relacionan la continuidad de una función real

con el concepto de límite.- Calculan límites laterales. - Examinan si una función es continua o

discontinua. - Calculan límites de funciones racionales y

polinómicas.

-Continuidad. -Límites por la derecha y por la izquierda. -Discontinuidad evitable e inevitable -Límites de funciones racionales y polinómicas

II. DESARROLLO

1) Continuidad

A) Diremos que una función f(x) es continua en el punto x=a, si se cumplen lo siguiente:

B) Diremos que una función f(x) es continua en el intervalo (a, b), si f(x) es continua en cada uno de los

puntos del intervalo.

C) Propiedades de las funciones continuas

Si f(x) y g(x), son funciones continuas en el punto a, entonces:

D)

E)





2) Límites laterales por la derecha y la izquierda

a) Límite por la derecha

Diremos que el límite por la derecha, de f(x ) cuando , por la derecha, es igual a L, si ε>0,

existe un δ > 0 / si 0 < x-a < δ, entonces |f(x ) - L| < ε. Lo denotamos como:

b) Límite por la izquierda

Diremos que el límite por la izquierda, de f(x ) cuando , por la izquierda, es igual a L, si ε>0,

existe un δ > 0 / si 0 < a-x < δ, entonces |f(x ) - L| < ε. Lo denotamos como:

TEOREMA: Existe el límite si y sólo si, los dos limites laterales (por la derecha y por la izquierda)ambos existen y coinciden, esto es:

3) Discontinuidad evitable e inevitable

Podemos decir que, una función cuando no es continua, es discontinua, pero algunas pueden hacersecontinuas, realizando algunas operaciones algebraicas. Al contrario, si no se puede evitar la discontinuidad,entramos en el campo de la discontinuidad inevitable.

4) Límites de funciones racionales





5) Límites de funciones polinómicas


1) Pruebe la continuidad de las siguientes funciones:

Por lo tanto, la función es continua en el punto x = 60 (Generalizando, es continua en todos los reales)

Podemos concluir que, la función f(x) es discontinua en el punto x = -2. Sin embargo, esta discontinuidad esevitable , haciendo que f (-2) = -5

Se pide analizar la continuidad en el punto x = 3

En este caso, debemos usar límites laterales





Finalmente, podemos concluir que, la función es discontinua en el punto x = 3, y estamos en presencia de unadiscontinuidad inevitable.

La función queda:

La gráfica es:





Podemos notar en el gráfico que:





Una empresa ha diseñado una estructura de costos semanales en función de lo que un trabajador labora t horas semanales:

Al aplicar límites laterales deberemos probar la igual por ambos lados, es decir, derecho e izquierdo,para los intervalos (y su continuidad) dados de la función costo total C(x).

y=5+x y=14-2x

(3,8)





2) Resolver los siguientes límites racionales y polinómicos






1) Estudie las continuidades de las siguientes funciones :

en el punto x = 4 Grafique



en el punto x = 7 y x=10

2) Resuelva los siguientes límites







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CLASE 6

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Resuelven límites compuestos y trigonométricos-Identifican límite infinito. -Determinan asíntotas posibles de una función.

- Límites compuestos y trigonométricos - Límite infinito - Asíntota vertical y horizontal

II. DESARROLLO

1) Límites trigonométricos

2) Límite infinito

Sea una función que está definida en todo número de un intervalo abierto El límite de

cuando x crece sin límite, es decir, a un número infinito positivo, es:

Sea una función que está definida en todo número de un intervalo abierto El límite de

cuando x decrece sin límite, es decir, a un número infinito negativo, es:

Si x tiende a a un número real, entonces tenemos que:

2.1) Otras posibilidades cuando el límite de x tiende a :





2.2) Otras posibilidades para el límite de una función en un punto:

Debemos realizar, lo siguiente:

a) Si tenemos polinomios, vemos si es posible factorizar y luego, simplificar

b) Si tenemos raíces, usamos el conjugado de esa raíz

2.3) Regla de los signos

a) Para la suma y resta, tendremos los siguientes casos:

Por ejemplo:

b) Para la multiplicación:

, donde k 0

c) Para la división:





d) Para la potencia:

3) Asíntota vertical

3.1) ¿Qué es una asíntota?

Llamaremos asíntota de una función f(x), a una recta t, cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x

tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.

3.1.1) Asíntota vertical





En este gráfico, x = 1.5, es una asíntota vertical de la función f(x)

3.1.1.1) Pasos para calcular una asíntota vertical y sus características elementales

a) Determinar el dominio de la función f(x)

b) Tomar el límite para los valores de x que no pertenezcan al dominio. Si el límite da como resultado infinito,entonces en esos valores hay una asíntota vertical.

c) Posteriormente, para saber a qué tiende la función f(x), hay que tomar él o los límites laterales.Sólo se tendrá como resultado,

d) Las rectas generadas son paralelas al eje y, y se escriben poniendo x igual al valor de la asíntota vertical.

e) Diremos que las funciones que pueden tener asíntotas verticales:

e.1) Las funciones racionales: cuya indeterminación es igual a

e.2) Las funciones logarítmicas y la función tangente.

f) La cantidad máxima de asíntotas verticales, que puede tener la función es dos.

3.1.2) Asíntota horizontal





En este gráfico, y = 1, es una asíntota horizontal de la función f(x)

3.1.2.1) Pasos para calcular una asíntota horizontal y sus características elementales

a) Calcular el límite de la función f(x) cuando x tiende a infinito.

Si el límite existe, es decir, tiene un valor L finito, entonces diremos que ese valor, es una asíntotahorizontal.

Lo anterior, lo representamos de la siguiente manera:

b) Las asíntotas horizontales, son rectas paralelas al eje x, y, se representan poniendo el valor de y = bDonde b, representa el valor de la asíntota.

c) Las funciones racionales tienen asíntota horizontal en los siguientes casos:

d) Las funciones exponenciales tienen asíntota horizontal para el valor y = 0.






Note que factorizamos, pero no pudimos eliminar la indeterminación (no siempre se puede)

Luego, haremos desaparecer esa indeterminación:






En este ejercicio usted pudo haberse dado cuenta que teníamos la forma indeterminada:








Luego, buscaremos el signo de la indeterminación:

En este caso, deberemos analizar límites laterales de manera de determinar el signo de a) Si le damos a x un valor que se acerque a 2, por la izquierda, tendremos lo siguiente:

b) Si le damos a x un valor que se acerque a 2, por la derecha, tendremos lo siguiente:

Por lo tanto, los límites laterales no coinciden, esto significa que la función no tiene límite cuando x tiende a 2.





Una empresa constructora de la capital, se dedica a construir casas y departamentos, en el sector de

providencia.El departamento de planificación urbanística, ha estimado que dentro de x años, a partir de hoy, elcrecimiento poblacional, se adecúa a la siguiente función (El resultado, está dado en miles de personas):

Usted que trabaja en ese departamento, debe responder a la siguiente pregunta del Gerente de Proyectos:

¿Cuántas personas podríamos tener a un muy largo plazo?

El valor obtenido, lo interpretamos como 40.000 personas

30.1) Asíntota vertical

a) Determinamos el dominio de la función dada

b) Tomamos ahora el límite en x = 2 (no pertenece al dominio)

c) Ahora debemos determinar los límites laterales, de manera de conocer el signo de la indeterminación.





Aquí vemos el gráfico

30.2) Asíntota horizontal

Luego podemos decir que el valor de la asíntota horizontal es y = 1

31.1) Asíntota Vertical

x=2






b) Tomamos ahora el límite en x = (no pertenece al dominio)







32.1) Asíntota vertical


b) Tomamos ahora el límite en x = (no pertenece al dominio)



Concluimos que no tiene asíntota horizontal, ya que el grado del numerador es mayor al del numerador






Una empresa constructora, se dedica a construir casas y departamentos, en un sector de altocrecimiento poblacional.

El departamento de planificación urbanística, ha estimado que dentro de x años, a partir de hoy, elcrecimiento poblacional, se adecúa a la siguiente función (El resultado, está dado en miles depersonas):

Usted que trabaja en ese departamento, debe responder a la siguiente pregunta del Gerente deProyectos:





¿Cuántas personas podríamos tener en un plazo de 10 años?

Determine la (s) asíntotas (s) vertical (es) y horizontal (es) de las siguientes funciones







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SEGUNDA UNIDAD: LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES

CLASE 7

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Expresan el concepto de derivada de una

función.

- Aplican el concepto de derivada al cálculo detasas e incrementos.

- Derivan funciones reales de una variable,aplicando las propiedades de las operaciones: - De la función constante

- De la función potencia

-Derivada de una función real: Definición. Notación.Interpretación geométrica.

-Incrementos y tasas

-Propiedades de la función derivada con una variable: - De la función constante

- De la función potencia

II. DESARROLLO

a) Derivada de una función real.

Definición:

Ejemplo 1:

Hallar





Ejemplo 2:

Hallar

b) La interpretación geométrica de la derivada la identifica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado.

Observe que: cuando tiende a 0, el punto P, tiende a confundirse con el punto Q, en consecuencia, la rectasecante (color verde) tiende a ser la recta tangente (color marrón) a la función f(x) en el punto Q.

x+Δx





Además, el ángulo tiende a ser .

NOTA: la pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto

c) El incremento o cambio de una variable

,

c.1) Incremento de x

Tenemos entonces:

x





c.2) Incremento de y

Tenemos entonces:

Finalmente:

d) La tasa de cambio promedio

e) Derivada de una función constante

Diremos que la derivada de una constante siempre será cero

f) Derivada de una potencia

Esta derivada es igual al valor del exponente, multiplicado por la base elevada al exponente disminuido en uno ymultiplicada por la derivada de la base (presencia de la regla de la cadena)





En el caso que la base sea sólo x, elevada a una potencia, tendremos que:


1





3) La ecuación representa la función costo total de una empresa en pesos, cuandoproduce y unidades de un producto para la construcción.

Se pide determinar el aumento en los costos cuando la empresa incrementa la producción de 300 a 380 unidades

Solución:

Por lo tanto, el incremento en los costos totales es de $ 16.000

4) La siguiente ecuación de la demanda es:

Se pide determinar el aumento (o decremento) en las ventas de la empresa, cuando ésta decide incrementar elprecio de venta unitario de $ 48 a $ 64

Primero debemos despejar el valor de x, para que quede en función de p (precio)

Solución:

Podemos concluir que, al aumentar el precio de venta unitario de la empresa, disminuye el número de unidadesvendidas (es decir, en – 4 unidades).

5) La siguiente ecuación de oferta es:

Se pide determinar , si el incremento en el precio es para p= $ 75





, por lo tanto, si reemplazamos la función 1), tenemos:

6) La siguiente ecuación de demanda es:

Se pide determinar la tasa de cambio promedio del ingreso, cuando se incrementan de 20 a 27, las unidadesvendidas.

Si recordamos la ecuación del ingreso vista en clases anteriores, es:

Antes debemos despejar p:

Por lo tanto, la tasa de cambio promedio de ingreso es:

La interpretación que damos al resultado es: por cada unidad incrementada, el ingreso de la empresa,disminuye en promedio $ 51,25.





7) Una empresa ha determinado, a través de su departamento de operaciones, que la función demanda y de costostotales son, respectivamente:

Si la producción se llegase a incrementar, por efecto de exportaciones, de

Se le pide determinar, lo siguiente:

a) El incremento en los costos

b) El incremento en el ingreso

c) El incremento en la utilidad

d) Las respectivas tasas de cambio promedio, respecto a los costos, ingresos y utilidad

(tome en cuenta que se elevó a 42.000 unidades)





Hagamos la siguiente comprobación:

8) Halle los coeficientes de la ecuación , sabiendo que pasa por los puntos A(0,2) y B(2,3)Además, en el punto B, la tangente tiene como pendiente el valor 2 (NOTA: esto es tg α = m = y’= 2 ).

Si reemplazamos los valores de los puntos dados A y B, tenemos lo siguiente:

Para A(0,2): Para B(2,3):

La derivada de esta función es:





Sabemos que la tangente toca el valor x = 2, entonces:

Tenemos, entonces que:

Si reemplazamos 1) en 2), tenemos que:

Si juntamos 3) con la última igualdad obtenida, tenemos que:

Además, tenemos que:

9) Funciones constantes y exponenciales

a)

b)

c)

d)

e)


1)





2)

2) Una gasolinera vende un cierto combustible, y ha determinado que los litros que vende por día, están en función

del precio ($/litro) de este combustible.

La función que la representa es:

Calcule el incremento en el volumen de los litros vendidos, que corresponde a un incremento en el precio de$600 a $615 por litro.

3) Dada la función f(x) = 3x2+3x+2, calcular Δy, si x = 2 y Δx = 0,4

4) Un fabricante de productos para la construcción, ha determinado que la ecuación de costo total está representadapor: C(x) = 19.750 + 41,5x dólares y el ingreso por I(x) = 98,75x – 0,01x2 dólares. La empresa produce150 toneladas por semana, pero ha considerado incrementar su producción en un 10,5%.

Se pide:

a) Determinar los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad.b) Determinar la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extras producidas.

5) Una empresa fabricante de tractores, ha determinado las siguientes funciones para operar óptimamente:

Se pide determinar:

a) El costo marginal (evalúe para 1200 unidades)b) El ingreso marginal (evalúe para 1200 unidades)c) La utilidad marginal (evalúe para 1200 unidades)





6) Sea la función , que pasa por los puntos P (2,5) y (3,8). Además, se sabe que la rectatangente para por el valor x = 1 y es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Se pide que encuentre los valores de la función cuadrática.







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CLASE 8

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Derivan funciones reales de una variable, aplicandolas propiedades de las operaciones:

- De la suma y resta de funciones - Del producto de una constante por una

función. - Del producto de funciones - De un cuociente de funciones

Propiedades de la función derivada con una variable: - De la suma y resta de funciones - Del producto de una constante por una función. - Del producto de funciones - De un cuociente de funciones

II. DESARROLLO

1) Derivada de la suma y resta de funciones

La derivada de la suma y/o resta de funciones, es igual a la suma y/o resta de las derivadas de dichasfunciones (que pueden ser más de dos ).

2) D erivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por laderivada de la función.

3) Derivada de producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de lasegunda función más, el producto de la derivada de la primera función por la segunda función..

4) Derivada de cuociente de funciones ( división )





La derivada del cuociente de dos funciones, es igual a la derivada de la función del numerador multiplicadapor la función del denominador menos, la derivada del denominador multiplicada por la función delnumerador. Todo lo anterior, queda dividido por la función del denominador elevado al cuadrado.


1)

2)

3)

4)

5)

6)








Burgos Román, Juan. Cálculo diferencial de una y varias variables. 1º edición. 2010. García Maroto Editores.ISBN:9788493750909.


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CLASE 9APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS

Derivan funciones reales de una variable,aplicando las propiedades de las operaciones: - Regla de la cadena - De la función exponencial - De la función logarítmica

Propiedades de la función derivada con una variable - Regla de la cadena - De la función exponencial - De la función logarítmica

II. DESARROLLO

1) Derivada de la regla de la cadena

Esta derivada, se obtiene a partir de la derivación de la composición de funciones

2) Derivada de la función exponencial

Esta derivada es igual a la misma función multiplicada por el logaritmo neperiano de la base y por la derivadadel exponente.

Si la base es e, entonces:

3) Derivada de la función logarítmica

Caso a) Derivada de un logaritmo en base a

Es igual a la derivada de la función dividida por ésta, y multiplicada por el logaritmo en base a de e.





Caso b) Derivada de un logaritmo neperiano

Es igual a la derivada de la función dividida por ésta.







)










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CLASE 10

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Calculan función derivada a funciones seno ycoseno.

-Valoran funciones derivadas en un punto.

-Derivada a funciones seno y coseno. -Valoración de funciones derivadas en un punto.

II. DESARROLLO

1) Derivada de la función seno

Esta derivada es igual al coseno de la función, multiplicado por la derivada de la función.

2) Derivada de la función coseno

Esta derivada es igual a menos el seno de la función, multiplicado por la derivada de la función.


http://www.dervor.com/derivadas/derivada_potencia.html

http://www.dervor.com/derivadas/derivada_potencia.html





Evaluación de la derivada en un punto:


1) Encuentre la primera derivada para las siguientes funciones





Determine las derivadas y evalúe en el punto indicado





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- Evalúan la existencia y calculan puntos críticos deuna función.

- Calculan máximos y mínimos relativos de unafunción.

- Calculan intervalos de crecimiento y decrecimientode una función.

- Resuelven problemas sencillos de máximos ymínimos.

-Determinación de puntos críticos con la primera derivada -Intervalos de crecimiento y decrecimiento -Máximos y mínimos locales -Máximos y Mínimos. Criterio de la segunda derivada:

II. DESARROLLO

a) Para determinar los puntos críticos usaremos la siguiente definición:

Gráfico 1: Máximo y mínimo local





Gráfico 2: Cima o punta donde f’’(c) no existe

f’’(x1) = 0

f’(x2) = 0

x1 x2 x3





)

)


Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales, concavidad, puntode inflexión y máximos y mínimos por segunda derivada

1) Puntos críticos





2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para determinar las regiones de crecimiento o decrecimiento, debemos encontrar los valores de x, de manera quef’’(x) > 0 y f’’(x) < 0. Ver el gráfico en la página siguiente.





Análisis:

a) Antes del punto x = 0,42 f’(x) > 0 y f(x) es creciente.

b) En el punto x = 0,42, existe un punto máximo ( se pasa de creciente a decreciente )

Esto es: (0.42, 4.38)

c) Entre x1 = 0,42 y x2 = 1,57 f’(x) < 0 y f(x) es decreciente

d) En el punto x = 1,57, existe un punto mínimo (se pasa de decreciente a creciente)

Esto es: (1.57, 3.61)

e) A partir del punto x = 1,57 f’(x) > 0 y f(x) es creciente

3) Análisis de la concavidad

En x = 1, existe un punto de inflexión





(Vea el gráfico inferior)

4) Determinación de máximos y/o mínimos por criterio de la segunda derivada

En el punto 2), se pudo determinar los puntos donde se generan los máximos y mínimos, y que se corrobora conla concavidad del punto 3). Más aún, con el gráfico.

Pero determinemos el máximo y mínimo a través de este criterio:

1) Puntos críticos







Análisis:

a) Antes del punto x = -1 f’(x) < 0 y f(x) es decreciente.

b) En el punto x = -1, existe un punto minimo (se pasa de decreciente a creciente)





Esto es: (-1, -5)

c) A partir del punto x = -1 f’(x) > 0 y f(x) es creciente


En x = -1, existe un punto de inflexión

( Vea el gráfico inferior )


En el punto 2), se pudo determinar el punto donde se genera el mínimo, y que se corrobora con la concavidaddel punto 3). Más aún, con el gráfico.

Pero determinemos el mínimo a través de este criterio:





1) Puntos críticos







Análisis:

a) Antes del punto x = 0 f’(x) > 0 y f(x) es creciente

b) A partir del punto x = 0 f’(x) > 0 y f(x) es creciente

Por lo tanto, podemos decir que la función es estrictamente creciente en todo el dominio

Además, no existe ni mínimo ni máximo


En x = 0, existe un punto de inflexión

(Vea el gráfico inferior)






En el punto 2), no había mínimo ni máximo, y que se corrobora con la concavidad del punto 3). Más aún, con elgráfico.

Pero lo verificamos a través de este criterio:

Aplicación a los negocios

1) Una empresa produce x artículos a un costo total C(x)= 165.000 +2.300x-0.01x2 (US$). Además, se sabe que lafunción de la demanda está dada por p=7.600-25x.(US$)

Se pide determinar el número de unidades a vender de manera de maximizar las utilidades.

Derivemos esta función:

Igualemos a cero, para determinar la cantidad que maximice la utilidad:

Probemos si es un máximo:

Luego, la utilidad máxima será:





Verifiquemos para otros valores:

Ha quedado demostrado que, para valores inferiores y superiores a 106 unidades, la empresa baja suutilidad y, lo que queremos, es justamente lo contrario, es decir, que maximice la utilidad ( en este caso ).


Determine puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos locales, concavidad, punto

de inflexión y máximos y mínimos por segunda derivada


1) Una empresa produce x artículos a un costo total C(x)= 135.000 +2.000x-0.02x2 (US$). Además, se sabe que lafunción de la demanda está dada por p=7.500- 20x.(US$)

Se pide:

a) Determinar el número de unidades a vender de manera de maximizar las utilidades.

b) Probar si las unidades reflejan un máximoc) Determinar la utilidad máxima para las unidades encontradas en el punto a).d) ¿Cuánto es el ingreso?e) ¿Cuánto es el costo fijo?





2) Una empresa produce x artículos a un costo total (US$). Además, se sabe que la función

de la demanda está dada por (US$)

Se pide:

a) Determinar el número de unidades a vender de manera de maximizar las utilidades.b) Probar si las unidades reflejan un máximoc) Determinar la utilidad máxima para las unidades encontradas en el punto a).d) ¿ Cuánto es el ingreso ?e) ¿ Cuánto es el costo fijo ?






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TERCERA UNIDAD: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES Y SUS APLICACIONES

CLASE 12

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican la integral como antiderivada o función

primitiva. - Calculan integrales indefinidas de la función

potencia, polinómica, exponencial y logarítmica.

- Concepto de integral - Integral indefinida. Concepto y fórmulas de cálculo

para funciones potencia, polinómica, exponencial ylogarítmica.

II. DESARROLLO

1) Concepto de integral

Se define la integral de la función Q(t), entre a y b, de la siguiente manera:

Por lo tanto, la integral, corresponde al área bajo la curva de Q(t), en el intervalo cerrado

La integración es una operación inversa de la derivación , por eso es llamada antiderivada y se expresa mediante elTeorema fundamental del cálculo integral como:





2) Integral indefinida

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza

NOTA: una integral indefinida genera una función

3) Fórmulas de integrales que se usarán en esta unidad

‘






Para este ejercicio debemos usar variables auxiliares:









1) Una empresa que produce repuestos para refrigeradores domésticos, estima que el ingreso marginal al vender x cantidad de ellos, está dado por:

a) Determine la función ingreso total inicial, en función de la constante C

b) Determine el valor de la constante C, si al vender 225 repuestos se obtiene un ingreso de $ 6.050.724c) Determine la función ingreso total finald) Determine el ingreso total si se venden 170 respuestos

a)





b) Tenemos, por otra parte, que: I(225) = $ 6.050.724

Lo que debemos ahora determinar, es el valor de la constante C y, para ello, usamos la función 1)

c)

d)

Al reemplazar en la función del punto c), tenemos:

2) En una empresa, el costo marginal viene dado por C’(x) = 0,5x-35 ( US$ ), donde C(x)= Costo Total. Además, sesabe que el precio de venta unitario es de US$ 15 y el Costo Indirecto ( Costo Fijo ) es de US$ 110 mensuales.

a) Calcule las unidades mensuales que deben producirse.b) Calcule la utilidad máxima en base a las unidades mensuales calculadas.

a) Si Ingreso marginal = Costo marginal ( I’(x) = C’(x) ) Utilidad Máxima ( Máxima Ganancia )

Luego: I(x) = 10x ⇒ I’(x) = 10 10 = 0,5x - 35 ⇒ x = 90 unidades

b) Cálculo del Costo total:

Al tener costo indirecto (Costo indirecto = Costo Fijo) de US$ 110, tendremos que:





C (0) = 0,25(0)2 –35(0) + C = 110 ⇒ C = 110, luego: C(x) = 0.25x2 – 35x + 110

Recuerde que, en la función costo total, todo lo que lleve x, es costo variable, y la constante C, es el costofijo.

Por otra parte: U(x) = I(x) – C(x)

Por lo tanto: U(x) = 10x – (0,25x2 – 35x + 110)= 10x – 0,25x2 + 35x – 110

Finalmente: U(x) = -0,25x2 + 45x – 110 (Función Utilidad)

Para x = 90 unidades, tendremos que: U (90) = -0,25(90)2 + 45(90) – 110U (90) = US$ 1.915

En consecuencia, la Utilidad Máxima que se va a obtener al producir y vender las 90 unidades,mensualmente, es: US$ 1.915.







1) Si la función de costo marginal es: C’(x) = 5 – 8x + 6x2, donde C(x) es el costo total (US$) de la producción dex unidades de ampolletas:

Determine:

a) El Costo indirecto, si el costo total de producir 50 unidades es de US$ 260.000





b) El Costo total para producir 100 unidades

2) Un fabricante calcula que el ingreso marginal es de 3(x+2)2 US$/unidad, cuando el nivel de producción es dex unidades:

Sabiendo que el ingreso es de 1.720 US$ para la venta de 10 unidades, encuentre la función ingreso total.

3) Un fabricante determinó que sí mensualmente se producían x unidades de un determinado producto, el CostoMarginal estaba dado por: C´(x) = 0,4x - 10 US$; donde C(x) es el Costo Total de producción de x unidades.

Sí el precio de venta del artículo se fija en US$ 20 por unidad y el Costo Indirecto es de US$ 200 por mes,calcular la máxima ganancia (utilidad máxima) total mensual que se puede obtener.







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- Calculan valor numérico de integrales definidasde la función potencia, polinómica, exponencial ylogarítmica.

- Integral definida. Concepto y cálculo de su valor numérico.

.

II. DESARROLLO

1) Integral definida. Concepto

Tenemos la siguiente definición para la integral definida:

Si F(x) es una antiderivada de la función f(x), tenemos entonces que:

III. EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS10 10

2 2

4 4

-4 -4





3 3

0 0

5 5

2 2

-1 -1

-3 -3





3Π 3Π

Π Π

3Π

Π


1) Una empresa que vende equipos de alta tecnología, ha determinado las siguientes funciones de costo e ingresomarginal

C’(x) = 6x2 – 3x y la función I’(x) = 5x2 + 4x + 260,

a) Determine la cantidad máxima de unidades que se pueden vender mensualmenteb) ¿Cuál es la utilidad obtenida en la operación, suponiendo que se pueden vender todas las unidades ?

(La utilidad está dada en millones de pesos)

a) Para determinar la cantidad máxima de unidades a vender por esta empresa debemos igualar ambas funciones

En este caso, tomamos el valor x = 20 unidades (no se toma el valor -13 )





b) Para determinar la utilidad máxima usaremos lo siguiente:

20

0

Luego, la utilidad que obtiene la empresa mensualmente, al vender los 20 motores, es de $ 3.933 millones depesos

2) Se evalúa una inversión en un proyecto inmobiliario, cuyas funciones de costo e ingreso marginal están dadaspor:

t : se mide en años

C’ (t) e I’ (t): se miden en millones de dólares

a) Determine el tiempo óptimo.b) ¿Cuál es la utilidad máxima?

4 4

0 04

0

Por lo tanto, la utilidad máxima que genera esta inversión, es de 10,67 millones de dólares, para un lapso de4 años







1) Se determinó que las tasas de Costo e Ingreso marginal de cierta operación bursátil, viene dadas por:

, donde C’(x) e I’(x) vienen dados en millones de euros y, x se mide enaños.

Determinar el tiempo que debe durar la operación bursátil y la utilidad total obtenida en ese período.

2) Una empresa que vende equipos para detectar personas dentro de edificios derrumbados, ha determinado lassiguientes funciones de costo e ingreso marginal

C’(x) = 9x2 – 10x y la función I’(x) = 8x2 -9x +6

c) Determine la cantidad máxima de unidades que se pueden vender mensualmented) ¿Cuál es la utilidad obtenida en la operación, suponiendo que se pueden vender todas las unidades ?





( La utilidad está dada en millones de pesos )



Ayres. Cálculo diferencial e integral. 3º edición. Editorial Mc Graw Hill. Colección Schaum.. ISBN: 84-7615-560-3



Hoffman, Laurence. Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw Hill. 6º edición.


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CLASE 14

APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Aplican la integral definida al cálculo de áreas

planas bajo la curva.

- Demuestran comprensión de la utilidad de lamatemática para la resolución de problemas endistintos ámbitos humanos.

- Aplicación de la integral definida a la resolución deproblemas.

- Utilidad de la matemática para la resolución deproblemas.

II. DESARROLLO

El cálculo de áreas planas, entre curvas y rectas, a través de la integral definida, es de suma importancia en elcálculo integral (incluido el diferencial).

Veremos varias aplicaciones de temas de anteriores unidades, tales como: primera derivada, segunda derivada,puntos críticos, máximos y mínimos, entre otros.

NOTA IMPORTANTE: Cuando determine el área entre dos curvas ( o una curva y una recta ), siempre debe poner primero la que esté sobre la otra ( para ello debe ver la gráfica ).

Una importante aplicación de las integrales definidas es en el campo de la economía, esto es: para determinar elexcedente del consumidor y el excedente del productor

a) Primero, veremos el excedente del consumidor:

Si hay consumidores que pueden pagar un precio mayor que el del mercado, entonces se verán beneficiados debidoa que el precio es sólo "y0". En consecuencia, la ganancia total del consumidor va a estar representada por el ÁreaBajo la Curva de la Demanda y sobre la recta y = y0, y lo llamaremos: Excedente del Consumidor.

Definición:

El Excedente del Consumidor se determina de la siguiente manera:

Lo anterior, se ve reflejado en el gráfico que se muestra en la próxima página.





b) Ahora, veremos el excedente del productor ( u oferente ):

Si hay productores que estuvieran dispuestos a vender un producto a un precio menor que el del mercado, entoncesse verán beneficiados debido a que el precio es "y0". En consecuencia, la ganancia total del productor va a estar representada por el Área Sobre la Curva de la Oferta y bajo la recta y = y0, y lo llamaremos: Excedente del

Productor.

Definición:

El Excedente del Productor se determina de la siguiente manera:

Lo anterior, se ve reflejado en el gráfico que se muestra en la próxima página.

q

(x0,y0)y0

x0






1) Calcule el área comprendida entre la curva y = x2 + 2x +1 y la recta y = 3x +3

a) Encontramos los puntos de intersección:

x2 + 2x +1 = 3x +3 x2 - x - 2 = 0 ⇒ ( x – 2 )( x + 1 ) = 0 ⇒ x1 = 2 y x2 = -1

q

(x0,y0)

x0

y0





2

-1

2) Calcule el área que limita al eje x, la curva y los puntos x = 1 y x = 4

a) Primero, determinamos las intersecciones o ceros de la función cuadrática

b) Segundo, determinamos los puntos críticos, máximos y/o mínimos

:

Para ello, debemos obtener la segunda derivada:

Las coordenadas donde se obtiene el valor máximo de la curva es:

Por lo tanto, el máximo está en: (2.5, 12.5)

c) Tercero, graficamos la curva con sus puntos ya determinados anteriormente.





d) Cuarto, determinamos el área entre los puntos x = 1 y x = 4.4

1

3) Calcule el área que limita al eje x, la curva y los puntos x = -0,5 y x = 0,5

a) Primero, determinamos las intersecciones o ceros de la función cuadrática






:


Las coordenadas donde se obtiene el valor mínimo de la curva es:

Por lo tanto, el mínimo está en: (0,-4)






d) Cuarto, determinamos el área entre los puntos x = -0,5 y x = 0,50,5

-0,5

4) Calcule el área de la región limitada entre las curvas y los puntosx = -3 y x = -1

a) Primero, determinamos las intersecciones o ceros de las funciones cuadráticas

a.1)

a.2)

a.3) Intersección entre las curvas






:


Las coordenadas donde se obtiene el valor mínimo de la curva es:

Por lo tanto, el mínimo está en:


Las coordenadas donde se obtiene el valor máximo de la curva es:

Por lo tanto, el máximo está en:






d) Cuarto, determinamos el área entre los puntos x = -3 y x = -1






1) Suponga que la Función de Demanda de los consumidores de cierto artículo es p = 4( 25 - x2 ) US$ por unidad.Hallar el Excedente del Consumidor, si el artículo se vende a un precio p = 64 US$ por unidad.

Desarrollaremos paso a paso este ejercicio:

a) Primero, distingamos que

b) Segundo, determinemos el valor de x0

En este caso, sólo tomamos x0 = 3, ya que no existen cantidades negativas

c) Tercero, determinamos el excedente del consumidor

3

0

2) Determine el excedente del consumidor si y unidades

a) Determinamos, primero, y0:

b) Determinamos, en segundo lugar, el excedente del consumidor

3

0





3) Si la Función de Oferta es y el precio se fija en y0 = 36, obtener el Excedente del Productor

a) Determinamos, primero, la cantidad x0

.

b) Determinamos, en segundo lugar, el excedente del productor

5 5

0 0

4) Determine el excedente del consumidor y del productor (US$), si las funciones de demanda y de oferta, son lassiguientes:

a) Determinamos, primero, x0

Usted debe recordar que, en el equilibrio, la demanda es igual a la oferta:

Si elevamos al cuadrado,





b) Determinamos, en segundo lugar, y0

Como es cantidad de equilibrio, entonces para determinar , podemos reemplazar en cualquiera de las

dos funciones anteriores.

Lo haremos en la función de demanda:

80 80

0 0

80 80

0 0






( Iguale ambas funciones para determinar los puntos de intersección )

.









Hoffman, Laurence. Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Mc Graw Hill. 6º edición.


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