ctarit5ºs ivsr conjuntos numeracion dividibilidad numeros primos

7/29/2019 CTARIT5S IVSR conjuntos numeracion dividibilidad numeros primos

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ARITM TICA

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X. TEORA DE CONJUNTOS

1. CONCEPTOSe entiende por conjunto a toda agrupacinde objetos reales o imaginarios, que tienenuna o mas caractersticas comunes, estosobjetos reales o imaginarios son llamadoselementos del conjunto de manera que unconjunto esta bien definido si es posibleconocer todos sus elementos.

2. NOTACIONGeneralmente se denota a los conjuntos conletras maysculas de nuestro alfabeto y a suselementos separados por comas yencerrados por signos de coleccin (llaves,corchetes), etc. Ejm:

si,la,sol,f a,mi,re,doA

Chil

e....,Argentina,Bolivia,Per,EcuadorP

uoie

aB ,,,,

Obs. CARDINAL DE UN CONJUNTO (n):Nos indica el nmero de elementos diferentesque tiene el conjunto considerado. Ejm:

3

An17;12;8A

4

Bn17;11;11;11;11;6;6;6;9;9B 3. REPRESENTACIN GRFICALos conjuntos se representan grficamentepor figuras geomtricas cerradas, llamadosDiagramas de Venn Euler, que contienenlos elementos del conjunto.Ejemplo:

Se lee conjunto A formado por las vocales.Se lee conjunto B formado por los 10primeros nmeros naturales.

4. DETERMINACIN DE CONJUNTOSLos conjuntos se pueden determinar de dosmaneras:

a) Por Extensin o Forma Tabular:Cuando se indican a todos y a cada uno de

los elementos del conjunto.Ejemplo:

u;o;i;e

;aV

5;4;3;2;1P

* OBSERVACIN: El orden en el cual sonlistados los elementos del conjunto no afectael hecho de que pertenezcan a l.

5,17,3,1017,10,5,3D

b) Por comprensin o Forma Constructiva:Cuando se define al conjunto enunciando laspropiedades comunes que caracterizan a los

elementos de dicho conjunto.Ejemplo:

voca

lunaesx/xA

Se lee: x tal que x es una vocal

6xx/xB

Se lee: x tal que x pertenece a los nmerosnaturales menores que 6

5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Relacin de Pertenencia ( )

Un elemento pertenece ( ) a un conjunto siforma parte o es un agregado de dichoconjunto. La relacin de pertenencia vinculacada elemento con el conjunto.

SMBOLO SIGNIFICADO

Pertenece a

No Pertenece a

* s es un elemento del conjunto E s pertenece a E s E

* t es un elemento del conjunto A t pertenece a A t A* o no es elemento del conjunto E o no pertenece a E o E* m no es elemento del conjunto A m no

pertenece a A m A

b) Relacin de Inclusin ( ):Se dice que A est incluido en el conjunto B(A B), cuando todo elemento de Apertenece a B.Grficamente:

Ejemplo:Si: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}B = {1; 2; 3}Se observa :B A: Conjunto B incluido en conjunto A.

c) Igualdad de Conjuntos:Dos conjuntos A y B son iguales, si A y Btienen los mismos elementos.

Ejemplo:Si: A = {1,3,5,7,9} y

B = {x/x N x impar


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elementos que pertenecen a A o B o enambos.Notacin: A B.

SS

Se lee: A unin B

Ejemplo:Sean los conjuntos:

A = 2; 4, 7, 9

B = 1, 7, 4, 12, 18

El conjunto A B = 1, 2, 4, 7, 9, 12,18

b) Interseccin ( )Dados los conjuntos A y B se llamanconjunto interseccin, al conjunto formadopor todos los elementos que pertenecen a Ay B, es decir que sean comunes a ambosconjuntos.Notacin: A B

A B = {x/x A x B}

Se lee: A interseccin B

Ejemplo:A = {2, 4, 6, 9, 12}B = {3, 6, 9, 4, 20, 23}

Conjunto A B = {4, 6, 9}

c) Diferencia ( )Dados los conjuntos A y B se llama conjuntodiferencia (A B) al conjunto formadonicamente por los elementos quepertenecen a A pero no a B.

Notacin:A B

A B = {x/x A x B}

Se lee: A diferencia B


A = {23, 19, 26, 25, 30}B = {1,9,26,23,20,18}

El conjunto A B = {19, 25, 30}

* Observacin: A B B A

d) Diferencia Simtrica ( )Dado los conjuntos A y B , se llama conjuntodiferencia simtrica a aquel conjunto quetiene como elementos a aquellos quepertenecen al conjunto (A B) pero no alconjunto (A B).Notacin: A B

A B = {x/x (A B ) (A B)}


A = {2, 13, 19, 28, 30}B = {1,13, 19, 20, 29, 32}El conjunto:

A B = {1,2,20, 28, 29, 30, 32}

Complemento de un Conjunto (A )Siendo A un subconjunto cualquiera delconjunto universal U. El complemento de ACon respecto a U se define como el conjuntode elementos de U que no pertenece a A.Notacin: A` Se lee: el complemento

de A.

A = {x/x U x A}

Ejemplo:A = {4, 8, 10}U = {x/x N 2 < x < 12}

El conjunto: A = {3,5,6,7,9,11}

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Si el conjunto A es unitario. Halla a.bA= {a + b ; 12 ; 3b-2a+1}

Solucin:Todos los elementos = 12

a + b = 12 3b 2a + 1 = 123b 2a = 11

Resolviendo:a = 5b = 7

Rpta : a . b = 35

2.- Cuntos subconjuntos tiene:

A = {x2 + 1/ x Z ; -3 x < 5}Solucin:

x {-3 , -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}

(x2+1) {10 ; 5 ; 2 ; 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 17}

A = {10; 5; 2; 1 ; 17}

Rpta : N Sub-conj =2n(A) = 25 = 32

3.- De un total de 51 personas 30 gustan delcine y 18 slo del cine, 22 del teatro. Acuantos no les gusta ni el cine ni el teatro?

Solucin:

Rpta : 11

4.- De un grupo de 70 personas:32 hablan ingls; 26 espaol; 37 francs, 6ingls y espaol; 9 espaol y francs; 12ingls y francs. Cuntos hablan slo unidioma? Si hay 2 personas que hablan los 3idiomas?

Solucin :

PRCTICA DIRIGIDA N10

1).- Si los conjuntos:

A = {2x + 3y ; 10} B = {29 ; x + y}Son iguales. Calcula (y-x)

a) 10 b) 8 c) 7 d) 11 e) 4

2).-Halla el conjunto C por extensin ydetermina cuntos subconjuntos tiene:C ={x2+1/x N; -3 x 4}

a) 20 b) 30 c) 32 d) 64 e) 16

3).- Si el siguiente conjunto C,C = {a+b, 8, 2a 2b+4}; es unitarioHalla a3+b4

a) 145 b) 397 c) 80d) 108 e) 206

4).- Si los conjuntos: A = {x-y ; 12}B = {x-2y ; -3}

Son iguales, adems: C = {a+2 ; 3b+7}, esunitarioCalcula: x2+y2+2a-6b

a)546 b)581 c)662d)559 e)613

5).- Cuntos subconjuntos propios tiene elconjunto:M = { 2; 3; {2}; 3; 2; {2}; {3} }

a) 127 b) 63 c) 15d) 7 e) 31

6).- Si A es unitario, halla x2

+ y.A = { x + y; 20; x y + 10 }

a) 230 b) 130 c) 235 d)144 e) 152

7).- Dados los conjuntos unitarios :A = {3a + 1; 7}, B = {3; b+c} y C = {2; bc}Donde: b > cCalcula : a2b + 3ca) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 6

A B = x / x A x B

U

C(30) T(22)

101218

11

Total(51)

C(32) E(26)

13416

F(37)

Total (70)

210 7

18


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8).- Dados los conjuntos unitarios:P = {x + y ;8} Q = {y + z ; 10}S = {x+ z ;12}Calcula: (x +y +z)

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

9).- Dados los conjuntos.A = {x

N / 2 < x < 6},

B = {x

2

+ 1 / x N 1 < x < 4} yC = {x - 2 / x N 4 < x < 6}.Cuntos elementos tiene laoperacin:(B A)(A C)?

a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) 6

10).- Si: n (A U B) = 30n (AB)=12 yn (BA) = 8

Halla : 5[n(A) ] 4[n(B)]

a) 38 b) 60 c) 48d) 70 e) 100

11).- Si: A y B son conjuntos tales que:n(A U B) = 33;n(A - B) =7;n(B - A) = 15

Halla : n (A) + n (B)a) 38 b) 45 c) 40d) 44 e) 48

12).- Indica el numero de elementos delconjunto

17x,N21x3/1xA

a) 3 b) 5 c)10d) 4 e) 16

13).- Un alumno durante todas las maanasdel mes de enero desayuna caf y/o leche.Si durante 25 maanas desayuna caf y 18maanas desayuna leche, cuntasmaanas desayuna caf con leche?

a) 10 b) 12 c) 15d) 13 e) 14

14).- En una encuesta a 150 universitarios,se sabe que 60 son mujeres; 55 personasestudiaban ingeniera; 30 mujeres noestudian ingeniera. Cuntos varones noestudiaban ingeniera?

a) 50 b) 55 c) 60d) 65 e) 75

15).-A una fiesta de promocin asisten 30

alumnos, de los cuales 12 son varones y deestos 5 no estn bailando. Cuntasmujeres no estn bailando?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

16).- En un saln de clases de 47 alumnos sesabe que a 30 les gusta Matemtica, a 20les gusta Lenguaje y a 25 les gusta Ingls.

A 14 les gusta Matemtica y Lenguaje, a 13Matemtica e ingls y a 15 les gustaLenguaje e Ingls. Si a 12 les gusta los trescursos. A cuntos alumnos no les gustaninguno de los cursos mencionados?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

17).- De m azafatas, 46 leen francs, 36leen alemn, 27 leen espaol, 19 leenfrancs y alemn, 8 leen francs y espaol,10 leen espaol y alemn y 3 leen los 3idiomas. Cul es el valor de m?

a) 100 b) 84 c) 86d) 74 e) 75

18).- En un saln de clase de 50 alumnos,aprueban matemtica 30; fsica 30,castellano 35; matemtica y fsica 18,fsica y castellano 19; matemtica ycastellano 20 y 10 aprueban los tres cursos.Cuntos no aprueban ninguno de los trescursos?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

19).- Durante todo el mes de octubre unalumno estuvo preparndose en aritmticay lgebra. Veinte das estudi aritmtica y16 das lgebra. Si el 1ro de octubre fuedomingo y todos los domingos descans,en cuntos das estudia ambos cursos?

a) 9 b) 8 c) 10d) 11 e) 5

20).- En un saln donde hay 43 personas; 5son mujeres que estudiaban biologa, 28son hombres y el nmero de hombres queno estudiaban biologa es el doble delnmero de mujeres que no estudianbiologa. Cuntas personas estudianbiologa?a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

21).- En un saln de clases, 35 alumnosaprobaron matemtica, 35 alumnosaprobaron comunicacin y 43 aprobaronhistoria. Cuntos alumnos hay en el aulade clase, si 20 alumnos aprobaron los tres

cursos y no hay alumnos que hayanaprobado exactamente dos cursos y quehayan sido desaprobados en los trescursos?

a) 73 b) 70 c) 65d) 60 e) 55

22).- De 190 personalidades, entreamericanos y europeos que asistieron a uncongreso, se supo que 110 eran varones,100 eran americanos y 16 mujeres eraneuropeas. Cuntos varones europeosasistieron?

a) 86 b) 84 c) 80d) 76 e) 74

23).- De 162 vendedores ambulantes: 60venden camisas y blusas; 40 camisas ypauelos; 50 blusas y pauelos; 42 vendenslo una clase de dichas prendas.Cuntos ambulantes venden los 3 tipos deprendas mencionados?a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35

24).- En una guerra participaron 100hombres; 42 fueron heridos en la cabeza;43 en el brazo y 32 en la pierna, adems 5fueron heridos en la cabeza y la pierna.Cuntos fueron heridos en las 3 partes?

a) 10 b) 8 c) 6d) 4 e) 2

CLAVES DE RESPUESTAS

1) b 2) c 3) e4) d 5) c 6) a7) b 8) b 9) a10)a 11)d 12)d13)b 14)d 15)c16)b 17)e 18)b19)c 20)b 21)a22)e 23)a 24)e


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XI. NUMERACIN

1. DEFINICIN

Es la parte de la aritmtica que estudia lacorrecta formacin, escritura y lectura de losnumerales.

2. PRINCIPIOSFUNDAMENTALES :

NMEROConcepto primitivo, carente de definicin,sin embargo nos da la idea de unacantidad.

NUMERALEs la representacin simblica del nmero.

CIFRASLlamados tambin DGITOS oGUARISMOS. Son los smbolos que seutilizan para representar a los numerales.

Ejemplo :

Nmero : Ocho.

Luego : Numeral = 8

Cifras

ORIGEN Y LUGAR DE LASCIFRAS DE UN NUMERO

Ejemplo :

50 40 30 20 10 Orden

9 7 2 6 3

Lugar 1er 2do 3ro 4to 5to

Cifra de orden 4 : 7Cifra de lugar 3 : 2

LA BASEIndica la cantidad de unidades que senecesitan de un cierto orden, para formaruna unidad de orden inmediato superior.Por ejemplo: En base 10:

10 unid. de 1erorden 1 unid. de 2do orden.10 unid. de 2do orden 1 unid. de 3erorden.10 unid. de 3erorden 1 unid. de 4to orden.Etc.

Observacin:

Grficamente se observa que si tenemosdoce unidades, sta cantidad se puederepresentar de diferentes manerasdependiendo de la base, es decir::

En base 10:

12

En base 9:

139

En base 7:

157

En base 6:

206

En base 3:

1103

Ntese que:

12 = 139 = 157 = 206 = 1103

3. PRINCIPALES SISTEMAS DENUMERACIN

BASE SISTEMACIFRAS QUE

UTILIZA

2 Binario 0,1

3 Ternario 0,1,2

4 Cuaternario 0,1,2,3

5 Quinario 0,1,2,3,4

6 Senario 0,1,2,....5

7 Heptanario 0,1,2,....6

8 Octanario 0,1,2,....7

9 Nonario 0,1,2,....8

10 Decimal 0,1,2,....9

11 Undecimal 0,1,2,....9,

12 Duodecimal 0,1,2,....9,

,

Donde:

Cifra = 10Cifra = 11

Cifra = 12

4. REPRESENTACIN LITERALPara representar los numerales se debetener en cuenta las siguientesconsideraciones:

4.1. Toda cifra debe ser menor que la baseen la cual esta escrita.

4.2. Toda expresin entre parntesis nosindicar que se trata de una sola c ifra.

4.3. Las letras diferentes nonecesariamente deben ser diferentes,excepto que se indique lo contrario.

Por ejemplo:* Numeral de dos cifras en base 10: ab

ab

{ 10; 11; 12; 13; 14; . . . ;99}

* Numeral de dos cifras iguales en base 10:

aa {11; 22; 33; 44; . . . . ;99}

* Numeral de tres cifras de la base 7:

abc7 {1007; 1017; 1027;....;6657; 6667}

* Numeral de tres cifras consecutivascrecientes dela base 8:

)2)(1( aaa 8

NUMERAL CAPICA

Llamados tambin PALNDROMOS. Esaquel cuyas cifras extremas y equidistantesson iguales.

383, 3883, 4884, 555, 7777, xyyx 8

As tambin existen palabras capicas:

OSOSOMOSRADARRECONOCER

ANITALAVALATINA

5. VALORES DE UNA CIFRA

VALOR ABSOLUTO (VA)Es aquel valor que toma la cifra por su figura.

VALOR RELATIVO (VR)Es aquel valor que toma la cifra dependiendo

del lugar que ocupa en el numeral.

Ejemplo:

DESCOMPOSICIN POLINOMICAConsiste en expresar a un nmero como lasuma de los valores relativos de sus c ifras.

Por ejemplo:

2947

V.A.= 7

V.R.= 7000

V.A.=4

V.R.= 400

V.A.= 2

V.R.= 2

V.A= 9

V.R.= 90


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2345 = 2 X 103 + 3 X 102 + 4 X 10 + 5

4325 = 4 X 52 + 3 X 5 + 2 = 117

23124 = 2 X 43 + 3 X 42 + 1 X 4 + 2

128 + 48 + 4 + 2 = 182

12203 = 1 X 32 + 2 X 32 + 2 X 3

9 + 2 X 9 + 69 + 18 + 6 = 33

Caso particular : Por bloques :

abab = ab x 102 + ab

= 100 ab + ab = 101 ab

5abab = 5ab x 52 + 5ab

= 25 5ab + ab5

= 26 5ab

3ababab = 3ab x 34 + 3ab x 3

2 + 3ab

= 81 3ab + 9 3ab + 3ab

= 91 3ab

6. CAMBIO DE BASE DE BASEN A BASE 10

Mtodo: Descomposicin polinmica

2315 = 2 x 52 + 3 x 5 + 1

= 50 + 15 + 1 = 66

2426 = 2 x 62 + 4 x 6 + 2

= 72 + 24 + 2 = 98

1234 = 1 x 42 + 2 x 4 + 3

16 + 8 + 3 = 27

7. DE BASE 10 A BASE N

Mtodo : Divisiones sucesivas

25 Base 82 5 82 4 3

1318

127 Base 9

1 2 7 99 1 4 93 7 9 1

1519 3 6 51

8. DE BASE N A BASE MMtodo : Descomposicin polinmica yluego divisiones sucesivas.

PROPIEDADES

NUMERAL DE CIFRAS MXIMAS

99 = 102 1999 = 103 - 1667 = 7

2 - 15556 = 6

3 - 14444445 = 5

6 - 1

1)-(n...1)-(n1)-(n n = nk 1k cifras

BASES SUCESIVAS

21 = 21 = 21 = 2731 31 (13)4 4

12 = 2 + 3 + 4 + 6 = 1513

146

1a = a + b + c + x

1b

1c x

EXTREMOS DE UN NUMERAL

a) 105 5ab 445

5 5ab 24

b) 107 7cd 667

7 7cd 72 - 1

7 7cd 48

c) 1005 5mnp 4445

52 5mnp 53 - 1

25 5mnp 124

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Dado el numeral capica :

1)-(ca)4b(65)-(3b4)(a Calcula : c 1

Solucin :

b = 4

3b 5 = 6 + a3(4) 5 = 6 + a7 = 6 + a a = 1

a + 4 = c 11 + 4 = c 1

5 = c 1 c = 6

Pide: c - 1 Rpta : 5

2) Expresa el numeral :N = 6 x 83 + 4 x 85 3 x 84 + 11 x 82 + 37

en base 8

Solucin:

N = 6x83 + 4x85 3x84 + 11x82 + 4x8 + 5

N = 4x85 + 3x84 + 6x83 + 11x82 + 4 x 8 + 5

N = 4(-3) 6 (11) 458

N = 4(-3) 7 3 458N = 3573458

3) Si mnp1= 3 x 2mnp

Calcula: m + n + p

Solucin:

mnpx 10 + 1 = 3(2 x 103 + mnp)

mnp x 10 + 1 = 3(2000 + mnp)

10mnp + 1 = 6000 + 3mnp

7mnp = 5999

mn p =7

5999

mnp = 857

Pide : m + n + p Rpta : 20

4) Determina : a + b + n si :

nabab = 715

Solucin:

nab (n2 + 1) = 715

nab (n2 + 1) = 11 x 65

nab (n2 + 1) = 11(82 + 1)

n = 8Luego:

8ab = 11 = 138a = 1b = 3

Pide : a + b + n = 1 + 3 + 8 = 12

BASE n BASE 10 BASE m

descomposici npolinmica

divisionessucesivas

1

1


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5) Expresa el numeral:

E = 333 . . . . . 33(4) en base 8 y lasuma

de sus cifras

Solucin :

E = 333 . . . 33(4) = 430 1

=(22

)3 x 10

1=(23))2 x 10 - 1= 820 1= 777 . . . . 778

20 cifras

Por la suma de cifras

Rpta : 7(20) = 140

6) Si : a5 30xyaaa

Calcula : a + x + y

Solucin :(-) (+)

a5 30xyaaa

(+) (-)

a < 5 a > 3

Luego : 3 < a < 5

4

4445 = 4xy30

53- 1 = 4xy30

124 = 4xy30 1304 = 4xy30

Pide : a + x + y

4 + 1 + 3 = 8


NIVEL I:

1).- Halla a.b.c.d si se cumple:

)9()6(605abcd

a) 20 b) 24 c) 18d) 50 e) 30

2).- Halla a+b+c, si se cumple:

abc (7) = 1230(5)

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

3).- Si el nmero 2)-1)(a-1)(a(a estexpresado en base 4, expresarlo en base 6y dar la suma de sus cifras.a) 5 b) 9 c) 6d) 4 e) 7

4).- Si los siguientes numerales estn

correctamente escritos:bca5 xxx;a21;b10;c12

Halla: a + b + c + xa) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

5).- Si al numeral ab le restamos el numeralde dos cifras, que se obtiene al invertir elorden de sus cifras se obtiene 72. Hallaa+ba) 7 b) 3 c) 9d) 10 e) 12

6).- Si: )n()8( 1106xyx Calcula: (8x y)

a) 61 b) 47 c) 52d) 30 e) 41

7).- Calcula (x + y). Si:

)7()8(345y6x

a) 8 b) 6 c) 5d) 2 e) 4

8).- Sabiendo que:

(8)(4)(b)(a) mn

0b3a2.c1 .

Halla: a + b + c + m + na) 15 b) 8 c) 11d) 14 e) 16

9).- Cuntos numerales de dos cifrascumple que son iguales a cuatro veces lasuma de sus cifras?

a) 4 b) 5 c) 1 d) 2 e) 3

10).- Expresa N en base 5 y da la suma desus cifras:

N = 19 x 54 + 8 x 53 + 22

a) 16 b) 13 c) 12d) 15 e) 10

11).- Sabiendo que:315(8) = abc(6)

Halla a + b + c

a)10 b) 14 c) 5 d) 9 e) 11

12).- Sabiendo que:

xyb=7a5+175 )b()a(

Calcula x + y

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

13).- Si el numeral 1458(n) se expresa enbase (n + 1). Cunto suman sus cifras?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

14).- Halla : a + b + c + d + e + n, si se

cumple :)n(

)3(abcde211

a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10

15).- SI: )8()6( 1x13x2 Halla x

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

16).- Si: )9()5( m5mm1 Halla : (3m)

a) 12 b) 9 c) 6 d) 3 e) 0

17).- Si:)8()7(

261)5p)(2n)(1m(

Halla: (m+n+p)

a) 9 b) 10 c) 14 d) 18 e) 15

18).- Si:)3()9(

2101)10y)(2x(

Halla: (3x+5y)

a) 81 b) 70 c) 57 d) 64 e) 75

19).-Sabiendo que:

)3(

)n( 101abab

Halla: (2a+7b)

a) 2 b) 3 c) 10 d) 9 e) 11

20).- Halla k Si: )5()8(

351 kok

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

21).- Se sabe que los nmeros

1 2cc4aa y bba c. estn bien

escritos, adems a, b y c son cifras

diferentes, Halla abc6 en el sistemadecimal

a) 116 b) 186 c) 204 d) 285 e) 312

CLAVES DE RESPUESTAS1) e 2) a 3) e4) e 5) d 6) b7) b 8) e 9) a10)b 11)a 12)a13)b 14)b 15)d16)a 17)e 18)b19)a 20)b 21)a

30 cifras


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ARITM TICA

160

XII. DIVISIBILIDAD DE UNNMERO

1. DEFINICIN:

Un nmero A es divisible entre otro B,cuando la divisin de A entre B es entera yexacta.

A B donde : K Z

0 K A = BK

Se lee :

A es divisible por BB es divisible de AB divide a A

Tambin :

A es mltiplo de BB es factor de A

Notacin : A =

B

2. OBSERVACIONES :

a) El cero es mltiplo de cualquier nmeroentero positivo.

b) El cero no es divisor a la unidad deningn nmero.

c) Todo nmero es divisor de la unidad.

d) Los conceptos de divisibilidad ymultiplicidad son equivalentes en elconjunto de los nmeros enteros.

e) Un nmero negativo puede ser mltiplede otro positivo.

3. CRITERIOS DEDIVISIBILIDAD

Son condiciones que consiste en analizarlas cifras de un nmero, para determinar sies divisible o no respecto a cierto mdulo.En caso de no serlo nos dar a conocer elresiduo.

3.1 DIVISIBILIDAD POR 2Cuando termina en cero o cifra.

N =

2abc c = cero o par.

3.2 DIVISIBILIDAD POR 3Cuando la suma de sus cifras esmltiplo de 3.

N =

3abc a + b + c =

3

3.3 DIVISIBILIDAD POR 4Cuando sus dos ltimas cifras son ceroso mltiplo de 4.

N =

4abcd

4oocd

3.4 DIVISIBILIDAD POR 5Cuando la ltima cifra es cero o cinco.

N =

5abcd d = 0 v 5

3.5 DIVISIBILIDAD POR 6Cuando es divisible por 2 y tambin por3.

N =

6abcd

32

3.6 DIVISIBILIDAD POR 7

7hgfedcba

3 1-2 -3-1 2 3 1

h + 3g + 2f e 3d 2c + b + 3a =

7

3.7 DIVISIBILIDAD POR 8Cuando sus tres ltimas cifras cero omltiplo de 8.

N =

8abcd

8000bcd

3.8 DIVISIBILIDAD POR 9Cuando la suma de sus cifras esmltiplo de 9.

N =

9abcd a + b + c =

9

3.9 DIVISIBILIDAD POR 11Cuando la suma de sus cifras de ordenimpar menos la suma de las cifras de

orden par; es 0 o mltiplo de 11.

N =

11fedcba

- + - + - +


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PROBLEMAS RESUELTOS

1. Sea : A = {3436; 32a50;3128;ab48 }Cuantos mltiplos de 4 existen.

Solucin :

3436 =

4

ab48=

4 porque 48 =

4

3128=

4 porque 28 =

4

32a50

4 porque 50

4

Existen 3 nmeros

2. De los 100 primeros nmeros naturales cuantosmltiplos de 7 existen.

Solucin :

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; . .. ; 100

7 : 7; 14; 21; 28; 35; . . . 98

7k : 1; 2; 3; 4; 5 , . . . 14

Existen 14 nmeros

3. Si : 1a2a3a4a=

11 ; halla a

Solucin :

Se sabe que :

4a (4 + 3 + 2 + 1) =

11

4a 10 =

11

4a =

11 + 10

a =

11 + 8 a = 8

4. Cuntos nmeros mltiplo de 4 existen en los 200primeros nmeros naturales.

Solucin :

1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . . 198; 199; 200

4 : 4; 8; 12; 16; 20; . . . 200

4k = 1; 2; 3; 4; 5; . . . 50

Existen 50 nmeros.

5. Del siguiente conjunto :

A = 48a;25a;5ab;abc;0ab

Cuntos mltiplos de 5 existen.

Solucin :

5ab0 porque termina en 0.

5abc

5ab5 porque termina en 5

5a25 porque termina en 5

5a48

Existen 3 nmeros.


1).- Cuntos nmeros de la forma ab2 existen que sean

46

?a) 15 b) 17 c) 13

d) 18 e) 162).- Halla (a+b) mnimo:

3a3542

92317b4 a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 12

3).- Halla (amnimo + bmximo)

93a251

43259b

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

4).- Un comerciante cuenta las botellas que tiene de 12 en12; de 10 en 10; y de 15 en 15, sobrando siempre 7botellas. Calcular la cantidad de botellas, si es mayorque 400 y menor que 440. Dar como respuesta la suma

de sus cifras.

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e)16

5).- El nmero de vacantes de cierta universidad estcomprendida entre 3500 y 3700. Hallar el nmerosabiendo que si se cuenta de 8 en 8, de 6 en 6 de 5 en5, siempre sobran 2.

a) 3609 b) 3501 c) 3602d) 360 e) 3700

6).- Si: 7m8aa4 . Cuntos valores puede tomara?

a) 4 b) 5 c) 2d) 3 e) 1

7).- Sabiendo que el nmero x y97 es divisible por 88.Hallar (x + y)

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

8).- Halla el menor nmero de la forma b361a7 para quesea divisible entre 55. Dar la suma de sus cifras

a) 22 b) 23 c) 24d) 25 e) 26

9).- Calcula el valor de:(x+y), si se conoce que:

56my42x3

a) 5 b) 7 c) 6d) 8 e) 4

10).- Calcula a + b, si

45aba23a a) 15 b) 12 c) 10d) 9 e) 8

11).- Calcula x, si

722x45y

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

12).- Si :

1158b3y9532a Halla : a+b

a) 5 b) 7 c) 6d) 8 e) 10

13).- Determina el valorde a; si c2acac es divisibleentre 72.

a) 4 b) 3 c) 6d) 7 e) 2

14).- Si el costo de 12 manzanas es de tres soles calculeel menor costo de cierto numero de manzanas queagrupadas de 24, 15 y 18 siempre sobran 12.a) 61 b) 92 c) 63d) 93 e) 95

15).- Tenemos que:

36c875b . Hallar la suma detodos los valores de b a) 1 b) 6 c) 9d) 8 e) 5

16).- Si se sabe :

6a)ab5(7 . cuntos valorespuede tomar b?a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

17).- En un barco donde viajaban 100 personas ocurre unnaufragio. De los sobrevivientes se observa que la

onceava parte son nios y la q uinta parte de los muertoseran casados.Cuantos murieron?.a) 40 b) 45 c) 50d) 55 e) 60

18).- En un barco haba 180 personas, ocurre un naufragioy de los sobrevivientes, 2/5 fuman, 3/7 son casados ylos 2/3 son ingenieros. Determinar cuntas personasmurieron en dicho accidente.a) 60 b) 65 c) 70d) 75 e) 80

19).- Un granjero compr pavos, patos y pollos, cada pavocost 100 soles, cada pato 50 soles y cada pollo 5soles. Si compr en total 100 animales con 1000 soles.Cuntos pollos compr?.

a) 50 b) 10 c) 85d) 90 e) 70

20).- Hallar el menor nmero N tal que:

N=

7 + 3 y 4N=

15 + 13

a) 59 b) 45 c) 46d) 52 e) 31

21).- Cuntos valores puede tomar a s N es mltiplo de9?.

N =

cifras179

...23a23a23a

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

22).- En un saln de 50 alumnos se observa que lasptima parte de las mujeres son rubias y la onceavaparte de los hombres usan lentes.Cuntos hombres nousan lentes?

a) 22 b) 28 c) 2d) 20 e) 4

23).- Hallar : a + b -c

si: abc=

45 y ca =

8

a) 6 b) 9 c) 7d) 5 e) 8


1) b 2) b 3) d 4) b 5) c

6) c 7) c 8) a 9) c 10) b

11) b 12) d 13) e 14) d 15) d

16) d 17) b 18) d 19) d 20) d

21) c 22) d 23) e


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ARITM TICA

162

XIII. NMEROS PRIMOS YCOMPUESTOS

1. DEFINICINNmero primo o primo absoluto, es aquelque solamente tiene 2 divisores, la unidad ysi mismo. El menor y nico nmero parprimo es el 2, lo nicos nmeros

consecutivos que son primos absolutos sonel 2 y el 3.La siguiente es la sucesin de los nmerosprimos.

2; 3; 5; 7; 11; 13;17; 19; 23; 29; . . .

2. CLASIFICACIN

2.1. NMERO SIMPLE .- Un nmerosimple es el que tiene no ms de dosdivisores. Son nmeros simples launidad y los nmeros primos.

2.2. NMERO COMPUESTO.- Es el quetiene mas de dos divisores, la siguientees la sucesin de los nmeroscompuestos:

4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; . . .

2.3. NMEROS PRIMOS ENTRE S,COPRIMOS O PRIMOS RELATIVOS(PESI)Dos o ms nmeros son primos entresi (PESI). Cuando no tienen otro divisorcomn que la unidad, aunque cada unoseparadamente no sea primo.Ejemplo :

a. 11; 12 y 15b. 10; 8 y 9

2.4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAARITMTICATodo entero mayor que la unidad, sepuede descomponer como lamultiplicacin de sus factores primosdiferentes entre s, elevados a ciertosexponentes enteros positivos. Esta

descomposicin es nica y se llamadescomposicin cannica.

Ejemplo :144 = 24 . 32

En general :

Sea : N = A . B . C

Donde : A, B y C son nmeros primos

Se cumple lo siguiente :2.4.1 CANTIDAD DE DIVISORES [D(N)]

D(N) = ( + 1) ( + 1) ( +1)

2.4.2 SUMA DE DIVISORES [SD (N)]

SD(N) =1C

1C.

1B

1B.

1A

1A111

2.4.3 SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS

DIVISORES [SID(N)]

SID(N) =N

SD )N(

2.4.4 PRODUCTO DE DIVISORES DE UNNMERO [PD(N)]

PD(N) = 2)N(D

N

2.4.5 INDICADOR DE UN NMERO O

FUNCIN DE EULER [ (N)]

Es la cantidad de nmeros enterospositivos menores que un nmero dado yprimos con l.

Sea : N un nmero compuesto.N = A . B . C . . . . . . (D.C)

Se calcula :

(N) = A -1 (A-1) . B -1(B-1) . C -1(C-1)

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Si : 25 x 15 tiene 24 divisores . Halla elvalor de .Solucin :

N = 25. 15 = 5 2. (3 . 5) = 5. 3 . 5N = 3 . 5+2

D(N) = (+1)(+2+1)=( +1) (+3)

Dato :

D(N) = 24

( +1)( +3) = 24

( +1)( +3) = 4 x 6

Por identi f icacin de factores.

= 3

2) Halla el producto de divisores del nmero: 152 x 213Solucin :

N = 152. 21

3

N = (3 . 5)2. (3.7)

3

N = 32. 5

2. 3

3. 7

3

N = 35. 5

2. 7

3 (D.C)

D(N) = (5+1) (2+1) (43+1) = 72

PD(N) = (152. 213) 2)N(D

PD(N) = (152. 21

3)

36= 15

72. 21

108

3) Si : 122n tiene 63 divisores ms que 12n.Halla n

Solucin :

122n

= 24n

. 32n D(N) = (4n+1) (2n+1)

12n= 2

2n. 3

n D(12n) = (2n +1) (n+1)

Restando :

D(122n) D(12

n) = (2n + 1) (3n ) = 63

(2n+1)n = 7 . 3

n = 3

4) Calcula el indicador de 980.

Solucin :

980 = 22. 7

2. 5

(980) = 25(2-1) (7) (7.1)50(5-1) (980) = 2 . 1 . 7 . 6 . 1 . 4

(980) = 336

5) Halla el valor de x si N = 6 . 8 x tiene 16divisores.Solucin :

N = (2 . 3) . (23)x

N = 2 . 3 . 23x

N = 23x+1

. 3

D(N) = (3x+2) (1+1) = (3x+2) (2)

Dato : D(N) = 16

(3x+2)(2) = 16

3x+2=8

x = 2

6) Cuntos divisores de 1176 tienen 2 cifras.Solucin :

1176 2 1176 = 23x 3 x 7

2

588 2294 2 1 1 1147 3 2 3 749 7 4 497 7 81


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ARITM TICA

163

Elaborando la tabla de divisores

1 2 4 8

3 6 12 24

7 14 28 56

21 42 84 168

49 98 196 392

Los divisores de 1176 que tiene 2cifras son 10.


1).- Cuantos divisores posee 231000?

a) 124 b) 125 c) 128d) 127 e) 118

2).- Cuntos divisores tiene el nmero914760?

a) 182 b) 178 c) 194d) 196 e) 192

3).-Cuntos divisores compuestos tiene3872?

a) 14 b) 16 c) 15d) 17 e) 18

4).- Cuntos divisores ms tiene 1203 que643?a) 47 b) 59 c) 63

d) 141 e) 99

5).-Si : 25 x 15 tiene 24 divisores . Halla elvalor de .

a) 5 b) 4 c) 8d) 3 e) 6

6).- Determina el valor de n; si M= 12x15ntiene 60 divisores.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

7).-Halla el valor de x si N = 6 . 8 x tiene 16divisores.

a) 2 b) 4 c) 8d) 6 e) 10

8).- Halla n, si M= 77x9n tiene 60 divisores.

a) 6 b) 8 c) 7d) 9 e) 3

9).- Si: N=15x30n tiene 294 divisores. Hallarn.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

10).- Si P = 21n-3 tiene 169 divisores. Hallarn

a) 14 b)16 c) 11d) 17 e) 15

11).- Si P = factores"n"

108x...x108x108x108 tiene 114

divisores compuestos hallar n

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

12).- Si : 122n tiene 63 divisores ms que 12n.Halla n

a) 6 b) 3 c) 5d) 2 e) 4

13).- Halla x si : N = 6 x 162 x tiene 40divisores.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

14).- Cuntos ceros debe tener?N = 2000 . . . 00

Para que el resultado tenga 56 divisores?

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

15).- Sea N=3yx5z, al dividir N entre 3 sesuprimen 6 divisores, al dividir N entre 5 sesuprimen 4 divisores. Halla y +z.

a) 10 b) 6 c) 8d) 5 e) 7

16).- La suma de las inversas de todos losdivisores de 360 es:

a) 2.2 b) 2.8 c) 2.1d) 2.5 e) 3.25

17).- Halla el valor de n si el nmero dedivisores de : P = 3 x 21n sea 2/3 delnmero de divisores de : Q = 98n.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

18).- Si : 12x tiene 63 divisores compuestos.Calcula x.

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 7

19).- Si : N = 13k+2 13k tiene 75 divisorescompuestos. Halla k

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

20).- si : P = 72 x 72 x 72 x . . . x 72

n factoresHalla n para que P tenga 176 divisores.

a) 3 b) 6 c) 4d) 5 e) 7

21).- Si: E = 10.102.103...10n tiene 2116divisores. Halla el valor de 2n

a) 16 b) 19 c) 18d) 12 e) 15

22).- Determina el valor de x2 si el nmero :16x . 53x posee 130 divisores.

a) 3 b) 16 c) 9

d) 25 e) 49

23).- Si : 300n tiene igual cantidad dedivisores que 16 x 90n. Halla el valor de n.

a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 4

24).- Si : N = 52p + 52p+1 + 52p+2+ 52p+3tiene 156 divisores. Halla P.

a) 2 b) 4 c) 6d) 7 e) 9

25).- Halla el valor de n si se sabe que elnmero 1960n, tiene 105 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

26).- Si : P = 4 4 -2 tiene 60 divisores.Halla el valor de

a) 8 b) 6 c) 7d) 3 e) 9


1) c 2) e 3) c 4) d 5) d

6) c 7) a 8) c 9) c 10) e

11) b 12) b 13) a 14) c 15) c

16) e 17) c 18) b 19) c 20) d

21) c 22) c 23) e 24) c 25) a

26) e

ctarit5ºs ivsr conjuntos numeracion dividibilidad numeros primos

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