criterios series infinitas

Cálculo Integral – ESPOL - ICM

Ing. Roberto Cascante Yarlequé 1

SERIES INFINITAS

DEFINICION 1 (SUMA DE UNA SERIE INFINITA)

Considere que

1n

na denota una serie infinita dada para la cual nS es la sucesión se sumas parciales. Si

nn

S

lim existe y es igual a S, entonces la serie es CONVERGENTE y S es la suma de la serie. Caso contrario la

serie es DIVERGENTE.

TEOREMA 1

Si la serie infinita

1n

na es convergente, entonces 0lim

nn

a

COROLARIO

Si 0lim

nn

a , entonces la serie infinita

1n

na es divergente

TEOREMA 2

Si la serie armónica

1

1

n n es divergente

TEOREMA 3

Si la serie geométrica

1

1

n

nar converge a la suma r

a

1 si 1r , y diverge si 1r

TEOREMA 4 Sea c cualquier constante diferente de cero:

i) Si la serie infinita

1n

na es convergente y su suma es S, entonces la serie

1n

nca también es convergente y

su suma es cS

ii) Si la serie infinita

1n

na es divergente, entonces la serie

1n

nca también es divergente

TEOREMA 5

Si

1n

na y

1n

nb son series infinitas convergentes cuyas sumas son S y T respectivamente, entonces:

i)

1

)(n

nn ba es una serie convergente y su suma es S + T

ii)

1

)(n

nn ba es una serie convergente y su suma es S - T

TEOREMA 6

Si la serie

1n

na es convergente y la serie

1n

nb es divergente, entonces la serie

1

)(n

nn ba es divergente

TEOREMA 7

Si

1n

na y

1n

nb son dos series infinitas, que difieren únicamente en sus primeros m términos (es decir,

kk ba si k > m), entonces las dos series dadas son convergentes o ambas son divergentes.



TEOREMA 8 (CRITERIO DE COMPARACION DE SERIES)

Sea la serie

1n

na una serie de términos positivos.

i) Si

1n

nb es una serie de términos positivos que es convergente, y Znba nn , entonces

1n

na es

convergente

ii) Si

1n

nb es una serie de términos positivos que es divergente, y Znba nn , entonces

1n

na es

divergente TEOREMA 9 (CRITERIO DE COMPARACION DE LÍMITES)

Sean

1n

na y

1n

nb dos series de términos positivos.

i) Si 0lim

cb

a

n

n

n , entonces las dos series son convergentes o ambas son divergentes.

ii) Si 0lim

n

n

n b

a y

1n

nb converge, entonces

1n

na converge.

iii) Si

n

n

n b

alim y

1n

nb diverge, entonces

1n

na diverge.

TEOREMA 10 (CRITERIO DE LA INTEGRAL) Sea f una función continua, decreciente y de valores positivos para toda 1x . Entonces la serie infinita:

1

...)(...)3()2()1()(n

nffffnf

es convergente si la integral

1

)( dxxf existe. Caso contrario es divergente.

DEFINICION 2 (SERIES ALTERNAS O ALTERNANTES)

Si 0na para todos los números enteros positivos n, entonces las series

1

1n

n

na o

1

11

n

n

na se

denominan series alternas o alternantes. TEOREMA 11 (CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNANTES)

Suponga que se tiene la serie alternante

1

1n

n

na o

1

11

n

n

na , donde 0na y

Znaa nn ,1. Si

0lim

nn

a , entonces la serie alternante es convergente

DEFINICION 3 (SERIE ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE)

La serie infinita

1n

na es absolutamente convergente si la serie

1n

na es convergente

DEFINICION 4 (SERIES CONDICIONALMENTE CONVERGENTE) Una serie que es convergente, pero no es absolutamente convergente, se denomina condicionalmente convergente. TEOREMA 12

Si la serie

1n

na es convergente, entonces la serie

1n

na es convergente



TEOREMA 13 (CRITERIO DE LA RAZÓN)

Sea

1n

na una serie infinita para la cual cada na es diferente de cero:

i) Si 1lim 1

L

a

a

n

n

n , entonces la serie es absolutamente convergente.

ii) Si 1lim 1

L

a

a

n

n

no

n

n

n a

a 1lim , entonces la serie es divergente.

iii) Si 1lim 1

n

n

n a

a, NO se puede concluir acerca de la convergencia a partir de este criterio.

TEOREMA 14 (CRITERIO DE LA RAÍZ)

Sea

1n

na una serie infinita para la cual cada na es diferente de cero:

i) Si 1lim

Lann

n , entonces la serie es absolutamente convergente.

ii) Si 1lim

Lann

no

nn

nalim , entonces la serie es divergente.

iii) Si 1lim

nn

na , NO se puede concluir acerca de la convergencia a partir de este criterio.

DEFINICION 5 (SERIES DE POTENCIAS)

Una serie de potencias en )( ax es una serie de la forma:

0n

n

n axc

TEOREMA 15

Sea

0n

n

n xc una serie de potencias. Entonces se cumple SÓLO UNA de las siguientes condiciones:

i) La serie converge sólo cuando 0x ii) La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x iii) Existe un número 0R tal que la serie es absolutamente convergente para todos los valores de x tales

que Rx y es divergente para todos los valores de x tales que Rx

TEOREMA 16 (DERIVACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS)

Si

0n

n

n xc es una serie de potencias cuyo radio de convergencia es 0R , entonces su derivada

1

1

n

n

n xnc

también tiene a R como su radio de convergencia. TEOREMA 16 (INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS)

Si

0n

n

n xc es una serie de potencias cuyo radio de convergencia es 0R , entonces su integral

0

1

1n

nn xn

c

también tiene a R como su radio de convergencia.

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