Criterios de Estabilidad para sistemas continuos y discretos

Criterios de Estabilidad para sistemas continuos y discretos30 de marzo de 2009Presentan:Julio Cesar Rodrguez CerdaDiego Langarica CrdobaDr. Manuel Adam MedinaControl DigitalNContenido de la Presentacin.N1. Introduccin.El problema principal en los sistemas de control es la estabilidad. En que condiciones se vuelve inestable el sistema? si es inestable? Cmo se estabiliza?.Todas las interrogantes son resueltas bajo diferentes enfoques dependiendo la naturaleza del sistema (Tiempo Continuo, Discreto, lazo abierto, lazo cerrado).N1. Introduccin.Antes de iniciar el diseo de un controlador, es indispensable analizar la estabilidad de los sistemas.Los mtodos presentados en esta exposicin son para SLIT.

Funcin de transferencia Tiempo Continuo-DiscretoEspacio de estado

Enfoque general de los mtodos de esta presentacinN1. Introduccin.Diferencias entre el modelo en el dominio de la frecuencia y el dominio del tiempo. Dominio de la frecuencia:Control convencional.SISO.Ecuacin Diferencial (t) LVariable Compleja. (s)

Dominio del tiempo:Control moderno.MIMO.Ecuacin Diferencial (t) de orden nVariables de estado n ecuaciones (t) de orden 1

N1. Introduccin.Para el manejo de los mtodos de determinacin de estabilidad, es necesario conocer:

>Transformada de Laplace.>Transformada Z.

NContenido de la Presentacin.N2. Criterio de estabilidad de Jury.Para comprender el criterio de estabilidad de Jury de sistemas discretos, se analizan dos enfoques (Astrom, Ogata), mostrando sus diferencias.

Semejanzas:Ambos parten del polinomio caracterstico del sistema, indicando si los polos se encuentran dentro del circulo unitario con un mtodo iterativo sencillo.

N2. Criterio de estabilidad de Jury.2.1. Segn AstromPolinomio Caracterstico:

Teorema de la prueba de estabilidad de Jury:Si , entonces, se tienen todas las races dentro del circulo unitario si y solo si todas las , , Son positivas, si es diferente de cero, entonces el numero de negativas es igual al numero de races fueradel circulo unitario

N2. Criterio de estabilidad de Jury.2.1. Segn AstromPasos para determinar la estabilidad bajo este criterio:

Paso 1: Partir del Polinomio caracterstico del sistema a analizar e identificar los coeficientes y el numero de filas a elaborar (2n+1).

Donde n es el orden del sistema.

N2. Criterio de estabilidad de Jury.2.1. Segn AstromPaso 2: De los coeficientes del polinomio caracterstico se forma la siguiente tabla.

N2. Criterio de estabilidad de Jury.2.1. Segn AstromPaso 2:

Las primeras dos filas son los coeficientes del polinomio, al derecho y al revs, la tercera fila se obtiene multiplicando por

a la segunda fila y restndose este producto a la primer fila, la cuarta fila es la inversa de la tercera.

N2. Criterio de estabilidad de Jury.2.1. Segn AstromPaso 3: analizar los coeficientes para los tres casos posibles:> Caso 1: si , es inestable (races fuera del circulo unitario

> Caso 2: si , es marginalmente estable (races en el circulo unitario).

> Caso 3: si , es estable (races dentro del circulo unitario).

N2.1. Segn Astrom2. Criterio de estabilidad de Jury.Ejemplo: determinar si las races del polinomio se encuentran dentro del circulo unitario, usando el criterio de estabilidad de Jury.Paso 1:Donde:La identificacin de los coeficientes:

El numero de filas es:

N2. Criterio de estabilidad de Jury.2.1. Segn AstromPaso 2: Construccin de la tabla.1-1.50.90.9-1.510.19-0.150-0.150.190.070

N2. Criterio de estabilidad de Jury.2.1. Segn AstromPaso 3:Se tiene el caso 3.El sistema es estable por que todas las entonces se dice que todas las races de este polinomio estn dentro del circulo unitario.

N2. Criterio de estabilidad de Jury. Segn OgataEste mtodo prueba la estabilidad absoluta, revela la existencia de cualquier raz inestable, pero no da su localizacin.

Pasos para determinar la estabilidad:Paso 1: Partir de la ecuacin caracterstica del sistema, identificar los coeficientes y determinar el numero de filas de la tabla.

N2. Criterio de estabilidad de Jury. Segn OgataPaso 2: Verificar si , el sistema es estable, si todas las condiciones siguientes se cumplen:Condicin 1:Condicin 2:

Condicin 3:

N2. Criterio de estabilidad de Jury. Segn OgataCondicin 4:

N2. Criterio de estabilidad de Jury. Segn OgataPaso 3: Formar una tabla que tendr 2n-3 filas, un sistema de segundo grado le corresponde una fila.

El siguiente ejemplo muestra los 3 pasos para la determinacin de la estabilidad.NEjemplo: examine la estabilidad de la ecuacin caracterstica siguiente.Paso 1: Ecuacin caracterstica del sistema.

Identificacin de los coeficientes:

se forma una tabla de 2n+3=5 filas, donde n es el orden del sistema.

2. Criterio de estabilidad de Jury. Segn OgataN2. Criterio de estabilidad de Jury. Segn OgataPaso 2: verificar condiciones.Condicin 1, se cumple:

Condicin 2, se cumple:

Condicin 3, se cumple:

N2. Criterio de estabilidad de Jury. Segn OgataPaso 3: tabla de estabilidad.Rengln z0z1z2z3z4-0.081=b3=-0.9941-0.08-0.08-1.2=b2=1.17610.3-0.080.07=b1=-0.075610.071-0.080.3=b0=-0.20421-1.2-0.994-0.204=c2=0.946-0.204-0.994-0.994-0.0756=c1-1.184-0.2041.1763-0.9941.176=c0=0.3154-0.204-0.075650.946-1.1840.315N2. Criterio de estabilidad de Jury. Segn OgataCondicin 4, se cumple:

Del cumplimiento de todas las condiciones, se dice que el sistema es estable y que todas sus races estn dentro del circulo unitario

N2. Criterio de estabilidad . Diferencias entre el criterio de estabilidad de Jurysegn

Astrom: solo verifica que:Inestable

Marginal- mente estable.

Estable

Ogata: verifica que se cumpla:

NContenido de la Presentacin.N3.- Criterios de Estabilidad por LGREl mtodo del lugar geomtrico de las races desarrollado para sistemas en tiempo contino puede ser extendido sin modificaciones a sistemas en tiempo discreto, excepto por que el lmite de la estabilidad queda modificado del eje jw en el plano s al crculo unitario en el plano z. Tiene la misma forma que la del sistema en el tiempo continuo en el plano s.

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRREGLAS GENERALES PARA LA CONSTRUCCIN DE LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES1. Obtenga la ecuacin caracterstica:

2.Y a continuacin reacomoda esta ecuacin de tal forma que el parmetro de inters como la ganancia k aparezca como factor multiplicador o factorizando, se obtienen los puntos de inicio y los puntos de terminacin del lugar geomtrico de las races :

N3.- Criterios de Estabilidad por LGR3. Determine el lugar geomtrico de las races sobre el eje real se determina por los polos en lazo abierto y los ceros que quedan sobre l LGR. Los polos y ceros complejos conjugados no tienen efecto en la localizacin del LGR sobre el eje real porque la contribucin angular es de 360 sobre el eje real.

4. Determine las asntotas del lugar geomtrico de races. Sin el punto de prueba z est localizado lejos del origen, entonces los ngulos de todas las cantidades complejas pueden considerarse iguales. N3.- Criterios de Estabilidad por LGRPor lo tanto, el lugar geomtrico de las races para valores muy grandes de z debe ser asinttico a lneas rectas cuyos ngulos estn dados como sigue:

De donde

N3.- Criterios de Estabilidad por LGR5. Encuentre los puntos de ruptura de entrada y salida. En vista de la simetra conjugada de los lugares geomtricos de las races, los puntos de ruptura de salida y de entrada se presentan o sobre el eje real o en pares complejos conjugados. La funcin se escribe en la forma: Y los puntos de ruptura de salida y de entrada (que corresponden a races mltiples) se pueden determinar a partir de las races:

N3.- Criterios de Estabilidad por LGR6. Determine el ngulo de salida (o el ngulo de llegada) del LGR a partir de los polos complejos (o en los ceros complejos), debemos encontrar la direccin del LGR cerca de los polos y de los ceros complejos. EL ngulo de salida (o a un cero complejo), puede determinarse al sustraer de 180 la suma de todos los ngulos de las lneas.7. Encuentre los puntos donde los lugares geomtricos de las races cruzan el eje imaginario. Los puntos donde el lugar geomtrico de las races cruzan al eje imaginario pueden determinarse definiendo en la ecuacin caracterstica ), e igualamos tanto la parte real como la imaginaria con cero, se resuelve en funcin de v y de K.N3.- Criterios de Estabilidad por LGRLos valores de v y de K que as se encuentren darn la localizacin en la cual el lugar geomtrico de las races cruzan el eje imaginario y el valor de la ganancia correspondiente K, respectivamente. Donde: w=jv

N3.- Criterios de Estabilidad por LGR8. Un punto determinado ser un polo en lazo cerrado cuando el valor de la ganancia K satisfaga la condicin de magnitud. Por otra parte, la condicin de magnitud nos permite determinar el valor de la ganancia K en un lugar especifico dentro LGR. La condicin de magnitud es: Es decir :

N3.- Criterios de Estabilidad por LGREjemplo: Suponga que el controlador digital es del tipo integral, es decir que:

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRPrimero obtenemos la transformada z de:

(4-25)

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRLa ecuacin caracterstica es:

Es decir

Periodo de muestreo T= 0.5seg : para este caso, la ecuacin (4.25) se convierte en:

Observe que G(z) tiene polos en z=1 y en z=0.6065 y un cero en z=0.

N3.- Criterios de Estabilidad por LGREl punto de ruptura de salida y el punto de ruptura de entrada se determinan escribiendo la ecuacin caracterstica en la forma de la ecuacin: (4-27)

Y diferencia K con respecto a z igualando el resultado con cero:

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRDe ah;

Es decir:

Observe que la sustitucin de z por 0.7788 en la ecuacin (4-27) da un valor de K=0.1244, en tanto que si se supone z= -0.7788 que da un valor de K=8.041. dado que ambos valores de K son positivos, z= 0.7788 resulta el punto de ruptura de salida real y z= -0.7788 es el punto de ruptura de entrada real.

N3.- Criterios de Estabilidad por LGR

Figura 4-24 a) Diagrama del lugar geomtrico de las races para el sistema mostrado en la figura 4-23 cuando T=0.5seg; NEn vista de que la ganancia critica Kc corresponde al punto , sustituimos z por -1 en la ecuacin 4-28:

La ganancia crtica Kc es por lo tanto 8.165.

Ecuacin caracterstica LC:

3.- Criterios de Estabilidad por LGR

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRLos polos en lazo cerrado que corresponden a K=2 se pueden determinar como :

El factor de amortiguamiento relativo de los polos en lazo cerrado se pueden determinar en forma analtica a partir de la localizacin del polo en lazo cerrado en el plano z.

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRDado que , el punto correspondiente en el plano z es:

NDel cual obtenemos: (4-29)

Y (4-30)

De las ecuaciones 4-29 y 4-30 se puede calcular el valor de z. Por ejemplo, en el caso en que el periodo de muestreo T es de 0.5 seg, tenemos el polo en lazo cerrado para K=2 en:

3.- Criterios de Estabilidad por LGR

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRPor lo tanto:

Resolviendo

Tambin el ngulo es

Por lo tanto

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRDe las ecuaciones (4-31) y (4-32), obtenemos

Simplificando

Lo que nos da

Frecuencia natural no amortiguada

N3.- Criterios de Estabilidad por LGROtra forma de obtener el factor de amortiguamiento

La frecuencia natural no amortiguada

Tiempo de asentamiento

NTiempo de asentamiento

Polos dominantes:

Asntotas N asntotas= N polos - Nceros 3.- Criterios de Estabilidad por LGR

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRLa funcin de transferencia pulso en lazo cerrado para el sistema de la figura 4-23, cuya funcin de transferencia pulso de la trayectoria directa G(z) esta dada por la ecuacin (4-25) es

Para T=0.5seg

NDe la figura 4-25 vemos que el ngulo de la lnea que conecta el origen y el polo dominante en lazo cerrado en (esta lnea es una lnea w constante en el plano s) es de alrededor de 58.25. El ngulo de los polos dominantes en lazo cerrado determina el nmero de muestras por ciclo de oscilacin senoidal.3.- Criterios de Estabilidad por LGR

NObserve que

Por lo tanto, para el caso en que , tenemos quemuestras por ciclo de oscilacin amortiguada Secuencia de la respuesta escaln del sistema con T=0.5seg

3.- Criterios de Estabilidad por LGR

N3.- Criterios de Estabilidad por LGRPara el caso en que el periodo de muestreo T es 0.5 seg y la ganancia K=2, la funcin de transferencia pulso en lazo abierto es:

Y la constante de error de velocidad esttica K, est dada por

Error

NContenido de la Presentacin.N4.- Criterio de Estabilidad por BodeEl concepto de respuesta en frecuencia juega un importante papel en los sistemas de control digital, de la misma forma que lo hace en los sistemas de control en tiempo continuo. Este mtodo de respuesta en frecuencia en frecuencia se emplea en el diseo de controladores. La razn bsica es la sencillez de los mtodos.NTRANSFORMACIN BILINEAL Y EL PLANO W

Antes de aplicar el mtodo de la respuesta en frecuencia al anlisis y diseo de sistemas de control en tiempo discreto, son necesarias ciertas modificaciones al mtodo del plano z. Dado que en el plano z la frecuencia aparece en la forma

4.- Criterio de Estabilidad por Bode

N4.- Criterio de Estabilidad por BodeLa aplicacin de directa de los mtodos de respuesta en frecuencia no merece tomarse en consideracin para sistemas discretos por que debe de pasar por una transformacin.Esta transformada llamada comnmente transformada w, es decir una transformada bilineal, queda definida por:

NMediante la transformada z y la transformada w, la franja primaria del semiplano izquierdo del plano s es primero transformada al interior del crculo unitario en el plano z y a continuacin transformada a la totalidad del semiplano izquierdo del plano w.

4.- Criterio de Estabilidad por BodeN4.- Criterio de Estabilidad por BodePROCEDIMIENTO DE DISEO EN EL PLANO W1. Refirindose al sistema de control digital que se muestra, el procedimiento de diseo en el plano w puede enunciarse como sigue:Primero obtenga , la transformada z de la planta. A continuacin transforme en una funcin de transferencia mediante la transformacin bilineal dada por la ecuacin:

N

Esto es ,4.- Criterio de Estabilidad por BodeNEs importante que se seleccione adecuadamente en el periodo de muestreo T. Una regla practica es muestrear de 10 veces el ancho de franja del sistema en lazo cerrado. 2. Sustituya en y trace el diagrama Bode para .

3. Lea del diagrama Bode las constantes de error esttico, el margen de fase y el margen de fase y el margen de ganancia

4.- Criterio de Estabilidad por BodeN4.- Criterio de Estabilidad por Bode4. Transforme la funcin de transferencia del controlador en mediante la transformacin bilineal dada por la ecuacin:

Entonces5. Lleve a cabo la funcin de transferencia pulso mediante un algoritmo de calculo.

N4.- Criterio de Estabilidad por BodeEjemplo:Considere el sistema y obtenga los diagramas de magnitud y fase correspondientes en el plano w de tal forma que el margen de fase sea 50, el margen de ganancia sea de por lo menos 10dB, y la constante de error de velocidad esttica K sea 2 . Suponga que el periodo de muestreo es 0.2 segundos, es decir, que T=0.2.

N4.- Criterio de Estabilidad por BodePrimero obtenemos la funcin de transferencia pulso G(z) de la planta que est precedida por un retenedor de orden cero:

N4.- Criterio de Estabilidad por BodeA continuacin, se transforma la funcin de transferencia pulso G(z) en una funcin de transferencia G(w) mediante la transformacin bilineal dada por:

NTenemos que:

4.- Criterio de Estabilidad por BodeNUn compensador simple de adelanto de fase probablemente satisfar todos los requisitos. Por lo tanto, probaremos compensacin mediante adelanto.

La funcin de transferencia en lazo abierto es:

4.- Criterio de Estabilidad por Bode

NLa constante de error de velocidad esttica Kv queda especificada como 2seg .por lo tanto

4.- Criterio de Estabilidad por BodeNTabla de los diferentes factores bsico de la funcin de transferencia:

4.- Criterio de Estabilidad por BodeNObtencin de las frecuencias de corte para obtener los diagramas de bode; K = 20*log(2) = 6.0206

Frecuencia de corte w = 300 Frecuencia de corte w =10 Frecuencia de corte w = 1 Frecuencia de corte w=1

4.- Criterio de Estabilidad por BodeN4.- Criterio de Estabilidad por BodeAngulo de fase: , (la recta es de +45/dec a partir de w=300 hasta w=3000) (la recta es de +45/dec a partir de w=10 hasta w=100) , w=1 (la recta es de -45/dec a partir de w=1 hasta w=10)

N4.- Criterio de Estabilidad por BodeGrafica de magnitud y fase

NContenido de la Presentacin.N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.Los diagramas de Nyquist se usan en la representacin en frecuencia de los sistemas de control LIT retroalimentados.Se usan graficas polares para determinar la estabilidad de lazo cerrado, a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto y de los polos en lazo abierto.El criterio es til ya que determina la estabilidad absoluta en lazo cerrado a partir de las curvas de frecuencia en lazo abierto, sin ser necesario conocer los polos de lazo cerrado.

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.1. Tiempo Continuo.Considere el sistema en Lazo cerrado:

Con su funcin de transferencia:

El polinomio caracterstico:

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.1. Tiempo Continuo.Para la estabilidad todas las races del polinomio caracterstico deben estar en el semiplano izquierdo del plano s.

Nota: no importa que los polos de la funcin de transferencia de lazo abierto estn en el semiplano derecho.

NCriterio de estabilidad: (caso especial cuando G(s)H(s) no tiene polos y ceros sobre el eje jw) .

5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.1. Tiempo Continuo.Si la funcin de transferencia G(s)H(s) de lazoabierto tiene k polos en el semiplano derecho de s,para la estabilidad, el lugar geomtricoG(jw)Hjw) , conforme w varia de - a ,debe rodear k veces el punto -1+j0 ensentido contrario a las manecillas del reloj.

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.1. Tiempo Continuo.Esto se expresa como:Z=N+PDonde:Z=numero de ceros de 1+G(s)H(s) en el semiplano derecho.N=numero de rodeos en el sentido de las agujas de reloj del punto -1+j0.P=numero de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho.

NAl examinar la estabilidad se pueden presentar los siguientes casos:

Caso 1. El punto -1+j0 no esta rodeado, estable si no hay polos en el semiplano derecho de G(s)H(s), de lo contrario el sistema es inestable.Caso 2. El punto -1+j0 esta rodeado una o varia veces en el sentido antihorario, es estable si el numero de rodeos es igual al numero de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho, de lo contrario es inestable.Caso 3. El punto -1+j0 esta rodeado una o varia veces en el sentido horario, sistema inestable.

5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.1. Tiempo Continuo.

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.1. Tiempo Continuo.Ejemplo: investigue la estabilidad en lazo cerrado,dada la funcin de transferencia en lazo abierto: Paso 1: F.T. en lazo abierto.

Paso 2: ubicar los polos de lazo abierto:se tienen dos polos.

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.1. Tiempo Continuo.Paso 3: determinar el diagrama polar:

Paso 4: Determinar Z, N y P.

P =(numero de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho)=1N= # rodeos en el sentido horario del punto -1+j0=-1Z=N+P=-1+1=0 ceros de 1+G(s)H(s) en el semiplano derecho.Paso 5: determinar la estabilidad segn sea el caso.Caso 2, estable por que 0=N+P N=-P-1=-(1)

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.2. Tiempo Discreto.En al caso discreto se tiene una situacin similar que en el continuo, dado un sistema en lazo abierto, se puede determinar su estabilidad en lazo cerrado.Considere el siguiente sistema discreto :

Su funcin de transferencia en lazo cerrado:

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.2. Tiempo Discreto.La ecuacin caracterstica del sistema:

La estabilidad de este sistemas se puede deducir de la grafica de Nyquist de lazo abierto H(z), para lo sistemas discretos, la estabilidad esta determinada por el rea del circulo unitario. Definamos a como la trayectoria de NyquistQue es para

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.2. Tiempo Discreto.La estabilidad de un sistema de lazo cerrado se puede determinar investigando la trayectoria

Se tiene una relacin similar al caso continuo: N= Z-PDonde N=es el numero de rodeos por la trayectoria de en el punto (-1,0). Z y P son los ceros y polos respectivamente de 1+H(z) que estn fuera del disco unitario

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.2. Tiempo Discreto.Trayectoria de Nyquist encerrando el exterior del circulo unitario.Excluye los integradores de lazo abierto en z=1.

La estabilidad se se asegura sino encierra a el punto (-1,0)

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.2. Tiempo Discreto.Ejemplo: considere un sistema con un periodo de muestreo h=1 y su funcin de transferencia:Paso 1: Partir de la funcin de transferencia:

Paso 2: Hacer el cambio H(z) por H(eiw) para w=0 hasta , recordemos que:Entonces:

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.2. Tiempo Discreto.Paso 3: determinar la trayectoria

Paso 4: identificar N=Z+P.Z=0, P=0, N=0.

Paso 5: observar si latrayectoria esta a la derecha del punto(-1,0).

El sistema en lazo cerrado es estable.

N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.2. Tiempo Discreto.Diferencias entre el criterio de estabilidad de Nyquist en tiempo continuo y discreto.

Continuo:Para estabilidad, los polos en lazo cerrado deben estar en el semiplano izquierdo s.Z es el # de ceros de lazo cerrado en el semiplano derecho s.P es el # de polos de lazo abierto en el semiplano derecho s.N # de rodeos en el sentido de las agujas de reloj del punto -1+j0.

Discreto:Para estabilidad, los polos en lazo cerrado deben estar contenidos por el circulo unitario.Z es el # de ceros de lazo cerrado fuera del circulo unitario.P es el # de polos de lazo cerrado fuera del circulo unitario.N es el # de rodeos por la trayectoria en el punto (-1,0)N5. Criterio de estabilidad de Nyquist.5.2. Tiempo Discreto.Se analizaron mtodos para verificar estabilidad en los sistemas, algunos con mayor complejidad que otros, pero todos representan una herramienta que podemos utilizar en cualquier momento siendo valida la conclusin a la que se llegue.Existen diferentes maneras de abordar la estabilidad en los sistemas, lo importante es conocer los conceptos asociados a los mtodos. NBibliografaIngeniera de Control Moderna, Ogata Katsuhiko, tercera edicin, Prentice Hall. Computer Controlled Systems, theory and design, Astrom-Wittenmark, third edition, Prentice Hall. N