criterios de decisión y matemática financiera · valor futuro interés compuesto 10% anual 0 100...

Criterios de Decisión y Matemática Financiera

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y PaisajeEscuela de Arquitectura del Paisaje

Mario Reyes GalfánIngeniero Ambiental

Arquitectura del Paisaje

06.09.2010

Valor del Dinero en el Tiempo (VDT)

Matemáticas Financieras

• Tasas de Interés� Interés Simple� Interés Compuesto

Contenidos

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Criterios de Decisión

• Valor Actual Neto (VAN)• Tasa Interna de Retorno (TIR)• Período de Recuperación del Capital (PRC)• Índice de Rentabilidad (Razón Beneficio/Costo)• Enfoque Costo-Eficiencia

� Valor Actual de Costos (VAC)� Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)� Indicador de Costo-Efectividad

El VDT es el cambio en la cantidad de dinero durante un perío do de tiempo dado.

“El Dinero hace Dinero”. Ejemplos:

• Un depósito en el banco• Invertir en un negocio• Invertir en un fondo mutuo


• Invertir en un fondo mutuo• Pedir un préstamo

El VDT se manifiesta en el Mercado a través de las “Tasas de Interés”

Las Tasas de Interés son un concepto de “Costo de Oportunidad”

3


Veamos el ejemplo de un Director Financiero de una empresa:

Oportunidad de inversión

(Activos Reales)

Oportunidad de inversión en MK

(Activos Empresa Accionistas

Dinero

4

Por lo tanto, el mínimo rendimiento que se exige a los activos reales esla rentabilidad que obtendrían los accionistas en el mercado decapitales al realizar inversiones en activos financieros (Bonos yAcciones) de similar riesgo al de los activos reales. Esto se denomina“Costo de Oportunidad del Capital”

(Activos Reales) (Activos Financieros)

Invertir Alternativa:pagar al contado a

accionistas

Los accionistas Invierten por sí

mismo Se exige Rentabilidad

Se exige Rendimiento


Dos aspectos relevantes influyen en las Decisiones de Inversión y de Financiamiento: “ElRiesgo y el Tiempo”.

El VDT es valioso ya que da a conocer el efecto del tiempo y el riesgo en tales decisionesEjemplos:

Decisión de Inversión

Decisión de Financiamiento

Carrera Profesional Crédito UniversitarioPlantación y tala de un bosque de pinos

Aumento de Capital Propio

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Algunos Principios Económicos – Financieros

“ Un dólar hoy vale más que un dólar mañana bajo la premisa de qu e hoy puedoinvertir ese dólar para generar intereses”

“ Un dólar seguro vale más que uno con riesgo” (no todas las inv ersiones tienen elmismo riesgo. Debemos comparar con alternativas de similar riesgo. Ej. Bonos delBanco Central v/s Arriendo de Oficinas

Obras de Beneficiencia

Aporte de los socios

Lanzar un nuevo producto

Capitalización de utilidades

Mejoramiento de una carretera

Impuestos

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada queestudia el valor del dinero en el tiempo , combinando el capital, la tasa y eltiempo para obtener un rendimiento o interés , a través de métodos deevaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada tambiénanálisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica.

¿Cuántas opciones de inversión (o financiación) ten dría el campesino, que

Matemáticas Financieras

¿Cuántas opciones de inversión (o financiación) ten dría el campesino, que vive donde existe únicamente un Banco o Caja Rural o Municipal de Ahorro y Crédito ?

La persona puede tener máximo tres opciones: 1. Guardar su dinero en la casa 2. Depositar su dinero en cuenta de ahorros, que le produzca apenas para

cubrir la devaluación monetaria. 3. Invertir su dinero en un Bono del Estado, que le generará algunos

rendimientos adicionales a la inflación.

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Tasas de Interés

Definiciones:

Interés (si se invierte) = Monto actual – Inversión Original

Interés (si se pide prestado) = Monto debido actualmente - Préstamo Original

Tasa de Interés: el interés se expresa como un porcentaje (%) de la suma original por unidad de tiempo

Período de Interés es la unidad de tiempo de la tasa de interés

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Ejemplo:

Una empresa invirtió $100.000 y obtuvo un total de $106.000 exactamente un año más tarde:

Interés = $106.000 (monto actual) - $100.000 (inversión original) = $6.000

Tasa de Interés = $6.000 (interés) / $100.000 (suma original) = 6% anual

Período de interés = anual

Tasas de Interés

Clasificación general de las Tasas de Interés:

Tasas de Interés

Tasas Simples

Tasas

Tasas Nominales

Tasas

Tasas Nominales

Tasas Reales

8

Interés

Tasas Compuestas

Tasas Nominales (Aparentes)

Tasas Efectivas

(Verdaderas)Tasas

Forwards

Tasas Spots

Tasas Reales

Tasas Nominales

Tasas Reales

Tasas Nominales

Tasas Reales

Tasas de Interés

Interés simple

Principio: intereses no generan intereses. Sólo el principal (inversión o préstamo) genera intereses.

De otra forma es aquel que no considera reinversión de los intereses ganados en períodos intermedios.

T = 0 , VP = $100 e i = 10% anual

T = 1, VF1 = VP + VP * i = $110

9

T = 1, VF1 = VP + VP * i = $110

T = 2, VF2 = VF1 + VP * i (Observemos que sólo calculamos intereses sobre el principal original).

VF2 = VP+ VP * i + VP * i = VP + 2 * VP * i = 120

Para n períodos:

T = n, VFn = VP + n * VP * i ==> VFn = VP * (1 + n * i)

Tasas de Interés

Interés Compuesto

Principio: Intereses si generan intereses. El principal or iginal más losintereses generan intereses.

De otra forma se asume reinversión de los intereses obtenidos en periodos intermedios.

Supongamos que T = 0, VP = $100 e i = 10% anual:

10

T = 1, VF1 = VP + VP * i = 110

T = 2, VF2 = VF1 + VF1 * i Observemos ahora calculamos intereses sobre elprincipal original más los intereses generados en el año 1

VF2 = VP + VP * i + VP * i + VP * i 2 = 121

Para n períodos:

VFn = VFn-1 + VFn-1 * i ==> VFn = VP * (1 + i) n

Tasas de Interés

Ejemplo

Período

Valor Futuro Interés Simple

10% anual

Valor Futuro Interés

Compuesto 10% anual

0 100 1001 110 1102 120 1213 130 1334 140 1465 150 161

400

500

600

700

800

Val

or F

utur

o

11

5 150 1616 160 1777 170 1958 180 2149 190 23610 200 25911 210 28512 220 31413 230 34514 240 38015 250 41816 260 45917 270 50518 280 55619 290 61220 300 673

0

100

200

300

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Años

Val

or F

utur

o

Valor Futuro Interés Simple Valor Futuro Interés Compuesto

En el mundo real, las situaciones por resolver son múltiples y variadasy para solucionarlos los recursos son escasos . Las disciplinas queayudan a tomar decisiones son la Economía y la Administración .

Entre varias alternativas de solución obviamente optaremo s por lamejor de ellas . La unidad para la toma de decisiones es una persona uorganización pública o privada a través de sus autoridades y gerentesrespectivamente.

Criterios de Decisión

respectivamente.

Por lo general todo problema tiene los siguientes elementos: la unidadque toma la decisión, las variables controlables (internas o endógenas),las variables no controlables (del entorno o exógenos), las alternativas, lacarencia de recursos y la decisión en sí misma que llevan a escogeralternativas más eficientes y óptimas o que produzcan resul tadosbeneficiosos.

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Valor Actual Neto (VAN) o Valor Presente Neto (VPN)

Es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión.

La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el valor obtenido es el valor actual neto del proyecto.

La fórmula que nos permite calcular el Valor Actual Neto es:

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Vt representa los flujos de caja en cada periodo t. I0 es el valor del desembolso inicial de la inversión. n es el número de períodos considerado. El tipo de interés es k. Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el tipo de la renta fija, de tal manera que con el VAN se estimará si la inversión es mejor que invertir en algo seguro, sin riesgo especifico.


Valor Significado Decisión a tomar

VAN > 0La inversión produciría ganancias por encima de la rentabilidad exigida (r)

El proyecto puede aceptarse

VAN < 0La inversión produciría ganancias por debajo de la rentabilidad exigida (r)

El proyecto debería rechazarse

La inversión no produciría ni ganancias ni

Dado que el proyecto no agrega valor monetario por encima de la rentabilidad exigida (r), la decisión debería basarse

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VAN = 0La inversión no produciría ni ganancias ni pérdidas

exigida (r), la decisión debería basarse en otros criterios, como la obtención de un mejor posicionamiento en el mercado u otros factores.


Si una persona invierte $1.000 en una cuenta de ahorro que paga un 10% de interés anual ¿qué cantidad tendrá al cabo de un año? Si llamamos:

P = al principal o monto inicial ($1.000)r = Tasa de interés (10%)VFn = Valor futuro al cabo de n períodos

El valor futuro cuando n es igual a 1 será:

15

El valor futuro cuando n es igual a 1 será:VF1 = P + Pr = P(1+r) = 1.000(1+10%) = 1.100

Para un número mayor de períodos, por ejemplo n=5, el valor futuro será:VFn = P (1+r)n = 1.000(1+10%)5 = 1.611


A la misma persona se le ofrece la alternativa de recibir una cantidad F1 al cabo de un año (por ejemplo $1.100) o recibir $X hoy ¿cuánto debiera valer X para que sea equivalente a recibir F1 en un año más?

Esta persona podría depositar la cantidad X en una cuenta de ahorro, al 10% de interés (su costo de oportunidad). Para que exista equivalencia, al cabo de un año debiera recibir F1:

16

cabo de un año debiera recibir F1:

F1 = X (1+r)X = Valor Presente = VP1 = F1/(1+r) = 1.100/(1+10%) = 1.000


Entonces, el Valor Presente de $1.100 en un año más, descontados al‘costo de oportunidad’ de 10%, es $1.000.

Si las alternativas fueran: (a) recibir $1.100 en un año más ó (b)recibir $990 hoy, debiera elegir (a).

Por el contrario, si las alternativas fueran: (a) recibir $1 .100 en unaño más ó (b) recibir $1.010 hoy, debiera elegir (b).

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año más ó (b) recibir $1.010 hoy, debiera elegir (b).

Nótese que el valor presente es la respuesta a la pregunta ¿cu ántodebo invertir hoy para obtener un determinado monto o flujo d ecaja (F) en el futuro?


Fundamento del VAN

Si la cantidad se recibe en n períodos más:

n

n

n

r

FVP

)1( +=

Un caso más general es cuando se reciben n flujos, uno al final de cada período:

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Un caso más general es cuando se reciben n flujos, uno al final de cada período:

Si r es el costo de oportunidad del inversionista y recibe n flujos al final de cada periodo F1, F2, … Fn, el valor Presente de esos flujos será:

Dos ideas claves:Un peso hoy vale más que un peso mañanaUn peso seguro vale más que un peso riesgoso

Mostraremos que las alternativas con mayor Valor Presente Neto (VPN) son aquellas que maximizan la riqueza.

∑= +

=n

t

t

t

r

FVP

1 )1(

Tasa Interna de Retorno (TIR)

La tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR) de una inversión,está definida como la tasa de interés con la cual el valor actual neto o valor presenteneto (VAN o VPN) es igual a cero.

El VAN o VPN es calculado a partir del flujo de caja anual, trasladando todas lascantidades futuras al presente. Es un indicador de la rentabilidad de unproyecto, a mayor TIR, mayor rentabilidad.

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Se utiliza para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión.

Para ello, la TIR se compara con una tasa mínima o tasa de corte, el coste deoportunidad de la inversión (si la inversión no tiene riesgo, el coste de oportunidadutilizado para comparar la TIR será la tasa de rentabilidad libre de riesgo) .

Si la tasa de rendimiento del proyecto - expresada por la TIR- supera la tasa decorte, se acepta la inversión; en caso contrario, se rechaza.


La TIR trata de medir la rentabilidad de un proyecto o activo. Representa la rentabilidad media intrínseca del proyecto.

Se define como aquella tasa a la cual se hace cero el valor presente neto.

Criterio de decisión: un proyecto debe ser elegido si la TIR es mayor que el costo de oportunidad del capital.

∑=

=+

+−=n

t

t

t

TIR

FIVPN

1

0)1(

20

La TIR o tasa de rendimiento interno, es una herramienta de toma de decisiones de inversión utilizada para conocer la factibilidad de diferentes opciones de inversión.

El criterio general para saber si es conveniente realizar un proyecto es el siguiente:

Si TIR r Se aceptará el proyecto. La razón es que el proyecto da una rentabilidad mayor que la rentabilidad mínima requerida (el coste de oportunidad).

Si TIR r Se rechazará el proyecto. La razón es que el proyecto da una rentabilidad menor que la rentabilidad mínima requerida.

r representa es el coste de oportunidad.


F0 F1 F2 F3 F4 F5

-1.000 700 300 200 100 300

600

21

-300

0

300

0% 10% 20% 30% 40% 50%

Tasa de Descuento

VP

N

TIR = 24,6%

Período de Recuperación del Capital (PRC)

Muchas empresas desean que las inversiones que realizan sean recuperadas no más allá de un cierto número de años.

El PRC se define como el primer período en el cual el flujo de caja acumulado se hace positivo.

}0/{1

0≥+= ∑

=

T

t

tFFTMINPRC

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Proyecto F0 F1 F2 F3 F4 F5 PRC VPN (10%)

A -1.000 200 400 500 500 300 3 416

B -1.000 1.100 200 1 165

C -2.000 1.000 1.000 5.000 2 3.492

D -2.000 0 2.000 5.000 2 3.409

E -2.000 1.000 1.000 100.000 2 74.867

Período de Recuperación del Capital (PRC)

Deficiencias del PRC

• No dice nada respecto del aporte de riqueza que hace el proyecto• No considera el costo de oportunidad del capital• No asigna valor a los flujos posteriores al PRC• Da la misma ponderación a los flujos anteriores al PRC

Consecuencias

23

Consecuencias

• No permite jerarquizar proyectos en forma eficiente• Debe ser usado sólo como un indicador secundario

Índice de Rentabilidad (Razón Beneficio/Costo)

Se define como el valor presente de los flujos de caja presupuestados dividid opor el valor de la inversión inicial (VP/I).

El criterio es aceptar proyectos con un índice de rentabilidad mayor que 1 (VP>I).Conduce a la misma decisión que el VPN.

Al igual que la TIR, puede conducir a errores cuando estamos frente a proyectosexcluyentes.

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Es un indicador útil para elegir entre proyectos no excluyentes cuando hayrestricciones de presupuestarias.

Proyecto F0 F1 F2 VPN (10%) VP (10%) IR

A -10.000 13.000 1.500 3.058 13.058 1,306

B -5.000 1.500 7.000 2.149 7.149 1,430

C -5.000 3.000 5.000 1.860 6.860 1,372

En este ejemplo, si tenemos un presupuesto de 10.000 para invertir, debemos escogeraquellos con mayor IR, es decir, B y C, aún cuando individualmente tengan un VPN másbajo que A

Enfoque Costo-Eficiencia

Los indicadores costo-eficiencia se usan en proyectos en que es difícil medir y valorar los beneficios y en los cuales se cumple que:

• Los beneficios del proyecto son altos, desde el punto de vista de las necesidades sociales que satisfacen.

• Las alternativas del proyecto entregan beneficios similares, pero

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• Las alternativas del proyecto entregan beneficios similares, pero difieren en los costos.

Ejemplos:

Proyectos de áreas verdesÁreas de ConservaciónProyectos de desarrollo SocialConexiones radialesAgua potableEtc.


a) Valor Actual de Costos

Cuando las alternativas de un proyecto, además de proporcionarbeneficios similares, tienen igual vida útil o diferentes vidas útiles pero losproyectos son no repetibles, entonces se puede calcular el Valor Actual

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proyectos son no repetibles, entonces se puede calcular el Valor Actualde Costos para cada una de ellas.

∑= +

+−=n

t

t

t

r

CIVAC

1

0)1(


b) Costo Anual Uniforme Equivalente

• Cuando las alternativas analizadas tienen vidas útiles distintas y los proyectos sí son repetibles, no es posible utilizar directamente el VAC para compararlas.

• Se requiere llevar ambas alternativas a un período de tiempo común ó, lo que es más práctico, calcular una cuota anual que sea equivalente al flujo de costos de la alternativa (similar al BAUE)

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equivalente al flujo de costos de la alternativa (similar al BAUE)• La cuota así determinada se denomina CAUE.• El criterio es elegir el proyecto con el menor CAUE.

1)1(

)1(

−

••=

++r

rrVACCAUE n

n

Donde:CAUE es el Costo Anual Uniforme EquivalenteVAC es el valor actual de costos del proyecto sin repeticiónr es la tasa de descuenton es el número de años del horizonte de evaluación del proyecto


c) Indicador de Costo-Efectividad

El análisis costo-efectividad se utiliza para comparar alternativas deproyectos que presentan beneficios distintos, los cuales no pueden servalorados pero si cuantificados; es decir, los beneficios no pueden serexpresados en unidades monetarias pero sí en unidades físicas.

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Directos iosBeneficiar de Número

CAUEdEfectivida-CostoIndicador =

Ejercicios

Facultad de Arquitectura, Urbanismo y PaisajeEscuela de Arquitectura del Paisaje

Juan Pérez solicita en préstamo $ 300.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual.

Determina el interés acumulado para un periodo de:3 meses9 meses2 años2 años y 5 meses.

Matemática Financiera

30

2 años y 5 meses.

ResultadoC = $ 300.000 i = 2,2% mensual

I = C x n x I

n = 3 meses I = 300.000 x 0,022 x 3 = $ 19.800n = 9 meses I = 300.000 x 0,022 x 9 = $ 59.400n = 2 años I = 300.000 x 0,022 x 24 = $ 158.400n = 2 años, 5 meses I = 300.000 x 0,022 x 29 = $ 191.400

I = C x n x I


Determina el interés acumulado para un año, si la tasa de interés es de un 6% semestral.


Resultado

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c = 300.000 i = 6% semestral t = 1 año n = 2 semestres

I = C x n x iI = 300.000 x 0.06 x 2

I = $ 36.000


¿Qué cantidad de dinero deberá invertir para que en un lapso de 10 meses, se genere un interés de $ 18.000?


Resultado

32

C = ? n = 10 i = 2,2% mensualI = $ 18.000

I = C x n x i$ 18.000 = C x 10 x 0,022

$ 81.818 = C


¿Cuál deberá ser la tasa de interés mensual para que en un plazo de 2 años, el interés resultante sea la cuarta parte del capital inicial.


Resultado

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i = ? n = 2 años (24 meses) I = C/4 C = C

I = C x n x iC / 4 = C x i x 24

0,25 C = C x i x 24 / : C0,25 = 24 x ii = 1,0417%


Si te piden que determines el monto a un año. Te están solicitando que al capital inicial le agregas los intereses que genera ese capital durante el periodo de un año (12 meses).


Resultado

34

Resultado

El interés para un año lo obtenemos de la siguiente manera:I = 300.000 x 0.022 x 12 = $ 79.200

Si al capital de $ 300.000 le sumamos los intereses acumulados por un año($79.200), obtenemos un monto de $ 379.200.

Aplicando la fórmula de monto a interés simple:M = C ( 1 + n x i ) o VF n = VP * (1 + n * i)

M = $ 300.000 ( 1 + 0,022 x 12 )M = $ 379.200

criterios de decisión y matemática financiera · valor futuro interés compuesto 10% anual 0 100...

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