PDS Procesamiento digital de

Señales

Jorge Carvajaljorge.carvajal@epn.edu.ec

Capítulo II

• Señales Sinusoidales y concepto de Frecuencia • Correlación de Señales • Ejercicios Sistemas LTI

Objetivos • Entender señales continuas y discretas periódicas en el tiempo

• Entender la correlación cruzada y autocorrelación

• Realizar ejercicios con sistemas LTI

• Realizar programas en Matlab

Señales continuas

Una oscilación armónica simple se describe matemáticamente a través de la señal continua

xa(t) = A cos(Ωt + θ), −∞ < t < ∞

Ω = 2πF

xa(t) = A cos(2πF t + θ), −∞ < t < ∞.

Señales Discretas

La señal sinusoidal en tiempo discreto se expresa como

x(n) = A cos(ωn + θ), −∞ < n < ∞

x(n) = A cos(2π f n + θ), −∞ < n < ∞ .

Señales Discretas

Periodicidad en tiempo

Por definición una señal de variable discreta x(n) es periódica con periodo N(N > 0) si y solo si

x(n + N) = x(n) para todo n

El menor valor de N para el que se cumple se denomina periodo fundamental. Una señal sinusoidal de frecuencia f0 es periódica si cos (2π f0(N + n) + θ) = cos (2π f0n + θ)

Señales Discretas

Periodicidad en tiempo

Por lo que se cumple solo si existe un entero k tal que

2π f0 N = 2kπ

en otros términos

f0 =k/N

Señales Discretas

Graficar señales Discretas Periódicas:

>> y = 5 seno(2*pi*f*n+ θ)

>> donde f = 1/12 ; f=1/100 f = 1/1000 >> θ = 0, pi/3, pi/5, pi

Correlación

La correlación es una operación que se utiliza para medir la similitud entre dos secuencias

• Se Existen dos tipos de Correlación : Correlación cruzada y auto correlación

• La correlación Cruzada está definida por la siguiente Ecuación :

•Donde l es el parámetro de desplazamiento o retraso de la señal

Correlación

• Auto-Correlación : se define como la Correlación cruzada de la misma señal con el fin de encontrar patrones repetitivos dentro de la señal

• provee una auto similitud entre una secuencia con distintas alineaciones

Correlación Práctica

En esta práctica se estudiará el uso de la autocorrelación y de la correlación cruzada.

La primera aplicación de la autocorrelación de una señal es determinar las posibles repeticiones de patrones en la señal. Para comprobar este punto se va a generar una sinusoide de frecuencia igual a 100 Hz con amplitud uno y muestreada a 1 kHZ (consideremos una secuencia de 100 puntos). Determine la autocorrelación de esta señal normalizada a uno y represéntela junto a la secuencia

Correlación Práctica

%Generación de la señaln = 0:99;x = cos(2*pi*n*0.1);%Cálculo de la autocorrelación normalizaday = xcorr(x,'coeff');%Representación de las dos señalessubplot(221), stem(x,'k'), title('(a)')subplot(222), plot(x,'k'), title('(b)')subplot(223), stem(y,'k'),title('(c)')subplot(224), plot(y,'k'), title('(d)')

Correlación Práctica

Una segunda aplicación relacionada con la anterior es la determinación del desfase entre dos señales. Se pide generar dos sinusoides de frecuencia 50 Hz (Fm = 1 kHz), amplitud uno y desfasados 90o y determinar la correlación cruzada de ellas. ¿Cómo se podría determinar el desfase entre estas señales? Realice una gráfica donde aparezcan las matrices de autocorrelación y correlación cruzada

Correlación Práctica

%Generación de las señalesn = 0:99;x = cos(2*pi*n*(50/1000));y = cos(2*pi*n*(50/1000)+ pi/2);%Determinación de la correlación cruzada[z lag1] = xcorr(x,'coeff'); % autocorrelación[zz lag2] = xcorr(x,y,'coeff'); %correlacion cruzada

%Representación de las señalesplot(lag1,z,'Color','g')hold ongrid onplot(lag2, zz,'Color','k‘)

Correlación Práctica

• Realizar la correlación cruzada de los canales derecho e izquierdo de una canción.

• Graficar la correlación

• Realizar un programa para el reconocimiento de voz mediante la correlación.

Correlación Práctica

% detención de patrones de Voz con correlación

>> Fs = 11025; % frecuencia de Muestreo>> y = wavrecord(5*Fs, Fs, 2);>> sound (y, Fs)>> canal_izquierdo=y(:,1);>> sound (canal_izquierdo,Fs)>> canal_derecho=y(:,2);>> sound (canal_derecho,Fs)>> [z, lag]= xcorr(canal_derecho, canal_izquierdo,'coeff')>> plot(lag,z)