CAPÍTULO VIII 95

SEMEJANZA Y HOMOTECIA

SEMEJANZA Es una transformación del conjunto S de los puntos del plano (espacio) tal que, si A, B y C tienen por imágenes A', B' y C ' :

KBC

CBAC

CAAB

BA===

'''''' = razón de semejanza

Corolarios a) Los ángulos ''ˆ' CBA y CBA ˆ son iguales. b) La semejanza conserva las alineaciones (si A, B y

C están en una recta, A', B’ y C' están en otra recta).

c) Dos triángulos homólogos son semejantes (en el modo ya definido).

Construcción de figuras semejantes en el plano Se necesitan 2 pares de puntos homó logos AA' y BB'; cualquier punto C del

objeto da lugar a un triángulo ABC, cuyo homólogo A'B'C' es semejante y por tanto puede ser construido y se puede hallar C'. Ahora bien, A'B'C' puede hacerse de 2 modos diferentes : o que tenga el mismo sentido de giro que ABC, o que tenga sentido opue sto: En el primer caso se ten drá una semejanza directa; en el segundo caso, se tiene una semejanza inversa:

96

Figuras semejantes en el espacio

En el espacio, la semejanza conserva la alineación de puntos, igual que en el plano; pero además, puntos coplanarios del objeto (situados en un mismo plano) tienen imágenes también coplanarias.

La semejanza puede ser también directa o inversa, según se conserve o se invierta el sentido de giro de las figuras en la transformación. Teorema VIII -1

Los perímetros de dos figuras semejantes están entre sí en la misma razón de semejanza.

Demostración (para el plano):

Si una figura poligonal cerrada ABCD, … tiene como ima gen A’B'C'D'…:

A'B' = K x AB B'C' = K x BC ............... ...... p' = p x K

Kpp

='

Teorema VIII -2 Las á reas de dos figuras semejantes son proporcionales al cuadrado de su

razón de semejanza.

Explicación: sean dos triángulos de razón de semejanza 3. Quiere decir que los lados de la imagen son el triple de los lados homólogos. El área de la imagen es = 9 veces las del objeto

97 Demostración: sean dos rectángulos semejantes ABCD y A'B'C'D

KAB

BA=

''

KCD

D C=

''

A'B' x C'D' = Área S' = K2 AB x CD

o sea S' = K2 S 2'

KSS

=

quedando demostrado para el rectángulo. Podemos generalizarlo a dos figuras del plano cualesquiera que sean semejantes:

Llenando las dos figuras con rectángulos homólogos, suficien temente

estrechos para que llenen las dos áreas, tenemos:

S' = sup. del rectángulo 1' = S 1 x K 2

S' 2 = S 2 x K2

.........................

S' n = S n x K 2

sumando

S' = S x K2

Con el mismo tipo de razonamiento puede demostrarse que el teorema se cumple también en superficies de figuras seme jantes en el espacio.

Teorema VIII-2 (Sólo para figuras semejantes en el espacio)

Los volúmenes de figuras semejantes son proporcionales al, cu bo de su razón de semejanza.

Dem.:

Sean dos paralelepípedos rectos rectangulares semejantes:

kcc

bb

aa

==='''

a' = a k b' = b k c' = c k

Multiplicando: a'b'c' = a b c x k 3 V' = v x k3

98

99

quedando demostrado el teorema para ese caso particular.

Supongamos ahora dos figuras sólidas semejantes, con razón K.

Podemos llenar las dos con paralelepípedos semejantes, suficientemente estrechos para que llenen todo el volumen.

Llamando V 1, V 2 ... V n a los volúmenes de los paralele

pípedos objeto y V'1, V '2... V 'n los de sus homólogos.

HOMOTECIA EN EL PLANO

Es una transformación del conjunto S de los puntos del plano sobre si mismo de modo que, siendo P y P' puntos homólogos: OP' = K x OP en valor

y signo, siendo O un punto fijo llamado centro de homotecia, y k una

constante (positiva o negativa) llamada razón de homotecia. Si K > O la homotecia se llama positiva; si K < O, se llama negativa.

Dicho de otro modo:

a) Puntos homólogos (homotéticos en e s t e caso) están alineados

con O. b) La razón de distancias de O a la imagen y objeto es constante k

K >,O indica que objeto e imagen es tán en la misma semirrecta respecto a O.

Corolarios: a) Cuando K = 1 la homotecia coincide con la

identidad. Cuando K = -1, coincide con la simetría central respecto a O.

b) Si una figura f ' es homotética de otra - f= con centro O y razón de homotecia K, - f = es también hemotética de f’ con el mismo centro de la hemotecia O y con razón de homotecia 1/K.

c) Si K = 1, el único punto doble es el centro de homotecia.

100

≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

101

Los teoremas siguientes se refieren a homotecias de K = 1:

HOMOTETICA DE UNA RECTA TEOREMA VI I I - 4. La figura homotética de una recta que no pa sa por el centro de homotecia, es otra recta paralela a la primera.

Dem.:

Sean A, B y C tres puntos objeto y A' B' y C' sus imágenes en la homotecia de centro O y razón K.

OBOB

KA

OA 'O

'== o sea los triángulos OAB y OA'B' son semejantes; AB es

paralela a A'B' OCOC

KA

OA 'O

'==

AC es paralela de A'C', o sea A'B' y A'C' coinciden. TEOREMA VIII -5 Una recta que pasa por el centro de homo tecia, es doble.

Porque el homotético de un punto cualquiera de ella está en la misma recta.

Corolario: Si K = 1, las únicas rectas dobles son las que pasan por el centro de homotecia.

≠ ≠ ≠ ≠ ≠

HOMOTÉTICO DE UN SEGMENTO

TEOREMA VIII -6 La figura homotética de un segmento AB es otra segmento A' B' tal que

KAB

BA=

'' y además

A' B' es paralelo a AB, si la recta AB no pasa por O.

Dem.: KOAOA

ABBA

=='''

HOMO TÉTICA DE UNA CIRCUNFERENCIA.

TEOREMA VIII 7 La figura homotética de una circunferencia es otra circunferencia. Los centros son homotéticos entre sí, y la razón de los radios es el módulo de la razón de homotecia.

Dem.:

102

103

Sea una circunferencia m . Hallamos A', homotético de A, con centro O y

razón K.

KOAOA

='

Unimos A con m , centro de la circunferencia m , y encontramos M'

homotético de M.

KAMA'M

='

A l variar la posición de A sobre M, AM = r = constante, luego A'M' = r K = constante, lo que indica que A' está siempre en una circunferencia de radio r / K/ y centro M'.

TEOREMA VIII -8 Dos circunferencias cualesquiera de radios diferentes son siempre homotéticas entre sí, en una homotecia positiva y en otra negativa; la razón de los radios es el módulo de la razón de homotecia.

Dem.:

Trazamos el radio M1A de una y los radios paralelos M 2A' y M 2A" de la otra.

Unimos A con A' y con A"; AA' y AA" cortan a M1M2 en O1 y O2.

104

m1 es homotética de m

2 con homotecia positiva de centro O 1 y razón

2

1

rr

según lo visto en el Teorema VIII - 7

Por la misma razón, m1 es homotética de m 2 con centro O

2 y razón

2

1

rr

Corolarios: a) Si dos circunferencias tienen tangentes exteriores

comunes, se cortan en su centro de homotecia positiva.

b) Si dos circunferencias tienen tangentes interiores comunes, se cortan en su centro de homotecia negativa.

c) Dos circunferencias del mismo radio, son homotéticas sólo con una homotecia negativa.

HOMOTECIA Y SEMEJANZA TEOREMA VIII- 9 figuras homotétic as entre sí, son también sem ejantes con semejanza directa, pero no recíprocamente. La razón de s emejanza es el módulo de su razón de homotecia.

Dem.: Evidentemente, en figuras hemotéticas se cumple que

KBC

CBAC

CAAB

BA===

''''''

propiedad que sirvió para definir la semejanza. Por otra parte, dos triángulos semejantes que no tienen lados homólogos

paralelos, no pueden ser homotéticos. Por fin, la homotecia, tanto positiva como negativa, es siempre una

transformación directa

quedando demostrado el teorema.

PRODUCTO DE H OMOTECIA S

TEOREMA VIII -10 El producto de 2 homotecias del mismo centro y razones K1 y K2 es otra homotecia del mismo centro y razón K1 K2

Dem.:

2121

''''''

KKOAOA

KOAOA

KOAOA

===

y además O, A y A" están alineados.

TEOREMA VIII -11 El producto de dos homotecias de centros O1y O2 y razones de homotecia K1 y K2 respectivamente, cuando K1 K2 = 1, es otra homotecia de centro O alineado con O1 y O2, y razón de homotecia K = K1 K2.

Dem.: Lo demostraremos para el caso que K1 y K2 son positivos.

105

106

Sea un punto M de la recta O1 O2 M' su homotético en la primera homotecia, y sea M" el homotético de M' en la segunda homotecia.

Un punto cualquiera A se transforma en A' con la homo tecia primera, y éste a la

vez se transforma en A" con la homo tecia segunda.

Si K1 y K2 son positivas, A, A' y A" están en un mismo semiplano respecto de O1 O2.

1''

KMA

AM= 2''

''''K

AMAM

= 1''''

21 ≠= KKMA

AM

al ser M'' A" de distinta longitud que MA, la recta AA" corta a O1O2 en O, que

está fuera del intervalo O1 O2.

21''''''''

KKAM

MAOAOA

OMOM

===

El punto O tiene una razón de distancias a M" y M que es fija, luego es únic o e independiente de A.

Por consiguiente: A y A" están alineados con O; y KKKOA

OA== 21

'';

se trata pues de una homotecia, quedando demostrado el teorema.

El lector puede fácilmente generalizarlo al caso en que K1 y K 2 no sean ambos positivos.

Corolario: Dadas tres ci rcunferencias de radios diferentes, los 6

centros de hemoteci a entre cada dos están alineados así:

− l o s 3 centros de homotecia positiva están alineados.

− cada 2 centros de homotecia negativa están alineados con un centro de homotecia positiva.

107

OBTENCIÓN MECÁ NICA DE FIGURAS SEMEJANTES Y HOMOTÉTICAS

El Compás de Reducción

Es un doble compás cuya relación de longitudes de brazos se puede regular mediante un tornillo. Una vez fijado dicho tornillo, amplía o reduce segmentos en una razón fija:

108

El Pantógrafo Es un paralelogramo articulado con dos lados prolongados:

P se fija al papel de forma que pueda girar pero no trasladarse.

L recorre una figura, S recor re la homotética. Las articulaciones en B, A, L, y C se pueden cambiar de sitio a

voluntad, sobre sus respectivas varillas, usando los agujeros equidistantes que esas varillas tienen.

Se arma el pantógrafo de forma que

ASBL

PAPB

= ; si se cumple esa proporci ón, los puntos P, L y S están

siempre alineados y además

KPBPA

PLPS

==

109

HOMOTECIA EN EL ESPACIO

Se define en forma similar a la homo tecia plana.

La homotecia en el espacio es también una semejanza directa: por tanto transforma puntos alineados en puntos alineados; puntos coplanarios en puntos coplanarios; conserva también los ángulos, etc.

Muchos teoremas de la homotecia en el espacio se pueden comparar con teoremas semejantes de la homotecia plana: p. e.; "la figura homotética de una esfera es otra esfera; los centros son homotéticos entre sí y los radios están en la razón de homotecia, teorema análogo al VIII - 7.

ÁNGULO SÓLIDO

Una de las aplicaciones de interés de la homotecia, es el concepto de ángulo sólido y forma de medirlo. Dado que en literatura técnica se supone ya materia conocida, vamos a exponerlo aquí. Ángulo poliedro Es la parte de espacio limitada por varios ángulos no coplanarios, con vértice común y lados compartidos (cada lado es común a dos ángulos).

A los ángulos se les llama caras y a los lados aristas del ángulo poliedro. Al vértice de los ángulos se le llama vértice del ángulo poliedro.

Dado que cualquier ángulo poliedro separa o limita el espacio en dos partes, hay que definir en cada aplicación la parte que se considera.

110

Ángulo poliedro convexo es aquel que queda en el mismo semiespacio respecto a los planos de las caras. Á ngulo poliedro cóncavo, en cambio, es aquel en que prolongando alguna de las caras, parte del ángulo Poliedro queda en un semiespacio y parte en el otro.

E n el ángulo poliedro mostrado en la figura, parte del espacio "interior" será, pues, un ángulo poliedro convexo.

Un ángulo poliedro de 3 caras se llama triedro.

Cabe considerar también como ángulo poliedro al formado por infinitas semirrectas casi extremo común y que se apoyan sobre una curva cerrada, o sea una superficie cónica y equivale a un ángulo poliedro de infinitas caras

INTERSECCIÓN DE UN ÁNGULO POLIEDRO CON LA SUPERFICIE DE UNA ESFERA TEOREMA VIII – 12 Si un ángulo poliedro se corta por la superficie de una esfera con centro en el vértice y radio R, la superficie intersección es proporcional a R2. (FIG. VIII – 18)

111

Si se corta el ángulo poliedro por dos esferas de radios R1 y R2, las superficies S2 y S1 son homotéticas; por tanto son proporcionales al cuadrado de su razón de homotecia.

21

22

1

2

RR

SS

= 22

22

1

1

RS

RS

=

Corolario: Si se corta el ángulo poliedro por una esfera de radio 1 y centro en

V, el área interceptada es

22

22

1

1

RS

RS

==Ω

El valor de Ω se usa para medir la cantidad de espacio que abarca un ángulo poliedro:

==Ω2R

S medida del ángulo sólido del ángulo poliedro,

expresada en estereorradianes.

Un estereorradián es pues, el ángulo sólido de un ángulo poliedro que intercepta 1 unidad de superf icie sobre una esfera de centro en su vértice y radio la unidad de longitud (nótese que dicha esfera tiene una superficie total de 4π =12.57

unidades de superficie).

Así por ejemplo, un triedro trirrectángulo convexo:

Al ser cortado por una esfera, tendría una intersección

112

de 81

de la superficie esférica:

2.

8.4 22 RR

Sππ

== 22

.2

2 ππ==Ω

RR

estereorradianes .

Es fácil comprobar que un ángulo poliedro que abarcara todo el espacio mediría 4 π estereorradianes .

EJERCICIOS 113 CAPÍTULO VII I

Ejercicios resueltos VIII-1. Dadas dos rectas a y b que se cortan en un punto O inacce sible y un punto P, trazar

la recta PO. Resolución: Suponiendo el problema resuelto:

Aplicando una homotecia de centro O, P puede transformarse en un punto Q cualquiera de PO. Un triángulo PMN se transforma en QM'N' de lados paralelos al primero. Construcción:

114 Trazamos un triángulo cualquiera PMN (M sobre a; N sobre b); trazamos M'N' paralela a MN; M'Q paralela a MP; N'Q paralela a NP; obtenemos Q que unido con P da la recta buscada.

VIII -2. Dadas 2 rectas a y b y un punto P, trazar una circunferencia x tangente a a y

b y que pase por P. Resolución: Supongamos el problema resuelto:

Una homotecia de centro O transformaría x en x', también tangente a a y b. El punto P quedaría transformado en P', sobre la misma recta PO; a y b son dobles. Podemos trazar x' y luego invertir la homotecia para obtener x.

Aplicación: Construimos x' arbitrariamente (centro en X', en la bisectriz de a y b; radio, distancia de X' a a).

La imagen de P puede ser P' 1 ó P ' 2.

En el primer caso, (P' 1 imagen de P), P' 1X' debe ser para lelo a PX1, lo que permite determinar X1 y construir la solución X1.

Si consideráramos P '2 como imagen de P, obtendríamos otra solución.

VIII -4. Construir un triángulo conociendo a, b y que m b es perpendicular a m a.

Resolución: Supongamos resuelto el problema:

115

116

G está en una circunferencia de diámetro MB, a la que llamamos S. A está en una circunferencia de centro C y radio b, (primer lugar geométrico). A está: alineado con M y G; y tal que MA/MG = 3 luego es homotético de G con razón 3 y centro M. Luego está en S', homotética de S (centro M, razón 3 ) ; (segundo lugar geomé trico). Aplicación: Datos:

Colocamos a en posición; sus extremos son B y C; su punto medio M. Traz amos el primer lugar geométrico. N es el centro de S; N', a triple distancia, será el centro de S'. Obtenemos A y queda resuelto el problema.

117

VIII-5. Dada una circunferencia y un punto P en su interior, trazar por P una cuerda

de extremos A y B, tales que .2−=PBPA

Resolución: Suponiendo el problema resuelto:

Se observa que una homotecia de centro P y razón -2 transporta B a A.

A tiene que estar en c (primer lugar geométrico). A tiene que estar también en c' (homotética de c con centro P y razón -2; segundo lugar geométrico). Aplicación:

118 Como la intersección de c y c' consta de 2 puntos, hay 2 soluciones.

Ejercicios propuestos Vlll – 6 Se trazan dos radios de una circunferencia Trácese una cuerda que quede

dividida por ellos y por la circunferencia en 3 partes iguales. VIII – 7 Dadas dos circunferencias secantes, trazar por uno de sus puntos de intersección

una recta que corte a las circunferencias según cuerdas iguales. Vlll - 8. Dados dos triángulos ABC y MNP, inscribir en el primero un triángulo de lados

paralelos a los del segundo. VIII - 9 Dadas dos circunferencias de centros C1 y C2 y radios r

1 y r2 (r1 > r

2), averiguar a

qué distancia de C2 está: a) el centro de homotecia positiva. b) Ídem, negativa.

(R: a)

21

221 rr

rXCC

−; b)

21

221 rr

rXCC

+