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Sistemas de Numeracin. Sistema binario. Csar Snchez Norato 1

CAPTULO I

Sistemas de numeracin. Sistema binario.

I.1. INTRODUCCIN.

A medida que, en la antigedad, avanzaba la Civilizacin, el Hombre tuvo necesidad de contarlos objetos y las cosas. Tuvo, por tanto, la necesidad de intuir o inventar un sistema de numeracin.Como el hombre posee diez dedos en las manos, le result prctico el hacer uso de ellos para contar. Nacaas el sistema de numeracin decimal o de base "diez", que se ha desarrollado y perfeccionado a lo largode los siglos. Habremos observado cmo an hoy los nios pequeos (y no tan pequeos!. Quin denosotros no lo ha hecho alguna vez?) se sirven de los dedos de las manos para contar.

Posteriormente le surgi la necesidad, tambin, de realizar elementales operaciones aritmticas, comosumar, restar, dividir, etc, para el intercambio, compra-venta, reparto, de estos objetos. Nacan as las"elementales operaciones aritmticas".

El sistema desarrollado recibi el nombre de DECIMAL o DENARIO por ser diez los dedos de lasmanos del hombre. Parece ser que deriva del que utilizaban los habitantes de la India Septentrional unos300 aos antes de Cristo.Anterior a este sistema hubo otros sistemas de numeracin; entre ellos el utilizado por los Chinos, por losEgipcios, por Romanos, etc.Una caracterstica muy importante, acaso la que ms, del sistema hind era que posea un smbolo pararepresentar el "cero" o ausencia de elementos.

El sistema decimal o de base diez est formado por diez smbolos o nmeros llamados dgitos (dedos) yque son, como todos sabemos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9. El siguiente nmero es el nmero diez (10) quees el que da el nombre a la base. La base de cualquier sistema tambin se llama "rdix".

El sistema decimal tiene un valor de posicin caracterstico, y cada uno de los diez dgitos tiene un "peso"o "significacin" que depende de la posicin en que se encuentre. As, si observamos el nmero 365, elnmero 5 nos indica las unidades, el 6 las decenas y el 3 las centenas. Es decir, que el nmero 365representa 5 . 100 + 6 . 101 + 3 . 102 unidades; o lo que es lo mismo, equivale a sumar 5 + 60 + 300; lo que da 365 unidades.Obsrvese que esto es lo que conocemos como valor relativo de un nmero, que depende de la"posicin" o el lugar que ocupa.

I.2. CONTEO EN EL SISTEMA DECIMAL.

Si tratamos de contar una cantidad de objetos o elementos, es como si a cada uno de ellos leasignramos un nmero, un lugar, o una posicin. Tendramos as la serie natural de los nmeros delsistema decimal, que sera esta: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Al llegar al elemento 9 ya no hay dgitos pararepresentar los dems. Entonces se recurre a combinar el 1 con todos los ellos, obteniendo el 10, 11,

Csar Snchez Norato. Sistemas de numeracin. Sistema binario2

12,...19. Pero como el 1 ya no se puede combinar con ms, se pasa a combinar el 2 con todos ellos. Asobtenemos el 21, 22,...29. Lo mismo se hara con los dems hasta llegar al 99, con lo que se terminaranlas combinaciones o nmeros de dos cifras procediendo a continuacin a formar los grupos de tres cifras,los cuales comienzan por el 100 y terminan en el 999. Despus vendran los de cuatro, los de cinco, y assucesivamente.

Nota: Los smbolos utilizados, extendidos universalmente, son los nmeros arbigos.

I.3. SISTEMAS DE NUMERACIN.

A medida que el hombre fue profundizando en los estudios sobre el sistema decimal observ que,con otra cantidad de elementos distinta a "diez", tambin se podan confeccionar otros sistemas denumeracin y que todos seguan las "reglas generales" del sistema decimal.

Como el sistema decimal slo tiene diez dgitos, los otros sistemas surgidos los podemos clasificar enSISTEMAS NUMRICOS, aquellos cuya base es inferior a 10 y en SISTEMAS ALFANUMRICOS,los de base superior a diez. Dentro de los primeros tenemos los sistemas de base 2 o binario, de base 3,de base 4, de base 5, de base 6, de base 7, de base 8 u octal, de base 9 y de base 10.

Teniendo en cuenta que el nmero mayor que puede tener una base es inferior en una unidad al nmerode la base, tendremos que el sistema de base 2 solo tendr como nmeros el uno y el cero. (Cada uno deestos nmeros -el 1 y/o el 0- se llama bit; del ingls Binary digit = dgito binario).En base tres habr el 0, el 1 y el 2. En base cuatro habr el 0, el 1, el 2 y el 3.En base cinco habr el 0, el 1, el 2, el 3 y el 4. Etctera.

En los segundos o alfanumricos se utilizan nmeros y letras. As un sistema de base doce, tendr lossiguientes elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A y B.Un sistema alfanumrico muy empleados en el campo de los ordenadores, es el HEXADECIMAL o debase 16, cuyos 16 elementos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F.

I.4. CONTEO EN ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIN.

Veamos los primeros nmeros de algunos de los sistemas de numeracin.

Sea que queremos contar en el sistema de base 7. La serie natural sera:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20... 26, 30... 66, 100, 101...106, 110... 666, 1000...

Sea ahora en el sistema de base 4. La serie natural sera la siguiente:0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30... 33, 100, 101, 102, 103, 110... 333, 1000... 3333, 10000...

Sea esta vez en el sistema binario o de base dos. La serie sera:0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001...

Sea, por ltimo, en un sistema alfanumrico, por ejemplo en el hexadecimal. Tendramos:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12... 1F, 20... 2F... 9F, A0, A1... AF...FF, 100...


I.5. EQUIVALENCIAS EN ALGUNOS SISTEMAS

Base E Q U I V A L E N C I A S

10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001

4 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100 101

7 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22 23

8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21

16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11

I.6. DESCOMPOSICIN POLINMICA DE UN NMERO CUALQUIERA.

En todos los sistemas de numeracin se cumple la siguiente ecuacin general, llamada tambinexpresin polinmica o factorial:

N = an A bn + an-1 A bn-1 + an-2 A bn-2 + ... + a0 A b0 + a-1 A b-1 + a-2 A b-2 + ... + a-q A b-q

donde N es el nmero en cuestinb es la base del sistema de numeracina es el nmero perteneciente al sisteman, q son los lugares que ocupan los nmeros en el sistema.

Nota: Los subndices y exponentes positivos indican nmeros enteros; en cambio los negativosrepresentan las cantidades o nmeros fraccionarios.

Veamos algunos ejemplos de descomposicin o expresin polinmica.

* Sistema decimal.- Sea el nmero 2345,762345,76 = 2 x 103 + 3 x 102 + 4 x 101 + 5 x 100 + 7 x 10-1 + 6 x 10-2

* Sistema hexadecimal.- Sea el nmero A41F,D2 en base 16A41F,D2 = A x 163 + 4 x 162 + 1 x 161 + F x 160 + D x 16-1 + 2 x 16-2

* Sistema octal (base 8).- Sea el nmero 7.245,317.245,31 = 7 x 83 + 2 x 82 + 4 x 81 + 5 x 80 + 3 x 8-1 + 1 x 8-2

* Sistema base 4.- Sea el nmero 123,02.123,02 = 1 x 42 + 2 x 41 + 3 x 40 + 0 x 4-1 + 2 x 4-2

* Sistema base dos (binario).- Sea el nmero 10110,1110110,11 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2


I.7. SISTEMA BINARIO O DE BASE DOS.

Basndose en los estudios y las Leyes del ya perfeccionado sistema decimal, y de otros sistemas,Leibnitz, en el siglo XVII, introduce el sistema binario o de base dos que slo utiliza dos tipos de smbolos-el cero y el uno-; y aunque desarrolla, segn parece, algunas elementalidades con este sistema, es el mate-mtico ingls George Boole quien en el ao 1.847 desarrolla el lgebra binaria que lleva su nombre"ALGEBRA DE BOOLE".

Pero es en 1.938 cuando Claude Shannon adapta el lgebra de Boole al estudio de rels. Con la aparicinde los transistores en 1.948 (W.H. Brattain y J. Bardeen, en EE UU) y el desarrollo de la lgica integrada,es cuando el Algebra de Boole adquiere toda su importancia gracias a la Informtica, al comparar ladualidad entre los dos elementos o bits -0 y 1- del sistema binario a otras dualidades tcnicas comoencendido-apagado de una lmpara; abierto-cerrado de un interruptor; si-no tensin o corriente de uncircuito; conduccin-no conduccin de una vlvula o transistor, etc, etc.

Posteriormente han contribuido a "perfeccionar" el Algebra de Boole matemticos como Karnaugh, DeMorgan, etc.

Con los dos bits se puede escribir una serie, contar, y realizar las operaciones elementales de la Aritmtica.Pero basndose en otras propiedades o leyes se pueden realizar todo tipo de operaciones.

A un conjunto de 4 bits se llama "nibble".A un conjunto de 8 bits se llama "byte u octeto".

Un Kbit es igual a 2 10 = 1.024 bits.Un Kbyte es igual a 1.024 bytes = 1.024 x 8 = 8.192 bits.

I.8. LOS NMEROS BINARIOS NEGATIVOS.

As como a los nmeros decimales negativos se le antepone el signo menos ( B ), los nmerosnegativos en binario no llevan ese signo.Sin embargo, se pueden distinguir los positivos de los negativos mediante el primer bit de la izquierda,llamado bit de signo. Si este bit es un "cero" significa que el nmero es positivo. Para los nmerosnegativos dicho bit vale "uno".No obstante, los nmeros negativos binarios se pueden representar de tres formas distintas:

1 En la forma descrita (bit de signo y magnitud verdadera); ejemplo: 1 10110 = -22.2 En notacin de complemento a 1; ejemplo: 1 01001.3 En notacin de complemento a 2; ejemplo: 1 01010.

Observacin:A veces se separa el bit de signo de la magnitud verdadera por medio de una coma.En los ejemplos anteriores sera:

- para el primer caso 1,10110- para el segundo caso 1,01001- para el tercer caso 1,01010

Nota:Si con 8 bits se pueden representar 28 = 256 nmeros, utilizando el bit de signo se puedenrepresentar el mismo nmero de ellos, slo que sern 128 positivos y otros tantos negativos. Esdecir desde el -127 (1 1111111) hasta el +127 (0 1111111).


I.9. CONVERSIN DE UN NMERO DE BASE DIEZ A BASE DOS.

Para convertir (o pasar) un nmero dado en base 10 a base 2, se pueden plantear tres casos:

Primero: El nmero decimal es solamente un nmero entero.En este caso, el equivalente en binario se obtienedividiendo el nmero sucesivamente por 2. El ltimocociente obtenido ser el bit de la izquierda; esto es: elbit de mayor peso, o bit ms significativo, BMS, (MSBMost Significant Bit, en ingls). El primer resto (de laprimera divisin) ser el bit de la derecha; o sea: el bitde menor peso, o bit menos significativo, bms, (LSBLeast Significant Bit, en ingls). Los distintos restos,en orden inverso a su obtencin, completarn elnmero en binario.

Vemoslo mediante un ejemplo. Sea pasar el nmero10, dado en base 10, a binario (base 2).En la figura I.1 se muestra el algoritmo y el resultado.

Nota:Realizada la operacin de esta forma, la divisin se termina cuando el resto valga 1.

De otra manera:10 | 2 0 5 | 2

1 2 | 2 0 1

de donde 10 10 = 1010 2

Segundo: El nmero en base 10 es solamente un nmerodecimal. Sea el nmero 0,375 en base 10.

En la figura I.2 se puede ver el algoritmoutilizado y el resultado.Por tanto el nmero 0,37510 equivale a .0 1 12

Nota: Para el paso de los nmeros decimales en base 10 al sistema binario, la multiplicacin terminacuando el producto es igual a 1,00.

Tercero: El nmero en base diez tiene parte entera yparte decimal.

Sea el nmero 5,625 en base 10.

En la figura I.3 se muestra el algoritmoutilizado as como el resultado de la operacin.

Por tanto el nmero 5,625 10 = 101.10

10 : 2 = 5 resto = 0

5 : 2 = 2 resto = 1

2 : 2 = 1 resto = 0

1 : 2 = 0 resto = 1

Por tanto el nmero 10 en base 10 es igual a

1 : 2 = 0 resto = 1

1 010 2

Figura I.1

0,375 x 2 = 0,75

0,75 x 2 = 1,50

0,50 x 2 = 1,00

0,375 10 equivale a . 0 1 1 2Luego ,Figura I.2

5 : 2 = 2 --> resto = 12 : 2 = 1 --> resto = 01 : 2 = 0 --> resto = 1

1 0 1 . 1 0 1

0,625 x 2 = 1,25

0,25 x 2 = 0,50

0,50 x 2 = 1,00

Figura I.3


I.10. CONVERSIN DE BINARIO A DECIMAL.

Para convertir un nmero del sistema binario al sistema decimal, hay que proceder por ladescomposicin polinmica.

Ejemplo: Sea pasar el nmero 10111.011 dado en base dos a base diez.

10111.011 2 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-310111.011 2 = 16 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,125 = 23,375 10

I.11. CONVERSIN DE UN SISTEMA A OTRO (ambos distintos del decimal).

Para convertir o pasar un nmero de un sistema o base cualquiera, distinta de diez, a otro sistema o base cualquiera, tambin distinta de diez, hay que realizar los dos pasos siguientes:

1.- Pasar de la base dada a base diez (por descomposicin polinmica) y,

2.- Pasar el nmero obtenido en base diez a la nueva base deseada (por medio de divisionesrepetidas).

Veamos un par de ejemplos:

a) Sea el nmero 124, dado en base 5, que se quiere pasar a base 8.

1.- Se pasa el nmero a base diez: 124 5 = 1 x 5 2 + 2 x 5 1 + 4 x 5 0 = 39 10

2.- Se pasa el nmero 39 de base diez a base 8 (dividiendo)

39 |8 7 4

Por tanto 124 5 = 47 8

b) Sea que se quiere pasar el nmero 716 9 a base 4.

1.- Se pasa el 716 a base diez. 716 9 = 7 x 9 2 + 1 x 9 1 + 6 x 90 = 582 10

2.- Se pasa el 582 10 a base 4.5 8 2 | 4 1 8 1 4 5 | 4 2 2 2 5 3 6 | 4 2 1 0 9 | 4

1 2

luego tenemos que 716 9 = 21012 4


EJERCICIOS DE APLICACIN.

I.1 Cuntos y cules son los distintos signos de un sistema de numeracin de base 7?.

I.2 Escribe los 12 primeros nmeros de un sistema de base 8.



I.5 Cuenta los 25 primeros alumnos de la clase en base 12.

I.6 Cuenta los 25 primeros alumnos de la clase en base 20.

I.7 Cul es tu nmero de lista en base 5?.

I.8 Efecta la descomposicin polinmica o factorial del nmero 1.234,56 10

I.9 Efecta la descomposicin polinmica del nmero 1.234,56 16

I.10 Efecta la descomposicin polinmica del nmero 1.234,52 6

I.11 Descompon polinmicamente el nmero 1011.101 2

I.12 Convierte el nmero 325,14 8 a base 10.

I.13 Expresa el nmero 222 4 en base 5.

I.14 Convierte el nmero 8A5E 16 a base 9.

I.15 Busca el equivalente al nmero de tu telfono en base 15.

I.16 Busca el equivalente al nmero 725 8 en base 6.

I.17 Busca el equivalente al nmero 111.011 2 en base 7.

I.18 Cul es el equivalente de 24 8 en bases 2, 5, 8, 10 y 16?.

I.19 Escribe tu fecha de nacimiento (da, mes y ao) en base 12.

I.20 Cmo se escribira la fecha de hoy en base hexadecimal?.

I.21 Cul es el equivalente de ABC 16 en base 2?.

I.22 Dado el nmero 321 7 convirtelo en base 3.

I.23 Cambia el nmero 14 6 a la base 4.

I.24 Cambia el nmero 10001 2 a la base 13.

I.25 Expresa el nmero que representa tu edad, en el sistema binario.

Csar Snchez Norato. Operaciones en el sistema binario8

CAPTULO II

Operaciones aritmticas en el sistema binario.

II.1. SUMA.

Al igual que en el sistema decimal, para realizar la operacin de la suma en el sistema binario, basta con tener en cuenta la "tabla" de esta operacin. Esta tabla se reduce a los siguientes casos:

0 + 0 = 0 ; 0 + 1 = 1 ; 1 + 0 = 1 ; 1 + 1 = 10

OBSERVACIONES:1 Si en una suma se obtiene como resultado "10", se escribe el "0" y se arrastra, o se acarrea, o se

"lleva" "1". Si el resultado fuera "11", se escribe el "1" y se acarrea "1".Si el resultado fuera 100 o 101, se escribe "0" "1", respectivamente, y se acarrea "10"; as sucesi-vamente.

En general, cualquiera que fuese el resultado obtenido, siempre se escribir el bit de la derecha, y el restode bits forma el acarreo -carry en ingls-.

2 En los comienzos de este tipo de operaciones, en el sistema binario, un mtodo eficaz consiste enpasar los nmeros binarios a decimales y efectuar la suma en ambos sistemas para ir contrastandolos resultados.

3 Conviene que se aprenda a contar en binario todos los nmeros que se puedan (pensar en binario)para cuando haya que efectuar la suma de varios sumandos.A la siguiente columna de la izquierda de la que estamos sumando, arrastraremos todos los bits ob-tenidos en sta menos el ltimo de la derecha, que lgicamente ser el "cero" o el "uno".

4 Si hay que realizar sumas largas se pueden sumar los dos primeros sumandos y al resultado obtenido sumar el tercero, y as sucesivamente.

5 Un mtodo prctico, sobre todo en sumas largas, (de varios sumandos) consiste en contar el nmerode "unos" que aparecen en la columna que se est sumando. Si el nmero de ellos es par, se escribi-r como solucin "cero"; y si es impar se escribir "uno"; a la siguiente columna de la izquierdase incorpora un arrastre de unos igual a la mitad de los que se contaron en la columna anterior.

EJEMPLOS.1 3 = 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1+ 7 = + 1 1 1 + 1 1 0 1 0 0 12 0 = 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

Operaciones en el sistema binario. Csar Snchez Norato 9

34 = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 0 = 1 0 0 0 1 0 | 117 1 1 1 0 1 0 120 = 16 + 0 + 4 + 0 + 0 = 1 0 1 0 0 | 94 1 0 1 1 1 1 013 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1 1 0 1 | 35 1 0 0 0 1 1 7 = 4 + 2 + 1 = 1 1 1 | + 55 + 1 1 0 1 1 174 = 1 0 0 1 0 1 0 | 61 1 1 1 1 0 1

362 1 0 1 1 0 1 0 1 0

II.2. RESTA.

Para efectuar esta operacin, tambin es suficiente con aplicar la "tabla" de restar.Esta tabla se reduce a los siguientes casos:

0 - 0 = 0 ; 1 - 0 = 1 ; 0 - 1 = 1* ; 1 - 1 = 0

* hay un prstamo de 1 (se pide 1 prestado a la columna inmediata de la izquierda)

OBSERVACIONES.1 La resta binaria se realiza igual que en decimal. Ejemplo:

2 5 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 1 1 0 0 1 - 1 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = - 0 1 0 1 1 1 4 = = 0 1 1 1 0

2 La comprobacin de la resta se hace sumando el sustraendo a la diferencia. Debe dar el minuendo.En el ejemplo anterior tenemos: 0 1 0 1 1 + 0 1 1 1 0 = 1 1 0 0 1.

3 La resta se puede efectuar mediante sumas por medio de los complementos. Existen principal-mente dos tipos de complementos: a "unos" y a "doses". El complemento a "unos" de un nmerose obtiene restando ese nmero de "unos".

Ejemplos: el complemento a "uno" de cero es "uno", pues 1 - 0 = 1;el complemento a "uno" de uno es "cero", pues 1 - 1 = 0;el complemento a "uno" de 1011001 es 0100110.

En efecto: 1111111 - 1011001 = 0100110.

Nota:La forma ms fcil de obtener el complemento a "unos" de un nmero cualquiera consiste en cambiar los"unos" por "ceros" y los "ceros" por "unos". Obsrvese en el ejemplo anterior.

El complemento a "doses" de un nmero, se obtiene sumando un "uno" al complemento a "unos".As el complemento a "doses" del nmero 1011001 es: el complemento a "unos" ms un "uno"; esto es:00100110 + 1 = 0100111.

Tambin se puede hallar de otra forma. Consiste en restar el nmero a complementar de un "uno" seguidode tantos ceros como bits tiene el nmero que se quiere complementar. Ejemplo: sea el nmero de antes:1011001. Tendremos: 10000000 - 1011001 = 0100111


II.2.1. RESTA, COMO SUMA, POR EL COMPLEMENTO A "UNOS".

Al restar dos nmeros A y B se pueden presentar dos casos: que A > B y que A < B.Para efectuar la resta en el primer caso, donde el minuendo es mayor que el sustraendo:* se halla el complemento a "unos" delsustraendo,* una vez complementado el sustraendo se

suma al minuendo, producindose en lasuma un "arrastre" de un "uno".

* este arrastre se suma con el resultadoanterior. Esa es la solucin.Ejemplo: vase la figura II.1

Para realizar la resta en el segundo caso donde el minuendo es menor que el sustraendo, hay que dar lossiguientes pasos:

-se complementa el sustraendo a "unos",-se suma el sustraendo complementado al minuendo, y-se complementa el resultado; se le pone el signo "menos" y esa es la solucin correcta.

Ejemplo: 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1- 1 1 1 0 1 0 0 1 => + 0 0 0 1 0 1 1 0

1 1 1 0 0 0 1 1 que complementando a "unos" y afectndolodel signo menos, tenemos - 0 0 0 1 1 1 0 0 que es la solucin correcta.

Poda considerarse un tercer caso donde A = B (minuendo igual al sustraendo). Este caso no se puederesolver por el complemento a unos. Vemoslo.Ejemplo:

9 1 0 0 1 1 0 0 1- 9 - 1 0 0 1 => + 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 como se ve no origina acarreo, por lo que no

se puede hacer.

Nota: Este caso se puede resolver como el caso anterior donde A < B.

Como norma general se puede decir que siempre que no exista "uno" de acarreo el resultado es negativo,y cuando s exista, el resultado es positivo.

II.2.2. RESTA, COMO SUMA, POR EL COMPLEMENTO A "DOSES".

En estos casos, se halla el complemento a "doses" del sustraendo y se suma con el minuendo. Lasuma origina un arrastre. La solucin es el resultado despus de despreciar el arrastre.Ejemplo:

1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 - 0 1 1 0 1 0 0 1 ==> + 1 0 0 1 0 1 1 1 -----> complemento a"doses"

0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

Se desprecia el "uno" del carry, siendo el resultado 01011101.

10001110- 00110101 + 11001010 + 1

01011001 1 01011000 01011001

10001110 01011000

Figura II.1


II.3. MULTIPLICACIN.

En principio es suficiente con aplicar la "tabla" para esta operacin, que es muy sencilla. Tambines precisa la de la suma para sumar los productos parciales.La "tabla" de multiplicar se reduce a los siguientes casos:

0 x 0 = 0 ; 0 x 1 = 0 ; 1 x 0 = 0 ; 1 x 1 = 1

Ejemplo: 25 1 1 0 0 1 multiplicando x 7 x 1 1 1 multiplicador 175 1 1 0 0 1

1 1 0 0 1 productos parciales 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 producto total

OBSERVACIONES:

1.- La multiplicacin en binario se realiza igual que en el sistema decimal. Ver ejemplo anterior.

En caso de decimales, obsrvese el siguiente caso:

3,25 1 0 1.1 1 x 5,75 cuatro decimales x 1 1.0 1 1625 1 0 1 1 1 2275 0 0 0 0 0 1625 1 0 1 1 1 18,6875 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0.1 0 1 1 cuatro decimales

2.- La comprobacin se hace permutando el multiplicando por el multiplicador, aprovechando lapropiedad conmutativa.

3.- Cuando el bit del multiplicador que se est multiplicando es "1", basta con copiar el multi-plicando. Si fuera "cero", todo su producto parcial es "cero", que bien se escriben, o bien se pasaal bit siguiente de la izquierda del multiplicador y se desplaza un lugar el primer bit del productoparcial hacia la izquierda. En general, si hubiera en el multiplicador varios "ceros", basta condejar tantos espacios como ceros haya.

Ejemplo: 1 1 0 1 0 1x 1 0 0 0 1

4.- El desplazamiento a la izquierda un lugar 1 1 0 1 0 1de un nmero en binario, equivale a multi- 1 1 0 1 0 1 plicarlo por 2; dos lugares, por 4, etc; en 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1el sistema decimal por 10, 100...

5.- Si el multiplicador es la unidad seguida de "ceros", es suficiente con escribir el multipli-candoy adosarle a su derecha un nmero de "ceros" igual al del multiplicador.

Ejemplo: 100010 x 10000 = 1000100000


6.- Cuando el multiplicador es mayor que el multiplicando, la operacin se simplifica permutndo-los, ya que la operacin no vara (propiedad conmutativa).

7.- Debido a la simplicidad de la tabla, todo se reduce a desplazar el multiplicando a la izquierday sumar.

8.- Teniendo en cuenta que la multiplicacin es una repeticin de sumas, tambin se puede resolveresta operacin por medio de sumas, si bien este procedimiento es ms largo y engorroso.

Ejemplo:

25 25 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1x3 + 25 x 1 1 +1 1 0 0 175 50 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0

+25 1 1 0 0 1 + 1 1 0 0 1 75 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1

9 Para sumar los productos parciales, al igual que en la suma, se pueden sumar los dos primeros,y el resultado obtenido con el tercero, y as sucesivamente, lo que permite realizar la multiplica-cin binaria con circuitos sumadores y registros de desplazamiento.

II.4. DIVISIN.

Al igual que con el resto de las operaciones aritmticas, para efectuar esta operacin hay que teneren cuenta su "tabla".

En ella se pueden dar los casos siguientes:

0 : 0 = 0 ; 0 : 1 = 0 ; 1 : 0 = 4 ; 1 : 1 = 1

Observaciones:

1 En principio, la divisin binaria se realiza igual que en el sistema decimal. Ejemplo:

5 5 0 | 43 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 | 1 0 1 0 1 1- 4 3 1 2 - 1 0 1 0 1 1 1 1 0 01 2 0 0 0 1 1 0 0 1 1- 8 6 - 1 0 1 0 1 1 3 4 0 0 1 0 0 0 1 0

2 La prueba o comprobacin se realiza multiplicando el divisor por el cociente y sumndole elresto, si lo hubiere. Con ello debe obtenerse el dividendo.

En el ejemplo anterior tenemos:

(4 3 x 1 2) + 3 4 = 5 5 0 (1 0 1 0 1 1 x 1 1 0 0) + 1 0 0 0 1 0 = 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0


4 3 1 0 1 0 1 1x 1 2 x 1 1 0 0

8 6 1 0 1 0 1 14 3 1 0 1 0 1 1 5 1 6 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

+ 3 4 + 1 0 0 0 1 05 5 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0

3 Como la divisin es laoperacin contraria a lamultiplicacin, y sta sepuede efectuar mediantesumas sucesivas, aquella sepuede resolver medianterestas sucesivas (restas re-petidas).Consiste en restar repeti-damente el divisor del divi-dendo. El nmero de restasrealizadas es el cociente; yla ltima diferencia o restoes el resto de la divisin.

Ejemplo:Ver figura II.2

II.5. POTENCIAS.

Teniendo en cuenta que la potenciacin es un producto de tantos factores iguales a la base comoveces indique el exponente, esta operacin se puede desarrollar como el producto o multiplicacin.

Veamos un ejemplo a ttulo orientativo.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 25 x 5 = 125

En modo binario tendramos: 1 0 1 11 = 1 0 1 x 1 0 1 x 1 0 1 = 1 1 1 1 1 0 1

OBSERVACIN:La potenciacin se puede realizar mediante sumas.

Ejemplo:

32 = 3 x 3 = 9 = 3 + 3 + 3 = 9

En modo binario sera: 1110 = 11 x 11 = 11 + 11 + 11 = 1001

43 : 8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 101011 : 1000 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 101

43-835-827-819-811-8

03

101011- 1000100011

011011

010011

001011

000011

- 1000

- 1000

- 1000010011

- 1000

restoFigura II.2


EJERCICIOS DE APLICACINII.1 Suma los nmeros 11001011 y 10110010.

II.2 Suma los nmeros 11101011, 10100010 y 10010.

II.3 Realiza la suma, en binario, de los siguientes nmeros: 78 + 54.

II.4 Suma, siguiendo la observacin 50, los nmeros siguientes:1110101, 1100010, 10010, 111111, 10111101, 1110001, 11110001, y 10110011.

II.5 Resta, por el mtodo convencional, los nmeros 11100110011 y 10110001101.

II.6 Resta el nmero 110011101 del 110111001.

II.7 Resta, por el complemento a unos, los nmeros 110111101 y 100011011.




II.11 Resta, por el complemento a doses, los nmeros 110111101 y 100011011.




II.15 Multiplica los nmeros 11010001 y 101101.

II.16 Multiplica, en binario, los nmeros 35 y 18.

II.17 Multiplica los nmeros 11010001 y 101101.

II.18 Multiplica, en binario, los nmeros de tu ao de nacimiento por el de tu da del mes.

II.19 Efecta el producto, en binario, de los nmeros 11010001 y 1111.

II.20 Divide 1100011 entre 1001.

II.21 Reparte, en binario, 1000 pesetas entre 25 personas.

II.22 Efecta, en binario, la operacin 93.

II.23 Halla el valor de 1101101.

II.24 Calcula, en binario, 64.

II.25 Calcula 111110100.

Cdigos binarios: numricos y alfanumricos. Csar Snchez Norato 15

CAPTULO III

Cdigos binarios: Cdigos Numricos y Alfanumricos

III.1. INTRODUCCIN.

Los cdigos binarios se emplean, en materia de informacin, para especificar los caracteres (yasean nmeros, letras o smbolos) mediante nmeros binarios o bits, ya que las computadoras slo "entien-den" de "unos" y "ceros"; o mejor dicho: de presencia o ausencia de corriente.

Los cdigos binarios son, pues, unas combinaciones de unos y ceros que se utilizan para convertir(codificar) nmeros, letras o smbolos al sistema binario para poder ser tratados (procesados) mediantecircuitos electrnicos digitales.

En informtica y sistemas de computacin se usan diversos cdigos.

Los cdigos se clasifican en dos grandes grupos:

a) cdigos numricos que slo codifican en binario los nmeros o dgitos. Entre ellos se puedenenumerar los distintos B C D (Binary-Coded-Decimal), Aiken, Gray, de Exceso 3, etc.

b) cdigos alfanumricos que codifican tanto nmeros como letras, as como smbolos (ortogrficoso no), signos, etc.

Entre ellos se encuentra el ASCII, lase "aski" (American Standard Code for Information Interchange:cdigo standard americano para intercambio de informacin). Existen dos versiones de este cdigo: la queutiliza 7 bits, o la que utiliza 8 bits. Es, quizs, el cdigo ms extendido.

Otro de estos cdigos es el E B C D I C (Extended Binary-Coded-Decimal Interchange Code -lase"ebsidik"). Este cdigo utiliza 8 bits, y por tanto tiene ms posibilidades; las mismas que el ASCII de 8bits.

A su vez los cdigos numricos se subdividen en:

a) pesados o ponderados cuando a cada posicin que ocupan las cifras binarias o bits se le asignaun valor llamado peso. Sumando los pesos se obtiene el nmero decimal equivalente en el cdigobinario respectivo.

b) no pesados o ponderados cuando no cumplen la condicin anterior.

A lo largo del tiempo han sido muchos los cdigos propuestos. Unos han sobrevivido y otros han desapa-recido o cado en desuso.

Csar Snchez Norato. Cdigos binarios: numricos y alfanumricos16

En el siguiente cuadro aparecen algunos de estos cdigos binarios numricos, entendemos que los msutilizados, as como las equivalencias entre ellos.

C D I G O S P E S A D O S O P O N D E R A D O S

BCD 8421 BCD 4221 BCD 5421Nmeroen

decimal

Binario

Natural Decenas Unidades Decenas Unidades Decenas Unidades

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

0000 0001 0010 0011 1000 0111 1100 1101 1110 1111

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100

10 11 12 13 14 15 16

1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000

0001 0001 0001 0001 0001 0001 0001

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110

0001 0001 0001 0001 0001 0001 0001

0000 0001 0010 0011 1000 0111 1100

0001 0001 0001 0001 0001 0001 0001

0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001

Figura III.1 Algunos cdigos numricos pesados o ponderados

C D I G O S N O P E S A D O SAIKEN 2 4 2 1(Complemento a 9)

BCD EXCESO 3(BCD XS 3)

Nmeroen

Decimal

Binario

Natural

Decenas Unidades Decenas Unidades

CDIGO

GRAY

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111

0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011

0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100

0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101

10 11 12 13 14 15 16

1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000

0001 0001 0001 0001 0001 0001 0001

0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100

0100 0100 0100 0100 0100 0100 0100

0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001

1111 1110 1010 1011 1001 1000 11000

Figura III. 2 Algunos cdigos numricos no pesados


OBSERVACIONES GENERALES.

1) Los cdigos BCD 8421, BCD 4221, BCD 5421, BCD XS3, y AIKEN 2421 utilizan cuatro bits paracodificar cada dgito.

2) El cdigo Gray no es pesado y tiene la cualidad de que al contar nmeros seguidos en estecdigo, slo cambia un bit para cada paso de contaje. Se le conoce como cdigo de error mni-mo. De ah que se utilice para posicionar los elementos de los robots.

3) Los cdigos BCD 4221 y BCD 2421 son muy parecidos pero no iguales; sin embargo, ambos soncomplementados a 9. Obsrvense los nmeros 4 y 5; ambos bits son complementos a "unos" rec-procamente. Igual ocurre con el 3 y 6; con el 2 y 7; con el 1 y 8; y finalmente con el 0 y 9.

4) El cdigo BCD XS3 no es pesado, por tanto, cada bit no tiene un peso especial. No obstante, esparalelo al binario natural y excede a ste siempre en tres unidades. Vase la tabla anterior. Laprincipal aplicacin de este cdigo se encuentra en los circuitos aritmticos. Es til para lassubstracciones o restas.

5) Al cdigo BCD 8421 se le acostumbra a llamar "BCD natural" por corresponderse sus pesos conlos del propio sistema binario.

6) El cdigo Aiken est basado en el complemento a 9.

III.2. PASO DE UNOS CDIGOS A OTROS: ALGUNOS EJEMPLOS.

a) CONVERSIN DE UN NMERO DECIMAL AL CDIGO BCD 8421

Para convertir un nmero decimal al cdigo BCD 8421, se convierte cada dgito a dicho cdigo.

Ejemplos: 153 ---> 0001 0101 0011243,65 ---> 0010 0100 0011.0110 0101

b) CONVERSIN DE UN NMERO DADO EN BCD 8421 A DECIMAL

Para efectuar esta conversin:1 se separan los bits en bloques de cuatro bits,2 se convierte cada bloque de cuatro bits a decimal

Ejemplos: 010100100111 ---------> 0101 0010 0111 ---------> 527100110001001.0011 --> 1001 1000 1001.0011 ---> 989,3

c) CONVERSIN DE UN NMERO DADO EN BCD 8421 A BINARIO.

Para ello:1 se pasa el nmero dado en BCD 8421 a binario2 se pasa del decimal a binario por divisiones.

Ejemplo: Sea pasar el nmero 0001 0111 0010 a binario1 0001 0111 0010---> 1722 172 -------------------> 10101100


d) CONVERSIN DE UN NMERO BINARIO NATURAL AL CDIGO BCD 8421

Para resolver este caso:1 se pasa el binario natural a decimal (por descomposicin polinmica)2 se codifica el decimal en bcd 8421

Ejemplo: Sea convertir el nmero binario 1011001.101 al BCD 84211 1011001.101 -----> 89,6252 89,625 -------------> 1000 1001.0110 0010 0101

Nota:Igualmente se poda hacer con los otros cdigos BCD, por ejemplo, con los BCD 5421 y el BCD 4221.

e) CONVERSIN DE UN NMERO DADO EN CDIGO BCD 8421 A BCD EXCESO 3

Para ello:1 se descompone el nmero (dado en BCD 8421) en bloques de 4 bits2 se suman 3 unidades (11 en binario) a cada bloque

Ejemplo: Sea convertir el nmero 10010011 en binario al BCD EXCESO 31 10010011 ----->1001 00112 1001 + 0011 = 1100

0011 + 0011 = 0110 Luego, el nmero ser 1100 0110

f) CONVERSIN DE UN NMERO DADO EN BCD EXCESO 3 A BCD 8421

Para ello:1 se descompone el nmero (dado en BCD EXCESO 3) en bloques de 4 bits2 se restan 3 unidades (11 en binario) a cada bloque

Ejemplo: Sea convertir el nmero 10001100 dado en BCD EXCESO 3 al BCD 8421.1 10001100 ---> 1000 11002 1000 - 0011 = 0101

1100 - 0011 = 1001 Luego, el nmero ser 0101 1001

g) CONVERSIN DE UN NMERO DECIMAL AL CDIGO XS3

Para ello:1 o bien se suman tres unidades a cada dgito y se convierte en binario,2 o bien se pasa el decimal a binario BCD 8421 y se suman tres unidades (11 en binario)

a cada bloque de cuatro bits del BCD 8421.

Ejemplo: Sea pasar el nmero 36 al cdigo XS3.a) 3 + 3 = 6 = 0110

6 + 3 = 9 = 1001 36 ---> 0110 1001

b) 36 ---> 0011 01100011 + 0011 = 0110 36 ---> 0110 10010110 + 0011 = 1001


h) CONVERSIN DE UN NMERO DAD0 EN BCD XS3 A DECIMAL

Para ello: 1 se forman bloques o grupos de 4 bits en el nmero dado.2 a cada grupo se le restan 3 (11 en binario). Ya est pasado a BCD 8421.3 se pasa el nmero obtenido en BCD 8421 a decimal. (Apartado III.2.b).

Ejemplo: Pasar el nmero 101101110100 de BCD XS3 a decimal.1 101101110100 ---> 1011 0111 01002 1011 - 0011 = 1000

0111 - 0011 = 01000100 - 0011 = 0001

3 1000 0100 0001 ---> 841

Nota: si los nmeros no fueran enteros (que fueran decimales, por ejemplo) los grupos de cuatro bits se forman comenzando a partir del punto decimal.

i) CONVERSIN DE UN NMERO BINARIO AL CDIGO GRAY

El cdigo GRAY no es pesado. En cada incremento (aumento en la cuenta) slo cambia de estadoun bit. Obsrvese la tabla de equivalencia (apartado III.1).

Para pasar de binario a Gray de-ben seguirse los siguientes pasos:1 El bit de la izquierda es el mismo

que en binario (bit de mayor peso ).2 Se suma cada bit del binario al

inmediato de su derecha y se anotala suma (se desprecia cualquier aca-rreo si lo hubiere). As se va obte-niendo el nmero en cdigo Gray.

3 El nmero en cdigo Gray tiene elmismo nmero de bits que el bina-rio para el mismo nmero decimalque ambos representen.

Ejemplo: sea convertir el nmero101101 de binario a Gray.Mediante el algoritmo anterior queda explica-do.

j) CONVERSIN DEL CDIGO GRAY A BINARIO

Esta conversin se lleva a cabo por medio del algoritmo de al lado. En l se trata de convertir elnmero 11011 dado en cdigo Gray al cdigo Binario.

1 El primer bit de la izquierda es el mismo en ambos casos.2 El primer bit de la izquierda (que ya lo es en binario) se transfiere al 21 bit de la izquierda del

nmero en Gray y se suma con l, formando el segundo bit de la izquierda del nmero binario,(despreciando los arrastres si los hubiera); y as sucesivamente hasta terminar el proceso.

Nmero binario 1 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 1

1 0 1 0

Nmero Gray

1

+ + + + +

Figura III.3

1 0 1

1 0 11 1Nmero Gray

Nmero binario 1 0 1 00

0

resultante

Figura III.4


III.3. SISTEMAS OCTAL Y HEXADECIMAL CODIFICADOS.

Estos dos sistemas son muy interesantes ya que casi todos los ordenadores personales trabajan conestos sistemas.

SISTEMA OCTAL CODIFICADO.Como ya hemos visto, el sistema octal o de base 8 consta de ocho nmeros (octadgitos).

Estos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada uno de ellos se puede representar en binario por medio de tres bitsque van desde el 000 al 111.

SISTEMA HEXADECIMAL CODIFICADO.Como tambin hemos visto, este sistema consta de 16 smbolos llamados hexadgitos:

Estos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C , D, E y F. Cada uno de ellos se puede representar mediantecuatro bits: desde el 0000 hasta el 1111.

Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Octal 0 1 2 3 4 5 6 7

Octal codificado 000 001 010 011 100 101 110 111

Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Hexadecim codif 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

k) CONVERSIN DE OCTAL A BINARIO CODIFICADO

Para realizar esta conversin, basta con pasar cada octadgito a binario (en grupos de a tres)Ejemplo: sea convertir el nmero 2571 de octal a binario.25718 --> 010 101 111 001

l) CONVERSIN DE BINARIO CODIFICADO A OCTAL

Lo primero que hay que hacer es dividir el nmero binario dado en grupos de tres bits comenzan-do por la derecha. Si se tratara de un nmero decimal -con punto decimal- los grupos se comienzan aformar a partir de la coma a ambos lados. Luego se traduce cada grupo al sistema octal.

Ejemplo: convertir el nmero binario a octal codificado11000001101110.001100 -->011 000 001 101 110. 001 100 --> 30156,14

m) CONVERSIN DE HEXADECIMAL A BINARIO CODIFICADO Y VICEVERSA

Estas operaciones se llevan a cabo igual que para el octal; nada ms que los grupos son de cuatrobits en lugar de tres como en el octal.

Ejemplos: A 8 E 2 ---> 1010 1000 1110 0010 ;1100010111101101 ---> C 5 E D


III. 4. CDIGO ALFANUMRICO ASCII.

Mediante este cdigo se pueden codificar o traducir nmeros y letras, smbolos y signos al sistemabinario para que stos sean tratados electrnicamente. Existen cdigos ASCII (American Standard forCode Information Interchange) de 7 bits y de 8 bits.

A continuacin se presenta el cdigo ASCII para 7 bits.

000 001 010 011 100 101 110 111

7 6 5 4 3 2 1 columnafilas 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 NUL DLE SP 0 @ P ` p

0 0 0 1 1 SOH DC 1 ! 1 A Q a q

0 0 1 0 2 STX DC 2 " 2 B R b r

0 0 1 1 3 ETX DC 3 # 3 C S c s

0 1 0 0 4 EOT DC 4 $ 4 D T d t

0 1 0 1 5 ENQ NAK % 5 E U e u

0 1 1 0 6 ACK SYN & 6 F V f v

0 1 1 1 7 BEL ETB ' 7 G W g w

1 0 0 0 8 BS CAN ( 8 H X h x

1 0 0 1 9 HT EM ) 9 I Y i y

1 0 1 0 10(A) LF SUB * : J Z j z

1 0 1 1 11(B) VT ESC + ; K [ k 6

1 1 0 0 12(C) FF FS , < L \ l *

1 1 0 1 13(D) CR GS - = M ] m >

1 1 1 0 14(E) SO RS . > N ^ n -

1 1 1 1 15(F) SI US / ? O - o DEL

Figura III. 5. Cdigo ASCII

Ejemplos:

El smbolo o letra U se encuentra en la fila 5 y columna 5. Los bits que la codifican son 101 (co-lumna 5) y 0101 (fila 5). Le corresponde el nmero 55 en hexadecimal.

El nmero 9 se encuentra en la fila 9 y columna 3. Su nmero hexadecimal es el 39.

La letra n se encuentra en la fila 6 y columna 14 (E). Su nmero hexadecimal es el 6E.


III. 5. INTERPRETACIN DE ALGUNAS SIGLAS DEL CDIGO ASCII

NUL Nulo o invlido SOH Comienzo; principio de encabezamientoSTX Comienzo de texto ETX Fin de textoEOT Fin de transmisin ENQ Encuesta, preguntaACK Reconocimiento, acuse de recibo BEL Campana, timbre, seal audibleHT Tabulacin horizontal LF Alimentar lnea, cambio de rengln

VT Tabulacin vertical FF Pgina siguienteCR Retorno del carro SO Fuera de cdigoSI Dentro de cdigo DLE Enlace de fugas de letrasDC 1 Control aparato auxiliar 1 DC 2 Control aparato auxiliarDC 3 Control aparato auxiliar DC 4 Control aparato auxiliar

SYN Sincronizacin ETB Bloquear transmisinCAN Cancelar, anulacin, cancelacin EM Fin de medio fsicoSUB Sustitucin ESC Escape, fugaFS Separador de fichero GS Separador de grupoRS Separador de registro US Separador de UnidadDEL Borrado, supresin, tachado BS Retroceso, desplaza el cursor un espacioNAK Reconocimiento negativo, acuse de recibo negativo

III.6. DETECCIN Y CORRECCIN DE ERRORES: CDIGOS.

Una de las exigencias fundamentales en el tratamiento de la informacin es que no se cometanerrores al tratar con los diferentes cdigos, operaciones, transmisiones y procesos.Para evitar estos errores existen dos tipos de cdigos, a saber:

a) Cdigos de DETECCIN solamente, yb) Cdigos de DETECCIN Y CORRECCIN

Dentro de los primeros el principal mtodo, aunque muy simple, es el llamado "del bit de paridad".Con este mtodo, todo elemento binario que representa un nmero, letra, signo, etc y en general unsmbolo, tiene que tener un nmero "par" de "unos". Pero los distintos caracteres de los diferentes cdigosno siempre tienen este nmero par de unos.

Este mtodo consiste en aadir un bit, llamado bit de paridad, a cada uno de los distintos caracteres paraque todos ellos posean un "nmero par de unos". Este bit puede ser o un "uno" o un "cero" segn queel carcter tenga un nmero impar o par de "unos", respectivamente, con el fin de que todos finalmentecontengan un nmero par de unos .Tambin se conoce este mtodo como "control de paridad".El bit de paridad se puede aplicar a cualquiera de los cdigos vistos anteriormente, obtenindose as losllamados CDIGOS DE DETECCIN DE ERRORES.

El bit de paridad es un bit adicional que viaja a travs de una palabra digital y ayuda a detectar los posibleserrores que puedan ocurrir durante la transmisin de la informacin desde el sistema transmisor hasta elsistema receptor y al detector de errores. Este har sonar una alarma slo si en su entrada aparece unnmero de unos que no debe ser el suyo, con lo que se puede dar la orden para que vuelva a ser enviadade nuevo la informacin. Y decimos que el nmero de unos a su entrada no sea el que debiera ser, porquese puede elegir la modalidad de paridad PAR o IMPAR. Esta ltima se utiliza menos.


La modalidad de PARIDAD PAR consiste en que todos los caracteres deben tener un nmero PAR de"unos".La modalidad de PARIDAD IMPAR consiste en que todos los caracteres deben poseer un nmero IMPARde "unos".

En la figura III. 6 se puede observar un cdigo Paridad par Paridad impardetector de errores partiendo del cdigo BCD 0 0 0000 1 0000 (8421) tanto para la paridad Par como para la 1 1 0001 0 0001 paridad Impar. Ntese que en todas las combina 2 1 0010 0 0010 ciones aparece un nmero "par" "impar" de 3 0 0011 1 0011 "unos". 4 1 0100 0 0100

5 0 0101 1 0101 Sin embargo, la circuitera necesaria para reali- 6 0 0110 1 0110 zar el control de paridad puede simplificarse si 7 1 0111 0 0111 se utiliza un cdigo en el que todas las combina- 8 1 1000 0 1000 ciones tengan el mismo nmero de "unos". 9 0 1001 1 1001

Figura III. 6. Cdigo (8421) con bit de paridad

Dos de estos cdigos son el "dos entre cinco", o el "dos entre siete". Ambos se representan a continua-cin en la figura III. 7.

Cdigo "2 entre 5" Cdigo "2 entre 7" (Biquinario)

Decimal 6 3 2 1 0 5 0 4 3 2 1 0

0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 02 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 03 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 04 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 05 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 07 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 08 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 09 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

Figura III.7. Cdigos de deteccin de erroresEn la figura III.8 se representa un circuito capaz de detectar errores con bit de paridad.

III.7. CORRECCIN DE ERRORES: CDIGOS DE HAMMING.

Habamos visto que los cdigos detectores de errores slo servan para eso: para detectarlos, perono eran capaces de identificarlos ni corregirlos.Vamos a ver ahora cmo se pueden detectar y corregirlos.

Existen aplicaciones en las que, habindose detectado un error, no resulta posible enviar de nuevo lainformacin para subsanarlo. Tal es el caso de los sistemas que trabajan en tiempo real como, por ejemplo,el control de un proceso industrial, o aquellos en los que hay que procesar la informacin a intervalos detiempo muy reducidos en los que no sera posible que la repeticin de la informacin llegase antes queel nuevo valor de la misma.


En este caso, los mtodos de deteccin de errores no son de gran utilidad. Son necesarios, pues, otrosmtodos y otros cdigos que permitan la correccin del error para restaurar el valor correcto de la infor-macin. SON LOS DETECTORES Y CORRECTORES DE ERRORES.Teniendo en cuenta que la posibilidad de que en la transmisin de la informacin se cause error en msde un bit es pequea, nos limitaremos al caso en que el error se produzca en uno slo de los bits.Por ello estudiaremos los cdigos de deteccin y correccin en un solo bits.

La idea en que se basan estos cdigos es la siguiente: si se sabe que se ha producido un error y se conocela posicin del mismo (mediante los controles de paridad), se puede corregir el bit errneo sin ms quecomplementarlo.

Los cdigos detectores de error, en un solo bit, de uso ms generalizado son los de HAMMING. Se basanen aadir P bits de paridad o de control a los N bits quecontienen la informacin (segn cualquiera de los cdigosvistos anteriormente) resultando as un cdigo de N + Pbits.El nmero de bits de paridad o control necesarios ser talque cumpla la condicin:

2p = N + P + 1

donde N es el nmero de bits de la palabra que se va atransmitir, y P el nmero de bits de paridad, ya que hayque diferenciar las N + P posiciones y adems la deausencia de error. Para N = 4 bits, implica que el nmerode bits de control debe ser de tres.

Se realizan P controles de paridad; el resultado de loscuales, con un orden predeterminado, representa, ensistema binario, el nmero de orden dentro de la sucesinordenada que es el cdigo del bit errneo. Se asigna"cero" para el control de paridad satisfecho, y "uno" para el no satisfecho.

El orden predeterminado es arbitrario. Sin embargo, se acostumbra a asignar a los bits de control o paridadlos lugares 2p (1, 2, 4, 8...).

Transmisor Receptor

Detectorde error Alarma

Generadorde bit deparidad

Bit de paridad

Lneas de transmisinABCD

Circuito detector de errores con bit de paridad

........

Figura III-8

Cdigo Hamming de 3 bits deparidad sobre el cdigo BCDSX3

pesos7 6 45 2 1D PDDD PP 3

8 4 2 1

0 0 01 1 1 1 10 1 1 11100000

111

1 0 1 10

11111

00001

0011000

11

0 1 11 0 0

11000 1 001 0 1 01 1 0 1

1000

23456789

Figura III.9. Cdigos de Hamming


Cada bit de paridad controla grupos alternos de 2p-1 bits, contados a partir de su propia posicin. (el primerbit controlar grupos de un bit alternos a partir de la primera posicin: 1, 3, 5, 7...; el segundo controlargrupos de dos bits alternos a partir de la segunda posicin: 2-3, 6-7, 10-11...; el tercero controlar gruposde cuatro bits alternos a partir de la cuarta posicin que ocupa P4; es decir: 4-5-6-7, 12-13-14-15...).

Dicho orden predeterminado para los N + P bits ser: D7 D6 D5 P4 D3 P2 P1 dando lugar as a loscdigos de Hamming. Uno de ellos -obtenido a partir del cdigo BCDXS3- se muestra en la figura III.9.

Para poder localizar un error y posteriormente corregirlo, de la combinacin final de los siete bits (loscuatro del dato -D7, D6, D5, y D3 - ms los tres -P4, P2 y P1 - de paridad) se hacen los siguientes bloques:

D7 D5 y D3 que sern controlados por P1



De esta forma podremos saber cul es el bit errneo. Vemoslo con un ejemplo.

Sea que se trate de transmitir el dato 1010 en BCDSX3 (7 en decimal). Si la transmisin es correcta, cadauno de los bloques deber estar constituido as:

D7 D5 D3 P1 = 1 1 0 0 (el generador de paridad P1 generar un "cero")D7 D6 D3 P2 = 1 0 0 1 (el generador de paridad P2 generar un "uno")D7 D6 D5 P4 = 1 0 1 0 (el generador de paridad P4 generar un "cero")

As pues, la combinacin final ser: D7 D6 D5 P4 D3 P2 P1 = 1 0 1 0 0 1 0

En el receptor existen tres detectores de errores: E1, E2 y E4. Cuando la salida de los tres es "cero",significa que no hay error. Observa que al detector E1 llega la combinacin 1 1 0 0 (paridad par) aldetector E2 llega la combinacin 1 0 0 1 (paridad par) al detector E4 llega la combinacin 1 0 1 0 (paridadpar).

Si se cambiara un bit cualquiera de los cuatro del dato, sera detectado por los detectores de error yactuaran los circuitos correctores de errores correspondientes subsanando el error.

Veamos los casos que se pueden dar:

Cuando se produce, durante la transmisin, un error en el bit D7 del dato, lo detectarn los tresdetectores E1, E2 y E4 puesto que es el nico comn a los tres, producindose una "desparidad" enlos tres detectores, que actuaran sobre el circuito corrector. Al revs: si los tres detectores acusan unerror simultneamente, el error procede del bit D7.

Si el error se produce en el bit D6 del dato, lo detectarn los detectores E2 y E4, puesto que es el nicobit comn a ambos. Al revs: si la deteccin la hacen estos detectores, el bit errado es el D6.

Si el error se produce en el bit D5 del dato, ser detectado por E1 y E4 pues es el nico bit comn aambos. Al revs: si el error es acusado por los detectores E1 y E4 el error procede del bit D5 .

Si se produce un error en el bit D3 del dato, lo detectarn los detectores E1 y E2 puesto que es el nicobit comn a ambos. Por el contrario, si son estos los detectores que acusan un error, el bit equivocadoes el D3.


En la figura III. 10 se muestra el circuito lgico como uso del cdigo de Hamming para la correccin deerrores en un sistema de transmisin de la informacin desde el transmisor hasta el sistema receptor.

RECEPTORCORRECTOR

ERRORES

1P

E

DETRANS-

MISOR

LINEAS DE TRANSMISIN 884 422

11

124

1

E

E

2

4

D 7D6D 5

D 3

2P

4P

GENERA-DOR DE

PARI-DAD

GENERA-

DOR DE

PARI-DAD

GENERA-

DOR DE

PARI-

DAD

D 7D 6

D 5

D

D

D

76

3

D

D

D7

35

P

DETEC-TOR DE

ERROR

DETEC-TOR DE

ERROR

DETEC-TOR DE

ERROR

D 7

D 7

D 7

P 1

4P

2

D 6

D6

D 5

D 5

D3

D3

INDICADORESDE ERROR

Figura III.10. Circuito bloque detector-corrector de errores, con bit de paridad


EJERCICIOS DE APLICACIN

III.1 Los cdigos numricos slo codifican nmeros. Verdadero o falso?.

III.2 Los cdigos alfanumricos sirven para codificar tanto nmeros como letras, signos, otros smbo-los, etc. Verdadero o falso?.

III.3 Qu diferencia fundamental existe entre un cdigo pesado o ponderado y otro no pesado?.

III.4 Convierte el nmero 721 10 al cdigo BCD 8421.

III.5 Escribe en el cdigo BCD 8421 el nmero 159 decimal.

III.6 Convierte el nmero 01010001011010010011 perteneciente al cdigo BCD 8421 a decimal.

III.7 Pasa el nmero 0011 0111 1000 dado en BCD 8421 a binario natural. (Apartado III.2.c).

III.8 Convierte el nmero 11011.101 dado en binario natural al cdigo BCD 8421.

III.9 Convierte el nmero 0101 1001 1000 dado en BCD 8421 al cdigo BCD Exceso 3.

III.10 Convierte el nmero 1100 0101 1001 dado en BCD Exceso 3 al cdigo BCD 8421.

III.11 Convierte el nmero 64 (dado en decimal) al cdigo BCD Exceso 3.

III.12 Convierte el nmero 100100110111 (dado en BCD Exceso 3) a decimal.

III.13 Convierte el nmero 1234,56 dado en decimal a octal codificado.

III.14 Convierte a octal codificado el nmero 100111101001011.010111.

III.15 Convierte o pasa a hexadecimal codificado el nmero 6A5D.C2.

III.16 Convierte el nmero 11111001001101111011.11010011 dado en hexadecimal codificado ahexadecimal.

III.17 Convierte en octal y en hexadecimal codificados el nmero 011100101100010101101110.

III.18 Mediante el cdigo ASCII de la figura III.5 escribe, en binario, los bits correspondientes a lossiguientes smbolos: A; W; 9; >; ? y %.

III.19 A qu signos del cdigo ASCII corresponden las siguientes combinaciones de bits: 0100100; 1000111; 1011010 y 0110011?.

III.20 Cunto debe valer el bit de paridad, para una paridad par, del nmero 0111?; y del 1001?.

III.21 En el ejercicio anterior cunto debe valer el bit de paridad para una paridad impar?.

III.22 Los siguientes nmeros 1 0011; 1 0111; 01001; 0 1110 estn provistos del bit de paridad par.Crees que estn bien?. Raznalo

III.23 Los cdigos detectores de errores son capaces de corregirlos?.

III.24 Qu bits de datos controlan bits de paridad P1 y P2 en el cdigo Hamming expuesto en la figuraIII.9, pgina 26?.

III.25 El bit de paridad P4 en el cdigo de Hamming de la figura III.9, pgina 26 controla los bits dedatos D7, D6 y D5. Verdadero o falso?.

Csar Snchez Norato. Algebra de Boole o Algebra Lgica28

CAPTULO IV

lgebra de Boole o lgebra Lgica

IV. 1. INTRODUCCIN.

El lgebra Lgica es el desarrollo de una teora matemtica referida al sistema binario o de basedos. Ya hemos visto como el sistema binario slo posee dos nmeros (bits) -el "cero" y el "uno"- o lo quees lo mismo: dos estados.

Esta dualidad se puede extender a otros campos o conceptos como veremos luego.Al haber sido el filsofo y matemtico ingls George Boole quien en 1847 desarroll inicialmente estateora -aunque posteriormente otros matemticos como Karnaugh, De Morgan, Quine Mc Cluskey, etcla perfeccionaron- es por lo que este tipo de lgebra se conoce tambin como ALGEGRA DE BOOLE.

La teora de Boole considera todos los elementos como biestables, es decir con slo dos estados vlidosposibles, y que por otra parte son opuestos entre s. No admite estados intermedios.El lgebra de Boole o lgebra lgica, recibe este nombre porque los razonamientos que en ella se empleanson de carcter intuitivo y lgico, precisamente.

El lgebra de Boole establece una serie de postulados y operaciones que tienden a resolver los automatis-mos o procesos a ejecutar, obteniendo una serie de ecuaciones, las cuales debern ser traducidas y llevadasa cabo por elementos fsicos (mecnicos, neumticos, hidrulicos, elctricos, o electrnicos).

Pero fue Claude Shannon quien, en 1938, adapta por primera vez el lgebra de Boole al estudio de loscircuitos elctricos, sobre todo por medio de los rels. Es a partir de ese momento, y especialmente conla INFORMATICA, actualmente, cuando el lgebra lgica alcanza su mximo esplendor.Este tipo de lgebra se utiliza en el diseo de circuitos lgicos. Aqu slo interesa saber en cul de los dosestados lgicos est un elemento o trmino lgico, bien al comienzo, en el transcurso, o al final de unproceso, sin entrar en su valor cuantitativo como ocurre con el lgebra clsica.

De manera sucinta, creemos, que con esta introduccin es suficiente, aunque el lector puede imaginar ointuir el alcance y posibilidades de esta teora; si bien en lo sucesivo trataremos de explicarla y adaptarlaa los casos ms trascendentes.

IV. 2. CONCEPTOS DEL LGEBRA LGICA.

IV.2.1. VARIABLES BOOLEANAS O VARIABLES LGICAS.Se denominan magnitudes BOOLEANAS o variables BOOLEANAS aquellas que slo son capa-

ces de adoptar dos valores o estados opuestos entre s, como pueden ser:

Algebra de Boole o Algebra Lgica. Csar Snchez Norato 29

Estado 1 Estado 2en lgebra Booleana cero uno

no sen lgica nada todo

falso verdadero

abierto cerradono conduccin s conduccin

en conmutacin no excitado s excitadotensin baja tensin altaapagado encendidono accionado s accionadono activado s activado

IV.2.2. COMPLEMENTO DE UNA VARIABLE.Se entiende por complemento o complementacin de una variable, o simplemente, complemento

o complementacin, el nuevo estado que adquiere o toma la variable al cambiar de estado o valor en queencuentra al otro estado posible. Tambin se conoce como "inversin" o "negacin".Se representa con una rayita horizontal encima de la variable, o bien con una comilla en su partesuperior derecha. As la complementacin, o inversin de la variable A se representa por o bien por A'. Si A vale "uno", por ejemplo, al ser complementada, negada o invertida, pasar a valer "cero".

OBSERVACIONES A LA COMPLEMENTACIN:

1) Si una variable se complementa o invierte una vez, el valor que toma es el contrario al que tenaantes de complementarla. As, si A es igual a 1, tenemos que es igual a 0.Si se complementa dos veces, toma el mismo valor que tena antes de complementarla.

As A'' es igual a A. Si A es igual a 1, tenemos que A'' es igual a 1.2) En general si una variable se invierte un nmero impar de veces, toma el valor contrario, pero

si se complementa un nmero par de veces, toma el mismo valor que tena al principio.

IV.2.3. OPERACIONES LGICAS.Son las operaciones utilizadas para el desarrollo del lgebra lgica o de Boole.

Las operaciones bsicas necesarias son tres: la suma lgica, el producto lgico y la complementacin.Existen otras operaciones, pero en realidad son slo variantes de stas. No obstante, tambin las veremosms adelante.

LA SUMA LGICA se representa por el signo +EL PRODUCTO LGICO se representa por el signo LA COMPLEMENTACIN se representada por una rayita colocada sobre la variable.

IV.2.4. OPERADORES LGICOS.Son los elementos o circuitos que son capaces de realizar las operaciones lgicas.

Estos operadores lgicos reciben tambin el nombre de PUERTAS o COMPUERTAS LGICAS.Fundamentalmente son tres, al igual que las operaciones lgicas.

a) el operador o puerta "O" (OR en ingls) que realiza la suma lgica.b) el operador o puerta "Y" (AND en ingls) que realiza el producto lgico.c) el operador o puerta "NO" (NOT en ingls) que realiza la complementacin.

Existen otros operadores lgicos como el "NO-O"; el "NO-Y"; el "O-Exclusivo" o el "NO-Exclusivo".Los veremos ms adelante.


IV.2.5. CIRCUITOS LGICOS.Son aquellos circuitos diseados expresamente para trabajar u operar con variables lgicas. Pue-

den ser mecnicos, neumticos, hidrulicos, elctricos o electrnicos.La mayora de ellos son electrnicos. Se pueden montar mediante componentes discretos (a base deresistencias, condensadores, diodos, transistores, etc). No obstante modernamente se encuentran ya"montados" en circuitos integrados, que cumplen perfectamente sus funciones, y presentan ciertas ventajascomo menor volumen, menor consumo, ms baratos, mayor fiabilidad, etc que los componentes discretos.A los circuitos lgicos tambin se les llama "circuitos digitales". Las variables lgicas que utilizan son:nivel alto de tensin o nivel bajo; o bien mxima corriente (saturacin) o mnima corriente (corte obloqueo).

IV.2.6. SMBOLOS LGICOS.Aqu cabe hablar de tres grupos o tipos:

Un primer grupo para representar las variables lgicas o sus estados. Para las variables se emplean lasletras maysculas. Para los estados , el "cero" o el "uno"; "no" o "s", etc.

Un segundo grupo para representar simblicamente los operadores lgicos. En este caso no existeunificacin de criterios en cuanto a smbolos, si bien predominan los de las normas americanas.

En las figuras IV.1 y IV.2 se muestran dichos smbolos.

Y, por ltimo, un tercer grupo que se utiliza para representar otros conceptos, bloques, etc, como puedenser memorias, temporizadores... De momento no los vamos a tocar, aunque se vern ms adelante.

IV.2.7. FUNCIN LGICA Y ECUACIN LGICA.Recordemos que las variables pueden ser dependientes o independientes. Las independientes se

conocen simplemente como variables, y la dependientes se conocen como FUNCIONES, y quedandeterminadas por los valores y relaciones de las independientes entre s. En el lgebra lgica lo queinteresa es la salida segn sean las entradas y sus relaciones, que obviamente sern las operaciones lgicas.

As pues una funcin lgica es aquella que representa la salida dependiendo de las entradas relacio-nadas entre s por medio de las operaciones lgicas.Ecuacin lgica es la representacin de la funcin lgica con sus variables y relaciones entre ellas. A laecuacin tambin se le llama "frmula".En las ecuaciones lgicas el valor de la funcin viene determinado por los productos o sumas lgicas detodas las variables, en sus formas directa o complementada.

NOT (NO) OR (O) AND (Y)

XNOR

XOR(OR EXCLUSIVA)INVERSOR

(NOR EXCLUSIVA)NAND (Y)NOR (O)

Smbolos americanos de las principales puertas lgicasNOT (NO) OR (O) AND (Y)

XNOR

XOR(OR EXCLUSIVA)INVERSOR

(NOR EXCLUSIVA)NAND (Y)NOR (O)

Smbolos DIN 40700 de las principales puertas lgicas

Figura IV.1 Figura IV.2


IV.2.8. NMERO MXIMO DE TRMINOS DE UNA ECUACIN.Como estamos hablando de lgica -dos estados para las variables- el nmero mximo de combi-

naciones que pueden obtenerse en una ecuacin lgica viene dado por la expresin 2n (dos elevado a n),siendo n el nmero de variables.As, para dos variables, el mximo nmero de trminos es 2n = 22 = 4;

para tres son 23 = 8;para cuatro son 24 = 16 y as sucesivamente.

Veamos como ejemplo el caso de dos variables:Las cuatro combinaciones posibles que se pueden formar son: A B, A B, A B y A BCada uno de estos trminos recibe el nombre de "trmino cannico".Toda funcin tiene "2 elevado a n" ( 2n) trminos cannicos.El nmero de funciones obtenidas con "n" variables es 2n (nmero de combinaciones con repeticin).

IV.2.9. MINTERM Y MAXTERM.Se define como MINTERM a las posibles combinaciones de productos en las que aparecen todas

las variables complementadas o sin complementar. Tambin se conoce como "suma de productos". Losminterms se representan por " m ".El nmero mximo de minterms es igual que el nmero mximo de trminos.

Para tres variables A, B y C los minterms son:

A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C

Se define como MAXTERM a las sumas de las mismas combinaciones, complementadas o sin comple-mentar. Tambin se llaman "producto de sumas". Su nmero es igualmente 2n. Se representan por "M".Para las tres variables A, B y C los maxterms son:

A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C, A B C

IV.2.10. FORMAS CANNICAS DE UNA FUNCIN.Una funcin cualquiera se puede expresar de varias formas. De entre ellas estn.

1 mediante la suma de sus productos o minterms: f (a) = a f (1) + a f (0) y

2 mediante el producto de sus sumas o maxterms: f (a) = [a + f (0)] [ a + f (1)]Es decir, que una funcin se puede expresar por medios de sus minterm o sus maxterm.

3 mediante la forma dual. La forma dual de: f = AB + AC es: (A+B) (A+C); es decir, cambian-do las sumas por productos y los productos por sumas.

IV.2.11. TABLA DE VERDAD.Es otra de las formas de escribir una funcin, o mejor de representarla. A travs de una tabla o

cuadro se indica el valor de los "unos" y "ceros" que toma la funcin para cada una de las combinacionesposibles que se pueden formar con las variables que intervienen. El nmero de las combinaciones posiblesque se pueden formar, como se vio anteriormente, responde a la expresin 2n (siendo n el nmero devariables).


OBSERVACIONES SOBRE LA TABLA DE VERDAD:

1 La tabla de verdad es nica para cada funcin, independientemente de la representacinmatemtica concreta adoptada.

2 El nmero de trminos que componen una tabla de verdad es de 2n

3 Al estar reflejados en la tabla de verdad los valores que toma la funcin segn los valoresde las variables, es muy fcil tomar los valores que en cada caso nos interese; o bien losvalores "cero", o bien los valores "uno".

4 A partir de la tabla de verdad puede obtenerse la expresin algebraica de la funcin repre-sentada en la tabla.

5 Asimismo nos va a ser muy til para la simplificacin o minimizacin de la funcin, sobretodo mediante los "mapas de Karnaugh"; cosa que veremos ms adelante.

IV.2.12. LOGIGRAMAS.Son diagramas confeccionados con los smbolos de los operadores lgicos que representan la reso-

lucin o ejecucin de las funciones lgicas por medio de los operadores lgicos.

Ejemplo:Sea la funcin lgica f = A B + A C Su logigrama sera el de la figura IV.3 a) o b).

IV. 3. EQUIVALENCIA O REPRESENTACIN CIRCUITAL DELAS OPERACIONES LGICAS.

1 Toda suma lgica (operador o puerta O)equivale a un circuito paralelo.Ejemplo: Sea Y = A + B --------->

2 Todo producto lgico (operador o puertaY) se representa o equivale a un circuitoserie.Ejemplo: Sea Y = A B ------------->

En la figura IV. 4 se muestran los circuitos equi-valentes a la suma y producto lgicos.

AB

AB

A C

AC

A B

+ ACA

B

AB

A CC

A B

+ A C

a) b)Figura IV 3

AB

AB

Y

Y

Y

Y

A

A

B

B

circuitos equivalentes de las puertas AND y OR

Figura IV-4


IV. 4. OBTENCIN DE MINTERM Y MAXTERM DE UNA FUNCIN.Segn vimos en el apartado IV.2.10 de la seccin "Conceptos del lgebra lgica", toda funcin

se puede expresar por medio de sus formas cannicas: minterm o maxterm.Vamos ahora a ver y estudiar la manera de obtener dichos minterm o maxterm.

MINTERMS o sumas de productos:

Aclaremos antes de nada que la suma de minterms siempre debe dar "uno"; slo se toman aquellostrminos cannicos que hagan la funcin "uno". No se toman los que la hacen "cero". La suma de losminterms siempre da "uno".

Para obtener los minterms se parte de la tabla de verdad; se toman todos los trminos cannicos que haganvaler la funcin "uno" en forma de productos (la suma de los minterms da"uno") y se suman entre s, configurndose as la expresin o polinomiobooleano.

Vemoslo con un ejemplo:Sea la siguiente tabla de verdad (figura IV.5):

Los trminos cannicos que hacen la funcin uno en forma de minterms son:

A B C o mo ; A B C o m1 ; A B C o m3 y A B C o m6

Puestos en forma de suma, dan el polinomio booleano, que es:

Y = A B C + A B C + A B C + A B C = mo + m1 + m3 + m6

MAXTERMS o productos de sumas:

Aclarar, tambin, que slo se toman, en este caso, aquellos trminos cannicos que hagan "cero" lafuncin. No se toman los que la hagan "uno"; el producto de los maxterms siempre da "cero".

Para hallar los maxterms de una funcin, se parte de la tabla de verdad y se toman, en forma de suma,todos los trminos cannicos que anulen la funcin -valor cero en la tabla- y se multiplican entre s,CAMBIANDO EL ESTADO DE CADA VARIABLE. La expresin cannica de sus maxterms oproductos de sumas es esa.

Siguiendo con el ejemplo anterior, los trminos cannicos que anulan la funcin son:

A + B + C o M2 ; A + B + C o M4 ; A + B + C o M5 y A + B + C o M7

que multiplicndolos entre s, complementando las variables, es la expresin en forma de Maxterm oproductos de sumas:

Y = ( A + B + C ) ( A + B + C ) ( A + B + C ) ( A + B + C ) = M2 M4 M5 M7

IV.5. PASO DE MINTERMS A MAXTERMS.Aunque normalmente en lgica se trabaja con los minterms por ser ms fcil su manejo al de los

maxterms, y por ser ms asequibles para la simplificacin de funciones, resulta prctico disponer de una

A B C Y01234567

0 0 00 00 00

0 0 00 0

00

0

111

11 1 1

1111

11

1 11

m

M0

Figura IV.5


expresin que nos relacione los maxterms partiendo del nmero de minterms hallados.La expresin que liga ambos, sin entrar en demostraciones, es: Mi = 2n - i - 1donde

Mi es el maxterm que se calculai es la posicin que ocupa el maxterm en el polinomio generaln es el nmero de variables que intervienen en la funcin

As en el ejemplo anterior vimos que los maxterm eran M2, M4, M5, M7.Los trminos cannicos que habra que tomar son:

para M2 = 23 - 2 - 1 = 5 (A + B + C)para M4 = 23 - 4 - 1 = 3 (A + B + C)para M5 = 23 - 5 - 1 = 2 (A + B + C)para M7 = 23 - 7 - 1 = 0 (A + B + C)

Como se puede apreciar estos trminos cannicos son los mismos que los obtenidos por el otro procedi-miento.Entendemos que es ms fcil obtener los Maxterm partiendo de los trminos cannicos que anulan lafuncin a travs de los minterm.

En el ejemplo que hemos considerado, la funcin expresada en minterm y maxterm sera:

Y = mo + m1 + m3 + m6 = M2 M4 M5 M7

IV.6. POSTULADOS, AXIOMAS, TEOREMAS Y LEYES DELALGEBRA LOGICA.

Definamos primeramente estos conceptos:

POSTULADO: proposicin que se admite como cierta aunque no se haya podido demostrar.AXIOMA: principio tan claro que no precisa demostracin.TEOREMA: proposicin que afirma una verdad demostrable.LEY: regla y norma constante e invariable de las cosas.

Hemos reflejado las definiciones de estos conceptos para que las conozcamos y las diferenciemos, puesdistintos autores, en sendos tratados, las utilizan indistintamente y/o indiscriminadamente. Ello producesituaciones de duda, error, o falsa interpretacin.As mientras unos autores nos hablan de postulados, otros nos hablan de leyes, axiomas o teoremas paralas mismas proposiciones.

Aunque tampoco pretendemos clarificar mucho en este sentido, debido a la complejidad de esta materia,s hemos pretendido plantear esta observacin, para deshacer malentendidos al estudiar tal o cual autor;si bien en lo que debemos fijarnos es en las proposiciones en s -independientemente de los nombres quese les den- que, al fin y al cabo, son las que vamos a utilizar y aprovechar para el tratamiento y resolucinde los problemas planteados.

Finalmente, cabe tambin decir que, aparte de los cuatro trminos (postulados, axiomas, teoremas, o leyes)expuestos, tambin se usan otros como "PROPIEDADES" e incluso "REGLAS" para tratar los mismosconceptos, lo cual agrava an ms las cosas. Pero bueno es saber esto.

A nuestro entender, intentando ser racional, y teniendo en cuenta que en Matemticas o en Algebra casitodo es demostrable, nos quedaramos -y as lo vamos a tratar- con lo siguiente:


TEOREMAS: para una serie de proposiciones generales, habida cuenta que son demostrables;

LEYES: para una serie de proposiciones ms particulares, aplicables a algunos casos, y que casisiempre irn seguidas de los nombres propios que las concretaron. Por ejemplo lasLeyes de De Morgan;

PROPIEDADES: para una serie de proposiciones relativas a las operaciones del lgebra lgica; sobretodo el producto y la suma lgica.

Visto esto, pasemos a ver los teoremas ms importantes o bsicos.Debemos aclarar, tambin, que la numeracin que se asigna a dichos teoremas es slo cuestin de orden,que no de prioridad, y que incluso puede darse el caso que los enumeremos de manera distinta a otrosautores. Aqu tampoco existe unificacin de criterios.

Nota: se entiende por forma dual al cambio de las sumas por productos y viceversa.

IV.7. TEOREMAS BSICOS DEL ALGEBRA LOGICA.1 El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones lgicas bsicas a variables del sistema

booleano es otra variable del sistema, y este resultado es nico.

2 Cualquier variable negada dos veces, y en general un nmero para de veces, es igual a la mismavariable sin negar. Recurdese que dos negaciones afirman. Tambin se conoce esta proposicincomo "ley de involucin".

A = A si A = 0 ==> A = 0; si A = 1 ==> A = 1

3 Para todo elemento A existe otro elemento A, complemento o inverso, que cumple que:A A = 0 Para A = 0 ==> 0 1 = 0 y para A = 1 ==> 1 0 = 0A + A = 1 Para A = 0 ==> 0 + 1 = 1 y para A = 1 ==> 1 + 0 = 1

4 Para todo elemento A, se verifica:A 0 = 0 Para A = 0 ==> 0 0 = 0 y para A = 1 ==> 1 0 = 0A + 1 = 1 Para A = 0 ==> 0 + 1 = 1 y para A = 1 ==> 1 + 1 = 1

5 Tanto en la suma lgica como en el producto lgico se cumple (Ley de idempotencia):A A = A Para A = 0 ==> 0 0 = 0 y para A = 1 ==> 1 1 = 1A + A = A Para A = 0 ==> 0 + 0 = 0 y para A = 1 ==> 1+ 1 = 1

6 En el lgebra de Boole se cumple (Leyes de absorcin o redundancia) que: "en cualquier ecuacinbooleana, en minterms, los trminos que contengan todos los factores (o variables) de otros trmi-nos (de mayor tamao) es redundante; por tanto, se pueden eliminar los trminos redundantes.

Ejemplo: sea f = ABCD + ABC + AB = ABLas variables del trmino AB estn contenidas en los otros tres trminos, por lo que son redundan-tes, y se pueden eliminar.

En particular,A + AB = A y, por dualidad, A (A + AB) = A

En efecto: para A + AB = A se tiene, sacando factor comn: A (1 + B) pero 1 + B es igual a 1; por tanto

A + AB = A (1 + B) = A 1 = A


Para el caso A (A + AB) se tiene, sacando factor comn: A A (1 + B)Pero A A = A, y,a su vez, 1 + B = 1, por tanto:

A (A + AB) = A A (1 + B) = A 1 = A

7 Toda funcin puede descomponerse con respecto a cualquiera de las variables de las que dependesegn las siguientes relaciones:

a) f ( A,B,C,...) = A f (1,B,C,...) + A f ( 0,B,C,... ) yb) f ( A,B,C,...) = [A + f (0,B,C,...)] [A + f (1,B,C,...)]

Estas formas representan las llamadas FORMAS CANONICAS DE UNA FUNCION.La primera de ellas no es ni ms ni menos que la suma de sus minterms, y la segunda es el producto desus maxterms.

Notas: En el siguiente captulo, al hablar de las puertas lgicas y de las operaciones lgicas querealizan, reseamos algunas de sus propiedades, que otros autores consideran como leyes, teo-remas o postulados. Nosotros pensamos que aquel es el lugar ideal para su insercin, pues esta-mos hablando en cada momento de esas operaciones y sus propiedades y posibilidades.

Existen otras leyes, teoremas o postulados que no hemos recogido en este trabajo, por haberlolimitado a resear los ms importantes o usuales.

IV.8. LEYES DE DE MORGAN.

Estas leyes son de las ms importantes del lgebra lgica, hasta el punto que a partir de estas leyesaparecen nuevas funciones como la "NOR" y la "NAND", de gran inters en el campo de la tcnica ydentro de la sealizacin de circuitos y sistemas digitales.

Sirven para transformar sumas en productos y viceversa. Tienen gran importancia en las aplicacionesprcticas, pues permiten realizar todas las operaciones lgicas con un nico tipo de funcin u operadorlgico.

Dichas leyes son:

1 La inversa, complementacin o negacin de una suma de varias variables es igual o equivale alproducto lgico de las inversas, complementaciones o negaciones de esas variables. Su expresines :

________A + B + C + ..... = A B C ....

2 La inversa de un producto lgico de varias variables es igual o equivale a la suma lgica de lasinversas de esas variables.

________A B C ..... = A + B + C + ....

Veamos, para dos variables, que esto se cumple. Por extensin se cumple para cualquier nmero de ellas.Sean las variables A y B. _____ Primera ley A + B = A B

Segn la complementacin A + B es igual al complemento de A B. Ahora bien: como un nmeromultiplicado por su complemento da cero, tenemos: (A + B) A B = 0


Desarrollando, tenemos:

A A B + B A B = 0 = 0 B + A 0 pues A A = 0 y B B = 0

___Segunda ley. A B = A + B

Del mismo modo, A B es igual al complemento de A + B. Por tanto su producto debe dar cero.

En efecto: A B A + A B B = 0 = 0 B + 0 A = 0

Existe una tercera ley, que se llama generalizada, y que dice: "El complemento de una funcin se obtienecomplementando todas las variables que en ella intervienen e intercambiando las operaciones suma yproducto".

Su expresin general es: ___________f ( A, B, C,...) = f ( A, B, C,...)

IV.9. LGICA POSITIVA Y LGICA NEGATIVA.Cuando hablbamos del lgebra lgica, decamos que las variables lgicas tienen solamente dos

estados contrarios, opuestos, o excluyentes entre s. Y mencionbamos una serie de dualidades, entreellas: 1/0; SI/NO; etc.Al aplicar la lgica a los sistemas electrnicos, compuestos por elementos electrnicos, bien sean conven-cionales (diodos, transistores) o bien por medio de circuitos integrados, CI, la dualidad que se aplica ess tensin/no tensin aplicada a dichos elementos. O lo que es lo mismo; nivel alto de tensin/nivel bajode tensin, o simplemente alto/bajo; en ingls HIGH/LOW, en abreviatura H/L.

Pues bien; visto esto, existen dos opciones:

1 considerar el estado SI TENSIN o ALTO (H en ingls) como "uno", y el estado NO TENSIN OBAJO (L en ingls) como "cero"; o

2 al revs; esto es: el nivel ALTO (H) como "cero", y el nivel BAJO (L) como "uno".

Dependiendo de que opcin consideremos, as tendremos dos tipos de lgica a saber:

LOGICA POSITIVA: si se toma el nivel ALTO como "uno" y el nivel BAJO como "cero", oLOGICA NEGATIVA: si tomamos el nivel BAJO como "uno" y el nivel ALTO como "cero".

OBSERVACIONES:a) Si, en lo sucesivo, no me dice nada en contra, debemos entender que estamos considerando la

lgica positiva. Caso contrario, se har mencin especfica.

b) Podemos decir que la lgica negativa es la complementacin o la "inversa" de la lgica positiva,y viceversa.

c) Tambin se puede admitir que la funcin lgica NO o funcin INVERSIN realiza el cambio delgica, pues si le aplicamos a la entrada un nivel ALTO, nos da a la salida un nivel BAJO; y alcontrario.


EJERCICIOS DE APLICACIN.

IV.1 Dibuja los smbolos de las puertas OR, AND, NOT, NOR, NAND, EXOR y EXNOR.

IV.2 Cul es el nmero mximo de trminos cannicos que puede tener una funcin lgica de 5variables; y de 6 variables?.

IV.3 Dada la ecuacin Y = ABC + ABC + ABC + ABC escribe su tabla de verdad.

IV.4 En el ejercicio anterior slo existen los minterms. Cules son los maxterms?. Recuerda que sonlos trminos cannicos que "dan cero".

IV.5 Escribe la ecuacin del ejercicio IV.3 en forma de maxterms. Recuerda que es suficiente concambiar operadores y estados.

IV.6 Demuestra que C + CD es igual a C.

IV.7 De la ecuacin Y = ABC + ABC + AC + AB + B cules son los trminos redundan-tes?. A qu otra ecuacin ms simplificada equivale?.

_________________IV.8 Segn la Ley de De Morgan, a qu equivale la expresin A + B + C + D + E

______________IV.9 Escribe la expresin Y = ABC + ABC en forma de maxterms.

_________________________IV.10 Escribe la expresin Y = (A + B + C) @ (A + B + C) en forma de minterms.

IV.11 Dado el siguiente circuito lgico o logigrama(figura IV.6) escribe su ecuacin booleana enminterms.

IV.12 Dada la funcin Y = AB + AC dibuja su cir-cuito lgico.

IV.13 Dada la funcin Y = ABC + BC dibuja sulogigrama.

IV.14 Dado el circuito lgico o logigrama de la figuraIV.7, escribe su ecuacin booleana en minterms.

IV.15 Dibuja el logigrama de la funcin Y = ABC + ABC

A

B

CFigura IV.6

ABC

Figura IV.7


IV.16 De la siguiente tabla de verdad, representa A | 0 0 0 0 1 1 1 1su ecuacin en forma de maxterms as como B | 0 0 1 1 0 0 1 1el circuito lgico capaz de ejecutarla. C | 0 1 0 1 0 1 0 1

Y | 1 1 1 0 0 1 1 1

IV.18 Dada la siguiente tabla de verdad, escribe A | 0 0 0 0 1 1 1 1su ecuacin en forma de minterms as como B | 0 0 1 1 0 0 1 1el circuito lgico capaz de ejecutarla. C | 0 1 0 1 0 1 0 1

Y | 0 1 1 1 1 0 0 1

IV.19 Halla la expresin booleana (minterms) del cir-cuito de la figura IV.8

IV.20 Cmo pasaras el circuito de la figura IV.8a lgicanegativa?. Raznalo.

IV.21 Una variable A, por ejemplo, complementada cinco veces, a qu equivale a A o a A ?. Raznalo.

IV.22 Una variable complementada un nmero par de veces qu valor toma: el mismo que sin comple-mentar o el contrario?. Raznalo.

IV.23 Teniendo en cuenta que la funcin inversa de otra es su complementada, escribe la funcincomplementada de la obtenida en el ejercicio nmero IV.18.

IV.24 Eres capaz de dibujar, sin mirarlas, los smbolos lgicos de las puertas de la figura IV.1?.Intntalo y autoevalate.

IV.25 Invntate una funcin en forma de minterms y escribe su tabla de verdad.

ABC

Figura IV.8

Csar Snchez Norato. Principales puertas lgicas40

CAPTULO V

Puertas Lgicas.

V.1. INTRODUCCIN.

Vamos a estudiar en este captulo las principales puertas (o compuertas) lgicas as como las opera-ciones lgicas que realizan; sus tablas de verdad, las ecuaciones que las definen y sus propiedades.

Aclaremos que todas estas compuertas o puertas se pueden realizar con elementos electrnicos convencio-nales -diodos y transistores- o con circuitos integrados (C I) si bien, por ahora, no nos detendremos en ello.

Tanto los smbolos como las tablas de verdad, los referiremos tan slo a dos variables de entrada, aunqueal final del estudio de todas las puertas, reflejaremos en un cuadro nico y, a modo de resumen, todas estastablas para tres variables de entrada.

V.2. PUERTA O FUNCIN "O" (OR en ingls). LA SUMA LGICA.

La salida de esta puerta o funcin es "uno" cuando cualquiera de las entradas o todas ellas valen"uno". Da "cero" cuando todas las entradas valen "cero".Tambin se suele decir que la salida de esta puerta es "uno" cuando una o otra, o otra, o todas lasentradas valen "uno". A la funcin "O" tambin se la conoce como de "cualqu

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